3.1.1两角和与差的余弦公式学案

必修四第3章 三角恒等变形3．1.1 两角差的余弦公式教学目标1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。

2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。

3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣教学重点与难点1、重点：应用两角差的余弦公式求三角函数值2、难点：应用两角差的余弦公式求三角函数值[知识要点]．两角差的余弦公式cos(α–β)＝cosαcos β+ sinαsinβ[预习自测]1、(易)tan 2tan 3αβ==,则tan()αβ-=( )A.7-B.15 C.15- D.17-2、(易)设(0,)2απ∈,若3sin 5α=,)4απ+=( ) A.15 B.75 C.75- D.15- 3、(易)sin110sin 40cos 40cos70+等于( )A.12- C.12D.4、(中)0000(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++的值等于( )A.16B.8C.4D.25、(中)13sin10sin 80-的值是( ) A.1 B.2 C.4 D.146、(中)sin 1212ππ的值是( )B. D.-12 [归纳反思]能力提升 7、(易)已知3sin 5α=-,α是第四象限角,则sin 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭=____________. 8、(中)若tan()24πα+=,则212sin cos cos ααα=+____________.9、(中)0000tan 20tan 4020tan 40+=_____________. 10、(中)化简:()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣⎦. 11、(中)已知44απ3π<<,0＜β＜4π,cos(4π+α)=－53,sin(43π+β)=135, 求sin(αβ+)的值.参考答案预习自测: 1.D tan tan 23tan()1tan tan 123αβαβαβ---==++⨯=17- 2.A ∵(0,)2απ∈,3sin 5α=,∴4cos 5α=, 原式cos sin sin )44ααππ-=431cos sin 555αα-=-= 3.B 原式cos 40cos 70sin 40sin(18070)=+- cos 40cos70sin 40sin 70=+=3cos(4070)cos(30)2-=-=4.C 0000(1tan 21)(1tan 24)2,(1tan 22)(1tan 23)2++=++=,更一般的结论045,(1tan )(1tan )2αβαβ+=++=,5.C 原式cos103sin10sin10cos10-=()2sin 301041sin 202-= 6.B 原式=12sin cos 212212⎛⎫ππ- ⎪⎝⎭=2sin 2sin 1234πππ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭能力提升 7.10 由3sin5α=-,α是第四象限角,得4cos 5α===, 于是有sin sin cos cos sin 444ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πππ432525⎛⎫=-- ⎪⎝⎭= 8.23 由1tan tan()241tan αααπ++==-,得1tan 3α= ∴212sin cos cos ααα=+2222sin cos tan 122sin cos cos 2tan 13ααααααα++==++∵0000000tan 20tan 40tan 60tan(2040)1tan 20tan 40+=+==-000020tan 40tan 20tan 40=+,即原式10.解:()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣⎦ = ()()()1sin cos sin sin 2αβααβααβα+-++-+-⎡⎤⎣⎦= ()()()()()1sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin 2αβααβααβααβααβα+-+++-+++⎡⎤⎣⎦ =()()sin cos cos sin αβααβα+-+=()sin αβα+-=sin β11.解:∵4π＜α＜4π3, ∴2π＜4π+α＜π.又cos(4π+α)=－53, ∴sin(4π+α)=54. 又∵0＜β＜4π, ∴4π3＜4π3+β＜π.又sin(4π3+β)=135, ∴cos(4π3+β)=－1312, ∴sin(α+β)=－sin ［π+(α+β)］=－sin ［(4π+α)+(4π3+β)］ =－［sin(4π+α)cos(4π3+β)+cos(4π+α)sin(4π3+β)］ =－［54×(－1312)－53×135］=6563.。

3.1.1 两角和与差的余弦一、课题：两角和与差的余弦二、教学目标：1．掌握两点间的距离公式及其推导；2．掌握两角和的余弦公式的推导；3．能初步运用公式()C αβ±来解决一些有关的简单的问题。

三、教学重点：两点间的距离公式及两角和的余弦公式的推导。

四、教学难点：两角和的余弦公式的推导。

五、教学过程： （一）复习：1．数轴两点间的距离公式：12MN x x =-．2．点(,)P x y 是α终边与单位圆的交点，则sin ,cos y x αα==． （二）新课讲解：1．两点间的距离公式及其推导设111222(,),(,)P x y P x y 是坐标平面内的任意两点，从点12,P P 分别作x 轴的垂线1122,PM P M ，与x 轴交于点1122(,0),(,0)M x M x ；再从点12,P P 分别作y 轴的垂线 1122,PN P N ，与y 轴交于点1122(0,),(0,)N y N y ．直线11PN 与22P M 相交于点Q ，那么11221PQ M M x x ==-， 21221QP N N y y ==-．由勾股定理，可得2221212PP PQ QP =+2212x x y y =-+- 222121()()x x y y =-+-∴12PP =．2．两角和的余弦公式的推导在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作角,αβ与β-，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点1P ，终边交⊙O 于点2P ；角β的始边为2OP ，终边交⊙O 于点3P ；角β-的始边为1OP ，终边交⊙O 于点4P ，则点1234,,,P P P P 的坐标分别是1(1,0)P ，2(cos ,sin )P αα， 3(cos(),sin())P αβαβ++，4(cos(),sin())Pββ--， 1324PP P P =，∴22[cos()1]sin ()αβαβ+-++22[cos()cos ][sin()sin ]βαβα=--+--得：22cos()αβ-+22(cos cos sin sin )αβαβ=-- ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-．（()C αβ+）3．两角差的余弦公式在公式()C αβ+中用β-代替β，就得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ （C αβ-）说明：公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。

3.1.1 两角差的余弦公式 （名师：郑莹莹）一、教学目标 （一）核心素养掌握用向量方法建立两角差的余弦公式. 在探究公式的过程中,逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力,培养学生学会合作交流的能力. （二）学习目标1.通过探索完成两角差余弦公式的推导2.通过公式的简单应用,使学生初步理解公式的结构及其功能,并为建立其他和（差）角公式打好基础. （三）学习重点通过探索得到两角差的余弦公式 （四）学习难点探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题等等. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 已知2cos 45=，3cos30=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=是不是等于cos 45cos30-呢？如果不是，那cos15?=o2.预习自测（1）下列式子中正确的个数是( )①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β； ③cos(π2－α)＝cos α；④cos(π2＋α)＝cos α. A ．0 B ．1C ．2D ．3 答案：A ．解析：【知识点】两角差的余弦公式 【解题过程】①②③④都错点拨：每个都配凑成标准两角差的余弦公式型. （2）计算12sin 60°＋32cos 60°＝________.答案：32 解析：【知识点】特殊角的三角函数值，两角差的余弦公式 【解题过程】原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60° ＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝32.点拨：先将常值换成三角函数型，在结合公式.（3）设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A.75 B.15 C ．－75 D ．－15 答案：A ．解析：【知识点】两角差公式的展开形式【解题过程】∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，∴cos α＝45. ∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4＋sin αsin π4＝cos α＋sin α＝45＋35＝75.点拨：先求出需要的三角函数值，再套用公式.(二)课堂设计 1.知识回顾（1）三角函数的定义 （2）两个向量的数量积公式 2.问题探究 探究一 ●活动1在预习任务中我们提出的cos15?=o ，同学们发现它并不是直接将cos 45-cos30︒o.下面我们一起来探究一下两角差的余弦公式()cos ?αβ-=在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为p ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.） 【设计意图】通过已经学习过的三角函数线的基本定义，运用数形结合的思想，和学生一起探索出两角差的几何位置. ●活动2我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？ 2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 在证明公式之前先引导学生结合三角函数知识写出点A 、点B 的坐标.证明：在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为 始边作角αβ、，其中，且[]0,αβ∈、πβα≥，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B ，则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ==由向量数量积的坐标表示，有：βαβαββααsin sin cos cos )sin ,(cos )sin ,(cos +=∙=∙由[]π,0,∈βα，且βα≥知[]πβα,0∈-，那么向量OA 的夹角就是βα-，由数量积的定义，有cos()cos()OA OB OA OB αβαβ∙=-=-于是βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- （1） 由于我们前面的推导均是在[]0,αβ∈、π，且βα≥的条件下进行的，因此（1）式还不具备一般性.事实上，只要[]πβα,0∈-，βα-所表示的就是向量,OA OB 的夹角.（这一点可以结合图形作出说明.）但是，若[]πβα,0∉-，（1）式是否依然成立呢？ 当[]πβα,0∉-时，设与的夹角为θ，则cos cos OA OB OA OB θθ∙==βαβαsin sin cos cos +=另一方面，θβπα++=k 2，于是,,2Z k k ∈+=-θπβα所以θβαcos )cos(=-也有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-【设计意图】在探究公式的过程中，教材不要求学生做到一步到位.首先对角选择较为特殊的范围来进行探究，能让学生从整体上感知本节课所要探究的途径与目的，让大部分学生都参与到探究中来，避免部分学生一开始就感觉到困难，提不起向下探究的兴趣. 探究二 ●活动①对任意的()cos cos cos sin sin αβαβαβαβ-=+、 ，注：1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）；2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；3.式子中α、β是任意的.【设计意图】和学生一起记忆新公式，并强调如何能准确熟练的记住. 探究三 ●活动1例1利用差角余弦公式求︒15cos 【知识点】两角差的余弦公式 【解题过程】方法一：cos15cos(4530)cos 45cos30sin 45sin 30︒=︒-︒=︒︒+︒︒=方法二：cos15cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45︒=︒-︒=︒︒+︒︒=【思路点拨】先找到与15°相关的特殊角，而它的配凑有几种不同形式，都可以尝试用公式计算..同类型训练题：如何求︒75sin ？解析：【知识点】两角差的余弦，诱导公式. 【数学思想】类比【解题过程】sin 75cos15︒=︒=点拨：把没有学过的形式向已经学习过的转化，当然这个题同时也提出了两角和正弦公式.例2化简求值︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（【知识点】两角差的余弦公式的逆用【解题过程】︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（2160cos )2080cos(=︒=︒-︒=（2）1=cos60sin 602︒=︒所以原式cos60cos15sin 60sin15cos(6015)︒︒+︒︒=︒-︒=点拨：根据结构形式，把公式灵活应用，逆用公式，能将特殊值转化成角的三角函数值形式.答案：（1）12（2同类型训练题：化简求值(1)cos cos(15)sin sin(15)x x x x +︒++︒(2)cos32cos77sin 32cos167︒︒-︒︒答案：（1（2解析：【知识点】两角差的余弦公式的逆用 【解题过程】cos cos(15)sin sin(15)cos(15)cos15x x x x x x +︒++︒=+︒-=︒（1）cos32cos77sin 32cos13cos32cos77sin 32sin 77=cos45︒︒+︒︒=︒︒+︒︒︒（2） 点拨：根据结构形式，把公式灵活应用，逆用公式，能将特殊值转化成角的三角函数值形式. ●活动2例345sin ,(,),cos ,cos()5213πααπββαβ=∈=--已知是第三象限角，求的值 答案：3365-解析：【知识点】同角三角函数关系，两角差的余弦公式 【解题过程】由⎪⎭⎫⎝⎛∈=ππαα,2,54sin ，得53sin 1cos 2-=--=αα又由ββ,135cos -=是第三象限角，得12sin 13β==-所以βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-所以原式=354123351351365⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点拨：先把公式中需要的单角的正弦和余弦值都求出来，此时要注意正负号的象限问题. 再套用两角差的余弦公式就可以了. 同类型训练题：已知αβ、都是锐角，1411)cos(,71cos -=+=βαα，求 βcos 的值.答案：1cos 2β=解析：【知识点】两角差的余弦公式，两角和的余弦公式，同角三角函数的关系 【数学思想】类比归纳【解题过程】法一:由1cos ,0,72παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，得sin α=又由11cos()cos(())cos cos sin sin()=-14αβαβαβαβ+=--=+-所以111cos sin 714ββ⨯=-，同时22cos +sin 1ββ=联立得 1cos 2β=法二:由题知2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，所以sin()sin αβα+== 1cos cos[()]cos()cos sin()sin =2βαβααβααβα∴=+-=+++点拨：此题是对公式的活用，由学生讨论解决.此题一般有两种方法可以求解.一种方法是把)cos(βα+分解，此公式还没推导，但部分学生可能会把βα+看作βα)(--，然后用两角差的余弦公式分解，再结合同角三角函数的基本关系求解.这种方法虽然较繁，但却让学生在无意当中发现了两角和的余弦公式.另一种方法是把β看做两角差，即αβαβ-+=)(，这种方法显然计算要简单得多.通过不同方法的讲解，鼓励学生从不同的角度思考问题，并指引学生在考试中选择较为简便的方法解题.【设计意图】此题理解公式的基础练习，解此题需要思考使用公式前应作出的必要准备，要作出这些必要的准备，需要运用到同角三角函数的知识.解题时必须强调解决三角变换问题的基本要求：思维的有序性和表述的条理性. 3.课堂总结知识梳理（1）了解两角差的余弦公式的推导过程；（2）熟练记忆公式和逆用形式； （3）能利用公式进行简单的化简和求值.重难点归纳（1）了解两角差的余弦公式的推导过程；（2）对公式的简单应用. （三）课后作业基础型 自主突破1.设(0,)2απ∈,若3sin 5α=,)4απ+=( )A.15B.75C.75-D.15-答案：A解析：【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】∵(0,)2απ∈,3sin 5α=,∴4cos 5α=,原式cos cos -+sin sin -44ααππ⎤⎥⎦（）（）=431cos sin 555αα-=-= 点拨：应用公式展开，将对应的函数值代入 2.sin110sin 40cos 40cos 70+等于( )A.12-C.1 2D.答案：B解析：【知识点】两角差的余弦公式的逆用，诱导公式【解题过程】原式cos40cos70sin40sin(18070)=+-cos40cos70sin40sin70 =+=3 cos(4070)cos(30)-=-=点拨：先统一角的形式，使其与两角差的余弦公式形式一致，再用公式化简. 3.1sin10-的值是( )A.1B.2C.4D.14答案：C解析：【知识点】两角差的余弦公式，诱导公式【解题过程】()()()()()32cos10sin102cos103sin10=2cos60cos10sin60sin10=1cos80cos10sin80sin1022cos6010=41cos80102⎫-⎪-⎝⎡⎤-+-⎣⎦+--=-原式点拨：先将特殊值化为具体三角函数，再将公式结构配凑成标准型4.sin1212ππ-的值是( )B.D.-12答案：B解析：【知识点】特殊角的三角函数值，两角差的余弦公式【解题过程】原式=12sin 12212⎫ππ--⎪⎪⎭=2cos 2cos 1264πππ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭ 点拨：先将常数配凑成特殊角的三角函数值，并让整体符合两角差的余弦公式，再化简.5.已知3sin 5α=-,α是第四象限角,则sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=____________.解析：【知识点】同角三角函数关系，两角差的余弦公式，诱导公式【解题过程】由3sin 5α=-,α是第四象限角,得4cos 5α===,于是有sin cos()cos cos sin sin 4444ππππαααα⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭4355⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 点拨：先求出需要的三角函数值，将正弦化成余弦形式，再结合两角差的余弦公式.能培养将未知的转化成已经学习过的知识的迁移能力. 6.不满足sin αsin β＝22－cos αcos β的一组α，β值是( ) A ．α＝π2，β＝π4 B ．α＝2π3，β＝5π12C ．α＝2π3，β＝π12D ．α＝π4，β＝π2答案：C解析：【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】因为sin αsin β＝22－cos αcos β，所以cos(α－β)＝22，经检验C中的α，β不满足点拨:应用公式展开注意逆用.能力型 师生共研7.已知锐角αβ、满足4cos 5α=,1tan(=3αβ--）,求cos β.解析：【知识点】同角的三角函数值的关系，两角差的余弦公式【解题过程】αQ 为锐角,且4cos 5α=,得3sin 5α= 40,0,cos 225ππαβα<<<<=Q ∴22ππαβ-<-<又∵1tan(3αβ-=-） ∴cos()αβ-= 从而sin()tan()cos()αβαβαβ-=--=43cos cos[()]cos cos()+sin sin()(55βααβααβααβ=--=--=+⨯点拨：先求出单角的三角函数值，关键是能将所求角β利用已知的两个整体角αβα-、表示，在求角的时候注意角所在的象限及符号.8.若α为锐角，且cos α＝255，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________.答案：31010解析：【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】由α为锐角，且cos α＝255，可得sin α＝55.于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin αsin π4＝22×255＋22×55＝31010 点拨：应用公式展开注意逆用.探究型 多维突破9.已知sin sin sin 0,cos cos cos 0.αβγαβγ++=++=(1)求cos()αβ-的值;(2)若[0,3αβγ4π∈]、、,求sin()αβγ++的值. 答案：sin()sin 2αβγ++=π=0解析：【知识点】同角三角函数的关系，两角差的余弦公式【解题过程】(1)sin sin sin ,cos cos cos ,αβγαβγ+=-+=-22(sin sin )(cos cos )1,αβαβ+++=22cos()1,αβ+-=∴1cos()2αβ-=-. (2)由(1)同理得11cos(),cos()22βγαγ-=--=-, ∵[0,3αβγ4π∈]、、,由对称性,不防设03αβγ4π≥>>≥, 则03αβ4π<-<,03βγ4π<-<,03αγ4π<-≤, 又由(1)知3αβ2π-=,3βγ2π-=,3αγ4π-=,若0γ>,则33αγ4π4π=+>矛盾！ ∴0γ=,有3β2π=,3α4π=, ∴sin()sin 2αβγ++=π=0.点拨：本着消元的思想，消掉γ进一步配凑出αβ-的整体角的余弦.利用对称思想构造已知角的表示形式，进一步推出矛盾.10.若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为( )A.π6B.π4C.3π4D.5π6答案：C解析：【知识点】两角差的余弦公式，配角【解题过程】∵0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0,0<2α<π，∴由cos(α－β)＝55，得sin (α－β)＝－255，由cos 2α＝1010，得sin 2α＝31010.∴cos(α＋β)＝()cos 2ααβ--⎡⎤⎣⎦＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝1010×55＋31010×⎝⎛⎭⎪⎫－255＝－22. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.点拨：公式形式牢记，利用已知角配凑α＋β自助餐 1.cos 110°cos 20°+sin 110°sin 20°= ( )A.122C.0答案：C解析：【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】cos(11020)cos900︒-︒=︒=点拨：公式形式牢记，逆用. 2.2cos10sin 20cos 20-的值是( )C.1D.12答案：A解析：【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】2cos10sin 20cos 20-2cos 3020sin 20=cos 20--o o o o （） 点拨：角的拆分，要尽量统一角的形式结合特殊角三角函数值.3.已知A 、B 均为钝角,sin A =sin B =则A +B 的值为( ) A.74π B.54π4D.4π答案：A解析：【知识点】两角差的余弦公式，两角和的余弦公式.【解题过程】,,cos 22A B A B ππ<<π<<π∴==cos()cos cos sin sin =(A B A B A B +=-=724A B A B ππ<+<π∴+= 点拨：将两角和的余弦配成[]cos cos cos sin sin A B A B A B -=-（-）由此题也就推导出了两角和的余弦公式4.函数22sincos()336x x y π=++的图象中相邻两对称轴的距离是________. 答案：32π 解析：【知识点】两角差的余弦公式，三角函数图形性质.【解题过程】22222sincos cos sin sin cos cos sin sin 336363636x x x x x y ππππ=+-=+ 22cos(),3362/3x T ππ=-==π,相邻两对称轴的距离是周期的一半 点拨：先将函数式化简，要先用到两角和的余弦公式，学生可以通过上面的问题总结出公式，或者也可以将“和”转化为“差”在理解.再逆用两角差的公式收拢.5.若,22sin sin =+βα则cos cos αβ+的取值范围.答案：cos cos αβ≤+≤ 解析：【知识点】同角的三角函数关系，两角差的余弦公式【解题过程】令cos cos t αβ+=,则2221(sin sin )(cos cos ),2t αβαβ+++=+ 221322cos(),2cos()22t t αβαβ+-=+-=-2231722,,222t t t -≤-≤-≤≤≤≤点拨：整体换元的思想，利用同角三角函数的关系，构造两角差的余弦公式，结合函数思想将cos()αβ-表示成t 的函数，通过值域求出t 的范围.6．已知α，β∈[3π4，π]，sin ()α＋β＝－35，sin （β－π4）＝1213，则cos （α＋π4）＝________.答案：－5665解析：【知识点】同角的三角函数关系，两角差的余弦公式【解题过程】∵α，β∈[3π4，π].∴α＋β∈[3π2，2π]，β－π4∈[π2，3π4]，又sin(α＋β)＝－35，sin （β－π4）＝1213，∴cos(α＋β)＝1－sin 2(α＋β)＝45，cos （β－π4）＝－1－sin 2(β－π4)＝－513.∴cos （α＋π4）＝cos[(α＋β)－（β－π4）]＝cos(α＋β)cos （β－π4）＋sin(α＋β)sin （β－π4）＝45×（－513 ）＋（－35 ）×1213＝－5665. 点拨：整体换元的思想，利用同角三角函数的关系，构造两角差的余弦公式.。

必修四第3章 三角恒等变形3．1.1 两角和与差的余弦使用说明：“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评． “合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评． “巩固练习”5分钟，组长负责，组内点评．“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题． “能力展示”5分钟，教师作出总结性点评．通过本节学习应达到如下目标：1、掌握两角和与差的余弦的公式的推导.2、掌握两角和与差的三角公式的结构特点与功能.3、能运用公式解决基本基本三角函数式的化简、求值、证明等问题.学习重点：应用两角差的余弦公式求三角函数值学习难点：应用两角差的余弦公式求三角函数值学习过程两角差的余弦公式cos(α–β)＝cosαcos β+ sinαsinβ二.合作探讨如何应用两角差的余弦公式求三角函数值巩固练习1、(易)sin(27)cos(18)sin(18)cos(27)x x x x +-+-+=( )A.12B.12- C.- D.2、(中)tan20tan(50)1 tan20tan50--=-( )A.C.3- D.33、(中)2cos10sin20cos20-的值是( )C.1D.124、(中)已知11tan(),tan34αββ+==则tanα的值为( )A.112B.113C.713D.12135、(难)如果sin()2009sin()2010αβαβ-=+,则( )A.14019B.14019- C.4019 D.4019-6、(难)已知A.B均为钝角,sin5A=,sin10B=,则A+B的值为( ) A.74πB.54πC.34πD.4π7、(中)︒+︒︒-︒15cos15sin15cos15sin=_______8、(中)函数22sin cos()336x xyπ=++的图象中相邻两对称轴的距离是.9、(中)若,22sinsin=+βα则βαcoscos+的取值范围. .个人收获与问题知识：方法：=βαtantan我的问题：五.拓展能力：10、(中)化简:［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·︒80sin 22.11、(难)已知tan tan αβ，是一元二次方程22(42)230mx m x m +-+-=的两个不等实根,求函数2()53tan()4f m m m αβ=+++的值域.答案：1.D 原式=sin(2718)sin 45x x ++-==22.B 原式=tan 20tan 501113tan 50tan 20tan(5020)tan 30+===--3.A 2cos10sin 20cos 20-=2cos 3020sin 20cos 20--（）20sin 20- 4.B []tan()tan tan tan ()1tan()tan αββααββαββ+-=+-=++⋅=113 5.C 可得2010sin cos 2010cos sin 2009sin cos 2009cos sin αβαβαβαβ-=+, ∴sin cos 4019cos sin αβαβ=,得tan 4019tan αβ=,∴tan 4019tan αβ=.6.A ,,cos 22A B A B ππ<<π<<π∴==cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-=(5105102-⨯--= 又724A B A B ππ<+<π∴+= 7.－33 把原式分子、分母同除以cos15°,有 ︒+︒︒-︒15cos 15sin 15cos 15sin =115tan 115tan +︒-︒=145tan 15tan 45tan 15tan +︒︒︒-︒=tan(15°－45°)=tan(－30°)=－33. 8.32π 22222sin cos cos sin sin cos cos sin sin 336363636x x x x x y ππππ=+-=+ 22cos(),3362/3x T ππ=-==π,相邻两对称轴的距离是周期的一半9.22t -≤≤ 令cos cos t αβ+=, 则2221(sin sin )(cos cos ),2t αβαβ+++=+ 221322cos(),2cos()22t t αβαβ+-=+-=-2231722,,222t t t -≤-≤-≤≤≤≤10.解:原式=［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·︒80sin 22 =［2sin50°+sin10°(1+3︒︒10cos 10sin )］·︒10cos 22 =［2sin50°+sin10°(︒︒+︒10cos 10sin 310cos )］·︒10cos 22 =(2sin50°+2sin10°·︒︒10cos 50cos )·2cos10° =22(sin50°cos10°+sin10°·cos50°) =22sin60°=6.11.解:由已知,有12tan tan m m αβ-+=,23tan tan 2m m αβ-=·, 24tan()3m αβ-∴+=. 又由0∆>,知10(0)2m ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭，，∞, 2224()534(1)33m f m m m m -∴=++=++·. 当10(0)2m ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭，，∞时()f m 在两个区间上都为单调递增, 故所求值域为134(4)4⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，∞.。

3.1.1《两角差的余弦公式》教学设计本节课中心任务是通过已知的平面向量和三角函数的知识，探索推导出两角差的余弦公式。

并通过简单的运用，使学生初步理解公式的由来、结构、功能及其运用，分一课时完成。

三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇点上，两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材。

所以，从知识的结构和内容上看都具有承上启下的作用。

二、教学实录1.教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式。

通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其他和（差）公式打好基础。

2.教学重、难点（1）教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式。

（2）教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等。

3.学法与教学用具（1）学法：启发式教学。

（2）教学用具：多媒体。

导入：我们在初中时就知道cos45°=，cos30°=，由此我们能否得到cos15°=cos（45°-30°）=？大家可以猜想，是不是等于cos45°-cos30°呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式cos（a-β）=？探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角a的终边与单位圆的交点为P1，cosa等于角a与单位圆交点的横坐标，也可以用角a的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角a-β？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来。

）展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索cos（a-β）与cosa、cosβ、sina、sinβ之间的关系，由此得到cos（a-β）=cosacosβ+sinasinβ，认识两角差余弦公式的结构。

3.1.1两角和与差的余弦新知初探 两角和与差的余弦公式C α＋β：cos(α＋β)＝C α－β：cos(α－β)＝ .思考：用向量法推导两角差的余弦公式时，角α、β终边与单位圆交点P 1、P 2的坐标是怎样得到的？小试身手1．cos 22°cos 38°－sin 22°sin 38°的值为( )A.12B.13C.32D.33 2．化简cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β为( )A ．sin(2α＋β)B ．cos(2α－β)C ．cos αD ．cos β3．cos (－40°)cos 20°－sin (－40°)sin (－20°)＝________.题型探究类型一 利用两角和与差的余弦公式化简求值【例1】 (1)cos 345°的值等于( )A ．2－64 B ．6－24 C ．2＋64 D ．－2＋64(2)化简下列各式：①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.[思路探究] 利用诱导公式，两角差的余弦公式求解．规律方法1．在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．跟踪训练1．求下列各式的值：(1)cos 13π12； (2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)；(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)．类型二 给值(式)求值【例2】 (1)已知cos α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫32π，2π，则cos α－π3＝________. (2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值． [思路探究] (1)可先求得sin α，再用两角差的余弦公式求cos ⎝⎛⎭⎫α－π3； (2)可考虑拆角即α＝(2α＋β)－(α＋β)来求cos α.方法归纳给值求值的解题步骤：(1)找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异.(2)拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等. (3)求解.结合公式C α±β求解便可.跟踪训练2．已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos β的值．类型三 已知三角函数值求角【例3】 已知α，β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，求α－β的值． [思路探究] 本题可先求出cos(α－β)的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值．规律方法1．这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解．2．确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定． 跟踪训练3．设α，β是锐角，sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，求证：β＝π3.类型四 利用角的变换求三角函数值[探究问题]1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？2．利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？3．若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？【例4】 若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2的值为( ) A ．33 B ．－33C ．539D ．－69[思路探究] 利用角的交换求解，α＋β2＝⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2. 规律方法巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角.主要针对已知某些角的三角函数值，求(或证明)另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角”有：①单角变为和(差)角，如α＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2等；②倍角化为和(差)角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)等等.跟踪训练4．设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2的值．课堂小结对公式C (α－β)和C (α＋β)的三点说明(1)公式的结构特点：公式的左边是差(和)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和(差)式，可用口诀两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．(2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2－α－β2中的“α＋β2”相当于公式中的角α，“α－β2”相当于公式中的角β. (3)公式的“活”用：公式的运算要“活”，体现在顺用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面： ①公式本身的变用，如cos(α－β)－cos α cos β＝sin α sin β.②角的变用，也称为角的变换，如cos α＝cos[(α＋β)－β]等.当堂达标1．下列式子中，正确的个数为( )①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin α；③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos β等于( ) A ．3365 B ．－3365 C ．5475 D ．－54753．sin 75°＝________.4．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，求cos β的值．【参考答案】新知初探cos_αcos_β－sin_αsin_β.cos_αcos_β＋sin_αsin_β.思考： [提示] 依据任意角三角函数的定义得到的．以点P 为例，若设P (x ，y )，则sin α＝y 1，cos α＝x 1，所以x ＝cos α，y ＝sin α，即点P 坐标为(cos α，sin α)． 小试身手1．A 【解析】原式＝cos (22°＋38°)＝cos 60°＝12. 2．C 【解析】原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.3． 12【解析】原式＝cos(－40°)·cos(－20°)－sin (－40°)·sin(－20°)＝cos[－40°＋(－20°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12. 题型探究【例1】 (1)C 【解析】cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝6＋24. (2) 解 ①原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝22，所以原式＝22； ②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝32. 跟踪训练1．解 (1)cos 13π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π12＝－cos π12 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫3π12－2π12＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4－π6 ＝－⎝⎛⎭⎫cos π4cos π6＋sin π4sin π6＝－⎝⎛⎭⎫22×32＋22×12＝－6＋24. (2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280°＝－sin 80°sin 20°－cos 20°cos 80°＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°)＝－cos 60°＝－12. (3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)·sin(40°－α)＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)]＝cos 60°＝12. 【例2】 (1)3－4310 [因为cos α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫32π，2π， 所以sin α＝－45， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝35×12＋⎝⎛⎭⎫－45×32＝3－4310.] (2)解：因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.又因为cos(α＋β)＝1213，所以0<α＋β<π2，所以0<2α＋β<π. 又因为cos(2α＋β)＝35，所以0<2α＋β<π2， 所以sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45， 所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665. 跟踪训练2．解 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)． 又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314. 又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.【例3】解 ∵α，β均为锐角，cos α＝255，cos β＝1010， ∴sin α＝55，sin β＝31010， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255×1010＋55×31010＝22.又sin α<sin β，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4. 跟踪训练3． [证明] 由0<α<π2，0<β<π2，知0<α＋β<π， 又cos(α＋β)＝－1114， 故sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β) ＝1－⎝⎛⎭⎫－11142＝5314. 由sin α＝437，可知 cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫4372＝17， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝5314×17－⎝⎛⎭⎫－1114×437＝32，∴β＝π3. [探究问题]1． [提示] cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.2． [提示] cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)．3． [提示] cos(α－β)＝2－a 2－b 22. 【例4】C 【解析】∵0<α<π2，－π2<β<0，∴π4<α＋π4<3π4，π4<π4－β2<π2， 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539.故选C. 跟踪训练 4．解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－181＝459，cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－49＝53， ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. 当堂达标1．A 【解析】由cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β知①③错误，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α，故②错误，故选A.2．A【解析】因为α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513， 所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α ＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A. 3． 6＋24【解析】sin 75°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24. 4．解 ∵α，β都是锐角且cos α＝55<12， ∴π3<α<π2， 又sin(α＋β)＝35>12，∴π2<α＋β<π，∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－45， sin α＝1－cos 2α＝255，∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.。

人教B版必修4 3.1.1两角和与差的余弦教案数学与系统科学学院08304079 华聪聪一．课题：3.1.1两角和与差的余弦二．课型：新授课三．课时：第一课时四．教学内容分析（一）教学主要内容：本节课主要内容是推导两角和与差的余弦的公式，并会利用公式计算求值，运用公式的逆用和角的变角等知识。

（二）教材的编写特点1.本节课内容在单元中的地位：本节课是第三章的第一节，标志着两个角的和与差函数的学习就此拉开了序幕。

本节课的推导有利于以后几节课的学习。

本节课是在第一章诱导公式的基础上展开的。

2.本节教材编写的意图：本节教材在编写中注重了让学生用向量的思想去解决问题，例题中强调了公式的正用，逆用及变角的思想，注重学生的逆向思维。

五．学情分析（一）学生的知识技能基础学生在之前的学习中已经学习过了三角函数，正弦，余弦等，也学习了诱导公式及对三角函数中特殊角的求值。

学生们已经具备了很高的分析解决能力。

对三角函数的认识及了解也十分充分了，具备了三角函数中的学习的基本技能。

（二）学生的活动经验基础作为高中生已经比较熟悉了三角函数，在之前的学习过程中也接触过从具体情境中找规律的探索活动，并且在以前的数学学习中已经经历了多次小组讨论合作学习的过程。

学生具备了一定的归纳总结，表达的能力。

基本上能在教师的引导下就莫一问题展开讨论。

因此，具备了从向量的知识探索到两角差的余弦的能力。

（三）学生的思维水平以及学习风格高中生思维逐步走向成熟也比较理性，想问题也很全面，对老师提出的问题也会积极思考。

对知识的理解和把握也很到位而且高中生也面临着高考，对知识会有更深一步的思考。

在授课过程让学生们思考会让他们更牢记知识点，发挥学生学习的主动性，主动思考问题。

（四）学生的学习方式和学法分析用探索和发展的的思维，在实例的基础上设立富有挑战性问题，让学生们思考问题，小组合作，促进学生的学习兴趣。

经过实力探究，把公式和结论总结出来。

让同学们领悟数学来源于实践，又反过来作用于实践的辩证原理。

3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式（名师：余枝）一、教学目标：（一）核心素养本节课是三角恒等变形的基础，是正弦线、余弦线、诱导公式的延伸，通过本节课的学习，了解两角和与差的正弦、余弦和正切公式的重要性，通过公式的推导，培养学生探索精神，进一步提高学生的推理能力和运算能力，使学生体会一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用.（二）教学目标1.两角和的余弦公式的推导及应用；2.两角和与差的正弦公式的推导及应用；3.两角和与差的正切公式的推导及应用；4.运用公式进行化简、求值、证明.（三）学习重点1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导；2．熟练掌握公式的应用.（四）学习难点公式的推导及综合运用，合理选取公式，熟练掌握公式的逆用.二、教学过程（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第128页至第131页．（2）想一想：利用两角差的余弦公式如何推导两角和的余弦公式？如何熟记和角公式与差角公式？2．预习自测（1）sin(3045)________+=.．解析：【知识点】两角和的正弦公式的应用【数学思想】逻辑推理【解题过程】12sin(3045)sin 30cos 45cos30sin 452+=+=⨯=点拨：熟记公式（2）cos55cos5sin 55sin 5________-=. 答案：12． 解析：【知识点】两角差的余弦公式 【数学思想】逻辑推理【解题过程】1cos55cos5sin 55sin 5cos(555)cos 602-=+== 点拨：熟记公式（3）若tan()24a π-=，则tan _______a =.答案：3-．解析：【知识点】两角差的正切公式的应用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】tan tantan 14tan()241tan 11tan tan 4παπααπαα---===+⨯+，所以tan 3α=- 点拨：注意公式的逆用（4）已知3sin 5α=-a 是第四象限角，求sin(),cos(),tan()444πππααα-+-的值.；7- 解析：【知识点】两角和与差的弦、切公式的应用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】因为3sin 5α=- a 是第四象限角，所以43cos ,tan 54αα==-，利用公式可得：sin()4πα-=cos()4πα+=tan()74πα-=-点拨：熟记公式.(二)课堂设计 1．知识回顾（1）两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-的推导； （2）公式()C αβ-的应用. 2．问题探究探究一 从公式()C αβ-出发，如何探求两角和的余弦公式()C αβ+？ ●活动 从公式()C αβ-出发，引导学生推导余弦公式()C αβ+我们已经知道两角差的余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-，其中αβ、是任意角.大胆猜想两角和的余弦公式呢？从角αβ+与αβ-的关系进行联想，我们容易知道()+=αβαβ--，再根据诱导公式，所以[]cos()cos ()cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=- 于是我们得到了两角和的余弦公式，简记作()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-【设计意图】引导学生发现和探究新知，培养学生探索知识的能力． 探究二 如何用αβ、的正、余弦来表示()sin αβ± ●活动① 回顾两角和与差的余弦公式和诱导公式()C αβ-：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-sin()cos ,cos()sin 22ππαααα-=-=【设计意图】引导学生思维上的转变.●活动② 利用两角和与差的余弦公式推导两角和与差的正弦公式sin()cos ()cos ()cos()cos sin()sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=--=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦得到两角和与差的正弦公式，简记作()S αβ+；()S αβ-.()S αβ+：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ()S αβ-：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-【设计意图】让学生掌握公式的推导过程. 探究三 探究如何推导两角和与差的正切公式 ●活动① 怎样用αβ、的正切表示()tan αβ±()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-当cos cos 0αβ≠时，分子和分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 我们得到两角和与差的正切公式，简记作()T αβ+；()T αβ-.()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()T αβ-：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+注意：)(2,2,2z ∈+≠+≠+≠+k k k a k ππβππππβα【设计意图】引导学生探究：化切为弦，化未知为已知，再化弦为切，利用单角的正切来表示和差的正切.●活动② 理解6个和、差角公式的内在联系【设计意图】借助对公式的更深入的理解，是学生能更加灵活运用公式.●活动③ 巩固基础，检查反馈例1 ①已知3cos ,(,)52πθθπ=-∈，求sin()3πθ+的值②已知12sin ,13θθ=-是第三象限角，求cos()6πθ+的值【知识点】和角公式的正确使用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】①4sin 25πθπθ∈∴==（，）413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=②θ是第三象限角，5cos 13θ∴==-5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=【思路点拨】熟记公式 【答案】①sin()3πθ+=；②cos()6πθ+= 同类训练 已知tan 3α=，求tan()4πα+的值.【知识点】两角和的正切公式的应用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】tan tan314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯- 点拨：熟记公式答案：tan()24πα+=-例2 求下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos 72sin 42- （2）cos 20cos 70sin 20sin 70-（3）1tan151tan15+-【知识点】公式的逆用 【数学思想】归纳推理【解题过程】（1）sin 72cos 42cos 72sin 42-=1sin(7242)sin 302-== （2）cos 20cos 70sin 20sin 70-=cos(2070)cos900+==（3）1tan151tan15+-=tan 45tan15tan(4515)tan 6031tan 45tan15+=+==-【思路点拨】正确认识公式的正用和逆用 【答案】12，0 同类训练 计算：（1）sin 7cos37sin 83sin 37︒︒-︒︒（2）21tan 75tan 75 -︒︒答案：12-；-解析：【知识点】和、差角公式 【数学思想】归纳推理 【解题过程】（1）sin 7cos37sin 83sin 37︒︒-︒︒=1sin 7cos37cos 7sin 37sin(737)sin(30)2︒︒-︒︒=︒-︒=-=-（2）tan 75tan(4530)2=+==原式=-点拨：利用公式可求特殊角的三角函数值 例3 化简：（1）1cos 2x x（2cos x x +【知识点】和、差角公式的逆用 【数学思想】转化思想【解题过程】1cos cos cos sin sin cos()2333x x x x x πππ-=-=+1cos cos )2(cos sin sin cos )2sin()2666x x x x x x x πππ+=+=+=+ 点拨：从题目所给是结构可以看出，它们呈现和（差）角公式的部分形态，所以可以考虑对公式进行变形使用，事实上，此处只需要进行逆用公式即可.答案：cos()3x π+；2sin()6x π+同类训练 化简（1cos )x x -（2x x -【知识点】公式的逆用 【数学思想】转化思想cos )2sin()4x x x π-=-)3x x x π-=+点拨：对和（差）角公式进行正确地逆用.事实上，对公式正确逆用，这是学好任何一个数学公式的必经之路.答案：2sin()4x π-；)3x π+●活动5 强化提升、灵活应用 例4 已知3123,cos(),sin()24135πβαπαβαβ<<<-=+=-，求cos 2α的值 答案：3365-解析：【知识点】使用和差角公式时，利用角的关系化异角为同角 【数学思想】化归思想【解题过程】33,2442ππβαππβ<<<∴-<-<- 30,42ππαβπαβ∴<-<<+<5sin()134cos()5αβαβ∴-==+= 33cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()65ααβαβαβαβαβαβ∴=-++=-+--+=-点拨：常见角的变换：2()()ααβαβ=++- ()ααββ=+-2(),2()αβαβααβαβα+=++-=-+()(),()()222222αββααββααβαβ+-=---=+-+同类训练 已知αβ、是锐角，且11sin )14ααβ=+=-，求sin β解析：【知识点】合理使用和差角公式 【数学思想】转化思想【解题过程】α是锐角，且sin α=1cos 7α∴== 又11cos(),014αβαβπ+=-<+<，sin()αβ∴+==sin sin()sin()cos cos()sin βαβααβααβα∴=+-=+-+=点拨：善于抓住角的关系进行角的转化 3.课堂总结 知识梳理两角和与差的正弦、余弦、正切公式及推导()C αβ-：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-()S αβ+：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ()S αβ-：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- ()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()T αβ-：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+重难点归纳（1）利用和差角公式求一些特殊角的三角函数值； （2）利用角的变换求值；（3）能解决形如：sin cos y a x b x =+的函数问题；（4）利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角恒等变换 （三）课后作业 基础型 自主突破1．sin(17)cos(28)sin(28)cos(17)x x x x +-+-+的值是（ ）A ．12 B ．12-C ．D ．答案：D解析：【知识点】公式的简单应用【解题过程】原式=2sin(1728)sin 45x x ++-== 点拨：熟记公式2．已知123cos ,(,2)132πααπ=∈，则cos()4πα+等于（ ）ABCD ．答案：B解析：【知识点】公式的正用【解题过程】5sin 13α==-，cos()cos cos sin sin 444πππααα+=-=点拨：计算角的三角函数值时需注意角的范围3．在△ABC 中，sin sin cos cos A B A B <，则△ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰三角形 答案：B解析：【知识点】公式的灵活运用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】cos cos sin sin 0A B A B -> cos()0A B ∴+>cos()0C π∴->，即cos 0,cos 0C C -><，2C ππ∴<<点拨：利用三角形内角和定理进行角的转换 4．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的（ ）A ．最大值为1，最小值为1-B ．最大值为1，最小值为21- C ．最大值为2，最小值为2-D ．最大值为2，最小值为1-【知识点】公式的逆用【数学思想】归纳推理【解题过程】1()2(sin )2sin()23f x x x x π==+，[,]22x ππ∈-，则5[,]366x πππ+∈- ()f x ∴最大值为2，最小值为1-点拨：先转化成sin()y x ωϕ=+的形式答案：D5．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值（ ） A ．21 B ．22 C ．22- D ．22±【知识点】公式的灵活运用【数学思想】转化的思想【解题过程】因为2tan()7,tan tan 3αβαβ+=⋅=所以tan tan tan(),1tan tan αβαβαβ++=-⋅ 7tan tan 3αβ+= 所以1tan 2,tan 3αβ==或1tan ,tan 23αβ==；所以tan()αβ-等于1或1-则cos()αβ-=点拨：利用切化弦解决问题答案：D6．已知tan()2,4πα+=则212sin cos cos ααα+的值为________. 答案：23解析：【知识点】三角函数中“1”的替换【数学思想】转化思想 【解题过程】1tan tan()241tan πααα++==- 1tan 3α∴= 222221sin cos tan 122sin cos cos 2sin cos cos 2tan 13αααααααααα++∴===+++ 点拨：熟悉齐次分式的切化弦能力型 师生共研7．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B =______. 答案：3π解析：【知识点】公式的灵活运用【数学思想】逻辑推理【解题过程】tan tan tan tan()(1tan tan )tan A B C A B AB C ++=+⨯-+ tan (1tan tan )tan tan tan tan tan tan tan tan tan C A B CC A B C C A B C =-⨯-+=-++==2tan tan tan B A C ==tan 60B B ∴=∴=点拨：熟悉公式的变形8．若13cos cos sin sin ,cos(),55αβαβαβ-=-=则tan tan _______αβ=. 答案：12解析：【知识点】利用公式进行和差化积【数学思想】转化思想【解题过程】13cos cos sin sin ,cos cos sin sin ,55αβαβαβαβ-=+= 两式相加得：2cos cos 5αβ=，两式相减得：1sin sin 5αβ=，sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ== 点拨：找到角的关系，进行恒等变换探究型 多维突破9．已知(0,)αβπ∈、且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值 答案：34π- 解析：【知识点】灵活运用公式【数学思想】归纳推理思想【解题过程】()1tan tan 3ααββ=-+=⎡⎤⎣⎦()tan(2)tan 1αβαβα∴-=-+=⎡⎤⎣⎦11tan tan (0,)37αβαβπ=<=->∈、 50,6622ππαβπππαβ∴<<<<∴-<-<-324παβ∴-=- 点拨：求三角函数值时要确定角的范围10．已知向量a =(cos ,sin )αα，b= (cos ,sin )ββ，|a -b |= (1)求cos()αβ-的值(2)若0,022ππαβ<<-<<，且5sin 13β=-，求sin α的值 答案：35；3365 解析：【知识点】灵活运用公式【数学思想】归纳推理思想【解题过程】由|a -b|==，即4322cos(),cos()55αβαβ--=-= 由0,022ππαβ<<-<<，得0αβπ<-<，又35cos(),sin ,513αββ-==- 所以412sin(),cos ,513αββ-==[]33sin sin ()sin()cos cos()sin 65ααββαββαββ=-+=-+-= 点拨：三角恒等变形与向量的紧密联系自助餐1．若sin()cos cos()sin ,m αβααβα---=且β为第三象限角，则cos β的值为（ ）AB．CD．答案：B解析：【知识点】公式的简单应用【数学思想】【解题过程】由题知：sin()sin ,cos mm αβαββ--=∴=-==点拨：正确使用诱导公式2．αβγ、、都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan （ ） A ．3π B ．4πC ．π65 D ．π45 答案：B解析：【知识点】两角和的正切公式【数学思想】整体代换 【解题过程】11tan ,tan 25αβ==7tan()1904αβπαβ∴+=<∴<+<tan()tan 3tan()1,(0,)1tan()tan 4αβγπαβγαβγαβγ++∴++==++∈-+ 4παβγ∴++=点拨：角的合理转化3．若A 、B 是△ABC 的内角，且(1tan )(1tan )2+A B +=，则A B +等于_____. 答案：4π解析：【知识点】两角和与差的正切公式的逆用【数学思想】转化思想【解题过程】由题知1tan tan tan tan 2+A B A B ++=，则tan tan 1tan tan A B A B +=- tan tan tan()11tan tan A B A B A B +∴+==-且A 、B 是 △ABC 的内角，故4A B π+=点拨：求角的大小可以先求这个角的某个三角函数值4．已知cos()sin 6παα-+=则7sin()________6πα+=. 答案：45- 解析：【知识点】和角公式的逆用【数学思想】建模思想【解题过程】13cos()sin sin sin sin 622πααααααα-+=++=+=14cos )sin()sin()266574sin()sin()sin()6665ππααααπππαπαα+=+=∴+=∴+=++=-+=- 点拨：学会处理sin cos y a x b x =+型的函数问题5．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π解析：【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用【数学思想】转化思想【解题过程】原式=sin[(3)]cos[(3)]cos(3)sin(3)242664cos(3)sin(3)cos(3)sin(3)46641sin[(3)(3)]sin()64642x x x x x x x x x x ππππππππππππππ-+⋅-+-++=++-++=+-+=-== 点拨：解题时诱导公式可帮助三角函数名的转化6．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.答案：2解析：【知识点】求根公式【数学思想】化归思想 【解题过程】设22150(2sin 50)4(sin 50)2sin(5045)x ±---==± 12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====3275tan )2tan(+==- αβ点拨：利用本章的公式进行恒等变形.。

3.1.1 两角和与差的余弦1．两角差的余弦公式的推导： 在直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边分别作角α，β，其终边分别与单位圆交于点P 1(cos α，sin_α)，P 2(cos_β，sin_β)，则∠P 1OP 2＝α－β，只考虑0≤α－β≤π的情况时，设向量a ＝OP 1→＝(cos α，sin α)，b ＝OP 2→＝(cos β，sin β)，则由数量积的定义有a ·b ＝|a |·|b | cos(α－β)＝cos(α－β)．另一方面，由数量积的坐标运算，有a ·b ＝cos α·cos β＋sin αsin β，从而得公式C (α－β)．预习交流1用向量法证明公式C (α－β)的过程中，角α，β的终边与单位圆分别相交于点P 1，P 2，则向量OP 1→，OP 2→的坐标是如何得到的？提示：由于向量OP 1→的起点为原点，所以向量OP 1→的坐标就是点P 1的坐标．又因为点P 1在角α的终边上且|OP 1→|＝1，由任意角的三角函数的定义知 sin α＝yP 1|OP 1→|，cos α＝xP 1|OP 1→|.因此，yP 1＝sin α，xP 1＝cos α，即有OP 1→＝(cos α，sin α)，同理可知OP 2→＝(cos β，sin β)．2．两角和与差的余弦公式：两角差的余弦公式：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋_sin_αsin_β.(C (α－β))两角和的余弦公式：cos(α＋β)＝_cos_αcos_β－_sin_αsin_β.(C(α＋β))预习交流2cos(α－β)与cos α－cos β相等吗？提示：一般情况下不相等．但在特殊情况下也有相等的时候．例如：当α＝0°，β＝60°时，cos(0°－60°)＝cos 0°－cos 60°.预习交流3(1)计算cos 54°cos 36°－sin 54°sin 36°＝__________.(2)计算cos 195°＝__________.提示：(1)0(2)cos 195°＝cos(180°＋15°)＝－cos 15°＝－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)＝－6＋24.一、运用公式求值求下列各式的值：(1)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋ sin(α－35°)sin(25°＋α)； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°.思路分析：(1)将α－35°，25°＋α分别视为一个角，逆用公式可得解． (2)由7°＝15°－8°，可用两角差的余弦公式解决． 解：(1)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.(2)原式＝cos 15°－8°－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24.1．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313° 的值等于________．答案：12解析：原式＝sin163°sin 223°＋sin(90°＋163°)sin(90°＋223°)＝sin163°sin223°＋cos 163°cos 223°＝cos(223°－163°)＝cos 60°＝12.2．求下列各式的值：(1)sin 123°sin(－12°)＋sin 213°sin 78°；(2)cos(36°＋x )cos(54°－x )＋sin(x ＋36°)sin(x －54°)．解：(1)原式＝sin 123°sin(－12°)＋sin(123°＋90°)sin(－12°＋90°) ＝sin 123°sin(－12°)＋cos 123°cos(－12°)＝cos[123°－(－12°)]＝cos 135°＝cos(180°－45°)＝－cos 45°＝－22.(2)原式＝cos(36°＋x )cos(54°－x )－ sin(x ＋36°)·sin(54°－x ) ＝cos[(36°＋x )＋(54°－x )]＝cos 90°＝0.1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．二、给值求值已知sin(α－β)＝513，sin(α＋β)＝－513，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求cos 2β的值．思路分析：2β＝(α＋β)－(α－β)，且根据已知能求出cos(α－β)，cos(α＋β)，则问题得以解决．解：∵sin(α－β)＝513，α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos(α－β)＝－1213.又sin(α＋β)＝－513，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴cos(α＋β)＝1213.∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×513＝－1．1．若cos α＝55，则 cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为__________． 答案：－1010或31010解析：∵ cos α＝55，∴α为第一或第四象限角． ∴ sin α＝±255.∴ cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝22(sin α＋cos α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫55±255 ＝31010或－1010.2．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos β＝__________.答案：3365解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)．∴ sin α＝45.sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝1213，∴ cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－513×35＋1213×45＝3365.1．利用两角和与差的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式．即把所求的角分解成某两个角的和差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在条件求值或证明题中，应注意已知条件中的角与所求角之间的关系，沟通两角的关系是解决问题的关键．常用的角的变换有：(1)注意常数1，3，33，12，22，32与特殊角的三角函数的互化．(2)变角：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝α＋β2＋α－β2，α＋β＝(2α＋β)－α等．三、给值求角已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β的值． 思路分析：解答本题应先求出cos α，sin β的值，再利用cos(α＋β)的展开式求解；求角时注意角的范围．解：∵α，β为锐角且sin α＝55，cos β＝31010，∴cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255，sin β＝1－cos 2β＝1－910＝1010. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22.由0＜α＜π2，0＜β＜π2得0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＞0，∴α＋β为锐角，∴α＋β＝π4.1．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，若0＜α＜π2＜β＜π，则α－β＝__________.答案：－2π3解析：由已知可得 sin α＋sin β＝－sin γ，① cos α＋cos β＝－cos γ.② ①2＋②2，得2＋2 cos(α－β)＝1．∴ cos(α－β)＝－12.∵0＜α＜π2＜β＜π，∴－π＜α－β＜0，∴α－β＝－2π3.2．已知α，β为锐角，cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，求β的值．解：∵α为锐角，且cos α＝17，∴sin α＝1－cos 2α＝437.又∵α，β均为锐角，∴0＜α＋β＜π.又cos(α＋β)＝－1114，∴ sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝5314. 则 cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12， ∴β＝π3.解答给值求角问题的步骤(1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角所在的范围；(3)根据角的范围写出所求的角．特别注意：根据题意选择求角的正弦值、余弦值还是正切值，同时要注意缩小所求角的范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内．1．下列等式中，正确的个数为__________．①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α；③cos(α－β)＝cos α cos β－sin α sin β；④cos(α＋β)＝cos α cos β－sin α sin β.答案：211 解析：由两角和与差的余弦公式可知②④正确．2．若α∈(0，π)，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45，则cos α等于__________． 答案：4＋3310解析：∵α∈(0，π)且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝35. cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3 ＝45×12＋35×32＝4＋3310. 3．cos 105°＝__________. 答案：2－64 解析：cos 105°＝cos(45°＋60°)＝cos 45°cos 60°－sin 45°sin 60°＝2－64. 4．cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值为__________．答案：－12解析：原式＝cos 43°cos 77°＋sin 43°cos(90°＋77°)＝cos 43°cos 77°－sin 43°sin 77°＝cos(43°＋77°)＝cos 120°＝－12. 5．已知sin α＝55，sin β＝1010，且α和β均为钝角，求α＋β的值． 解：∵α和β均为钝角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－255， cos β＝－1－sin 2β＝－31010. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22. 由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝7π4.。

案例 3.1.1两角和与差的余弦
（一）教学目标
知识目标：掌握用向量方法建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.
能力目标：进一步理解向量法解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，
进而获取知识的能力．
情感目标：培养学生探索和创新的意识，构建良好的数学思维品质．
（二）教学重点，难点
本节课的重点是使学生掌握两角和与差的余弦公式．难点是两角差的余弦公式的推导与证明．
（三）学法与教学用具
1. 学法：启发式教学
2. 教学用具：多媒体
复习：1。

余弦的定义
在第一章三角函数的学习当中我们知道，。