弹性力学的变分原理

七、弹性力学参量的下标表示法前面给出的力分量、应力分量、应变分量和位移分量，其表示方法引用的是记号法；这是一种公认的弹性力学参量表示方法。

下标表示法书写简洁，便于力学问题的理论推导。

1. 下标符号具有相同性质的一组物理量，可用一个带下标的字母表示：如：位移分量u, v, w 表示为u 1, u 2, u 3，缩写为u i （i =1,2,3）坐标x, y, z 表示为x 1, x 2, x 3，缩写为x i （i =1,2,3）单位矢量i, j, k 表示e i （i =1,2,3）。

体力分量X, Y, Z 表示为X 1, X 2, X 3，缩写为X i （i =1,2,3）应力分量：z zy zx yz y yxxz xy x 可表示为：333231232221131211 缩写为：)3,2,1;3,2,1( j i ij4. 克罗内克(Kroneker)符号具有如下性质 )cos(j i ij e ej i e eji ji ij 01 100010001333231232221131211 ij ij (1)3ii j i ij A A ij 也称换名算子同理:ijkj ik A a (2)选取可能位移：十、利用位移变分原理的近似解法m mm m mm mm m w C w w v B v v u A u u 000其中系数是完全任意的m m m C B A 、、1、瑞雷—里兹法（1）是在边界上满足位移边界条件的设定函数000w v u 、、（2）是在边界上为零的设定函数m m m w v u 、、可见，由（1）、（2）选取出来的是可能位移w v u 、、。

3 弹性静力学变分原理一 、弹性力学平衡问题的基本方程：回顾,0ij j i f σ+= 在域V 内(3.1),,()/2ij i j j i u u ε=+ (3.2) ij ijkl kl c σε= 或 ij ijkl kl s εσ= (3.3a ,b )式中ijkl ijlk jikl klij c c c c ===(3.4)边界条件：在域V 的边界B 上，12B B B =⋃，有i i u u =， 在1B 上(3.5) ij ij i p n p σ==， 在2B 上(3.6)补注1：有限变形应变公式不限于小变形的应变定义依据坐标的选取分两类，一类是以变形前坐标i X 来衡量，称为Lagrange 应变或者Green 应变，另一类则是以变形后坐标i x 来衡量，称为Euler 应变或者Almansi 应变，分别为12j i k k ij j i i j u uu u L X X X X ⎛⎫∂∂∂∂=++⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭12j i k k ij ji i j u u u u E x x x x ⎛⎫∂∂∂∂=+- ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ (s-3.1)补注2：微极弹性理论经典的弹性力学中，从微六面体的平衡出发推导平衡方程时，六面体各面上仅有一合力作用，自然有三个分量。

但我们在研究宏观构件，比如弹性直梁时，其截面上除了一个合力外，尚有一个合力矩（即三个力矩分量）。

也就是说，在经典的弹性理论中，微元体面上的合力矩被忽略了。

如果考虑这一合力矩的影响，我们便得到所谓的Cosserat 理论，相应的介质称为Cosserat 介质。

事实上，第一个考虑合力矩影响的是德国学者W. V oigt ，他于1887年发表论文，发现这一考虑将导致应力张量的非对称性。

E. Cosserat 和F. Cosserat 兄弟俩于1909年完善了Voigt 的工作，特别是提出了物体在变形过程中其每一点不仅有平移变位，而且伴随着转动变位。

弹性力学的变分原理和应用1. 弹性力学的基本原理•弹性力学是研究物体在受力后发生形变，但受力取消后又能恢复原状的力学学科。

•弹性力学的基本原理包括胡克定律、平衡条件和应变能最小原理。

1.1 胡克定律•胡克定律是描述弹性体材料内部应力和应变之间关系的基本规律。

•胡克定律表述为应力与应变之间成正比，且比例系数为弹性模量。

•弹性模量是衡量材料弹性性能的物理参数，常见的有杨氏模量、剪切模量等。

1.2 平衡条件•在弹性力学中，物体达到平衡时需要满足平衡条件。

•平衡条件包括力的平衡条件和力矩的平衡条件。

力的平衡条件要求合外力为零，力矩的平衡条件要求合外力矩为零。

1.3 应变能最小原理•应变能最小原理是变分法在弹性力学中的应用。

•应变能是描述物体变形程度的物理量，应变能最小原理认为在给定边界条件下，物体的平衡状态对应的应变能应该是极小值。

2. 弹性力学的变分原理•变分原理是弹性力学中一种重要的数学方法，用于研究力学系统的平衡和稳定性。

•弹性力学的变分原理主要有广义虚功原理和最小势能原理。

2.1 广义虚功原理•广义虚功原理是描述连续介质力学中变形对象平衡状态的数学表述。

•广义虚功原理要求在满足平衡条件的情况下，任意变形状态与原始状态之间的虚功总和等于零。

•广义虚功原理能够推导出弹性力学的基本方程，如平衡方程和边界条件。

2.2 最小势能原理•最小势能原理是应变能最小原理在弹性力学中的具体应用。

•最小势能原理认为在给定边界条件下，力学系统的平衡状态对应的势能应该是极小值。

•最小势能原理可以通过变分法推导出与广义虚功原理等价的弹性力学方程。

3. 弹性力学的应用•弹性力学在工程和科学研究中有广泛的应用，以下列举其中一些应用领域。

3.1 结构力学•弹性力学在结构力学领域中应用广泛，用于探索材料的力学性能和结构的稳定性。

•结构力学涉及材料的弹性性质、刚度、变形和应力分布等问题，借助弹性力学的原理可以进行合理的设计和分析。

3.2 地质力学•地质力学研究地球内部岩石和土壤的力学性质及其变形行为。

第二章 弹性力学基本理论及变分原理弹性力学是固体力学的一个分支。

它研究弹性体在外力或其他因素（如温度变化）作用下产生的应力、应变和位移，并为各种结构或其构件的强度、刚度和稳定性等的计算提供必要的理论基础和计算方法。

本章将介绍弹性力学的基本方程及有关的变分原理。

§2.1小位移变形弹性力学的基本方程和变分原理在结构数值分析中，经常用到弹性力学中的定解问题及与之等效的变分原理。

现将它们连同相应的矩阵形式的张量表达式综合引述于后，详细推导可参阅有关的书籍。

§2.1.1弹性力学的基本方程的矩阵形式弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量表示，它们的矩阵表示称为应力列阵或应力向量111213141516222324252633343536444546555666x x y y z z xy xy yz yz zx zx D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎣⎦⎩⎭ (2.1.1) 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，弹性体内任意一点位移可用3个位移分量表示，它们的矩阵形式为[]T u u v u v w w ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭(2.1.2)弹性体内任意一点的应变，可由6个应变分量表示，应变的矩阵形式为x y Tz xy z xy yz zx xy yz zx εεεσεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭(2.1.3)对于三维问题，弹性力学的基本方程可写成如下形式 1 平衡方程0xy x zx x f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0xy y zy y f xyzτστ∂∂∂+++=∂∂∂0yz zx zz f x y zττσ∂∂∂+++=∂∂∂ x f 、y f 和z f 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。

弹性力学广义变分原理中的一个悖论弹性力学广义变分原理中的一个悖论在弹性力学中，广义变分原理是非常重要的一个概念，它描述了物体的力学行为可以通过极小化能量或其他类似的量来计算。

然而，这个原理在某些情况下却会导致一个悖论，即所得到的方程组与实际的物理行为不符合。

一、弹性力学广义变分原理的基本概念弹性力学广义变分原理是描述弹性物体力学行为的基本概念。

它的主要思想是，将物体的位移场看作一个无限维度的函数空间，从中找到一个合适的位移函数，使得物体的总能量达到最小值。

在弹性力学中，物体的总能量可以表示为弹性能量和势能两部分之和。

其中，弹性能量是由物体内部的应变产生的能量，而势能则是物体在外力作用下所获得的能量。

为了得到物体的最小能量，我们可以采用变分法的思想，通过对位移场的微小改变来求得位移函数的变化。

这里的变分法指的是将原问题转化为一个最小化函数的问题，通过对函数进行微小改变来找到最小值。

二、弹性力学广义变分原理中的悖论虽然弹性力学广义变分原理在很多情况下都可以准确地描述物体的力学行为，但在某些情况下，所得到的方程组却会与实际物理行为不符合。

这种情况被称为“悖论”。

一个著名的例子就是薄板弯曲问题。

当我们试图用广义变分原理来求解薄板的弯曲问题时，所得到的方程组与实际物理行为不符。

这是因为广义变分原理假设物体的形变是小量，而在薄板弯曲问题中，物体的形变可以非常大。

为了解决这个问题，研究者们提出了不同的方法，例如使用非线性广义变分原理或是采用更加精细的数学模型。

但这些方法也存在一定的局限性，无法完全解决所有的悖论问题。

三、如何解决弹性力学广义变分原理中的悖论为了解决弹性力学广义变分原理中的悖论，我们可以采用以下几种方法：1. 采用更加精细的数学模型如上文所述，一弹性力学广义变分原理是描述弹性体运动的基本原理之一，它是建立在能量原理基础之上的。

广义变分原理的核心是作用量原理，其基本思想是运动的轨迹使得作用量取极值。

第3章 弹性力学经典变分原理3.1 弹性力学基础3.1.1 变形分析要研究物体变形首先要研究其位移如何来描述。

在数学上，我们引进物质坐标和空间坐标的概念分别来描述物体上某一点的位置变动，具体说来，先取一Descartes 坐标系做参照系，变形前物体的构形为B ，其每个质点的位置可用一组我们称之为物质坐标的坐标值来表示；变形后物体的构形变成B ’，取另一个Descartes 坐标系做参照系，我们称之为空间坐标系。

如下图，变形前任一点Ｐ在物质坐标系中的坐标为),,(321X X X ，变形后P 变化到Q 点在空间坐标系中的坐标为),,(321x x x 。

图3.1物质坐标系和空间坐标系矢量PQ 表示了质点P 的位移，记为u 。

为简单和方便起见，一般取两个参照系相重合，这时位移矢量u 的分量i u 可以用下式来表示,(1,2,3)i i i u x X i =-= (3.1.1)其中变形后质点的坐标)3,2,1(=i x i 与变形前的坐标)3,2,1(=i X i 存在着确定的关系。

我们可以把变形后质点的坐标看成是变形前质点物质坐标的函数，即123(,,),(1,2,3)i i x x X X X i == (3.1.2)也可以用其逆变换 (数学上要求Jacobi 行列式不为零) 来表述，也就是从变形后空间坐标描述的质点，来追涉变形前这一质点的坐标123(,,),(1,2,3)i i X X x x x i == (3.1.3) 如果把位移u 看作是变形前坐标、即物质坐标的函数123(,,),(1,2,3)i i u u X X X i == (3.1.4)称之为Lagrange 描述。

如果把位移u 看作是变形后坐标、即空间坐标的函数123(,,),(1,2,3)i i u u x x x i == (3.1.5)称之为Euler 描述。

我们取变形前P 点),,(321X X X 及相邻P’112233(d ,d ,d )X X X X X X +++，它们之间的长度平方为3201d d d i i i s X X ==∑ (3.1.6)它们变形后相应于Q 点),,(321x x x 及相邻Q ’112233(d ,d ,d )x x x x x x +++，其长度平方为321d d d i i i s x x ==∑ (3.1.7)根据变形前后的坐标关系有3311d d ,d d i ii j j j j jjxX x X X x i X x ==∂∂==∂∂∑∑从而有33220,11d d ()d d ij i j i j i jx x s s X X X X αααδ==∂∂-=-∂∂∑∑(3.1.8)或者33220,11d d ()d d ij i j i j i jX X s s x x x x αααδ==∂∂-=-∂∂∑∑(3.1.9)如果定义3121ij ij i j x x E X X αααδ=⎛⎫∂∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭∑ (3.1.10)及3121ij ij i j X X x x αααεδ=⎛⎫∂∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭∑ (3.1.11) 则有 220d d 2d d ij i j s s E X X -= (3.1.12)220d d 2d d ij i j s s x x ε-= (3.1.13)上述表达式中，有重复下标的,i j ，已省略了相应的求和记号3311,i j ==∑∑，称为Einstein 约定。

弹性力学的变分原理及其应用弹性力学的基本概念•弹性力学是研究物体在外力作用下产生形变的力学学科。

•弹性力学主要关注物体的弹性变形，即物体在受到外力作用后可以恢复到原始形状的能力。

•弹性力学可以用数学模型来描述物体的变形行为，其中变分原理是一种重要的分析工具。

变分原理的概念•变分原理是数学中的一种重要方法，可以用来求解函数的极值问题。

•在弹性力学中，变分原理是用来求解物体的形变问题的一种方法。

•变分原理通过将弹性力学问题转化为一个变分问题，通过对变分方程进行求解，可以得到物体的形变情况。

弹性力学的变分原理•弹性力学的变分原理基于能量最小化的原理。

•变分原理假设物体的形变状态是能量最小的状态，通过对能量进行变分求解，可以求得物体的形变情况。

•变分原理可以用来推导出弹性力学中的重要方程，如弹性能量密度函数和应力-应变关系等。

变分原理的应用•变分原理在弹性力学中有着广泛的应用。

•变分原理可以用来推导出弹性力学中的基本方程，如胡克定律、拉梅定律和势能函数等。

•变分原理还可以用来求解复杂的边界值问题，如弹性体的静力平衡问题和弹性体的振动问题等。

弹性力学的变分原理应用案例•弹性体的静力平衡问题：通过变分原理可以求解弹性体在给定外力作用下的形变情况，并得到物体的位移场和应力场等信息。

•弹性体的振动问题：通过变分原理可以推导出物体的振动方程，并得到物体的共振频率和振动模态等信息。

•弹性体的材料参数求解：通过变分原理可以推导出物体材料的一些参数，如弹性模量和泊松比等。

总结弹性力学的变分原理是研究物体形变问题的重要方法，并且在弹性力学中有着广泛的应用。

通过对能量的变分求解，可以得到物体的形变情况和应力分布等重要信息。

变分原理不仅可以用来求解弹性体的静态问题，还可以用来求解弹性体的动态问题和材料参数等。

因此，掌握弹性力学的变分原理对于深入理解和应用弹性力学有着重要的意义。

第十一章弹性力学的变分原理知识点静力可能的应力弹性体的功能关系功的互等定理弹性体的总势能虚应力应变余能函数应力变分方程最小余能原理的近似解法扭转问题最小余能近似解有限元原理与变分原理有限元原理的基本概念有限元整体分析几何可能的位移虚位移虚功原理最小势能原理瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz)法伽辽金(Гапёркин）法最小余能原理平面问题最小余能近似解基于最小势能原理的近似计算方法基于最小余能原理的近似计算方法有限元单元分析一、内容介绍由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题，只能采用半逆解方法得到个别问题解答。

一般问题的求解是十分困难的，甚至是不可能的。

因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。

变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基本方程的定解问题，转换为求解泛函的极值或者驻值问题，这样就将基本方程由偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。

变分原理不仅是弹性力学近似解法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。

本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理，并且应用变分原理求解弹性力学问题。

最后，将介绍有限元方法的基本概念。

本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习附录3或者查阅参考资料。

二、重点1、几何可能的位移和静力可能的应力；2、弹性体的虚功原理；3、最小势能原理及其应用；4、最小余能原理及其应用；5、有限元原理的基本概念。

§11.1 弹性变形体的功能原理学习思路:本节讨论弹性体的功能原理。

能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。

而功能关系是能量原理的基础。

首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。