方差和标准差
千金中学 芮国良
一、教学目标
1.以具体的例子出发，了解方差，标准差的公式的产生过程，体会数学来源于生活，生活离不开数学，从来增加学习数学的兴趣。。
2.通过合作交流，以面对面的互动形式，学生掌握方差和标准差的计算方法及其运用，培养良好的团队合作精神，感受集体的力量。
3.能通过实例学会用方差公式来分析数据离散程度。
二、教学重难点
重点：方差和标准差的概念、计算及其运用。
难点：方差概念的引入，方差是各变量值相对于平均数的差平方的平均数。
三、教学过程
(一）创设情景 引出课题
师：同学们，谁看过射击实况转播？
相信绝大多数同学都看过，今天老师要让你们自己想办法解决有关射击的问题。
问题一：为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，学校决定对选拔方案进行招标。如果你参与竞标，那么你将设计什么方案？
生：让甲、乙二人在相同的条件下各射靶10次，选拔平均环数较多的学生。
师：这个方案不错。可是如果两人的平均环数一样，怎么办？
生：再比一次。
师：如果再比一次结果还是一样，难道要一直比下去？
问题二：假如甲、乙两名同学的测试成绩统计如下：
甲 7 8
6 8 6 5 9
10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
①比较上述数据，你将选择谁参赛？
②通过计算可知，X甲=7，X乙=7，并根据计算的结果验证你选择的正确性。
尽管平均环数相同，但二人的水平还是有差距的，经过观察分析数据，我们发现：甲最多10环，最少4环，波动范围较大；而乙最多9环，最少5环，波动范围较小。因此乙较稳定，应该选拔乙参赛。
设计意图：从一个学生认为可以很容易解决的问题入手，制造矛盾，而且矛盾是确实客观存在和可接受的。从而激发学生学习的兴趣。
(二）合作学习 知识解读
师：由于甲最多环数与最少环数的差距大，从而得出甲不稳定，所以甲遭淘汰。难道这种分析方法就准确？
问题三：假如甲、乙两名同学的测试成绩统计如下：
1132564758
4532215617
8765774353
5645343425
2386126534
5656892356
6743342745
2223125323
4512674987
需求量标准差24.1183424922.6482828.6356421313.8333322.08381
需求量方差581.6944444512.9444820191.3611487.6944提前期（L）行需求量（D）列提前期标准差提前期方差
19.56271965382.7
16.33095221266.7
17.72004515314
11.94571053142.7
30.70016287942.5
23.33452378544.5
15.13935269229.2
15.46932448239.3
27.87471973777
方差(Variance)
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什么是方差
方差和标准差是测度数据变异程度的最重要、最常用的指标。
方差是各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数，通常以σ2表示。方差的计量单位和量纲不便于从经济意义上进行解释，所以实际统计工作中多用方差的算术平方根——标准差来测度统计数据的差异程度。
标准差又称均方差，一般用σ表示。方差和标准差的计算也分为简单平均法和加权平均法，另外，对于总体数据和样本数据，公式略有不同。
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方差的计算公式
设总体方差为σ2，对于未经分组整理的原始数据，方差的计算公式为：
对于分组数据，方差的计算公式为：
方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为：
未分组数据：
分组数据：
[编辑] 样本方差和标准差
样本方差与总体方差在计算上的区别是：总体方差是用数据个数或总频数去除离差平方和，而样本方差则是用样本数据个数或总频数减1去除离差平方和，其中样本数据个数减1即n－1称为自由度。设样本方差为，根据未分组数据和分组数据计算样本方差的公式分别为：
未分组数据：
分组数据：
未分组数据：
分组数据：
例:考察一台机器的生产能力，利用抽样程序来检验生产出来的产品质量，假设搜集的数据如下：
3.43 3.45 3.43 3.48 3.52 3.50 3.39
3.48 3.41 3.38 3.49 3.45 3.51 3.50
根据该行业通用法则：如果一个样本中的14个数据项的方差大于0.005，则该机器必须关闭待修。问此时的机器是否必须关闭？
解：根据已知数据，计算
因此，该机器工作正常。
方差和标准差也是根据全部数据计算的，它反映了每个数据与其均值相比平均相差的数值，因此它能准确地反映出数据的离散程度。方差和标准差是实际中应用最广泛的离散程度测度值。
标准差（StandardDeviation），也称均方差（meansquareerror），是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。 公式： 1、方差s=[(x1-x)^2+(x2-x)^2+(xn-x)^2]/n(x为平均数) 2、标准差=方差的算术平方根 它们的意义： 1、方差的意义在于反映了一组数据与其平均值的偏离程度； 2、方差是衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。 3、方差的特性在于：方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差。在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。 4、标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度。Powered by TCPDF ()
