2018-2019学年北师大版数学选修2-2教学案：第一章3反证法

反证法-北师大版选修2-2教案一、教学目标1.理解反证法的概念及其基本思想。

2.掌握反证法的基本方法和步骤。

3.通过练习，培养学生运用反证法解决问题的能力。

二、教学内容1. 反证法的概念和基本思想反证法是一种推理方法，它是在假设与原论题相反的结论为真的前提下，证明假设是错误的，从而证明原命题为真的方法。

反证法的基本思想是，如果一个命题是正确的，那么这个命题所对应的任何反命题都是错误的，即如果反命题成立，则原命题必为假。

2. 反证法的基本方法和步骤反证法的基本方法和步骤包括以下几个方面：第一步：对原论题进行推定，即假设所证明的结论为假。

第二步：在推定的前提下，运用逻辑推理方法，发现与推定的结论不符的一些事实或规律。

第三步：根据前两步的结果，推翻假设的结论，证明原论题的论证是正确的。

3. 反证法的应用举例反证法可以运用到各种不同领域的问题中，如数学、哲学、物理等。

以下举例说明反证法的应用：（1）数学比如用反证法证明勾股定理：设有两条直角边分别为a和b，斜边为c。

如果假设勾股定理不成立，即c2≠a2+b2，那么存在以下两种情况之一：c2>a2+b2或c2<a2+b^2。

经过推理可得出结论，这两种情况都是不成立的，说明假设的结论是错误的，从而证明了勾股定理是正确的。

（2）哲学比如用反证法证明存在的必要性：假设不存在某一事物B，那么与这个事物相关的一系列因果关系也将不存在，导致整个世界都会发生变化。

但是，事实上这个世界并没有发生任何变化，说明假设不成立，从而证明存在的必要性是成立的。

（3）物理比如用反证法证明相对论时空间的变化与物理定理的一致性：如果假设时空间的变化对物理定理没有影响，那么在不同的参考系中，物理现象的规律将会发生改变，这与实验观测结果是不符的，因此假设不成立，从而证明了时空间的变化对物理定律的影响。

三、教学方法教师通过给学生讲解反证法的基本概念、方法和步骤，引导学生在实际问题中应用反证法，帮助他们理解反证法的基本原理。

§3反证法1．反证法的定义(1)先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与__________相矛盾，或与命题中的________相矛盾，或与______相矛盾，从而说明命题的结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作________．(2)反证法是一种______证明的方法．2．反证法的证明步骤(1)作出________的假设；(2)进行推理，导出______；(3)否定______，肯定______．预习交流议一议：反证法主要适用于哪些情形？答案：预习导引1．(1)定义、公理、定理已知条件假定反证法(2)间接2．(1)否定结论(2)矛盾假设结论预习交流：提示：反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形分类讨论，而反面只有一种或很少的几种情形．一、用反证法证明否定性命题求证：当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.思路分析：bc≠0的否定形式为bc＝0，包括(1)b＝0，c＝0；(2)b＝0，c≠0；(3)b≠0，c＝0三种情形，要注意分类讨论．假设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面用作条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等等，推导出的矛盾必须是明显的．二、用反证法证明“至少”“至多”问题若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c中至少有一个大于0.思路分析：如果直接从条件推证，方向不明，过程不可推测，较难，可以采用反证法．若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．当一个命题的结论是以“最多”“最少”“唯一”等形式或以否定形式出现时，宜用反证法．注意“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式分别为“一个也没有”“至少有两个”“不都是”．三、用反证法证明几何问题证明在抛物线上任取不同的四点所组成的四边形不可能是平行四边形．思路分析：本题直接从条件出发，证明过程复杂，运算量较大．我们可采用反证法，设而不求，推出矛盾．平面上有四个点，任意三点都不共线，证明其中以任意三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．反证法是间接证明的一种方法．掌握这种证法的思想方法以及书写格式，能搞清哪些类型的题目适合用反证法，能正确理解反证法的思想与证原命题的逆否命题的方法的统一性，反证法是一种逆向思维的推理方式，注意要把原命题结论的反面的每一种情形都要推出矛盾．答案：活动与探究1：证明：假设bc＝0.(1)若b＝0，c＝0，方程变为x2＝0，则x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的两根，这与方程有两个不相等的非零实数根矛盾．(2)若b＝0，c≠0，方程变为x2＋c2＝0，但c≠0，此时方程无解，与x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实根相矛盾．(3)若b≠0，c＝0，方程变为x2＋bx＝0，方程根为x1＝0，x2＝－b，这与方程有两个不相等的非零实数根相矛盾．综上所述，可知bc≠0.迁移与应用：证明：假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋c d＝1.∵a d－bc＝1，∴a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋c d ＝a d －bc ， ∴a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋c d －a d ＋bc ＝0， ∴2(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)＋2(ab ＋c d －a d ＋bc )＝0， ∴(a ＋b )2＋(c ＋d)2＋(b ＋c )2＋(a －d)2＝0， 即a ＋b ＝0，c ＋d ＝0，b ＋c ＝0，a －d ＝0， ∴a ＝b ＝c ＝d ＝0，∴a d －bc ＝0与已知a d －bc ＝1矛盾．从而假设不成立，原命题成立，即a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋c d ≠1成立． 活动与探究2：证明：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0， ∴a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x 2－2y ＋π2＋⎝⎛⎭⎫y 2－2z ＋π3＋⎝⎛⎭⎫z 2－2x ＋π6＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3＞0，这与a ＋b ＋c ≤0相矛盾， ∴假设不成立，原命题结论成立， 故a ，b ，c 中至少有一个大于0. 迁移与应用：解：假设三个方程均无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0Δ2＝(a －1)2－4a 2<0Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，解得－32＜a ＜－1，因此当a ≤－32或a ≥－1时，三个方程至少有一个方程有实数根．活动与探究3：证明：设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)是抛物线上不同的四点，且四边形ABCD 为平行四边形．由此可得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，①y 22＝2px 2，②y 23＝2px 3，③y 24＝2px 4，④①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2py 1＋y 2.同理，k BC ＝2p y 2＋y 3，k CD ＝2p y 3＋y 4，k DA ＝2py 4＋y 1.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA ， 即2p y 1＋y 2＝2p y 3＋y 4，2p y 2＋y 3＝2p y 4＋y 1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝y 3＋y 4，y 4＋y 1＝y 2＋y 3.∴y 1＝y 3，y 2＝y 4，进而得x 1＝x 3，x 2＝x 4.于是A ，C 重合，B ，D 重合．这与A ，B ，C ，D 是抛物线上不同的四点矛盾．故四边形ABCD 不可能是平行四边形．迁移与应用：证明：假设其中以任意三点为顶点的三角形都是锐角三角形．记这四个点为A ，B ，C ，D .分点D 在△ABC 内和在△ABC 外两种情况．(1)如果点D在△ABC内(如图①)，根据假设围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾．(2)如果点D在△ABC外(如图②)，根据∠BAD，∠B，∠BCD，∠D都小于90°，∴∠BAD＋∠B＋∠BCD＋∠D＜360°与四边形的内角和等于360°矛盾．综上所述，假设不成立，而题目中的结论成立．1．命题“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”，如果用反证法证明，应假设()．A．a＞b B．a＜b C．a≤b D．a＝b2．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中是结论的否定的是()．A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数3．设a ，b ，c ∈R ＋，则3个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a中( )． A ．都大于2 B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于24．用反证法证明命题“在平面上有n (n ≥3)个点，其中任意两点距离最大为d ，距离为d 的两点间的线段称为这组点的直径，则直径的数目至多为n 条”时，假设的内容为______________________．5．已知p 3＋q 3＝2，求证：p ＋q ≤2.答案：1．B 解析：“大于”的否定是“不大于”即“小于或等于”．2．B 解析：“a ，b ，c 中至少有一个是偶数”的否定为“a ，b ，c 都不是偶数”．3．D 解析：a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6. 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，因此a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a中至少有一个不小于2. 4．直径的数目至少为n ＋1条5．证明：假设p ＋q ＞2成立，由此得q ＞2－p .从而得到q 3＞8－12p ＋6p 2－p 3，∴p 3＋q 3＞6⎝⎛⎭⎫p 2－2p ＋43＝6⎣⎡⎦⎤(p －1)2＋13， ∴p 3＋q 3＞2＋6(p －1)2.由此得p 3＋q 3≠2与已知p 3＋q 3＝2矛盾，∴假设不成立，∴p ＋q ≤2.。

反证法一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程与特点。

二、教学重点：了解反证法的思考过程与特点教学难点：正确理解、运用反证法三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：反证法的思考过程与特点。

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。

用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。

推理必须严谨。

导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

（二）、探究新课反证法是数学中非构造性证明中的极重要的方法。

对于处理存在性问题、否定性问题、唯一性问题和至多、至少性问题，反证法具有特殊的优越性。

例1、已知1004321>+++a a a a ，求证：4321a a a a ，，，中，至少有一个数大于25。

证明：假设命题的结论不成立，即4321a a a a ，，，均不大于25，那么 100252525254321=+++≤+++a a a a ，这与已知条件相矛盾。

所以，4321a a a a ，，，中，至少有一个数大于25。

例2、求证：1，2，5不可能是一个等差数列中的三项。

§3 反证法(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现间接证明的方法——反证法，探索反证法原理；(2)掌握反证法证题的基本步骤及利用反证法证明相关的数学问题．2．过程与方法通过对具体命题的证明及探究，培养学生逆向思维能力；培养学生揭示反证法本质特征的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过对具体数学命题的证明方法的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会“正难则反”这一解决问题的策略．(2)通过本节学习和运用实践，体会反证法的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方法解决问题、认识世界．●重点难点重点：了解反证法的思考过程和特点；运用反证法证明数学问题；难点：对反证法思考过程和特点的概括．教学时应根据具体问题的分析与探究，揭示何时考虑用反证法解决问题，并通过对不同问题的探究与解决揭示反证法的思维特点及理论支持，归纳反证法解决问题的一般步骤，从而突出重点，化解难点．(教师用书独具)●教学建议学生从初中开始就对反证法有所接触．反证法的逻辑规则并不复杂，但用反证法证明数学问题却是学生学习的难点．究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维．因此，本节课的教学需解决好以下三个问题：一是反证法适用于什么情形；二是反证法的理论依据；三是反证法证明命题的一般步骤．●教学流程创设问题情境，引出问题：已知a是整数，2能整除a2，求证：2能整除a.⇒学生探究、自主解决：通过学生运用综合法、分析法等尝试以及师生交流，揭示问题从正面解决的困难.⇒通过引导学生对结论的分析，尝试证明结论的反面不正确，从而得出结论正确.即反证法.⇒通过例1及变式训练，使学生掌握反证法的一般步骤.⇒通过例2及变式训练，使学生提高对“结论”的分析能力，能正确的反设结论.⇒通过例3及变式训练，提高学生综合运用各种证法证明问题的能力和分析问题的能力.⇒归纳小结，整体认识反证法原理和应用步骤.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.【问题导思】著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一颗树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”1．王戎的论述运用了什么推理思想？ 【提示】实质运用了反证法的思想．2．反证法解题的实质是什么？【提示】 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．1．反证法的概念在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一. 我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法. 反证法是间接证明的一种基本方法．2．反证法证题步骤用反证法证明命题的一般步骤求证：f (x )＝0无整数根．【思路探究】 此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法，证题的关键是根据f (0)，f (1)均为奇数，分析出a ，b ，c 的奇偶情况，并应用之．【自主解答】 假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0(n ∈Z)，而f (0)，f (1)均为奇数，即c 为奇数，a ＋b 为偶数，则an 2＋bn ＝－c 为奇数，即n (an ＋b )为奇数．∴n ，an ＋b 均为奇数，又a ＋b 为偶数，∴an －a 为奇数，即a (n －1)为奇数，∴n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾．∴f (x )＝0无整数根．1．对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．2．求证：2，3，5不可能成等差数列． 【证明】 假设2，3，5成等差数列，则 23＝2＋ 5.所以(23)2＝(2＋5)2，化简得 5＝210，从而52＝(210)2， 即25＝40，这是不可能的． 所以，假设不成立．从而，2，3，5不可能成等差数列．2＋2cx ＋a和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．【思路探究】 假设三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点→演绎推理，利用Δ≤0得出矛盾→原命题得证【自主解答】 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点． 由y ＝ax 2＋2bx ＋c ， y ＝bx 2＋2cx ＋a ， y ＝cx 2＋2ax ＋b ，得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0， 且Δ2＝(2c )2－4ab ≤0， 且Δ3＝(2a )2－4bc ≤0. 同向不等式求和得：4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0. ∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0. ∴(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≤0. ∴a ＝b ＝c .这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾， 因此假设不成立，从而命题得证．1．写出结论的正确反设是解决本题的关键．2．反证法证明“至少”“至多”型命题，否定结论时，需弄清楚结论的否定是什么，以免出现错误．需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义．若下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，求a 的取值范围．【解】 若三个方程都无实根，根据⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝(4a )2－4(－4a ＋3)＜0，Δ2＝(a －1)2－4a 2＜0，Δ3＝(2a )2－4(－2a )＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＜－1或a ＞13，－2＜a ＜0，∴－32＜a ＜－1.则满足题目要求a 的取值范围是{a |a ≤－3或a ≥－1}.已知a ≠0，证明关于x 的方程ax ＝b 有且只有一个根．【思路探究】 “有且只有”有两层含义：一是“有”，即存在性；二是“只有”，即唯一性．一般先证存在性，再用反证法证唯一性即可．【自主解答】 由于a ≠0，因此方程至少有一个根x ＝ba.假设方程不止一个根，则至少有两根，不妨设x 1，x 2是它的两个不同的根，则 ax 1＝b ， ① ax 2＝b ， ②①－②得a (x 1－x 2)＝0，因为x1≠x 2，所以x 1－x 2≠0，从而a ＝0，这与已知条件矛盾，故假设不成立． 所以，当a ≠0时，方程ax＝b 有且只有一个根.1．“唯一型”问题的证明一般需两步完成：一是证存在性；二是证唯一性．2．结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题，由于反设结论容易导出矛盾，所以用反证法证明简单而又明了．求证：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 【证明】 已知：平面α和一点P ，求证：过点P 与α垂直的直线只有一条．证明：如图，不管P 在α内或α外，设P A ⊥α，垂足为A (或P )， 假设存在另一条直线PB ⊥α，设P A ，PB 确定平面为β，且α∩β＝a .∴在平面β内过P 点有两条直线P A 、PB 垂直于直线a .这与定理“在平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”矛盾．∴假设不成立，命题结论正确．不能对结论全面否定而致误否定“自然数a ，b ，c 恰有一个偶数”时正确反设为( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中或都是奇数或至少两个偶数【错解】 恰有一个偶数的反面是一个偶数也没有，即a ，b ，c 都是奇数，故选A. 【错因分析】 没有对结论“a ，b ，c 恰有一个偶数”做出全面分析，仅凭“相当然”进行否定，从而致误．【防范措施】 对结论进行否定时，应对结论描述的问题进行全面分析，然后从集合理论中补集的角度进行否定．【正解】 a ，b ，c 中偶数的个数可能为0个，1个，2个或3个，而“恰有1个偶数”的反面应是“有0个或2个或3个偶数”，故应选D.【答案】 D1．当遇到“否定性”“唯一性”“无限性”“至多”“至少”等类型命题时，常用反证法．2．用反证法证明的一般过程是：(1)否定结论⇒A ⇒B ⇒C ；(注意分清命题和结论后，再否定结论)(2)而C 不合理⎩⎪⎨⎪⎧与教材公理抵触；与此前定理不相容；与本题题设冲突；与临时假定违背；自相矛盾；(3)因此结论C 不成立，原命题正确.1．如果两个数之和为正数，则这两个数( )A ．一个是正数，一个是负数B ．两个都是正数C ．至少有一个是正数D ．两个都是负数【解析】 “两个数之和为正数”可能为“一个是正数，一个是负数”，“两个都是正数”“一个是正数，一个是零”即“至少有一个是正数”．故选C.【答案】 C2．有下列叙述：①“a >b ”的反面是“a <b ”；②“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多一个钝角”的反面是“三角形的内角没有钝角”，其中，正确的叙述有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【解析】 显然①③④不正确，仅②正确． 【答案】 B3．(改编题)完成下面反面论证题的全过程：题目：若p 1p 2＝2(q 1＋q 2)，则关于x 的方程x 2＋p 1x ＋q 1＝0与方程x 2＋p 2x ＋q 2＝0中至少有一个方程有实根．证明假设________________．则Δ1＝p 21－4q 1<0，Δ2＝p 22－4q 2<0，即0≤p 21<4q 1,0≤p 22<4q 2，∴(p 1p 2)2<16q 1q 2≤16·(q 1＋q 22)2＝4(q 1＋q 2)2.∴－2(q 1＋q 2)<p 1p 2<2(q 1＋q 2)， 这与________矛盾．故假设错误，原命题为真．【答案】 两方程都没有实数根 已知p 1p 2＝2(q 1＋q 2) 4．求证：△ABC 中至少有一个内角大于或等于60°. 【证明】 假设△ABC 中三内角都小于60°， 则A <60°，B <60°，C <60°， 所以A ＋B ＋C <180°，这与三角形内角和定理矛盾， 故假设错误，原命题正确.一、选择题1．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( ) A ．三个内角中至少有一个钝角 B ．三个内角中至少有两个钝角 C ．三个内角都不是钝角D ．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【解析】 “至多一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”，故选B.【答案】 B2．实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，则正确的说法是( ) A ．a ，b ，c 都是0 B ．a ，b ，c 都不是0C ．a ，b ，c 中至少有一个0D ．a ，b ，c 不可能均为正数【解析】 若a ，b ，c 均为正数，则a ＋b ＋c >0与a ＋b ＋c ＝0矛盾，故a ，b ，c 不可能均为正数．【答案】 D3．若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ＝c ，b ＝c ，a ＝b 不能同时成立．其中判断正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 “a ，b ，c 不全相等是a ，b ，c 全相等的否定”，故①②③均正确． 【答案】 D4．设x 、y 、z >0，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a 、b 、c 三数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2【解析】 假设a 、b 、c 都小于2，则a ＋b ＋c <6，而事实上：a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾，∴a 、b 、c 中至少有一个不小于2. 【答案】 C5．已知a ，b ∈N ，ab 可以被5整除，那么a ，b ( ) A ．都能被5整除B ．最多有一个能被5整除C ．至少有一个能被5整除D ．都不能被5整除【解析】 假设都不能被5整除，可设a ＝5m ＋1，b ＝5n ＋2(m ，n ∈N)，则ab ＝25mn ＋10m ＋5n ＋2显然不能被5整除，(其它情形同理可证)这与已知矛盾，故假设不成立，故C 正确．【答案】 C 二、填空题6．将“函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使f (c )>0”反设，所得命题为______________________________________________________________________.【解析】 “至少存在一个”的反面为“不存在”，“不存在c ，使f (c )>0”即“f (x )≤0恒成立”．【答案】 函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上恒有f (x )≤0 7．和异面直线AB 、CD 都相交的两条直线的位置关系是________．【解析】 假设这两条直线平行，由空间几何知识可推出AB 、CD 共面，故假设错误，即这两条直线异面或相交．【答案】 异面或相交 8．完成下面的证明过程： 设a 3＋b 3＝2.求证：a ＋b ≤2.证明：假设a ＋b >2，则有a >________， 从而a 3>________，所以a 3＋b 3>________＝________≥________. 所以a 3＋b 3>2，这与已知矛盾． 所以原不等式成立．【答案】 2－b 8－12b ＋6b 2－b 3 6b 2－12b ＋8 6(b －1)2＋2 2 三、解答题9．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能都大于14.【证明】 假设三个式子同时大于14，即(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14，三式相乘，得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ＞143，①又因为0＜a ＜1，所以0＜a (1－a )≤(a ＋1－a 2)2＝14，同理，0＜b (1－b )≤14，0＜c (1－c )≤14，所以(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤143，②①与②矛盾，假设不成立，所以原命题成立．10．已知数列{b n }的通项公式为b n ＝14(23)n －1.求证：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．【解】 假设数列{b n }存在三项b r 、b s 、b t (r ＜s ＜t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b t <b s <b r ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立．∴2·14(23)s －1＝14(23)r －1＋14 23)t －1.两边同乘3t －121－r，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s ，由于r ＜s ＜t ，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾． 故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．11．求证：当x 2＋bx ＋c 2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc ≠0. 【证明】 假设bc ＝0，下面分情况进行讨论：(1)若b ＝0，c ＝0，则方程变为x 2＝0，此时方程有两个相等的实数根为x 1＝x 2＝0，这与已知条件方程有两个不相等的非零实数根矛盾．(2)若b ＝0，c ≠0，则方程变为x 2＋c 2＝0，此时方程无实数根，这与已知条件方程有两个不相等的非零实数根矛盾．(3)若b ≠0，c ＝0，则方程变为x 2＋bx ＝0，此时方程的根为x 1＝0，x 2＝－b ，这与已知条件方程有两个不相等的非零实数根矛盾．综上所述．假设错误．所以当x 2＋bx ＋c 2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc ≠0.(教师用书独具)实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个为负数．【思路探究】 a ，b ，c ，d 中至少有一个为负数的否定是a ，b ，c ，d 都是非负数． 【自主解答】 证明 假设a ，b ，c ，d 都是非负数，则由a ＋b ＝c ＋d ＝1， 有1＝(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ，即ac ＋bd ≤1，这与ac ＋bd >1矛盾，故假设不成立． 即a ，b ，c ，d 中至少有一个为负数．结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的不等式，或直接从正面入手难以寻觅解题的突破口的问题，宜考虑使用反证法．用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的．已知f (x )＝x 2＋ax ＋b . (1)求：f (1)＋f (3)－2f (2)；(2)求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.【解】 ∵f (1)＝a ＋b ＋1，f (2)＝2a ＋b ＋4， f (3)＝3a ＋b ＋9，∴f (1)＋f (3)－2f (2)＝2.(2)证明 假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12.则－12<f (1)<12，－12<f (2)<12，－12<f (3)<12， ∴－1<－2f (2)<1，－1<f (1)＋f (3)<1. ∴－2<f (1)＋f (3)－2f (2)<2， 这与f (1)＋f (3)－2f (2)＝2矛盾． ∴假设错误，即所证结论成立．。

高手支招3综合探究1.用反证法证明问题的本质反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定假设,达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论.也就是说,反证法是由证明p⇒q转向证明:⌝q⇒r⇒…⇒t,t与假设或与某个真命题矛盾, ⌝q为假,推出q为真的方法.从逻辑角度看,命题“若p则q”的否定是“若p则⌝q”由此进行推理,如果发生矛盾,那么“若p 则⌝q”为假,因此可知“若p则q”为真.可以看出,反证法与证逆否命题是不同的.由于受“反证法就是证逆否命题”的错误影响,在否定结论后的推理过程中,往往一味寻求与原题设的矛盾,而不注意寻求其他形式的矛盾,这样就大大限制和影响了解题思路.归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾.2.在证明的过程中如何反设反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下:(1)等于——不等于;(2)大于——小于等于;(3)小于——大于等于;(4)对所有x成立——存在某个x不成立;(5)至少有一个——一个也没有;(6)至多一个——至少两个;(7)至少n个——至多n-1个;(8)至多n个——至少n+1个;(9)p或q——⌝p且⌝q;(10)p且q——⌝p或⌝q.高手支招4典例精析【例1】证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.已知,如图，在⊙O中弦AB、CD交于点P,且AB、CD不是直径.求证:弦AB、CD不被P平分.思路分析：利用反证法和圆的性质易证.证明：如下图.假设弦AB、CD被P平分,由于P点一定不是圆心O,连结OP,据垂径定理的推论,有OP⊥AB,OP⊥CD.即过点P有两条直线与OP都垂直,这与垂线性质矛盾.所以,弦AB、CD不被P平分.【例2】如果a＞b＞0,那么a＞b.思路分析：由于正面论证不容易,故采用反证法.反证法证明过程中必须对结论的反面的各种情况一一加以否定,才能证明原命题的正确性.本题的a ＞b 的反面有a =b ,a ＜b 两种情况.证明：假设a ＞b 不成立,则a ≤b . 若a =b ,则a=b,与已知a ＞b 矛盾, 若a ＜b ,则a ＜b,与已知a ＞b 矛盾,故假设不成立,结论a ＞b 成立.【例3】如果一个整数n 的平方是偶数,那么这个整数n 本身也是偶数,试证之.思路分析：由“整数n 的平方是偶数”这个条件,很难直接证明“这个整数n 本身也是偶数”这个结论成立,因此考虑用反证法证明.证明：假设整数n 不是偶数,那么n 可写成:n ＝2k ＋1(k ∈Z ),则n 2＝(2k ＋1)2＝4k 2＋4k ＋1＝2(2k 2＋2k)＋1.∵k ∈Z ,∴2k 2＋2k ∈Z ,则2(2k 2＋2k)为偶数.那么2(2k 2＋2k)＋1为奇数.∴n 2为奇数.但这与已知条件矛盾.则假设不成立,故n 是偶数.【例4】给定实数a,a≠0且a≠1,设函数f(x)=11--ax x (x ∈R ,x≠a 1). 求证:经过函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x 轴.思路分析：根据反证法和函数的性质易得.证明：假设命题不成立,即经过函数图像上任意两个不同点的直线平行于x 轴,则存在x 1≠x 2,使得f(x 1)=f(x 2),由f(x 1)=f(x 2)知11112211--=--ax x ax x ,化简得ax 1-ax 2-x 1+x 2=0, 即(a-1)(x 1-x 2)=0,由x 1≠x 2知x 1-x 2≠0,所以a-1=0,a=1与已知矛盾,所以假设不成立,原命题成立.【例5】已知0＜a 、b 、c ＜1.求证：（1-a ）b 、（1-b ）c 、（1-c ）a 不可能都大于41. 思路分析：显然本题从正面不易证明,故采用反证法来证. 证法一：假设三式同时大于41,即有b-ab ＞41,c-bc ＞41,a-ac ＞41. 三式同向相乘,得:(1-a)a(1-b)b(1-c)c ＞.而(1-a)a≤=+-2)1(2a a 41,同理:(1-b)b≤41,(1-c)c≤41. ∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤641.因此与假设矛盾,故结论正确. 证法二：假设三式同时大于41,∵0＜a ＜1,∴1-a ＞0.2)1(b a +-≥b a )1(-＞41=21,同理:2)1(,2)1(a c c b +-+-都大于21, 三式相加得23＞23,矛盾.∴原命题成立. 【例6】求证:抛物线上任意取四点所组成的四边形不可能是平行四边形.思路分析：结论为“否定性”的命题,宜用反证法.证明：如图,设抛物线方程为y 2=ax(a ＞0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4)是抛物线上的不同四点,则有2i y =ax i ,x i =a y i 2(i=1,2,3,4),于是,k AB =122122121212y y a ay a y y y x x y y +=--=--.同理,k BC =32y y a +,k CD =34y y a +,k DA =41y y a +. 假定ABCD 是平行四边形,则k AB =k CD ,k BC =k DA ,从而得y 1=y 3,y 2=y 4,进而得x 1=x 3,x 2=x 4,于是A,C 重合,B,D 重合,这与A 、B 、C 、D 是抛物线上不同的四点的假设相矛盾.故ABCD 不可能是平行四边形.【例7】设有一组圆C k :(x-k+1)2+(y-3k)2=2k 4(k ∈N *).下列四个命题:A.存在一条定直线与所有的圆均相切B.存在一条定直线与所有的圆均相交C.存在一条定直线与所有的圆均不相交D.所有的圆均不经过原点其中真命题的代号是_____________.(写出所有真命题的代号)思路分析：（1）判断A 是否正确用反证法:因为C k ：(x-k+1)2+(y-3k)2=2k 4(k ∈N *)表示以（k-1,3k ）为圆心，以2k 2为半径的一组圆，假若存在一条直线Ax+By+C=0(A 2+B 2≠0)与所有的圆均相切，则必有22|3)1(|B A C Bk k A +++-=2k 2对于任意k ∈N *恒成立，即)(222B A + k 2-A(k-1)-3Bk-C=0恒成立，或)(222B A +k 2+A(k-1)+3Bk+C=0恒成立，这是不可能的，故A 不正确.（2）存在直线y=3(x+1)过所有圆的圆心.（3）由于半径2k 2随着k 的无限增大而增大，故不存在这样的直线与所有的圆均不相交.（4）由于将x=0,y=0代入方程中得不到恒等式，故所有的圆不经过原点是正确的. 答案：BD高手支招5思考发现1.有些证明题,从正面证明如果说不清楚,或当直接证明有困难时可以考虑反证法.2.凡涉及证明为否定性命题、唯一性命题或是含“至多”“至少”等字句时,可考虑使用反证法.反证法特别适用于至少或至多型的数学问题.3.利用反证法证明时,关键是从假设结论的反面出发,经过推理论证,得出可能与命题的条件,或者与已学过的定义、公理、定理等相矛盾的结论,这是由假设所引起的,因此假设是不正确的,从而肯定了命题结论的正确性.。

北师大版高中数学选修2-2《1.3反证法》教学设计三维目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

过程与方法: 设计有代表性有梯度的例题，培养他们的辨析能力；逐步培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：了解反证法的思考过程、特点教学难点：反证法的思考过程、特点教学准备：与教材内容相关的资料，多媒体教学（例题偏多，省去板演过程）教学设想：通过问题情境的合理设置，让学生跳跳就能够得着了，在课堂内经历知识的发生发展，将体会汇总成理论，应用于实践。

教学过程:一、复习导入直接证明方法：综合法与分析法间接证明方法：反证法二、新授1、反证法相关概念形成反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

2、典例分析引入：课本例题P13例题1已知a是整数，2能整除a2，求证：2能整除a问题的提出应用了学生比较熟悉又可列举的正整数环境，学生比较容易想到用验证的方法先进行结论的检验，并且在验证的过程中体会整数平方运算的规律，从而寻找一般的并且严谨的证明方式。

易于学生思考，同时也很好的激发了学生学习的动机和兴趣.同时严谨的证明对反证法定义的形成提供了强有力的思想支持，学生对一般的证明模式自然易于接受。

数学建构：一般地，由证明转向证明，与假设矛盾，或者与某个真命题矛盾.从而判断为假，推出为真的方法，叫做反证法。

反证法的证题步骤：（1）做出否定结论的假设（2）进行推理，导出矛盾------“矛盾”主要是指：A与假设矛盾；B与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；C与公认的简单事实矛盾.（3）否定假设，肯定结论例题2：求证是无理数本题是借助有理数的分数表示来处理，有助于加深学生对有理数的认识，思维上也有较高的要求，有利于发散学生思维，同时也和初中数学知识建立了联系，有利于学生建立知识体系，完善思维.本例设计的非常合理.同时在课本P14练习1中设计了一题，P习题1-3中也设计了一题，起到前后呼应、巩固加强理解和应用反证法的效果，同时体现了反证法对“原始”数学概念、公式、定理证明的作用。

§3反证法（第1课时）【学习目标】1.掌握反证法证题的步骤，理解反证法的基本原理；2.掌握常见结论词的否定形式，会用反证法证明否定性、唯一性和存在性命题.【重点难点】重点：用反证法证明否定性、唯一性和存在性命题难点：如何通过推理导出矛盾【导学流程】一、课前预习阅读课本第14-15页内容，归纳常见结论词的否定形式，总结适合用反证法证明的命题形式，完成下列问题：1.填写下面常用否定形式：原语句是都是> < 至多有一个否定形式原语句至少有一个对任意x都成立存在某个x成立至少有n个成立至多有n个成立否定形式2.反证法适合证明哪些形式的命题_________________________________________________. 同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容二、课堂探究1.设函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x)≠0，且f(x+y)=f(x)f(y)成立. 求证：对定义域内任意x都有f(x)>0.2.设｛a n｝是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和，求证：数列｛S n｝不是等比数列.3.用反证法证明：若两平行线a，b之一与平面M相交，则另一条也与M相交.【课堂小结】目标达成_______________________________________________________；收获新知_______________________________________________________；我的困惑_______________________________________________________.【达标检测】（限时20分钟）1.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于600”时，假设正确的是（）A.假设三内角都不大于600B.假设三内角都大于600C.假设三内角至少有一个大于600D.假设三内角至多有两个大于600 2.“M 不是N 的子集”的充要条件是（ ）A.若x ∈M ，则x ∉NB.若x ∈N ，则x ∈MC.存在x 1∈M ⇒x 1∈N ，又存在x 2∈M ⇒x 2∉ND.存在x 0∈M ⇒x 0∉N 3.设x ，y ，z ∈(0,+∞)，则三数yx 1+，z y 1+，x z 1+中（ ）A.都不大于2B.都不小于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2 4.给定实数a ，a≠0且a≠1，设函数11--=ax x y （其中x ∈R 且ax 1≠），证明：经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x 轴. 5.已知函数()()112>+-+=a x x a x f x.用反证法证明：方程f(x)=0没有负数根.。