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连续型随机变量概率

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连续型随机变量的概率密度

连续型随机变量的概率密度
x
F ( x) f ( x)dx
则称X为连续型随机变量，称 f (x)为X的概率密度函数，简称 概率密度或密度.
概率论与数理统计
2
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
x
F ( x) f ( x)dx
➢ 从几何上看, 连续型随机变量X的分
布函数是由概率密度曲线 f (x), x轴,
概率论与数理统计
3
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
x
F ( x) f ( x)dx
➢ 根据高等数学的知识，容易得到，连续型随机变量的分布函
数一定是连续函数，且在F(x)的导数存在的点上有
F( x) f (x).
➢ 由上述定义，显然，对于任意的实数 x1 x2 ，均有
P
x1 X x2
试求(1)
常数A,
1 Aex1 , x 1.
B的值；(2) 概率密度f
(x)；
(3)
P(X
1 ).
2
➢ 解 (1) 由分布函数的连续性知 lim F( x) F(0), lim F( x) F(1),
x0
x1
可得
A
B,1
A
B,
则
A
B
1 2
.
1 2
e
x
,
故分布函数为：F
(
x
)
1
,
2
x 0, 0 x 1,
概率论与数理统计
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
➢ 由于连续型随机变量是在实数集上连续取值的随机变量，其 概率分布与离散型完全不同，由于其取值有无穷多个，不能 一一列举，需要用新的方法来研究其分布律. 对于这类随机变 量，用概率密度来描绘连续型随机变量的概率分布.

连续型随机变量的概率密度

连续型随机变量的概率密度

解：⑴．P1 X 5 F (5) F (1)
(5 2) (1 2)
3
3
1
1 3
1 1 1
3
0.84134 0.62930 1
0.47064
⑵．PX 2 6 1 PX 2 6
1 P 6 X 2 6
x
令 u t
1
t2 x
e 2 dt
2
1
(2) (0) P( X 0) 1 2
() 1 ;() 0
引理：
设X ~ N ， 2 ，则 Y X ~ N ( 0, 1 )
FY
y
PY
y
P{ X
P{X y} 1
y}
y
e
t 2
2 2
dt
2
作变换
u
t
，du
dt
FY y
使用了s 小时，它总共能使用至少 s t
指数分布
若 X 表示某一元件的寿命，则 (*)式表明：已知元件 使用了s 小时，它总共能使用至少 s t 小时的条件 概率与从开始使用时算起它至少能使用 t小时的概 率相等，即元件对它使用过 s 小时没有记忆,具有这
一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因.
设X ~ N ， 2 ，则 Y X ~ N ( 0, 1 )
(2)若X~N(,2),
P{X x} P{ X x }
( x )
(3) 若X~N(,2),对于任意区间(x1,x2]有
P( x1
X
x2 )
P
x1
X
x2
x2
x1
【例5】 设 随 机 变 量 X ~ N 2， 9 求 ： ⑴ P1 X 5；⑵ PX 2 6；⑶ PX 0．

概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布ppt课件

概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布ppt课件

0 x
则t , dt d
1-(x)
x1
2
3
F(x) 1
(t )2
1 x e
2 2
dt
x
2
e 2 d
( x )
2
2
4. P{a X b} (b ) ( a )
P{X b} (b ) P{X a} 1 (a )
例6
设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
解：X 的密度函数为
f
x
1 10
e
x 10
0
x0 x0
令：B={ 等待时间为10-20分钟 }
则 PB P10 X 20
20
1
x
e 10 dx
10 10
x
e 10
20
e 1
e 2
0.2325
10
例5 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生
故障的次数 N( t ) 服从参数为t 的Poisson分布,
P(2
X
4)
4
2
2
2
2
(0)
0.3
2
0.8
P( X 0) 0.2
解二 图解法
0.2 0.15
0.1 0.05
0.3 0.2
-2
2
4
6
由图 P( X 0) 0.2
例 3 原理
设 X ~ N ( , 2), 求 P(| X | 3 )
解 P(| X | 3 ) P( 3 X 3 )
应用场合:
若随机变量Ｘ在区间(a,b)内等可能的取值，则
X ~ U a,b
例3 秒表的最小刻度差为0.01秒. 若计时精度 是取最近的刻度值, 求使用该秒表计时产生的 随机误差X 的概率密度, 并计算误差的绝对值 不超过0.004秒的概率.

连续型随机变量概率

连续型随机变量概率

连续型随机变量概率摘要：一、连续型随机变量的概念二、连续型随机变量的概率密度函数三、连续型随机变量的累积分布函数四、连续型随机变量的期望与方差五、连续型随机变量的应用举例正文：连续型随机变量概率是概率论中的一个重要概念，它描述了在一定条件下，某个随机变量取某个值的概率。

与离散型随机变量不同，连续型随机变量的取值范围在实数轴上，具有连续性。

一、连续型随机变量的概念连续型随机变量是指随机变量X 的所有可能取值构成一个连续的集合，即实数轴上的某个区间。

它具有连续性，即在某个区间内可以取无穷多个值。

二、连续型随机变量的概率密度函数概率密度函数是描述连续型随机变量分布特征的函数。

对于随机变量X，如果其概率密度函数为f(x)，那么对于任意实数x，有：∫[f(x)dx] = 1即概率密度函数在全域上的积分等于1。

三、连续型随机变量的累积分布函数累积分布函数是描述随机变量小于等于某个值的概率的函数。

对于随机变量X，如果其累积分布函数为F(x)，那么对于任意实数x，有：P(X ≤ x) = F(x)即随机变量X 小于等于x 的概率等于累积分布函数F(x)。

四、连续型随机变量的期望与方差期望是随机变量的平均值，方差是随机变量偏离期望的程度。

对于随机变量X，如果其概率密度函数为f(x)，那么其期望和方差分别为：E(X) = ∫[xf(x)dx]Var(X) = ∫[(x - E(X))^2f(x)dx]五、连续型随机变量的应用举例连续型随机变量在实际问题中有着广泛的应用，例如在金融领域，股票价格、汇率等都是连续型随机变量；在物理学中，某些物理量如时间、位移等也是连续型随机变量。

通过对连续型随机变量的概率分布进行研究，我们可以更好地理解和预测这些随机变量的行为。

概率论 7连续型随机变量

概率论 7连续型随机变量

作业
• 习题2 10，11，12，13，15
随机变量 X 的分布函数为 x0 0 2 F ( x) x 0 x 1 1 x 1
(1)求 P (0.3 X 0.7)
(2)X的密度函数
2 2
(1) P (0.3 X 0.7) F (0.7) F (0.3) 0.7 0.3 0.4
P{ a X b}＝ P{ a X b} P{ a X b} ＝ P{ a X b}＝ f ( x ) dx
a b
例1：已知密度函数求概率
随机变量 X 的概率密度为 a cos x f ( x) 0

x

求 P (0 X

P ( A ) P{10 X 15 } P ( 25 X 45 } P{55 X 60 }
5 20 5 60 1 2
2、 指数分布(exponential distribution)
e ,x 0 若 X ~ f ( x )＝ 0, x 0
(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两 年的概率为多少？ 解
3e 3 x f ( x) 0

x0 x 0,
6

(1) p{ X 2}
3e
2
3 x
dx e
( 2 ) p{ X 3 .5 | X 1 .5}
p{ X 3 .5, X 1 .5} { X 1 .5}
密度函数的几何意义为
P ( a X b )＝ f ( u ) du
a
b
X在某区间的概率等于密度函数在此区间的定积分
2. 密度函数的性质

连续型随机变量及其概率分布

连续型随机变量及其概率分布
内的概率为：
x 2 x 1
P X a 0
yf x
f x
P x X x x dx 1 2 f
O
P x X x 1 2
x1
x2
x
概率密度 f ( x )不是随机变量 X 取值 x的概率 , 而是 X 在点 x的概率分布的密集程度 , f ( x )的大小能反 映出 X 取 x附近的值的概率大小。 因此对于连续型随
P a X b P a X b P a X b
y F (x)
P a X b ( bF ) ( a ) F
1
连续型随机变量 X 的分布函数
F (x)
o
x
4
一定是连续函数
例1 射手射击时，设目标靶是半径为20厘米的圆盘，以 X 表示 弹着点到圆盘中心的距离，射手击中以靶心为中心，以 X 为半径 的圆内的概率，与圆盘上以 X 为半径的同心圆的面积成正比， 设每次射击都能中靶，试求 X 的分布函数 F ( x )

P x X x x dx 1 2 f
x 2 x 1
三、连续型随机变量一般定义 四、连续型随机变量的常见分布
U ( a ,b ) 1、均匀分布 X~
1 , f x ba 0, a x b 其 它
2、指数分布
X ~ e .
13
练习 (柯西分布)设连续随机变量X 的分布函数为
F ( x ) A B arctan x , x . 求: (1)系数 A 及 B ; (2) 随机变量X 落在区间(-1,1)内的概率;
(3)随机变量X的概率密度.
解 (1) lim F ( x ) lim A B arctan x A B 0, x x 2 lim F ( x ) lim A B arctan x A B1 , x x 2 1 1 11 解得 A , B . F ( x ) arctan x , x . 2 2 1 1 1 1 1 (2) P . 1 X 1 F 1 F 1 2 4 2 4 2

2.4连续型随机变量的概率密度


λe −λx , x ≥ 0 ∴ f ( x) = 0 ,x <0
例6
已知随机变量X 已知随机变量X的概率密度为
0 ≤ x <1 x f ( x ) = 2 − x 1 ≤ x < 2 0 其他
1)求 的分布函数F(x), 1)求X的分布函数F(x), 解 由F ( x) = 2)求P{X∈ 2)求P{X∈(0.5,1.5)}
0
π
π
∴函数f ( x) = sin x不是某一随机变量ξ的分布密度函数.
(3)当x ∈ [0,3π / 2]时, ∵ f ( x) = sin x不满足非负性 ∴函数f ( x) = sin x不是某一随机变量ξ的分布密度函数.
例4.设随机变量ξ的分布密度为 A f ( x) = , (−∞ < x < +∞) 2 1+ x 求(1)常数A;(2)ξ的分布函数;(3) P(−1 ≤ ξ < 1)
∫
x
−∞
f ( x)dx,
x −∞
当x < 0时，F ( x) = ∫
f (u )du = ∫ 0du = 0,
0
x
x
当0 ≤ x < 1时，F ( x) = ∫
−∞
x2 f (u )du = ∫ udu = , 0 2
x
当1 ≤ x < 2时， x F ( x) = ∫ f (u)du = ∫ udu + ∫ (2 − u)du = 2x − −1 −∞ 0 1 2
∵ f ( x) = sin x ≥ 0;
且∫
π /2
0
sin xdx = − cos x |π / 2 = 1 0
∴函数f ( x) = sin x是某一随机变量ξ的分布密度函数.

概率2-3连续型随机变量及其概率密度-2



x
e
dt , x
概率论
( x)
( x )
概率论
7. 标准正态分布与一般正态分布的关系 定理1
X 若 X ~ N , , 则 Z ~ N 0 , 1 .
2
标准正态分布的重要性在于，任何一个一 般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准 正态分布.
概率论
例2 在一公共汽车站有甲、乙、丙 3人，分别等1、2、3路公交车，设 每人等车时间（分钟）都服从[0，5] 上的均匀分布，求3人中至少有2人 等车时间不超过2分钟的概率。
概率论
（II）指数分布 1. 含义：随机变量X描述对某一事件发生的 等待时间，各种不会变老的物品寿命。 2. 密度函数：若 r .v. X具有概率密度

x 2
2
Φ(x)
概率论
作业
58页，24，25，26，27，29，30
概率论
3σ准则
由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时， P{|X| ≤ 1}=2 Φ(1)-1=0.6826 P{|X| ≤ 2}=2 Φ(2)-1=0.9544 P{|X| ≤ 3}=2 Φ(3)-1=0.9974 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间
内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.
概率论
(2) X ~ N ( , 2 ), 求区间概率
X 若 X ~ N ( , ), 则 Y ~N(0,1)
2
P{ a X
a b Y } b} P{
b a ( ) ( )
概率论
例3 若 r. v. X～N(10,4),求 P{10<X<13}, P{│X-10│<2}. 例4 若 r. v. X～N(μ,σ2), P{X ≤ -1.6}=0.036， P{X ≤ 5.9}=0.758，求 P{X> 0}

2-4_连续型随机变量及其概率密度

第2.4节 连续型随机变量及密度函数
1
连续型随机变量及其概率密度
1.定义 定义
设 X 为随机变量 ， F ( x )为 X 的分布函数, 若存在 非负函数f ( x ), 使对于任意实数 x 有 F ( x) = ∫
x −∞
f (t ) d t ,
则称 X 为连续型随机变量, 其中 f ( x ) 称为 X 的概 率密度函数, 简称概率密度.
为离散型随机变量, 若 X 为离散型随机变量
{ X = a } 是不可能事件 ⇔ P{ X = a} = 0.
离 散 型
4
例1
设随机变量 X 具有概率密度
0 ≤ x < 3, kx, x f ( x) = 2 − , 3 ≤ x ≤ 4, 2 0, 其它. (1) 确定常数 k ; (2) 求 X 的分布函数; 7 (3) 求 P{1 < X ≤ }. 2
的正态分布或高斯分布, 记为
X ~ N ( µ , σ 2 ).
22
正态概率密度函数的几何特征
1 ( 2) 当x = µ时, p( x )取得最大值 ; 2 πσ
(1) 曲线关于 x = µ 对称;
(4) 曲线在 x = µ ± σ 处有拐点;
23
(3) 当 x → ±∞ 时, f ( x) → 0;
x 1 −θ k e , f ( x) = θ 0,
x ≥ 0, x < 0.
1 且已知 P{ X > 1} = , 试求常数 θ 2
10
例
设随机变量 X : 0, 2 F ( x) = Ax + B, 1, x ≤ 0, 0 p x ≤ 1, x > 1.
试求常数A，B以及密度函数f(x)。

连续型随机变量及其概率分布


解：由归一性可知
0Leabharlann 34xf ( x)dx 0dx kxdx (2 )dx 0dx
0
3
2
4
0 1 kx2 3 (2x 1 x2 ) 4 0 1
20
43
k1 6
二、分布函数与概率密度函数
二、分布函数与概率密度函数
二、分布函数与概率密度函数
0
例2
设连续型随机变量X
:
F
1、连续型随机变量与密度函数的概念
对于随机变量X，若存在非负可积函数f ( x)( x R)
使得随机变量X 取值任意区间 a, b的概率为
b
P(a X b) a f ( x)dx
则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度 函数，简称概率密度.
f(x) 几何定义
0a
x b
一、连续型随机变量及其密度函数
lim
x 0
x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是X 落
在区间 (x, x x] 上的概率与区间长度 x 之比的
极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x) 相当于
线密度.
二、分布函数与概率密度函数
6、连续型随机变量密度函数的意义.
f ( x) F ( x) lim P( x X x x)
x x
lim
f (t )dt 0
x0 x
由此可以得到如下结论：
由P(A)=0, 不能推出
由P(B)=1, 不能推出 B=S
二、分布函数与概率密度函数
4、连续型随机变量任意区间内的概率求法 由于连续型随机变量X ,x R, P( X x) 0 a, b R, a b P(a X b) P(a X b) P(a X b)
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连续型随机变量概率
【原创实用版】
目录
1.随机变量的概念与分类
2.连续型随机变量的定义与性质
3.连续型随机变量的概率密度函数
4.连续型随机变量的累积分布函数
5.随机变量的期望与方差
6.实际应用案例
正文
1.随机变量的概念与分类
在概率论中，随机变量是一种重要的概念，它是用来描述随机现象的数学工具。

根据随机变量的取值范围，可以将其分为离散型随机变量和连续型随机变量。

离散型随机变量的取值是有限或者可数的，比如掷骰子的点数、抽取一张扑克牌的花色等。

而连续型随机变量的取值是无限且连续的，比如某一时刻的气温、一个人的身高等。

2.连续型随机变量的定义与性质
连续型随机变量是指取值范围为实数集的随机变量。

其最基本的性质是连续性，即其取值在数轴上连续不断。

连续型随机变量的取值范围是无限的，因此不能一一列举其所有可能的取值。

为了描述其取值，需要引入概率密度函数和累积分布函数。

3.连续型随机变量的概率密度函数
概率密度函数（Probability Density Function，PDF）是描述连续
型随机变量取值的函数。

概率密度函数的值是变量落在某一区间内的概率。

概率密度函数具有以下性质：
（1）概率密度函数的值非负，即 pdf(x)≥0；
（2）概率密度函数在整个样本空间上的积分等于 1，即∫pdf(x)dx=1；
（3）概率密度函数在某一点的导数等于该点的概率密度函数的值，
即 f"(x)=pdf(x)。

4.连续型随机变量的累积分布函数
累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）是描述
连续型随机变量取值的另一种函数。

累积分布函数的值是变量落在某一区
间内的概率的累积。

累积分布函数具有以下性质：
（1）累积分布函数的值非负，即 F(x)≥0；
（2）累积分布函数在整个样本空间上的积分等于 1，即∫F(x)dx=1；
（3）累积分布函数是单调递增的，即随着 x 的增加，F(x) 的值也
递增。

5.随机变量的期望与方差
随机变量的期望是描述随机变量取值的平均水平，通常用数学期望（Expectation，E）表示。

对于连续型随机变量 X，其期望可以表示为
E(X)=∫xf(x)dx。

方差是描述随机变量取值偏离期望的程度，通常用方差（Variance，V）表示。

对于连续型随机变量 X，其方差可以表示为
V(X)=E(X^2)-(E(X))^2=∫x^2f(x)dx-(E(X))^2。

6.实际应用案例
连续型随机变量在实际应用中有广泛的应用，比如在物理学中，连续
型随机变量可以用来描述某个物理量的取值范围；在经济学中，连续型随
机变量可以用来描述某种商品的销售量等。