两角和与差的余弦公式教学设计

《两角和与差的余弦公式》教学设计一、教材地位和作用分析：两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。

本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。

二、教学目标：1、知识目标：①、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式；②、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导；③、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。

2、能力目标：①、培养学生逆向思维的意识和习惯；②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识；③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3、情感目标：①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美；②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。

三、教学重点和难点：教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。

教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。

四、教学方法：创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。

给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。

从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。

由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。

学法指导：1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。

(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。

)2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。

五、教学过程cos(2-sin(2-六、板书设计。

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计一、教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.二、三维目标1.知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、教学重、难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、教学用具三角板，彩色粉笔，幻灯片五、教学方法教法：引导探究，归纳总结=，(0,)=,(0,),［-((-=cos(-+sin(-sin=_____.)=)=，据角)=)=都不能等于+ktan( tan的值不存在，所以改用诱导公式tan(-)=来处理等=,sin(-),cos(+),tan(-=,=.∴tanα==.于是有sin(-α)=sin cosα-cos sinα=cos(+α)=cos cosα-sin sinα=tan(α-)===.点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练11.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=,tan105°=tan(60°+45°)= =-(2+).2.设α∈(0,),若sinα=,则2sin(α+)等于( )A. B. C. D. 4答案：A例2 已知sinα=,α∈(,π),cosβ=,β∈(π,)，求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β)．活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S(α-β)、C(α+β)、T(α+β)应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号.解：由sinα=,α∈(,π),得cosα==-=，∴tanα=.又由cosβ=,β∈(π,).sinβ==,∴tanβ=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=×()-(.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=()×()-×()=∴tan(α+β)==.点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练2引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x米，∠CAB=α，则sinα=，在Rt△ABD中，tan(45°+α)=tanα.于是x=,又∵sinα=,α∈(0,),∴cosα≈,tanα≈.tan(45°+α)==3,∴x=-30=150(米).答：这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在△ABC中，sinA=(0°<A<45°),cosB=(45°<B<90°)，求sinC与cosC的值.活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).又∵sinA=且0°<A<45°,∴cosA=.又∵cosB=且45°<B<90°,∴sinB=.∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,cosC=cos［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=×-×=.点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于180°这一暗含条件.变式训练3在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形答案：C七、课堂小结<,<<,cos(-)=,sin(+)=,。

案例名称两角差的余弦公式科目数学教学对象高二年级学生提供者课时1课时学号一、教材内容分析（1）内容：两角差的余弦公式是用两角的三角函数值来表示两角差的余弦值。

这一内容是任意角三角函数知识的延伸，是后继内容两角和与差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知识基础。

（2）内容解析：两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，是在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示两角差的三角函数。

教材采用了一种学生易于接受的推导方法，即先用数形结合的思想，借助于单位圆中的三角函数，推出α，β，α－β均为锐角时公式成立。

对于α，β为任意角时的情况，教材运用向量的知识进行了探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，学生易于理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。

基于这些分析，两角差的余弦公式的探索将是本节的重点。

二、教学目标（知识，技能，情感态度、价值观）1、知识与技能：通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。

2、过程与方法：通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题，解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力3、情感、态度与价值：使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。

三、学习者特征分析本课时面对的学生是高二年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。

在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角差的余弦公式建立了良好的知识基础。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手） ()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．（二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ， 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 两结果一样，我们能否用第一章知识证明？3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭ 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）、cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）、1tan151tan15+-． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象. （1）、()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==； （2）、()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；（3）、()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--．例3x x -解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 3022x x x x x x x ⎫-=-=-=-⎪⎪⎭思考：是怎么得到的？=分别等于12和2的.小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.。

两角和与差的余弦一、教学目标1、了解两角和与差的余弦公式的推导2、熟练掌握两角和与差的余弦公式以及两个诱导公式，并能灵活应用3、培养学生代换及凑角的思想4、训练学生思维的灵活性5、激发学生的内在动机与学习兴趣6、养成良好的学习习惯并设定合理的学习目标二、教学的重难点击教学设计（一）教学重点1、两角和与差的余弦公式的推导及应用2、用整体代换及凑角的思想解题3、各公式适合的范围（二）教学难点1、两角差的余弦公式的推导2、凑角、整体代换的思想3、对各公式的灵活应用（三）教学设计要点1、新课引入设计带领同学们回顾前面学习的特殊角的三角函数，指出其与现实计算的不足之处，并以105 、15 等为例，从分析角度之间的关系入手探讨其函数值之间的关系，并将其推广到一般情况，引入新课。

2、 教学内容设计（1） 引入两点间的距离公式（2） 通过例题推导出诱导公式并稍作提醒（3） 作业中，补充思考题：请同学们根据本堂课所学推导)sin(βα+、)sin(βα-3、 教学方法自主探究、分组讨论、合作交流及启发式教学三、 教具准备彩色粉笔、圆规、直尺 四、 教学过程（一） 创设问题情境引入新课带领同学们回顾30 、45 、60 等特殊角的三角函数，从分析角度入手，探究105 、15 等一般角与以上特殊角的函数值的关系，并推广到一般情况，将问题转化为：已知任意角βα、的三角函数，如何求βα+、βα-或α2的三角函数，引入新课。

揭示课题：两角和与差的余弦（板书课题） （二） 层层递进、探索新知1、 知识准备（两点间的距离公式）验收上堂课给同学们布置的思考题，板书两点之间的距离公式：设两点),(111y x p ，),(222y x p ，如下图：则)()(21212221y y x x p p --+=并稍作提示其计算方法2、 两角和的余弦公式及其推导在单位圆内作ββα-、、角，如下图所示：得))sin(),(cos()),sin(),(cos(),sin ,(cos ),0,1(4321βββαβααα--++p p p p 根据圆的性质：圆心角相等对应的弦长相等得p p pp 4231=运用两点间的距离公式易得：[][])sin(1)cos(22βαβα+-++=[][]αβαβsin )sin(cos )cos(22----+（请一位同学到黑板上化简该式）化简得：cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β，简记为C βα+ 3、 两角差的余弦公式的推导用β-换C βα+中的β，得cos(βα-)=cos αcos β+sin αsin β，并提醒同学们注意两个公式中βα、角是任意的。

《两角和与差的余弦公式》教学设计一、教材地位和作用分析：两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。

本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。

二、教学目标：1、知识目标：①、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式；②、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导；③、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。

2、能力目标：①、培养学生逆向思维的意识和习惯；②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识；③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3、情感目标：①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美；②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。

三、教学重点和难点：教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。

教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。

四、教学方法：创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。

给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。

从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。

由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。

学法指导：1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。

(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。

)2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。

五、教学过程＝，＝－（，且－）＝六、板书设计。

《2.1.1 两角和与差的余弦公式》教学设计 一、课程标准 引导学生通探索导出公式，并了解它们的内在联系，运用它们进行简单的三角恒等变形、求值.二、教学目标1．理解用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系．2．由两角差的余弦公式推出两角和的余弦公式，理解化归思想在三角变换中的作用．3．掌握用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明．三、教学重点：两角和与差的余弦公式的推导与应用．四、教学难点：两角和与差的余弦公式的证明.五、教学过程（一）创设情境，引入新课我们会求一些特殊角的三角函数值，比如 30、 45、 60角的三角函数值。

对于一些非特殊角的三角函数值怎么算呢，比如cos15°＝cos （45°－ 30°）=cos45°－cos30°，正确吗?那么如何用α、β的正余弦表示cos(α-β) 呢？（二）自主学习，熟悉概念1.要求：学生阅读P67-692.思考：（1）如何利用向量推导两角差的余弦公式？（2）如何利用两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式？（三）检验自学，强化概念1. 两角差的余弦公式：如图，在直角坐标系中，取角α、β，在这两个角的终边上分别取两个单位向量,,则就是与的夹角，根据前面所学的向量知识可知，与的数量积为由平面向量基本定理知,当时， 所以（简记为()αβ-C ）2.两角和的余弦公式：在两角差的余弦公式中，用β-代替β，就可以得到()()cos cos αβαβ+=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin αβαβ=-+-cos cos sin sin αβαβ=-()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- （简记为()αβ+C ）注意：①熟悉公式的结构和特点； ②此公式对任意α、β都适用3.例题讲解例1．求75º和15º的余弦值.设计意图：熟悉公式的正用，复习特殊角三角函数值.例2. 求下列各式的值.(1)cos 20cos 40sin 20sin 40-；(2)sin5sin 40cos85cos 40+.设计意图：熟悉公式的逆用，复习诱导公式和特殊角三角函数值.例 3.已知45sin ,cos 513αβ==.且角αβ、分别是第二、四象限的角，求cos()cos()αβαβ+-、的值.设计意图：熟悉两角和与差的余弦公式，复习巩固同角三角函数基本关系式和三角函数在各象限的符号.(三)课堂练习及检测P69 1,2,3(四)归纳小结1.两角和与差的余弦公式：2.公式的正用、逆用等技巧：（五）作业1.习题2.1 2,3,2.预习2.1.2两角和与差的余弦公式：六、教学反思（酌情写一些）七、板书设计。

《两角和与差的余弦》教学设计
（一）教学目标
知识目标：掌握用向量方法建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.
能力目标：进一步理解向量法解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，进而获取知识的能
力．
情感目标：培养学生探索和创新的意识，构建良好的数学思维品质．
（二）教学重点，难点
本节课的重点是使学生掌握两角和与差的余弦公式．难点是两角差的余弦公式的推导与证明．
（三）学法与教学用具
1. 学法：启发式教学
2. 教学用具：多媒体
（四）教学过程
从知识、方法
３.1(２)
（一）教学目标
１．知识目标：掌握公式结构特点，会用公式求值．
２．能力目标：培养学生的观察，分析，类比，联想能力，间接推理能力，自学能力．３．情感能力：发展学生正向，逆向思维能力，构建良好的数学思维品质．
（二）教学重点，难点
重点是公式的结构特点，会用公式求值．
难点是公式的逆向和变形运用．
（三）教学方法
教师按照课本的知识结构先设计若干问题，课前印发给学生，引导他们阅读课本，课堂上在教师三导（引导，指导，辅导）下，以学生为主体，对所设问题进行读，议，练，讲，其间教师通过提问，参与讨论，巡视学生练习及板演，观察学生情绪等渠道，及时搜集反馈信息，及时作出评价，再发指令，使教学过程处于动态平衡中．
（四）教学过程
．围，三角函数值的正负．
（３）代入时，从左至右依次代入．
02,2π，再进一步参11
cos()14αβ+=-．确。

《两角和与差的余弦公式及其应用》学历案一、学习目标1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程。

2、掌握两角和与差的余弦公式，并能熟练运用公式进行三角函数的化简、求值和证明。

3、通过公式的应用，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。

二、学习重难点1、重点（1）两角和与差的余弦公式的推导和记忆。

（2）运用两角和与差的余弦公式进行三角函数的化简、求值和证明。

2、难点（1）两角和与差的余弦公式的推导思路。

（2）公式的灵活运用，尤其是角的变换。

三、知识回顾1、任意角的三角函数定义在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点 P 的坐标为(x, y)，点 P 到原点的距离为 r，则有：sinα ＝ y/r ，cosα ＝ x/r ，tanα ＝ y/x （x≠0）2、诱导公式（1）cos(α) ＝cosα（2）cos(π α) ＝cosα四、新课导入在实际生活和数学问题中，我们常常会遇到需要计算两个角的和或差的余弦值的情况。

例如，在三角形中，如果已知两个角的大小，要求第三个角的余弦值，就需要用到两角和与差的余弦公式。

那么，如何推导两角和与差的余弦公式呢？五、公式推导1、单位圆法在单位圆中，设角α的终边与单位圆交于点A(cosα, sinα)，角β的终边与单位圆交于点B(cosβ, sinβ)。

则向量 OA ＝（cosα, sinα)，向量 OB ＝（cosβ, sinβ)。

因为向量的数量积等于向量的模乘以它们夹角的余弦值，所以有：OA·OB ＝｜OA|·｜OB|·cos(α β)而 OA·OB ＝cosα·cosβ ＋sinα·sinβ ，｜OA| ＝｜OB| ＝ 1所以cos(α β) ＝cosα·cosβ ＋sinα·sinβ同理，可推导得cos(α ＋β) ＝cosα·cosβ sinα·sinβ2、余弦定理法在三角形 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c。

两角和与差的余弦公式教案【授课课题】 1.1.1两角和与差的余弦公式（一）【设计思想】数学源于生活，数学服务与生活，专业中需要数学。

【学情分析】本课面对旅游专业二年级的学生，旅游专业的学生对数学表达能力和逻辑推理能力比较薄弱，但他们好动，对探索未知世界有主动意识，对新事物充满探求的渴望。

经过一年半的数学学习储备了一定数学知识，掌握了一些高中的数学学习方法，为本节课的学习，建立的良好的知识基础。

【教材分析】本节内容是中等职业教育课程改革国家规划新教材，拓展模块第一章《三角公式及应用》第一节《两角和与差的余弦公式》，学生在基础模块掌握了任意角的三角函数的概念，向量坐标表示及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角三角函数表示两角和与两角差的三角函数，两角差的余弦公式在推导，采用易于教学的推导方法，及借助于单位圆中的三角函数线推导。

【教学目标】知识目标：1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式。

2、能正确运用公式进行简单的三角函数式的计算和化简．3、使部分学生能够从正反两个方向运用公式解决简单的问题能力目标：1、培养学生严密而准确的数学表达能力，逆向思维和发散思维能力，2、体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，及灵活选用公式解决问题的能力。

情感目标：1、通过观察对比公式体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达能力和思考能力。

2、学会从已有的知识出发，主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度【教学重点】两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用．【教学难点】难点是公式的推导【突破措施】先由特殊情形引入，再向一般性过渡，充分挖掘学生的思考和探索能力已达到对公式的深入理解和灵活运用。

【学法设计】独立思考、师生交流【知识链接】特殊角的三角函数、诱导公式、向量数乘积、向量坐标表示【教学设计】在介绍新知识之前，首先利用特殊角的三角函数值，让学生认识到cos(6030)cos60cos30︒−︒≠︒−︒，然后提出如何计算cos()αβ−的问题．利用矢量论证cos()αβ−的公式，使得公式推导过程简捷．教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1和例2都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．推广πsin()cos 2αα−=时，用到了换元的思想，培养学生的整体观念和变换的思维．公式sin()αβ+的推导过程是，首先反向应用例3中的结论πcos()sin 2αα−=，然后再利用公式cos()αβ−，最后整理得到公式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体，这样才能应用公式πcos()2α−．逆向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．得到这些公式后，要强调公式cos()αβ−是最基本的公式，要求学生理解其他公式的推导过程，同时将公式cos()αβ±相对比进行记忆．要帮助学生总结公式中角α和角β以及函数名称排列的特点和符号的特点，教会学生利用这些特点记忆公式．抓住特点进行强化记忆的记忆能力培养是数学课程的一项重要任务．教学中要强调这两种使用方法，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，培养学生的数学思维能力．【教学备品】教学课件．课后练习题【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过 程行为行为 意图*创设情境 兴趣导入问题1：======00000060cos 60sin 45cos 45sin 30cos 30sin问题2：→→→→→→=•b a b a b a ,cos问题3：),(11y x a =→),(22y x b =→则=•→→b a问题4：单位圆上的坐标表示问题5：诱导公式()ααπ−+k 2我们知道，13cos60cos3022︒=︒=，，显然 ()cos 6030cos60cos30︒−︒≠︒︒-． 由此可知()cos cos cos αβαβ−≠-． 播放 课件 质疑观看 课件 思考引导 启发学生得出结果*动脑思考 探索新知过 程行为行为 意图在单位圆（如图11−）中，设向量OA 、OB 与x 轴正半轴的夹角分别为α和β，则点A （cos ,sin αα），点B （cos ,sin ββ）．因此向量(cos ,sin )OA αα=，向量(cos ,sin )OB ββ=，且1OA =,1OB =．于是 cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=⋅⋅−=−， 又cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=⋅+⋅，所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ−=⋅+⋅． （1） 又 []cos()cos ()αβαβ+=−−cos cos()sin sin()αβαβ=⋅−+⋅−cos cos sin sin αβαβ=⋅−⋅．（2） 利用诱导公式可以证明，(1)、(2)两式对任意角都成立（证明略）．实际上βα−为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角都可以转换到[]π2,0，使)cos(cos βαθ−=。

两角和与差的余弦教案教案标题：两角和与差的余弦教案教案目标：1. 理解两角和与差的余弦公式；2. 掌握利用两角和与差的余弦公式解决相关问题；3. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

教学准备：1. 教师准备：教案、投影仪、计算器、白板、笔；2. 学生准备：教科书、练习题、笔和纸。

教学过程：引入：1. 利用投影仪或白板展示一个直角三角形，并引导学生回顾正弦、余弦和正切的定义。

2. 提问：如果我们已知一个直角三角形的两个角度，我们能否利用余弦公式求得第三个角度呢？讲解：1. 引导学生回顾余弦公式：对于一个三角形ABC，已知边长a、b和夹角C，余弦公式为c² = a² + b² - 2abcosC。

2. 介绍两角和与差的余弦公式：- 两角和的余弦公式：cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB；- 两角差的余弦公式：cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB。

3. 解释两角和与差的余弦公式的推导过程，并与学生一起进行推导演练。

示范：1. 通过一个具体的例子来演示如何利用两角和与差的余弦公式求解问题。

2. 教师解答学生提出的疑问，并引导学生思考和讨论。

练习：1. 学生个人或小组完成练习题，巩固两角和与差的余弦公式的运用。

2. 教师巡视并指导学生，及时纠正他们的错误，解答他们的疑问。

总结：1. 教师总结本节课的重点和难点，强调两角和与差的余弦公式的重要性和应用价值。

2. 学生回答教师提出的总结问题，巩固所学知识。

拓展：1. 引导学生思考：如果我们已知三角形的两条边和夹角，能否利用两角和与差的余弦公式求解第三条边的长度？2. 鼓励学生自主学习和探索，拓展他们的数学思维。

教学反思：1. 教师根据学生的表现和反馈，对本节课的教学进行评估；2. 教师总结教学经验，为下一次的教学做好准备。

两角和与差的余弦教案-许秋云一、教学目标1. 理解两角和与差的余弦概念。

2. 掌握两角和与差的余弦公式。

3. 能够运用两角和与差的余弦公式解决实际问题。

二、教学重点与难点1. 教学重点：两角和与差的余弦概念及公式的理解和运用。

2. 教学难点：两角和与差的余弦公式的推导和灵活运用。

三、教学准备1. 教师准备：讲解稿、PPT、例题及练习题。

2. 学生准备：笔记本、笔、计算器。

四、教学过程1. 导入：通过复习单一角余弦的概念，引导学生思考两角和与差的余弦概念。

2. 讲解：讲解两角和与差的余弦概念，引导学生理解并掌握两角和与差的余弦公式。

3. 例题：给出例题，引导学生运用两角和与差的余弦公式进行计算，巩固知识点。

4. 练习：让学生自主完成练习题，检测学习效果。

五、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对两角和与差的余弦概念的理解程度。

2. 例题解答：评价学生对两角和与差的余弦公式的运用能力。

3. 练习题完成情况：评价学生对知识点的掌握程度。

六、教学拓展1. 引导学生思考：除了两角和与差的余弦公式，还有哪些相关的公式？2. 介绍二倍角公式、和差化积公式等与余弦相关的公式，让学生自主学习并尝试运用。

七、实际应用1. 给出实际问题，让学生运用两角和与差的余弦公式进行解决。

2. 引导学生思考：余弦公式在现实生活中的应用场景有哪些？八、课堂小结1. 让学生总结本节课所学的主要内容和知识点。

2. 强调两角和与差的余弦公式的运用方法和注意事项。

九、作业布置1. 让学生完成课后练习题，巩固本节课所学知识。

2. 鼓励学生自主寻找相关的实际问题进行练习，提高运用能力。

十、教学反思1. 教师对本节课的教学效果进行反思，思考哪些地方讲解得清晰，哪些地方需要改进。

2. 学生对本节课的学习效果进行反思，总结自己的学习收获和需要加强的地方。

十一、课程标准1. 了解两角和与差的余弦概念及公式。

2. 能够运用两角和与差的余弦公式解决实际问题。

《两角和与差的余弦》教学设计，15数值更是已经铭记于心了，求出哪些非特殊角的三角函数值呢？学生分工合作，汇报交cos55cos1035-cos 2cos152+行：顺用、构特征。

让后，再互相《两角和与差的余弦》教学设计说明一、设计理念课程标准下的公式教学，要求教师以学生为主体，尊重学生已有的知识经验，通过学生自主探索活动，让学生经历知识的发生发展过程，体会蕴含在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹.数学是思维的体操，它应当在促进学生思维发展方面承担更多的责任.从而公式的教学除了关注公式的应用，还要关注公式产生的背景、公式的形式特点、公式的证明与记忆、以及公式与公式之间的关联.本教学设计以培养和发展学生的思维为教学着力点，努力把数学的学术形态转化为学生易于接受的教学形态，强化学生对数学思想方法和思维方式的感悟. 二、教材内容解析《三角恒等变换》是苏教版普通高中课程标准实验教科书必修4中的第三章，由于考虑知识结构的连贯性，在教学过程中，选择第一章（三角函数）讲授结束后，讲授第三章（三角恒等变换）.《三角恒等变换》是前面所学三角函数知识的继续和发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材.“两角和与差的余弦”是本章的起始内容，既是本章节的重点，也是后继内容两角和与差的正弦、正切及二倍角公式的知识基础，化归思想是推导这些公式的主导思想，在教学中，不论是推导公式还是应用公式，都应该自始至终地贯彻这一思想.学习这部分知识，是完善学生知识结构、深化数学思想方法（化归、数形结合、特殊化等）、提升多种数学能力（运算能力、推理能力等）的重要载体.因此，本节课的教学重点是：两角和与差的余弦公式的掌握（证明、记忆、公式间的关联）与应用.由于学生没有学习向量，需借助于图形推导两角差的余弦公式，在此过程中，会遇到对角a b，任意性的说明，这点对于学生来说是一个难点，因而本节课采用从两角和的余弦公式着手证明，有效的避免了这一个难点，也顺应了运算的一般规律，先加后减.三、教学目标设置基于教材分析，本节课的教学目标确立如下：1.学生通过交流、探索，经历两角和的余弦公式的推导过程，体验数学发现和创造的快乐；2.了解公式与公式之间的关联，体会化归思想、特殊化思想，完善知识结构；3.把握公式结构，合理进行公式的顺用、逆用及变形用，提高学生灵活应用公式的能力；4.培养学生的逻辑推理能力、运算能力，促使学生思维的灵活性、深刻性、辩证性提升.四、学生学情分析授课对象：四星级高中高一年级普通班学生.学情分析：学生已经初步掌握了探究的基本程序（观察→提出问题→猜想假设→探究→归纳总结），有一定的推理能力、运算能力，初步体会了化归、数形结合的思想.通过同角三角函数公式、诱导公式的学习，学生也具备了借助三角函数定义、利用解析法推导公式的经验.要达成本节课的目标，这些已有的知识和经验基础不可或缺，会运用化归、特殊化、“算两次”等数学思想，还需要具备较好地思考与质疑、交流与合作的学习习惯.五、教学策略分析基于学情分析，本节课的教学难点是：两角和与差的余弦公式的生成与证明过程；采用下面的教学策略突破教学难点：1.教师创设情境，学生提出问题，明确本节课的研究目标；2.教师以问题串为载体，分散难点，引领学生动手、独立思考，借助于图形和方程的思想推导公式；3.教师搭建平台，学生合作探究、汇报交流、展示结果，了解公式与公式之间的关联；4.教师分层设计应用，引导反思，学生深化理解，形成知识体系.六、教学设计感悟在教学设计时，尝试退到学生的角度去组织教学，让学生在行进的过程中知识与能力的获得，思想的渗透“水到渠成”.教材参与设计者之一仇炳生老师说：“苏教版《两角和与差余弦公式》的编排，先研究差的公式的原因是，为了可以使用向量法进行证明，而如果按照数学发展的规律，应该先研究和的公式顺利成章。

3.1 两角和与差的三角函数 3.1.1 两角和与差的余弦两角和与差的余弦公式 (1)两角差的余弦公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β. (2)两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β. 思考：cos(90°－30°)＝cos 90°－cos 30°成立吗？ [提示] 不成立．1．思考辨析(1)α，β∈R 时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.( ) (2)cos 105°＝cos 45° cos 60°－sin 45°sin 60°.( )(3)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( )(4)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2α.( ) [解析] 正确运用公式．(1)中加减号错误．(2)(3)(4)正确． [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．cos 75°＝________；cos 15°＝________. 6－246＋24[cos 75°＝cos(30°＋45°) ＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝6－24.cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 30°sin 45°＝6＋24.] 3．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为________．32[cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32.]两角和与差余弦公式的简单应用【例1】 求下列各式的值： (1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°；(3)12cos 15°＋32sin 15°；(4)cos(35°－α)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)． 思路点拨：从所求式子的形式、角的特点入手，化简求值．[解] (1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝32.(2)原式＝cos(15°－8°)－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝2＋6 4.(3)∵cos 60°＝12，sin 60°＝32，∴12cos 15°＋32sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝2 2.(4)原式＝cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝1 2.1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．提醒：要重视诱导公式在角的差异、函数名称的差异中的转化作用．1．求下各式的值(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；(2)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°.[解](1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝1 2.(2)原式＝cos 24°cos 36°－sin 24°sin 36°＝cos(24°＋36°)＝cos 60°＝12. 已知三角函数值求角【例2】 已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β的值． 思路点拨：先求出cos α，sin β，再利用两角和的余弦公式求出cos(α＋β)，最后由α＋β的范围确定α＋β的值．[解] 因为α，β为锐角，且sin α＝55，cos β＝31010， 所以cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255，sin β＝1－cos 2β＝1－910＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22. 由0<α<π2，0<β<π2，得0<α＋β<π.因为cos(α＋β)>0，所以α＋β为锐角， 所以α＋β＝π4.已知三角函数值求角，一般分三步：第一步：求角的某一三角函数值(该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数)；第二步：确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围； 第三步：根据角的范围写出所求的角.2．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值． [解] 由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437. 由0<β<α<π2，得0<α－β<π2. 又∵cos(α－β)＝1314， ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314. 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，∴β＝π3. 给值求值问题[探究问题]1．角“α＋β”“β”及“α”间存在怎样的等量关系？ 提示：α＋β＝α＋β；α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α. 2．已知cos(α＋β)和sin β的值，如何求cos α的值？提示：由α＝(α＋β)－β可知，cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β，故可先求出sin(α＋β)及cos β的值，代入上式求得cos α的值．【例3】 已知sin α＝－45，sin β＝513，且π<α<3π2，π2<β<π，求cos(α－β)． 思路点拨：由sin α求cos α；由sin β求cos β后套用公式求值． [解] ∵sin α＝－45，π<α<3π2， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－35.又∵sin β＝513，π2<β<π，13∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝1665.1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．提醒：注意角的范围对三角函数值符号的限制．教师独具1．本节课的重点是两角和与差的余弦公式，难点是公式的推导及应用．2．要掌握两角和与差的余弦公式的三个应用(1)解决给角求值问题．(2)解决给值(式)求值问题．(3)解决给值求角问题．3．本节课的易错点是：利用两角和与差的余弦公式解决给值求角问题时，易忽视角的范围而导致解题错误．1．cos 15°＝( )A ．cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°B ．cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°C ．cos 45°sin 30°＋sin 45°cos 30°D ．cos 45°sin 30°－sin 45°cos 30°B [cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°.] 2．cos 105°＋sin 195°＝________.2－62[cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin(105°＋90°) ＝cos 105°＋cos 105° ＝2cos(135°－30°)＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×32＋22×12＝2－62.]3．若sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为________． －210 [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，∴cos α＝－45. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋22×35＝－210.] 4．化简：2cos 10°－sin 20°cos 20°.[解] 原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝2cos 30°cos 20°＋2sin 30°sin 20°－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝3.。

课题：两角和与差的余弦公式
授课教师：北京市陈经纶中学黎宁
授课时间：2007年11月21日
教学目标：
1．使学生理解两角和与差的余弦公式,并能初步应用它们解决简单的三角函数求值与恒等变换问题。

2．通过教学，使学生经历从探索两角差的余弦公式结构到证明两角差的余弦公式，再由此推导两角和的余弦公式的过程,简单体会特殊与
一般的思想，数形结合的思想，换元的思想等数学思想在三角恒等
变换中的作用，培养学生观察、联想、归纳、证明的推理能力。

3．通过教学，形成学生严谨的治学态度和锲而不舍的钻研精神。

教学重点：两角和与差的余弦公式
教学难点：两角和与差的余弦公式的探究
教学方式：发现式、探究式
教学手段：计算机辅助教学、实物投影仪
教学基本流程：。

两角和与差的余弦教案(优质教案)第三章：三角恒等变换第一节：两角和与差的余弦一、三维目的：1.知识与技能：学生需要理解两角和与差的余弦公式的推导过程，并掌握它的初步应用（公式的正用和逆用）。

此外，教师需要着重培养学生的代换、演绎、数形结合及逆向思维等数学思想方法。

2.过程与方法：教学过程中需要启发、讲练结合，合作交流，突破难点。

3.情感、态度与价值观：教师需要培养学生的探索与创新意识，激发学生研究兴趣，提高学生解题的灵活性。

教学重点：余弦的差角公式的推导和应用。

教学难点：余弦的差角公式的推导。

二、教学过程：一）问题情境问题一：我们已经知道30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，但如果不想查表，如何求诸如cos75°、cos15°的值？设问：cos75°=cos（45°+30°）与cos45°+cos30°是否相等？cosl5°=cos（45°-30°）与cos45°-cos30°是否相等？由于cos（45°±30°）≠cos45°±cos30°，所以我们需要研究这个问题。

问题二：一般地，cos(α-β)≠cosα-cosβ，那么cos(α-β)能否用α的三角函数与β的三角函数来表示？如何表示？我们可以把cos(α-β)看成是两个向量夹角的余弦，考虑用向量的数量积来研究。

在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α、β，其终边分别与单位圆交于P1（cosα，sinα）和P2（cosβ，sinβ）。

则∠P1OP2=α-β。

设向量a=OP1=（cosα，sinα）。

b=OP2=（cosβ，sinβ）。

则a•b=a·b·cosθ=cos(α-β)。

另一方面，a•b=x1x2+y1y2.因此，我们可以得到两角差的余弦公式。

课题：两角和与差的余弦公式授课教师：北京市陈经纶中学黎宁授课时间： 2007 年 11 月 21 日教学目标：1．使学生理解两角和与差的余弦公式,并能初步应用它们解决简单的三角函数求值与恒等变换问题。

2．通过教学，使学生经历从探索两角差的余弦公式结构到证明两角差的余弦公式，再由此推导两角和的余弦公式的过程,简单体会特殊与一般的思想，数形结合的思想，换元的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用，培养学生观察、联想、归纳、证明的推理能力。

3．通过教学，形成学生严谨的治学态度和锲而不舍的钻研精神。

教学重点：两角和与差的余弦公式教学难点：两角和与差的余弦公式的探究教学方式：发现式、探究式教学手段：计算机辅助教学、实物投影仪教学基本流程：创设问题情景，引入研究课题由特殊值探索公式结构引导学生证明公式通过例题体会公式的应用课堂小结布置作业教学情景设计：问题疑问1：函数y sin x cos x的最大值是多少？师生活动教师引导学生思考：函数 y sin x 与y cosx 的最大值都是 1 ，那么y sin x cos x 的最大值是不是2呢？（不是，当 y sin x 取得最大值1时，y cosx等于 0）若能把 y sin x cos x 转化成一个角的一个三角函数的形式就好了！设计意图这是学生学习第一章三角函数时曾经提过的问题，将此问题在这里提出，目的在于说明学习本节知识的必要性，同时激发学生学习本节知识的兴趣。

疑问 2：cos15等于多少？15°= 45-30°，我们知道 45°与 30°的三角函数值，能否求出 cos15 的值呢？是否有 cos15 = cos45cos30 成立呢？cos() = coscos是否恒成立？学生自主研究得出结论（不恒成立，但也不是总不成立）。

能否用角、引导学生探索两角差的余弦公式的结构的正、余弦（1）研究cos（90° -30°）与 cos90°、来表示sin 90°、 cos30°、 sin 30°之间的关系；（2）研究cos（120°-60°）与cos()cos120°、 sin 120°、 cos60°、 sin 60°呢？之间的关系；（3）研究cos（ 135° -45°）与 cos135°、sin 135°、cos45°、sin45°之间的关系；发现规律： cos() =coscos +sin sin凭直觉得出cos() = coscos 是学生容易出现的错误，通过讨论弄清结论，使学生明确“恒等”的含义，同时为进一步明确本节课的探索目标奠定了基础，使得教学过程自然流畅。