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2019高考数学二轮重点新题分类汇编--专项三不等式、数列、推理与证明特别说明：因时间关系，本资料试题未经校对流程，使用时请注意。
1、〔2018江西师大附中高三下学期开学考卷文〕{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1,3a ＝0,那么公差d ＝〔〕 A 、－2B 、－12C 、12D 、2【答案】B【解析】此题主要考查等差数列的通项公式.属于基础知识、基本运算的考查.7a －24a ＝－1,3a ＝0,得11162(3)120a d a d a d +-+=-⎧⎨+=⎩，得1112a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩2、〔2018江西师大附中高三下学期开学考卷文〕不等式xx x x 22->-的解集是〔〕A 、)2,0(B 、)0,(-∞C 、),2(+∞D 、),0()0,(+∞⋃-∞【答案】A【解析】此题主要考查绝对值的概念，分式不等式的解法.属于基础知识、基本运算的考查. 由x x x x 22->-知，222002x x x x x x x--->⇒<⇒<<∴不等式xx x x 22->-的解集是)2,0(3、〔2018江西师大附中高三下学期开学考卷文〕设变量,x y 满足约束条件：34,|3|2y xx y z x y x ≥⎧⎪+≤=-⎨⎪≥-⎩则的最大值为()A 、10B 、8C 、6D 、4 【答案】B【解析】此题主要考查线性规划的最优问题.属于基础知识、基本运算的考查. 如图，作出变量,x y 满足约束条件34,2y xx y z x y x ≥⎧⎪+≤=-⎨⎪≥-⎩则可行域是三角形ABC ；A(-2,2),B(-2,-2)作出直线30x y -=,|3|3z x y x y z =-⇒-=±,考虑直线3x y z -=±在y轴上截距的绝对值，由图知直线过A 点时|3|x y -有最大值84.(2018三明市普通高中高三上学期联考文)设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 2a 、4a 是方程220x x --=的两个根，5S =A.52B.5C.52- D.-5 【答案】A 【解析】2a 、4a 是方程220x x --=的两个根，2a ＋4a ＝1，5S =15()5522a a +⨯= 5、(2018黄冈市高三上学期期末考试文)等比数列{}n a 的公比q=2，其前4项和460S =，那么2a 等于〔〕A 、8B 、6C 、-8D 、-6【答案】A【解析】此题主要考查等比数列及其前n 项的和公式.属于基础知识、基本运算的考查.4141(1)60,260151a q S q a q-==⇒=⇒=- 6、(2018年石家庄市高中毕业班教学质检1文)各项均为正数的等比数列{n a }，1a ·9a =16，那么2a ·5a ·8a 的值A 、16B 、32C 、48D 、64 【答案】D【解析】此题主要考查集合的等比数列及其通项公式的基本运算.属于基础知识、基本运算的考查.、等比数列{n a }，1a ·9a ＝2a ·8a ＝25a =16，，各项均为正数那么，∴54a =∴2a ·5a ·8a ＝335464a ==即2a ·5a ·8a 的值为64. 7、(2018厦门市高三上学期期末质检文)假设实数x ，y 满足不等式组10,220,0,x y x y y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，那么：z ＝2x +y 的最小值为 A.－2B.1C.4D.2 【答案】B【解析】此题主要考查线性规划的最优解问题.属于基础知识、基本运算的考查.作出约束条件10,2200,x y x y y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩的可行域，如右的阴影部分，作出辅助直线y ＝2x ，平移，易知直线过A 时，z ＝2x+y 的最小值为1 8、〔2018∙厦门期末质检理5〕在等差数列{a n }等a n ＞0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，那么a 5·a 6的最大值等于 A.3B.6C.9D.36 【答案】C【解析】等差数列的性质：项数和相等，那么项的和也相等，所以由a 1＋a 2＋…＋a 10＝30得653065==+a a ，由基本不等式得a 5·a 69≤，选C; 9.〔2018∙厦门期末质检理12〕假设变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-+≤--020202y x y x y x ，那么z ＝2x －y的最大值等于。
（十三）不等式1．不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.2．一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3．二元一次不等式组与简单线性规划问题（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.4．基本不等式：（1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.（十八）推理与证明1．合情推理与演绎推理（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用. （2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.样题3 若不等式的解集为,则不等式的解集为A．或B．C．D．或【答案】B考向三 目标函数的最值问题样题4 （2018新课标I 文科）若x ，y 满足约束条件，则32z x y =+的最大值为_____________．【答案】6【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由32z x y =+可得，画出直线32y x =-，将其上下移动，结合2z的几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，由，解得()2,0B ，此时，故答案为6.【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型，根据不同的形式，应用相应的方法求解.样题5 已知,x y 满足，则的取值范围是A ．121,812⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．121,732⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]65,73 D ．[]65,81【答案】A考向四 利用线性规划解决实际问题样题6 某颜料公司生产两种产品，其中生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨，如果产品的利润为300元/吨，产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得的最大利润为 A ．14000元 B ．16000元 C ．16000元 D ． 20000元【答案】A【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：故.所以工厂每天生产产品40吨，产品10吨时，才可获得最大利润，为14000元.选A．考向五推理样题7 （2017新课标全国Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．。
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第2讲 不等式与推理证明[考情考向分析] 1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点.2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围.3.利用不等式解决实际问题.4.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.5.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题．1．(2018·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45 答案 C解析 画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，由z ＝3x ＋5y ，得y ＝－35x ＋z5.设直线l 0为y ＝－35x ，平移直线l 0，当直线y ＝－35x ＋z5过点P (2,3)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋5×3＝21.故选C.2．对于使f (x )≤M 恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做f (x )的上确界，若a >0，b >0且a ＋b ＝1，则－12a －2b 的上确界为( )A.92B ．－92C.14D ．－4 答案 B解析 －12a －2b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b (a ＋b )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋b 2a ＋2a b ≤－⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2 b 2a ×2a b ＝－92，当且仅当b 2a ＝2a b ，即b ＝2a ＝23时取等，所以原式的上确界为－92，故选B.3．(2018·绵阳三诊)甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利．甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利．”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是( ) A ．吉利，奇瑞 B ．吉利，传祺 C ．奇瑞，吉利 D ．奇瑞，传祺答案 A解析 因为丁的猜测只对了一个，所以“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个都是错误的．否则“甲买的不是奇瑞，乙买的不是奇瑞”或“甲买的是奇瑞，乙买的是奇瑞”是正确的，这与三人各买了一辆不同品牌的新汽车矛盾，“丙买的不是吉利”是正确的，所以乙买的是奇瑞，甲买的是吉利．4．(2018·佛山质检)已知a >0，设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，且z ＝2x －y 的最小值为－4，则a 等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 作出可行域，如图△ABC 内部(包括边界)，并作直线l ：2x －y ＝0，当直线l 向上平移时，z 减小， 可见，当l 过点A ⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2，1＋a 2时，z 取得最小值，∴2×1－a 2－1＋a2＝－4，解得a ＝3.5．(2018·四平模拟)设x >0，y >0，若x lg2，lg 2，y lg2成等差数列，则1x ＋9y的最小值为( )A ．8B ．9C ．12D ．16 答案 D解析 ∵x lg2，lg 2，y lg2成等差数列， ∴2lg 2＝(x ＋y )lg2，∴x ＋y ＝1. ∴1x ＋9y＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ≥10＋2y x ·9xy＝10＋6＝16，当且仅当x ＝14，y ＝34时取等号，故1x ＋9y的最小值为16.6．(2018·河北省衡水金卷调研卷)下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的个数是( ) ①“数轴内两点间距离公式为|AB |＝(x 2－x 1)2，平面内两点间距离公式为|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2”，类比推出“空间内两点间的距离公式为|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2”；②“代数运算中的完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2”类比推出“向量中的运算(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2仍成立”； ③“平面内两不重合的直线不平行就相交”类比推出“空间内两不重合的直线不平行就相交”也成立；④“圆x 2＋y 2＝1上点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1”类比推出“椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1”． A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 对于①，根据空间内两点间距离公式可知，类比正确；对于②，(a ＋b )2＝(a ＋b )·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＋b ·a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，类比正确；对于③，在空间内不平行的两直线，有相交和异面两种情况，类比错误；对于④，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1为真命题，综上所述，可知正确个数为3.7．(2018·安徽省“皖南八校”联考)已知函数f (x )＝ln 1－x 1＋x ，若x ，y 满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12y ≥0，则y x ＋3的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12C ．(－1,1)D ．[－1,1]答案 C解析 根据题中所给的函数解析式，可知函数f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，从而f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12y ≥0可以转化为f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，并且f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－1，可以判断出函数f (x )在定义域上是减函数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－1<12y <1，x ≤12y ，根据约束条件，画出对应的可行域如图所示，根据目标函数的几何意义可知，yx ＋3表示可行域中的点(x ，y )与C (－3,0)连线的斜率，可知在点A (－1，－2)处取得最小值，在点B (－1,2)处取得最大值，而边界值取不到，故答案是(－1,1)．8．(2018·河北省衡水金卷模拟)已知点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上运动，且AB →＝(2，2)，设|CE |＝x ，|CF |＝y ，若|AF →－AE →|＝|AB →|，则x ＋y 的最大值为( ) A ．2B ．4C ．22D ．4 2 答案 C解析 ∵|AB →|＝2＋2＝2，|AF →－AE →|＝|AB →|， 又∵|AF →－AE →|＝|EF →|＝x 2＋y 2＝2， ∴x 2＋y 2＝4.∵(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2(x 2＋y 2)＝8， 当且仅当x ＝y 时取等号，∴x ＋y ≤22， 即x ＋y 的最大值为2 2.9．(2018·嘉兴模拟)已知x ＋y ＝1x ＋4y＋8(x >0，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )A ．53B ．9C ．4＋26D ．10 答案 B解析 由x ＋y ＝1x ＋4y ＋8，得x ＋y －8＝1x ＋4y，两边同时乘以“x ＋y ”，得(x ＋y －8)(x ＋y )＝⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋4y(x ＋y )，所以(x ＋y －8)(x ＋y )＝⎝⎛⎭⎪⎫5＋y x＋4x y ≥9，当且仅当y ＝2x 时等号成立，令t ＝x ＋y ， 所以(t －8)·t ≥9，解得t ≤－1或t ≥9， 因为x >0，y >0，所以x ＋y ≥9，即(x ＋y )min ＝9.10．(2018·湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学联考)如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，以此类推，则标签20172的格点的坐标为( )A ．(2017,2016)B ．(2016,2015)C ．(1009,1008)D ．(1008,1007)答案 C解析 由图形规律可知，由0(记为第0圈)开始，第n 圈的正方形右上角标签为(2n ＋1)2－1，坐标为(n ，n )， 所以标签为20172的数字是标签为20172－1的右边一格， 标签为20172－1的坐标为(1008,1008)， 所以标签为20172的坐标为(1009,1008)．11．(2018·衡水金卷信息卷)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋2y ≤4，y ≥0，x ＋y ≤m表示的平面区域为M ，若m 是整数，且平面区域M 内的整点(x ，y )恰有3个(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点)，则m 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 根据题意可知m >0，又m 是整数，所以当m ＝1时，平面区域M 为⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋2y ≤4，y ≥0，x ＋y ≤1，此时平面区域M 内只有整点(0,0)，(1,0)，共2个， 不符合题意；当m ＝2时，平面区域M 为⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋2y ≤4，y ≥0，x ＋y ≤2，此时平面区域M 内只有整点(0,0)，(1,0)，(2,0)， 共3个，符合题意；当m ＝3时，平面区域M 为⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋2y ≤4，y ≥0，x ＋y ≤3，此时平面区域M 内只有整点(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，共5个，不符合题意； 依次类推，当m >3时，平面区域M 内的整点一定大于3个，不符合题意． 综上，整数m 的值为2.12．(2018·上海普陀区模拟)已知k ∈N *，x ，y ，z 都是正实数，若k (xy ＋yz ＋zx )>5(x 2＋y 2＋z 2)，则对此不等式描述正确的是( )A ．若k ＝5，则至少存在一个以x ，y ，z 为边长的等边三角形B ．若k ＝6，则对任意满足不等式的x ，y ，z 都存在以x ，y ，z 为边长的三角形C ．若k ＝7，则对任意满足不等式的x ，y ，z 都存在以x ，y ，z 为边长的三角形D ．若k ＝8，则对满足不等式的x ，y ，z 不存在以x ，y ，z 为边长的直角三角形 答案 B解析 本题可用排除法，由x 2＋y 2＋z 2＝x 2＋y 22＋y 2＋z 22＋z 2＋x 22≥xy ＋yz ＋zx ，对于A ，若k ＝5，可得xy ＋yz ＋zx >x 2＋y 2＋z 2， 故不存在这样的x ，y ，z ，A 错误，排除A ；对于C ，当x ＝1，y ＝1，z ＝2时，7(xy ＋yz ＋zx )>5(x 2＋y 2＋z 2)成立，而以x ，y ，z 为边的三角形不存在，C 错误，排除C ；对于D ，当x ＝1，y ＝1，z ＝2时，8(xy ＋yz ＋zx )>5(x 2＋y 2＋z 2)成立，存在以x ，y ，z 为边的三角形为直角三角形，故D 错误，排除D ，故选B.13．(2018·荆州质检)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2y －x ≥0，x ＋y －3≤0，2x －y ＋3≥0，若不等式ax ＋y ≤7恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－4,3]解析 画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由题意可得点A ，B 的坐标为A (－2，－1)，B (2,1)．又直线ax ＋y －7＝0过定点M (0,7)， 故得k MA ＝4，k MB ＝－3.由图形得，若不等式ax ＋y ≤7恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4，－a ≥－3，解得－4≤a ≤3.故实数a 的取值范围是[－4,3]．14．(2018·衡水金卷调研卷)观察三角形数组，可以推测：该数组第八行的和为________．答案 1296解析 第一行的和为12，第二行的和为32＝(1＋2)2， 第三行的和为62＝(1＋2＋3)2， 第四行的和为(1＋2＋3＋4)2＝102，…，第八行的和为(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)2＝1296.15．(2018·河北省衡水金卷模拟)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，4x ＋y －4≤0，2x －y －1≥0，则目标函数z ＝4x 2＋y 2的最大值与最小值之和为________． 答案314解析 令t ＝2x ，则x ＝t2，原可行域等价于⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，2t ＋y －4≤0，t －y －1≥0，作出可行域如图(阴影部分含边界)所示，经计算得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－1.z ＝4x 2＋y 2＝t 2＋y 2的几何意义是点P (t ，y )到原点O 的距离d 的平方，由图可知，当点P与点C 重合时，d 取最大值；d 的最小值为点O 到直线AB ：t －y －1＝0的距离，故z max ＝254＋1＝294，z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112＋122＝12，所以z ＝4x 2＋y 2的最大值与最小值之和为314. 16．(2018·滨海新区七所重点学校联考)若正实数x ，y 满足x ＋2y ＝5，则x 2－3x ＋1＋2y 2－1y的最大值是________．答案 83解析 x 2－3x ＋1＋2y 2－1y ＝(x ＋1)2－2(x ＋1)－2x ＋1＋2y －1y＝x ＋1－2＋2y －⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1＋1y＝x ＋2y －1－16⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＋1y (x ＋1＋2y ) ＝4－16⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2＋4y x ＋1＋x ＋1y ≤4－16⎝⎛⎭⎪⎫4＋24y x ＋1·x ＋1y ＝4－16(4＋24)＝83.当且仅当4y x ＋1＝x ＋1y，x ＋2y ＝5， 即x ＝2，y ＝32时，等号成立．。
一、选择题1．设x ， y 知足拘束条件x ＋ y － 3≥0， x －y ＋ 1≥0，则x ≤ 3，z ＝ 2x ＋ y 的最小值与最大值的和为()A ． 7C ．13B ． 8D ． 14分析： 选D. 作出不等式组x ＋ y －3≥0，x － y ＋1≥0，表示的平面地区，如x ≤ 3图中暗影部分所示，作出直线2x ＋ y ＝ 0，平移直线 2x ＋ y ＝ 0，当直线经过点 A(1，2)时， z ＝ 2x ＋ y 获得最小值 4，当经过点 B(3，4)时， z ＝ 2x ＋ y 获得最大值10，故 z 的最小值与最大值的和为 4＋ 10＝ 14.应选 D.2．(2018 长·春质量检测 (一 ))已知 x ＞ 0，y ＞ 0，且 4x ＋y ＝ xy ，则 x ＋ y 的最小值为 () A ． 8 B ． 9 C ．12D ． 164 14 1 4x y分析：选 B. 由 4x ＋ y ＝ xy 得 y ＋ x ＝ 1，则 x ＋ y ＝ (x ＋ y) y ＋ x ＝ y ＋ x ＋ 1＋ 4≥2 4＋ 5＝ 9，当且仅当4x＝ y，即 x ＝ 3， y ＝ 6 时取 “＝ ”，应选 B.y x3．(一题多解 )(2018 福·州模拟 )设函数 f(x)＝ 0， x ≤ 0，则知足不等式 f(x 2－ 2)＞ f( x)2x－ 2－x ，x ＞ 0，的 x 的取值范围是 ( )A ． (－ ∞，－ 1)∪ (2，＋ ∞)B ．( －∞，－ 2)∪(2，＋ ∞)C ．( －∞，－ 2)∪(2，＋ ∞)D ． (－ ∞，－ 1)∪ ( 2，＋ ∞)分析： 选 C.法一： 因为当 x ＞ 0 时，函数 f(x)单一递加；当x ≤0 时， f(x)＝ 0，故由 f( x 2x ＞ 0，x ≤ 0，解得 x ＞ 2 或 x ＜－ 2，因此 x 的取值范围是 (－ ∞，－－2) ＞ f(x)得，或x 2 －2＞ x x 2 －2＞ 0，2)∪ (2，＋ ∞)，应选 C.法二： 取 x ＝ 2，则 f(2 2－ 2)＝f(2)，因此 x ＝ 2 不知足题意，清除B ， D ；取 x ＝－ 1.1，则 f((－ 1.1)2－ 2)＝ f(－ 0.79) ＝ 0，f(－ 1.1)＝0，因此x ＝－ 1.1不知足题意，清除A ，应选C.4． (一题多解)若对于x 的不等式x 2＋ 2ax ＋ 1≥0在 [0，＋ ∞)上恒建立，则实数 a 的取值范围为 ()A．(0，＋∞ )B．[－1，＋∞) C．[ －1， 1]D． [0，＋∞)分析： B. 法一：当x＝ 0 ，不等式1≥0 恒建立，当 x＞ 0 ， x2＋ 2ax＋1≥0? 2ax≥－ (x2＋ 1)? 2a≥－ x＋1x，又－ x＋1x≤ － 2，当且当 x＝ 1 ，取等号，因此 2a≥－ 2? a≥ －1，因此数 a 的取范 [ －1，＋∞)．法二：f(x)＝ x2＋ 2ax＋ 1，函数象的称直x＝－ a，当－ a≤0，即 a≥0 ， f(0)＝ 1＞ 0，因此当x∈ [0，＋∞ )， f(x)≥0 恒建立；当－ a＞ 0，即 a＜0 ，要使f(x)≥0 在 [0，＋∞)上恒建立，需f(－ a)＝ a2－ 2a2＋ 1＝－ a2＋1≥0，得－ 1≤a＜ 0.上，数 a 的取范 [ － 1，＋∞)，故 B.5．(2018 南·宁模 )甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是民，一人是知分子．已知：丙的年比知分子大；甲的年和民不一样；民的年比乙小．依据以上状况，下列判断正确的选项是()A．甲是工人，乙是知分子，丙是民B．甲是知分子，乙是民，丙是工人C．甲是知分子，乙是工人，丙是民D．甲是民，乙是知分子，丙是工人分析： C.由“甲的年和民不一样”和“ 民的年比乙小”能够推得丙是民，因此丙的年比乙小；再由“丙的年比知分子大”，可知甲是知分子，故乙是工人．因此C.6．若 max{ s1， s2，⋯， s n} 表示数 s1， s2，⋯， s n中的最大者．A＝ (a1， a2，a3) ，Bb11＝b2， A?B＝ max{ a1 b1， a2 b2， a3 b3} ． A＝(x－ 1， x＋ 1， 1)， B＝ x－ 2 ，若 A?B＝ x b3|x－ 1|－1， x 的取范 ()A．[1－ 3，1]B．[1， 1＋ 2]C．[1－ 2， 1]D． [1， 1＋ 3]1分析： B. 由 A＝ (x－ 1，x＋ 1，1) ，B＝ x－ 2 ，得 A?B＝ max{ x－ 1，(x＋1)(x－ 2)，|x|x－ 1|x－ 1≥(x＋ 1)(x－ 2)，x2－ 2x－ 1≤0①，2≤ x≤ 1＋ 2.－1|} ＝ x－ 1，化，得由①，得 1－x－ 1≥|x－ 1|.x－ 1≥|x－ 1|② .由② ，得 x≥1.因此不等式的解集1≤x≤1＋ 2， x 的取范 [1，1＋ 2]．故 B. 7．(2018 ·沙模 )某班有一个学生 A 在操上形跑道逆方向匀速跑步，每52 秒跑完一圈，在学生A 开始跑步时，在教室内有一个学生B ，往操场看了一次，此后每50 秒他都往操场看一次，则该学生B “感觉 ”到学生 A 的运动是 ()A ．逆时针方向匀速前跑B ．顺时针方向匀速前跑C ．顺时针方向匀速退后D ．静止不动分析： 选 C.令操场的周长为 C ，则学生 B 每隔 50 秒看一次，学生 A 都距前一次学生 B察看的地点 C26(弧长 )，并在前一次地点的后边，故学生 B “感觉 ”到学生 A 的运动是顺时针方向匀速退后的，应选 C.x ＋y ≤6，8．已知变量 x ， y 知足拘束条件x －3y ≤－ 2，若目标函数 z ＝ ax ＋ by(a ＞ 0， b ＞ 0)的最x ≥1，小值为 2，则 1＋3的最小值为()a bA ．2＋ 3B ．5＋2 6C ．8＋ 15D ．2 3分析：选 A. 作出拘束条件所对应的可行域， 如图中暗影部分． 因为 a ＞ 0， b ＞0，因此－ a＜ 0.因此目标函数 z ＝ ax ＋ by 在点 A(1， 1)处b1 3 11＋ 3获得最小值 2，即 2＝ a ×1＋ b ×1，因此 a ＋ b ＝ 2.因此 a ＋ b ＝2× a b1 b ＋ 3a 1 当且仅当 b 3a 3a 时取等号(a ＋ b)＝2 4＋ a b ≥ 2(4＋ 2 3)＝ 2＋ 3 ＝ ，即 b ＝ .应选 A.a bx ≥0，9． (一题多解 )(2018 合·肥质量检测 )设 x ，y 知足拘束条件 x ＋y － 2≤0， 若 z ＝ 2x ＋ y 的ax － y － a ≤0，最大值为 7，则 a 的值为 ()27A ．－ 2B ． 0C ．1D ．－ 7或 12分析： 选 C.法一 ：由 z ＝ 2x ＋ y 存在最大值，可知 a ＞－ 1，明显 a ＝ 0 不切合题意．作x ≥ 0，出不等式组x ＋ y － 2≤0，所表示的平面地区，如图 1 或图 2 中暗影部分所示，作直线 2x ＋ yax － y － a ≤0＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线 x ＋ y － 2＝0 与 ax － y － a ＝ 0 的交点时， z 获得最大值，由 x＋ y－ 2＝0，得a＋2，a＋2，x＝a＋1把x＝a＋1代入 2x＋ y＝7得 a＝ 1，应选C.ax－ y－ a＝0， a ，a2y＝a＋1y＝a＋1法二：由 z＝ 2x＋y 存在最大值，可知a＞－ 1，明显 a＝ 0 不切合题意．作出不等式组x≥ 0，x＋ y－ 2≤0，所表示的平面地区，如图1或图 2 中暗影部分所示，作直线2x＋ y＝ 0，平移ax－ y－ a≤0该直线，易知，当平移到过直线x＋y－ 2＝ 0 与 ax－ y－ a＝0 的交点时， z 获得最大值7，由2x＋ y－ 2＝ 0，3，3，x＝2x＝2得把代入 ax－ y－ a＝ 0 得 a＝ 1，应选 C.7，112x＋ y＝2y＝2，y＝210．某公司生产甲、乙两种产品均需用A，B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原料及每日原料的可用限额如表所示．假如生产 1 吨甲、乙产品可获收益分别为3万元、4万元，则该公司每日可获取的最大收益为()甲乙原料限额A/吨3212B/吨128A.15 万元B． 16 万元C．17 万元D． 18 万元3x＋ 2y≤12，x＋ 2y≤8，分析：选 D. 设生产甲产品 x 吨，乙产品 y 吨，获收益 z 万元，由题意可知x≥ 0，y≥ 0，z＝3x＋ 4y，画出可行域如图中暗影部分所示，直线 z＝ 3x＋4y 过点 M 时， z＝ 3x＋ 4y 获得最3x＋ 2y＝ 12，x＝ 2，18，应选 D.大值，由得因此 M(2 ，3)，故 z＝ 3x＋4y 的最大值为x＋ 2y＝ 8，y＝3，11．(2018·州模)中国有个名句“运筹决胜之中，决千里以外”，此中的“筹”原意是指《子算》中的算筹．古代用算筹(一根根同短和粗的小棍子)来行运算．算筹的放有式、横式两种(如所示)．当表示一个多位数，个位、百位、万位数用式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此推，遇零置空．比如 3 266用算筹表示就是，8 771用算筹表示()分析： C. 由算筹的定，得8771(千位 )横式(百位 )式(十位 ) 横式(个位 )式，因此 8 771用算筹表示，故 C.12． (2018 太·原模 )我国古代数学名著《九章算》的割中有：“割之弥，所失弥少，割之又割，以致于不行割，与周合体而无所失矣”．它体了一种无穷与有限的化程．比方在表达式1＋1中“⋯”即代表无穷次重复，但原式倒是个定，它11＋1＋⋯能够通方程 1＋1＝ x 求得 x＝5＋1.比上述程，3＋2 3＋2 ⋯＝() x2A ． 313＋ 1 B.2C．6D．2 2分析： A. 令3＋ 23＋ 2⋯＝ x(x＞ 0)，两平方，得 3＋ 2 3＋ 2⋯＝ x2，即 3＋2x＝ x2，解得 x＝ 3， x＝－ 1( 舍去 )，故3＋ 23＋ 2⋯＝3， A.二、填空13．在R上定运算： x*y＝ x(1－ y)，若不等式 (x－ a)*( x＋ a) ≤1 随意的 x 恒建立，数 a 的取范是 ________．分析：因为 (x－ a)*( x＋ a)＝ (x－ a)(1－ x－a) ，不等式 ( x－a)*( x＋ a)≤1随意的 x 恒成立，即 x 2－x － a 2＋ a ＋ 1≥0 恒建立，因此 a 2－ a － 1≤x 2－ x 恒建立，又 x 2－ x ＝ x － 1 2 －1≥ －2 4 1，则 a 2－ a －1≤－ 1，解得－ 1≤a ≤ 3 . 4 4 2 213答案：－，x ＋ y － 2≥0，14．设 z ＝ kx ＋ y ，此中实数 x ， y 知足 x － 2y ＋ 4≥0， 若 z 的最大值为 12，则实数 k ＝2x － y － 4≤ 0.________.分析： 作出可行域，如图中暗影部分所示，由图可知当 0≤－ k<1时，直线 y ＝－ kx ＋ z 经过点 M(4， 4)时 z 最大，因此 4k ＋ 4＝ 12，21解得 k ＝ 2(舍去 )；当－ k ≥ 时，直线 y ＝－ kx ＋ z 经过点 (0，2) 时 z 最大，此时 z 的最大值为 2， 2不合题意；当－ k<0 时，直线 y ＝－ kx ＋ z 经过点 M(4， 4)时 z 最大，因此 4k ＋ 4＝ 12，解得k ＝2，切合题意．综上可知k ＝2.答案： 215．一名法官在审理一同瑰宝偷窃案时， 四名嫌疑人甲、 乙、丙、丁的口供以下， 甲说：“犯人在乙、丙、丁三人之中 ”；乙说： “我没有作案，是丙偷的 ”；丙说： “甲、乙两人中有一人是小偷 ”；丁说： “乙说的是事实 ”．经过检核查实，四人中有两人说的是实话，此外两人说的是谎话，且这四人中有一人是犯人，由此可判断犯人是________．分析： 由题可知，乙、丁两人的看法一致，即同真同假，假定乙、丁说的是实话，那么甲、丙两人说的是谎话，由乙说的是实话，推出丙是犯人，由甲说谎话，推出乙、丙、丁三人不是犯人， 明显两结论互相矛盾， 因此乙、 丁两人说的是谎话， 而甲、丙两人说的是实话，由甲、丙供述可得，乙是犯人．答案： 乙16．记 min{ a ，b} 为 a ，b 两数的最小值． 当正数 x ，y 变化时，令 t ＝ min2x ＋y ， x 2y2＋ 2y 2 ， 则 t 的最大值为 ______ ．x2＋ y22t 2≤(2 x ＋ y) ·2y2 4·＋ 2y分析：因为 x ＞ 0，y ＞ 0，因此问题转变为 ＝4xy ＋ 2y≤ 2x 2＋ 2y 2 x 2＋2y 2x 2＋ 2y 22 2＝ 2(x ＋ 2y ) ＝ 2，当且仅当 x ＝ y 时等号建立，因此 0＜ t ≤ 2，因此 t 的最大值为 2.2 2x ＋ 2y答案：2。
题型专题(四) 不等式(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0)，如果a 与ax 2＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．[题组练透]1．(2019·河北五校联考)如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 12(x －1)>0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x －3x <0，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．(0，1)D ．(0，1]解析：选D 由题意可知A ＝{x |1<x <2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <32，且图中阴影部分表示的是B ∩(∁R A )＝{x |0<x ≤1}，故选D.2．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，若不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－32，12C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－12，32 解析：选A 由f (x )>0，得ax 2＋(ab －1)x －b >0，又其解集是(－1，3)， ∴a <0，且⎩⎨⎧1－aba ＝2，－ba ＝－3，解得a ＝－1或13(舍去)，∴a ＝－1，b ＝－3， ∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，得4x 2＋4x －3>0， 解得x >12或x <－32，故选A.3．(2019·泉州质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1），x ≥0，－x 3，x <0，则使得f (x )≤1成立的x 的取值范围是________．解析：由⎩⎨⎧x ≥0，lg （x ＋1）≤1得0≤x ≤9，由⎩⎨⎧x <0，－x 3≤1得－1≤x ＜0，故f (x )≤1的解集为[－1，9]．答案：[－1，9] [技法融会]1．求解一元二次不等式的3步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．2．(易错提醒)解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.基本不等式：a ＋b2≥ab(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．[题组练透]1．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D.52解析：选B 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥22（x －a ）·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B.2．(2019·湖北七市联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( )A ．9 B.92 C ．4 D.52解析：选B 将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1，2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，∴a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a ＝2b＝3时等号成立，即ab 的最大值是92，故选B.3．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元解析：选C 设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2 x ·4x＝160⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号. 所以该容器的最低总造价为160元．4．(2019·江西两市联考)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．3 B.72 C ．4 D.92解析：选C 由x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，得5＝x ＋y ＋x ＋y xy ，∵x >0，y >0，∴5≥x ＋y ＋x ＋y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝x＋y ＋4x ＋y，∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0，解得1≤x ＋y ≤4，∴x ＋y 的最大值是4.[技法融会]1．利用不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．2．(易错提醒)利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可.解决线性规划问题的一般步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l .(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要对目标函数l 和可行域边界的斜率的大小进行比较．(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． [题组练透]1．(2019·河南六市联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选B 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l可知，当直线l 经过A 时，z ＝x －y 取得最小值－1，联立⎩⎨⎧y ＝2x －1，x －y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，又A (2，3)在直线x ＋y ＝m 上，∴m ＝5，故选B.2．(2019·福建质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为( )A ．1 B.92C ．5D ．9解析：选B 不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，由题意可知点P (－2， －3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝⎛⎭⎫322＝92，故选B.3．(2019·全国甲卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．解析：不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图中阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3，4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.答案：－54．(2019·山西质检)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是________．解析：画出不等式组所表示的可行域，如图所示，而y －1x －1表示区域内一点(x ，y )与点D (1，1)连线的斜率，∴当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1有最小值为－12.答案：－125．(2019·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产产品A x 件，产品B y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N . 目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点B 时，z 取得最大值，联立⎩⎨⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得B (60，100)． 则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000 [技法融会]1．线性目标函数z ＝ax ＋by 最值的确定方法线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b ，可知zb 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．2．(易错提醒)解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．1．不等式的可乘性(1)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (2)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .2．不等式的性质在近几年高考中未单独考查，但在一些题的某一点可能考查，在今后复习中应引起关注．[题组练透]1．(2019·河南六市联考)若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：选D 由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D.2．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a c >bc，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b解析：选C 当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立，C 正确；当a <0且b <0时，可知D 不正确．[技法融会]1．判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．2．利用不等式性质解决问题的注意事项(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．一、选择题1．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12 D.12解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2，故选B. 2．(2019·北京高考)已知A (2，5)，B (4，1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．8解析：选C 作出线段AB ，如图所示．作直线2x －y ＝0并将其向下平移至直线过点B(4，1)时，2x －y 取最大值为2×4－1＝7. 3．(2019·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )A.12B.32C ．1D ．2 解析：选C 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋ax＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号．所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C. 4．已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{ x | x >2或x <－2}B ．{ x |－2< x <2}C ．{ x | x <0或x >4}D ．{ x |0< x <4}解析：选C 由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)·(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)( x ＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0.f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C. 5．(2019·赣中南五校联考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ； ②若a > b ，c>d ，则a ＋c >b ＋d ； ③若a > b ，c> d ，则ac >bd ； ④若a > b ，则1a >1b .其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B ①ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③需满足a ，b ，c ，d 均为正数才成立；④错误，比如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1>－2，但1－1<1－2.故选B.6．(2019·安徽江南十校联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2，2] B.⎣⎡⎦⎤－12，2 C ．[－1，2] D.⎣⎡⎦⎤－12，1 解析：选B 作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1，3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2 x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.7．(2019·河北五校联考)若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax 恒成立，则实数a 的最小值为( )A ．1 B. 2 C.12 D.22解析：选C 因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x ≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.故选C.8．(2019·河南八市联考)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝3x ＋2y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C.34D ．1 解析：选B 根据约束条件作出可行域(如图中阴影部分所示)，把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线，当直线z ＝3x ＋2y 经过点B 时，截距z2最小，即z 最小，又B 点坐标为(1，－2a )，代入3x ＋2y ＝1，得3－4a ＝1，得a ＝12，故选B.9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B ．C ．17万元D ．18万元解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元， 则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线3x ＋4y －z ＝0过点B (2，3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．故选D.10．(2019·湖北七市联考)设向量a ＝(1，k )，b ＝(x ，y )，记a 与b 的夹角为θ.若对所有满足不等式|x －2|≤y ≤1的x ，y ，都有θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则实数k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－1，0)∪(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)解析：选D 首先画出不等式|x －2|≤y ≤1所表示的区域，如图中阴影部分所示，令z ＝a ·b ＝x ＋ky ，∴问题等价于当可行域为△ABC 时，z >0恒成立，且a 与b 方向不相同，将△ABC 的三个端点值代入，即⎩⎨⎧k ＋1>0，k ＋3>0，2＋0·k >0，解得k >－1，当a 与b 方向相同时，1·y ＝x ·k ，则k ＝y x∈[0，1]，∴实数k 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)，故选D. 11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4，1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选B 由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy ＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y 4≥xy ≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( ) A.6＋2 B.6－2C ．22＋2D ．22－2解析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝⎛⎭⎫c a －12⎝⎛⎭⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t 2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2(当且仅当t ＝62时等号成立)，当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.二、填空题13．(2019·湖北华师一附中联考)若2x ＋4y ＝4，则x ＋2y 的最大值是________．解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y ，所以2x ＋2y ≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x ＝22y ＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.答案：214．(2019·河北三市联考)如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，且z ＝y x ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z取最小值12，即11＋a ＝12，所以a ＝1.答案：115．(2019·江西两市联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2（y ＋1）x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1x ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．画出可行域如图中阴影部分所示，则易得z ′∈[k DA ，k DB ]，易得z ′∈[1，5]，∴z ＝1＋2·z ′∈[3，11]．答案：[3，11]16．(2019·湖南东部六校联考)对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2，1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2，1)．参考上述解法，若关于x 的不等式k x ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________．解析：不等式kxax＋1＋bx＋1cx＋1<0，可化为ka＋1x＋b＋1xc＋1x<0，故得－1<1x<－13或12<1x<1，解得－3<x<－1或1<x<2，故kxax＋1＋bx＋1cx＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1，2)．答案：(－3，－1)∪(1，2)。
第3练 不等式与合情推理不等式的性质及解法一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．简单分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)． (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )＞a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min ＞a ； f (x )＜a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max ＜a .(2)f (x )＞g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )的图象在g (x )的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．[考法全练]1．(2018·武汉调研)已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，若a ＞b ＞1，则一定有( ) A.a x ＞byB ．sin ax ＞sin byC ．log a x ＞log b yD ．a x ＞b y解析：选D.对于A 选项，不妨令x ＝8，y ＝3，a ＝5，b ＝4，显然58＝a x ＜b y ＝43，A 选项错误；对于B 选项，不妨令x ＝π，y ＝π2，a ＝2，b ＝32，此时sin ax ＝sin 2π＝0，sin by ＝sin 3π4＝22，显然sin ax ＜sin by ，B 选项错误；对于C 选项，不妨令x ＝5，y ＝4，a ＝3，b ＝2，此时log a x ＝log 35，log b y ＝log 24＝2，显然log a x ＜log b y ，C 选项错误；对于D 选项，因为a ＞b ＞1，所以当x ＞0时，a x ＞b x ，又x ＞y ＞0，所以当b ＞1时，b x ＞b y ，所以a x ＞b y ，D 选项正确．综上，选D.2．设[x ]表示不超过x 的最大整数(例如：[5.5]＝5，[－5.5]＝－6)，则不等式[x ]2－5[x ]＋6≤0的解集为( ) A ．(2，3) B ．[2，4) C ．[2，3]D ．(2，3]解析：选B.不等式[x ]2－5[x ]＋6≤0可化为([x ]－2)·([x ]－3)≤0，解得2≤[x ]≤3，即不等式[x ]2－5[x ]＋6≤0的解集为2≤[x ]≤3.根据[x ]表示不超过x 的最大整数，得不等式的解集为2≤x ＜4.故选B.3．(2018·长春质量检测(一))已知角α，β满足－π2＜α－β＜π2，0＜α＋β＜π，则3α－β的取值范围是________．解析：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2＜α－β＜π2，0＜α＋β＜π，所以－π＜2(α－β)＜π，故－π＜3α－β＜2π. 答案：(－π，2π)4．(2018·郑州第一次质量预测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，ln(x －1)，1＜x ≤2，若不等式f (x )≤5－mx 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )的大致图象如图所示，令g (x )＝5－mx ，则g (x )恒过点(0，5)，由f (x )≤g (x )恒成立，由数形结合得－52≤－m ≤0，解得0≤m ≤52.答案：⎣⎡⎦⎤0，52基本不等式及其应用利用不等式求最值的4个解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，可以通过凑系数后得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用基本不等式求最值．即化为y ＝m ＋Ag (x )＋Bg (x )(A >0，B >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．(4)“1”的代换：先把已知条件中的等式变形为“1”的表达式，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积，通过变形构造和或积为定值的代数式求其最值．[考法全练]1．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋23 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：选D.因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 22(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以12log 2(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 2(3a ＋4b )＝2log 2ab ，所以log 2(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，即4a ＋3b ＝1，故a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫4a ＋3b (a ＋b )＝7＋4b a ＋3ab≥7＋4 3.故选D.2．已知向量a ＝(x －1，3)，b ＝(1，y )，其中x ，y 都为正实数．若a ⊥b ，则1x ＋13y 的最小值为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：选C.因为a ⊥b ，所以a ·b ＝x －1＋3y ＝0，即x ＋3y ＝1.又x ，y 为正实数，所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x3y≥2＋23y x ·x 3y ＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号．所以1x ＋13y的最小值为4.故选C. 3．(2018·合肥调研)已知a ＞b ＞0，则a ＋4a ＋b ＋1a －b 的最小值为( )A.3102B ．4C ．2 3D ．3 2解析：选 D.因为a ＞b ＞0，所以a ＋4a ＋b ＋1a －b ＝12⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋8a ＋b ＋a －b ＋2a －b ≥(a ＋b )·8a ＋b＋(a －b )·2a －b＝22＋2＝32，当且仅当a ＝322，b ＝22时等号成立．4．(2018·高考天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．解析：由a －3b ＋6＝0，得a ＝3b －6，所以2a ＋18b ＝23b －6＋123b ≥223b －6×123b ＝2×2－3＝14，当且仅当23b －6＝123b，即b ＝1时等号成立． 答案：145．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：由题意知一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时，x 的值是30.答案：30线性规划问题常见的3种目标函数(1)截距型：形如z ＝ax ＋by ，求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，设动点P (x ，y )，定点M (a ，b )，则z ＝|PM |2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a，设动点P (x ，y )，定点M (a ，b )，则z ＝k PM .[考法全练]1．(2018·南昌调研)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，2x －y －2≤0，则z ＝3x －2y 的最大值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．4出直线y ＝32x ，解析：选C.作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作平移该直线，当直线经过C (1，0)时，在y 轴上的截距最小，z 最大，此时z ＝3×1－0＝3，故选C.2．(2018·南昌模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0x －y ＋1≥03x －y －5≤0表示的平面区域为M ，若直线y＝kx 经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤12，2B.⎣⎡⎦⎤12，43C.⎣⎡⎦⎤12，2D.⎣⎡⎦⎤43，2解析：选 C.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0x －y ＋1≥03x －y －5≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，即三角形ABC (含边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝03x －y －5＝0得点A (2，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0x －y ＋1＝0得点C (1，2)，又直线OA 的斜率为k OA ＝12，直线OC 的斜率为k OC＝2，而直线y ＝kx 表示过原点O 的直线，因此根据题意可得k OA ≤k ≤k OC ，即12≤k ≤2，故选C.3．(2018·广州模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2y －1≥0，x －1≤0，则z ＝x 2＋2x ＋y 2的最小值为( )A.12 B.14 C ．－12D ．－34解析：选D.画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数z ＝x 2＋2x ＋y 2＝(x ＋1)2＋y 2－1的几何意义是平面区域内的点到定点(－1，0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1，0)的距离的最小值为12，故z ＝x 2＋2x ＋y 2的最小值为z min ＝14－1＝－34，故选D.4．(2018·辽宁五校联合体模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－1≤a ≤1}B ．{a |a ≤－1}C ．{a |a ≤－1或a ≥1}D ．{a |a ≥1}解析：选A.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，所以目标函数z ＝ax ＋y 的图象经过点A (3，9)时，z 取得最大值，经过点B (3，－3)时，z 取得最小值，由图象得，－1≤－a ≤1，所以－1≤a ≤1，故选A.5．(2018·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元解析：选C.设生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为z 元．根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，z＝300x ＋400y .作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N*所表示的可行域，为图中阴影部分中的整点，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，当直线经过点A (0，6)时，z 有最大值，z max ＝400×6＝2 400，故选C.合情推理破解归纳推理题的思维3步骤(1)发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)． (2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)．(3)检验，得结论：对所得的一般性命题(猜想)进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．破解类比推理题的3个关键(1)会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征．(2)会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想．(3)会检验，即检验猜想的正确性．要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力．[考法全练]1．(2018·南昌模拟)已知13＋23＝⎝⎛⎭⎫622，13＋23＋33＝⎝⎛⎭⎫1222，13＋23＋33＋43＝⎝⎛⎭⎫2022，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3 025，则n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C.13＋23＝⎝⎛⎭⎫622＝⎝⎛⎭⎫2×322，13＋23＋33＝⎝⎛⎭⎫1222＝⎝⎛⎭⎫3×422，13＋23＋33＋43＝⎝⎛⎭⎫2022＝⎝⎛⎭⎫4×522，…由此归纳可得13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22，因为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3 025，所以⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22＝3 025，所以n 2(n ＋1)2＝(2×55)2，所以n ＝10，故选C.2．平面内直角三角形两直角边长分别为a ，b ，则斜边长为a 2＋b 2，直角顶点到斜边的距离为aba 2＋b 2.空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比推理可得底面积为S 21＋S 22＋S 23，则三棱锥顶点到底面的距离为( )A.3S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23 B.S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23 C.2S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23D.3S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23解析：选C.设空间中三棱锥O -ABC 的三条两两垂直的侧棱OA ，OB ，OC 的长分别为a ，b ，c ，不妨设三个侧面的面积分别为S △OAB ＝12ab ＝S 1，S △OAC ＝12ac ＝S 2，S △OBC ＝12bc ＝S 3，则ab ＝2S 1，ac ＝2S 2，bc ＝2S 3.过O 作OD ⊥BC 于D ，连接AD ，由OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，且OB ∩OC ＝O ，得OA ⊥平面OBC ，所以OA ⊥BC ，又OA ∩OD ＝O ，所以BC ⊥平面AOD ，又BC ⊂平面OBC ，所以平面OBC ⊥平面AOD ，所以点O 在平面ABC 内的射影O ′在线段AD 上，连接OO ′.在直角三角形OBC 中，OD ＝bc b 2＋c2. 因为AO ⊥OD ，所以在直角三角形OAD 中，OO ′＝OA ·ODOA 2＋OD 2＝a ·bc b 2＋c 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc b 2＋c 22 ＝abc(ab )2＋(ac )2＋(bc )2＝(ab )(bc )(ca )(ab )2＋(ac )2＋(bc )2＝(2S 1)·(2S 2)·(2S 3)(2S 1)2＋(2S 3)2＋(2S 2)2＝2S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23，故选C.3．(2018·长春质量检测)有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m 月n 日，张老师把m 告诉了甲，把n 告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”则张老师的生日是________．解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日、5月8日、9月4日、9月6日、9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日、8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师生日为8月4日．答案：8月4日一、选择题1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤3，则z ＝2x ＋y 的最小值与最大值的和为( )A ．7B ．8C ．13D ．14解析：选D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤3表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移直线2x ＋y ＝0，当直线经过点A (1，2)时，z ＝2x ＋y 取得最小值4，当经过点B (3，4)时，z ＝2x ＋y 取得最大值10，故z 的最小值与最大值的和为4＋10＝14.故选D.2．(2018·长春质量检测(一))已知x ＞0，y ＞0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8B ．9C ．12D ．16解析：选B.由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝y x ，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.3．(一题多解)(2018·福州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x －2－x，x ＞0，则满足不等式f (x 2－2)＞f (x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：选C.法一：因为当x ＞0时，函数f (x )单调递增；当x ≤0时，f (x )＝0，故由f (x 2－2)＞f (x )得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x 2－2＞x或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2＞0，解得x ＞2或x ＜－2，所以x 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)，故选C. 法二：取x ＝2，则f (22－2)＝f (2)，所以x ＝2不满足题意，排除B ，D ；取x ＝－1.1，则f ((－1.1)2－2)＝f (－0.79)＝0，f (－1.1)＝0，所以x ＝－1.1不满足题意，排除A ，故选C.4．(一题多解)若关于x 的不等式x 2＋2ax ＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．[－1，1]D ．[0，＋∞)解析：选B.法一：当x ＝0时，不等式1≥0恒成立，当x ＞0时，x 2＋2ax ＋1≥0⇒2ax ≥－(x 2＋1)⇒2a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，又－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝1时，取等号，所以2a ≥－2⇒a ≥－1，所以实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．法二：设f (x )＝x 2＋2ax ＋1，函数图象的对称轴为直线x ＝－a ，当－a ≤0，即a ≥0时，f (0)＝1＞0，所以当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥0恒成立；当－a ＞0，即a ＜0时，要使f (x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f (－a )＝a 2－2a 2＋1＝－a 2＋1≥0，得－1≤a ＜0.综上，实数a 的取值范围为[－1，＋∞)，故选B.5．(2018·南宁模拟)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人解析：选C.由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.6．若max{s 1，s 2，…，s n }表示实数s 1，s 2，…，s n 中的最大者．设A ＝(a 1，a 2，a 3)，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b 1b 2b 3，记A ⊗B＝max{a 1b 1，a 2b 2，a 3b 3}．设A ＝(x －1，x ＋1，1)，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －2|x －1|，若A ⊗B ＝x －1，则x 的取值范围为( )A ．[1－3，1]B ．[1，1＋2]C ．[1－2，1]D ．[1，1＋3]解析：选B.由A ＝(x －1，x ＋1，1)，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －2|x －1|，得A ⊗B ＝max{x －1，(x ＋1)(x －2)，|x －1|}＝x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥(x ＋1)(x －2)，x －1≥|x －1|.化简，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1≤0①，x －1≥|x －1|②.由①，得1－2≤x ≤1＋ 2.由②，得x ≥1.所以不等式组的解集为1≤x ≤1＋2，则x 的取值范围为[1，1＋2]．故选B.7．(2018·长沙模拟)某班级有一个学生A 在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑完一圈，在学生A 开始跑步时，在教室内有一个学生B ，往操场看了一次，以后每50秒他都往操场看一次，则该学生B “感觉”到学生A 的运动是( )A ．逆时针方向匀速前跑B ．顺时针方向匀速前跑C ．顺时针方向匀速后退D ．静止不动解析：选C.令操场的周长为C ，则学生B 每隔50秒看一次，学生A 都距上一次学生B 观察的位置C26(弧长)，并在上一次位置的后面，故学生B “感觉”到学生A 的运动是顺时针方向匀速后退的，故选C.8．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤6，x －3y ≤－2，x ≥1，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最小值为2，则1a ＋3b的最小值为 ( )A ．2＋ 3B ．5＋2 6C ．8＋15D ．2 3解析：选A.作出约束条件所对应的可行域，如图中阴影部分．因为a ＞0，b ＞0，所以－ab ＜0.所以目标函数z ＝ax ＋by 在点A (1，1)处取得最小值2，即2＝a ×1＋b ×1，所以a ＋b ＝2.所以1a ＋3b ＝12×⎝⎛⎭⎫1a ＋3b (a ＋b )＝12⎝⎛⎭⎫4＋b a ＋3a b ≥12(4＋23)＝2＋3⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝3ab ，即b ＝3a 时取等号.故选A.9．(一题多解)(2018·合肥质量检测)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －2≤0，ax －y －a ≤0，若z ＝2x ＋y 的最大值为72，则a的值为( )A ．－72B ．0C ．1D ．－72或1解析：选 C.法一：由z ＝2x ＋y 存在最大值，可知a ＞－1，显然a ＝0不符合题意．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －2≤0，ax －y －a ≤0所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x ＋y －2＝0与ax －y －a ＝0的交点时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，ax －y －a ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2a ＋1，y ＝a a ＋1，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2a ＋1，y ＝a a ＋1代入2x ＋y ＝72得a ＝1，故选C.法二：由z ＝2x ＋y 存在最大值，可知a ＞－1，显然a ＝0不符合题意．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －2≤0，ax －y －a ≤0所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x ＋y －2＝0与ax －y －a ＝0的交点时，z 取得最大值72，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，2x ＋y ＝72，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12，把⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12代入ax －y －a ＝0得a ＝1，故选C.10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为 ( )A.15万元 C ．17万元D ．18万元解析：选D.设生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，获利润z 万元，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，画出可行域如图中阴影部分所示，直线z ＝3x ＋4y 过点M 时，z ＝3x ＋4y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，所以M (2，3)，故z ＝3x ＋4y 的最大值为18，故选D.11．(2018·兰州模拟)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹(一根根同样长短和粗细的小棍子)来进行运算．算筹的摆放有纵式、横式两种(如图所示)．当表示一个多位数时，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空．例如3 266用算筹表示就是，则8 771用算筹应表示为( )解析：选C.由算筹的定义，得8 7 7 1(千位)横式 (百位)纵式 (十位)横式 (个位)纵式，所以8 771用算筹应表示为，故选C.12．(2018·太原模拟)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋11＋11＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋1x ＝x 求得x ＝5＋12.类比上述过程，则3＋23＋2…＝( )A ．3B.13＋12C ．6D ．2 2解析：选A.令3＋23＋2…＝x (x ＞0)，两边平方，得3＋23＋2…＝x 2，即3＋2x ＝x 2，解得x＝3，x ＝－1(舍去)，故3＋23＋2…＝3，选A.二、填空题13．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )*(x ＋a )≤1对任意的x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由于(x －a )*(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，则不等式(x －a )*(x ＋a )≤1对任意的x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1≥0恒成立，所以a 2－a －1≤x 2－x 恒成立，又x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14≥－14，则a 2－a －1≤－14，解得－12≤a ≤32. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，32 14．设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4，4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0，2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y＝－kx ＋z 经过点M (4，4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意．综上可知k ＝2.答案：215．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________．解析：由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．答案：乙16．记min{a ，b }为a ，b 两数的最小值．当正数x ，y 变化时，令t ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2x ＋y ，2y x 2＋2y 2，则t 的最大值为______．解析：因为x ＞0，y ＞0，所以问题转化为t 2≤(2x ＋y )·2y x 2＋2y 2＝4xy ＋2y 2x 2＋2y 2≤4·x 2＋y 22＋2y 2x 2＋2y 2＝2(x 2＋2y 2)x 2＋2y 2＝2，当且仅当x ＝y 时等号成立，所以0＜t ≤2，所以t 的最大值为 2.答案： 2。
第3练 不等式与合情推理不等式的性质及解法一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．简单分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)． (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )＞a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min ＞a ； f (x )＜a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max ＜a .(2)f (x )＞g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )的图象在g (x )的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．[考法全练]1．(2018·武汉调研)已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，若a ＞b ＞1，则一定有( ) A.a x ＞byB ．sin ax ＞sin byC ．log a x ＞log b yD ．a x ＞b y解析：选D.对于A 选项，不妨令x ＝8，y ＝3，a ＝5，b ＝4，显然58＝a x ＜b y ＝43，A 选项错误；对于B 选项，不妨令x ＝π，y ＝π2，a ＝2，b ＝32，此时sin ax ＝sin 2π＝0，sin by ＝sin3π4＝22，显然sin ax ＜sin by ，B 选项错误；对于C 选项，不妨令x ＝5，y ＝4，a ＝3，b ＝2，此时log a x ＝log 35，log b y ＝log 24＝2，显然log a x ＜log b y ，C 选项错误；对于D 选项，因为a ＞b ＞1，所以当x ＞0时，a x ＞b x ，又x ＞y ＞0，所以当b ＞1时，b x ＞b y ，所以a x ＞b y ，D 选项正确．综上，选D.2．设[x ]表示不超过x 的最大整数(例如：[5.5]＝5，[－5.5]＝－6)，则不等式[x ]2－5[x ]＋6≤0的解集为( )A ．(2，3)B ．[2，4)C ．[2，3]D ．(2，3]解析：选B.不等式[x ]2－5[x ]＋6≤0可化为([x ]－2)·([x ]－3)≤0，解得2≤[x ]≤3，即不等式[x ]2－5[x ]＋6≤0的解集为2≤[x ]≤3.根据[x ]表示不超过x 的最大整数，得不等式的解集为2≤x ＜4.故选B.3．(2018·长春质量检测(一))已知角α，β满足－π2＜α－β＜π2，0＜α＋β＜π，则3α－β的取值范围是________．解析：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2＜α－β＜π2，0＜α＋β＜π，所以－π＜2(α－β)＜π，故－π＜3α－β＜2π.答案：(－π，2π)4．(2018·郑州第一次质量预测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤1，ln(x －1)，1＜x ≤2，若不等式f (x )≤5－mx 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )的大致图象如图所示，令g (x )＝5－mx ，则g (x )恒过点(0，5)，由f (x )≤g (x )恒成立，由数形结合得－52≤－m ≤0，解得0≤m ≤52.答案：⎣⎡⎦⎤0，52基本不等式及其应用利用不等式求最值的4个解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，可以通过凑系数后得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用基本不等式求最值．即化为y ＝m ＋Ag (x )＋Bg (x )(A >0，B >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．(4)“1”的代换：先把已知条件中的等式变形为“1”的表达式，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积，通过变形构造和或积为定值的代数式求其最值．[考法全练]1．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋23 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：选D.因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 22(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以12log 2(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 2(3a ＋4b )＝2log 2ab ，所以log 2(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，即4a ＋3b ＝1，故a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫4a ＋3b (a ＋b )＝7＋4b a ＋3ab≥7＋4 3.故选D. 2．已知向量a ＝(x －1，3)，b ＝(1，y )，其中x ，y 都为正实数．若a ⊥b ，则1x ＋13y 的最小值为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：选C.因为a ⊥b ，所以a ·b ＝x －1＋3y ＝0，即x ＋3y ＝1.又x ，y 为正实数，所以1x＋13y ＝(x ＋3y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x 3y ＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号．所以1x ＋13y的最小值为4.故选C. 3．(2018·合肥调研)已知a ＞b ＞0，则a ＋4a ＋b ＋1a －b 的最小值为( )A.3102B ．4C ．2 3D ．3 2解析：选 D.因为a ＞b ＞0，所以a ＋4a ＋b ＋1a －b ＝12⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋8a ＋b ＋a －b ＋2a －b ≥(a ＋b )·8a ＋b＋(a －b )·2a －b＝22＋2＝32，当且仅当a ＝322，b ＝22时等号成立．4．(2018·高考天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．解析：由a －3b ＋6＝0，得a ＝3b －6，所以2a ＋18b ＝23b －6＋123b ≥223b －6×123b ＝2×2－3＝14，当且仅当23b －6＝123b ，即b ＝1时等号成立． 答案：145．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：由题意知一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时，x 的值是30.答案：30线性规划问题常见的3种目标函数(1)截距型：形如z ＝ax ＋by ，求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值． (2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，设动点P (x ，y )，定点M (a ，b )，则z ＝|PM |2. (3)斜率型：形如z ＝y －b x －a，设动点P (x ，y )，定点M (a ，b )，则z ＝k PM .[考法全练]1．(2018·南昌调研)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，2x －y －2≤0，则z ＝3x －2y 的最大值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．4解析：选C.作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝32x ，平移该直线，当直线经过C (1，0)时，在y 轴上的截距最小，z 最大，此时z ＝3×1－0＝3，故选C.2．(2018·南昌模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0x －y ＋1≥03x －y －5≤0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx 经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤12，2 B.⎣⎡⎦⎤12，43 C.⎣⎡⎦⎤12，2D.⎣⎡⎦⎤43，2解析：选 C.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0x －y ＋1≥03x －y －5≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，即三角形ABC (含边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝03x －y －5＝0得点A (2，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0x －y ＋1＝0得点C (1，2)，又直线OA 的斜率为k OA ＝12，直线OC 的斜率为k OC ＝2，而直线y ＝kx 表示过原点O 的直线，因此根据题意可得k OA ≤k ≤k OC ，即12≤k ≤2，故选C.3．(2018·广州模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2y －1≥0，x －1≤0，则z ＝x 2＋2x ＋y 2的最小值为( )A.12B.14 C ．－12D ．－34解析：选D.画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数z ＝x 2＋2x ＋y 2＝(x ＋1)2＋y 2－1的几何意义是平面区域内的点到定点(－1，0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1，0)的距离的最小值为12，故z ＝x 2＋2x ＋y 2的最小值为z min ＝14－1＝－34，故选D.4．(2018·辽宁五校联合体模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若目标函数z ＝ax ＋y的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－1≤a ≤1}B ．{a |a ≤－1}C ．{a |a ≤－1或a ≥1}D ．{a |a ≥1}解析：选A.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，所以目标函数z ＝ax ＋y 的图象经过点A (3，9)时，z 取得最大值，经过点B (3，－3)时，z 取得最小值，由图象得，－1≤－a ≤1，所以－1≤a ≤1，故选A.5．(2018·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元解析：选C.设生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为z 元．根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，z ＝300x ＋400y .作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N*所表示的可行域，为图中阴影部分中的整点，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，当直线经过点A (0，6)时，z 有最大值，z max ＝400×6＝2 400，故选C.合情推理破解归纳推理题的思维3步骤(1)发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)． (2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)．(3)检验，得结论：对所得的一般性命题(猜想)进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．破解类比推理题的3个关键(1)会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征．(2)会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想． (3)会检验，即检验猜想的正确性．要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力．[考法全练]1．(2018·南昌模拟)已知13＋23＝⎝⎛⎭⎫622，13＋23＋33＝⎝⎛⎭⎫1222，13＋23＋33＋43＝⎝⎛⎭⎫2022，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3 025，则n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C.13＋23＝⎝⎛⎭⎫622＝⎝⎛⎭⎫2×322，13＋23＋33＝⎝⎛⎭⎫1222＝⎝⎛⎭⎫3×422，13＋23＋33＋43＝⎝⎛⎭⎫2022＝⎝⎛⎭⎫4×522，…由此归纳可得13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22，因为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3 025，所以⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22＝3 025，所以n 2(n ＋1)2＝(2×55)2，所以n ＝10，故选C.2．平面内直角三角形两直角边长分别为a ，b ，则斜边长为a 2＋b 2，直角顶点到斜边的距离为aba 2＋b 2.空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比推理可得底面积为S 21＋S 22＋S 23，则三棱锥顶点到底面的距离为( )A.3S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23 B.S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23 C.2S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23D.3S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23解析：选C.设空间中三棱锥O -ABC 的三条两两垂直的侧棱OA ，OB ，OC 的长分别为a ，b ，c ，不妨设三个侧面的面积分别为S △OAB ＝12ab ＝S 1，S △OAC ＝12ac ＝S 2，S △OBC ＝12bc ＝S 3，则ab ＝2S 1，ac ＝2S 2，bc ＝2S 3.过O 作OD ⊥BC 于D ，连接AD ，由OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，且OB ∩OC ＝O ，得OA ⊥平面OBC ，所以OA ⊥BC ，又OA ∩OD ＝O ，所以BC ⊥平面AOD ，又BC ⊂平面OBC ，所以平面OBC ⊥平面AOD ，所以点O 在平面ABC 内的射影O ′在线段AD 上，连接OO ′. 在直角三角形OBC 中，OD ＝bcb 2＋c2. 因为AO ⊥OD ，所以在直角三角形OAD 中，OO ′＝OA ·ODOA 2＋OD 2＝a ·bc b 2＋c 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc b 2＋c 22 ＝abc(ab )2＋(ac )2＋(bc )2＝(ab )(bc )(ca )(ab )2＋(ac )2＋(bc )2＝(2S 1)·(2S 2)·(2S 3)(2S 1)2＋(2S 3)2＋(2S 2)2＝2S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23，故选C.3．(2018·长春质量检测)有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m 月n 日，张老师把m 告诉了甲，把n 告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”则张老师的生日是________．解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日、5月8日、9月4日、9月6日、9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日、8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师生日为8月4日．答案：8月4日一、选择题1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤3，则z ＝2x ＋y 的最小值与最大值的和为( )A ．7B ．8C ．13D ．14解析：选D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤3表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移直线2x ＋y ＝0，当直线经过点A (1，2)时，z ＝2x ＋y 取得最小值4，当经过点B (3，4)时，z ＝2x ＋y 取得最大值10，故z 的最小值与最大值的和为4＋10＝14.故选D.2．(2018·长春质量检测(一))已知x ＞0，y ＞0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B.由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.3．(一题多解)(2018·福州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x －2－x，x ＞0，则满足不等式f (x 2－2)＞f (x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：选C.法一：因为当x ＞0时，函数f (x )单调递增；当x ≤0时，f (x )＝0，故由f (x 2－2)＞f (x )得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x 2－2＞x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2＞0，解得x ＞2或x ＜－2，所以x 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)，故选C.法二：取x ＝2，则f (22－2)＝f (2)，所以x ＝2不满足题意，排除B ，D ；取x ＝－1.1，则f ((－1.1)2－2)＝f (－0.79)＝0，f (－1.1)＝0，所以x ＝－1.1不满足题意，排除A ，故选C.4．(一题多解)若关于x 的不等式x 2＋2ax ＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．[－1，1]D ．[0，＋∞)解析：选B.法一：当x ＝0时，不等式1≥0恒成立，当x ＞0时，x 2＋2ax ＋1≥0⇒2ax ≥－(x 2＋1)⇒2a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，又－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝1时，取等号，所以2a ≥－2⇒a ≥－1，所以实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．法二：设f (x )＝x 2＋2ax ＋1，函数图象的对称轴为直线x ＝－a ，当－a ≤0，即a ≥0时，f (0)＝1＞0，所以当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥0恒成立； 当－a ＞0，即a ＜0时，要使f (x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f (－a )＝a 2－2a 2＋1＝－a 2＋1≥0，得－1≤a ＜0.综上，实数a 的取值范围为[－1，＋∞)，故选B.5．(2018·南宁模拟)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人解析：选C.由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.6．若max{s 1，s 2，…，s n }表示实数s 1，s 2，…，s n 中的最大者．设A ＝(a 1，a 2，a 3)，B＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b 1b 2b 3，记A ⊗B ＝max{a 1b 1，a 2b 2，a 3b 3}．设A ＝(x －1，x ＋1，1)，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －2|x －1|，若A ⊗B ＝x －1，则x 的取值范围为( )A ．[1－3，1]B ．[1，1＋2]C ．[1－2，1]D ．[1，1＋3]解析：选B.由A ＝(x －1，x ＋1，1)，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －2|x －1|，得A ⊗B ＝max{x －1，(x ＋1)(x －2)，|x－1|}＝x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥(x ＋1)(x －2)，x －1≥|x －1|.化简，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1≤0①，x －1≥|x －1|②.由①，得1－2≤x ≤1＋2.由②，得x ≥1.所以不等式组的解集为1≤x ≤1＋2，则x 的取值范围为[1，1＋2]．故选B.7．(2018·长沙模拟)某班级有一个学生A 在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑完一圈，在学生A 开始跑步时，在教室内有一个学生B ，往操场看了一次，以后每50秒他都往操场看一次，则该学生B “感觉”到学生A 的运动是( )A ．逆时针方向匀速前跑B ．顺时针方向匀速前跑C ．顺时针方向匀速后退D ．静止不动解析：选C.令操场的周长为C ，则学生B 每隔50秒看一次，学生A 都距上一次学生B 观察的位置C26(弧长)，并在上一次位置的后面，故学生B “感觉”到学生A 的运动是顺时针方向匀速后退的，故选C.8．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤6，x －3y ≤－2，x ≥1，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最小值为2，则1a ＋3b的最小值为 ( )A ．2＋ 3B ．5＋2 6C ．8＋15D ．2 3解析：选A.作出约束条件所对应的可行域，如图中阴影部分．因为a ＞0，b ＞0，所以－ab ＜0.所以目标函数z ＝ax ＋by 在点A (1，1)处取得最小值2，即2＝a ×1＋b ×1，所以a ＋b ＝2.所以1a ＋3b ＝12×⎝⎛⎭⎫1a ＋3b (a ＋b )＝12⎝⎛⎭⎫4＋b a ＋3a b ≥12(4＋23)＝2＋3⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝3a b ，即b ＝3a 时取等号.故选A.9．(一题多解)(2018·合肥质量检测)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －2≤0，ax －y －a ≤0，若z ＝2x ＋y 的最大值为72，则a 的值为( )A ．－72B ．0C ．1D ．－72或1解析：选C.法一：由z ＝2x ＋y 存在最大值，可知a ＞－1，显然a ＝0不符合题意．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －2≤0，ax －y －a ≤0所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x ＋y －2＝0与ax －y －a ＝0的交点时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，ax －y －a ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2a ＋1，y ＝a a ＋1，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2a ＋1，y ＝a a ＋1代入2x ＋y ＝72得a ＝1，故选C.法二：由z ＝2x ＋y 存在最大值，可知a ＞－1，显然a ＝0不符合题意．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －2≤0，ax －y －a ≤0所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x ＋y －2＝0与ax －y －a ＝0的交点时，z 取得最大值72，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，2x ＋y ＝72，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12，把⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12代入ax －y －a ＝0得a ＝1，故选C. 10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为 ( )A.15万元 C ．17万元D ．18万元解析：选D.设生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，获利润z 万元，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，画出可行域如图中阴影部分所示，直线z ＝3x ＋4y 过点M 时，z ＝3x ＋4y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，所以M (2，3)，故z ＝3x ＋4y 的最大值为18，故选D.11．(2018·兰州模拟)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹(一根根同样长短和粗细的小棍子)来进行运算．算筹的摆放有纵式、横式两种(如图所示)．当表示一个多位数时，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空．例如3 266用算筹表示就是，则8 771用算筹应表示为( )解析：选C.由算筹的定义，得8 7 7 1(千位)横式 (百位)纵式 (十位)横式 (个位)纵式，所以8 771用算筹应表示为，故选C.12．(2018·太原模拟)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋11＋11＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋1x ＝x 求得x ＝5＋12.类比上述过程，则3＋23＋2…＝( )A ．3 B.13＋12C ．6D ．2 2解析：选A.令3＋23＋2…＝x (x ＞0)，两边平方，得3＋23＋2…＝x 2，即3＋2x ＝x 2，解得x ＝3，x ＝－1(舍去)，故3＋23＋2…＝3，选A.二、填空题13．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )*(x ＋a )≤1对任意的x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由于(x －a )*(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，则不等式(x －a )*(x ＋a )≤1对任意的x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1≥0恒成立，所以a 2－a －1≤x 2－x 恒成立，又x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14≥－14，则a 2－a －1≤－14，解得－12≤a ≤32. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，32 14．设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4，4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0，2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4，4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意．综上可知k ＝2.答案：215．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________．解析：由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．答案：乙16．记min{a ，b }为a ，b 两数的最小值．当正数x ，y 变化时，令t ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2x ＋y ，2y x 2＋2y 2，则t 的最大值为______．解析：因为x ＞0，y ＞0，所以问题转化为t 2≤(2x ＋y )·2yx 2＋2y 2＝4xy ＋2y 2x 2＋2y 2≤4·x 2＋y 22＋2y 2x 2＋2y 2＝2(x 2＋2y 2)x 2＋2y 2＝2，当且仅当x ＝y 时等号成立，所以0＜t ≤2，所以t 的最大值为 2.答案： 2。
