固体物理教学中联接正格子和倒格子空间的傅里叶变换过程浅议

二维正格子和倒格子的转换在晶体学中,二维晶格的正格子和倒格子形成对偶关系,可以通过傅里叶变换互相转换。

具体转换方法如下：1. 正格子的矢量和倒格子的矢量都用向量符号表示,正格子用$\vec{R}$表示,倒格子用$\vec{G}$表示。

2. 正格子中一个点的位置用$\vec{r}$表示,倒格子中一个点的位置用$\vec{g}$表示。

3. 正格子和倒格子的矢量形成内积为$2\pi n$,其中$n$是整数。

即$\vec{R}\cdot\vec{G}=2\pi n$。

4. 正格子的基矢量是$\vec{a}_1$和$\vec{a}_2$,倒格子的基矢量是$\vec{b}_1$和$\vec{b}_2$。

它们的关系式是：$$\vec{a}_i\cdot\vec{b}_j=2\pi\delta_{ij}$$其中$\delta_{ij}$是克罗内克δ符号,当$i=j$时取值为1,否则取值为0。

5. 正格子和倒格子中,每个点的位置矢量可以用它在对应基矢量上的坐标表示。

即$\vec{r}=x_1\vec{a}_1+x_2\vec{a}_2$,$\vec{g}=y_1\vec{b}_1+y_2\vec{b}_2$。

6. 正格子的基矢量的长度分别为$a_1$和$a_2$,倒格子的基矢量的长度分别为$b_1$和$b_2$。

它们的关系式是：$$\vec{b}_i=\frac{2\pi}{\vec{a}_1\times\vec{a}_2}\vec{a}_j\times(-1)^{i+j}\qquad(i\neq j)$$通过以上规则,可以将一个二维正格子的坐标转换为对应的倒格子坐标。

反之,如果已知二维倒格子的坐标,也可以通过类似的方法转换为正格子坐标。

固体物理教学中联接正格子和倒格子空间的傅里叶变换过程浅议许富宗;施思齐【摘要】在固体物理学课程中,由于涉及到一些高等数学知识,理解联接正格子和倒格子空间的傅里叶变换过程一直是教学难点之一.本文从晶体结构的周期性特征出发,并结合简易的数学推导,对傅里叶变换过程进行了详细的解读,并且对其中的关键步骤给出了凸显物理内涵的解释.【期刊名称】《大学物理》【年(卷),期】2017(036)007【总页数】5页(P77-81)【关键词】固体物理;正格子空间;倒格子空间;周期性;傅里叶变换【作者】许富宗;施思齐【作者单位】上海大学材料科学与工程学院,上海200444;上海大学材料科学与工程学院,上海200444;上海大学材料基因组工程研究院,上海200444【正文语种】中文【中图分类】O481“傅里叶变换”是由法国数学家、物理学家傅里叶于1807年提出，目的是为了解决热传递问题.傅里叶认为，任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成.这一开创性的想法在当时饱受争议，甚至遭到了著名数学家拉格朗日的强烈反对，但最终被科学界接受，并被广泛应用于各个学科，特别是通信领域的信号处理方面.在固体物理学中，为了解释“X射线衍射”得到的结果，即如何用二维衍射图谱推断晶体的三维结构，研究人员引入了“傅里叶变换”.固体物理学中，晶体的三维结构与正格子空间相关，二维衍射图谱与晶体的倒格子空间相关.“傅里叶变换”成功解决了如何联接正格子空间和倒格子空间的问题，使得“X射线衍射”能够被广泛应用于晶体学研究，极大推动了固体物理学的发展，但也给固体物理教学提出了更高的要求.一方面，理解固体物理学中的“傅里叶变换”本身需要一定的数学基础，且其中有些数学知识和大学阶段的“高等数学”内容是脱节的，增加了理解难度.另一方面，由于倒格子空间等相关物理概念本身比较抽象，导致理解“傅里叶变换”过程的物理内涵显得更加困难.现行的固体物理学教材更偏向于在数学上对这个问题进行解释，学生很难在繁复的数学公式面前对其中的物理内涵进行深刻的理解[1].考虑到理解倒格子空间及其与正格子空间的关系是学习固体物理学和半导体物理学等后续课程的基础，本文不仅从大学阶段的“高等数学”相关知识出发，详细分析了傅里叶变换过程，而且对其中的关键步骤也给出了凸显物理内涵的解释，使相关内容更容易被掌握.鉴于联接正格子和倒格子空间的傅里叶变换过程是基于晶体结构的周期性特征，我们先对晶体结构的周期性特征进行说明.晶体(本文指单晶)由完全相同的原子基团经过一定方式重复排列构成.其中，最小的原子基团被称为固体物理学原胞.为了研究方便，由数个固体物理学原胞组成的原子集团也可作为晶体的基本单位，被称为晶胞.固体物理学原胞和晶胞被统称为基元.在许多问题中，基元的内部作用不影响研究结果，所以，我们只需要关注基元呈现出的整体性质.与“质点”模型类似，可以将基元抽象为具有一定性质的点，被称为格点，晶体的模型是一系列按照一定方式排列的格点，被称为晶格.如图1所示.为方便应用，我们用数学表达式对晶体周期性特征进行表述.假定三维空间中存在一个基元o，其沿三个方向的单位平移矢量为a1、a2和a3.于是，将基元o沿着平移矢量按一定的组合方式平移得到一系列基元，进而形成晶格，即o点按T=u1a1+u2a2+u3a3进行平移形成晶格(u1,u2,u3为整数).例如，u1=1、u2=2、u3=3时，o点沿a1方向平移1个长度，沿a2方向平移2个长度，沿a3方向平移3个长度得到一个新的基元.因此，晶格上任意一格点相对于o的位置可表示为：R=u1a1+u2a2+u3a3.若o点为坐标原点，晶格上格点坐标为R=u1a1+u2a2+u3a3，如果o点不在规定的坐标原点，且其相对坐标原点的位置用矢量r′表示，相应地，晶格上的格点为R=r′+u1a1+u2a2+u3a3[2].如上所述，基元按照一定的规则重复排列形成晶体，若不考虑开边界因素对晶体内部性质的影响，基元的性质不会随着其所在位置的变化而变化，晶体内部与位置相关的性质呈现周期性.当晶体内部出现少量的缺陷、杂质等扰动时，晶体结构的周期性会被打破，但少量缺陷或杂质的存在，可直接认为是叠加在晶体结构周期性条件的扰动.所以理解并灵活运用晶体结构的周期性特征具有重要的意义.当然，如果缺陷、杂质等扰动过大，晶体原来物理性质可能会被改变.例如Anderson局域化中，掺杂浓度过大可以导致晶体的导电性发生极大的变化.但是尽管晶体的物理性质发生了所谓的本质性变化，也能理解为扰动和周期性性质叠加的结果.当扰动足够大，能够掩盖周期性性质时，晶体的物理性质就发生了所谓的本质性变化.实际情况中，为了研究问题方便，我们一般从具体现象出发，而不考虑从周期性和扰动的结合出发来讨论由于扰动过大导致的问题.晶体中诸如离子实产生的势场、电荷密度、电子云分布等与位置有关的物理量(物理性质)依赖于基元的分布，所以其数值与选取的位置有关，即是位置的函数[3].任意选取晶体中一点A，位置表示为r，相应的物理量表示为f(r).点A经过T=u1a1+u2a2+u3a3平移后(u1,u2,u3为整数)得到点B.由于晶体结构具有周期性，使得点B和点A处的物理量等价，数学表达式为f(r)=f(r+T)，即f(r)是一个周期性函数，周期为T[4].基于傅里叶变换，任何周期性函数都可以表示为若干正弦和余弦三角函数的叠加[5].例如，如图2所示，这个看似复杂的函数其实是一系列三角函数的组合：g(x)=cos (x)+5cos (2x)+sin (2x)+4sin (3x).为了更浅显地解释和讨论傅里叶变换过程的物理内涵，本文先着重对一维函数f(x)的三角函数形式进行讨论，之后推广到复数形式并进而推广到三维情况.将周期性函数f(x)进行傅里叶级数展开，即用若干个正弦和余弦三角函数对其进行表示式(1)中p为正整数，Cp和Sp为实数，称为傅里叶展开系数，每一个p对应一组确定的Cp和Sp.设晶体中的固体物理学原胞长度为a，则函数f(x)的周期为a的整数倍(最小周期为a).由于每个p对应的傅里叶展开系数为实常数，且式(1)中的三角函数G1(x)=sin (kx)和G2(x)=cos (kx)组成函数f(x),因此式(1)中的三角函数G1(x)=sin (kx)和G2(x)=cos (kx)周期T1和T2的最大值小于函数f(x)的最小周期a，且a为T1和T2的整数倍，即满足(n1和n2均为正整数).因为正弦和余弦三角函数周期均为2π，由三角函数知识可得[6]分别结合式(2)，式(4)和式(3)，式(5)可得因为式(6)和式(7)对应同一k值，所以n1=n2.考虑到可任意选取组成原函数f(x)的三角函数形式，可令n1和n2的值和展开式中的常数相关，在这里选取n1=n2=p，则式(1)可化为若恰当地选择三角函数对原函数进行展开，可不必限制p>0，即需要说明的是，尽管我们容易掌握与式(9)相关的数学推导，但其中的物理内涵已经变得较模糊，因此，需要对其相关步骤涉及到的物理内涵进行说明.傅里叶变换的意义不仅仅在于用一系列的正弦和余弦三角函数表示复杂的周期性函数，甚至非周期性函数，更为重要的是，傅里叶变换尝试用不同的方式解析原来复杂的问题，进而寻求更简单的解决办法.例如，在通信领域，通过傅里叶变换可以实现信号从时间域到频域的转换，进而从不同的角度对信号进行解析.上文中，简单的傅里叶变换实现了从正格子空间到倒格子空间的转换.尽管式(9)是以x为变量的函数，但对式(9)进行变形后，可以观察到原函数中除变量x外，还含有变量p.因此，f(x)所表示的物理量也可以用p作为变量进行表示.正如上文提到，函数f表示一种物理量，所以无论其用什么自变量表示，函数本身不发生改变，依旧为函数f，即在正格子空间中，表示其中的点x是一个连续自变量.而式(10)是以p为变量的函数.为恰当地表示出物理量f、运算上的方便且考虑到p为整数，我们选取带有晶体晶格常数a的非连续自变量表示倒格子空间中的点，如图3所示.相应的函数为这样，正格子和倒格子空间的变换过程可以通过式(11)联接起来.下面解释以为自变量的点如何对应原来的物理量，并以类比的方式具体说明该变换过程的物理内涵. 当确定了倒格子空间中的一点，例如p=1，即时，式(10)为这意味着p一旦被确定，傅里叶系数和相应的正弦及余弦函数也就确定了，即和在正格子空间以x为变量对正弦或余弦函数其进行求和，相当于从负无穷到正无穷的范围内对其进行求积分，即从式(13)可以看出，函数表示某种与位置相关的物理量，且由于是周期性函数，故可利用傅里叶级数展开f(2π/a)为若干三角函数.另外，从式(13)还可以看出，函数f(x)表示的物理量被分解到每个三角函数上，且不同的p对应同一物理量的不同特征.以式(13)为例，f(2π/a)表示的是，该物理量以p=1为特征时的分量.换言之，此时与每个自变量相对应的点表示该物理量的某一特征.以上傅里叶变换的物理内涵是，正格子空间中复杂且具有周期性的物理量被分解之后，在倒格子空间中按照不同的方式对其进行归类.举一个易于理解的例子对其进行具体说明.有若干小朋友，高矮胖瘦各不同.他们的身高只有三个数值，170 cm、160 cm、150 cm，并分别编号为1、2、3，这些编号就相当于p.将小朋友们列队，按照每个重复单元为{1,1,1,2,2,3}进行3次循环排列，得到{1,1,1,2,2,3,1,1,1,2,2,3,1,1,1,2,2,3}，这个排列就是式(9)的意义：物理量在正格子空间中的表示形式.但如果我们只关注小朋友的身高，则以上排列表述为：当p=1时，n1=3+3+3=9；当p=2时，n2=2+2+2=6；当p=3时，n3=1+1+1=3.这其实是将小朋友按照身高进行分类并统计，即对应于式(11)：同一物理量在倒格子空间中的表示形式.在理解了式(9)之后，只需进行一些数学运算,先将一维函数f(x)从一维三角函数形式转换到一维复数形式，进而将其推广到三维周期性函数f(r).将式(9)表示为式(14)中p为任意整数，系数np为复数.为保证式(14)表示的函数仍然为实函数，要求为n-p的共轭，即设np=Cp+Spi，n-p=Cp-Spi.可以选择一对p值代入式(14)进行展开来验证以上限制条件，例如p=m和p=-m(m为整数)时，f(x)分别为和采用欧拉公式eix=cos x+isin x,对式(15)和式(16)分别进行展开可得和将nm和n-m代入式(17)和式(18)，有和将式(19)和式(20)相加得到很明显，式(21)是一个实函数，所以式(14)是一个实函数表达式.用三维空间变量r代替式(14)中的一维变量x,便可将式(14)推广到三维情况.同时，由于以p为未知量同样可以表示一个空间，所以将与p相关的相“”向量化(设为G)后可作为倒格子空间的基矢.于是，式(14)的三维表示形式为式(22)在满足晶体结构周期性的所有平移算符T作用下保持不变.可通过证明这样一组傅里叶系数nG决定着X射线的散射振幅，进而加深对以上傅里叶变换过程的理解.利用傅里叶逆变换，式(14)中的傅里叶系数np由下式给出：将式(14)代入式(23)可得如果p′≠p，则上式的积分为因为p′-p是一个整数，而exp[i2π(整数)]=1.当p′=p时，上述被积函数为exp(i0)=1，这样一来其积分值等于a.因此，np=a-1npa=np是一个恒等式，从而式(23)也是一个恒等式.类似地，式(22)的傅里叶逆变换由下式给出式中Vc是晶体中一个晶胞的体积[7,8].数学是解决物理问题的工具，但是学习物理知识不能停留在数学层面，尝试理解数学推导过程中的物理内涵是物理学习中的重要环节[8].本文在介绍了傅里叶变换的历史和晶体结构的周期性特征之后，从联接正格子和倒格子空间的傅里叶变换过程出发，试着阐述其中关键步骤涉及的物理内涵，特别是阐明了固体物理中联接正格子和倒格子空间的傅里叶变换过程实质是将存在于正格子空间中的事物按照一定的规则归类对应到倒空间.相信在一定程度上降低了其教学难度.【相关文献】[1] 阎守胜.固体物理课程教学的一些体会[J].大学物理，2015，34(1)：1-5.[2] Harald Ibach, Hans Lüth. Solid-State Physics: An Introduction to Principles of Materials Science[M].Second Edition.Berlin: Springer-Verlag Berlin Heidelberg，1995:1-72.[3] James D. Patterson, Bernard C. Bailey. Solid-State Physics: Introduction to the Theory [M]. Berlin：Springer, 2007:1-53.[4] 房晓勇, 刘竞业, 杨会静. 固体物理学 [M]. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社, 2010:1-32.[5] 华罗庚. 高等数学引论 [M]. 北京：高等教育出版社, 2009:323-362.[6] David Halliday，Robert Resnick, Jearl Walker.物理学基础[M].6版.北京：机械工业出版社，2005:398-446.[7] Charles Kittel. Introduction to Solid State Physics[M].Eighth Edition.Hoboken: John Wiley&Sons, Inc，2005:1-85.[8] Singleton John. Band Theory and Electronic Properties of Solids [M].北京：科学出版社, 2009:1-28.。