（此文档为word格式，下载后可以任意修改，直接打印使用！）（此文档为word格式，下载后可以任意修改，直接打印使用！）2.2 平面向量的线性运算2.2.3 向量数乘运算及其几何意义(名师：卓忠越)一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，掌握向量数乘运算，理解其几何意义及向量共线定理，培养学生自主探究知识形成的过程的能力、合作释疑过程中合作交流的能力.激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感,培养学生实事求是的科学态度、勇于创新的精神.（二）学习目标1.通过实例,掌握向量数乘运算，理解其几何意义及向量共线定理，熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题.2.理解、掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线.3.通过由实例到概念、由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能力、合作释疑过程中合作交流的能力，激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度、勇于创新的精神.（三）学习重点1．掌握向量数乘运算，理解其几何意义及向量共线定理．2．熟练运用定义、运算律进行有关计算．3．能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题．（四）学习难点1．理解向量数乘运算的几何意义及向量共线定理．2．能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第87页至第90页，填空：一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a λ ，它的长度和方向规定如下：（1）a a λλ= ；（2）当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反.特别的：0λ=时，0a λ=根据实数与向量的积的定义，可得如下运算律：设,λμ为实数，那么：（1）()()a a λμλμ= ；（2）()a a a λμλμ+=+ ；（3）()a b a b λλλ+=+共线向量基本定理：向量(0)a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= .2．预习自测（1）任画一向量a ，分别求作向量3,2a a -答案：解析：【知识点】向量数乘的几何意义 【数学思想】数形结合【解题过程】按向量数乘的几何意义，同向或反向延长向量点拨：按向量数乘的几何意义作图即可（2）点C 在线段AB 上，且52AC CB =，则AC = ______AB ,BC = ________AB 答案：57；27- 解析：【知识点】向量数乘的几何意义【数学思想】数形结合【解题过程】根据向量数乘的几何意义，表示向量之间的关系点拨：同向系数为正，反向系数为负，系数绝对值表示长度之间的关系（3）化简：①5(32)4(23)a b b a -+- ；②(x y)(x y)a a +--答案：①32a b - ；②2ya ；解析：【知识点】向量数乘的运算律【解题过程】①5(32)4(23)151081232a b b a a b b a a b -+-=-+-=- ；②()()2x y a x y a ya +--=点拨：类比多项式运算，利用向量数乘运算律展开合并即可（4）判断下列向量a 与b 是否共线：①2,2a e b e =-= ；②1212,22a e e b e e =-=-+答案：①a ∥b ；②a ∥b ；解析：【知识点】共线向量定理【数学思想】数形结合【解题过程】①a b =- ，所以a ∥b ；②2a b =- ，所以a ∥b ；点拨：根据两向量的数量关系，判定两向量是否共线(二)课堂设计1．知识回顾（1）向量加减法的运算法则（2）向量加法的运算律①a b b a +=+ ； ②()()a b c a b c ++=++（3）向量加减法的几何表示 ①,0,AB BC AC AB BA AB AC CB +=+=-=②1223110n n n A A A A A A A A -++++= ③a b a b a b -≤±≤+2．问题探究探究一 通过实例，理解向量数乘定义及其几何意义●活动① 类比定义向量数乘我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a a a ++ 和()()()a a a -+-+- 向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？a a a ++ 的长度是a 的长度的3倍，其方向与a 的方向相同，()()()a a a -+-+- 的长度是a 长度的3倍，其方向与a 的方向相反.类比小学算术中3333335++++=?的乘法定义，类比规定：实数λ与向量a 的积就是λa ，它还是一个向量，我们把这种运算叫做向量的数乘.实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa .它的长度和方向规定如下：（1）||||||λa λa = .（2）0λ>时，λa 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，λa 的方向与a 的方向相反；特别地，当0λ=或0a = 时，0λa = .从图形上看，向量的数乘就是将有向线段同向或反向的进行了拉伸或压缩.【设计意图】从小学的已有知识推广发现新知识，从特殊到一般，体会新定义的产生、概念的提炼、抽象过程.●活动② 辨析概念，总结提炼运算律根据实数与向量的积的定义，（1） 求作向量2(3)a 和6a （a 为非零向量）并进行比较；（2） 向量2()a b + 与向量22a b + 相等吗？学生从模的大小与方向两个方面进行比较，得出2(3)6a a = ，222()a b a b +=+ .一般的，设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：（1）()()a a λμλμ= ；（2）()a a a λμλμ+=+ ；（3）()a b a b λλλ+=+ .通常将（1）称为结合律，（2）（3）称为分配律.【设计意图】由一般推广到特殊，在由数乘的定义总结提炼出向量数乘的运算律．例1 计算：（1）(3)4a -? ；（2）3()2()a b a b a +--- ；（3）(23)(32)a b c a b c +---+ .【知识点】向量数乘的运算律【解题过程】（1）(3)412a a -⨯=- ；（2）3()2()33225a b a b a a b a b a b +---=+-+-=（3）(23)(32)233252a b c a b c a b c a b c a b c +---+=+--+-=-+-点拨：应用向量数乘的运算律，类似于多项式的运算展开合并即可．答案：（1）12a - ；（2）5b （3）52a b c -+- ．同类训练 化简：111(2)(32)()342a b a b a b ----- 【知识点】向量数乘的运算律【解题过程】111123111111(2)(32)()342334222123a b a b a b a b a b a b a b -----=--+-+=-+ ； 点拨：应用向量数乘的运算律，类似于多项式的运算展开合并即可． 答案：111123a b -+ 探究二 辨析定义，探究共线向量定理●活动① 由特例入手，发现共线向量定理请同学们观察a m n =- ，22b m n =-+ ，回答a 、b 有何关系？因为2b a =- ，所以a 、b 是平行向量.反之，若a 、b 是平行向量，能否得出b λa = ？为什么？可得出a λb = 吗？为什么？若,a b 都为非零向量可以！因为a 、b 都非零且平行，它们的方向相同或相反，可以相互用数乘向量进行表示.若0,0a b =≠ ，则不存在实数λ使得b a λ= ，仅能存在0λ=使得a b λ= .同理若0,0b a =≠ ，情况类似.由此可得向量平行的充要条件：向量b 与非零向量a 平行的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b λa = .对此定理的证明，可从两方面来说明：其一，若存在实数λ，使b λa = ，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知a λ 与a 平行，即b 与a 平行.其二，若b 与a 平行，且不妨令0a ¹ ，设||||b μa = ，接下来看a 、b 方向如何：①a 、b 同向，则b μa = ，②若a 、b 反向，则记b μa =- ，总而言之，存在实数λ（λμ=或λμ=-）使b λa = .【设计意图】通过由特殊到一般，探索发现共线向量基本定理，再用定义加以证明，符合科学探索发现的一般规律.●活动② 巩固理解，尝试应用判断三点之间的位置关系，主要看这三点是否共线.由于两点确定一条直线，如果能够判断第三点在这条直线上，那么就可以判断这三点共线.因此，借助共线向量基本定理，可以帮助我们判定三点是否共线.例2 如图：已知3AD AB = ，3DE BC = ，试判断AC 与AE 是否平行．【知识点】向量线性运算及共线向量基本定理【数学思想】数形结合【解题过程】∵333()3AE AD DE AB BC AB BC AC =+=+=+=∴AE 与AC 平行点拨：应用向量线性运算，判断向量是否具有线性相关性，从而判定是否平行.答案：AE 与AC 平行同类训练 如例2图，已知在△ADE 中，点B 、C 分别为边AD 、AE 的三等分点，试判断BC 与DE 是否平行?答案：BC ∥DE解析：【知识点】向量线性运算法则及共线向量定理【数学思想】数形结合 【解题过程】∵1111()3333BC AC AB AE AD AE AD DE =-=-=-= ， 又∵BC 与DE 不在同一条直线上∴BC ∥DE点拨：运用向量线性运算法则判定向量的线性关系，从而判定直线平行例3 如图,已知任意两个非零向量,a b ,试作,2,3OA a b OB a b OC a b =+=+=+ ，你能判断,,A B C 三点之间的位置关系吗？为什么？【知识点】向量线性运算及其几何意思、共线向量基本定理【数学思想】数形结合【解题过程】如图，分别作向量,,OA OB OC ，过点,A C 作直线AC ，观察发现，不论向量,a b 怎样变化,点B 始终在直线AC 上,猜想,,A B C 三点共线.事实上,因为2()AB OB OA a b a b b =-=+-+=而3()2AC OC OA a b a b b =-=+-+= 于是=2AB ，且它们有公共点A所以A 、B 、C 三点共线.点拨：先画图猜想，再通过向量线性运算，应用共线向量基本定理判定是否共线答案：A 、B 、C 三点共线 同类训练：设两个非零向量a 与b 不共线，若AB a b ＝＋，BC a b ＝2＋8，()CD a b ＝3-， 求证：A 、B 、D 三点共线；【知识点】共线向量基本定理【数学思想】数形结合【解题过程】∵AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB→、BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线．点拨：应用向量线性运算，判断向量是否具有线性相关性，从而判定是否平行.答案：A 、B 、D 三点共线；探究三 学以致用、用向量表示几何元素●活动 用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤，运用向量的线性运算法则，逐步尝试表示几何元素.例4 如图,ABCD 的两条对角线相交于点M,且AB a = ，AD b = ,你能用,a b 表示?MA MB MC MD 、、和吗答案：1122MA a b =-- ;1122MB a b =- ;1122MC a b =+ ;1122MD a b =-+ 解析：【知识点】向量线性运算法则及其运算律【数学思想】数形结合 【解题过程】在ABCD 中,∵AC AB AD a b =+=+ ,DB AB AD a b =-=-又∵平行四边形的两条对角线互相平分, ∴1111()2222MA AC a b a b =-=-+=-- ，1111()2222MB DB a b a b ==-=- 1111()2222MC AC a b a b ==+=+ ，111222MD MB DB a b =-=-=-+ 点拨：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则,将两个向量的和或差表示出来,这是解决这类几何题的关键.同类训练：在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE 等于( )A.2132AB AD + B.1223AB AD + C.5163AB AD + D.1536AB AD + 【知识点】向量线性运算法则及其运算律【数学思想】数形结合 【解题过程】∵23BC BA AD DC AB AD =++=-+ ∴11221()22332AE AB BE AB BC AB AD AB AB AD =+=+=+-=+ 点拨：结合向量加法的多边形法则和运算律,将两个向量的和或差表示出来,这是解决这类几何题的常用方法.答案：A3.课堂总结知识梳理（1）向量数乘的定义：一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a λ ，它的长度和方向规定如下： ①a a λλ= ；②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反.特别的：0λ=时，0a λ=（2）向量数乘的运算律：设,λμ为实数，那么：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③()a b a b λλλ+=+（3）共线向量基本定理：向量(0)a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= .重难点归纳（1）理解向量数乘的几何本质上就是将有向线段同向或反向伸长或压缩；（2）能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题．（三）课后作业基础型 自主突破 1．化简5(22)4(23)a b b a -+-= __________.答案：22a b --解析：【知识点】向量线性运算法则及其运算律【解题过程】5(22)4(23)101081222a b b a a b b a a b -+-=-+-=--点拨：运用向量线性运算法则展开、合并即可2．已知向量AB→＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线答案：B解析：【知识点】向量线性运算律及共线向量定理【解题过程】∵BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →， ∴BD→、AB →共线，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． 点拨：运用向量线性运算法则判定向量的线性关系，从而判定三点共线3．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB→＋FC →等于( ) A ．.BC→ B ．12AD →C ．AD→ D ．12BC →【知识点】向量线性运算法则与几何图形结合【数学思想】数形结合 【解题过程】∵EB EC CB =+ ,FC FB BC =+ ∴1122EB FC EC CB FB BC EC FB AC AB +=+++=+=+ 1()2AC AB AD =+= 点拨：利用向量线性运算法则表示有向线段，用到了三角形中线的向量表示答案：C4．在△ABC 中，AB→＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c答案：A解析：【知识点】向量线性运算法则与几何图形结合【解题过程】∵BD→＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋AB →，∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 点拨：利用向量线性运算法则表示有向线段，用到了三角形中线的向量表示5．在四边形ABCD 中，AB→＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对答案：C解析：【知识点】向量线性运算法则与平行向量判定【数学思想】数形结合【解题过程】由已知AD→＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →. ∴AD→∥BC →.又AB →与CD →不平行，∴四边形ABCD 是梯形． 点拨：分别判定四边形对边向量的平行关系、长度关系即可得解.能力型 师生共研6.已知和是不共线向量=t (t ∈R ),试用、表示.【知识点】三点共线的向量表示与用向量表示几何元素【数学思想】数形结合 【解题过程】由AP =t AB (t ∈R )知A 、B 、P 三点共线 ∴=+=+t ·=+t ·(-)=(1-t )·+t ·. 点拨：由向量运算法则，将依次用、表示出来即可.由此还可思考，在题目条件不变的前提下，能否用、来表示或者用、来表示呢？逐步层层递进，还可探索发现,,A B P 三点共线的充要条件是OP OA OB λμ=+ 且1λμ+=答案：(1t)OP OA tOB =-+7.在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠AC B.若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD→＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b【知识点】三角形角平分线定理的应用【数学思想】数形结合【解题过程】由内角平分线定理，得|CA||CB|＝|AD||DB|＝2.∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →＝23a ＋13b . 点拨：利用三角形角平分线定理得出线段比例关系，从而表示出向量答案：B8．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是该平面上不共线的三个点，一动点P 满足：OP→＝OA →＋λ(AB →＋AC→)，λ∈(0，＋∞)，则直线AP 一定通过△ABC 的( ) A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案：C解析：【知识点】三角形中线、重心的向量表示【数学思想】数形结合【解题过程】取BC 中点D.OP→＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，AP →＝2λAD →. ∴A ，P ，D 三点共线，∴AP 一定通过△ABC 的重心．点拨：OP OA AP -= ,2AB AC AD += ,从而得AP 与中线AD 共线9．已知O 为△ABC 内一点，且OA→＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是______．答案：1∶2解析：【知识点】用向量反映几何关系【数学思想】数形结合【解题过程】如图所示，取AC 中点D.∴OA→＋OC →＝2OD →. ∴OD →＝BO →. ∴O 为BD 中点，∴面积比为高之比点拨：由共线向量的关系反映线段长度关系，从而得面积比.探究型 多维突破1.凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F,求证:=21(+).答案：详见解题过程解析：【知识点】用向量证明几何问题【数学思想】数形结合【解题过程】（法一）过点C 在平面内作=则四边形ABGC 是平行四边形,故F 为AG 中点.(如图1)∴EF 是△ADG 的中位线.∴EF 21DG ；∴EF =21DG .而=+=+, ∴=21(+). （法二）如图2,连接EB 、EC,则有=+,=+,又∵E 是AD 之中点,∴有EA +ED =0, 即有EB +=AB +. 以与EC 为邻边作EBGC,则由F 是BC 之中点,可得F 也是EG 之中点. ∴=21EG =21(+EC )=21(+DC ). 点拨：能否构造三角形,使EF 作为三角形中位线,借助于三角形中位线定理解决,或创造相同起点,以建立向量间关系.从多角度观察思考问题，使问题得到解决.自助餐1．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：【知识点】共线向量的判定【解题过程】若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b ；若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．点拨：辨析共线向量的充要条件2．设a 是任一向量，e 是单位向量，且a ∥e ，则下列表示形式中正确的是( )A ．e ＝a aB ．a ＝a eC ．a ＝－a eD ．a ＝±a e答案：D解析：【知识点】单位向量的表示【解题过程】对于A ，当a ＝0时，a |a |没有意义，错误；对于B ，C ，D 当a ＝0时，选项B ，C ，D 都对；当a ≠0时，由a ∥e 可知，a 与e 同向或反向.点拨：向量平行，方向可相同亦可相反，同时注意零向量的特殊情况.3．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案：A解析：【知识点】向量表示几何元素【数学思想】数形结合【解题过程】∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.点拨：由BC →＝3CD →得点D 在BC 的延长线上，且3BC CD = ，再用向量表示即可4．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且32OA OB OP -=，则() A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上答案：B解析：【知识点】向量的线性运算与共线向量判定【数学思想】数形结合 【解题过程】33111()22222OA OB OP OA OB OA OA OB OA BA -==-=+-=+ 即12OP OA AP BA -== ，所以点P 在线段AB 的反向延长线上. 点拨：将32OA 拆分为12OA OA + 符合变形的需要，得到12AP BA = 5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB mAM = ，AC nAN = ，则m ＋n 的值为________．答案：2解析：【知识点】三点共线的充要条件【数学思想】数形结合 【解题过程】1()222m n AO AB AC AM AN =+=+ . ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2＝1.∴m ＋n ＝2.点拨：M,,N O 三点共线的充要条件是AO AM AN λμ=+ 且1λμ+=。
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