(完整版)高等数学经典方法与典型例题归纳

2014年山东省普通高等教育专升本考试2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳—经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务—理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程2013年5月17日星期五曲天尧编写一、求极限的各种方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。

【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。

【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4：求极限3sin 1tan 1limx xx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→xxx 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。

高等数学求极限的14 种方法一、极限的定义1. 极限的保号性很重要：设limf (x)A ，x x 0（ i ）若 A 0 ，则有0 ，使适当 0 | x x 0 |时， f (x) 0 ； （ ii ）如有0, 使适当 0 | x x 0 |时， f (x)0,则A0 。

2. 极限分为函数极限、数列极限，此中函数极限又分为限能否存在在：x时函数的极限和 xx 0 的极限。

要特别注意判断极（ i ）数列 x n 收敛于 a 的充要条件 是它的全部子数列均收敛于 a 。

常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（ ii ）limf (x)Alimf ( x)limAxxx(iii)lim f ( x)AlimlimAx xx x 0x x 0(iv) 单一有界准则 （ v ）两边夹挤准则（夹逼定理 / 夹逼原理） （ vi ） 柯 西 收 敛 准 则 （ 不 需 要 掌 握 ）。

极 限 limf ( x) 存 在 的 充 分 必 要 条 件 是 ：x x 00,0, 使适当 x 1、 x 2U o ( x 0 )时，恒有 | f ( x 1 ) f ( x 2 ) |二．解决极限的方法以下：1. 等价无量小代换。

只好在乘除 时候使用。

例题略。

．．2. 洛必达（ L ’ho spital ）法例（大题目有时会有示意要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。

第一一定是X 趋近，而不是 N 趋近，因此面对数列极限时候先要转变为求 x 趋近状况下的极限，数列极限的n 自然是趋近于正无量的，不行能是负无量。

其次 , 一定是函数的导数要存在，假如告诉 f （x ）、g （x ）, 没告诉能否可导， 不行直接用洛必达法例。

此外，一定是 “0 比 0”或“无量大比无量大” ,而且注意导数分母不可以为 0。

洛必达法例分为 3 种状况：（i ）“ 0”“”时候直接用(ii) “0? ”“”，应为无量大和无量小成倒数的关系，因此无量多数写成了无量小的倒数形式了。

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学求极限的常用方法（附例题和详解）在高等数学中，求极限是一个基础而重要的概念，它在各个数学领域都有广泛的应用。

本文将介绍一些常用的方法，以及针对这些方法的例题和详细解析。

I. 无穷小量法无穷小量法是求解极限最常见的方法之一。

它的基本思想是将待求极限转化为无穷小量之间的比较。

下面通过一个例题来说明这个方法。

例题1：求极限lim(x→0) (sin x) / x解析：考虑当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 的关系。

根据三角函数的极限性质，我们知道 sin x / x 的极限为 1。

因此，原式可以看作(sin x) / x ≈ 1，即它在 x 趋近于 0 时趋近于 1。

故lim(x→0) (sin x) / x = 1.II. 夹逼法夹逼法也是常用的求解极限的方法，它适用于求解含有不等式的极限问题。

下面通过一个例题来说明夹逼法的思想。

例题2：求极限lim(x→0) x^2sin(1/x)解析：首先，我们要注意到 x^2sin(1/x) 的取值范围在 [-x^2, x^2] 之间，因为 -1 ≤sin(θ) ≤ 1 对任意θ 成立。

然后，我们可以利用夹逼法，将 x^2sin(1/x) 夹逼在 0 和 0 之间。

也就是说，对于任何 x，都有 -x^2 ≤ x^2sin(1/x) ≤ x^2。

根据夹逼定理，当 x 趋近于 0 时，x^2sin(1/x) 的极限为 0。

故lim(x→0) x^2sin(1/x) = 0.III. 泰勒展开法泰勒展开法是一种将函数在某点附近进行多项式逼近的方法，它可以帮助我们求解一些复杂的极限问题。

下面通过一个例题来说明泰勒展开法的应用。

例题3：求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x解析：考虑函数 f(x) = e^x 在 x = 0 处的泰勒展开式：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2 / 2! + f'''(0)x^3 / 3! + ...其中，f'(0)表示 f(x) 在 x = 0 处的导数，依次类推。

经济数学复习考试范围：教材1－5章第一章： 函数、极限与连续1．主要内容：（1） 函数的定义域（2） 函数的简单特性：有界性、单调性、周期性和奇偶性． （3） 复合函数及分段函数（4） 极限、左极限与右极限、极限的性质及四则运算法则 （5） 极限存在的两个准则、利用两个重要极限求极限的方法 （6） 无穷小、无穷大，无穷小的比较，用等价无穷小求极限（7） 函数连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型（8） 闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最值定理、零点定理与介值定理） 注意：用函数与数列的极限定义来证明极限存在、双曲函数、映射不做要求。

2．重点：求极限 3．典型例题与习题（1）§1-1 T1-10，12，13，15-17 （2）§1-2 T6（3）§1-3 例题3-9 习题1-4 （4）§1-4 例题4-7 习题1-4 （5）§1-5 例题2-8 习题1-4 （6）§1-6 例题3-9 习题1-6 （7）§1-7 例题1-7 习题1-7 （8）§1-8 例题1-7 习题2-5（9）综合练习一：1-64．典型方法（1）求定义域的方法：①若12()()y f x f x =±或12()()y f x f x =，则12f f f D D D =⋂ ②若12()()f x y f x =，则122{|()0}f f f D D D x f x =⋂-= ③若1122(),(),f x x D y f x x D ∈⎧=⎨∈⎩，则12f D D D =⋃④若()f x 定义域为a x b <<，则(())f x ϕ定义域由()a x b ϕ<<解出例1求22ln(1),2x y x x -<<=-≥⎪⎩定义域【解】(2,2)[2.)(2,)f D =-⋃+∞=-+∞ 例2求ln(1)y x =-定义域 【解】[3,3](1.)(1,3]f D =-⋂+∞=例3求y =【解】(1,2)(2,3]f D =⋃例4 设()f x 定义域为(0,1)，求()f x a +定义域 【解】由01x a <+<得， 1a x a -<<- 例5 求1ln lg y x=定义域 【解】0lg 0ln lg 0x x x >⎧⎪>⎨⎪≠⎩ 01lg 1x x x >⎧⎪⇒>⎨⎪≠⎩ 0110x x x >⎧⎪⇒>⎨⎪≠⎩，故(1,10)(10,)f D =⋃+∞例6 设()f x 定义域为(1,4)，求2()f x 定义域【解】由214x <<得， 21x -<<-或12x <<，故2()f x 定义域为(2,1)(1,2)--⋃2.求函数极限方法：利用极限的定义、极限的四则运算法则、函数式的恒等变形、两个重要极限、无穷小量及等价无穷小代换定理、函数连续性与L ’Hospital 法则例1 求下列极限（1）22sin(2)23lim[]41x x x x x →-++--； （2）0x → （3）3x → （4）10515(51)(12)lim (31)x x x x →∞+-- （5）10sin lim(1)2xx x →-； （6）11lim()1ln x x x x →+-3.证明函数连续方法：利用连续的定义、连续的四则运算法则和复合函数连续性、可导的必要条件例1 设,0(),0x e x f x x k x ⎧≤=⎨+>⎩连续，求常数k 之值。

大一高数知识点例题总结在大一的高等数学学习中，知识点的理解和应用是非常重要的。

通过解题可以更好地巩固和运用所学知识，提高数学能力。

下面是一些常见的高等数学知识点和例题总结，希望对你的学习有所帮助。

一、极限和连续函数1. 极限的定义和性质例题：计算lim（n→∞）(1+1/n)^n解析：利用极限的性质，将(1+1/n)^n转化为自然对数的形式，然后利用极限的运算法则求解。

2. 连续函数的定义和性质例题：已知函数f(x)=sin(x)，g(x)=x^2，在区间[0,π]上讨论f(x)与g(x)的连续性。

解析：分别讨论sin(x)和x^2在[0,π]上的连续性，并结合数列极限的常识判断f(x)和g(x)的连续性。

二、导数和微分1. 导数的定义和性质例题：求函数f(x)=3x^2-4x+1的导数f'(x)。

解析：根据导数的定义求解，利用导数的性质进行简化计算。

2. 微分的定义和性质例题：求函数f(x)=e^x的微分df。

解析：根据微分的定义求解，利用微分的性质简化计算过程。

三、积分1. 定积分的定义和性质例题：求∫(0 to π/2) sin(x)dx。

解析：利用定积分的定义求解，应用积分的性质进行计算。

2. 不定积分的定义和性质例题：求∫(x^2+3x-2)dx。

解析：根据不定积分的定义求解，应用积分的性质进行简化计算。

四、级数1. 数项级数的定义和性质例题：判断级数∑(n=1 to ∞) 1/n^2是否收敛。

解析：利用数项级数的收敛定理判断级数的敛散性。

2. 幂级数的定义和性质例题：判断幂级数∑(n=0 to ∞) x^n是否收敛，并求其收敛域。

解析：利用幂级数的收敛定理判断幂级数的敛散性，并结合比值判别法求解收敛域。

以上是一些大一高等数学中常见的知识点和例题总结。

通过对这些知识点的理解和掌握，相信能够更好地应对高等数学的学习和应用。

希望这些例题总结对你的学习有所帮助！。

高中数学21种解题方法及例题高中数学是一门很重要的学科，也是很多学生觉得困难的学科之一。

在解题的过程中，学生通常需要掌握一些解题方法和技巧。

下面我将介绍高中数学中常用的21种解题方法，并给出相应的例题。

1.立体几何解题方法：首先根据题目要求，画出几何图形；然后根据图形的特点，运用相应的几何定理和计算公式，推导出求解所需的等式或关系式；最后代入数据进行计算。

例题：已知正方体的体积是64立方厘米，求正方体的边长。

2.二次函数解题方法：首先确定二次函数的类型，如抛物线开口方向等；然后根据题目要求，列出方程或不等式；最后解方程或不等式，求解出未知数。

例题：已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点(-1, 2)和(2, 5)，且在x=1处取得最小值2，求a、b、c的值。

3.反证法解题方法：假设所要证明的结论不成立，推导出与已知条件矛盾的结论，从而证明假设不成立，即所要证明的结论成立。

例题：证明根号2是无理数。

4.分析法解题方法：根据题目所给的条件，逐步分析问题，提取并利用条件之间的关系，推导出所要求的结论。

例题：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC和BD交于点O，设∠ACD=m，求∠BOD的度数。

5.数字特征解题法：根据题目要求，进行分析，找出问题中的数字特征，并利用特征进行计算或推导。

例题：设a，b，c均为正数，且满足等式a+b+c=1，求最大值3a²+6b+9c²。

6.整体与部分解题方法：把题目所给的整体看成若干个部分，通过对部分的分析和计算，得到整体的结论。

例题：某数的20%是30，求这个数。

7.函数与方程解题方法：根据题目要求，根据函数或方程的性质和变化规律，列出方程或不等式，最后求解未知数。

例题：已知函数f(x)=ax²+bx+c与y轴交于点A，与曲线y=x²交于点B和C，且B(1, 1)，求方程f(x)=0的两个根的和的倒数。

8.逐次逼近法解题方法：通过逐步逼近，不断缩小求解范围，最终得到所要求解的值。

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学中求极限是一项重要的数学技巧，它在数学分析、微积分和其他数学领域中都有广泛应用。

本文将介绍一些常用的求极限的方法，并给出相应的例题和详解。

一、直接代入法直接代入法是求极限的最基本方法之一。

当函数在某一点连续时，可以直接将该点代入函数中来求极限。

例题1：求函数f(x) = x^2在x=2处的极限。

解：直接将x=2代入函数中，得到f(2) = 2^2 = 4。

因此，f(x)在x=2处的极限为4。

二、夹逼法夹逼法（也称为夹挤准则）是求解一些复杂极限的常用方法。

它基于一个简单的想法：如果函数g(x)和h(x)在某一点p附近夹住函数f(x)，并且g(x)和h(x)的极限都相等，那么f(x)的极限也等于这个相等的极限。

例题2：求极限lim(x→∞) [(x+1)/x]。

解：我们可以用夹逼法来求解这个极限。

首先，我们可以注意到1 ≤ [(x+1)/x] ≤ [x/x] = 1（其中[x]表示取整函数）。

因此，我们可以将极限表达式两侧夹逼：lim(x→∞) 1 ≤ lim(x→∞) [(x+1)/x] ≤ lim(x→∞) 1。

根据夹逼准则，当lim(x→∞) 1 = 1时，极限lim(x→∞) [(x+1)/x]存在且等于1。

三、极限的四则运算法则在求解复杂函数的极限时，可以利用极限的四则运算法则。

该法则规定，如果函数f(x)和g(x)在某点p处的极限存在，则函数h(x) = f(x) ± g(x)、h'(x) = f(x) * g(x)、和h''(x) = f(x) / g(x)在点p的极限也存在，并满足相应的运算法则。

例题3：求极限lim(x→0) (sinx/x)。

解：我们可以利用极限的四则运算法则来求解这个极限。

首先，观察到当x→0时，分子sinx和分母x都趋向于0，因此这个极限是一个未定式。

根据极限的四则运算法则，我们可以将lim(x→0) (sinx/x)转化为lim(x→0) sinx / lim(x→0) x。

大一高数知识点加例题高等数学是大学阶段的一门重要课程，对于理工科学生来说，尤为重要。

在大一的学习过程中，高数是我们需要重点掌握和理解的一门学科。

本文将介绍一些大一高数的知识点，并配以例题进行讲解，帮助读者更好地掌握这些知识。

一、导数导数是高数中一个基础而重要的概念。

它描述了函数的变化率，并在实际问题中有广泛的应用。

在求导的过程中，我们需要掌握基本函数的导数规则以及一些常见函数的导数。

例题：求函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 1$的导函数。

解：首先，根据导数的定义，我们对函数$f(x)$进行求导。

根据导数的性质，我们可以得到导函数$f'(x)$。

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$对函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 1$进行求导，我们可以得到：$f'(x) = 6x - 2$因此，函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 1$的导函数为$f'(x) = 6x - 2$。

二、积分积分是导数的逆运算，它可以用于求解曲线下面积、求解一些变化量等。

在积分的计算中，我们需要熟练掌握不同类型的积分方法和技巧。

例题：求函数$f(x) = 2x$在区间[1, 3]上的定积分。

解：根据定积分的定义，我们可以使用积分方法来求解该题目。

将函数$f(x) = 2x$代入积分公式，得到：$\int_{1}^{3} 2x \,dx$根据积分的性质，我们可以得到：$\int_{1}^{3} 2x \,dx = x^2 \Bigg|_1^3 = 3^2 - 1^2 = 8$因此，函数$f(x) = 2x$在区间[1, 3]上的定积分为8。

三、极限极限是数学分析中的重要概念，也是高数中的核心内容。

通过研究函数在某一点的极限，可以深入了解函数的性质，并解决一些实际问题。

例题：求函数$f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x-1}$当$x$趋近于1时的极限。

ACB D41A CB D41α6043ACBDOxy高中数学解题方法归纳与经典例题解析解法一：直接运算法（数量积公式、向量的加法）CDAB AC AB CD AC AB AD AB ⋅+⋅=+⋅=⋅)(60cos ||||4360cos ||||43CB AB AC AB CB AB AC AB +=⋅+⋅=142144432144=⨯⨯⨯+⨯⨯.解法二：三角函数法（余弦定理法）由余弦定理，得13213423460cos 222222=⨯⨯⨯-+=⋅⋅-+= CD AC CD AC AD 13=⇒AD 132713421)13(42cos 222222=⨯⨯-+=⋅-+=AD AB BD AD AB α141327134cos ||||=⨯⨯==⋅∴αAD AB AD AB .解法三：建立坐标系法取BC 的中点为O ，建立平面直角坐标系xOy 如图所示：)32,0(A ，)0,2(-B ，)0,1(-D )32,2(--=AB ，)32,1(--=AD 1432()32()1(22121=-⨯-+-⨯-=+=⋅⇒y y x x AD AB .◆◇方法解读◇◆解法一：直接运算法是解决此类题型最常规的方法之一，应用此方法要求熟悉向量的基本运算法则，掌握平行四边形法则和三角形法则，只有基本功扎实了，才能如鱼得水。

解法二：三角函数法是利用正弦定理、余弦定理、面积公式以及射影定理等公式结合向量运算规律求解，综合性较强，要求熟悉掌握解三角形的有关知识。

在一定程度上也是解题不错的方法。

解法三：建立坐标系法是解决此题的一大亮点，通过建立平面直角坐标系使问题转化为向量的坐标运算，很大程度上减少了运算过程和难度，是同学们应当理解并掌握的解题方法。

解法一：函数图像法323442==a ，524=b 由x y 4=的图像与性质知：ba >⇒>⇒>5232445232①323442==a ，3231525==c 由)1(>=a a y x 的图像与性质知：a 值越大函数图像越靠近y 轴a c >⇒>⇒323245②综上所述，得b a c >>.解法二：与特殊值比较法b a b a >>⇒⎪⎭⎪⎬⎫=<===>=222242225554523334①()c a c a c a <⇒<<⇒⎪⎭⎪⎬⎫=<==<=22225222313313334②综上所述，得b a c >>.解法三：假设法（反证法）①假设b a >，则126151552153452342424242=>⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒>，假设成立ba >∴②假设c a >，则251625225225243313343134>⇒>⇒⎪⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒>，假设不成立ca <∴综上所述，得b ac >>.◆◇方法解读◇◆解法一：函数图像法是解决比较大小题型的常用方法之一，此类题型一般都考察我们对指数函数、对数函数及幂函数的图像和性质的理解及掌握情况，因此要求同学们一定要熟悉掌握基本初等函数的有关图像与性质，做到融会贯通，灵活应用。

高中数学21种解题方法及例题在高中数学学习中，解题方法的灵活运用是学生们提高解题能力的关键。

掌握不同的解题思路和方法，能够使学生更加深入地理解数学知识，提高问题解决的效率。

本文将介绍21种高中数学解题方法，并通过例题进行详细说明，以帮助学生更好地应用这些方法。

【一、代数运算类解题方法】1. 一元一次方程求解法例题：已知方程2x + 3 = 7，求解x的值。

2. 一次函数的图像法例题：给定函数y = 3x + 2，绘制出其图像，并解析求解函数的相关特征。

3. 因式分解法例题：将方程x² - 4x + 4 = 0进行因式分解，并求解方程。

【二、几何推理类解题方法】4. 同位角性质运用法例题：已知两条平行线被一条截线所交，求解各个角的度数。

5. 对称性运用法例题：已知某几何图形具有对称性，利用对称性进行证明或求解问题。

6. 三角函数运用法例题：利用正弦定理求解三角形的未知边长或角度。

【三、数列与数数法】7. 等差数列求和法例题：已知等差数列的首项为2，公差为3，求解前10项的和。

8. 递推数列求通项法例题：已知数列的前两项为1和2，公差为3，求解数列的通项公式。

9. 迭代运算法例题：已知数列递推式为an+1 = 2an - 1, a1 = 1，求解前10项的数值。

【四、概率统计类解题方法】10. 样本空间与事件法例题：已知一枚骰子，求解投掷两次，求得的点数和为9的概率。

11. 求解总数法例题：已知有5个红球和3个蓝球，从中随机抽取2个球，求解两球不同色的概率。

12. 排列组合法例题：有8个人参加篮球比赛，其中3人为前锋，4人为后卫，求解一种排列和组合的方式。

【五、解析几何类解题方法】13. 直线与圆的位置关系法例题：已知直线方程为y = 2x + 1，圆的标准方程为(x-2)² + (y-3)² = 4，求解两者的位置关系。

14. 曲线与切线法例题：已知曲线方程为y = x²，求曲线上某一点的切线斜率。

大一高数知识点总结加例题1. 数列与数列的极限数列：对于给定的数列{an}，其中每一个数an都有其对应的项下标n。

数列可以是有限的，也可以是无限的。

数列的极限：当数列中的项随着下标的增加趋近于某个固定的实数L时，我们称该数L为数列的极限，并记为lim(an)=L。

例题1：求数列{an}的极限，并给出证明过程。

解：首先，我们根据数列的定义观察数列的变化规律，尝试找出数列的极限。

假设数列的项表示为an = 1/n，则我们计算前几项的具体数值：a1 = 1/1 = 1，a2 = 1/2，a3 = 1/3，a4 = 1/4，...通过观察计算，我们可以发现随着n的增加，数列的每一项都在逐渐变小，接近于0。

因此，我们猜测该数列的极限为0。

接下来，我们需要证明该猜测成立。

对于给定的ε > 0，我们需要找到对应的正整数N，使得当n > N时，有|an - 0| < ε。

由数列的定义可知，|an - 0| = |1/n - 0| = 1/n为了使得1/n < ε成立，我们需要找到满足1/n < ε的最小的正整数N。

当n > 1/ε时，显然有1/n < ε。

因此，我们可以选择N = 1/ε。

当n > N时，有|an - 0| < ε。

综上所述，根据极限的定义和证明过程，数列{an}的极限为0。

2. 函数与函数的极限函数：函数是一个数学概念，它描述了输入值与输出值之间的关系。

通常用f(x)表示函数，其中x为输入值，f(x)为输出值。

函数的极限：当自变量x趋近于某一固定值a时，函数f(x)的取值也会趋近于某一固定值L，我们称L为函数f(x)在x趋近于a时的极限，并记为lim(f(x))=L。

例题2：求函数f(x) = (x^2 + 1)/(x - 1)的极限，并给出证明过程。

解：首先，我们观察函数的定义并尝试找出函数的极限。

当x趋近于1时，分母(x - 1)趋近于0，导致函数f(x)的值趋于无穷大。

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学是高等教育中的重要课程之一，其涵盖的内容非常广泛，包括微积分、数理方程和变换等方面。

其中求极限是微积分中的核心内容之一，也是数学建模和应用中常用的方法之一。

本文将介绍求极限的常用方法，并提供相应的例题和详解。

一、用夹逼定理求极限夹逼定理是求极限中常用的方法之一，其思路是通过一个比较大小的框架，来判断所求极限的范围和趋势。

具体而言，假设存在两个函数 f(x) 和 g(x)，满足以下条件：1. 对于 x 属于某个区间 [a, b]，有 f(x) <= g(x)。

2. 在区间 [a, b] 内，f(x) 和 g(x) 的极限均存在，即 lim[f(x)] = A，lim[g(x)] = A。

3. 在区间 [a, b] 内，除有限个点外，f(x) = g(x)。

则可以得到 lim[f(x)] = lim[g(x)] = A。

下面是一个例子：例1：求极限 lim[(x^2 - 4x + 3) / (x - 3)]。

解法：可以将原式改写成 (x - 1)(x - 3) / (x - 3)，即 (x - 1)。

则对于x ∈ (3,∞)，有 0 <= x - 1 <= x - 3，因此：0 <= (x^2 - 4x + 3) / (x - 3) - (x - 1) <= x - 3，而 lim[x - 3] = ∞，因此可用夹逼定理得到所求极限为 lim[(x^2 - 4x + 3) / (x - 3)] = lim[(x - 1)] = 2。

二、用洛必达法则求极限洛必达法则是求导数时的常用方法，在求极限时也可以用到。

具体而言，假设有一个形如 lim[f(x) / g(x)] 的无穷小量，若这个无穷小量的分子和分母都存在极限，并且它们的极限都等于 0 或者±∞，则可以用洛必达法则来求出极限的值。

其中，洛必达法则的形式如下：若 lim[f(x)] = 0，lim[g(x)] = 0，且g'(x) ≠ 0，则 lim[f(x) / g(x)] = lim[f'(x) / g'(x)]。

高数大一上知识点总结例题1. 一元二次方程的求解例题：求解方程x^2 + 5x + 6 = 0解答：根据一元二次方程的一般形式ax^2 + bx + c = 0，我们可以将方程x^2 + 5x + 6 = 0化简为(a = 1, b = 5, c = 6)： x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)将a、b、c的值代入公式，我们可以得到两个解： x1 = (-5 + √(5^2 - 4*1*6)) / (2*1) = -3x2 = (-5 - √(5^2 - 4*1*6)) / (2*1) = -2所以方程x^2 + 5x + 6 = 0的解为x = -3和x = -2。

2. 函数的极限例题：求函数f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)在x趋近于1时的极限。

解答：当x趋近于1时，我们无法直接将x带入函数f(x)中计算，因为此时函数的分母为0。

我们可以通过因式分解来化简函数：f(x) = (x - 1)(x + 1) / (x - 1)注意到分子和分母都有(x - 1)这一项，所以我们可以约去，得到：f(x) = x + 1现在我们可以将x带入函数f(x)，得到：lim(x→1) f(x) = lim(x→1) (x + 1) = 2所以函数f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)在x趋近于1时的极限为2。

3. 高数中的导数例题：求函数f(x) = 2x^2 + 3x - 4的导数。

解答：函数f(x) = 2x^2 + 3x - 4的导数表示为f'(x)。

对于多项式函数，我们可以通过求每一项的导数来得到整个函数的导数。

求导的公式可以参考以下规则：- 若f(x) = a，其中a是常数，则f'(x) = 0。

- 若f(x) = x^n，其中n是正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。

- 若f(x) = ax，其中a是常数，则f'(x) = a。

数学归纳法典型例题【典型例题】例1. 用数学归纳法证明：时，。

解析：①当时，左边，右边，左边=右边，所以等式成立。

②假设时等式成立，即有，则当时，，所以当时，等式也成立。

由①，②可知，对一切等式都成立。

点评：（1）用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由到时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。

（2）在本例证明过程中，（I）考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值代入通项，考察命题的真假，（II）步骤②在由到的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。

本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。

（3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。

例2. 。

解析：（1）当时，左边，右边，命题成立。

（2）假设当时命题成立，即，那么当时，左边。

上式表明当时命题也成立。

由（1）（2）知，命题对一切正整数均成立。

例3. 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式成立。

解析：①当时，左=，右，左>右，∴不等式成立。

②假设时，不等式成立，即，那么当时，，∴时，不等式也成立。

由①，②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立。

点评：（1）本题证明命题成立时，利用归纳假设，并对照目标式进行了恰当的缩小来实现，也可以用上归纳假设后，证明不等式成立。

（2）应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤缺一不可，第①步成立是推理的基础，第②步是推理的依据（即成立，则成立，成立，……，从而断定命题对所有的自然数均成立）。

另一方面，第①步中，验证中的未必是1，根据题目要求，有时可为2，3等；第②步中，证明时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法用上归纳假设。

高数典型例题期末总结高数典型例题总结例题1：求函数f(x)=2x^2-3x-2的导数和导数的极值。

解析：首先，我们需要求出函数f的导数。

根据导数的定义和求导法则：f'(x)=(2x^2-3x-2)'=4x-3导数的极值需要满足导数等于0的条件，即4x-3=0，解得x=3/4。

接下来，我们需要判断导数的极值是极大值还是极小值。

根据二阶导数的定义和求导法则：f''(x)=(4x-3)'=4二阶导数大于0时，函数f在该点有极小值；二阶导数小于0时，函数f在该点有极大值；二阶导数等于0时，函数f的极值点需通过其他方法进行判断。

在本例中，f''(x)>0，所以f在x=3/4处有极小值。

例题2：求函数f(x)=x^3的不定积分。

解析：求函数的不定积分即求原函数，可以使用分部积分法。

设u=x^3，dv=dx，则du=3x^2dx，v=x。

根据分部积分法：∫f(x)dx=∫u dv=uv-∫v du=x^3*x-∫x*3x^2dx=x^4-3∫x^3dx∫x^3dx=x^4/4，代入得：∫f(x)dx=x^4-3*x^4/4=4x^4/4-3x^4/4=x^4/4所以，函数f(x)=x^3的不定积分为x^4/4。

例题3：已知函数f(x)=e^x，求函数f的定积分∫[0，1] f(x)dx。

解析：求函数的定积分即求函数在给定区间上的面积，可以使用定积分的性质和公式进行求解。

∫[0，1] f(x)dx=F(1)-F(0)其中，F(x)是函数f的原函数。

由于f(x)=e^x，F(x)的原函数是e^x。

代入得：∫[0，1] f(x)dx=F(1)-F(0)=e^1-e^0=e-1所以，函数f的定积分∫[0，1] f(x)dx=e-1。

综上所述，高等数学期末考试中的典型例题涉及到函数的导数、极值、不定积分和定积分的求解。

对于这类例题，我们需要熟悉基本的概念、原理和解题方法，并加强对相关定理和公式的理解和记忆。

第一章 函数、极限、连续第1节 函数★基本内容学习一 基本概念和性质1函数的定义设有两个变量x 和y ，变量x 的变域为D ，如果对于D 中的每一个x 值，按照一定的法则，变量y 有一个确定的值与之对应，则称变量y 为变量x 的函数，记作：()y f x =。

2函数概念的两要素①定义域：自变量x 的变化范围②对应关系：给定x 值,求y 值的方法。

3函数的三种表示方法①显式：形如()y f x =的称作显式，它最直观，也是初等函数一般采用的形式。

②隐式：有时有些关系用显式无法完全表达，这时要用到隐式，形如(,)0F x y =，如椭圆函数22221x y a b+=。

③参数式：形如平抛运动的轨迹方程212x vt y gt =⎧⎪⎨=⎪⎩称作参数式。

参数式将两个变量的问题转化为一个变量的问题，从而使很多难以处理的问题简化。

4函数的四个基本性质①奇偶性：设函数()f x 在对称区间X 上有定义，如果对于x X ∀∈恒有()()f x f x =- (或)()()f x f x =--，则称()f x 为偶函数(或()f x 奇函数)。

注：偶函数()f x 图形关于y 轴对称，奇函数()f x 的图形关于坐标原点对称。

②有界性：设函数()f x 在区间X 上有定义,如果0M ∃>,使得对一切x X ∈,恒有：()f x M ≤,则称()f x 在区间X 上有界；若不存在这样的0M >，则称()f x 在区间X 上无界.注：函数()f x 有无界是相对于某个区间而言的。

③周期性：设函数()f x 在区间X 上有定义,若存在一个与x 无关的正数T ，使对任一x X ∈，恒有()()f x T f x += 则称()f x 是以T 为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T 称为函数()f x 的周期。

④单调性：设函数()f x 在区间X 上有定义，如果对1212,,x x X x x ∀∈<,恒有：()()12f x f x ≤(或()()12f x f x ≥)则称()f x 在区间X上是单调增加(或单调减少)的；如果对于1212,,x x X x x ∀∈<,恒有：()()12f x f x < (或()()12f x f x >)则称()f x 在区间X上是严格单调增加(或严格单调减少)的。

大一高数知识点配例题一、导数与微分导数的定义是函数在某一点的瞬时变化率，常用符号表示为f'(x)或dy/dx。

求导的方法有常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则、常用初等函数法则等。

例题1：求函数f(x) = 3x^2 - 5x + 2的导数。

解析：对于f(x) = 3x^2 - 5x + 2，我们可以使用幂函数法则直接对每一项求导。

f'(x) = d(3x^2)/dx - d(5x)/dx + d(2)/dx= 6x - 5 + 0= 6x - 5二、连续性与极限函数在某一点的连续性包括函数在该点的左极限、右极限以及函数值是否相等。

若左右极限存在且与函数值相等，则函数在该点连续。

极限的符号表示为lim，常用的求极限的方法有代入法、夹逼法、洛必达法则等。

例题2：计算lim(x->2) [(x^2 - 4)/(x - 2)]。

解析：由题目可知，函数f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)在x=2处存在一个除数为零的问题，因此我们可以对该表达式进行因式分解。

f(x) = [(x + 2)(x - 2)]/(x - 2)= x + 2因此，lim(x->2) [(x^2 - 4)/(x - 2)] = 2 + 2 = 4。

三、微分中值定理微分中值定理是微分学中的一种重要定理，它表明在函数的某个开区间内，只要函数可导，则在该区间内一定存在某一点，该点的斜率等于该区间的平均斜率。

例题3：证明函数f(x) = x^2在区间[1, 2]内满足微分中值定理的条件。

解析：首先，我们需要找到函数f(x)在区间[1, 2]内的两个端点的函数值，以便计算该区间的平均斜率。

f(1) = 1^2 = 1f(2) = 2^2 = 4然后，我们计算该区间的平均斜率。

(f(2) - f(1))/(2 - 1) = (4 - 1)/(2 - 1) = 3接下来，我们需要证明存在某一点c，使得f'(c) = 3。