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§11.4位移变分方程--最小势能原理学习要点：本节讨论最小势能原理。
首先根据虚功原理推导应变能的一阶变分表达式，然后根据任意几何可能位移场与真实位移场的总势能的关系，得到真实位移场的总势能取最小值的结论。
最小势能原理用数学方程描述：总势能的一阶变分为零，而且二阶变分大于零。
最小势能原理等价于以位移表示的平衡微分方程和以位移表示的面力边界条件，所以，对于一些按实际情况简化后的弹性力学问题，可以通过最小势能原理推导出其对应的平衡微分方程和面力边界条件。
本节通过例题对此作了说明。
推导中设应变能密度函数是应变分量的函数，因此最小势能原理是位移解法在变分原理中的应用。
进入本节内容学习之前，应该首先学习有关泛函和变分的基础知识。
学习思路：1.总势能；2.总势能的变分；3.最小势能原理；4.最小势能原理推导弯曲问题的平衡微分方程和面力边界条件；5.最小势能原理推导扭转问题的平衡微分方程和面力边界条件。
F面根据虚功方程推导仅应用于弹性体的最小势能原理。
设应变能密度函数是应变分量的函数，则应变能密度函数的一阶变分为刃D二二o 輒--%上式推导中，应用了格林公式' ,将上式代入虚功方程，则z 二|Jj刃祖西二可JJ矶“卩二刃v r ¥上式表示外力虚功等于弹性体应变能的一阶变分。
定义外力势能为注意到虚位移与真实的应力无关，因此在虚位移过程中外力保持不变，即变分与外力无关。
而且积分和变分两种运算次序可以交换的，所以外力势能的一阶变分可以写作回代可得十幫）二迥二0其中E t称为总势能，它是应变分量的泛函。
由于应变分量通过几何方程可以用位移分量表示，所以总势能又是位移分量的泛函。
&二［ff几少一JJJ凡购"一口恥何公式表明，在所有几何可能的位移中，真实位移将使弹性体总势能的一阶变分为零，因此真实位移使总势能取驻值。
以下证明：对于弹性体的稳定平衡状态，总势能将取最小值。
将几何可能位移对应的应变代入总势能表达式，可以得到几何可能位移对应的总势能= u如關）昵JJJ 叭+盹）R-JJ 叭将上式减去真实应变分量的总势能，可得瞅幼-瓦（％）二]
四、多电子体系线性变分法小结波函数的线性变分展开给我们的计算提供了一种高度可控波函数的线性变分展开给我们的计算提供了种高度可控性。
在一系列变化矢量空间中进行的变分计算中，我们可以得到一系列单调下降的能量，它们是精确能量的上限。
并且在m 维空间中计算的个本征能量是相应的个最低精确能量的近m m似。
非线性展开在非线性变分方法中，会出现变分参数的非线性项。
这时，变分能量仍然是基态能量的上限，但是变分确定的激发态能量不定是精确激发态能量的上界一定是精确激发态能量的上界。
另一方面，非线性变分方法得到的非线性波函数不再是正交另方面非线性变分方法得到的非线性波函数不再是正交的，因而不再是哈密顿算符的对角表象的基矢。
因此在非线性情况下，不同的解之间不再存在一个简单关系，甚至解的数目通常也是不知道的。
因此，计算的每个稳定点必须小心地判断它是也是不知道的。
因此，计算的每一个稳定点必须小心地判断它是否是薛定谔方程的一个可以接受的解。
精确波函数和能量的大小一致性：A A =AB BψψψAB A BE E E =+波函数是分离可乘的（multiplicatively separable ），能量是分离可加（additively separable ）的。
线性变分的大小致性线性变分的大小一致性前已述及，对于精确波函数大小一致性是自然满足的。
但是对于线性变分波函数，需要仔细考察大小一致性问题。
大小一致性也是满足的但对于某些截断的对于FCI，大小致性也是满足的，但对于某些截断的Fock空间问题，大小一致性要求是不满足的。
相应的这些近似线性变分方法就不适合应用于研究大体系。
正则哈特里‐福克理论我们可以通过变分方法求解HF方程。
利用变分方法求解闭壳层HF方程得到的多电子状态称为HF态。
HF态是一个变分优化的行列式，这样的波函数代表电子作为独立粒子运动分优化的行列式这样的波函数代表电子作为独立粒子运动的状态。
这样的一个状态可以通过求解有效单电子薛定谔方程得到一组单电子波函数，然后对N个独立的有效哈密顿量的本征函数反对称化得到。
变分原理基础罗建辉2009年夏季1 能量原理能量原理是以能量形式表述的力学定律。
概括地说，在所有满足一定的约束条件的可能状态中，真实状态应使其能量取极值或驻值。
本课程讨论结构力学、弹性力学、薄板的能量原理，只讨论线性平衡问题。
2 弹性系统真实平衡状态的能量特征举例从能量角度看，弹性系统的真实平衡状态具有如下的能量特征：即与其他可能状态相比，真实状态的能量为极值或驻值。
对这一能量特征举几个简例。
例0—1. 弹簧系统真实平衡状态的能量特征图0—1 所示为一弹簧下端挂一重物。
弹簧的刚度系数为k ，重物的重力为P 。
用∆表示位移，当弹簧系统处于平衡状态时，求得位移∆的真解为kP =∆=∆0)(真解 (1)真解的能量特征是弹簧系统的势能p ∏为极小。
现检验如下：∆-∆=∏P k p221 (2)式(2)右边第一项是弹簧的应变能，第二项是重力P 的势能。
系统势能p ∏是位移∆的二次式。
由式(2)得221()22pP Pk kk∏=∆--(3)现考察真解的能量特征。
显然，真解(1)使势能p ∏取极小值。
换一个角度，求p ∏的一阶及二阶导数，得Pk d d p-∆=∆∏ (4)22>=∆∏k d d p(5)将真解(1)代入式(4)，得0=∆∏d d p，故知势能p∏为驻值。
根据式(5)，又知势能p∏变分原理广义变分原理单变量形式多变量形式为极小值。
例0—2 超静定梁真实平衡状态的能量特征图0—2a 所示为一超静定梁，取图0—2b 所示静定梁为其基本结构。
根据平衡条件，基本结构的弯矩可表示为PMX M M +=11 (6)其中p M 是在荷载作用下基本结构的弯矩，1M 是在单位多余力11=X 作用下基本结构的弯矩，1X 是任意值。
式(6)同时也是超静定梁满足平衡条件的可能弯矩，由于1X 是任意参数，因此超静定梁的可能弯矩尚未唯一确定。
为了确定1X 的真解，还必须应用变形协调条件)(1111=∆+p X 真解δ (7)式中⎰=∆dxEI M M pp 11 (8)⎰=dxEIM 2111δ试验证真解的能量特征是梁的余能c ∏为极小值，余能c ∏的表示式为dxMX M EIdx EIMpc ⎰⎰+==∏2112)(212 (9)余能c ∏是1X 的二次函数，由式(9)得11111122211221212211112221111111111(2)21[2]21[2]21[()]2p c p p p p p p p p M X M M X M dxEIM dx M M dx M dx X X EIEI EIM dx X X EIM dx X EIδδδδ∏=++=++=+∆+=+∆-∆+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(10)由式(10)可知变形协调条件(7)使余能c ∏取极小值。
