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6.2.3向量的数乘运算 (精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1: 几何图形中用已知向量表示未知向量题型2：向量共线的判定题型3：利用向量共线证明线线平行题型4：利用向量共线定理判断三点共线题型5：利用向量共线定理求参数三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：向量的数乘 与向量a 的积是一个向量a λ.它的长度与方向规定如下： |||||a a λλ=0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当a λ的方向与a 的方向相反；当0时，0a λ=.）向量数乘的几何意义a λ：①从代数角度看，是实数，a 是向量，它们的积仍然是向量．a λ的条件是0a =0．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量a 的有向线段在原方向(0)λ>或相反方向上伸长了λ倍；当时，意味着表示向量a 的有向线段在原方向(010)λ<<上缩短了λ倍．实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如a λ+，a λ-都无意义． 实数与向量的积满足下面的运算律：设是实数，a 、b 是向量，则：)a a μλμ=()a a a λμλμ+=+ ()a b a b λλλ=++ ：向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量a ,b ,以及任意实数λ,1μ,2μ,1212)a b a b μλμλμ±=±.：向量共线定理）内容：向量b 与非零向量a 共线，则存在唯一一个实数，b a λ=. ）向量共线定理的注意问题：①定理的运用过程中要特别注意0a ≠．特别地，若0a b ==，实数λ仍存在，但不唯一．②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数λ沟通了两个向量b 与a 的关系．③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数题型．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方形满足2CF FB =，那么EF =1123AB AD - 1132AB AD +1223AB AD -1142AB AD + 2．（2022春·黑龙江哈尔滨·在ABCD 中，AB a =，AD b =，3AN NC =，为BC 的中点，则MN 等于（ ）1144a b +B ．1122a b -+．12a b +D ．3344a b -+．（多选）（2022·高一单元测试）在等边三角形ABC 中，,2,BD DC EC AE AD →→→→==交于点F ,则下列结论中正确的是（ ）1()2AB AC →→=+2133BC BA →→→=+12AF AD →→=D ．13BC →高一假期作业）如图所示，在ABC 中，点则DE =（ ）1136BA BC - 1163BA BC - 5163BA BC -5163BA BC +．（2022秋·吉林长春·高一长春市实验中学校考阶段练习）在ABC 中，设AB a =，AC b =，又2AD DC =，=BE ED ，则AE =（ ．1123a b +B ．1133a b +1126a b +D 2133a b +3．（2022秋·广西百色·高一统考期末）在OAB 中，P 为AB 上的一点，且2BP PA =，OP xOA yOB =+，则（ ）A ．23x =，13y =B ．13x =，23y =C ．34x =，14y = D ．x =例题1．（2022春·甘肃定西·高二统考开学考试）对于非零向量a 、b ，“0a b +=”是“//a b ”的（ ．充分不必要条件．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件例题2．（2022·河南·校联考三模）已知a 、b 、c 均为非零向量，且2a b =，3b c =-，则（ ） ．a 与c 垂直．b 与c 同向C ．a 与c 反向．a 与b 反向同类题型演练高一课时练习）已知12a e e =+，1222b e e =--，求证：a 与b 共线．：利用向量共线证明线线平行典型例题例题1．（2022·高一课时练习）已知在四边形中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，求证：四边形在ABC 中，已知11,33AM AB AN AC ==.用平面向量证明题型4：利用向量共线定理判断三点共线典型例题例题1．（2023·广东·高三统考学业考试）已知向量a ，b 不共线，若2AB a b =+，37BC a b =-+，45CD a b =-，则（ ）A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线例题2．（2022春·江西南昌·高二统考期末）已知空间向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）A ．、、ABC B ．B CD 、、 C ．A B D 、、 D ．A C D 、、例题3．（2022秋·江苏扬州·高一统考期中）已知a ，b 为不共线的向量，且5AB a b =+，28BC a b =-+，42CD a b =+则（ ）A ．,,ABC 共线B ．,,A B D 共线C ．,,A CD 共线D ．,,B C D 共线同类题型演练1．（2022·高一课时练习）已知()1221123,,2AB e e CB e e CD e e =+=-=+，则下列结论中成立的是（ ）A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，D ，C 三点共线D ．D ，B ，C 三点共线2．（2022·高一课时练习）已知5,28,210AB a b BC a b BD a b =+=-+=+，则共线的三点为（ ） A ．,,B C DB ．,,A B CC ．,,A C DD ．,,A B D题型5：利用向量共线定理求参数典型例题·全国·高三专题练习）已知向量1e ，2e 是两个不共线的向量，122a e e =-与12b e e λ=+共线，则．22例题2．（2022秋·江苏淮安·高一统考期末）已知1e ，2e 是平面内的一组基底，1232OA e e =+，124OB e ke =+，1254OC e e -=，若A 三点共线，则实数A ．1- B ．0 C ．1 例题3．（2022·上海·高二专题练习）设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知1212122,3,2AB e ke BC e e CD e e =+=+=-，若A 、B 、D 三点共线，的值为__________例题4．（2022秋·江西宜春·高一奉新县第一中学校考阶段练习）设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与()2b a --共线，则λ＝_______同类题型演练．（2023·全国·高三专题练习）已知向量a ，b 不共线，且c a b λ=+，()21b d a λ=+-，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为（ ） ．1 B ．12-．1或12-D ．1-或2-．（2022·高一单元测试）已知a ，b 是不共线的向量，,32OA a b OB a b λμ=+=-，23OC a b =+,λμ满足（ 5μ=+ ．135μλ=-3．（2022秋·陕西咸阳高一统考期中）已知向量a 与b 不共线，且()1AB a mb m =+≠，AC na b =+．若A 、，n 满足的条件为 ) A ．1m n +=1mn =D ．1mn =-4．（2022春·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）设,a b 是两个不共线的向量，若向量2ka b +与8a kb +的方向相同，则________.5．（2022春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知向量a 与b 不共线，且3a b λ-与2a b λ-共线，则λ=___________．．（2023·全国·高三专题练习）设a ，b 是两个不共线的非零向量，若向量2ka b +与8a kb +的方向相反，则k ＝________.1．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）在ABC 中，点2AM MB =，若3CM CA CB λμ=+，则μA ．3 B C ．．（2022·河南·校联考模拟预测）已知ABC 的边在ABC 所在平面内，且2BD BE BA →→→=-，若AB →=，则C ．D ．23．（2022·云南昆明统考模拟预测）梯形ABCD 中，2AB DC =，设AB m =，AD n =，则AC BD +=（ ）A ．122m n -+B ．122m n -C ．2m n -2m n -+4．（2022·四川绵阳·统考一模）为ABC 所在平面内两点，AD DC =，2CB BE =，则DE =（ ）．32AB AC -+B ．32AB AC -．32AB AC -D ．32AB AC -+．（2022·湖南·校联考模拟预测）设E 、F 分别为ABC 三边则23(DA EB FC ++= ．12AD 32AD12AC 32AC ．（2022·河南·校联考二模）正方形，F 分别是CD ，的中点，那么EF = ．1122AB AD + 1122AB AD - 1122AB AD + 1122AB AD - 2022·内蒙古兴安盟·乌兰浩特一中校考模拟预测）在△ABC 中，AD AD 的中点，则EB =3144AB AC - 1344AB AC - 3144+AB AC1344+AB AC。
人教A版（新教材）必修第二册 6.2.3 向量的数乘运算学案（含答案）6.2.3向量的数乘运算向量的数乘运算学习目标1.了解向量数乘的概念.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.知识点一向量数乘的定义实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，其长度与方向规定如下1|a||||a|.2aa0的方向当0时，与a的方向相同；当0时，与a的方向相反.特别地，当0时，a0.当1时，1aa.知识点二向量数乘的运算律1.1aa.2aaa.3abab.特别地，aaa，abab.2.向量的线性运算向量的加.减.数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有1a2b1a2b.知识点三向量共线定理向量aa0与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使ba.思考向量共线定理中为什么规定a0答案若将条件a0去掉，即当a0时，显然a与b共线.1若b0，则不存在实数，使ba.2若b0，则对任意实数，都有ba.1.若向量b与a共线，则存在唯一的实数使ba.提示当b0，a0时，实数不唯一.2.若ba，则a与b共线.3.若a0，则a0.提示若a0，则a0或0.4.|a||a|.提示|a||||a|.一.向量的线性运算例11若a2bc，化简3a2b23bc2ab等于A.aB.bC.cD.以上都不对答案C解析原式3a6b6b2c2a2ba2b2c2bc2b2cc.2若3xa2x2a4xab0，则x________.答案4b3a解析由已知，得3x3a2x4a4x4a4b0，所以x3a4b0，所以x4b3a.反思感悟向量线性运算的基本方法1类比法向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号.移项.合并同类项.提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”.“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.2方程法向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.跟踪训练1计算ab3ab8a.解ab3ab8aa3ab3b8a2a4b8a10a4b.二.用已知向量表示其他向量例2如图，在ABCD中，E是BC 的中点，若ABa，ADb，则DE等于A.12abB.12abC.a12bD.a12b答案D解析因为E是BC的中点，所以CE12CB12AD12b，所以DEDCCEABCEa12b.反思感悟用已知向量表示其他向量的两种方法1直接法2方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.跟踪训练2在ABC中，若点D满足BD2DC，则AD等于A.13AC23ABB.53AB23ACC.23AC13ABD.23AC13AB答案D解析示意图如图所示，由题意可得ADABBDAB23BCAB23ACAB13AB23AC.三.向量共线的判定及应用例3设a，b是不共线的两个向量.1若OA2ab，OB3ab，OCa3b，求证A，B，C三点共线；2若8akb与ka2b共线，求实数k的值.1证明ABOBOA3ab2aba2b，而BCOCOBa3b3ab2a4b2AB，AB与BC共线，且有公共点B，A，B，C三点共线.2解8akb与ka2b共线，存在实数，使得8akbka2b，即8kak2b0，a与b不共线，8k0，k20，解得2，k24.反思感悟1证明或判断三点共线的方法一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得ABAC或BCAB 等即可.2利用向量共线求参数的方法已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.跟踪训练3已知向量e1，e2不共线，如果ABe12e2，BC5e16e2，CD7e12e2，则共线的三个点是________.答案A，B，D解析ABe12e2，BDBCCD5e16e27e12e22e12e22AB，AB，BD共线，且有公共点B，A，B，D三点共线.三点共线的常用结论典例如图所示，在ABC 中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若ABmAM，ACnAN，则mn的值为A.1B.2C.3D.4答案B解析连接AO图略，O是BC的中点，AO12ABAC.又ABmAM，ACnAN，AOm2AMn2AN.又M，O，N三点共线，m2n21，则mn2.素养提升1本题主要是应用判断三点共线的一个常用结论若A，B，C三点共线，O为直线外一点存在实数x，y，使OAxOByOC，且xy1.2应用时一定注意O是共同的起点，主要是培养学生逻辑推理的核心素养.1.下列运算正确的个数是32a6a；2ab2ba3a；a2b2ba0.A.0B.1C.2D.3答案C解析根据向量数乘运算和加减运算规律知正确；a2b2baa2b2ba0，是零向量，而不是0，所以该运算错误.所以运算正确的个数为2.2.如图，已知AM是ABC的边BC上的中线，若ABa，ACb，则AM等于A.12abB.12abC.12abD.12ab答案C解析因为M是BC的中点，所以AM12ab.3.设P是ABC所在平面内一点，BCBA2BP，则A.PAPB0B.PCPA0C.PBPC0D.PAPBPC0答案B解析因为BCBA2BP，所以点P为线段AC的中点，故选项B正确.4.化简4a3b62ba________.答案10a解析4a3b62ba4a12b12b6a10a.5.设e1与e2是两个不共线向量，AB3e12e2，CBke1e2，CD3e12ke2，若A，B，D三点共线，则k________.答案94解析因为A，B，D三点共线，故存在一个实数，使得ABBD，又AB3e12e2，CBke1e2，CD3e12ke2，所以BDCDCB3e12ke2ke1e23ke12k1e2，所以3e12e23ke12k1e2，所以33k，22k1，解得k94.1.知识清单1向量的数乘及运算律.2向量共线定理.2.方法归纳数形结合.分类讨论.3.常见误区忽视零向量这一个特殊向量.。
