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椭圆的定义和方程1 ppt

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椭圆及其标准方程ppt课件

椭圆及其标准方程ppt课件

F2
根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a
2
2
+ 2
=1
2
2

−
你可以在图中找出表示a，c，b的线段吗？
2 2
+ 2=1
2


M
F1
O
F2
二、椭圆的标准方程
椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，椭圆上任意一点M都满
足|MF1|+|MF2|=2a，则椭圆的标准方程为
M
2 2
LET’S START
椭圆是生活中的一种常见图形
椭圆是生活中的一种常见图形
椭圆是生活中的一种常见图形
具有何种几何特征才是椭圆呢？
具有何种几何特征才是椭圆呢？
b
1
a
一、椭圆的定义
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大
于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，

椭圆：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等
于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
|PF1|+|PF2|=2aLeabharlann > 2c椭圆的标准方程：
焦点在x轴：
其中，a>b>0，且a2=b2+c2
焦点在y轴：
怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？
M
设M(x,y)，焦距|F1F2|=2c (c>0) 则F1(-c,0)，F2(c,0)
根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a
2 − = ( − )2 + 2
F1
O
F2
怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？

椭圆的简单几何性质ppt课件

椭圆的简单几何性质ppt课件

由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)

椭圆的标准方程ppt课件

椭圆的标准方程ppt课件
则: MF1 + MF2 =2a 即: (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
04:07
所以 (x c)2 y2 2a (x c)2 y2
两边平方得: (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
F1 O
x2 y2 1(a b 0)
F2 x
a2 b2
根据题意知，2a=3，2c=2.4，即a=1.5，
c=1.2。所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81，因此
椭圆的标准方程为
x2
y2
1
04:07
2.25 0.81
例4、将圆x2+y2=4上的点的横坐标 保持不变，纵坐标变为原来的一 半，求所得曲线的方程，并说明 它是什么曲线.
Y M 求椭圆的方程
F1
O
F2 X YM
F1
O
F2 X
如图所示： F1、F2为两定点，且 F1F2 =2c， 求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a （2a>2c)的动点M的轨迹方程。
04:07
Y M (x,y)
F1
O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中点 为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、 F设2的M坐（标x,y分)为别所为求(-c轨,0迹)、上(c的,0任)。意一点，
a2 16,b2 8
c2 a2 b2 16 8 8
c 2 2 2c 4 2
焦点为：F1(1, 0), F2 (1, 0)
焦距为： 2
焦点为：F1(0, 2 2), F2(0, 2 2) 焦距为： 4 2

椭圆标准方程1-PPT课件

椭圆标准方程1-PPT课件

F2（0，c）
[3]c2= a2 - b2
学贵有疑，小疑则小进，大疑则大 进 8
比较：
x y 2 1( a b 0 ) 2 a b
y x 1 ( a b 0 ) 2 2 a b
焦点在分母大 学贵有疑，小疑则小进，大疑则大 的那个轴上 进
2 2
y
M
2
2
F1
0 y F2
F2
2 10
a 10
2 2
Hale Waihona Puke 12又∵c=2∴b2=a2-c2=10-4=6
y x 1 学贵有疑，小疑则小进，大疑则大 故所求椭圆的标准方程为： 10 6 进
求椭圆标准方程的解题步骤：
（1）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程；
（3）用待定系数法确定a、b 的值，写出椭圆的标准方程.
x y 1 故所求椭圆的标准方程为： 学贵有疑，小疑则小进，大疑则大 25 9 进
2
2
11
练习[二]
[五]定义应用
写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2）， 并且椭圆经过点（-1.5，2.5）. y2 x2 （2）解：依题意，可设椭圆方程为： 2 2 1 (ab0 ) a b 3 3 2 5 2 2 5 2 2 a ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) 2 2 2 2
2
2
2
2
⑵
⑶
练习[二]
[五]定义应用
写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0）， 椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2）， 并且椭圆经过点（-1.5，2.5）. 2 x y2 （1）解：依题意，可设椭圆方程为： 2 2 1 (ab0 ) a b ∵2a=10,∴a=5,又∵c=4 ∴b2=a2-c2=52-42=9

第1节 椭圆标准方程和几何性质ppt课件

第1节 椭圆标准方程和几何性质ppt课件

2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 焦点位置
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在x轴上
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上
图形
标准方程
范围 对称性
顶点 性质 轴长
焦距 离心率 a,b,c的
关系
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
-a≤x≤a -b≤y≤b
a5 两个焦点分别为F1(3, 0)和F2 (3, 0), 四个顶点的坐标分别为A1(5, 0), A2 (5, 0), B1(0, 4)和B2 (0, 4).
【变式1-1】(2019新课标II卷,文)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是
椭圆 x2 y2 1的一个焦点,则p=( ) 3p p
A.2
B.3
C.4
D.8
【答案】 D 【解析】 由题意可得:3 p p ( p )2,解得p 8.故选D.
2
【变式1-2】 (2018新课标Ⅰ卷,文)已知椭圆C:
x2 a2
y2 4
1的一
个焦点为(2,0),则C的离心率为 ( )
A. 1
B. 1
C. 2
D. 2 2
3
2
2
3
【答案】 C 【解析】 根据题意,可知c 2,因为b2 4, 所以a2 b2 c2 8, 即a 2 2,所以椭圆C的离心率为e 2 2 ,故选C.
-b≤x≤b -a≤y≤a
对称轴:x轴、y轴; 对称中心:(0,0)
A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

椭圆及其标准方程ppt课件

椭圆及其标准方程ppt课件
依题意有
( 3)2
(-2)2
+ 2
2

(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2

=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2

2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2

+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c

椭圆ppt课件

椭圆ppt课件

02
椭圆的绘制方法
几何法绘制椭圆
固定两点法
选取两个固定点，利用细线、笔 和画板，通过细线两端分别绕两 个固定点旋转绘制椭圆。
圆心与半径法
选取一个圆心，以不同半径分别 用圆规画出两个相交的圆，连接 两个交点得到椭圆的长短轴，再 绘制椭圆。
代数法绘制椭圆
标准方程法
根据椭圆的标准方程，确定长短轴长度和中心位置，利用坐标纸和直尺绘制椭圆 。
椭圆的几何性质
焦点
椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，距离原点分别为c。
长轴和短轴
椭圆有两条对称轴，分别是长轴和短轴。长轴通过两个焦 点，短轴与长轴垂直。长轴长度为2a，短轴长度为2b。
离心率
椭圆的离心率e定义为c/a，它描述了椭圆的扁平程度。 0<e<1时，椭圆越扁平；e=0时，椭圆变为圆；e>1时， 椭圆不存在。
椭圆形储罐
椭圆形储罐结构受力均匀 ，节省材料，常用于石油 、化工等行业的聚焦于一点，应用于望 远镜、卫星天线等光学设 备中。
经济学中椭圆的应用
生产可能性边界
生产可能性边界呈椭圆形，表示 在一定资源和技术条件下，两种
产品最大可能产量的组合。
效用函数
在消费者选择理论中，效用函数常 用椭圆函数形式来描述消费者在无 差异曲线上的偏好。
参数方程法
根据椭圆的参数方程，设定参数范围和步长，利用计算器或计算机软件生成椭圆 上的离散点，再连接成椭圆。
电脑绘图软件绘制椭圆
绘图软件工具
使用绘图软件中的椭圆工具，通过鼠标点击和拖动直接在画 布上绘制椭圆。
自定义绘制
利用绘图软件的编程功能，编写自定义的椭圆绘制程序，实 现更复杂的椭圆绘制需求。
03
椭圆的应用举例

椭圆ppt课件

椭圆ppt课件

故所求的椭圆的标准方程为 y 2 x2 1
10
10
6
6.自我检测
①椭圆 x2 y2 1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点 100 36
P到另一个焦点F2 的距离是_____。
②已知F1 、F2 是椭圆 x2 y2 1 的两个焦点，过F1的直线 25 9
交椭圆于M、N,则△MNF2 的周长为_____。
2a=10, 2c=8 ， 所以a=5 , c=4,
b2 a2 c2 52 42 9
故所求的椭圆的标准方程为
x2 y2 1
25 9
（2）因为椭圆的焦点在Y轴上，所以设它的方程为
y2 a2
x2 b2
1(ab0)
由椭圆的定义知：
2a
3 2
2
5 2
2
2
3 2
2
52 2
2
2
10
所以 a 10 又c=2, 所以 b2a2c21046
2.1.1椭圆及其标准方程
1
椭圆及其标准方程
学习目标：
1。理解椭圆的定义及焦点，焦距的概念； 2。能够正确推导椭圆的标准方程。
情感目标：
1。培养自己运动变化的观点，训练自己的动手能力； 2。通过小组合作，培养协作，友爱的精神。
学习重点：
1。椭圆的定义
2。椭圆的标准方程
学习难点：
椭圆标准方程的推导
2
有两种方案:
Y
Y
M
F1
M
F1
0 F2
X
0
X
方案一
F2 方案二
7
4.椭圆的标准方程
x2 a2
y2 b2
1(ab0,c2
a2

3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt

3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt

焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)

椭圆及其标准方程ppt课件

椭圆及其标准方程ppt课件
PF1 PF2 2a , F1 F2 2c，求动点 P 的轨迹方程.
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足

椭圆及其标准方程ppt课件

椭圆及其标准方程ppt课件

令b=POI=√a²-c², 那么方程⑤就
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变 形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为 坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(c,0),(-c,0)的距离之和为2a, 即以方程⑥的 解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做圆的标准方 程.它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F(-c,0),F₂ (c,0) 的椭圆，这里
所以点M 的轨迹是椭圆.
例3如图，设A,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M 的轨迹方程.
事
解 ：设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(-5,0), 所以直线AM的斜率 同理，直线 BM 的斜率 由已知有
化简得点M 的轨迹方程为
设M(x,y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F,F₂ 的 坐 标分别为(-c,0),(c,0) ,根据椭圆的定义，设点M 与焦点F,F₂ 的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF₁I+|MF₂I=2a}. 因为IMFI= √ (x+c)²+y²,IMF₂F= √ (x-c)²+y², 所以J(x+c)²+y²+ √ (x-c)²+y²=2a.① 化简得√(x+c)²+y²=2a-√(x-c)²+y².② 对方程②两边平方得(x+c)²+y²=4a²-4aJ(x-c)²+y²+(x-c)²+y². 整理得a²-cx=aJ(x-c)²+y².③

椭圆的定义及标准方程ppt课件

椭圆的定义及标准方程ppt课件

于两个定点之间的距离
15
（一）椭圆的定义
椭圆定义的文字表述：
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （2a） （大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。
椭圆定义的符号表述：
M
(2a>2c)
F2
F1
16
二、椭圆标准方程的推导
24
四 课时小结 1. 学习了椭圆的定义，焦点、焦距， 2. 求出了焦点在X轴上的椭圆标准方程
3 . a、b、c始终满足：a2-b2=c2, a＞b＞0
25
五 堂堂清
1 椭圆 x2 y2 1的焦距是（ B ）
43
A1 B 2 C4 D2 3
F1
2已知焦点F1(-6，0)，F2(6，0)，2a=20的椭圆标准方程
b2 a2 c2 41 3
因此，这个椭圆的标准方程是：x2 y2 1 43
23
1.求适合下列条件的椭圆方程 1.a＝4，b＝3，焦点在x轴上 2.b=1，c 15 焦点在X轴上
小结： 1 先定位(焦点)
根据焦点位置设出恰当的方程
2 再定量(a,b,c) 3 代入标准方程即可求得
x2 y2 1
100 64
26
x2 y2 3 椭圆 100 36 1 上的一点P到焦点F1的距离等于6
14
那么点P到另外的一个焦点F2的距离是_____
27
4已知方程
表示焦点在x轴
上的椭圆，则m的取值范围是 (0,4.)
28
链接高考
x2 y2
1
1、 已知F1，F2 是椭圆 25 9
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课后探究
1.请了解舒腾使用的椭圆规的结构，并用代数 方法证明画出的曲线是椭圆.
2.请完成椭圆方程推导过程中的完备性证明.
二次平方法
椭圆标准方程：
焦点和在x轴差上术（洛必达）
焦点
焦点平在y轴方上 差法（赖特）
焦点有理化
展示环节
椭
椭
椭
椭
椭
圆
圆
圆
圆
圆
曲
定
方
生
曲
线
义
程
成
线
起
探
推
方
应
源
究
导
式
用
椭圆生成方式
生成方式 生成方式的联系
生成方式的联系
第二定义
欧几里得 《几何原本》
第三定义
三种定义的联系
第二定义
形
方程1
数
第一定义
《椭圆的定义与方程》
展示环节
椭
椭
椭
椭
椭
圆
圆
圆
圆
圆
曲
定
方
生
曲
线
义
程
成
线
起
探
推
方
应
源
究
导
式
用
发现椭圆曲线
梅内克缪斯时期
用垂直于圆锥母线的平面截顶角分别为直角、钝角、锐角的（正） 圆锥，得到直角圆锥曲线，钝角圆锥曲线，锐角圆锥曲线，统一命 名为圆锥曲线。
梅内克缪斯（公元前375年-
公元前325年，古希腊数学家）
形
数形结合
第三定义
形
方程2
数
展示环节
椭
椭
椭
椭
椭
圆
圆
圆
圆
圆
曲
定
方
生
曲
线
义
程
成
线
起
探
推
方
应
源
究
导
式
用
椭圆曲线应用
杰尼西亚的耳朵
据说，很久以前，意大利西西 里岛有一个山洞，叙拉古的暴君杰 尼西亚把一些囚犯关在这个山洞里。 囚犯们多次密谋逃跑，但每次计划 都被杰尼西亚发现。起初囚犯们认 为出了内奸，但始终未发现告密者。 后来他们察觉到囚禁他们的山洞形 状古怪，洞壁把囚犯们的话都反射 到狱卒耳朵里去了，于是囚犯们诅 咒这个山洞为“杰尼西亚的耳朵”。
阿波罗尼奥斯时期
用一个不书过中圆他锥证顶明点了的近平50面0个沿命不题同，方几向乎截将同圆一锥个曲圆线锥的，性截质出网三罗种殆不尽同，的圆 锥曲线（但椭证圆明、过双程曲复线杂、。抛其物中线得）到。了一条很重要的性质：
椭圆上的点到两个定点的 距离之和为常数。
阿波罗尼奥斯《圆（公锥元曲前线2论62》年
-公元前190年，古希腊数学家）
旦德林时期
构造“旦德林双球”模型，巧妙而简洁地证明 了椭圆上的点到两个定点距离之和为常数。
旦德林（1794年4月12日 - 1847
年2月15日），比利时数学家
发现椭圆曲线
展示环节
椭
椭
椭
Hale Waihona Puke 椭椭圆圆
圆
圆
圆
曲
定
方
生
曲
线
义
程
成
线
起
探
推
方
应
源
究
导
式
用
AE AF
AE AF 椭圆定义探究
旦德林双球模型
实 若定值等于两个定点距离,则动点轨迹是线段 验 若定值小于两个定点距离,则动点轨迹不存在
定义：平面内到两个定点 的距离的 和等于常数
( 大于)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做 椭圆
的 ，两焦焦点点间的距离叫做椭圆的
焦距
历史上椭圆的画法
舒腾画椭圆的三种方式 :
折纸
解析几何基本思想
勒内·笛卡尔 （公元1596
年 3 月 31 日 — 公 元 1650 年 2 月11日）
皮耶·德·费马 （公元
1601年8月17日—公元1665 年1月12日）
性质
坐由 标 形 到
由数 数形 到结
法数 形 合
方程
展示环节
椭
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椭
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圆
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圆
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曲
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生
曲
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义
程
成
线
起
探
推
方
应
源
究
导
式
用
椭圆方程推导
Marquis de l'Hôpital 洛必达（1661-1704）