设,求证:.lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==00 求极限lim sin
sin x x x x →021
[]求极限lim cosln()cosln x x x →+∞
+-1 求极限.lim sin x x x
→+011
求极限.lim
arctan x x
x x →∞+2112 求极限lim ()x x x e →∞+11 求极限limarctan arcsin x x x
→∞?1 求极限.lim x x x →-+0121
22 )sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极限
[]A
x f A
u f u x u x x x u u x x =?=≠?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0
00试证:,又,且设
设试确定实数,之值,使得:当时,为无穷小;
当时,为无穷大。
f x x x
a b x a f x x b f x ()ln ()()=
-→→1
设,问:当趋于何值时,为无穷小。f x x
x x f x ()tan ()=2
.
该邻域内 的某去心邻域,使得在证明:存在点,且,若)()()(lim )(lim 00
x f x g x A
B B x g A x f x x x x >>==→→
设,试证明:
对任意给定的,必存在正数,使得对适含不等式;的一切、,都有成立。
lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<0
00010201221εδδδε
.,试用极限定义证明:已知:A x f A x f x x x x =>=→→)(lim
0)(lim 0
{}{}{}是否也必发散?同发散,试问数列与若数列n n n n y x y x +
求的表达式f x x x x n n n ()lim =-+→∞+2121
设 其中、为常数,,求的表达式;
确定,之值,使,.
f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()lim sin
cos()
()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121
1
2
1
021211π
π
求的表达式f x x n n ()lim
(ln )=+→∞+11221 的表达式.求n n n n n x
x x x x f ---+∞→++=1
2lim )( .,求,设)(lim )()()()(1)(33)(2
2x f x f x x x x f x x x n n n n ∞
→=?++?+?+=+-=?Λ 求的表达式.f x x x x
x x x
x n n ()lim ()()=+++++++??????→∞-11122221Λ 求的表达式.f x x x n n
n ()lim =+→∞1 .,求,其中设n n k n
k k n S k b b k S ∞→=+==∑lim )!1(1
求的表达式。f x x x x x x x n n n n ()lim ()()()=+-+-++-????
?
?→∞1121212222Λ .
的表达式,其中求01
)1(1)1(lim
)(≥+++++=∞
→x x x x x x f n
n n .其中.求数列的极限)0( )(23)(23lim 1
1>>-+-+++∞→b a b a b a n n n n n
求数列的极限.lim ()n n n n →∞?+?-53323 求数列的极限.lim()n n n →?++++-12345321
2
Λ .
,其中求数列的极限1)321(lim 12<++++-∞
→q nq q q n n Λ
求数列的极限
其中.
lim ()()()()()()()()n a a a a a a a n a n a n a →∞+++++++++-+++??
??
??>11211231110Λ ??
????+-++?+?∞→)12)(12(1
531311lim n n n Λ求数列的极限 .求数列的极限??
????+++?+?+?∞→)1(1
431321211lim n n n Λ []
)0( )1(321lim 2222
32>-++++∞→a n n
a n 其中求数列的极限Λ
.求数列的极限??
?
???--+++++∞→2)1(321(21lim 2n n n n Λ 求数列的极限.lim ()n n n n →∞
+-+21
[]
求数列的极限.lim ()n n n n →∞
++--2451
.求数列的极限n
n n n n n )
1)(1(63lim 34+---+∞→
.
其中.求数列的极限)1( 2lim ≠+∞→a a a n
n
n .求数列的极限)1
1()311)(211(lim 222n
n ---∞→Λ 求数列的极限.lim n n n →∞+1000012
求数列的极限.lim n n n n n →∞++-+2243
351 求数列的极限.lim()n n n →∞
+-1
求数列的极限.lim n n n n →∞
++123
)200( 2
1
22lim
≠>>+-+--+∞
→b b a n b n n a n n 且,.求数列的极限
求数列的极限.lim ()n n n n →∞--1212 求数列的极限. lim ()n n n n →∞-+-1
213
求极限.lim n n n
n n →∞--?-??+?2103103102102121
.
,,且的某邻域内若在B x g A x f x g x f x x x x x ==>→→)(lim )(lim )()(0
0.试判定是否可得:B A >
是否成立?为什么?
,则,若0)()(lim 0)(1
lim 0)(lim 0
00=βα≠=β=α→→→x x b x x x x x x x x
[
]
[
]
确定,之值,使,
并在确定好,后求极限a b x x ax b a b x x x ax b x x lim
()lim ()
→+∞
→+∞
++-+=++-+347034722
求极限.lim()x x
x x x →∞+--11
求极限.lim cos sin x x x
x x →∞+-23
求极限lim ()()()()()()
x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222
Λ
[
]
求极限.lim ()x x
x x x →+∞
++-+2251 求极限.lim ()x x x x →-∞
-+++485212
讨论极限.lim x x x
x x e e e e
→∞---+2343232 求极限.lim ()()()()()()()x x x x x x x x →∞-----++121314151233232 求极限.lim ()()()()()
()x x x x x x x →∞+++++-?121314151532
22222222335 求极限.lim ()()()
x x x x →∞--+43326723425 求极限 ,.lim ()x x x a a a a →+∞+>≠1012 求极限.lim tan tan(
)x x x →
?-π
π
4
24
为无穷小.时,之值,使当,确定)(54)(2b ax x x x f x b a +-+-=-∞→
求极限.lim x x x x x →-+-+1343243 求极限.lim x x x x →-+-22256
4
求极限.lim x x x →+--23
3222
求极限.lim x x x x →--+-2251254
求极限.lim x x x →+-0255 求极限lim ()()()()x x x x x →---++--0352312114132 求极限.lim ()()x x x x →+--023242
11 .为自然数,求极限)( )2(lim n m a
x a a x n n m
m a x ---→ 求极限lim ()()x x x x →+-+0531214 求极限.lim ()x x x
→+-04131
设f x ax a x ax a x a
()()()=------221
1222
问:当为何值时,;
当为何值时,; 当为何值时,,并求出此极限值。()lim ()()lim ()()lim ()1212
301
112
a f x a f x a f x x x x →→→
=∞=
>
求极限.lim
csc cot x x x x →-0 求极限.lim cos x ax
x →-02
1
求极限.lim tan sin x x x x →+-+0311 )20(tan tan lim π<α<α-α-α→ 求极限x x x 求极限 为常数,.lim sin cos sin cos ()x x x
px px p p →+-+-≠0110 讨论极限.lim cos x x x
→-022
.求极限x x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→
求极限.lim ln()x x x
→+013
.求数列的极限1)4
1(arctan lim 2+π
-+∞→n n n n 求数列的极限.lim sin n n e n →∞
.求数列的极限12sin 2lim -∞→πn n n 求数列的极限.lim (cos )n n n →∞-2
1π
[] 答( )
存在
不一定存在
都存在,而,不一定存在
存在,但不一定存在存在,但,则
,上的单调增函数,,是定义在设)(lim )()(lim )0()0()()0()0()()0()0()()()(0
0000000x f D x f x f x f C x f x f B x f x f A b a x b a x f x x x x →→+--++-∈
.
存在,并求出此极限值,证明:,且设n n n n x ax x a x ∞
→+=
>>lim 011 。
存在,并求出此极限值,证明,且设n n n n x x x x ∞
→++==lim 2211
设,且其中,证明极限存在,并求出此极限值.
x x x a
x a x n n n n n 110120>=
+>+→∞
()()lim
设,,,.证明极限存在,并求出此极限值。x x x x x x x x n n
n
n n 010*******==+
+=+++→∞
Λlim
存在.求证:为正整数,设n n n x n n x ∞→++++
=lim )(131211222Λ .lim 131
1311311112存在,求证:设n n n n x x ∞→++++++++=Λ
设,,,,证明:;求极限.x x x n n x n x n n n n 1212132413521246211
21
2=
=??=??-??<+→∞
ΛΛΛ()
()
()()lim
求极限.lim ...x x x x x x →∞+++++100101
010010001
232 {}.为定数)证明:适合设数列0lim ( ,11=<≤∞→+n n n
n n x r r x x
x
求极限.lim
tan tan cos()x x x
x →
-+π
π
3
336
求数列的极限.lim !n n n →∞2 .则"证明数列的极限用极限存在的"夹逼准02
lim =∞→n n n
.
求数列的极限)1
2111(lim 222n
n n n n +++++∞
→Λ .求数列的极限1
!
sin lim
3
2+∞
→n n n n
.求数列的极限??
???
?+
++++∞→222)2(1
)2(1)1(1lim n n n n Λ 求极限.lim ln()ln()x x x e e →+∞++233223 求极限.lim ln()ln()x x x x x →∞++-+6325734 求极限.lim x x x x x
x
→+∞+++
[]设,,当,当讨论及.
f x x
g x x x x x g x f g x x x ()sin ()lim ()lim ()==-≤+>??
???
??→→22
0200
ππ [])()(lim , )()(lim )(lim 0000
u f x f u f u f u x x x u u x x =?==?→→→证明:,设。
求极限 、为正整数.lim ()x m n m n x x x x m n →-+-12
)
答( 无限接近等于小于不确定的值无限循环小数1)(1
)(1)()(9.0D C B A &
{}.求证:适合若数列r
ra a a r a a r a a a n n n n n n n --=
<<-=-∞
→-+1lim )10()(1
211
n n n n
n n x x n a n n a x 1lim , 0!
+求极限为正整数是常数, 其中设∞→>?=
求数列的极限.lim(sec )n n n
→∞π
2
设时,与是等价无穷小且证明:x x x x x f x A
x f x A
x x x x →?=?=→→00
αβαβ()()lim ()()lim ()()
设,且,
试证明必有的某个去心邻域存在,使得在该邻域内有界lim ()()
.
x x
f x A A x f x →=≠001
[][]下述结论:
"若当时,与是等价无穷小,则当时,与也是等价无穷小"是否正确?为什么?
x x x x x x x x →→++0011αβαβ()()ln ()ln ()
.求极限应用等阶无穷小性质,x
x x x )
1arctan()1arctan(lim
--+→
求极限.lim
x x x x x →+--+0
215132 求极限.lim ()()
x x x x
→--+012
13
1416
求极限 为自然数..lim
()()x n
ax x n a →+-≠01
110 求极限.lim ()x x x x →-+--313
522
3
设当时,与是等价无穷小,
且,,证明:.
x x x x f x x a f x x g x A f x x g x A x x x x x x →=≠-=-=→→→00001αβααβ()()lim ()()lim ()()
()
lim ()()
()
设当时,,是无穷小且证明:.
x x x x x x e e x x x x →-≠--00
αβαβαβαβ()()()()~()()()()
若当时,与是等价无穷小,
是比高阶的无穷小.
则当时,与是否也是等价无穷小?为什么?
x x x x x x x x x x x x →→--0101ααβααβαβ()()()()()()()()
[][]设当时,、是无穷小,且证明: 与是等价无穷小.
x x x x x x x x x x →-≠+-+-0011αβαβαβαβ()()()().
ln ()ln ()()()
设当时,是比高阶的无穷小.证明:当时,与是等价无穷小.
x x f x g x x x f x g x g x →→+00()()()()()
吗?为什么?
也是等价无穷小
与无穷小。试判定:等价是同阶无穷小,但不是与是等价无穷小,与时,若)()()()()()()()(110x x x x x x x x x x β-αβ-αβααα→
确定及,使当时,
与,是等价无穷小.
A n x f x x x g x Ax n →=++=0122()ln()()
.
时,,使当及求,, 设)(~)(0)(5sin 3sin 2sin )(x g x f x n A Ax x g x x x x f n →=+-=
设,为常数求及,使当时,f x e e e a g x Ax A n x f x g x a x a x a n
()()()()~().
()()=+-=→+-222
20
设, ,
确定及,使当时,.
f x x x x
g x A
x
k A x f x g x k ()()()~()=
+-++=→+∞221
设, ,
确定及,使当时,αβαβ()()()()~()
x x x x c x c n x x x n =-+=-→33211
证明不等式:.其中为正整数ln()()111
+ n 求极限,,为正的常数lim()()x bx x ax e a b →+0 1 求极限,,lim()()x x x x a b a b →+>>01 200 求极限,为任意实数.lim ()x n x x n →--111 求极限 lim ln ln ()x x x x x x x →-->00000 )10(lim ≠>--→a a a x a a a x a x ,,求极限 求极限 ,.lim ()x x a x a a →->≠03101 求极限.lim sin tan x x x e e x →-03 求极限.lim x x x e e x →-+-022 求极限.lim x x e x →-051 求极限 ,且,,lim()()x x x x xa xb a b a b a b →++>>≠≠≠01 1100112 求极限 ,.lim ()()x x x x a a a a →+∞+->≠211 101 求极限.lim ln(sec tan )sin x x x x →+0 求极限 ,为常数,且lim ln()ln()().x ax e b x a b a →+∞++>110 . 求极限)0(ln 2)ln()ln(lim 02 000>--++→x x x x x x x x 求极限 ,.lim(cos cos )()x x x k k z →-≠+∈ααααππ1 2 求极限.lim cos x x x →+∞π 求极限lim()x x x →-01 12 求极限.lim()x x x x →∞+-2121 3 求极限.lim()x x x x x x →∞-++-212122 求极限lim(sin )tan x x x →π22 求极限.lim(sin cos )x x x x →+0 1 求极限.lim tan()cot x x x →-??????04π 求极限.lim(cos )x x x →+0 1 求极限.lim()x x x x →++0 211 []求极限lim ()ln()()ln()ln x x x x x x x x →+∞ ++-+++22211 求极限.lim lncos x x x →0 2 [].求极限x x x x )1ln()1ln(lim --++∞ → 求极限.-lim ln x x x →-121 []求数列的极限.lim ln()ln n n n n →∞+-1 求数列的极限lim().n n n n e →∞ +1 1 为正整数. ,,其中求数列的极限b a e e n n b n a n )(lim -∞ → 是常数其中求数列的极限0 ; ln 2)1ln()1ln(lim 2>?? ????--++∞→a a n a n a n n 求数列的极限.lim()n n n n →∞++211 求数列的极限,其中.lim ()n n n a a →∞ ->1 10 .求数列的极限??????-+-+∞ →2)1 2() 12(22lim e e e n n n n 求数列的极限,其中,.lim()n n n n a b a b →∞+>>200 求数列的极限.lim()n n n n →∞+-2121 ) 1(224323lim +∞→? ? ? ??+-n n n n n 求数列的极限 计算极限:.lim sin()n n a →∞ +?22π 设,,,则有 , ,, , 答( ) f x x x x x f x a f x b A a b B a b C a b D a b x x ()sin sin lim ()lim ()()()()()=+==========→→∞11 111221220 计算极限lim ln x x x nx x e e e n →+++021Λ 计算极限lim ln()ln()sec cos x x x x x x x →+++-+-02211 求极限 ,为非零常数lim tan sin ()x mx nx m n →0 计算极限lim x x x x →+-++-021111 计算极限 lim ()x a x a x a x a a →+-+--≥022 0 计算极限.lim cos cos x x x →--0211 计算极限在 lim ln()ln()ln ()x a x a x a x a →++-->0220 计算极限lim (sin tan )x x x x →-0111 计算极限lim ()(cos )ln() sin x x e x x x →-?+-+04221111 lim sin ()()()()x x x A B C D →∞= ∞10 不存在但不是无穷大 答( ) lim sin ()()()()x x x A B C D →∞===∞1 10之值 不存在但不是无穷大 答( ) 已知 其中、、、是非常数则它们之间的关系为 答( ) lim tan (cos )ln()() () ()()()()x x A x B x C x D e A B C D A B D B B D C A C C A C →-+--+-===-==-0 11211022222 )1()1)(1)(1(lim 1242n x x x x x n ++++<∞ →Λ计算极限设 设及存在,试证明:.lim lim n n n n n x x x a a →∞→∞+==≤011 求lim(sin cos )x x x x →∞+2212 计算极限 lim ()()x a x a x a x a a →-++-≠322210 计算极限lim x x x x x x →-+---2322332 2 计算极限lim ln()cos x x x x e e x x →-?+021 ?? ????∞→→)2cos 2cos 2(cos lim lim 20n n x x x x Λ计算极限 {}.,试证明及满足设有数列0lim )10( lim 01=<≤=>∞ →+∞→n n n n n n n a r r a a a a {},试按极限定义证明: ,且满足设有数列)10( lim 0<≤=>∞ →r r a a a n n n n n .0lim =∞ →n n a .语言证明,试用 设A x f A A x f x x x x =δ-ε>=→→)(lim "")0()(lim 0 试问:当时,,是不是无穷小?x x x x →= 01 2α()sin 的某去心邻域,使得 试证明:必存在,且,设0,)(lim )(lim 0 x B A B x g A x f x x x x >==→→.在该邻域为)()(x g x f > 设,试研究极限f x x x f x x ()sin lim ()=→110 计算极限.lim ln()arcsin()x x x x →+---232312344 [] 答( ) 大无界变量,但不是无穷小有界变量,但不是无穷无穷小量 无穷大量是时,则当, 设数列的通项为)()()()()1(12 D C B A x n n n n x n n n ∞→--+= 以下极限式正确的是 答( ) ()lim()()lim()()lim()()lim()A x e B x e C x e D x x x x x x x x x →+→+-→∞-→∞-+=-=-=+=001 11111 1111 设, ,,,求.x x x n x n n n n 1110612==+=+→∞ ()lim Λ a b A a D a A b a C b A b a B A b a A A b a A x f x b x x e x f x ax ======??? ??=≠-=→可取任意实数且可取任意实数,,可取任意实数,,可取任意实数,,之间的关系为,,则,且, 当,当设)()()(1)()(lim 0 01 )(0 答:( ) a A A b a D A b a a C b A b a B a A b a A A b a A x f x b x x ax d x f x ln )()()()()(lim 0 0) 1ln()(0 ======?? ? ??=≠+=→仅取可取任意实数,而,可取任意实数且可取任意实数,,可取任意实数,,之间的关系为,,则,,且当 , ,当设 答:( ) 答( ) 可取任意实数可取任意实数可取任意实数,可取任意实数,间正确的关系是,,则,且当, ,当设2 )(2)(2)(2)()(lim 0 0cos 1)(2 2 2 a A b a D a A b a C a A b a B a A b a A A b a A x f x b x x ax x f x = == == ==??? ??=≠-=→ [][]设有,,且在的某去心邻域 内复合函数有意义。试判定是否 成立。若判定成立请给出证明;若判定不成立,请举出例子,并指明应如何加强已知条件可使极限式成立。 lim ()lim ()()lim ()x x u a x x x a f A x f x f x A →→→===0 0???? 设,当, 当 适合则以下结果正确的是仅当,,仅当,,可取任意实数,,可取任意实数,,都可能取任意实数 答( ) f x x x b x x a x f x A A a b A B a A b C b A a D a b A x ()lim ()()()()()=++-≠=??? ??===-====-=→21 21114344434 设 当 当 且,则,,,可取任意实数,可取任意实数 答( ) f x bx x x a x f x A b a B b a C b a D b a x ()lim ()()()()()=+-≠=??? ??=======→11 0033363 360 值。,试求时,且当,设a x x x e e x ax x x )(~)(0)(1) 1()(cos 3 12βα→-=β-+=α 求.lim x x x x x e e e e →∞---+234 .,则设____________8)2(lim ==-+∞→a a x a x x x . ____________) 31(lim sin 2 =+→x x x 当时,在下列无穷小中与不等价的是 答( ) x x A x B x C x x D e e x x →-++--+--0121112 22 22()cos ()ln ()() 当时,下列无穷小量中,最高阶的无穷小是 答( ) x A x x B x C x x D e e x x →++---+--01112 22()ln()()()tan sin () 计算极限lim cos x x x e x →---0 2 112 _____________________4sin 3 553lim 2 =?++∞→x x x x 1 lim 211--++++-→x n x x x x n n x Λ计算极限 131)1() 1()1)(1(lim -→----n n x x x x x Λ计算极限 .计算极限x x x π+→)(cos lim 0 讨论极限的存在性。limarctan x x →-11 1 的存在性。研究极限x x 1cot arc lim 0→ 研究极限.lim x x x x →∞++-223 1 ) 答( 穷大的是时,下列变量中,为无当x D x C x B x x A x 1 cot arc )(1arctan )(ln )(sin ) (0+→ ________________1 ln 1lim 1=-→x x 。 时,恒有 ,使当存在一正整数,试判定下述结论,且设N n N a a n n n >=>∞ →"0lim 0是否成立?"1n n a a <+ 若试讨论是否存在?lim lim n n n n a A a →∞ →∞ = {}存在的 极限,试判定能否由此得出满足设有数列n n n n n n a a a a ∞ →+∞ →=-lim 0)(lim 1结论。 {}0lim 1001=<<≤>∞→+n n n n n n a r r a a a a ,试证明,;满足设有数列 是否必存在? 存在,则存在,设)(lim )(lim )() (lim 00x f x g x g x f x x x x x x →→→ . ,则是否必有,若0)(lim 0)() (lim 0)(lim 0 00=≠==→→→x g A x g x f x f x x x x x x 答( ) 小量的是时,下列变量中为无穷当1 ) 1)((ln 1) ()1ln()(1 sin 1)(012 2-+-+→x x D x C x B x x A x . 是常数),试证明,时,设0) () (lim ()()(0 0=→∞→→→x f x g A A x g x f x x x x 若,且在的某去心邻域内,,则必等于,为什么? lim ()()lim () ()lim ()x x x x x x g x x g x f x g x A f x →→→=≠=0 0000 若,不存在,则是否必不存在?若肯定不存在,请予证明,若不能肯定,请举例说明,并指出为何加强假设条件,使可肯定的极限时必不存在。 lim ()lim ()lim ()() ()()()x x x x x x f x A g x f x g x f x g x x x →→→=??→0 是否为无穷大?,试判定,若)()(lim )(lim )(lim 0 x g x f A x g x f x x x x x x ?=∞=→→→ [].,试证明,,设∞=+→∞→→→)()(lim )()(0 0x g x f A x g x f x x x x .,试证明,时,设当∞=≠→∞→→→)()(lim )0()()(0 0x g x f A A x g x f x x x x 设,,则当时 与是同阶无穷小,但不是等价无穷小是比高阶的无穷小与不全是无穷小 αβαβαβαβαβ=+=→+∞ln ()~()()()x x arcctgx x A B C D 1 答:( ) f x x x x A x B x C x f x D x f x ()sin ()()()()()()()()= ?<<+∞→+∞→+∈+∞→+11 0000 当时为无穷小当时为无穷大当,时有界 当时不是无穷大,但无界. 答( ) 若,当时为无穷小,则 , ,, , 答( ) f x x x ax b x A a b B a b C a b D a b ()()()()()=+--→∞==-===-=-=-=2 1 11111111 2 1 )63(lim -∞→++x x x x 求 求lim()n n n n n n n n n →∞+++++++++11222 22Λ ____)1 2(lim =+-∞→n n n n lim ()()()()n n n n n e e e e A B e C e D e →∞ -??= 1212 1Λ 答( ) . ____))1(2121(lim =-+++-+++∞ →n n n ΛΛ 答( ) 不存在,但不是无穷大为无穷大 等于 等于 . )( ;)(; 2)( ; 0)(2 cos lim 2 D C B A x x x +→ . )(0)2(; )10()()1(sin 1)(是否成为无穷大时,当,内是否有界,在,试判断:设x f x x f x x x f +→π = [ )设,试判断:在,上是否有界当时,是否成为无穷大 f x x x f x x f x ()cos ()()()()=+∞→+∞102 试证明不存在。limcos x x →01 0)(lim 0)(lim )()(0 0==αα≤→→x f x x x f x x x x x ,试证明,且的某去心邻域内若在 .试证明,,且的某去心邻域内若在B A B x g A x f x g x f x x x x x ≥==≥→→ ; )(lim )(lim )()(0 答( ) 不存在,但不是无穷大为无穷大 等于 等于之值 . )( ; )(; 0)( ; 1)(1 1 sin lim D C B A x x x → ( ) 答 高阶的无穷小是比高阶的无穷小是比是等价无穷小与等价无穷小是同阶无穷小,但不是与时( ),则当,设. )()()(; )()()(; )()()(; )()()(133)(11)(3x x D x x C x x B x x A x x x x x x αββαβαβα→-=β+-= α 答( ) , ,, ,,则必有设. 104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(14lim 231=-=-==-=====-+--→A a D A a C A a B A a A A x x ax x x ) 答( 不存在但不是无穷大 为等于 等于的极限 时,当. )( ; )(; 0)( ; 2)(1 1)(11 1 2D C B A e x x x f x x ∞--=→- 的值。.试确定满足和,设当a x x x x ax x x )(~)(cos 1)(1) 1()(02 3 2βα-=β-+=α→ 求,使a b x x ax b x lim()→∞++-+=321 12 之值。 ,试确定设b a b ax x x x , 0)743(lim 2=--+++∞ → n n n n x n x x x ∞ →+=+==lim )21(32111,求,,,设Λ 设, ,,,求.x x x n x n n n n 1142312==+=+→+∞ ()lim ΛΛ 计算数列极限lim tan()n n n →∞+? ?????π41 )1 arctan 1(arctan lim +-+∞→n n n n n n 计算极限 .及,试确定,设当k A Ax x x x x k ~11)(03333--+=α→ 设,求与使αα()lim () ()x x x x A K x x A A x k =++-+=≠→+∞2210 的值为, 极限)00()1(lim 0≠≠+→b a a x x b x 答( ) . . a be D e C a b B A a b ) ()(ln )(1)( 设 ,试确定,之值。lim (cos ) ()x x a x b x a a b →+-= >0 2 221 2 0 设,试确定,之值。lim ()x x ax bx a b →+∞ -++=3122 设,试确定,之值。lim x x ax x b x a b →+++-=13221 3 )(lim x x x x x --++∞→计算极限 x x x x x x tan 2cos sin 1lim 0-+→计算极限 计算极限lim tan sin tan sin x x x x x e e →+-+-044 研究极限的存在性。lim cos ()x ax x a →->0220 {}.收敛,并求极限,试证数列 ,,.,,设n n n n n n x x n x x x x ∞ →+=-=∈lim )21(2)20(2 11ΛΛ 设,,,,试研究极限.x x x x n x n n n n n 112 0212<=-=+→∞ ()lim ΛΛ . ,试研究极限,,,设n n n n n x n x x x x ∞ →+=-=>lim )21(222 11ΛΛ n n n n n b n n n n n n n n n b a b a n b a b b a a b a ∞ →∞ →→∞ →++==+==lim lim lim lim )21( 21111存在,且存在,试证明:,,,,是两个函数,令,设Λ cos 20e e lim x x x →-计算极限 x x x x x x x ??? ??+-+++∞→lim 计算极限 x x x x )1 21(lim 2+-∞→计算极限 至少有一 及,则能否得出",,且若0lim 0lim 000lim ==≠≠=∞ →∞ →∞ →n n n n n n n n n y x y x y x 式成立"的结论。 {}{}{}反例。 ,如否定结论则需举出如肯定结论请给出证明是否也必是无界数列。试判定: , 都是无界数列,,设数列n n n n n n z y x z y x = 计算极限lim sinln()sinln()x x x x →∞+-+? ? ????1311 极限.; . .; .. 答( ) lim(cos )x x x A B C D e →- = 1 12 2 01 极限的值为( ) .; .; .; .. 答( ) lim ()x x x e e x x A B C D →--+0210123 答( ) ..; .; .; .的值为( ) 极限2 3 326103sin 3cos 1lim 0D C B A x x x x -→ 下列极限中不正确的是 .; .;.;.. 答( ) A x x B x x C x x D x x x x x x lim tan sin lim cos lim sin()lim arctan →→-→→∞=+=---==0112 32322121120π π 极限.; .; .; .. 答( ) lim ln()ln()x x x x x x A B C D →+++-+= 0222 110123 极限.; .; .; .. 答( ) lim(cos )x x x A B e C D e →- = 112 12 01 答( ) . .;.;.; .为等价无穷小量的是时,与当 )sin ( 11)1ln( 2sin 0x x x D x x C x B x A x x +--+-→ 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要:设 A x f x x =→)(lim 0 , (i )若A 0>,则有0>δ,使得当δ<-<||00x x 时,0)(>x f ; (ii )若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时,0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在: (i )数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论,即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” (ii ) A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 (v )两边夹挤准则(夹逼定理/夹逼原理) (vi )柯西收敛准则(不需要掌握)。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是: εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时,恒有、使得当 二.解决极限的方法如下: 1.等价无穷小代换。只能在乘除.. 时候使用。例题略。 2.洛必达(L ’hospital )法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,数列极限的n 当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在,假如告诉f 最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_),的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :)-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分,即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解:代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /(兀),即/(兀)=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ,+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解:此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1) 法2化为一元函数的极限计算。令衣+八]=(,则当 x —0, y —?0 吋,t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ,T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0< 而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解:取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数,表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以 第一章函数及其图形 例1:(). A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意,单选题的解答,有其技巧和方法,可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学(一)单项选择题的解题策略与技巧》,这里为说明解题相关的知识点,都采用直接法。 例2:函数的定义域为(). 解:由于对数函数lnx的定义域为x>0,同时由分母不能为零知lnx≠0,即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立,从而其定义域为,即应选C。 例3:下列各组函数中,表示相同函数的是() 解:A中的两个函数是不同的,因为两函数的对应关系不同,当|x|>1时,两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立,故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1,而y=x的定义域为(-∞,+∞)。 D中的两个函数也是不同的,因为它们的定义域依次为(-∞,0)∪(0,+∞)和(0,+∞)。例4:设 解:在令t=cosx-1,得 又因为-1≤cosx≤1,所以有-2≤cosx-1≤0,即-2≤t≤0,从而有 。 5: 例 f(2)没有定义。 注意,求分段函数的函数值,要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6:函数是()。 A.偶函数 B.有界函数 C.单调函数 D .周期函数 解:由于,可知函数为一个奇函数而不是偶函数,即(A)不正确。 由函数在x=0,1,2点处的值分别为0,1,4/5,可知函数也不是单调函数;该函数显然也不是一个周期函数,因此,只能考虑该函数为有界函数。 事实上,对任意的x,由,可得,从而有。可见,对于任意的x,有 。 因此,所给函数是有界的,即应选择B。 例7:若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是()。 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数D.奇偶性不确定 高等数学试题库 第二章 导数和微分 一.判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二.填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数 2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业:会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业:电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自 动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1.约去零因子求极限 例1:求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近,但1≠x ,所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分子分母同除求极限 例2:求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方; (2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3.分子(母)有理化求极限 例3:求极限)13(lim 22 +- ++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式。 【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4:求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子........... 是解题的关键 4.应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ,第一个重要极限过 于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5:求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤:先凑出1,再凑X 1 + ,最后凑指数部分。 【解】22 21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6:(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ;(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ,求a 。 5.用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有: 求极限的各种方法 1.约去零因子求极限 例1:求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近,但1≠x ,所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分子分母同除求极限 例2:求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方; (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3.分子(母)有理化求极限 例3:求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例4:求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】) sin 1tan 1(sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 x x x x x x x x x x +++-=+-+→→ 这里入选原则是必须配得起“经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平, 尽量限制在实数范围内,避免与课本内容重复。排名不分先后。 1)开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题,是数学在实际应用中的光辉典范,其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试,用不着太多的专 业知识,不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事,找找当牛人的感觉吧,这个问题是锻炼数学能力的好题! 2)最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题,不少科普书上也有该问题。答案是摆线(又称悬轮线),关于摆线还有不少奇妙的性质,如等时性。其解答一般变分 书上均有。本问题的数学模型不难建立,即寻找某个函数,它使得某个积分取最小值。这个问题往深层次发展将进入泛函领域,什么是泛函呢?不好说,一个通俗的解释是“函数的函数”,即“定义域”不是区间,而是“一堆”函数。最速降线问题通过引入光的折射定律可以直接化为常微分方程,大大简化了求解过程。不过变分法是对这类问题的一般方法,尤其在力学中应用甚广。 3)曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线,所围面积是有限的,但其周长却可以是无限的,比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。 如果限制曲线是可微的,通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题,即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学家H.A.Schwarz 举出一个反例,说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面,也可以具有面积任意大的内接折面。 4)处处连续处处不可导的函数。长久以来,人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。但是,魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式,该函数处处连续却处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的,后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。至于魏尔斯特拉斯那个例子,可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。 5)填满正方形的连续曲线。数学总是充满神奇与不可思议,以前人们总是以为曲线是一维的,但是皮亚诺却发现了一条可以填满正方形的连续曲线。结果人们不得不重新审视以往对曲线的看法。 BTW:先写到这里,明天接着写另外5个。1345中的例子可以在《数学分析新讲》中找到。 高等数学基础典型例题解析 例1 计算极限3 2)1sin(lim 21-+-→x x x x . 解 利用重要极限1sin lim 0=→x x x ,及极限的运算法则得 )1)(3()1sin(lim 3 2)1sin(lim 121-+-=-+-→→x x x x x x x x )1()1sin()3(1lim 1--?+=→x x x x )1()1sin(lim )3(lim 111--?+= →→x x x x x 41141=?= 例2 计算极限12 76lim 223+---→x x x x x . 解 利用极限的运算法则得 5)4(lim )2(lim )4)(3()2)(3(lim 1276lim 3 33223-=-+=--+-=+---→→→→x x x x x x x x x x x x x x 例3 设x y x ln e sin -=,求y '. 解 利用导数的运算法则和复合函数求导法则得 )(ln )e (sin )ln e (sin '-'='-='x x y x x x x x 1e c o s e -= 例4 设2cos x x y =,求y '. 解 利用导数的运算法则和复合函数求导法则得 )(cos cos )cos (222'+='='x x x x x y )(s i n s i n 222'-=x x x x 2 22s i n 2s i n x x x -= 例5 计算?x x x d e 21. 解 利用换元积分法得 ???-=--=)1d(e d e 1d e 11221x x x x x x x x c u u u u x +-===?=e d e 1c x +-=1 e 《高等数学》中部分典型习题、较难习题解答(或提示) (二) 167页第24题 提示:根据罗尔定理容易知道()0f x '=至少有4个实根。同时注意到()f x 是5次多项式,则()0f x '=是4次方程,它最多有4个实根。 167页第26题 证明:由于(())()0f x ax f x a ''-=-=,根据拉格朗日定理的推论1,()f x ax -为一常数,不妨设此常数为b,则有 (). f x a x b =+ 167页第27题(2)(3)(4) (2)证明:设()ln(1).f t t =+显然0,x ?> ()f t 在[0,x]上连续,在(0,x )内可导,根据拉格朗日中值定理,()f t 在(0,x )内至少存在一点0,x 使得 1ln(1)ln1(0)1x x x +-=-+ 即0 ln(1)1x x x +=+ 注意到00,x x <<所以, 11x x x x x <<++,即得到 ln(1).1x x x x <+<+ (3)证明:设(),().t f t e g t t ==显然0,x ?>()f t ,()g t 在[0,x]上连续,在(0,x )内可导,且()0g t '≠. 根据柯西中值定理,()f t ,()g t 在(0,x )内至少存在一点0,x 使得 00110x x x e e e e x x --==>-,所以, 1,x e x -> 即1.x e x >+ (当x<0时可以类似得证.) (4)提示:和上例类似,设(),t f t e = (),g t et =在区间[1,x]上用柯西定理。 168页第29题(6)(7)(10) 解:(6) 2222222tan33sec 33cos lim lim lim tan sec cos 3x x x x x x x x x πππ→→→== 微积分典型例题和重点知识点 1. 重点掌握定义域-习题1-2中的2,4(17页) 2. 习题1-3中的1-2-3-6-8(23页) 3. 左右极限法-例6,课后习题1. 4.6 4. 无穷小与无穷大---定义1/定理3习题4 5. 极限运算法则--定理1,例5/习题中1的2-5-610-14-15/2 的3/3 6. 单调有界准则中的准则2/两个重要极限/习题1的3,4/2的4,7/4 7. 无穷小的比较---习题1/2/3/5的2-3-5 8. 函数的连续与间断---定义1/定义2/习题2 的2/4的3/6 9. 连续函数的运算与性质-习题1/2/4/6 10. 总习题1的1-8-26-29-33-34-35 11. 导数的概念-例2/例3 12. 函数的求导法则-定理1/复合函数的求导法则/例9-注意化简/例10/基本求导公式/习题1的2-4-5-9-10/2 的1/4 的3-5-6-8/5的1-2-5-8/6的2 13. 高阶导数==与隐函数求导结合出题---习题1的4-5/4/6的3 14. 隐函数的求导数---例2/例3/习题中1 的2-5,2的2-3,3的3 15. 函数的微分-例3 /例4 16. 总复习题1-2-10-13-14-21-23-25 17. 中值定理---习题1-3-5(重点证明题)-10的1-11========[证明一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,可用原函数找辅助函函数]=========[注意洛必达法则失败的情况]==习题1 的3-5-6-910-11-12-14-17 18. 函数凹凸性:定理2/例6/例8/习题4 的2-3,6的2 19. 习题3-5中的8 20. 导数在经济学中的应用---例3(应用题)/例4/例5 /例6/习题的5-9-10 21. 总复习题1 的2/13 的1-5/24的1 22. 不定积分----例4(可能与不定积分结合)/性质1性质2(可能出选择题)/基本积分表/例8/例9/习题1 的7-10-12/3/4====有一个会有第一类间断点的函数都没有原函数 23. 换元积分法---例2 /例3/例6/常用凑微分公式/习题2 的7-8-10-11-12/3的1/4 24. 分部积分法----按”反-对-幂-三-指”的顺序,在前的设为U,在后的设为V/例3/例4/例10/习题1的2-5-14/3 25. 注意---------------------微积分重点小节是:1.7-----1.8----2.2-----2.4-----3.2-----3.7------4.2------4.3----- 计算题4题分别是分步积分凑积分法极限隐函数的求导 应用题的是弹性函数和利用函数求最值 以上是其他老师划的一些重点知识和例题,习题,请各位同学根据老师讲的内容并结合自身复习情况,做适当的调整 2009年考研数学高数典型题型归纳 一、函数、极限与连续 求分段函数的复合函数; 求极限或已知极限确定原式中的常数; 讨论函数的连续性,判断间断点的类型; 无穷小阶的比较; 讨论连续函数在给定区间上零点的个数,或确定方程在给定区间上有无实根。 二、一元函数微分学 求给定函数的导数与微分(包括高阶导数),隐函数和由参数方程所确定的函数求导,特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论; 利用洛比达法则求不定式极限; 讨论函数极值,方程的根,证明函数不等式; 利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题,如“证明在开区间内至少存在一点满足……”,此类问题证明经常需要构造辅助函数; 几何、物理、经济等方面的值、最小值应用问题,解这类问题,主要是确定目标函数和约束条件,判定所讨论区间; 利用导数研究函数性态和描绘函数图形,求曲线渐近线。 三、一元函数积分学 计算题:计算不定积分、定积分及广义积分; 关于变上限积分的题:如求导、求极限等; 有关积分中值定理和积分性质的证明题; 定积分应用题:计算面积,旋转体体积,平面曲线弧长,旋转面面积,压力,引力,变力作功等; 综合性试题。 四、向量代数和空间解析几何 计算题:求向量的数量积,向量积及混合积; 求直线方程,平面方程; 判定平面与直线间平行、垂直的关系,求夹角; 建立旋转面的方程; 与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。 五、多元函数的微分学 判定一个二元函数在一点是否连续,偏导数是否存在、是否可微,偏导数是否连续; 求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、二阶偏导数,求隐函数的一阶、二阶偏导数; 求二元、三元函数的方向导数和梯度; 求曲面的切平面和法线,求空间曲线的切线与法平面,该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题, 关于高等数学方法与典型 例题归纳 This manuscript was revised on November 28, 2020 2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业:会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业:电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其 自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1.约去零因子求极限 例1:求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近,但1≠x ,所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分子分母同除求极限 例2:求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方; (2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3.分子(母)有理化求极限 例3:求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4:求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子........... 是解题的关键 4.应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ,第一个重 要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5:求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤:先凑出1,再凑X 1 +,最后凑指数部分。 【解】22 21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6:(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ;(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ,求a 。 5.用等价无穷小量代换求极限 第八章典型习题 一、 填空题、选择题 1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离是 2、平行于向量}1,2,1{a -= 的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为 且与平面过点=--+-z y x 4、.xoz y z y x :面上的投影柱面方程是在曲线?? ?==++Γ2 10222 5、()==-=+=+=-δ λ δλ则平行与设直线,z y x :l z y x : l 1111212121 ()23A ()12B ()32C ()21 D 6、已知k 2j i 2a +-=,k 5j 4i 3b -+=,则与b a 3 -平行的单位向量为 ( ) (A )}11,7,3{(B )}11,7,3{- (C )}11,7,3{1291-± (D )}11,7,3{179 1-± 【 7、曲线???==++2 z 9 z y x 222在xoy 平面上投影曲线的方程为( ) (A )???==+2z 5y x 22 (B )???==++0z 9z y x 222(C )???==+0 z 5y x 22 (D )5y x 22=+ 8、设平面的一般式方程为0A =+++D Cz By x ,当0==D A 时,该平面必( ) (A)平行于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9、设空间三直线的方程分别为251214: 1+=+=+z y x L ,6 7 313:2+=+=z y x L ,4 1 312:3-= +=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L 10、设平面的一般式方程为0=+++D Cz By Ax ,当0==B A 时,该平面必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy 面 (D) 平行于xoy 面 11、方程05 z 3y 3x 2 22=-+所表示的曲面是( ) (A )椭圆抛物面 (B )椭球面 ( (C )旋转曲面 (D )单叶双曲面 常微分方程 一、一阶微分方程的可解类型 (一)可分离变量的方程与一阶线性微分方程 1.(05,4分)微分方程_________.1 2ln (1)9 xy y x x y '+==-满足的解为 2222223332.+ln ,=ln . 111 ln ln ln . 339 111 (1)0ln . 939 dx x dy y x e x dx x d x x x dx x x xdx C xdx C x x x y C y x x x ?==+=+-=-=?=-??分析:这是一阶线性微分方程原方程变形为两边乘得 (y)= 积分得 y=C+由得 2.(06,4分) (1) y x x -'————.微分方程y = 的通解为 111 (1).ln ln .,C x x dy dx y x x C y e x e y x y Cxe C --=-=-+==分析:这是可变量分离的一阶方程,分离变量得 积分得,即因此,原微分方程的通解为 其中为任意常数. (二)奇次方程与伯努利方程 1.(97,2,5分)2 2 2 (32)(2)0x xy y dx x xy dy +-+-=求微分方程的通解. 22223122+1-23 , 1ln 13ln ,1=..y xu dy xdu udx u u dx x u du u du dx u u x u u x C u u Cx y C u x xy y x x -=-+-+-=-++-= +-=解:所给方程是奇次方程.令 =,则=+.代入原方程得 3(1-)+(1-2)=0. 分离变量得 积分得 即以代入得通解 2.(99,2,7分) 1(0(0),0 x y dx xdy x y =?+-=>??=??求初值问题的解. 大一高数 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础(高中函数部分相关知识)(★★★) ○邻域(去心邻域)(★) (){},|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<- 《高等数学》练习测试题库及答案 一.选择题 1.函数y=1 12+x 是() A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为() A 2x 2-2 B 2-2x 2 C 1+x 2 D 1-x 2 3.下列数列为单调递增数列的有() A .0.9 ,0.99,0.999,0.9999 B .23,32,45,5 4 C .{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数,为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的() A .充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5.下列命题正确的是() A .发散数列必无界 B .两无界数列之和必无界 C .两发散数列之和必发散 D .两收敛数列之和必收敛 6.=--→1 )1sin(lim 21x x x () A.1 B.0 C.2 D.1/2 7.设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) A.1 B.2 C.6 D.1/6 8.当x →1时,下列与无穷小(x-1)等价的无穷小是() A.x 2-1 B. x 3-1 C.(x-1)2 D.sin(x-1) 9.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的() A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时,y= () A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f(x)=(1-x)cotx要使f(x)在点:x=0连续,则应补充定义f(0)为() A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为() A、xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x0连续,g(x)在点x0不连续,则下列结论成立是() A、f(x)+g(x)在点x0必不连续 B、f(x)×g(x)在点x0必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x0必不连续 D、在点x0必不连续 14、设f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续,且f(x)=0,则a,b满足() A、a>0,b>0 B、a>0,b<0 C、a<0,b>0 D、a<0,b<0 15、若函数f(x)在点x0连续,则下列复合函数在x0也连续的有() 高等数学求极限的14种方法 令狐采学 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要:设 A x f x x =→)(lim 0 , (i )若A 0>,则有0>δ,使得当δ<-<||00x x 时,0)(>x f ; (ii )若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时,0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在: (i )数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常 用的是其推论,即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a” (ii )A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 (v )两边夹挤准则(夹逼定理/夹逼原理) (vi )柯西收敛准则(不需要掌握)。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分 必要条件是: εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时,恒有、使得当 二.解决极限的方法如下: 1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。 2.洛必达(L’hospital)法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,数列极限的n 当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在,假如告诉f (x )、g (x ),没告诉是否可导,不可直接用洛必达法则。另外,必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况: (i )“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”,应为无穷大和无穷小成倒数的关系, 所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后,就能变成(i)中的形式了。即) (1) ()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f == 或; ) ()(1) (1 )(1)()(x g x f x f x g x g x f - = - (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还 取对数的方法,即e x f x g x g x f ) (ln )() () (=,这样就能把幂上的函数 移下来了,变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候,含有正余弦的加减的时候) 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ; 2014年山东省普通高等教育专升本考试2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业:会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业:电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木 工程 2013年5月17日星期五 曲天尧编写 一、求极限的各种方法 1.约去零因子求极限 例1:求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近,但1≠x ,所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分子分母同除求极限 例2:求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方; (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3.分子(母)有理化求极限 例3:求极限)13(lim 22 +- ++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+- ++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例4:求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→高等数学求极限的常用方法附例题和详解
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