高二数学椭圆的性质

高二选修一椭圆的知识点椭圆是高中数学的重要内容之一，作为高二学生选修的数学课程之一，椭圆的知识点对于学生的数学素养和理解力有着重要的影响。

本文将介绍高二选修一中涉及的椭圆的知识点。

一、椭圆的定义与性质椭圆是平面上一点到两个给定定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个给定定点分别称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的离心率。

椭圆具有如下性质：1. 椭圆的离心率小于1，且等于0时为圆。

2. 椭圆的中心即为焦点所连直线的垂直平分线的交点。

3. 椭圆的长半轴和短半轴分别是焦点所连直线的垂直平分线与椭圆的交点到焦点的距离。

4. 椭圆的顶点是和焦点在同一直线上的两个点。

二、椭圆的方程表达椭圆的方程表达有两种形式：标准方程和一般方程。

1. 标准方程椭圆的标准方程为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。

2. 一般方程椭圆的一般方程为Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F均为常数。

三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程是将椭圆的坐标表示为参数θ的函数形式。

椭圆的参数方程为x = h + a cosθ，y = k + b sinθ，其中θ为参数。

四、椭圆的焦点与直径椭圆的焦点是指离心率所决定的椭圆上两个特殊的点，位于椭圆的长轴上。

椭圆的直径是从椭圆上一点到椭圆的另一点的最长线段。

五、椭圆与切线椭圆上的任意一点处都存在切线。

椭圆的切线与椭圆的法线垂直。

六、椭圆的重要参数椭圆的重要参数包括离心率、焦距、短半轴、长半轴、准线等，这些参数可以通过椭圆的方程表达或者几何性质求解。

七、椭圆的应用椭圆在日常生活和工程领域中有着广泛的应用。

例如，椭圆的形状可以模拟行星的轨道，从而研究天体运动；椭圆的形状也可以用来设计汽车、船舶和建筑物等工程项目。

教学内容：椭圆的简单几何性质【基础知识精讲】22a x +22by =1(a ＞b ＞0)；范围：椭圆位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形里；即｜x ｜≤a ；｜y ｜≤b.2.对称性：椭圆关于x 轴；y 轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴；原点是椭圆的对称中心；即为椭圆的中心.3.顶点：椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A 1(-a ；0)；A 2(a ；0)；B 1(0；b)；B 2(0；-b)4.离心率：e=ac；(o ＜e ＜1)；e 越接近于1；则椭圆越扁；e 越接近于0；椭圆就越接近于圆.5.椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0＜e ＜1)的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点；定直线为椭圆的准线.6.椭圆的焦半径公式：设P(x 0；y 0)是椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)上的任意一点；F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点；则｜PF 1｜=a+ex 0；｜PF 2｜=a-ex 0.⎩⎨⎧==ϕϕϕsin )(cos b y a x 是参数 本节学习要求：椭圆的几何性质内容多.它与直线的位置关系的确定离不开一元二次方程中的判别式及韦达定理.如椭圆中的弦长问题：若直线y=kx+b 和二次曲线Ax 2+Cy 2+Dx+Ey+F=0相交；所得弦长可由下法求之；由两方程中消去y ；得ax 2+bx+c=0；记△=b 2-4ac ；则弦长=ak )1(2+△;若弦过焦点；则用焦半径公式更为简洁.这要求大家针对具体的题目；灵活采用方法计算弦长或与焦半径有关的问题.【重点难点解析】通过“圆的方程”的学习我们知道；圆的几何性质问题用代数的方法解题简便；计算量小的特点；同样；椭圆也有类似的几何性质；那么在学习本节之前要复习椭圆的定义及标准方程；在此基础上来学习椭圆的几何性质；掌握椭圆的性质；标准方程；及椭圆的第二定义.例1 设直线l 过点P(-1；0)；倾角为3π；求l 被椭圆x 2+2y 2=4所截得的弦长. 解：直线l 的方程为y=3x+3；代入椭圆方程；得7x 2+12x+2=0；∵△=144-4×7×2=88∴弦长=7)31(88+=7224 例2 求椭圆252x +812y =1上的点到直线3x+4y-64=0的最长距离与最短距离.解：设椭圆上的点为(5cos θ；9sin θ)；则 d=564sin 36cos 53-θ+θ⨯=564cos 15sin 36-+θθ=564)125arctan sin(39-+θ∴d max =564139-⨯例3 已知椭圆42x +32y =1内有一点P(1；-1)；F 是右焦点；M 是椭圆上的动点；求|MP|+2|MF|的最小值；并求此时M 的坐标.解：过M 作右准线x=4的垂线；垂足为M 1；由椭圆第二定义；有1MM MF =21∴2｜MF ｜=｜MM 1｜∴｜MP ｜+2｜MF ｜=｜MP ｜+｜MM 1｜过P 作右准线的垂线交椭圆于N ；垂足为N 1；垂线方程为y=-1.显然｜MP ｜+｜MM 1｜≥｜NP ｜+｜NN 1｜(当M 与N 重合时等号成立)而｜NP ｜+｜NN 1｜=｜PN 1｜=3由方程组⎩⎨⎧==+1124322y y x 得N(362；-1)∴｜MP ｜+2｜MF ｜的最小值是3；此时M 的坐标是(362；-1)【难题巧解点拨】例1 P 是椭圆方程为162y +92x =1上的任意一点；F 1；F 2是椭圆的两个焦点；试求｜PF 1｜·｜PF 2｜的取值范围.解：设｜PF 1｜=t ；则t ∈［a-c ；a+c ］；即t ∈［4-7；4+7］且｜PF 2｜=2a-t=8-t. ∴｜PF 1｜·｜PF 2｜=t(8-t)=-(t-4)2+16 t ∈［4-7；4+7］当t=4时；取最大值为16 当t=4±7时；取最小值为9.∴所求范围为［9；16］ 例2 F 1、F 2是椭圆的两个焦点；过F 2作一条直线交椭圆于P 、Q 两点；使PF 1⊥PQ ；且｜PF 1｜=｜PQ ｜；求椭圆的离心率e.解：如下图；设｜PF 1｜=t ；则｜PQ ｜=t ；｜F 1Q ｜=2t ；由椭圆定义有：｜PF 1｜+｜PF 2｜=｜QF 1｜+｜QF 2｜=2a∴｜PF 1｜+｜PQ ｜+｜F 1Q ｜=4a 即(2+2)t=4a ；t=(4-22)a ∴｜PF 2｜=2a-t=(22-2)a 在Rt △PF 1F 2中；｜F 1F 1｜2=(2c)2∴［(4-22)a ］2+［(22-2)a ］2=(2c)2∴22ac =9-62 ∴e=a c =6-3例3 已知P 是椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)上的一点；F 1F 2为两焦点；且F 1P ⊥F 2P ；若P到两准线的距离分别为6和12；求此椭圆方程.解：(利用椭圆第二定义求解)∵点P 到两准线的距离分别是6和12∴2·ca 2 =6+12 即a 2=9c由椭圆第二定义知；e=11d PF =22d PF∵d 1=6；d 2=12 ∴｜PF 1｜=6e ；｜PF 2｜=12e又∵PF 1⊥PF 2 ∴｜PF 1｜2+｜PF 2｜2=｜F 1F 2｜2∴36e 2+144e 2=4c 2∵e=ac ∴a 2=45 又a 2=9c ∴c=5 ∴b 2=a 2-c 2=20∴所求椭圆的方程的452x +202y =1例4 在椭圆3x 2+4y 2=12上；是否存在相异的两点A 、B 关于直线y=4x+m 对称并说明理由.解：设A(x 1；y 1)；B(x 2；y 2)；AB 的中点M(x 0；y 0) 直线AB ：y=-41x+t ；将AB 的方程代入椭圆的方程消去y 得；13x 2-8tx+16t 2-48=0 ∴△=(-8t)2-4×13×(16t 2-48)＞0 ∴-213＜t ＜213①且x 1+x 2=138t又AB 的中点M 在直线y=4x+m 上； ∴1312t=4×134t+m ∴t=-413m 代入①式得： -13213＜m ＜13213 解法二：设A(x 1；y 1)；B(x 2；y 2)是椭圆上关于直线l :y=4x+m 对称的两点；则421x +321y =1 ① 422x +322y =1 ② ①-②得42221x x -+32221y y -=0∴2121x x y y --=)(4)(32121y y x x +-+而K AB =2121x x y y -- =-41故有)(4)(32121y y x x +-+=-41设AB 的中点为(x ；y)；则有x 1+x 2=2x ；y 1+y 2=2y 代入即得AB 中点的轨迹方程为y=3x. 由⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+==my mx m x y x y 343 由于AB 的中点在椭圆内部∴4)(2m -+3)3(2m -＜1⇒m 2＜134⇒-13213＜m ＜13213 故当m ∈(-13213；13213)时；椭圆C 上有不同的两点关于直线对称. 例5 椭圆92522y x +=1上不同三点A(x 1；y 1)；B(4； 159)；C(x 2；y 2)与焦点F(4；0)的距离成等差数列.(1)求证：x 1+x 2=8(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ；求直线BT 的斜率k. 解：由题知a=5；b=3；c=4. (1)由椭圆的第二定义知：12x ca AF -=a c ⇒｜AF ｜=a-ac x 1=5-54x 1同理有｜CF ｜=5-54x 2 ∵｜AF ｜+｜CF ｜=2｜BF ｜ 且｜BF ｜=159 ∴(5-54x 1)+(5-54x 2)=518 即x 1+x 2=8(2)∵线段AC 的中点为(4；221y y +) ∴它的垂直平分线方程为y-221y y + =1221y y x x --(x-4)又点T 在x 轴上；设其坐标为(x 0；0)；代入上式得；x 0-4=)(2212221x x y y -- ①点A(x 1；y 1)；B(x 2；y 2)都在椭圆上∴y 21=259(25-x 21)；y 22=259 (25-x 22) ∴y 21-y 22=-259(x 1+x 2)(x 1-x 2) 将此式代入①并利用x 1+x 2=8得 x 0-4=-2536 ∴k BT =04059x --=45【命题趋势分析】1.熟练掌握椭圆的第二定义；两种形式的标准方程及几何性质；运用它们及参数间的关系解决相关问题.2.必要时；椭圆方程可设为mx 2+ny 2=1(m ＞0；n ＞0)；这样计算简洁；还可避免对焦点位置的讨论.3.遇到弦的中点问题时；常用点差法.例1 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1；F 2；点P 在椭圆上；如果线段PF 1的中点在y 轴上；那么｜PF 1｜是｜PF 2｜的( )A.7倍B.5倍C.4倍解：设F 1(-3；0)；e=23；P(x 0；y 0) ∵线段PF 1的中点的横坐标为0；∴230-x =0 即x 0=3 ∴｜PF 1｜=a+ex 0=23+23×3=273∴｜PF 2｜=2a-｜PF 1｜=43 -273 =23 ∴｜PF 1｜=7｜PF 2｜ 故选A例2 设椭圆的中心是坐标原点；长轴在x 轴上；离心率e=23；已知点P(0；23)到这个椭圆上的点的最远距离为7；求这个椭圆方程；并求椭圆上到P 的距离等于7的点的坐标.解：设所求椭圆方程为22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)由e 2=22a c =222ab a - =1-22a b 和e=23得a=2b 设椭圆上的点(x ；y)到P 点的距离为d ；则d 2=x 2+(y-23)2=a 2(1-22by )+y 2-3y+49=-3(y+21)2+4b 2+3 (-b ≤y ≤b) 若b ＜21时；则当y=-b 时；d 2(从而d)有最大值；由题设得(7)2=(b+23)2；由此得b=7 -23＞21与b ＜21矛盾.若b ≥21时；当y=-21时；d 2有最大值；从而d 有最大值；有(7)2=4b 2+3；∴b=1；a=2∴所求椭圆方程为42x +y 2=1；椭圆上的点(-3；-21)；点(3；-21)到P 点的距离都是7.说明：本题体现了数学的转化与函数思想；本题关键是讨论距离函数d 2=-3(y+21 )2+4b 2+3在区间［-b ；b ］上的最值；二次函数在区间上的最值问题要就对称轴与区间的关系来讨论.例3 已知椭圆的中心在原点O ；焦点在坐标轴上；直线y=x+1与该椭圆相交于P 和Q ；且OP ⊥OQ ；｜PQ ｜=210.求椭圆方程. 分析 设P(x 1；y 1)；Q(x 2；y 2；)由OP ⊥OQ 知x 1x 2+y 1y 2=0；再结合弦长公式与韦达定理求解.解：设椭圆的方程为22a x +22by =1(a ＞0；b ＞0；a ＞b 或a ＜b)；点P 、Q 的坐标别为P(x 1；y 1)；Q(x 2；y 2).由⎪⎩⎪⎨⎧+==+112222x y b y a x 消去y 得 (a 2+b 2)x 2+2a 2x+a 2-a 2b 2=0；当△=(2a 2)2-4(a 2+b 2)(a 2-a 2b 2)＞0时由韦达定理得x 1+x 2=-2222ba a +；x 1x 2=22222b a b a a +-. 且y 1=x 1+1；y 2=x 2+1； ∵OP ⊥OQ ；∴11x y ·22x y=-1；即y 1y 2+x 1x 2=0； ∴(x 1+1)(x 2+1)+x 1x 2=0；∴2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0；①又｜PQ ｜=210；由弦长公式有： 211+｜x 2-x 1｜=210； ∴2［(x 1+x 2)2-4x 1x 2］=410； ∴4(x 1+x 2)2-16x 1x 2-5=0②解由①、②组成的方程组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,32,412121x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=•21412121x x x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+-32241)1(2222222b a a b a b a ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--=+-,212,41)1(2222222b a a b a b a解得⎪⎩⎪⎨⎧==32222b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==23222b a故所求椭圆方程为22x +322y =1或322x +22y =1【同步达纲练习】A 级一、选择题22a x +22b y =1与22a x +22by =k(a ＞b ＞0；k ＞0)一定具有相同的( )A.长轴B.焦点 C .离心率23；且过点(2；0)的椭圆标准方程为( ) A. 42x +y 2=1B. 42x +y 2=1或x 2+42y =1C. x 2+412y =1D. 42x +y 2=1或42x +162y =1m x -252+my +162=1表示焦点在y 轴上的椭圆；则实数m 的取值范围是( )A.(-16；25)B.(29；25) C.(-16；29) D.(29；+∞) 4.若圆(x-a)2+y 2=9与椭圆92x +42y =1有公共点；则实数a 的取值范围是( )A.(-∞；+∞)B.［-6；6］C.［-35；35］ D.φ5.若椭圆的两个焦点三等分两条准线间的距离；则椭圆的离心率为( )B.51C.3D.33二、填空题42+m x +82y =1的离心率e=21；则实数m 的值为 .52-k x +ky -32=-1表示椭圆；则实数k 的取值范围是 . 8.若椭圆的长轴长、短轴长；焦距依次成等差数列；则其离心率e= .三、解答题92x +42y =1上的点P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项；求P 点坐标.92x +42y =1上的点；且∠F 1PF 2=90°；求△F 1PF 2的面积.AA 级一、选择题1.不论k 为何值；直线y=kx+1与焦点在x 轴上的椭圆72x +my 2=1有公共点；则实数m的范围是( )A.(0；1)B.(0；7) C .［1；7］ D.(1；7］ 2.椭圆的两个焦点和中心将两准线间的距离四等分；则一焦点与短轴两端点连线的夹角为( )A.4π B.3π C.2π D.32π 1、F 2是椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的两个焦点AB 是过F 1的弦；则△ABF 2的周长是( ) D.2a+2b4.已知(0；-4)是椭圆3kx 2+ky 2=1的一个焦点；则实数k 的值是( )B.61D.241 2为圆心作圆；使这圆过椭圆的中心；且交椭圆于M 点；若直线MF 1是圆F 2的切线；则椭圆的离心率是( )A. 3-13C.22 D.23二、填空题6.以椭圆的两个焦点为直径端点的圆交椭圆于四个点；若顺次连接四个点及两个焦点恰好组成一个正六边形；则椭圆的离心率e= .1F 2是椭圆两焦点；P 是椭圆上一点；△PF 1F 2满足∠PF 1F 2：∠PF 2F 1：∠F 1PF 2=1∶2∶3；则此椭圆的离心率e=8.已知A(1；1) B(2；3)；椭圆C:x 2+4y 2=4a 2；如果椭圆C 和线段AB 有公共点；则正数a 的取值范围是 .三、解答题9.已知A 、B 是椭圆22a x +22925a y =1上的两点；F 2是椭圆的右焦点；若｜AF 2｜+｜BF 2｜=58a ；AB 中点到椭圆左准线距离为23；求椭圆方程.22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ；若椭圆上存在一点P ；使∠OPA=2π；求椭圆离心率的取值范围.【素质优化训练】一、选择题1.已知M 为椭圆上一点；F 1F 2是两焦点；且∠MF 1F 2=2α；∠MF 2F 1=α(α≠0)；则椭圆的离心率是( )α α α α-12+y 2=1上的点到直线y=3x-4的距离的最小值是( ) A. 3102- B. 3105- C. 432+ D.4108- 22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)的一个焦点；PQ 是过其中心的一条弦；则△FQP 面积的最大值是( ) A.21ab22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的离心率等于53；若将此椭圆绕右焦点按逆时针方向旋转2π后；新位置的椭圆有一条准线方程是y=316；则原椭圆方程是( ) A.1292x +482y =1 B. 1002x +642y =1 C.252x +162y =1 D. 162x +92y =1 122x +62y =1的一个焦点为F 1；点P 在椭圆上；若线段PF 1的中点M 在y 轴上；则M 的纵坐标是( )A.±43B.±23C.±22D.±43二、填空题6.已知圆柱底面的直径为2k ；一个与底面成30°角的平面截这个圆柱；则截面上的椭圆的离心率是22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)上的点；且∠F 1PF 2=θ；则△F 1PF 2的面积是8.点P(0；1)到椭圆22x +y 2=1上点的最大距离是 .三、解答题9.已知椭圆长轴｜A 1A 2｜=6；｜F 1F 2｜=42；过椭圆焦点F 1作一直线；交椭圆于M 、N 两点；设∠F 2F 1M=α(0≤α≤π)；问当α取何值时；｜MN ｜等于椭圆的短轴长.22a x +22by =1(a ＞b ＞0)与x 轴交于AB 两点；F 1F 2为焦点. (1)过一焦点F 2作垂直于长轴的弦MN ；求∠AMB 的大小范围(2)若椭圆上有一点P ；使得∠APB=120°；求P 点的纵坐标；并求椭圆离心率满足什么条件时；这样的点P 才存在.【生活实际运用】要把一个边长分别为52cm 和30cm 的矩形板锯成椭圆形；使它的长轴和短轴长分别为52cm 和30cm 用简便的方法在木板上画出这个椭圆的草图.参考答案：【同步达纲练习】A 级 1.C 2.D 3.B 4.B 5.D 6. 323或517 7.3＜k ＜5且k ≠4 8. 53 AA 级 1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6. 3 -1 7.3-1 8.［25； 102+925y 2=1 10.22＜e ＜1 【素质优化训练】 1.D 2.D 3.D 4.C 5.A 6.212tan 2θ 8.2 9.α=6π或65π 10.(1) 2π＜∠AMB ＜π-arccot2 (2)e ∈［36；1］。

高二数学椭圆基础知识点总结大全椭圆是高中数学中的一种重要的曲线，它具有许多独特的性质和特点。

本文将对高二数学中椭圆的基础知识点进行全面总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、椭圆的定义和特征椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a 的点P的轨迹。

F1和F2被称为椭圆的焦点，a被称为椭圆的半长轴。

椭圆的离心率定义为ε = c/a，其中c为焦点之间的距离。

离心率表示了椭圆的扁平程度，ε<1时为椭圆，ε=1时为抛物线，ε>1时为双曲线。

二、椭圆的方程和参数椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

参数方程为x = a*cosθ，y = b*sinθ，其中θ为参数。

三、椭圆的图形性质1. 椭圆关于x轴和y轴对称；2. 椭圆的长轴和短轴分别与x轴和y轴平行；3. 椭圆的左右焦点分别在x轴上方和下方；4. 椭圆的离心率ε满足0 < ε < 1；5. 椭圆的离心率越小，椭圆越圆。

四、椭圆的参数方程以椭圆的中心为原点，a为半长轴，b为半短轴建立直角坐标系，则椭圆上任意一点P(x, y)的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中0 ≤ θ ≤ 2π。

五、椭圆的焦点和准线1. 椭圆的焦点是椭圆上两个固定点F1和F2，它们满足F1F2 = 2a；2. 椭圆的准线是通过椭圆中心且垂直于长轴的直线。

六、椭圆的方程一般形式当椭圆的中心不在坐标原点时，椭圆的方程为：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1其中(h, k)为椭圆的中心坐标。

七、椭圆的主要性质1. 椭圆的周长公式为C = 4a(E(ε^2))，其中E为椭圆的第一类完全椭圆积分函数；2. 椭圆的面积公式为S = πab；3. 离心率ε和焦距f之间的关系为ε^2 = 1 - (b^2/a^2) = 1 -(f/a)^2。

八、椭圆在几何和物理中的应用椭圆在几何和物理中有许多应用，如天体运动轨迹的研究、光学系统的设计等。