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方差和标准差 知识讲解

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方差和标准差——知识讲解

【学习目标】

1. 了解方差和标准差的概念，会计算简单数据的方差，体会它们刻画数据离散程度的意义；

2. 知道可以通过样本的方差来推断总体的方差.能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测；

3. 能综合运用统计知识解决一些简单的实际问题.

【要点梳理】

要点一、方差和标准差

1.方差

在一组数据12,,nxxx…，中，设它们的平均数是x，各数据与平均数的差的平方的平均数222212)(...)(1xxxxxxnSn叫做这组数据的方差.

方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.

要点诠释：

（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况. 方差越大，稳定性越差；反之，则稳定性越好．

（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.

（3）一组数据的每一个数据都变为原来的k倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的2k倍.

2.标准差

一般地，一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差.

要点诠释：

（1）标准差的数量单位与原数据一致.

（2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定.

要点二、方差和标准差的联系与区别

联系：方差和标准差都是用来衡量一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况.

区别：方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标.

在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小.

方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同.

【典型例题】

类型一、方差和标准差

1. 一组数据－2，－1，0，1，2的方差是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】按照“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法，利用求方差的公式：222212)(...)(1xxxxxxnSn计算.

【答案】B

【解析】该组数据的平均数是0，所以215s2222(2)(1)12=2.

【总结升华】此类题关键是掌握求方差的步骤，记准求方差的公式.

举一反三：

【变式】学校篮球队五名队员的年龄分别为1715171615，，，，，其方差为0.8，则3年后这五名队员年龄的方差为______．

【答案】0.8.

2.已知某样本的标准差是2，则这个样本的方差是（ ）

A.1 B.2 C.2 D.4

【思路点拨】根据标准差的概念计算．标准差是方差的算术平方根．

【答案】D；

【解析】解：由于方差的算术平方根就是标准差，所以样本的方差=22=4．

故选D．

【总结升华】正确理解标准差的概念，是解决本题的关键．标准差是方差的算术平方根．

举一反三：

【变式】下列说法：其中正确的个数有（ ）

（1）方差越小，波动性越小，说明稳定性越好；

（2）一组数据的众数只有一个；

（3）数据2，2，3，2，2，5的众数为4；

（4）一组数据的标准差一定是正数．

A．0个 B．1个 C．2个 D．4个

【答案】B.

提示：（1）正确.

类型二、方差和标准差的实际应用

3.甲、乙两班举行汉字输入比赛，•参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后，填入下表：

班级 参加人数 中位数 方差 平均字数

甲 55 149 191 135

乙 55 151 110 135

分析此表得出如下结论：（ ）

（1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；

（2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字150个为优秀）

（3）甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大．

A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（2）（3） D．（1）（3）

【思路点拨】理清表格中所列数据代表的含义，以及数据差异而导致的不同.

【答案】B 【解析】甲、乙两班学生的平均字数都是135个/分钟，所以平均水平相同；从中位数上看，乙班的151大于甲班的149，表明乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；从方差上看，甲班的方差大于乙班的方差，所以甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大.因此，（1）（2）（3）都正确，选B.

【总结升华】此类题关键是要能从表格中筛选出所需要的信息，理解每个数据所代表的含义.

举一反三：

【变式】（2015•崇左）甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学测验中，他们成绩的平均分是

x甲=85,x乙=85，x丙=85，x丁=85，方差是2S甲=3.8，2S乙=2.3，2S丙=6.2，2S丁=5.2，则成绩最稳定的是（ ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】B.

解：∵2S甲=3.8，2S乙=2.3，2S丙=6.2，2S丁=5.2，

∴2S乙＜2S甲＜2S丁＜2S丙，

∴成绩最稳定的是乙．

故选B．

4.（2016春•商水县期末）甲、乙两种水稻试验田连续5年的平均单位面积产量如下：（单位：吨/公顷）

品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5 年

甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2

乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8

（1）哪种水稻的平均单位面积产量比较高？

（2）哪种水稻的产量比较稳定．

【思路点拨】首先求得平均产量，然后求得方差，比较方差，越小越稳定．

【答案与解析】

解：（1）19.89.910.11010.2105=++++=x甲，

19.410.310.89.7105=++++9.8=x乙，

所以甲、乙两种水稻的平均产量一样高；

（2）甲中水稻产量的方差是：

[（9.8﹣10）2+（9.9﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2]=0.02，

乙种水稻产量的方差是：

[（9.4﹣10）2+（10.3﹣10）2+（10.8﹣10）2+（9.7﹣10）2+（9.8﹣10）2]=0.244．

∴0.02＜0.244， ∴产量比较稳定的水稻品种是甲．

【总结升华】此题考查了方差，用到的知识点是方差和平均数的计算公式，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

举一反三：

【变式】

为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图：

请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势．

【答案】

5.85.2xx乙甲∵，，

∴甲种水稻比乙种水稻长得更高一些．

222.160.56SS乙甲∵，，

∴乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些．

5.（2015春•安达市期末）甲、乙两台机床同时加工直径为10mm的同种规格零件，为了检查两台机床加工零件的稳定性，质检员从两台机床的产品中各抽取5件进行检测，结果如下（单位：mm）：

甲 10 9.8 10 10.2 10

乙 9.9 10 10 10.1 10

（1）分别求出这两台机床所加工零件直径的平均数和方差；

（2）根据所学的统计知识，你认为哪一台机床生产零件的稳定性更好一些，说明理由．

【思路点拨】（1）根据所给的两组数据，分布求出两组数据的平均数，再利用方差公式求两组数据的方差即可．

（2）根据甲的方差大于乙的方差，即可得出乙机床生产的零件稳定性更好一些．

【答案与解析】

解：（1）∵甲机床所加工零件直径的平均数是：（10+9.8+10+10.2+10）÷5=10，

乙机床所加工零件直径的平均数是：（9.9+10+10+10.1+10）÷5=10， 植株编号 1 2 3 4 5

甲种苗高 7 5 4 5 8

乙种苗高 6 4 5 6 5 ∴甲机床所加工零件直径的方差=[（10﹣10）2+（9.8﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2+（10﹣10）2]=0.013，

乙机床所加工零件直径的方差=[（9.9﹣10）2+（10﹣10）2+（10﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10﹣10）2]=0.004，

（2）∵S2甲＞S2乙，

∴乙机床生产零件的稳定性更好一些．

【总结升华】本题考查了平均数和方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大．

举一反三：

【变式】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)

甲 95 82 88 81 93

79

84

78

乙 83 75 80 80 90 85 92

95

(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；

(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适?请说明理由．

【答案】

解：1(9582888193798478)858x甲(分)，

1(8375808090859295)858x乙(分)．

甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分．

(2)由(1)知85xx甲乙分，所以

22221[(9585)(8285)(7885)]35.58s甲，

22221[(8385)(7585)(9585)]418s乙．

①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；

②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；

③从方差来看，因为xx甲乙，22ss乙甲，所以甲的成绩较稳定；

④从数据特点看，获得85分以上（含85分）的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；

⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．

综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩．

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方差和标准差 习题精选(二)

方差和标准差 习题精选(二)

方差和标准差 习题精选（二）

1．对甲、乙两名同学的立定跳远成绩进行抽样测平均数、方差分别是x甲＝2．2，2S甲＝0．12，x乙＝2．2，2S乙＝0．23，可以估计_____比_____的成绩稳定。

2．两个民兵在同样的条件下练习射击，每人打五枪，所得环数分别是甲：6，8，9，9，8，乙：10，7，7，7，9，其中技术波动比较小的是_____。

3．已知一样本a1，a2，…，an的平均数x＝5，方差S2＝0．025，则：

(1)4+al，4+a2,…，4+an的平均数a＝_____，方差2S＝_____。

(2)4al，4a2，…，4an，的平均数a＝_____，方差2S＝_____。

4．已知—个样本1，5，2，3,x,y，它的平均数是3，众数也是3，则这个样本的方差是_____。

5．某班45名学生参加英语考试，成绩的标准差是16，则方差是( )

A．256 B．4 C．8 D．32

6．已知一组数据－1，x，0，l，－2的平均数为0，那么这组数据的方差是( )

A．2 B．2 C. 4 D．10

7．下列结论正确的是()

A．标准差是方差的平方根

B．标准差的度量单位与原数据一致，有时用它比方差方便

C．样本的方差总大于总体的方差

D．一组数据的平均数、中位数、众数不可能相等

8．为了考查甲、乙两班期中考试数学成绩的波动大小，从这两班各抽10人的数学成绩进行比较，算出甲班10人的成绩方差比乙班10人的成绩方差大，由此可估计出( )

A．甲班成绩比乙班的整齐 B．乙班成绩比甲班的整齐

C．甲、乙两班成绩一样整齐D．无法确定

9．一组数据的方差一定是( )

A．正数B．任意实数C．负数D. 非负数

10．一组数据的方差是S2，将这组数据中的每个数据都变为原来的3倍，所得一组数据的标准差是( )

A. S B．3S

Excel计算方差和标准差

Excel计算方差和标准差

Excel计算方差和标准差

样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。

方差(Variance)和标准差(Standard Deviation)。方差和标准差是测算离散趋势最重要、最常用的指标。方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法。标准差为方差的算术平方根，用S表示。标准差与方差不同的是，标准差和变量的计算单位相同，比方差清楚，因此很多时候我们分析的时候更多的使用的是标准差。

平均值 =AVERAGE ()

方差 =VAR ( )

标准差 =STDEV ( )

一、标准差

函数STDEV：估算样本的标准偏差。标准偏差反映相对于平均值 (mean) 的离散程度。

语法STDEV(number1,number2,...)

Number1,number2,... 为对应于总体样本的 1 到 30 个参数。也可以不使用这种用逗号分隔参数的形式，而用单个数组或对数组的引用。

说明函数 STDEV 假设其参数是总体中的样本。如果数据代表全部样本总体，则应该使用函数 STDEVP 来计算标准偏差。此处标准偏差的计算使用“无偏差”或“n-1”方法。

函数 STDEV 的计算公式如下：

其中 x 为样本平均值 AVERAGE(number1,number2,…)，n 为样本大小。

忽略逻辑值（TRUE 或 FALSE）和文本。如果不能忽略逻辑值和文本，请使用 STDEVA 工作表函数。

示例假设有10件工具在制造过程中是由同一台机器制造出来的，并取样为随机样本进行抗断强度检验。如果您将示例复制到空白工作表中，可能会更易于理解该示例。

操作方法创建空白工作簿或工作表。请在“帮助”主题中选取示例。不要选取行或列标题。从帮助中选取示例。

方差和标准差

方差和标准差

方差和标准差

千金中学 芮国良

一、教学目标

1.以具体的例子出发，了解方差，标准差的公式的产生过程，体会数学来源于生活，生活离不开数学，从来增加学习数学的兴趣。。

2.通过合作交流，以面对面的互动形式，学生掌握方差和标准差的计算方法及其运用，培养良好的团队合作精神，感受集体的力量。

3.能通过实例学会用方差公式来分析数据离散程度。

二、教学重难点

重点：方差和标准差的概念、计算及其运用。

难点：方差概念的引入，方差是各变量值相对于平均数的差平方的平均数。

三、教学过程

(一）创设情景 引出课题

师：同学们，谁看过射击实况转播？

相信绝大多数同学都看过，今天老师要让你们自己想办法解决有关射击的问题。

问题一：为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，学校决定对选拔方案进行招标。如果你参与竞标，那么你将设计什么方案？

生：让甲、乙二人在相同的条件下各射靶10次，选拔平均环数较多的学生。

师：这个方案不错。可是如果两人的平均环数一样，怎么办？

生：再比一次。

师：如果再比一次结果还是一样，难道要一直比下去？

问题二：假如甲、乙两名同学的测试成绩统计如下：

甲 7 8

6 8 6 5 9

10 7 4

乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7

①比较上述数据，你将选择谁参赛？

②通过计算可知，X甲=7，X乙=7，并根据计算的结果验证你选择的正确性。

尽管平均环数相同，但二人的水平还是有差距的，经过观察分析数据，我们发现：甲最多10环，最少4环，波动范围较大；而乙最多9环，最少5环，波动范围较小。因此乙较稳定，应该选拔乙参赛。

设计意图：从一个学生认为可以很容易解决的问题入手，制造矛盾，而且矛盾是确实客观存在和可接受的。从而激发学生学习的兴趣。

(二）合作学习 知识解读

师：由于甲最多环数与最少环数的差距大，从而得出甲不稳定，所以甲遭淘汰。难道这种分析方法就准确？

问题三：假如甲、乙两名同学的测试成绩统计如下：

初中数学知识归纳方差与标准差的概念和计算

初中数学知识归纳方差与标准差的概念和计算

初中数学知识归纳方差与标准差的概念和计算

方差与标准差是初中数学中重要的统计学概念。它们代表了一组数据的离散程度，对于分析和比较数据的差异非常有用。本文将详细介绍方差与标准差的概念，并给出计算方法和实际应用示例。

一、方差的概念和计算方法

方差是一组数据平均值与各个数据之间差异的平方的平均值。它可以衡量数据的离散程度。方差的计算公式如下：

方差 = (∑(xi-平均值)²)/n

其中，xi代表数据中的每一个数值，平均值是数据的平均值，n是数据的个数。

用具体的例子来说明方差的计算过程。假设我们有一组数列：2, 4,

6, 8, 10。首先计算平均值，(2+4+6+8+10)/5 = 6。然后依次计算每个数据与平均值之差的平方，并求和：((2-6)²+(4-6)²+(6-6)²+(8-6)²+(10-6)²)/5

= 8。所以这组数列的方差为8。

方差的计算过程可能比较繁琐，为了简化计算，我们引入了标准差的概念。

二、标准差的概念和计算方法

标准差是方差的平方根，它与方差一样，用来衡量数据的离散程度。标准差的计算公式如下： 标准差 = √方差

标准差的计算方法更加简单直观，它可以直接反映出数据集合的波动情况。在前面的例子中，这组数据的标准差为√8，约等于2.83。

三、方差和标准差的应用举例

方差和标准差在实际问题中有广泛的应用。以下是一些具体的应用示例：

1. 统计学研究：方差和标准差常用于统计学的研究中，可以帮助研究人员了解数据的分布情况、比较不同数据集的离散程度等。

2. 财务分析：方差和标准差可以用于财务分析中，帮助分析师评估不同投资组合的风险程度。标准差越大，数据集合的波动性越高，风险也就越大。

3. 质量控制：在生产过程中，方差和标准差可以用来衡量产品质量的稳定性。如果方差或标准差较大，说明产品质量波动较大，需进一步调整生产过程。

4. 教育评估：方差和标准差可以用于教育评估中，帮助评估学生的成绩分布情况、班级或学校的教学水平等。