(完整版)向量的数乘运算练习题

人教版高中数学必修第二册6.2.3向量的数乘运算同步精练【考点梳理】考点一向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向当λ>0时，与a 的方向相同；当λ<0时，与a 的方向相反.特别地，当λ＝0时，λa ＝0.，当λ＝－1时，(－1)a ＝－a .考点二向量数乘的运算律1.(1)λ(μa )＝(λμ)a .(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa .(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .特别地，(－λ)a ＝－λa ＝λ(－a )，λ(a －b )＝λa －λb .2.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .考点三向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .【题型归纳】题型一：向量的线性运算1．（2021·山东邹城·高一期中）已知向量a ，b ，实数m ，n （0m ≠，0n ≠），则下列关于向量的运算错误的是（）A ．()m a b ma mb -=-B ．()m n a ma na -=-C ．若0ma =，则0a =D ．若ma na =，则m n=2．（2021·全国·高一课前预习）若a b c =+，化简()()()32232a b b c a b +-+-+的结果为（）A ．a-B ．4b-C ．cD ．a b-3．（2021·四川省蒲江县蒲江中学高一阶段练习）已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为（）①()m a b ma mb -=-；②()m n a ma na -=-；③若ma mb =，则a b =；④若ma na =，则m n =．A ．①④B ．①②C ．①③D ．③④题型二：平面向量的混合运算4．（2021·全国·高一课时练习）若O 为ABC 所在平面内一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形5．（2021·福建福州·高一期中）在五边形ABCDE 中EB a =，AD b =，M ，N 分别为AE ，BD 的中点，则MN =（）A ．3122a b+B ．2133a b+C ．1122a b+D ．3144a b+6．（2020·全国·高一课时练习）在△ABC 中，P ，Q 分别是边AB ，BC 上的点，且11,.33AP AB BQ BC ==若AB a =，AC b =，则PQ ＝（）A ．1133a b+B ．1133a b-+C ．1133a b-D ．1133a b--题型三：向量的线性运算的几何应用7．（2021·四川·宁南中学高一阶段练习（文））如图，ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确．．．的是（）A ．23BG BE =B ．12DG AG =；C ．121332DA FC BC +=uu u r uu u r uu u r D ．2CG FG=-8．（2021·四川资阳·高一期末）如图，在ABC 中，D 为线段BC 上一点，2CD DB =，E 为AD 的中点．若AE AB AC λμ=+，则λμ+=（）A ．14B ．13C ．12D ．239．（2021·内蒙古·林西县第一中学高一期中（文））已知点M 是ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且2EC AE =，则向量EM =（）A ．1123AC AB +B ．1162AC AB +C ．1126AC AB +D ．1263AC AB +题型四：三角形的心的向量表示10．（2021·陕西渭滨·高一期末）已知O 为三角形ABC 所在平面内一点，0OA OB OC ++=，则:OBCABCS S=（）A ．12B ．13C ．14D ．1511．（2021·山东师范大学附中高一期中）如图，O 是ABC 的重心，AB a =，AC b =，D 是边BC 上一点，且4BD DC =，则（）A ．271515OD a b =-+B ．271515OD a b =-C ．271515OD a b =--D ．271515OD a b =+12．（2021·全国·高一课时练习）已知点O 、N 、P 在ABC 所在平面内，且||||||OA OB OC ==，0NA NB NC ++=，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅uu u r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r，则点O 、N 、P 依次是ABC 的（）A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心【双基达标】一、单选题13．（2021·全国·高一课时练习）下列运算正确的个数是（）①()326a a -⋅=-；②()()223a b b a a +--=；③()()220a b b a +-+=．A ．0B ．1C ．2D ．314．（2021·全国·高一课时练习）已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足=+()OP OA AB AC λ→→→→+，()0,λ∈+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心15．（2021·全国·高一课时练习）若23AB BC =-，则下列各式中不正确的是（）．A ．32CB AB =B ．2BA AC=C ．13CA BC=-D ．12AC AB =16．（2021·上海·高一课时练习）已知平面上不共线的四点,,,O A B C ，若430OA OB OC -+=，则AB BC等于（）A ．13B ．12C ．3D ．217．（2021·全国·高一课时练习）设向量1OA e =，2OB e =，若1e 与2e 不共线，且点P 在线段AB 上，:2AP PB =，则OP =（）A ．121233e e -B ．122133e e +C ．121233e e +D ．122133e e -18．（2021·安徽·定远县育才学校高一阶段练习（文））下列叙述不正确的是（）A ．若,a b 共线，则存在唯一的实数λ，使λa b =．B ．3b a =(a 为非零向量)，则,a b 共线C ．若334,22m a b n a b =+=+，则//m nu r r D ．若0a b c ++=，则a b c+=-19．（2021·福建浦城·高一阶段练习）如图，在△ABC 中，AN ＝23NC ，P 是BN 上一点，若AP ＝t AB ＋13AC ，则实数t 的值为（）．A ．16B ．13C ．23D ．5620．（2021·云南隆阳·高一期中）已知在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，连接EF 交AC 于点M ，且满足4BE EA =，3AF FD =，23AM AB AC λμ=-，则1952λμ-=（）A ．-3B ．1C ．32-D ．1221．（2021·河南郑州·高一期末）已知ABC 的边BC 上有一点D 满足2BD DC →→=-，则AD →可表示为（）A ．2AD AB AC →→→=-+B ．1233AD AB AC →→→=+C ．2AD AB AC→→→=-D ．2133AD AB AC →→→=+22．（2021·江西宜春·高一期末）如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为()A ．19B ．13C ．1D ．3【高分突破】一：单选题23．（2021·全国·高一专题练习）已知点,O N 在△ABC 所在平面内，且||||||,0OA OB OC NA NB NC ==++=，则点,O N 依次是△ABC 的（）A ．重心外心B ．重心内心C ．外心重心D ．外心内心24．（2021·湖南·常德市第二中学高一期末）在等边ABC 中，点E 在中线CD 上，且6CE ED =，则AE =（）A ．1377AC AB +B ．13377AC AB -C ．3177AC AB +D ．31377AC AB -25．（2021·全国·高一课时练习）下列算式中，正确的个数为（）①()7642a a -⨯=-；②()2223a b a b a -++=；③()0a b a b +-+=.A ．0B ．1C ．2D ．326．（2021·江苏省梅村高级中学高一阶段练习）在ABC 中，E 为AB 边的中点，D 为AC 边上的点，BD ，CE 交于点F ．若3177AF AB AC =+，则 ACAD的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．527．（2021·全国·高一课时练习）设a ，b 都是非零向量.下列四个条件中，使||||a ba b =成立的条件是（）A ．a b =-B ．//a b r rC ．2a b=D ．//a b r r且=a b28．（2020·全国·高一）点M ，N ，P 在ABC 所在平面内，满足MA MB MC ++=0，|NA NB NC ==∣，且PA PB ⋅=PB PC PC PA ⋅=⋅，则M 、N 、P 依次是ABC 的（）A ．重心，外心，内心B ．重心，外心，垂心C ．外心，重心，内心D ．外心，重心，垂心二、多选题29．（2021·全国·高一课时练习）（多选）已知43AB AD AC -=，则下列结论正确的是（）A ．A ，B ，C ，D 四点共线B ．C ，B ，D 三点共线C ．||||AC DB =D ．||3||BC DB =30．（2021·浙江·嘉兴市第五高级中学高一阶段练习）下列说法错误的是（）A ．若//,//a b b c ，则//a cB ．若230OA OB OC ++=，AOCS，ABCS分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则:1:6AOC ABC S S =△△C ．两个非零向量,a b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．若向量a b ≠，则a 与b 一定不是共线向量31．（2021·河北承德第一中学高一阶段练习）对于非零向量a →，下列说法正确的是（）A ．2a →的长度是a →的长度的2倍，且2a →与a →方向相同B ．3a →-的长度是a →的长度的13，且3a →-与a →方向相反C ．若0λ=，则a λ→等于零D ．若1aλ→=，则a λ→是与a →同向的单位向量32．（2021·湖南·高一期末）已知ABC 的重心为G ，过G 点的直线与边AB ，AC 的交点分别为M ，N ，若AM MB λ=，且AMN 与ABC 的面积之比为920，则λ的可能取值为（）A ．43B ．32C ．53D ．333．（2021·福建三明·高一期中）八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论中正确的是（）A ．//AD BCuuu r uu u r B ．22OA OD ⋅=-C ．0=OB OD D ．22AF =-三、填空题34．（2021·全国·高一课时练习）已知D ，E ，F 分别为ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，BC a =，CA b =．给出下列五个命题：①AB a b =+uu u r r r ；②12BE a b =+；③1122CF a b =-+；④1122AF a b =--；⑤0AD BE CF ++=．其中正确的命题是________．（填序号）35．（2021·全国·高一课时练习）在平行四边形ABCD 中，12DE EC BF FC ==，，若AC =λA E +μAF ，其中λ，μ∈R ，则λ+μ=_______.36．（2021·上海大学附属南翔高级中学高一阶段练习）已知△ABC 中，点D 在边AB 上，且2BD DC =，设AB a =，BC b =，那么AD 等于________（结果用a 、b 表示）37．（2021·全国·高一课时练习）设平面内四边形ABCD 及任一点O ，,OA a OB b ==uu r r uu u r r ．,OC c OD d ==．若a c b d+=+r r r u r且||||a b a d -=-．则四边形ABCD 的形状是_________．四、解答题38．（2021·全国·高一课时练习）在四边形ABCD 中，已知2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，其中a ，b 是不共线的向量，试判断四边形ABCD 的形状．39．（2021·全国·高一课时练习）计算：（1）()()35326a b a b --+；（2）()()4352368a b c a b c -+---+．40．（2021·全国·高一课时练习）（1）已知32a i j →→→=+，2b i j →→→=-，求12(2)33a b a b b a →→→→→→⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）已知向量,a b →→，且52x y a →→→+=，3x y b →→→-=，求x →，y →.41．（2021·全国·高一课时练习）如图，在ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，23AE AD =，AB a =，AC b =．（1）用a ，b 表示AD ，A E ，AF ，BE ，BF ；（2）求证：B ，E ，F 三点共线．42．（2021·全国·高一课时练习）如图，在ABC 中，D 是BC 边上一点，G 是线段AD 上一点，且2AG BDDG CD==，过点G 作直线与AB ，AC 分别交于点E ，F .（1）用向量AB ，AC 表示AD .（2）试问2AB AC AE AF+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案详解】1．D 【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.【详解】由题意，向量a ，b ，实数m ，n （0m ≠，0n ≠），由向量的运算律可得，()m a b ma mb -=-，故选项A 正确；由向量的运算律可得，()m n a ma na -=-，故选项B 正确；若0ma =，因为0m ≠，则0a =，故选项C 正确；当0a =时，ma na =，此时m 和n 不一定相等，故选项D 错误．故选：D ．2．A 【分析】根据已知条件结合a b c =+，利用向量的线性运算即可求解.【详解】()()()32232a b b c a b+-+-+366222a b b c a b=+----()2222a b c b c b c b c a =--=+--=-+=-，故选：A.3．B 【分析】①②结合平面向量的数乘运算即可判断，③④举出反例即可说明.【详解】对于①：根据数乘向量的法则可得：()m a b ma mb -=-，故①正确；对于②：根据数乘向量的法则可得：()m n a ma na -=-，故②正确；对于③：由ma mb =可得()0m a b -=，当m ＝0时也成立，所以不能推出a b =，故③错误；对于④：由ma na =可得()0m n a -=，当0a =，命题也成立，所以不能推出m ＝n .故④错误；故选：B4．A 【分析】利用向量运算化简已知条件，由此确定正确选项.【详解】依题意()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，()0CB OB OA OC OA ⋅-+-=,()()220AB AC AB AC AB AC -⋅+=-=，所以AB AC c b =⇒=，所以三角形ABC 是等腰三角形.故选：A 5．C 【分析】由向量的加法运算得到MN MA AB BN =++，进而利用中点的条件，转化为向量的关系，化简整理即得.【详解】12MN MA AB BN EA AB =++=++12BD()()1122EA AB AB BD =+++12EB =+111222AD a b =+,故选：C 6．A 【分析】由已知得到11,.33AP AB BQ BC ==利用PB AB AP =-，得到23PB AB =，利用PQ PB BQ =+及BC AC AB =-和平面向量的线性运算法则运算即得.【详解】由已知可得11,.33AP AB BQ BC ==1233PB AB AP AB AB AB =-=-=，()2121111133333333PQ PB BQ AB BC AB AC AB AB AC a b =+=+=+-=+=+.故选：A.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，是基础题，只要熟练掌握平面向量的加减数乘运算法则,并注意将有关向量转化为基底向量表示，即可得解.7．B【分析】利用向量运算对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】依题意ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，所以G 是三角形ABC 的重心.所以23BG BE =，A 选项正确.12DG AG =-，B 选项错误.121332DA FC DG GC DC BC +=+==，C 选项正确.2CG FG =-，D 选项正确.故选：B8．C【分析】根据平面图形的性质以及平面向量的基本定理和线性运算，对应系数相等即可求出λμ，的值，进而求出结果.【详解】因为D 为线段BC 上一点，2CD DB =，所以2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，且E 为AD 的中点，所以112111223336AE AD AB AC AB AC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，又因为AE AB AC λμ=+，因此1136λμ==，，所以12λμ+=，故选：C.9．B【分析】根据向量的加法运算可得EM EC CM =+和减法运算可得CB AB AC =-，结合条件,可得答案.【详解】由2EC AE =，则23EC AC =则()212113231622EM EC CM AC CB A AB AC AB A C C =+=+=+=-+故选：B10．B【分析】题目考察三角形四心的问题，易得：O 为三角形的重心，位于中线的三等分点处，从而求出三角形面积的比例关系【详解】如图所示，由0OA OB OC ++=得：O 为三角形ABC 的重心，是中线的交点，且23AO AD =，所以，1:3OBC ABC h h =，底边为BC ，所以，1::3OBC ABC OBC ABC h SS h ==故选：B11．A【分析】由O 是ABC 的重心，可知()13OB BA BC =-+，又OD OB BD =+,45BD BC =,BC AC AB =-，化简即可.【详解】由O 是ABC 的重心，可知()13OB BA BC =-+，又OD OB BD =+,45BD BC =,BC AC AB =-,故()141735315OD OB BD BA BC BC BA BC =+=-++=-+()17272731515151515AB AC AB AB AC a b =+-=-+=-+，故选：A.12．C【分析】由||||||OA OB OC ==知O 是ABC 的外心；利用共起点向量加法将0NA NB NC ++=变形为共线的两向量关系，得到N 点在中线上的位置，从而判断为重心；由PA PB PB PC ⋅=⋅移项利用向量减法变形为0PB CA ⋅=，得出PB 为CA 边上的高，同理得PC 为AB 边上的高，故为垂心.【详解】||||||OA OB OC ==，则点O 到ABC 的三个顶点距离相等，∴O 是ABC 的外心.0NA NB NC ++=，NA NB NC ∴+=-，设线段AB 的中点为M ，则2NM NC =-，由此可知N 为AB 边上中线的三等分点(靠近中点M )，所以N 是ABC 的重心.PA PB PB PC ⋅=⋅，()0PB PA PC PB CA ∴⋅-=⋅=.即PB CA ⊥，同理由PB PC PC PA ⋅=⋅，可得PC AB ⊥.所以P 是ABC 的垂心.故选：C.【点睛】关于ABC 四心的向量关系式：O 是ABC 的外心||||||OA OB OC ⇔==222OA OB OC ⇔==；O 是ABC 的重心0OA OB OC ⇔++=；O 是ABC 的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅；O 是ABC 的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.(其中a b c 、、为ABC 的三边)13．C【分析】利用平面向量的加法，减法，数乘运算及其运算律判断.【详解】①()326a a -⋅=-，由数乘运算知正确；②()()223a b b a a +--=，由向量的运算律知正确；③()()220a b b a +-+=，向量的加法，减法和数乘运算结果是向量，故错误.故选：C14．C【分析】取BC 的中点D ，由已知条件可知动点P 满足=+()OP OA AB AC λ→→→→+，()0,λ∈+∞，易得2AP AD λ→→=，则点,,A D P 三点共线，进而得到点P 的轨迹一定通过ABC 的重心.【详解】解：设D 为BC 的中点，则=+()2OP OA AB AC OA AD λλ→→→→→→+=+，则2OP OA AD λ→→→-=，即2AP AD λ→→=，,,A D P ∴三点共线，又因为D 为BC 的中点，所以AD 是边BC 的中线，所以点P 的轨迹一定通过ABC 的重心.故选：C.15．D【分析】根据向量的数乘的定义判断．【详解】如图，由23AB BC =-知C 在BA 延长线上，且12AC AB =，因此由向量数乘定义知ABC 三个选项均正确，D 错误．故选：D ．16．C【分析】由已知可得()3OA OB OB OC --=，即3AB BC -=-，从而可得答案.【详解】解：由430OA OB OC -+=，得()3OA OB OB OC --=，即3AB BC -=-，所以3AB BC =，即3AB BC =，故选：C.17．C【分析】根据向量线性关系的几何意义得到,,OP OA OB 的线性关系，即可知正确选项.【详解】由2,,3OP OA AP AP AB AB OB OA =+==-，∴121122212()()3333OP OA OB OA e e e e e =+-=+-=+.故选：C18．A【分析】选项A ：要注意0b =时不成立；选项B ：由3b a =得到,a b 方向相同，从而得到,a b 共线；选项C ：由条件得到2m n =，从而//m n u r r ；选项D ：通过移项可知选项D 显然正确.【详解】选项A ：当0b =时，满足,a b 共线，但不满足存在唯一的实数λ，使λa b =成立，此时不存在实数λ，使λa b =成立，所以选项A 错误；选项B ：若3b a =，则,a b 方向相同，所以,a b 共线，所以选项B 正确；选项C ：因为3342222m a b a b n ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以//m n u r r ，所以选项C 正确；选项D ：若0a b c ++=，则a b c +=-，选项D 正确.故选：A ．19．A【分析】由向量的线性运算可得56AP t AB AN =+，再由平面向量共线定理的推论即可得解.【详解】因为AN 23NC =，所以25AN AC =，所以AP =t AB 11553326AC t AB AN t AB AN +=+⨯=+，又P 是BN 上一点，所以516t +=，解得16t =.故选：A.20．D【分析】因为E ，F ，M 三点共线，故可考虑将AM 用,AE AF 表示，再结合三点共线满足的性质计算即可【详解】因为AC AB AD =+，所以2323()(23)3AM AB AC AB AB AD AB AD λμλμλμμ=-=-+=--.因为4BE EA =，3AF FD =，故45,3AB AE AD AF ==,所以5(23)4AM AE AF λμμ=--.因为E ，F ，M 三点共线，所以4(2)531λμμ--=，10191λμ-=，所以191522λμ-=.故选：D21．A【分析】由已知得出向量BC 与向量BD 的关系，再利用平面向量基本定理即可求解．【详解】因为ABC 的边BC 上有一点D 满足2BD DC →→=-，所以2BD CD →→=，则12BC BD DC BD →→→→=+=，所以22()2AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC →→→→→→→→→→=+=+=+-=-+，故选：A22．A【分析】利用向量的线性运算将条件2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭化为89AP mAB AN =+，再根据B 、P 、N 三点共线，得出819m +=，解得19m =.【详解】由题意可知，13AN NC =，所以4AC AN =，又29AP mAB AC =+，即89AP mAB AN =+.因为B 、P 、N 三点共线，所以819m +=，解得19m =.故选：A ．23．C【分析】由外心O 到三角形顶点距离相等、重心N 的性质：2NB NC ND +=且2AN ND =，结合题设即可判断,O N 是△ABC 的哪种心.【详解】∵||||||OA OB OC ==，∴O 到△ABC 的三个顶点的距离相等，故O 是△ABC 的外心，如下图，若N 是△ABC 三条中线的交点，AD 是BC 上的中线，∴2NB NC ND +=，又2AN ND =，∴0NA NB NC ++=，故题设中的N 是△ABC 的重心.故选：C24．A【分析】利用向量的加、减以及数乘运算即可求解.【详解】因为66()77AE AC CE AC CD AC AD AC =+=+=+-，12AD AB =，所以1377AE AC AB =+.故选：A25．C【分析】由平面向量的线性运算和数乘运算可判断①②③的正误.【详解】对于①，()7642a a -⨯=-，①正确；对于②，()2223a b a b a -++=，②正确；对于③，()0a b a b +-+=，③错误.故选：C.26．C【分析】设AC AD λ=，可得3177AF AB AD λ=+，由B ，F ，D 三点在同一条直线上，可求得λ的值，即可得解．【详解】设AC AD λ=，因为3177AF AB AC =+，所以3177AF AB AD λ=+，因为B ，F ，D 三点在同一条直线上，所以31177λ+=，所以4λ=，所以4AC AD=．故选：C27．C【分析】根据a a 、b b 的含义，逐一分析选项，即可得答案.【详解】aa 、b b 分别表示与a 、b 同方向的单位向量，对于A ：当a b =-r r 时，a b a b=-，故A 错误；对于B ：当//a b r r 时，若,a b 反向平行，则单位向量方向也相反，故B 错误；对于C ：当2a b =时，22a bba b b ==，故C 正确；对于D ：当//a b r r 且=a b 时，若a b =-r r 满足题意，此时a b a b=-，故D 错误.故选：C28．B【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案．【详解】解：0MA MB MC ++=，∴MA MB MC +=-，设AB 的中点D ，则2MA MB MD +=，C ∴，M ，D 三点共线，即M 为ABC ∆的中线CD 上的点，且2MC MD =．M ∴为ABC 的重心．||||||NA NB NC ==，||||||NA NB NC ∴==，N ∴为ABC 的外心；PA PB PB PC =，∴()0PB PA PC -=，即0PB CA =，PB AC ∴⊥，同理可得：PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴为ABC 的垂心；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题．29．BD【分析】由43AB AD AC -=可得3DB BC =，从而可对ABD 进行判断，再对43AB AD AC -=变形化简可对C 进行判断【详解】因为43AB AD AC -=，所以33AB AD AC AB -=-，所以3DB BC =，因为,DB BC 有公共端点B ，所以C ，B ，D 三点共线，且||3||BC DB =，所以BD 正确，A 错误，由43AB AD AC -=，得333AC AB AD AB DB AB =-+=+，所以||||AC DB ≠，所以C 错误，故选：BD30．AD【分析】A 向量平行传递性的前提是都为非零向量；B 若,D E 分别是,AC BC 的中点，结合已知得2OE OD =-，再过,,E O B 作AC 上的高，由线段比例确定高的比例关系即可；C 由向量反向共线的性质即可判断；D 根据共线向量的定义即可判断.【详解】A ：如果,a c 都是非零向量，而0b =，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，错误；B ：若,D E 分别是,AC BC 的中点，由题设有()()20OA OC OB OC +++=，即420OD OE +=，2OE OD =-，所以,,O D E 三点共线且2OE OD =，过,,E O B 作AC 上的高123,,h h h ，易知211311,32h h h h ==，则2316h h =，所以:1:6AOC ABC S S =△△，正确；C ：两个非零向量,a b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，正确；D ：若向量a b ≠，则a 与b 可能是共线向量，如相反向量，错误.故选：AD31．ABD【分析】对于选项ABD 可以直接利用向量和数乘向量的定义判断，对于选项C ，a λ等于零向量，不是零，故C 错误.【详解】解：对于A ：2a →的长度是a →的长度的2倍，且2a →与a →方向相同，故A 正确；对于B ：3a →-的长度是a →的长度的13，且3a →-与a →方向相反，故B 正确；对于C ：若0λ=，则a λ→等于零向量，不是零，故C 错误；对于D ：若1a λ→=，则a λ→是与a →同向的单位向量，故D 正确.故选：ABD32．BD【分析】设AC t AN =，利用重心的性质，把AG 用AM 、AN 表示，再由M ，G ，N 三点共线得关于λ，t 的方程，再由三角形面积比得关于λ，t 的另一方程，联立即可求得实数λ的值．【详解】解：如图，()AM MB AB AM λλ==-，1AM AB λλ∴=+，即1AB AM λλ+=，设AC t AN =，则11()333t AG AB AC AM AN λλ+=+=+，M G N 、、三点共线，1=133t λλ+∴+，12t λ∴=-，所以12AC AN λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，AMN ∴与ABC 的面积之比为920，191sin sin 2202AM AN A AB AC A ∴=⨯⨯，即112029λλλ+⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22990λλ-+=，解得32λ=或3.故选：BD33．ABC【分析】结合正八边形的特点，分为8个全等的三角形，将圆周角分为8份，每个圆心角为4π.结合向量的计算法则，即可得出结果.【详解】A.正八边形ABCDEFGH 中，//AD BC ，那么//AD BC uuu r uu u r ，故A 对； B.32cos 42OA OD OA OD π⋅=⋅=-，故B 对；C.OB 与OD uuu r 夹角为2π，故0=OB OD ，故C 对； D.222()222AF OF OA OF OA OF OA OF OA =-=-=+-⋅=+，故D 错；故选：ABC34．②③④⑤【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：因为BC a =，CA b =，所以()AB AC CB CA BC a b =+=-+-=--uu u r uuu r uu r uu r uu u r r r ，1122BE BC CE BC CA a b =+=+=+，()11112222CF CA AF CA AB b a b a b =+=+=+--=-+，()11112222AF AB a b a b ==--=--，()()()111222AD BE CF AB AC BA BC CA CB ++=+++++()()11022AB AC BA BC CA CB AB AC AB BC AC BC =+++++=+-+--=，即0AD BE CF ++=，即正确的有：②③④⑤故答案为：②③④⑤35．75【分析】利用向量的加减法及数乘化简可得AC =32AB AD λμμλ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又AC AB AD =+计算即可.【详解】由平面向量的加法运算，有AC AB AD =+.因为AC =λA E +μAF =λ(AD DE +)+μ(AB BF +)=λ13AD AB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+μ12AB AD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=32AB AD λμμλ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以32AB AD AB AD λμμλ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1312λμμλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得3545λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，故答案为：75或1.236．23a b +【分析】根据AD AB BD =+以及23BD BC =进行线性运算，由此可求得AD 的表示.【详解】因为23AD AB A D BC B B ==++，所以23AD a b =+，故答案为：23a b +.37．菱形【分析】由a c b d +=+r r r u r 易得BA CD =，即ABCD 为平行四边形，再由||||a b a d -=-即可判断ABCD 的形状.【详解】由a c b d +=+r r r u r 得a b d c -=-r r u r r ，即OA OB OD OC -=-，∴BA CD =，于是AB 平行且等于CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，又||||a b a d -=-，从而||||OA OB OA OD -=-，∴||||BA DA =，即四边形ABCD 为菱形．故答案为：菱形38．四边形ABCD 是梯形【分析】根据共面向量基本定理可知，2(4)2AD AB BC CD a b BC =++=--=，即可判断四边形形状.【详解】如图所示，2453822(4)AD AB BC CD a b a b a b a b a b =++=+----=--=--，所以2AD BC =，即//AD BC ，且2AD BC =.所以四边形ABCD 是梯形.39．（1）311a b-（2）104a c+【分析】(1)利用向量运算律可化解合并(2)利用向量运算律可化解合并（1）原式=()()35326=159122=311a b a b a b a b a b --+----（2）原式=()()4352368=4122061216=104a b c a b c a b c a b c a c-+---+-+++-+40．（1）-53i →-5j →；（2）311a →-511b→.【分析】(1)利用向量的数乘及加减法计算即可；（2）解方程即可得出结果.【详解】解(1)原式12(2)33a b a b b a →→→→→→⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1113⎛⎫-- ⎪⎝⎭a →+2123⎛⎫-++ ⎪⎝⎭b →=-53a →+53b →.∵32a i j →→→=+，2b i j →→→=-，∴原式=-53(3i →+2j →)+53(2i →-j →)=1053⎛⎫-+ ⎪⎝⎭i →+10533⎛⎫-- ⎪⎝⎭j →=-53i →-5j →.(2)将3x →-y →=b →两边同乘2，得6x →-2y →=2b →.与5x →+2y →=a →相加，得11x →=a →+2b →，∴x →=111a →+211b→.∴y →=3x →-b →=3121111a b →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭-b →=311a →-511b →..41．（1）答案见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可求解；（2）利用平面向量共线定理可得求证.【详解】（1）如图，延长AD 到点G ，使2AG AD =，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ，则AB AC A a G b =+=+，因为D 是BC 的中点，所以()1122AD AG a b ==+，()2133AE AD a b ==+，因为F 是AC 的中点，所以1122==AF AC b ，()()11323a b a b B a E AE AB =-=+-=-，()11222BF AF AB b a b a =-=-=-；（2）由（1）知，()123BE b a =-，()122b a BF =-，所以23BE BF =，所以BE ，BF 共线，又BE ，BF 有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．42．（1）1233AD AB AC =+；（2）是定值，定值为92.【分析】（1）结合图形利用向量的加法运算求解；（2）设AB AE λ=，AC AF μ=，则22AB AC AE AF λμ+=+，然后根据题意将AG 用,AB AC 表示出来，从而可用,AE AF 表示，再由,,E F G 三点共线可得结论【详解】解：（1）A AB BDD =+23AB BC =+()23AB BA AC =++1233AB AC =+.（2）设AB AE λ=，AC AF μ=，则22AB AC AE AF λμ+=+，因为2AG BD DG CD==所以23AG AD =uuu r uuu r 212333AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2499AB AC =+2499AE AF λμ=+，所以24199λμ+=，即922λμ+=，故292AB AC AE AF +=为定值.。

第六章 6.2.3向量的数乘运算【基础篇】题型1 向量的数乘的定义与运算法则 1．已知λ∈R ，则下列结论正确的是( ) A ．|λa |＝λ|a | B ．|λa |＝|λ|a C ．|λa |＝|λ||a |D ．|λa |>02．若a ，b 为已知向量，且 23(4a －3c )＋3(5c －4b )＝0，则c ＝________.题型2 向量的数乘的应用3．如图，在△ABC 中，D 是边BC 的中点，AG →＝2GD →，则用向量AB →，AC →表示BG →为( )A .BG →＝－23AB →＋13AC →B .BG →＝－13AB →＋23AC →C .BG →＝23AB →－13AC →D .BG →＝23AB →＋13AC →4．如图，在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，DC 的中点，AD →＝m ，BC →＝n ，则EF →＝( ) A .12m ＋12n B .23m ＋13n C.34m ＋14nD .13m ＋23n题型3 向量共线的判定5．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，且a ，b 不共线，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线6．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O.若2OA →＋3OC →＝2OD →＋3OB →，则四边形ABCD 一定是( ) A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．菱形7．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，其中e 1，e 2不共线．问是否存在实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？题型4 向量共线定理的应用8．如图，在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是BN 上一点．若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A .911B .211C .311D .1119．在△ABC 中，点D 在边BC 的延长线上，且BC →＝3CD →.若AO →＝xAB →＋(1－x)AC →，－13<x<0，则点O 在( ) A ．线段BC 上 B ．线段CD 上 C ．线段AC 上D ．线段AD 上10．在△ABC 中，点D 满足AD →＝16AB →＋12AC →，直线AD 与BC 交于点E ，则|CE →||CB →|的值为( ) A .12 B .13 C .14D .1511．设e 1，e 2是空间内两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋ke 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k ＝________．【提升篇】1．在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，则( ) A .AO →＝AB →＋AD → B .AO →＝12(AB →＋AD →)C .AO →＝AB →－AD → D .AO →＝12(AB →－AD →)2．已知向量a ，b 不共线．若向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，则λ的值为( ) A ．1 B ．0C ．－1D ．±13．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，已知PTAP ＝5－12，则( )A .CT →＝3－52CA →＋3－52CE →B .CT →＝5－12CA →＋5－12CE →C .CT →＝3－54CA →＋3－54CE →D .CT →＝3－54CA →＋5－12CE →4．已知O 是平面内一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心5．(多选)[重庆南开中学2022质量检测]已知点P 是△ABC 的中线BD 上一点(不包含端点)且AP →＝xAB →＋yAC →，则下列说法正确的是( ) A ．x ＋2y ＝1B ．2x ＋y ＝1C ．2x ＋4y ≥2 2D ．log 2x ＋log 2y≥－36．(多选)[山东师范大学附属中学2022高一月考]已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且PA →＋2PB →＋3PC →＝0.若E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．向量PA →与PC →可能平行 B ．点P 在线段EF 的延长线上 C ．点P 在线段EF 上 D ．PE ∶PF ＝2∶17．已知M 是△ABC 所在平面内的一点．若满足6AM →－AB →－2AC →＝0，且S △ABC ＝λS △ABM ，则实数λ的值是________．8．[山东历城二中、章丘四中等校2022高一联考]在△ABC 中，点P 满足BP ＝2PC ，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AB →＝λAM →，AC →＝μAN →(λ>0，μ>0)，求1λ＋1μ的最小值．9．已知e 1，e 2是平面上两个不共线的向量，且AB →＝k e 1－4e 2，CD →＝－e 1＋k e 2，BD →＝e 1＋2e 2.(1)若AB →，CD →方向相反，求k 的值； (2)若A ，C ，D 三点共线，求k 的值．答案及解析1.【答案】C【详解】当λ<0时，|λa |＝λ|a |不成立，A 错误；|λa |是一个非负实数，而|λ|a 是一个向量，B 错误；当λ＝0或a ＝0时，|λa |＝0，D 错误．故选C. 2.【答案】1213b －839a【详解】∵23(4a －3c )＋3(5c －4b )＝0，∴83a －2c ＋15c －12b ＝0，化简得13c ＝12b －83a ，∴c ＝1213b －839a . 3.【答案】A【详解】由题意可得BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋23AD →＝BA →＋23×12(AB →＋AC →)＝BA →＋13AB →＋13AC →＝13AC→－23AB →.故选A. 4.【答案】A【详解】由已知可得CF →＋DF →＝0，EA →＋EB →＝0，由平面向量的加法可得⎩⎪⎨⎪⎧EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →，上述两个等式相加可得2EF →＝AD →＋BC →＝m ＋n ，则EF →＝12(m ＋n )．故选A. 5.【答案】B【详解】∵AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，且a ，b 不共线，∴BD →＝BC →＋CD →＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b .∵AB →＝a ＋5b ，∴BD →＝AB →，即BD →与AB →共线，则A ，B ，D 三点共线，故选B. 6.【答案】B【详解】∵2OA →＋3OC →＝2OD →＋3OB →，∴2(OA →－OD →)＝3(OB →－OC →)，∴2DA →＝3CB →，∴四边形ABCD 一定是梯形．故选B.7.【答案】由题意得d ＝λa ＋μb ＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2， 若d 与c 共线，则存在实数k ≠0，使d ＝kc ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2ke 1－9ke 2，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，解得λ＝－2μ. 故存在实数λ，μ，且λ＝－2μ，使d 与c 共线． 8.【答案】D【详解】由题意可得AC →＝5AN →，则AP →＝mAB →＋211×5AN →＝mAB →＋1011AN →.因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋1011＝1，即m ＝111.9.【答案】B【详解】由向量共线定理可知O ，B ，C 三点共线． ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3AD →－3AC →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.又∵－13<x <0，∴点O 在线段CD 上，且不与C ，D 两点重合．10.【答案】C【解析】设AE →＝λAD →＝λ6AB →＋λ2AC →，则CE →＝AE →－AC →＝λAD →－AC →＝λ6AB →＋λ2AC →－AC →＝λ6AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2－1AC →， CB →＝AB →－AC →，且CE →，CB →共线，设CE →＝kCB →， 则λ6AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2－1AC →＝k (AB →－AC →)， 所以⎩⎨⎧λ6＝k ，λ2－1＝－k ，所以λ6＝1－λ2，解得λ＝32，此时CE →＝14AB →－14AC →，所以CE →＝14CB →，故|CE →||CB →|＝14.故选C. 11.【答案】1【详解】依题意，CD →＝e 1＋2e 2， 故AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝7e 1＋(k ＋6)e 2. 已知A ，B ，D 三点共线，可设AD →＝λAB →， 则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋ke 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧7＝λ，k ＋6＝kλ，解得k ＝1.1.【答案】B【详解】如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，由平行四边形法则得AB →＋AD→＝AC →＝2AO →，所以AO →＝12(AB →＋AD →)．故选B.2.【答案】C【详解】∵向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，∴(a ＋λb )∥(b ＋λa )．由向量共线的充要条件可知，存在一个实数m ，使得a ＋λb ＝m (b ＋λa )，即(1－mλ)a ＝(m －λ)b .∵a 与b 不共线，∴1－mλ＝m －λ＝0，可得m ＝λ.∴1－λ2＝0，λ＝±1.当λ＝1时，向量a ＋b 与b ＋a 是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去．∴λ＝－1.3.【答案】A【详解】设AP ＝1，则PT ＝5－12＝TS ，CP ＝1＋5－12＝5＋12＝CS ， CT →＝CA →＋AT →＝CA →＋25－1TS →＝CA →＋25－1(CS →－CT →)＝CA →＋25－1(1＋5－122＋5－12CE →－CT →)＝CA→＋CE →－5＋12CT →，所以5＋32CT →＝CA →＋CE →，所以CT →＝3－52CA →＋3－52CE →. 故选A. 4.【答案】B【详解】AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，设∠BAC 的平分线为AD ，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为AD → 的方向． 又∵λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在射线AD 上移动． ∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心． 5.【答案】AC【详解】因为AP →＝xAB →＋yAC →，所以AP →＝xAB →＋2yAD →.又B ，P ，D 三点共线，所以x ＋2y ＝1，所以选项A 正确，选项B 错误．x ＋2y ＝1，所以2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥2 2x ·22y ＝2 2x＋2y＝2 2(当且仅当x ＝12，y ＝14时等号成立)，所以选项C 正确．因为x ＋2y ＝1≥2 2xy ，所以xy ≤18⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝12，y ＝14时等号成立， 所以log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )≤log 218＝－3，所以选项D 错误．故选AC. 6.【答案】CD【详解】点P 为△ABC 所在平面内一点，E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则P A →＋PC →＝2PE →，PB →＋PC →＝2PF →，而P A →＋2PB →＋3PC →＝0，即(PA →＋PC →)＋2(PB →＋PC →)＝0，于是得2PE →＋4PF →＝0，即EP →＝2PF →，所以点P 在线段EF 上，且PE ∶PF ＝2∶1，即点P ，A ，C 不共线，则向量PA →与PC →不可能平行，A 不正确，B 不正确，C 正确，D 正确．故选CD .7.【答案】3【详解】如图，记2AM →＝AN →.∵AN →－AB →＋2AN →－2AC →＝0， ∴BN →＝2NC →，S △ABC ＝32S △ABN .又∵S △ABM ＝12S △ABN ，∴S △ABC ＝3S △ABM ，∴λ＝3.8.【答案】【详解】连接AP ，如图．∵△ABC 中，BP →＝BA →＋AP →，PC →＝PA →＋AC →， 点P 满足BP →＝2PC →， ∴－AB →＋AP →＝2(AC →－AP →)， ∴AP →＝23AC →＋13AB →.又∵AB →＝λAM →，AC →＝μAN →(λ>0，μ>0)， ∴AP →＝2μ3AN →＋λ3AM →.又∵M ，P ，N 三点共线， ∴2μ3＋λ3＝1，λ>0，μ>0， ∴1λ＋1μ＝⎝⎛⎭⎫1λ＋1μ·⎝⎛⎭⎫2μ3＋λ3＝2μ3λ＋λ3μ＋1≥2 2μ3λ·λ3μ＋1＝2 23＋1, 当且仅当2μ3λ＝λ3μ，即⎩⎪⎨⎪⎧μ＝3（2－2）2，λ＝3（2－1） 时取“＝”，则1λ＋1μ的最小值为2 23＋1. 9.【答案】(1)由题意知，AB →∥CD →，则存在λ∈R ，使得AB →＝λCD →，即k e 1－4e 2＝λ(－e 1＋k e 2)，整理得(k ＋λ)e 1＝(kλ＋4)e 2. 由e 1，e 2是不共线的向量，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋λ＝0，kλ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，k ＝2. 又AB →，CD →方向相反，则λ＝－2，k ＝2，故k 的值为2.(2)由题意知，AD →＝AB →＋BD →＝(k ＋1)e 1－2e 2.由A ，C ，D 三点共线得，存在μ∈R ，使得AD →＝μCD →，即(k ＋1)e 1－2e 2＝μ(－e 1＋k e 2)，整理得(k ＋μ＋1)e 1＝(kμ＋2)e 2. 由e 1，e 2是不共线的向量，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋μ＋1＝0，kμ＋2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，μ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，μ＝1.综上，k ＝1或k ＝－2.。

向量数乘和线性运算精选题32道附参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，，，若，则的值为（）A．﹣3B．3C．2D．﹣23．如图，若＝，＝，＝，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是（）A．＝﹣B．＝+C．＝﹣D．＝+4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心5．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则λ•μ等于（）A．B．C．D．6．已知点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，＝，则实数m为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣47．在平行四边形ABCD中，＝，＝，若E是DC的中点，则＝（）A．B．C．﹣+D．﹣+8．已知D为△ABC所在平面内一点，3＝，则＝（）A．﹣+B．+C．﹣D．+9．在△ABC中，，则＝（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，，，BE和CD相交于点F，则向量等于（）A．B．C．D．11．△ABC中，AB＝6，BC＝8，AB⊥BC，M是△ABC外接圆上一动点，若＝λ+μ，则λ+μ的最大值是（）A．1B．C．D．212．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|+|＝|﹣|，则||＝（）A．8B．4C．2D．1二．多选题（共4小题）（多选）13．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若＝，则点M是边BC的中点B．若＝，则点M在边BC的延长线上C．若＝，则点M是△ABC的重心D．若＝，且x+y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的（多选）14．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），则下列说法正确的有（）A．若λ+μ＝1且λ＞0，则点P在线段BC的延长线上B．若λ+μ＝1且λ＜0，则点P在线段BC的延长线上C．若λ+μ＞1，则点P在△OBC外D．若λ+μ＜1，则点P在△OBC内（多选）15．已知正方形ABCD的边长为2，向量，满足，，则（）A．B．C．D．（多选）16．下列四式可以化简为的是（）A．+（）B．（）+（）C．+D．三．填空题（共12小题）17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，•＝﹣，则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则•的最小值为．18．已知O在△ABC内，且S△AOB：S△BOC：S△AOC＝4：3：2，，则λ+μ＝19．已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是．20．在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AD＝DB，BE＝2EC，记，＝，若，则x+y的值为．21．在四边形ABCD中，AB＝6，若，则＝．22．已知△ABC的一内角，AB＝10，AC＝6，O为△ABC所在平面上一点，满足|OA|＝|OB|＝|OC|，设＝m+n，则m+3n的值为．23．在直角坐标系中，O为原点，，则x+y＝．24．已知，，，则＝．25．已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q．若＝，则当ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为．26．如图，给定单位向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的上运动．若，其中x，y∈R，则x+2y的最大值是．27．已知点O是△ABC内部一点，并且满足，△BOC的面积为S1，△ABC 的面积为S2，则＝．28．设λ是正实数，三角形ABC所在平面上的另三点A1，B1，C1满足：＝λ（+），＝λ（+），＝λ（+），若三角形ABC与三角形A1B1C1的面积相等，则λ的值为．四．解答题（共4小题）29．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，AE＝EC，AD，BE交于点F，设＝，＝．（1）用，分别表示向量，；（2）若＝t，求实数t的值．30．如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M，设，．（1）试用向量，表示；（2）过点M作直线EF，分别交线段AC，BD于点E，F．记，，求证：为定值．31．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O 交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当•＝﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||＝||恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．32．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点．（1）若点O满足，求证：；（2）已知E为AC边中点，O在线段DE上，且满足，△BOC的面积为2，求△ABC的面积．向量数乘和线性运算精选题32道参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由可知，＝﹣＝﹣＝﹣++＝，故选：C．2．如图，在△ABC中，，，若，则的值为（）A．﹣3B．3C．2D．﹣2【解答】解：∵＝+，＝＝（﹣）＝﹣＝×﹣＝﹣，∴＝+（﹣）＝+；又＝λ+μ，∴λ＝，μ＝；∴＝×＝3．故选：B．3．如图，若＝，＝，＝，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是（）A．＝﹣B．＝+C．＝﹣D．＝+【解答】解：＝，＝，＝，则＝+＝+＝+（﹣）＝﹣＝﹣．故选：C．4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴+的方向与∠BAC的角平分线一致又∵，∴＝λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选：B．5．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则λ•μ等于（）A．B．C．D．【解答】解：由题意及图，可知：＝+＝+＝+（+）＝﹣，∴λ＝，μ＝﹣，∴λ•μ＝﹣．故选：A．6．已知点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，＝，则实数m为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【解答】解：如图所示，点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，延长OB到D点，以OA，OD为邻边作平行四边形AODF，连接CF分别交AB，AD于E，G点．则点E是△OAD的重心．∵＝，不妨设CE＝7，则OC＝3，OE＝4，EG＝2，OF＝12．∴m＝＝﹣4，解得m＝﹣4．故选：D．7．在平行四边形ABCD中，＝，＝，若E是DC的中点，则＝（）A．B．C．﹣+D．﹣+【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，＝，＝，则＝＝﹣＝﹣，又E是DC的中点，则＝+＝（﹣）+＝﹣＝﹣+．故选：C．8．已知D为△ABC所在平面内一点，3＝，则＝（）A．﹣+B．+C．﹣D．+【解答】解：因为D为△ABC所在平面内一点，3＝，所以．故选：A．9．在△ABC中，，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵；∴；∴．故选：B．10．如图，在△ABC中，，，BE和CD相交于点F，则向量等于（）A．B．C．D．【解答】解：设＝k＝k（﹣）＝k（﹣），∵＝+＝k（﹣）+﹣＝（k﹣1）+（1﹣k），＝﹣＝﹣．∵∥，∴＝λ，则（k﹣1）+（1﹣k）＝λ（﹣）．∴，∴k＝，＝﹣，∴＝+＝+．故选：B．11．△ABC中，AB＝6，BC＝8，AB⊥BC，M是△ABC外接圆上一动点，若＝λ+μ，则λ+μ的最大值是（）A．1B．C．D．2【解答】解：以B为坐标原点，BC方向为X轴正方向建立直角坐标系，∴A（0，6）C（8，0），∴外接圆的方程为：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25，即，∴设M（4+5cosθ，3+5sinθ），∴，，∵，∴，∴，∴，故选：C．12．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|+|＝|﹣|，则||＝（）A．8B．4C．2D．1【解答】解：由＝16，得||＝4，∵＝||＝4，而∴＝2故选：C．二．多选题（共4小题）（多选）13．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若＝，则点M是边BC的中点B．若＝，则点M在边BC的延长线上C．若＝，则点M是△ABC的重心D．若＝，且x+y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的【解答】解：若＝，则点M是边BC的中点，故A正确；若＝，即有﹣＝﹣，即＝，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若＝，即++＝，则点M是△ABC的重心，故C正确；若＝，且x+y＝，可得2＝2x+2y，设＝2，由右图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．故选：ACD．（多选）14．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），则下列说法正确的有（）A．若λ+μ＝1且λ＞0，则点P在线段BC的延长线上B．若λ+μ＝1且λ＜0，则点P在线段BC的延长线上C．若λ+μ＞1，则点P在△OBC外D．若λ+μ＜1，则点P在△OBC内【解答】解：因为若λ+μ＝1且λ＞0，故即又λ＞0则点P在线段BC或其反向延长线上，A错误；若λ+μ＝1且λ＜0，同上可得而λ＜0则点P在线段BC的延长线上，B正确；若λ+μ＞1，，同上可得，当λ+μ＞1时，λ+μ﹣1＞0根据向量加法的平行四边形法则可以看出则点P在△OBC外，C正确；若λ+μ＜1，不防令λ＝0，μ＝﹣1则，很显然此时点P在线段CO的延长线上，不在△OBC内，D错误．故选：BC．（多选）15．已知正方形ABCD的边长为2，向量，满足，，则（）A．B．C．D．【解答】解：由条件可得：，所以，A正确；，与不垂直，B错误；，C错误；，根据正方形的性质有AC⊥BD，所以，D项正确．故选：AD．（多选）16．下列四式可以化简为的是（）A．+（）B．（）+（）C．+D．【解答】解：＝＝，A正确；+＝＝，B正确；＝，C正确；＝，D错误．故选：ABC．三．填空题（共12小题）17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，•＝﹣，则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则•的最小值为．【解答】解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B＝60°，AB＝3，∴A（，），∵BC＝6，∴C（6，0），∵＝λ，∴AD∥BC，设D（x0，），∴＝（x0﹣，0），＝（﹣，﹣），∴•＝﹣（x0﹣）+0＝﹣，解得x0＝，∴D（，），∴＝（1，0），＝（6，0），∴＝，∴λ＝，∵||＝1，设M（x，0），则N（x+1，0），其中0≤x≤5，∴＝（x﹣，﹣），＝（x﹣，﹣），∴•＝（x﹣）（x﹣）+＝x2﹣4x+＝（x﹣2）2+，当x＝2时取得最小值，最小值为，故答案为：，．18．已知O在△ABC内，且S△AOB：S△BOC：S△AOC＝4：3：2，，则λ+μ＝【解答】解：如图，根据题意不妨设△ABC的边，AB＝4，AC＝2，BC＝＝2，建立如图坐标系，则BC的方程为x+2y﹣4＝0，则3a﹣4＜0，设O点坐标为（a，a），点O在三角形内，则O到BC的距离d＝＝，则根据S△AOB：S△BOC：S△AOC＝4：3：2，得（•4a）：（2×）：（×2a），解得a＝，∴＝（，），＝（4，0），＝（0，2），由，得，解得，，所以：λ+μ＝，故填：19．已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是6．【解答】解：如图，设，，由||＝1，且|﹣|∈{1，2}，分别以A1，A2为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．故满足条件的k的最大值为6．故答案为：6．20．在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AD＝DB，BE＝2EC，记，＝，若，则x+y的值为．【解答】解：如图，∵AD＝DB，BE＝2EC；∴，＝，且；∴＝；又；∴根据平面向量基本定理得，；∴．故答案为：．21．在四边形ABCD中，AB＝6，若，则＝12．【解答】解：根据题意，如图，在AB上取一点E，使＝，则有＝+＝+＝+（﹣）＝+，又由，则有＝，四边形AECD为平行四边形，则有＝＝，又由AB＝6，则＝6×2＝12；故答案为：12．22．已知△ABC的一内角，AB＝10，AC＝6，O为△ABC所在平面上一点，满足|OA|＝|OB|＝|OC|，设＝m+n，则m+3n的值为．【解答】解：由得：||＝||＝||，则点O是△ABC的外心，则，由＝10×＝30所以，所以，所以m+3n＝，故答案为：23．在直角坐标系中，O为原点，，则x+y＝0．【解答】解：∵，∴x+y＝2（﹣），∴（x+2）+（y﹣2）＝，∴x＝﹣2，y＝2，x+y＝0，故答案为：0．24．已知，，，则＝2．【解答】解：因为，，，所以＝7，所以＝1，则2＝＝4﹣4×1+4＝4，则＝2．故答案为：2．25．已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q．若＝，则当ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为或．【解答】解：G为△ABC的重心，所以＝+，设＝μ，故＝+，因为P，G，Q三点共线，故+＝1①，所以+＝3，＝＝＝②，由①②得或，故答案为：或．26．如图，给定单位向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的上运动．若，其中x，y∈R，则x+2y的最大值是．【解答】解：根据题意，建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（﹣，）；设∠AOC＝α，则＝（cosα，sinα），∵，∴（cosα，sinα）＝（x，0）+（﹣y，y）；即cosα＝x﹣y，sinα＝y，解得：x＝sinα+cosα，y＝sinα；∴x+2y＝sinα+cosα＝sin（α+θ），其中tanθ＝；又sin（α+θ）≤1，∴x+2y≤．故答案为：．27．已知点O是△ABC内部一点，并且满足，△BOC的面积为S1，△ABC 的面积为S2，则＝．【解答】解：因为，所以，分别取AC，BC的中点D，E，则，，所以，即O，D，E三点共线且，则，因为D为AC中点，所以，所以．故答案为：．28．设λ是正实数，三角形ABC所在平面上的另三点A1，B1，C1满足：＝λ（+），＝λ（+），＝λ（+），若三角形ABC与三角形A1B1C1的面积相等，则λ的值为．【解答】解：△ABC的重心为点G，由题意可知△ABC与△A1B1C1关于中心点G对称，由，＝（+）＝λ（+），故，故答案为：．四．解答题（共4小题）29．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，AE＝EC，AD，BE交于点F，设＝，＝．（1）用，分别表示向量，；（2）若＝t，求实数t的值．【解答】解：（1）由题意，D为BC的中点，且＝，∵+＝2，∴＝2﹣，∴＝﹣＝2﹣﹣＝﹣+2；（2）∵＝t＝t，∴＝﹣＝﹣+（2﹣t），∵＝﹣+2，，共线，∴，∴t＝．30．如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M，设，．（1）试用向量，表示；（2）过点M作直线EF，分别交线段AC，BD于点E，F．记，，求证：为定值．【解答】解：（1）由A，M，D三点共线，可设＝，由B，M，C三点共线，可设＝，因为，不共线，所以，解得，，故．（2）因为E，M，F三点共线，设＝，由（1）知，，即，，所以，故为定值，即得证．31．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O 交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当•＝﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||＝||恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标为（cosα，sinα）；（Ⅱ），，•＝﹣时，即（cos）（cos）+sin2α＝，整理得到cos，所以锐角α＝60°；（Ⅲ）在x轴上假设存在定点M，设M（x，0），，则由||＝||恒成立，得到＝，整理得2cosα（2+x）＝x2﹣4，所以存在x＝﹣2时等式恒成立，所以存在M（﹣2，0）．32．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点．（1）若点O满足，求证：；（2）已知E为AC边中点，O在线段DE上，且满足，△BOC的面积为2，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵D为BC边中点；∴；∴由得，；∴；（2）如图，根据条件：＝＝；∴；∴DE＝3DO；又AB＝2DE；∴AB＝6DO；∴S△ABC＝6S△BOC＝12；即△ABC的面积为12．。

2022春·云南楚雄·高三校考阶段练习）如图，2AE EF +=（3122AB AD + 3322AB AD +1322AB AD +．2AB AD +【答案】B【详解】在ADE 中由向量加法的三角形法则得：AE AD DE =+， 又因为E 是DC 的中点，所以12DE DC =, 所以1122AE AD DC AD AB =+=+.ECF 中由向量加法的三角形法则得：EF EC CF =+ 又因为E ，F 分别是矩形ABCD 的边CD ，BC 的中点， 所以1122EF EC CF AB AD =+=- 111332222222AE EF AD AB AB AD AD AB ⎛⎫⎛⎫+=++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.2．（2022秋·新疆哈密·高一哈密市第一中学校考期中）已知5,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，则（ ）A ．ABC ，，三点共线 B ．A CD ，，三点共线C ．A B D ，，三点共线 D ．【答案】C【详解】对于A:不存在实数λ ，使得AB BC λ=，故,A 三点不共线；13,3(),AB BC a b CD a A b C +=-==+-不存在实数使得AC CD λ=，故,A 三点不共线；C:283()5a b a BD BC b CD b a =-++-=+=+ ,故 AB BD =，所以，使得BC CD λ=，故B C 在线段AB 上，且34AC CB =，若AB BC λ=，则λC 74D ．74-【详解】不妨设4CB a =，则334AC CB a ==， AB 上，则74AB BC =-，·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习）已知点是ABC 所在平面内一点，若3255AP AB AC =+，则ABP 与△B ．2:3 C 【详解】由()()323232555555AP AB AC AP PB AP PC AP PB PC =+=+++=++ 可得32PC BP =，即点P 在线段BC 上，且32PC BP = 则ABP 与ACP △的面积之比等于:BP PC =2:3 故选：B．（2022春·北京大兴等的直角三角形和一个正方形构成现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，若AG x AB y AD =+，2x y +等于（24由题意可得()1111=2224AG AB BG AB BH AB BC CH AB BC CE =+=+=++++， 是平行四边形，所以AG CE =-，所以1124AG AB BC AG =+-，所以4255AG AB BC =+，因为AG xAB y AD =+，所以42,55x y ==，422255y +=⨯+=． :D（2022秋·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）已知点内一点，满足0GA GB GC ++=，则B ．内心【详解】因为0GA GB GC ++=，所以 GA GB GC CG +=-=.为邻边作平行四边形GADB ，连接GD 交AB 于点O则CG GD =，所以13GO CO =，CO 是故选：D．（2022·高一课时练习）在ABC 中，若(0,AD AB AC λμλ=+>21λμ+的最小值为（ ）22D ．422+三点共线，所以λ+已知ABC ，I ．1()3AI AB AC =+．cAB bACAI a a=+．bAB c ACAI a b c a b c =+++++ ．c AB bACAI a b a c=+++ 【答案】C【详解】延长,,AI BI CI ，分别交,,E F .内心是三角形三个内角的角平分线的交点.在三角形ABD 和三角形ACD 中，由正弦定理得： b c+所以()c c AD AB BD AB BC AB AC AB b c b c=+=+=+-++ b cAB AC b c b c+++， 则b c b c b c b c AI AD AB AC AB AC a b c a b c b c b c a b ca b c ++⎛⎫=⋅=⋅+=+ ⎪++++++++++⎝⎭.故选：C二、多选题高一课时练习）在ABC 中，12,33AE AB AD AC ==，记,BC a CA b ==，则下列 ．()13AE a b =-- B ．AD b =- C ．()13DE b a =- D ．AB a b =+【答案】AC【详解】解：因为12,33AE AB AD AC ==，,BC a CA b ==， 所以22,33AB AC CB b a AD AC b =+=--==-， 所以()1133AE AB a b ==--，()()211333DE DA AE b a b b a =+=-+=-. 故选：AC.10．（2022秋·广东清远·高一校考阶段练习）如图所示，在ABC 中，点D 在边BC 上，且上，且3AD AE =，则（．1233AD AC AB =+ ．13CE AD AC =-．2899CE AB AC =+ ．28–99CE AB AC =上，3AD AE =，()22123333AD AC CD AC CB AC AB AC AC AB =+=+=+-=+，1122839999CE AE AC AD AC AC AB AC AB AC =-=-=+-=-． 故选：ABD ． 三、填空题．（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）古代典籍《周易》中的我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形中，若(,AC x AB y AH x y =+∈【答案】## ABCH ，，即()21HC AB =+，()21AC AH HC AB AH =+=++，则21,1=+=x y ，22x y +=+. 故答案为：22+.12．（2022秋·江西景德镇·高一统考期末）已知点O 在直线AB 外，,,()OC OA OB R λμλμ=+∈在直线AB 外；③若λμ+=且01λ≤≤，则点C 在线段AB 上；④若1λμ+=，且0λ<，则点C 在射线AB 上，⑤若1λμ+=，且1λ>，则点C 在射线BA 上：其中真命题的是___________.（填序号）【答案】①②③④⑤ 【详解】①若1λμ+=，则(1)()OC OA OB OA OB OB OA OB OB BA λμλλλλ=+=+-=+-=+，有OC OB BC BA λ-==，所以B C A 、、三点共线，故①为真命题； ②假设点C 在直线AB 上，则()(1)OC OA AC OA k AB OA k OB OA k OA kOB =+=+=+-=-+，又OC OA OB λμ=+，所以1k k λμ=-=，，得1λμ+=，与条件中1λμ+≠矛盾， 故假设不成立，即点C 不在直线AB 上，故②为真命题； ③若1λμ+=，则(1)()OC OA OB OA OB OB OA OB OB BA λμλλλλ=+=+-=+-=+，有OC OB BC BA λ-==，当01λ≤≤时，由BC BA λ=可知B C A 、、三点共线且C 在B A 、之间（或与B 、A 重合）， 所以点C 在线段AB 上，故③为真命题； ④若1λμ+=，则(1)()OC OA OB OA OB OB OA OB OB BA λμλλλλ=+=+-=+-=+，有OC OB BC BA λ-==，当0λ<时，由BC BA λ=可知B C A 、、三点共线且B 在A C 、之间， 所以点C 在射线AB 上，故④为真命题； ⑤若1λμ+=，则(1)()OC OA OB OA OB OB OA OB OB BA λμλλλλ=+=+-=+-=+，有OC OB BC BA λ-==，当1λ>时，由BC BA λ=可知B C A 、、三点共线且A 在B C 、之间， 所以点C 在射线BA 上，故⑤为真命题； 故答案为：①②③④⑤ 四、解答题13．（2022·全国·高一专题练习）（1）已知1e ，2e 是两个不共线的向量，若1228AB e e =-，123CB e e =+，122CD e e =-，求证：A ，B ，D 三点共线．（2）已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP xOA yOB =+，求x y +的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）1）124BD CD CB e e =-=-，又12282AB e e BD =-=，所以AB ，BD 共线 为直线外任意一点，所以设AB BD λ=， 所以()AO OB BO OP λ+=+，所以111OP OA OB λλ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 因为OP xOA yOB =+，所以x =，11y λ=+，所以1x y +=.14．（2022·全国·高一假期作业）如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 2,,3AE AD AB a AC b ===.(1)用,a b 表示,,,,AD AE AF BE BF ； 求证：B ，E ，F 三点共线． 【答案】(1)1122AD a b =+，1133AE a b =+，12=AF b ，1233BE b a =-，12BF b a =-证明见解析【详解】（1）解：在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，则()111111222222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b =+=+=+-=+=+，故211333AE AD a b ==+， 1122==AF AC b ， 11123333BE AE AB a b a b a =-=+-=-，12BF AF AB b a =-=-；（2）证明：因为()1212333BE b a b a =-=-，()122b a BF =-，所以23BE BF =， 所以BE BF ∕∕，又因,BE BF 有公共点B ，高一专题练习）用向量运算刻画三角形的重心．已知ABC ，求一点G 满足0GA GB GC ++=．求证：满足条件0GA GB GC ++=的点G 是ABC 的重心．（提示：说明点同时在ABC 的三条中线上．） 【答案】(1)详解见解析； 证明见解析. AB 、BC 的中点，连接、AF 交于点为ABC 的重心，DE=GD ，连接由向量加法的平行四边形法则，得2GA GB GE GD +==， 因为G 为ABC 的重心，所以2CG GD =，故2CG GD =，所以20GA GB GC GD GC CG GC ++=+=+=， 所以ABC 的重心G 满足题意； (2)因为0GA GB GC ++=，所以GA GB GC CG +=-=，以GA 、GB 为邻边作GAEB，连接GA GB GE +=，所以CG GE =，设AB 与GE 交于点D ，由平行四边形的性质可知点所以2GE GD CG ==，即G 在中线同理可证G 也在其它两边的中线上，即所以G 为ABC 的重心.16．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考开学考试）如图，分别是边OA 、OB 上的动点，且(1)设PG PQ λ=，将OG 用λ，OP ，OQ 表示； 设OP xOA =，OQ yOB =，证明：11x y+是定值．【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】(1)解＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.(2)证明 一方面，由(1)，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x ＋λy ；① 另一方面，∵G 是△OAB 的重心，∴＝＝× (＋)＝＋.②而，不共线，∴由①②，得解得∴＋＝3(定值)．C 综合素养高一专题练习）已知ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P APQ △的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，AP pPB =，AQ qQC =. ）求GA GB GC ++； ）求证：111p q+=. 12S S 的取值范围.）0；（2）证明见解析；（+2GB GC GD ∴=,G 是重心，2GA GD ∴=-，2+20GA GB GC GD GD ∴++=-=；（2）设,AB a AC b ==,AP pPB =，1+p AP a p =∴， AQ qQC =，1+q AQ b q∴=， ,,P G Q 三点共线，则存在λ，使得PQ PG λ=，即()AQ AP AG AP λ-=-， 即11++1+1+331+31+3q p p p a a b a b q p b a p p λλλλ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1+31+3p p p p q λλλ⎧-=-⎪⎪∴⎨=，整理得33211p q p q λ==-+， 11q -+=1121-=+111+=）1+p AP AB p =，1+q AQ AC q =， sin 1+1+sin AP AQ BAC AP AQ p p AB AC AB AC BAC ⋅⋅∠⋅==⋅⋅⋅⋅∠111p q +=，1p q p =-，可知1p >，1 p>，∴则当1 p =11p≠，则。

6.2.3 向量的数乘运算一、选择题1．设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是（ ）A ．a 的方向a λ的方向相反B ．a a -λ≥C ．a 与2a λ方向相同D ．a a λ=λ【答案】C【解析】对于A ，a 与a λ方向相同或相反，因此不正确；对于B ，1λ<时，a a -λ<，因此不正确；对于C ，因为20λ>，所以a 与2a λ同向，正确；对于D ，a λ是实数，a λ是向量，不可能相等．故选C ．2．设1e ，2e 是两个不共线的向量，若向量()12k k =-+∈R m e e 与向量212=-n e e 共线，则（ ）A ．0k =B ．1k =C ．2k =D ．12k =【答案】D 【解析】当12k =时，1212+=-m e e ，又122=-+n e e ，∴2=n m ，此时m 、n 共线， 故选D.3．已知向量3AB a b =+，53BC a b =+，33CD a b =-+，则（ ）A ．A 、B 、C 三点共线 B ．A 、B 、D 三点共线C ．A 、C 、D 三点共线 D ．B 、C 、D 三点共线【答案】B【解析】∵()26232BD BC CD a b a b AB =+=+=+=，∴A 、B 、D 三点共线．故选B ．4．（2019·全国高一课时练习）如图所示，在ABC △中，点D 是边AB 的中点，则向量DC =（ ）A ．12BA BC +B ．12BA BC - C ．12BA BC -- D ．12BA BC -+ 【答案】D【解析】D 为AB 中点 1122DB AB BA ∴==- 12DC DB BC BA BC ∴=+=-+ 本题正确选项：D 。

5.已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( )A.m (a －b )＝m a －m bB.(m －n )a ＝m a －n aC.若m a ＝m b ，则a ＝bD.若m a ＝n a ，则m ＝n .【答案】AB【解析】对于A 和B 属于数乘对向量与实数的分配律，正确；对于C ，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；对于D ，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误.故选A ，B.6.（2019·山东高一期末）设点M 是ABC △所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A ．若1122AM AB AC =+，则点M 是边BC 的中点 B ．2AM AB AC =-若，则点M 在边BC 的延长线上C ．若AM BM CM =--，则点M 是ABC △的重心D ．若AM x AB y AC =+，且12x y +=，则MBC △的面积是的ABC △面积的12【答案】ACD【解析】A 中：1122AM AB AC =+,111111222222AM AB AC AM AB AC AM ⇒=+⇒-=-即： BM MC =,则点M 是边BC 的中点B. 2AM AB AC =-,AM AB AB AC BM CB ⇒-=-∴=则点M 在边CB 的延长线上，所以B 错误.C.设BC 中点D,则AM BM CM =--,2AM BM CM MB MC MD =--=+=，由重心性质可知C 成立.D ．AM x AB y AC =+且12x y +=222,221AM xAB y AC x y ⇒=++=设2AD AM = 所以22,221AD xAB y AC x y =++=，可知,,B C D 三点共线，所以MBC △的面积是ABC △面积的12故选择ACD 。

6.2.3向量的数乘运算1.[2022·浙江台州高一期末]3(2a －b )－2(a ＋3b )的化简结果为( )A ．4a ＋3bB ．4a －9bC ．8a －9bD ．4a －3b2．[2022·广东惠州高一期末]在△ABC 中，D 为BC 上一点，且BD ＝2DC ，则AD → ＝( )A ．AB → ＋13 AC → B ．AB → －13AC → C ．23 AB → ＋13 AC → D ．13 AB → ＋23AC → 3．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB → ＝e 1＋2e 2，BC → ＝－5e 1＋6e 2，CD → ＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________．4．化简：(1)2(a －b )＋3(a ＋b )；(2)12 (a ＋b )＋12(a －b )； (3)3(a ＋2b )－2(a ＋3b )－2(a ＋b ).5.若AP → ＝14PB → ，AB → ＝λBP → ，则实数λ的值是( ) A ．45 B ．－45C ．54D ．－546．[2022·福建泉州高一期中]如图，已知△ABC 中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点，若CE → ＝mAB → ＋nAC → ，则2m ＋n ＝( )A ．－16B ．－12C ．－14D ．127．[2022·广东广州高一期中]设e 1、e 2是两个不共线的向量，已知AB → ＝2e 1＋k e 2，BC → ＝e 1＋3e 2，CD → ＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值为________．8．两个非零向量a ，b 不共线，若AB → ＝a ＋b ，BC → ＝2a ＋8b ，CD → ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．9．已知D 为△ABC 的边BC 的中点，E 为AD 上一点，且AE → ＝3ED → ，若AD → ＝a ，试用a 表示EA → ＋EB → ＋EC → .10．设a ，b ，c 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则b 与a ＋c 是否共线？请证明你的结论．11.[2022·山东潍坊高一期中]在△ABC 中，AP → ＝119 AB → －29AC → ，则P 点( ) A ．在线段BC 上，且BP BC ＝29B ．在线段CB 的延长线上，且BP BC ＝29C ．在线段BC 的延长线上，且BP BC ＝29D ．在线段BC 上，且CP BC ＝2912．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE → ＝23AD → ，AB → ＝a ，AC → ＝b .(1)用a ，b 表示AD → ，AE → ，AF → ，BE → ，BF → ；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．答案：1．解析：由题意，3(2a －b )－2(a ＋3b )＝4a －9b .故选B.答案：B2．解析：因为在△ABC 中，D 为BC 上一点，且BD ＝2DC ，所以AD → ＝AB → ＋BD → ＝AB → ＋23 BC → ＝AB → ＋23 (AC → －AB → )＝13 AB → ＋23AC → ，故选D. 答案：D3．解析：∵AB → ＝e 1＋2e 2，BD → ＝BC → ＋CD → ＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB → . ∴AB → ，BD → 共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．答案：A ，B ，D4．解析：(1)2(a －b )＋3(a ＋b )＝2a －2b ＋3a ＋3b＝5a ＋b .(2)12 (a ＋b )＋12(a －b ) ＝12 a ＋12 b ＋12 a －12b ＝a .(3)3(a ＋2b )－2(a ＋3b )－2(a ＋b )＝3a ＋6b －2a －6b －2a －2b＝－a －2b .5．解析：由AP → ＝14 PB → ，则A ，P ，B 三点共线，且AP → ＝15AB → ， 所以PB → ＝45 AB → ，即AB → ＝－54BP → .故选D. 答案：D6．解析：依题意得，AD → ＝AB → ＋BD → ＝AB → ＋13 BC → ＝AB → ＋13 (AC → －AB → )＝23 AB → ＋13AC → ， 故CE → ＝CA → ＋AE → ＝CA → ＋12 AD → ＝－AC → ＋12 (23 AB → ＋13 AC → )＝13 AB → －56AC → ， 所以m ＝13 ，n ＝－56， 故2m ＋n ＝2×13 －56 ＝－16.故选A. 答案：A7．解析：由A 、B 、D 三点共线，可得AB → ＝λBD → (λ≠0)，又AB → ＝2e 1＋k e 2，BD → ＝BC →＋CD → ＝3e 1＋2e 2，则2e 1＋k e 2＝3λe 1＋2λe 2，又e 1、e 2不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝3λk ＝2λ ，解得k ＝43 . 答案：438．证明：因为AB → ＝a ＋b ，BC → ＝2a ＋8b ，CD → ＝3(a －b )，所以BD → ＝BC → ＋CD → ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5a ＋5b ，则BD → ＝5AB → ，所以BD → ，AB → 共线，两个向量有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．9．解析：如图，∵AE → ＝3ED → ，且AD → ＝a ，∴ED → ＝14 AD → ＝14 a ，EA → ＝－34 AD → ＝－34a ， 又D 为边BC 的中点，∴EB → ＋EC → ＝2ED → ＝12a ， ∴EA → ＋EB → ＋EC → ＝－34 a ＋12 a ＝－14a . 10．解析：b 与a ＋c 共线．证明如下：∵a ＋b 与c 共线，∴存在唯一实数λ，使得a ＋b ＝λc .①∵b ＋c 与a 共线，∴存在唯一实数μ，使得b ＋c ＝μ a .②由①－②得，a －c ＝λc －μa .∴(1＋μ) a ＝(1＋λ)c .又∵a 与c 不共线，∴1＋μ＝0，1＋λ＝0，∴μ＝－1，λ＝－1，∴a ＋b ＝－c ，即a ＋b ＋c ＝0.∴a ＋c ＝－b .故a ＋c 与b 共线． 11．解析：由题设，AP → －AB → ＝29 (AB → －AC → )，则BP → ＝29CB → ， 所以C ，P ，B 共线且P 在CB 延长线上，BP CB ＝29.故选B. 答案：B12．解析：(1)在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，则AD → ＝AB → ＋BD → ＝AB → ＋12 BC → ＝AB → ＋12 (AC → －AB → )＝12 AB → ＋12 AC → ＝12 a ＋12b ， 故AE → ＝23 AD → ＝13 a ＋13b ， AF → ＝12 AC → ＝12b ， BE → ＝AE → －AB → ＝13 a ＋13 b －a ＝13 b －23a ， BF → ＝AF → －AB → ＝12b －a ； (2)证明：因为BE → ＝13 b －23 a ＝13 (b －2a )，BF → ＝12(b －2a )， 所以BE → ＝23BF → ，所以BE→∥BF→，又因为BE→，BF→有公共点B，所以B，E，F三点共线．。

第六章 6.2 6.2.3A 级——基础过关练1．(多选)设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论错误的是( ) A ．a 与－λa 的方向相反 B ．|－λa|≥|a|C ．a 与λ2a 的方向相同D ．|－λa |＝|λ|a【答案】ABD 【解析】当λ取负数时，a 与－λa 的方向是相同的，选项A 错误；当|λ|<1时，|－λa|≥|a |不成立，选项B 错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a 与λ2a 的方向相同．|－λa |＝|λ|a 中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D 错误；故选ABD ．2．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上靠近点B 的一个三等分点，那么EF →＝( )A ．12AB →－13AD →B ．14AB →＋12AD →C ．13AB →＋12AD →D ．12AB →－23AD →【答案】D 【解析】EF →＝EC →＋CF →＝12AB →＋23CB →＝12AB →－23AD →.3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A ．23B ．13C ．－13D ．－23【答案】A 【解析】(方法一)由AD →＝2DB →，可得CD →－CA →＝2(CB →－CD →)⇒CD →＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.故选A ．(方法二)CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.故选A ．4．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．△ABC 内部 B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上 D ．BC 边所在的直线上【答案】B 【解析】∵CB →＝λP A →＋PB →，∴CB →－PB →＝λP A →.∴CP →＝λP A →.∴P ，A ，C 三点共线．∴点P 一定在AC 边所在的直线上．5．(2020年深圳月考)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则( )A ．AB →＋AC →＝3HM →＋3MO → B ．AB →＋AC →＝3HM →－3MO → C ．AB →＋AC →＝2HM →＋4MO →D ．AB →＋AC →＝2HM →－4MO →【答案】D 【解析】如图所示的Rt △ABC ，其中∠B 为直角，则垂心H 与B 重合，∵O 为△ABC 的外心，∴OA ＝OC ，即O 为斜边AC 的中点．又∵M 为BC 的中点，∴AH →＝2OM →.∵M 为BC 的中点，∴AB →＋AC →＝2AM →＝2(AH →＋HM →)＝2(2OM →＋HM →)＝4OM →＋2HM →＝2HM →－4MO →.故选D ．6．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足5x a ＋(8－y )b ＝4x b ＋3(y ＋9)a ，则x ＝________；y ＝________.【答案】3 －4 【解析】因为a 与b 不共线，根据向量相等得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＝3y ＋27，8－y ＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－4.7．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】12 【解析】由已知DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12.8．设a ，b 是两个不共线的向量．若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k ＝________. 【答案】－4 【解析】因为向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，所以k a ＋2b ＝λ(8a ＋k b )⇒k ＝8λ，2＝λk ⇒k ＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k ＜0)．9．化简：(1)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b －2⎝⎛⎭⎫12a ＋38b ； (2)4(a －b )－3(a ＋b )－b .解：(1)原式＝12⎝⎛⎭⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0. (2)原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b .10．如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 分别为AC ，BA 的中点，AD ，BE ，CF 相交于点O ，求证：(1)AD →＝12(AB →＋AC →)；(2)AD →＋BE →＋CF →＝0； (3)OA →＋OB →＋OC →＝0.证明：(1)∵D 为BC 的中点，∴AD →＝AB →＋BD →，AD →＝AC →＋CD →，∴2AD →＝AB →＋BD →＋AC →＋CD →，∴AD →＝12(AB →＋AC →)．(2)∵AD →＝12(AB →＋AC →)，BE →＝12(BC →＋BA →)，CF →＝12(CA →＋CB →)，∴AD →＋BE →＋CF →＝0.(3)∵OA →＝－23AD →，OB →＝－23BE →，OC →＝－23CF →，∴OA →＋OB →＋OC →＝0.B 级——能力提升练11．已知△ABC 三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在的直线上 D ．P 在线段AC 上【答案】D 【解析】P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →，∴PC →＝－2P A →.∴P 在AC 边上． 12．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A ．14a ＋12bB ．13a ＋23bC ．12a ＋14bD ．23a ＋13b【答案】D 【解析】∵△DEF ∽△BEA ，∴DF AB ＝DE EB ＝13.∴DF ＝13AB ．∴AF →＝AD →＋DF →＝AD→＋13AB →.∵AC →＝AB →＋AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →＝b ，联立得AB →＝12(a －b )，AD →＝12(a ＋b )，∴AF →＝12(a ＋b )＋16(a －b )＝23a ＋13b .13．在△ABC 中，G 为△ABC 的重心，记a ＝AB →，b ＝AC →，则CG →＝( ) A ．13a －23bB ．13a ＋23bC ．23a －13bD ．23a ＋13b【答案】A 【解析】因为G 为△ABC 的重心，所以AG →＝13(AB →＋AC →)＝13a ＋13b .所以CG →＝CA →＋AG →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b .14．下列各组向量中，能推出a ∥b 的是( ) ①a ＝－3e ，b ＝2e ； ②a ＝e 1－e 2，b ＝e 1＋e 22－e 1；③a ＝e 1－e 2，b ＝e 1＋e 2＋e 1＋e 22.A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③【答案】B 【解析】①中a ＝－32b ，所以a ∥b ；②中b ＝e 1＋e 22－e 1＝e 2－e 12＝－12a ，所以a ∥b ；③中b ＝3e 1＋3e 22＝32(e 1＋e 2)，若e 1与e 2共线，则a 与b 共线，若e 1与e 2不共线，则a 与b 不共线．15．已知在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是________．【答案】2∶3 【解析】因为P A →＋PB →＋PC →＝AB →，所以PC →＝AB →－PB →－P A →＝AB →＋BP →＋AP →＝2AP →.所以点P 在边CA 上，且是靠近点A 一侧的三等分点．所以△PBC 和△ABC 的面积之比为2∶3.16．设点O 在△ABC 的内部，点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，且|OD →＋2OE →|＝1，则|OA →＋2OB →＋3OC →|＝________.【答案】2 【解析】如题图所示，易知|OA →＋2OB →＋3OC →|＝|OA →＋OC →＋2(OB →＋OC →)|＝|2OD →＋4OE →|＝2|OD →＋2OE →|＝2.17．如图，已知E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量法证明：四边形EFGH 是平行四边形．证明：在△BCD 中，∵G ，F 分别是CD ，CB 的中点，∴CG →＝12CD →，CF →＝12CB →.∴GF →＝CF→－CG →＝12CB →－12CD →＝12DB →.同理HE →＝12DB →.∴GF →＝HE →.又∵G ，F ，H ，E 四点不在同一条直线上，∴GF ∥HE ，且GF ＝HE .∴四边形EFGH 是平行四边形．18．设OA →，OB →不共线，且OC →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R )． (1)若a ＝13，b ＝23，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)若A ，B ，C 三点共线，则a ＋b 是否为定值？并说明理由．解：(1)证明：当a ＝13，b ＝23时，OC →＝13OA →＋23OB →，所以23(OC →－OB →)＝13(OA →－OC →)，即2BC →＝CA →.所以BC →与CA →共线．又BC →与CA →有公共点C ，所以A ，B ，C 三点共线．(2)a ＋b 为定值1，理由如下： 因为A ，B ，C 三点共线，所以AC →∥AB →.不妨设AC →＝λAB →(λ∈R )，所以OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)，即OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →.又OC →＝aOA →＋bOB →，且OA →，OB →不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－λ，b ＝λ，所以a ＋b ＝1(定值)．C 级——探索创新练19．(2020年合肥月考)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较长的一段AC 是全长与另一段CB 的比例中项，即满足AC AB ＝BCAC ＝5－12，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB 的黄金分割点．在△ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，设AP →＝x 1AB →＋y 1AC →，AQ →＝x 2AB →＋y 2AC →，则x 1x 2＋y 1y 2＝( )A ．5＋12B ．2C ．5D ．5＋1【答案】C 【解析】由题意，AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5－12BC →＝AB →＋3－52(AC →－AB →)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－3－52AB →＋3－52AC →＝5－12AB →＋3－52AC →，同理，AQ →＝AB →＋BQ →＝AB →＋5－12BC →＝AB →＋5－12(AC →－AB →)＝3－52AB →＋5－12AC →.∴x 1＝y 2＝5－12，x 2＝y 1＝3－52.∴x 1x 2＋y 1y 2＝5－13－5＋3－55－1＝ 5.故选C ．。

…………………………装…………………………订…………………………线…………………………2．2．3 向量的数乘班级 姓名 学号 年级 学科一、概念回顾（认真阅读课本第63,64,65页，回答下面问题）1．设实数λ与量a 的积记为 ，它仍表示向量，它的长度是 ；它的方向是 ． 2．根据向量数乘的定义，可以证明向量数乘有如下运算律： （1） ；（2） ；（3） ．3．向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点：相同点 ； 不同点 ． 二、理解与应用1．已知R λ∈，则下列命题正确的是 （ ） A ．a a λλ=B ．a a λλ=C ．a a λλ=D ．0a λ>2．已知E 、F 分别为四边形ABCD 的边CD 、BC 边上的中点，设AD a =，BA b =，则EF=（ ）A ．1()2a b + B ．1()2a b -+ C ．1()2a b -- D ．1()2b a - 3．若a bc =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ） A ．a B ．b C ．c D ． 以上都不对4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP =（ ）A ．().(0,1)AB AD λλ+∈ B．().AB BC λλ+∈ C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈D ． ().AB BC λλ-∈5．已知m 、n 是实数，a 、b 是向量，对于命题： ①()m a b ma mb -=-②()m n a ma na -=- ③若ma mb =，则a b =④若ma na =，则m n =其中正确命题为_____________________．6．计算：（1）3(53)2(6)--+a b a b =__________；（2）4(35)2(368)-+---+a b c a b c =__________． 7．已知向量a ，b ，且3()2(2)4()++---+=0x a x a x a b ，则x =__________．8．若向量x 、y 满足+=-=23,32x y a x y b ，a 、b 为已知向量，则 x =__________； y =___________．…………………………装…………………………订…………………………线…………………………9．已知1e ，2e 是两个不共线的向量，122=-a e e ，12k =+b e e ．若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．10．证明：如果存在不全为0的实数,s t ，使s t +=0a b ，那么a 与b 是共线向量；如果a 与b 不共线，且s t +=0a b ，那么0s t ==．11． 如图，已知：在四边形ABCD 中，M 、N 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形MNEF 是平行四边形．AD BC EF MN12．如图，在∆ABC 中，G 是∆ABC 的重心，证明：()=+13AG AB AC三、方法小结：。

§2. 2. 2向量数乘运算及其几何意义班级 ___________姓名 ____________学号 ____________得分 ____________一、选择题1．已知向量 a= e 1 -2 e 2，b=2 e 1+e 2, 其中 e 1、 e 2 不共线，则 a+b 与 c=6 e 1-2 e 2 的关系为 （）A ．不共线B ．共线C ．相等D ．无法确定2．已知向量 e 1、 e 2 不共线，实数 (3x-4y)e 1＋(2x-3y)e 2 =6e 1+3e 2 ,则 x － y 的值等于 （）A ． 3B ． -3C ． 0D ． 2uuur uuur uuur | uuur3．若 AB =3 a, CD =－ 5a ,且 | AD | BC | ,则四边形 ABCD 是（）A ．平行四边形B ．菱形C ．等腰梯形uuur uuur D ．不等腰梯形4． AD 、 BE 分别为△ ABC 的边 BC 、 AC 上的中线，且uuurAD =a , BE =b ,那么 BC 为（）A ． 2 a ＋ 4bB ． 2 a － 2bC ． 2 a － 4bD ． － 2 a ＋ 4b333333335．已知向量 a ,b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使a ,b 共线的条件是 （ ）① 2a -3b=4e 且 a+2b= -3e②存在相异实数 λ， μ，使 λa -μb=0③ xa+yb=0 (其中实数 x, y 满足 x+y=0)uuur uuur④已知梯形 ABCD ，其中 AB =a , CD =bA ．①②B ．①③C ．②D ．③④*6．已知△ ABC 三个顶点 A 、 B 、 C 及平面内一点 uuur uuur uuur uuurP ，若 PA PB PCAB ，则（）A ． P 在△ ABC 内部B ． P 在△ ABC 外部C ．P 在 AB 边所在直线上D ． P 在线段 BC 上二、填空题7．若 |a|=3,b 与 a 方向相反 ,且 |b|=5,则 a=b8．已知向量 e 1 ,e 2 不共线，若 λe 1－ e 2 与 e 1－ λe 2 共线 ,则实数 λ=uuur uuur uuur9．a,b 是两个不共线的向量， 且 AB =2a ＋ kb , CB =a ＋ 3b , CD =2a － b ,若 A 、B 、D 三点共线，则实数 k 的值可为uuur uuur *10．已知四边形 ABCD 中， AB =a － 2c,CD =5a ＋ 6b － 8c 对角线 AC 、BD 的中点为 E 、 F ，uuur则向量 EF三、解答题11．计算：⑴ (－ 7) ×6a=⑵ 4(a ＋ b)－ 3(a － b)－8a=⑶ (5a － 4b ＋ c)－ 2(3a － 2b ＋ c)=uuur uuur uuuur12．如图，设AM 是△ ABC 的中线，AB =a , AC =b ,求 AM13．设两个非零向量 a 与 b 不共线 ,uuur uuur uuur⑴若 AB =a＋ b , BC =2a＋ 8b , CD =3( a－ b) ,求证： A、 B、D 三点共线 ;⑵试确定实数 k，使 ka＋ b 和 a＋ kb 共线 .uuur uuur uuur uuur uuur* 14．设 OA ,OB 不共线 ,P 点在 AB 上,求证 : OP =λOA +μOB 且λ+μ=1( λ, μ∈ R).。

数乘向量练习题（1）1. 已知向量a →，b →不共线，若向量(a →+3b →) // (ka →−b →)，则实数k ＝（ ）A.−13B.−12C.13D.122. 设m ∈R ，向量 a →=(1, −2)，b →=(m, m −2)，若a →//b →，则m 等于( )A.−23B.23C.−4D.43. 如图ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且AB →=a →，AC →=b →，则BE →等于（ ）A.b →+12a →B.b →−32a →C.a →+12b →D.a →−32b →4. （5分） 如图，已知＝，＝，＝3，用表示，则等于（ ）A.+B.+C.+D.5. △ABC 中，D 是边AC 的中点，点P 满足BP →=12PC →，则向量DP →用向量AB →，AC →表示为________．6. 已知向量a →=(−2,−1)，b →=(1,λ)，若(a →+2b →) // (2a →−b →)，则实数λ＝________．7. 已知向量，满足||＝3，||＝5，且＝λ，则实数λ的值是________．8. 已知线段PQ 过△OAB 的重心G ，且P 、Q 分别在OA 、OB 上，设OA →=a →，OB →=b →，OP →=ma →，OQ →=nb →，求证：1m +1n =3．9. 直角坐标系x −O −y 中，i →和j →分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，在直角三角形ABC 中，若AB →=2i →+j →，AC →=3i →+k j →，求k 的值．10. 在△OAB 的边OA ，OB 上分别有一点P ，Q ，已知OP:PA =1:2，OQ:QB =3:2，连接AQ ，BP ，设它们交于点R ，若OA →=a →，OB →=b →．（1）用a →与b →表示OR →；（2）若|a →|=1，|b →|=2，a →与b →夹角为60∘，过R 作RH ⊥AB 交AB 于点H ，用a →，b →表示OH →．参考答案与试题解析数乘向量练习题（1）一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）1.【答案】A【考点】平行向量（共线）【解析】根据向量共线定理，求出即可．【解答】向量a →，b →不共线，向量(a →+3b →) // (ka →−b →)，得a →+3b →=λ(ka →−b →)，得k 1=−13，3k ＝−1，k =−13， 2.【答案】B【考点】平行向量的性质【解析】【解答】解：a →=(1, −2)，b →=(m, m −2)，∵ a →//b →，∴ m −2=−2m∴ m =23．故选B .3.【答案】B【考点】向量数乘的运算及其几何意义向量的线性运算性质及几何意义【解析】根据向量的加减的几何意义即可求出．【解答】ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且AB →=a →，AC →=b →，则BE →=BC →+CE →=AC →−AB →−12AB →=AC →−32AB →=b →−32a →，二、 多选题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）4.【答案】【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）5.【答案】23AB →−16AC → 【考点】向量数乘的运算及其几何意义向量的线性运算性质及几何意义【解析】可画出图形，根据条件可得出DC →=12AC →，CP →=23(AB →−AC →)，而DP →=DC →+CP →，这样带入向量DC →,CP →，进行向量的数乘运算即可．【解答】如图，D 为边AC 中点；∴ DC →=12AC →；BP →=12PC →； ∴ CP →=23CB →=23(AB →−AC →)；∴ DP →=DC →+CP →=12AC →+23(AB →−AC →)=23AB →−16AC →．6.【答案】12【考点】平行向量（共线）【解析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值．【解答】向量a →=(−2,−1)，b →=(1,λ)，则a →+2b →=(0, 2λ−1)，2a →−b →=(−5, −λ−1)，又(a →+2b →) // (2a →−b →)，所以0×(−λ−1)−(−5)×(2λ−1)＝0，解得实数λ=12．7.【答案】 ±【考点】空间向量平面向量数量积的性质及其运算向量的线性运算性质及几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）8.【答案】证明：如图所示，∵ 三点P ，G ，Q 共线，∴ OG →=λOP →+(1−λ)OQ →=λma →+(1−λ)nb →，由重心性质定理可得：OG →=23OD →=23×12(OA →+OB →)=13(a →+b →)，∴ 13a →+13b →=λma →+(1−λ)nb →，∴ {λm =13(1−λ)n =13， ∴ 1m +1n =3λ+3(1−λ)=3．【考点】平面向量的基本定理及其意义平行向量的性质【解析】由三点P ，G ，Q 共线，可得OG →=λOP →+(1−λ)OQ →，由重心性质定理可得：OG →=23OD →=23×12(OA →+OB →)=13(a →+b →)，再利用向量基本定理即可得出． 【解答】证明：如图所示，∵ 三点P ，G ，Q 共线，∴ OG →=λOP →+(1−λ)OQ →=λma →+(1−λ)nb →，由重心性质定理可得：OG →=23OD →=23×12(OA →+OB →)=13(a →+b →)，∴ 13a →+13b →=λma →+(1−λ)nb →， ∴ {λm =13(1−λ)n =13， ∴ 1m +1n =3λ+3(1−λ)=3．9.【答案】解：∵ 若AB →=2i →+j →，AC →=3i →+k j →，∴ BC →=AC →−AB →=i →+(k −1)j →，∵ △ABC 为直角三角形，(1)当∠A =90∘时，AB →⋅AC →=6+k =0，解得k =−6； (2)当∠B =90∘时，AB →⋅BC →=2+k −1=0，解得k =−1；(3)当∠C =90∘时，BC →⋅AC →=3+k(k −1)=0，方程无实解；综上所述，k =−6或−1．【考点】平面向量的基本定理及其意义【解析】由向量的运算可得BC →，分三种情况∠A =90∘或∠B =90∘或∠C =90∘利用向量的数量积等于零，建立关系式，再解方程求得所有可能k 的值．【解答】解：∵ 若AB →=2i →+j →，AC →=3i →+k j →，∴ BC →=AC →−AB →=i →+(k −1)j →，∵ △ABC 为直角三角形，(1)当∠A =90∘时，AB →⋅AC →=6+k =0，解得k =−6；(2)当∠B =90∘时，AB →⋅BC →=2+k −1=0，解得k =−1；(3)当∠C =90∘时，BC →⋅AC →=3+k(k −1)=0，方程无实解； 综上所述，k =−6或−1．10.【答案】解：(1)OP →=13OA →=13a →，OQ →=35b →， 由A ，R ，Q 三点共线，可设AR →=mAQ →．故OR →=OA →+AR →=a →+mAQ →=a →+m(OQ →−OA →) =a →+m(35b →−a →)=(1−m)a →+35mb →．同理，由B ，R ，P 三点共线，可设BR →=nBP →． 故OR →=OB →+BR →=b →+n(OP →−OB →)=n 3a →+(1−n)b →． 由于a →与b →不共线，则有{1−m =n 335m =1−n 解得{m =56n =12. ∴ OR →=16a →+12b →．（2）由A ，H ，B 三点共线，可设BH →=λBA →， 则OH →=λa →+(1−λ)b →，RH →=OH →−OR →=(λ−16)a →+(12−λ)b →．又RH →⊥AB →，∴ RH →⋅AB →=0．∴ [(λ−16)a →+(12−λ)b →]•(b →−a →)=0． 又∵ a →⋅b →=|a →||b →|cos 60∘=1，∴ λ=12，∴ OH →=12a →+12b →．【考点】平面向量的基本定理及其意义【解析】（1）由题意知OP →=13a →，OQ →=35b →，从而由A ，R ，Q 三点共线可得OR →=OA →+AR →=a →+m(35b →−a →)=(1−m)a →+35mb →，同理化简可得OR →=n 3a →+(1−n)b →，从而解得； （2）由A ，H ，B 三点共线可得OH →=λa →+(1−λ)b →，RH →=(λ−16)a →+(12−λ)b →，结合RH →⋅AB →=0解得即可．【解答】解：(1)OP →=13OA →=13a →，OQ →=35b →，由A ，R ，Q 三点共线，可设AR →=mAQ →．故OR →=OA →+AR →=a →+mAQ →=a →+m(OQ →−OA →) =a →+m(35b →−a →)=(1−m)a →+35mb →． 同理，由B ，R ，P 三点共线，可设BR →=nBP →．故OR →=OB →+BR →=b →+n(OP →−OB →)=n 3a →+(1−n)b →． 由于a →与b →不共线，则有{1−m =n 335m =1−n 解得{m =56n =12. ∴ OR →=16a →+12b →．（2）由A ，H ，B 三点共线，可设BH →=λBA →， 则OH →=λa →+(1−λ)b →，RH →=OH →−OR →=(λ−16)a →+(12−λ)b →．又RH →⊥AB →，∴ RH →⋅AB →=0．∴ [(λ−16)a →+(12−λ)b →]•(b →−a →)=0． 又∵ a →⋅b →=|a →||b →|cos 60∘=1，∴ λ=12， ∴ OH →=12a →+12b →．。

课时作业16 数乘向量时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．已知实数m ，n 和向量a ，b ，有下列说法： ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a (a ≠0)，则m ＝n . 其中，正确的说法是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④解析：当m ＝0时，m a ＝m b ＝0，但a 与b 不一定相等，故③不正确．答案：B2．若|a |＝5，b 与a 的方向相反且|b |＝7，a ＝λb ，则λ等于( ) A.57 B ．－57 C.75D ．－75解析：|a ||b |＝57，又方向相反，∴λ＝－57.答案：B3．已知a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1－2e 2，则3a －2b ＝( ) A ．9e 1＋4e 2 B ．0C ．7e 2＋2e 1D ．－3e 1＋7e 2解析：3a －2b ＝3e 1＋3e 2－6e 1＋4e 2＝－3e 1＋7e 2. 答案：D4．平面上有一个△ABC 和一点O ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，又OA ，BC 的中点分别为D ，E ，则向量DE→等于( ) A.12(a ＋b ＋c ) B.12(－a ＋b ＋c ) C.12(a －b ＋c )D.12(a ＋b －c )解析：DE →＝DO →＋OE →＝－12OA →＋12(OB →＋OC →)＝－12a ＋12b ＋12c . 答案：B5．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，满足P A →＋PB →＋PC→＝AB →，则点P 与△ABC 的关系为( ) A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的三等分点解析：∵AB →＝PB →－P A →，∴P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →，即2P A →＋PC →＝0，即PC →＝2AP →，故AP →＝12PC →，∴P 是AC 的一个三等分点． 答案：D6．△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD→＝( ) A.13a ＋23b B.23a ＋13b C.35a ＋45bD.45a ＋35b解析：如图，CD 平分∠ACB ，由角平分线定理得AD DB ＝AC BC ＝|b ||a |＝2，所以AD →＝2DB →＝23AB →， 所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB → ＝CA →＋23(CB →－CA →) ＝23CB →＋13CA →＝23a ＋13b . 答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，则AC →＝________AB →，BC →＝________AB→. 解析：AC CB ＝32，C 在线段AB 上，如图设AC ＝3，则CB ＝2，∴AB ＝5，∴AC →＝35AB →，BC →＝－25AB →. 答案：35 －258．在▱ABCD 中，E ，F 分别在DC 和AB 上，且DE ＝113DC ，AF ＝1213AB ，则AE→与CF →的关系是________． 解析：设AD →＝a ，AB →＝b ，∵DE ＝113DC ，AF ＝1213AB ，∴AE →＝AD →＋DE →＝a ＋113b ，CF →＝CB →＋BF →＝－(a ＋113b )＝－AE→. 答案：CF →＝－AE → 9.如图所示，在▱ABCD 中，AB→＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN→＝________(用a ，b 表示)． 解析：MN→＝MB →＋BA →＋AN → ＝－12BC →＋BA →＋34AC → ＝－12AD →－AB →＋34(AB →＋AD →) ＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14b －14a ＝14(b －a )． 答案：14(b －a )三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．计算：25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )． 解：25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b ) ＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b＝(25－23＋415)a ＋(－25－43＋2615)b ＝0a ＋0b ＝0. 11.如图所示，△ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AE →，BC →，DE→，DN →，AM →，AN →. 解：∵DE ∥BC ，AD →＝23AB →，∴AE →＝23AC →＝23b ，BC→＝AC →－AB →＝b －a . 由△ADE ∽△ABC ，得DE →＝23BC →＝23(b －a )．又AM 是△ABC 底边BC 的中线，DE ∥BC ， ∴DN →＝12DE →＝13(b －a )． AM →＝AB →＋BM →＝a ＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )． ∵△ADN ∽△ABM ，AD →＝23AB →，∴AN →＝23AM →＝13(a ＋b )．12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 边上的点，CD DA ＝AE EB ＝12，记BC →＝a ，CA →＝b . 求证：DE →＝13(b －a )．解：因为AE →＝13AB →＝13(CB →－CA →) ＝13(－a －b )，AD →＝23AC →＝－23b ， 所以DE→＝AE →－AD → ＝－13a －13b ＋23b ＝13(b －a )．。

向量的加减和数乘一、单选题（共19题；共38分）1.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且，则（）A. B. C. D.2.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若，，，则（）A. B. C. D.3.在三棱柱中，若，，，则A. B. C. D.4.空间四边形中，, , ,点在上，且，为中点，则=（）A. B. C. D.5.如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，M是AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B. C. D.6.在直三棱柱中，若，，，则（）A. B. C. D.7.如图，在正方体中，若，则x+y+z的值为（）A. 3B. 1C. -1D. -38.已知空间四边形OABC，，N分别是OA，BC的中点，且，，=c，用a，b，c 表示向量为（）A. B.C. D.9.如图，在三棱柱ABC-A 1B1C1中，为A1C1的中点，若=a，，，则下列向量与相等的是（）A. B. C. D.10.如图，空间四边形OABC中，= ，= ，= ，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N 为BC的中点，则=（）A. ﹣+ +B. ﹣+C. + ﹣D. + ﹣11.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若= ，= ，= ，则=（）A. + ﹣B. ﹣+C. ﹣+ +D. ﹣+ ﹣12..如图，在四面体OABC中，G是底面ABC的重心，则等于（）A. B.C. D.13.已知空间四边形，其对角线为，分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量是（）A. B.C. D.14.在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设，，，那么向量用基底{ ，，}可表示为（）A. B. C. D.15.已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，用a，b，c 表示，则等于（）A. B. C. D.16.如图，空间四边形OABC中，= ，= ，= ，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N 为BC的中点，则=（）A. ﹣+ +B. ﹣+C. + ﹣D. + ﹣17.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是面对角线A1B与B1D1的中点，若= ，= ，= ，则=（）A. （+ ﹣）B. （+ ﹣）C. （﹣）D. （﹣）18.如图，在四边形ABCD中，下列各式成立的是（）A. ﹣=B. + =C. + + =D. + = +19.如图，在四面体ABCD中，设G是CD的中点，则+(+)等于（）A. B. C. D.二、填空题（共2题；共2分）20.如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M．设，，，用，，表示向量，则=________．21.如图，三棱锥P﹣ABC中，M是AC的中点，Q是BM的中点，若实数x，y，z满足，则x﹣y+z=________答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】空间向量的加减法【解析】【解答】根据向量加法的多边形法则以及已知可得，∴α= ，β=﹣1，故答案为：A．【分析】反复的运用向量加法，结合待定系数法，即可得出答案。

基础测试 一、选择题1、已知函数f(x)在x=1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为（ ） A 3(x-1) B ．2(x-1) C ．2x-1 D ．x-1 解析：求导后带入验证可得选A.2、曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则P 点的坐标为（ ）A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)C ．(－2，－8)或(2，8)D ．(－1，－1)或(1，1)解析：在点P 处的切线斜率为3，即导数为3.因为23x y ='，所以332=x .可得1±=x ，故选D.3、若f （x ）=sin α－cos x ，则)(x f '等于 （ ）A ．sin αB ．cos αC ．sin α+cos αD ．2sin α解析：根据导数的运算公式得x x x f sin cos )(+='，故选C. 4、函数f （x ）=x x x 的导数是A ．81x（x >0） B ．887x（x >0） C ．8781x（x >0） D ．881x-解析：f （x ）=87x x x x =，8187)(-='x x f ，故选B.5、某质点的运动方程是t S sin =，则在t =πs 时的瞬时速度为 （ ）A ．－1B ．－3C ．7D ．13解析：瞬时速度即函数在该点的导数.t s cos ='，当t =π时1-='s .故选A.6、函数 的导数是A ．B ．C ．D ． 解析：222221)1()()1()(xx x x x x x x f +=-'-'-='，故选.C. 7、下列命题正确的是（ ） （A ）)(lg 'x =1x（B ）)(lg 'x =x 10ln （C ）x x 3)3(='（D ）3ln 3)3(xx ='解析：根据导数的运算得D 正确. 8、函数x x y cos 2=的导数为x x 12-x x 12+221x x +221xx -x x y 12-=A ．x x x x y sin cos 22-=' B.x x x x y sin cos 22+=C ．x x x x y sin 2cos 2-=' D.x x x x y sin cos 2-=解析：)(cos cos )()cos (222'+'='='x x x x x x y x x x x sin cos 22-=，故选A.二、填空题9、函数)0,4(cos π在点x y =处的切线方程是 .___________解析：因为x y sin -='，当4π=x ，22-='y ，所以切线方程为)4(22π--=x y .10、函数y=sinxcosx 的导数为 .解析：)cos (sin '='x x y =)(cos sin cos )(sin '+'x x x x =x x x 2cos sin cos 22=-.11、物体的运动方程是523123-+-=t t s （位移单位：m ，时间单位：s ）,则物体在3=t 时的瞬时速度为______.解析：瞬时速度即函数在该点的导数. t t s 42+-='，当3=t 时，3='s .故为3m/s.三、解答题12、求函数y =xxsin 的导数. 解：22sin cos sin )()(sin x xx x x x x x x y +='+'=' .13、求经过点（2，0）且与曲线xy 1=相切的直线方程.分析：验证点是否在曲线上后根据导数进行求导.解：可以验证点（2，0）不在曲线上，故设切点为),(00y x P . 由201'x y -= 得所求直线方程为 )(10200x x x y y --=-. 由点（2，0）在直线上，得00202x y x -=，再由),(00y x P 在曲线上，得100=y x ，联立可解得10=x ，10=y .所求直线方程为x+y-2=0.14． 确定抛物线y =x 2＋bx ＋c 中的常数b 和c ,使得抛物线和直线y =2x 在x =2处相切. 分析：根据和直线y =2x 在x =2处相切，得到点在抛物线上，和切点的导数为2. 解： 抛物线和直线y =2x 在x =2处相切.∴抛物线过（2，4）点和在x=2时切线斜率为2. 又b x y +='2∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=+⨯424222c b b ⎩⎨⎧=-=∴42c b 15、物体的运动方程是1223-+=t t s （位移单位：m ，时间单位：s ），当2=t 时，求物体的瞬时速度及加速度.分析：求物体的瞬时速度v 即求s 关于时间t 的导数，求加速度a 即求速度v 关于时间t 的导数.解： 1223-+=t t st t s 432+='∴46)(+=''t s故当2=t 时,16)(,20=''='s s所以当时间2=t 时，2/16,/20s m a s m v ==.答：当2=t 时，求物体的瞬时速度s m v /20=加速度2/16s m a =.理科题目：8、函数y =x ln 的导数为A ．2x x lnB ．x x ln 2C ．xx ln 1D ．xx ln 21分析：21)(ln 21)(ln -⋅'='x x y xx ln 21=，故选D.9、曲线y =sin3x 在点P （3π，0）处切线的方程为___________．分析：因为x y 3cos 3='，当3π=x ，3-='y ，所以切线方程为π+-=x y 3.12、求函数y=e 2x lnx 的导数.分析：利用复合函数和导数的乘法运算求解. .解：x x e x x e y 22)(ln ln )('+'='=x xe x x e221ln 2+=21'(2).x y lnx e x=+。

向量的数乘及共线定理 练习题训练点：数乘向量的定义、几何意义、运算律；两个向量共线的判定定理和性质定理及其应用。

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设a是非零向量，l 是非零实数，下列结论正确的是（ ）A a 与a l 的方向相反、B ｜-a l ｜³｜a｜、 C a 与2a l 的方向相反、 D ｜-a l ｜³｜l a ｜、答案：C2、已知,l m ÎR ，则在以下各命题中正确的命题的个数是（ ）①l <0，0a ¹ 时，a l 与a 的方向相反；②l >0，0a ¹ 时，a l 与a的方向相同；③l ≠0，0a ¹ 时，a l 与a 是共线向量；④l m >0，0a ¹ 时，a l 与m a的方向一定相同； ⑤l m >0，0a ¹ 时，a l 与m a的方向一定相反A 1、B 2、C 3、D 4、 答案：D解析：①②③④正确3、112[2(2 a +8b )-(4a -2 b ）］化简成最简式为（ ）A 2a -b 、B 2b a - 、C a b - 、D b a - 、答案：B4、已知向量1e ，2e是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的是（ ）①a =51e ，b =71e ；②a =121123e e - ，b =1232e e - ；③a =12e e + ，b =1233e e -A ①②、B ①③、C ②③、D ①②③、答案：A5、设,a b是两个非零且不共线向量，若8a kb - 与ka b -+ 共线，则k=（ ）C± D 8、答案：C解析：设8a kb - =x(ka b -+ )=-kx a+bxÞ8kx k xb kbì-=ïï??íï=-ïî6、若12AB e e =+ ，1228BC e e =+ ,1233CD e e =-，则下列说法正确的是（ ）A A 、B 、C 三点共线、 B A 、B 、D 三点共线、 C A 、C 、D 三点共线、 D B 、C 、D 三点共线 答案：B解析：12555BD BC CD e e AB =+=+= ,\AB 与BD共线。

新人教A 版高一6.2.3 向量的数乘运算(2464)1.3(2a →−4b →)等于（ ） A.5a →＋7b →B.5a →−7b →C.6a →＋12b →D.6a →−12b →2.已知向量a ，b 满足|a|=3，|b|=5，且a =λb ，则实数λ=（ ） A.35B.53C.±35D.±533.已知点C 在线段AB 上，且AC =27CB ， 则（ ） A.AB →=75BC →B.AB →=−75BC →C.AB →=97BC →D.AB →=−97BC →4.已知向量a =e 1→−2e 2→,b =2e 1→+e 2→,c =−6e 1→+2e 2→，其中e 1→,e 2→不共线，则a +b 与c 的关系为（ ） A.不共线B.共线C.相等D.无法确定5.已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且P ＋→P ＋→PC →=A ，→则下列各组向量一定共线的是（） A.PC →与PB →B.PA →与PB →C.PA →与PC →D.PC →与AB →6.在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是CD ，BC 的中点，那么EF →=（ ） A.12AB →+12AD →B.−12AB →−12AD →C.−12AB →+12AD →D.12AB →−12AD →7.在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →=23C ＋→13C ，→若AP →=t A ，→则t 的值为（ ） A.13B.23C.12D.538.已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是①2a −3b =4e 且a +2b =−2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa −μb =0； ③xa +yb =0(其中实数x ，y 满足x +y =0)； ④已知梯形ABCD ，其中AB →=a ，CD →=b .（ ） A.①②B.①③C.②D.③④9.设a ，b 是两个不共线的非零向量，若向量ka ＋2b 与8a ＋kb 的方向相反，则k = .10.已知x ，y 是实数，向量a →，b →不共线，若(x ＋y −1)a →＋(x −y)b →=0→，则x =，y = .11.已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →−3OB →＋2OC →=0→，则|A |→|B |→= ． 12.在四边形ABCD 中，若AB →=3e →，CD →=−5e →，且|A |→=|B |→，则四边形ABCD 的形状为 . 13.化简：(1)8(2a −b ＋c)−6(a −2b ＋c)−2(2a ＋c)； (2)13[12(2a +8b)−(4a −2b)].14.已知两个非零向量a ，b 不共线. (1)若AB →=a ＋b ，BC →=2a ＋8b ，CD →=3(a −b)，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)求实数k 使ka ＋b 与2a ＋kb 共线.15. 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C)，则AP →=（ ） A.λ(AB →+BC →)，λ∈(0,1) B.λ(AB →+BC →)，λ∈(0,√22) C.λ(AB →−BC →)，λ∈(0,1)D.λ(AB →−BC →)，λ∈(0,√22) 16.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 的中点.(1)若点O 满足2OA →+OB →+OC →=0，试判断向量AO →与OD →的关系，并说明理由； (2)已知E 为AC 的中点，O 在线段DE 上，且满足OA →+2OB →+3OC →=0，△BOC 的面积为2，求△ABC 的面积参考答案1.【答案】:D【解析】:利用向量数乘的运算律，可得3(2a →−4b →)=6a →−12b →，故选 D.2.【答案】:C【解析】:因为|a|=3，|b|=5，a =λb ，所以|a|=|λ||b|，即3=5|λ|，所以|λ|=35，得λ=±35.3.【答案】:D【解析】:AB →=AC →＋CB →=27CB →＋CB →=97CB →=−97BC →.4.【答案】:B【解析】:∵a +b =3e 1→−e 2→，∴c =−2(a +b)，∴a +b 与c 共线.故选 B.5.【答案】:B【解析】:因为P ＋→P ＋→PC →=A ，→所以P ＋→P ＋→P ＋→CA →=0， 即−2PA →=P ，→所以PA →与PB →共线．6.【答案】:D【解析】:因为点E 是CD 的中点，所以EC →=12A ，→又点F 是BC 的中点，所以CF →=12CB →=−12A ，→ 所以EF →=EC →+CF →=12AB →−12A ，→故选D ．7.【答案】:A【解析】:由题意可得AP →=CP →−CA →=23CA →＋13CB →−CA →=13(CB →−CA →)=13AB →，∵AP →=tAB →，∴t =13.8.【答案】:A【解析】:①由2a −3b =−2(a +2b)得b =−4a ，所以b//a ，故①符合题意； ②因为存在相异实数λ，μ，使λa −μb =0，所以λa =μb ，所以b//a ，故②符合题意； ③若x =y =0，则xa +yb =0，但a ，b 不一定共线，故③不符合题意； ④梯形ABCD 中，没有说明哪组对边平行，故④不符合题意.故选 A.9.【答案】:−4【解析】:因为向量ka ＋2b 与8a ＋kb 的方向相反，所以ka ＋2b =λ(8a ＋kb)(λ<0)，所以{2=λk ，k =8λ，所以{λ=−12，k =−4.10.【答案】:12；12 【解析】:由已知得{x +y −1=0，x −y =0，解得x =y =12.11.【答案】:2【解析】:因为OA →−3OB →＋2OC →=0→， 所以OB →−OA →=2(OC →−OB →)， 所以AB →=2BC →， 所以|A |→|B |→=2.12.【答案】:等腰梯形【解析】:由已知可得AB →=−35C ，→所以A /→/C ，→且|A |→≠|C |→，又||→=|B |→，所以四边形ABCD 为等腰梯形． 13(1)【答案】原式=16a −8b ＋8c −6a ＋12b −6c −4a −2c =(16−6−4)a ＋(−8＋12)b ＋(8−6−2)c =6a ＋4b.(2)【答案】原式=13[(a ＋4b)−(4a −2b)] =13(−3a ＋6b)=2b −a. 14(1)【答案】∵AD →=AB →＋BC →＋CD →=a ＋b ＋2a ＋8b ＋3a −3b =6a ＋6b =6AB →，∴AD →与AB →共线，又AD →与AB →有公共点， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)【答案】∵ka ＋b 与2a ＋kb 共线，∴ka ＋b =λ(2a ＋kb)(λ∈R)， ∴(k −2λ)a ＋(1−λk)b =0，∴{k −2λ=0，1−λk =0，解得k =±√2.15.【答案】:A 【解析】:【分析】根据题意画出图形，结合图形得出AP →=λAC →，即可得出正确的结论． 【解答】设P 是对角线AC 上的一点(不含A 、C)， 过P 分别作BC 、AB 的平行线B ′P ，D ′P ，如图所示：设AP →=λAC →，则λ∈(0,1)，所以AP →=AB ′→+AD ′→=λ(AB →+BC →)，λ∈(0,1)． 故选A ． 16(1)【答案】AO →=OD →.理由如下：∵D 为BC 的中点，∴OB →+OC →=2O ，→∴由2OA →+OB →+OC →=0，得2OA →+2OD →=0， ∴AO →=OD →.(2)【答案】由题意得OA →+2OB →+3OC →=(OA →+OC →)+2(OB →+OC →)=2OE →+4OD →=0， ∴OE →=2D ，→∴DE =3DO ，又AB =2DE ，∴AB =6DO ， ∴S △ABC =6S △BOC =12，即△ABC 的面积为12.。

向量的乘法与运算律练习1. 向量的乘法向量的乘法包括点乘和叉乘两种形式。

点乘（内积）用来计算向量间的夹角和投影关系，叉乘（外积）则用来计算向量的垂直关系和面积。

1.1. 点乘点乘的计算公式为：$$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A \cdot B \cdot \cos(\theta)$$其中，$\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 是要计算点乘的两个向量，$A$ 和 $B$ 分别为它们的模长，$\theta$ 为它们的夹角。

1.2. 叉乘叉乘的计算公式为：$$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \sin(\theta) \mathbf{n}$$其中，$\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 是要计算叉乘的两个向量，$|\mathbf{A}|$ 和 $|\mathbf{B}|$ 分别为它们的模长，$\theta$ 为它们的夹角，$\mathbf{n}$ 是一个垂直于$\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 的单位向量。

2. 向量的运算律向量具有一系列运算律，可以简化向量的计算和推导过程。

2.1. 分配律向量的分配律表示为：$$\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{A} \cdot \mathbf{C}$$$$\mathbf{A} \times (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A}\times \mathbf{B} + \mathbf{A} \times \mathbf{C}$$2.2. 结合律向量的结合律表示为：$$(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) \cdot \mathbf{C} = \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \cdot \mathbf{C})$$$$(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{C} = \mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C})$$2.3. 交换律向量的交换律表示为：$$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}$$$$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = -\mathbf{B} \times\mathbf{A}$$这意味着点乘满足交换律，而叉乘则满足反交换律。