方差与标准差
【教学目标】
一、 知识目标
1．明白得极差、方差与标准差的概念及应用．
2．学会用极差、方差与标准差来处理数据．
3．学会用运算器求标准差。
二、能力目标
1．学生通过主动摸索与探究，发觉方差运算的合理性．
2.培养学生的探究知识的能力．
三、情感态度目标
学生在经历独立摸索、合作探究与发觉的过程中，初步体验极差、方差与标准差来分析数据，然后作出决策；体验用现代算工具处理数据的作用。
【重点难点】
重点：方差运算式的导出过程．
难点：方差概念的引入．
【教学设想】
课型：新授课．
教学思路：从复习旧知入手〔平均数、中位数和众数的概念〕-观看导图-研究
用什么数据来表示数据高低起伏的变化大小-得出极差、方差和标准差的概念-导出方差的运算式—利用运算器或运算机求标准差。
【课时安排】4课时。
【教学设计】 第一课时
【本课目标】
1．明白得极差的概念及应用．
2．明确极差是刻画数据离散程度的一个统计量．
3．能够举出一些利用极差进行比较的例子．
【教学过程】
1.情境导入
播放多媒体—教材中的导图〝你喜爱住在哪个都市？〞〔或用投影幻灯片或由教学挂图展现〕．观看导图，讨论用什么样的数来反映数据的高低起伏的变化大小比较合适
2、课前热身
刻画数据平均水平的统计量有哪些，它们有什么作用？举例说明。
3、合作探究
〔1〕整体感知
从观看导图、复习旧知入手，引导学生自主探究，明白得极差的概念及其应用，明确极差是刻画数据离散程度的一个统计量。
〔2〕四边互动
互动1：
师：用平均数、中位数、众数代表数有什么不同？
生：摸索、交流。
明确：通过复习旧知，导入本节课的内容。
互动2： 师：在导图中，什么缘故说北京〝四季分明〞而新加坡〝四季温差不大〞。
生：观看，摸索，交流。
明确：通过讨论，学生初步感知：最大值与最小值的差能够用来表示数据高低起伏的变化大小。
出示投影：课本么135页表20.1.1 上海每日最高气温统计表〔单位：℃〕
方差(Variance)
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什么是方差
方差和标准差是测度数据变异程度的最重要、最常用的指标。
方差是各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数，通常以σ2表示。方差的计量单位和量纲不便于从经济意义上进行解释，所以实际统计工作中多用方差的算术平方根——标准差来测度统计数据的差异程度。
标准差又称均方差，一般用σ表示。方差和标准差的计算也分为简单平均法和加权平均法，另外，对于总体数据和样本数据，公式略有不同。
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方差的计算公式
设总体方差为σ2，对于未经分组整理的原始数据，方差的计算公式为：
对于分组数据，方差的计算公式为：
方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为：
未分组数据：
分组数据：
[编辑] 样本方差和标准差
样本方差与总体方差在计算上的区别是：总体方差是用数据个数或总频数去除离差平方和，而样本方差则是用样本数据个数或总频数减1去除离差平方和，其中样本数据个数减1即n－1称为自由度。设样本方差为，根据未分组数据和分组数据计算样本方差的公式分别为：
未分组数据：
分组数据：
未分组数据：
分组数据：
例:考察一台机器的生产能力，利用抽样程序来检验生产出来的产品质量，假设搜集的数据如下：
3.43 3.45 3.43 3.48 3.52 3.50 3.39
3.48 3.41 3.38 3.49 3.45 3.51 3.50
根据该行业通用法则：如果一个样本中的14个数据项的方差大于0.005，则该机器必须关闭待修。问此时的机器是否必须关闭？
解：根据已知数据，计算
因此，该机器工作正常。
方差和标准差也是根据全部数据计算的，它反映了每个数据与其均值相比平均相差的数值，因此它能准确地反映出数据的离散程度。方差和标准差是实际中应用最广泛的离散程度测度值。
第7课时 方差与标准差
教学目标
（1）通过实例是学生理解样本数据的方差、标准差的意义和作用；
（2）学会计算数据的方差、标准差；
（3）使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想．
教学重点
用样本数据的方差和标准差估计总体的方差与标准差．
教学难点
理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，形成对数据处理过程进行初步评价的意识．
教学过程
一、问题情境
1．情境：
有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2）,通过计算发现，两个样本的平均数均为125。
甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135
125
乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145
2．问题：
哪种钢筋的质量较好？
二、学生活动
由图可以看出，乙样本的最小值100低于甲样本的最小值100，最大值145高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.
我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range）。由图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定。运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论。
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差和标准差。
三、建构数学
1．方差：
一般地，设一组样本数据1x，2x，…，nx ，其平均数为－x，则212)(1 xxnsnii为这个样本的方差． 因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差．
2．标准差：21)(1xxnsnii
标准差也可以刻画数据的稳定程度．
3．方差和标准差的意义：
描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大．
《数据的波动》教学设计
一、教材分析
纵观整个中学数学教材，学生已经在八年级上册研究过刻画一组数据的“平均水平”的几个量度，具备了一定的数据处理能力。但仅有“平均水平”还难以准确地刻画一组数据。而在日常生活中人们还常常关注数据的“波动状况”。基于这一点，本节课围绕一个实际问题情境展开教学，借助于统计图的形象对比，引入了相应的三个量度——极差、方差、标准差，通过本节课的学习进一步完善了学生对一组数据处理的能力。于是确定本节课:
知识与技能目标:
1、了解刻画数据离散程度的三个量度——极差、标准差和方差的概念。
2、能借助计算器求出一组数据的极差、标准差、方差的值。
3、通过实例体会用样本估计总体的思想。
过程与方法目标:
通过生活中的实际问题情境：在甲、乙两个厂家抽样调查了20只鸡腿的质量。让学生感受到：虽然这两组数据的“平均水平”相近，但在实际问题中的具体意义却千差万别，因而必须研究数据的“波动”；由此逐步引出刻画数据波动状况的几个量度——极差、方差和标准差，并要求学生掌握利用计算器处理数据的基本技能；体会通过样本估计总体的思想。
情感态度与价值观目标:
通过解决生活中的数学问题，培养学生善于观察问题，发现问题，并能用数学知识解决问题的能力，进一步增强学生的数学素养。通过分组活动，培养学生团结协作的意识和能力。
教学重点:
1.掌握极差、方差或标准差的概念，明白极差、方差、标准差是刻画数据离散程度的几个统计量.
2.会求一组数据的极差、方差、标准差，并会判断这组数据的稳定性.
教学难点:
理解方差、标准差的概念，会求一组数据的方差、标准差.
二、教法 分析
针对本节课的特点，我准备采用“创设问题情境——启发引导学生对比观察讨论—发现问题—总结归纳——知识应用”为主线的教学模式，观察、分析、讨论、启发引导相结合的方式展开教学。充分借助于教材中三个厂家的统计图，组织引导学生通过观察、分析、讨论、交流获得知识信息，在反馈与交流中感受到知识的不够用，从而使学生的思维始终处于积极的、主动探究的状态。
