连续型随机变量
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连续型随机变量
连续型随机变量连续型随机变量是统计学中的一个重要概念，它指的是取值可以是一段连续的数值区间的随机变量。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量可以取无限个可能的取值，这对于处理实际问题中的测量数据非常有用。
一个典型的连续型随机变量可以是某个人的身高，身高可以是从0厘米到无穷大的任意一个数值。
这个身高的分布可以用一个概率密度函数来描述，例如正态分布。
这意味着大多数人的身高会集中在某一个区间，而在极端的身高上有较少的人。
连续型随机变量的概率密度函数有一些特殊的性质。
首先，概率密度函数必须非负且总体积为1，因为随机变量必然会取一个值。
其次，概率密度函数在某一个取值上的积分可以表示该随机变量小于或等于该值的概率。
以在一个公共汽车站等待下一辆公共汽车的时间为例。
假设公共汽车的到达时间是一个连续型随机变量。
这个随机变量可以取任意的非负数值，而且可能的取值范围是无限的。
如果我们对这个随机变量进行建模，可以使用指数分布来描述公共汽车的到达时间。
指数分布的概率密度函数非常有用，因为它可以很好地反映出公共汽车到达的随机性。
概率密度函数在某个时间点上的值表示了在这个时间点下等待公共汽车的概率。
通过计算概率密度函数在一个区间上的积分，我们可以得到在这个区间内等待公共汽车的概率。
连续型随机变量在统计学中有很多应用。
它们可以用于模拟实际问题中的随机变量，如股票价格、交通流量和天气变化等。
通过对连续型随机变量进行建模和分析，我们可以更好地理解随机现象，并做出相应的预测和决策。
总之，连续型随机变量是一种重要的概念，它可以描述取值在一段连续区间上的随机变量。
概率密度函数是描述连续型随机变量的常用工具，它可以帮助我们分析随机现象并做出相应的推断和决策。
通过数学建模和统计分析，我们可以更好地理解和应用连续型随机变量。
连续型随机变量是统计学中的一个重要概念，它指的是取值可以是一段连续的数值区间的随机变量。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量可以取无限个可能的取值，这对于处理实际问题中的测量数据非常有用。
3.3 连续型随机变量
cos x C
tan x C
cot x C
不定积分的基本公式
arcsin x C
arctan x C
sec x C
csc x C
练习：设随机变量X的概率密度函数为
2 1 x 2 , 1 x 1, f ( x ) 其它, 0,
2
即K 1 或 K 2 ,故事件“方程有实根”的概率 为
P({K 1} {K 2}) P( K 1) P( K 2)
1 3 0dx dx 5 5 2
1 5
2、指数分布(Index distribution )
定义2:设连续型随机变量X的概率密度函数为
三、几种重要的连续型随机变量
1、均匀分布(Uniform distribution)
定义1:设连续型随机变量X的概率密度函数为
1 , a x b, f ( x) b a 其他. 0,
则称X服从区间(a,b)上的均匀分布,记为 X ~ U (a, b).
x a, 0, xa 其分布函数为 F ( x) , a x b, b a x b. 1,
x0 0 2 Exe.1：设R.V.X的分布函数 F ( x) x 0 x 1 1 x 1 求概率密度函数。
0, x 0 x Exe.2：设R.V.X的分布函数 F (x) , 0 ≤ x T T 求概率密度函数。 1, T ≤ x
3. 概率密度函数与分布函数关系：※※
求常数 k。
练习1：设X为连续型R.V.，其密度函数为 1 2 x , 0 ≤ x 1, 2 f (x) 求常数a。 ax, 1 ≤ x 3, 0, 其他
tan x C
cot x C
不定积分的基本公式
arcsin x C
arctan x C
sec x C
csc x C
练习：设随机变量X的概率密度函数为
2 1 x 2 , 1 x 1, f ( x ) 其它, 0,
2
即K 1 或 K 2 ,故事件“方程有实根”的概率 为
P({K 1} {K 2}) P( K 1) P( K 2)
1 3 0dx dx 5 5 2
1 5
2、指数分布(Index distribution )
定义2:设连续型随机变量X的概率密度函数为
三、几种重要的连续型随机变量
1、均匀分布(Uniform distribution)
定义1:设连续型随机变量X的概率密度函数为
1 , a x b, f ( x) b a 其他. 0,
则称X服从区间(a,b)上的均匀分布,记为 X ~ U (a, b).
x a, 0, xa 其分布函数为 F ( x) , a x b, b a x b. 1,
x0 0 2 Exe.1：设R.V.X的分布函数 F ( x) x 0 x 1 1 x 1 求概率密度函数。
0, x 0 x Exe.2：设R.V.X的分布函数 F (x) , 0 ≤ x T T 求概率密度函数。 1, T ≤ x
3. 概率密度函数与分布函数关系：※※
求常数 k。
练习1：设X为连续型R.V.，其密度函数为 1 2 x , 0 ≤ x 1, 2 f (x) 求常数a。 ax, 1 ≤ x 3, 0, 其他
概率论连续型随机变量
概率论连续型随机变量概率论是数学的一个分支，主要研究随机现象的概率规律和统计规律。
在概率论中，随机变量是一种可以随机取不同值的变量。
连续型随机变量是指取值范围为连续的变量，其概率分布函数可以用密度函数来描述。
连续型随机变量的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是描述随机变量取值概率的函数。
对于一个连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下两个条件：1）f(x)≥0，对于所有的x；2）∫f(x)dx=1，即概率密度函数在整个取值范围上的积分等于1。
概率密度函数的性质决定了连续型随机变量的一些特点。
首先，连续型随机变量的概率是通过对其概率密度函数进行积分得到的。
例如，对于一个连续型随机变量X，其取值在[a,b]之间的概率可以表示为P(a≤X≤b)=∫f(x)dx。
其次，连续型随机变量的概率密度函数可以用来计算随机变量落在某个区间的概率。
例如，对于一个连续型随机变量X，可以计算P(X≥a)=∫f(x)dx。
对于连续型随机变量，我们也可以计算其期望值和方差。
连续型随机变量X的期望值E(X)表示随机变量的平均取值，可以通过对X乘以其概率密度函数f(x)后积分得到。
方差Var(X)表示随机变量取值的离散程度，可以通过计算E((X-E(X))^2)得到。
连续型随机变量常见的概率分布有正态分布、指数分布、均匀分布等。
其中，正态分布是最重要的连续型概率分布之一。
正态分布的概率密度函数是一个钟形曲线，其均值和标准差决定了曲线的位置和形状。
正态分布在自然界和社会科学中都有广泛的应用，如身高、体重、考试成绩等。
指数分布是描述事件发生时间间隔的概率分布。
指数分布的概率密度函数是单峰递减的曲线，其形状由参数λ决定。
指数分布在可靠性工程、排队论、风险分析等领域有广泛应用。
均匀分布是描述随机变量在一个区间内取值的概率分布。
均匀分布的概率密度函数是一个常数，区间内所有取值的概率相等。
连续型随机变量
例5 设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
解
P(0
X
1.6)
1.621
0
2
1
0.3 0.5
P380 附表3 0.3[10.5]
0.6179 [1 0.6915]
0.3094
Ch2-85
例6 已知X ~ N (2, 2 ) 且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
P(| X | a) 2 (a) 1
1x 2 3
Ch2-83
对一般的正态分布 ：X ~ N ( , 2)
其分布函数
F(x) 1
e dt x
(
t )2 2 2
2
作变量代换
s
t
F
(x)
x
P(a X b) F (b) F (a)
b
a
P(X a) 1 F(a)
1
a
Ch2-84
(x) 1
x t2
e 2 d t x
2
其值有专门的表供查.
Ch2-81
0.4 0.3 0.2 0.1
-3 -2 -1
123
(0) 0.5 (x) 1 (x)
P(| X | a) 2 (a) 1
Ch2-82
(x) 1(x)
0.4
0.3
0.2 0.1
-3 -2 -x -1
d
(c,d) (a,b), P(c X d)
1
dx dc
c ba ba
即 X 落在(a,b)内任何长为 d – c 的小区间的
概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正
比. 这正是几何概型的情形.
应用场合
进行大量数值计算时, 若在小数点后第 k 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作
解
P(0
X
1.6)
1.621
0
2
1
0.3 0.5
P380 附表3 0.3[10.5]
0.6179 [1 0.6915]
0.3094
Ch2-85
例6 已知X ~ N (2, 2 ) 且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
P(| X | a) 2 (a) 1
1x 2 3
Ch2-83
对一般的正态分布 ：X ~ N ( , 2)
其分布函数
F(x) 1
e dt x
(
t )2 2 2
2
作变量代换
s
t
F
(x)
x
P(a X b) F (b) F (a)
b
a
P(X a) 1 F(a)
1
a
Ch2-84
(x) 1
x t2
e 2 d t x
2
其值有专门的表供查.
Ch2-81
0.4 0.3 0.2 0.1
-3 -2 -1
123
(0) 0.5 (x) 1 (x)
P(| X | a) 2 (a) 1
Ch2-82
(x) 1(x)
0.4
0.3
0.2 0.1
-3 -2 -x -1
d
(c,d) (a,b), P(c X d)
1
dx dc
c ba ba
即 X 落在(a,b)内任何长为 d – c 的小区间的
概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正
比. 这正是几何概型的情形.
应用场合
进行大量数值计算时, 若在小数点后第 k 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作
连续型随机变量
(2) fX (x) 0, x (,)
(3) 在 fX (x) 的连续点处有 fX (x) F(x)
(4)
P{x1 X x2}
x2 x1
fX (t)dt
f(x)
.
0 x1
x2
x
图3-1 概率密度函数性质(4)的几何表示
例1 设连续型随机变量 X 的概率密度函数为：
0 x0
(1) (2)
概率论与数理统计
望存在，则
本性质在第四章再讨论
定义3.2 若广义积分
xk f (x)dx
绝对可积，称其收敛的值为连续型随机变量 X 的 k 阶原点矩，记作 E( X k )
定义3.3 若广义积分
(x E(X ))k f (x)dx
绝对可积，称其收敛的值为连续型随机变量 X 的 k 阶中心矩，记作 E(X E(X ))k
fX
(x)
dF(x) dx
lim
Δx 0
F(x
Δx) Δx
F ( x)
0
定理3.1 设 fX (x) 是连续型随机变量 X 的概
率密度函数，则 X 的分布函数可表示为：
x
F (x) - fX (t)dt
定理3.2 设 fX (x) 为连续型随机变量 X 的概
率密度，则有
(1) f X (t)dt 1
概率论与数理统计
一、连续型随机变量的概率密度函数
1、回顾连续型随机变量分布函数的性质。 2、离散型随机变量的分布率。 3、单调增连续函数的可导性如何？
定义：一个随机变量 X 的分布函数 F(x) 的
导数称为该随机变量的概率密度函数，
记作 fX (x)，也就是说
fX
(x)
常见的连续型随机变量
02 均匀分布
定义和性质
定义
均匀分布是一种连续型概率分布，在 概率论和统计学中，均匀分布也叫矩 形分布，它是对称概率分布，在相同 长度间隔的分布概率是等可能的。
性质
均匀分布具有等可能性、对称性、均 匀性等特点。其分布函数是一条斜线 ，概率密度函数是一个常数。
概率密度函数和分布函数
概率密度函数
均匀分布的概率密度函数是一个常 数，表示为f(x) = 1/(b-a)，其中a 和b是区间的端点，x属于[a, b]。
伽玛分布的概率密度函数具有指数函数和幂函数的乘积形式，形状 参数和尺度参数分别控制分布的形状和尺度。
性质
伽玛分布具有可加性，即多个独立同分布的伽玛随机变量的和仍然 服从伽玛分布。
贝塔分布
定义
贝塔分布是一种在[0,1]区间上的连续型概率分布，常用于描述比例、概率等随机变量的分布情况。
概率密度函数
贝塔分布的概率密度函数具有幂函数和Beta函数的乘积形式，形状参数控制分布的形状。
跨学科交叉融合
连续型随机变量的研究涉及数学、统 计学、计算机科学等多个学科领域。 未来，跨学科交叉融合将成为推动连 续型随机变量研究发展的重要趋势。 通过整合不同学科的优势和资源，我 们可以更深入地理解连续型随机变量 的本质和规律，为解决实际问题提供 更有效的手段和方法。
THANKS FOR WATCHING
均匀分布
在某一区间内，每个取值的可能性都 相等。
03
指数分布
描述某些随机事件发生的时间间隔的概率分 布，如放射性元素的衰变时间、电话交换台
的呼叫间隔时间等。
05
04
正态分布
一种钟形曲线分布，具有广泛的应用 背景，如自然和社会科学中的各种测 量误差、产品质量控制等。
概率论连续型随机变量
概率论连续型随机变量概率论是数学的一个分支，研究随机现象的数学模型和计算方法。
其中，连续型随机变量是概率论中重要的概念之一。
本文将介绍连续型随机变量的基本概念、特征以及相关的概率分布。
一、连续型随机变量的概念在概率论中，随机变量是指对随机现象结果的数值化描述。
连续型随机变量是指取值在某个区间内的随机变量。
与之相对的是离散型随机变量，其取值是有限个或可数个的。
连续型随机变量与离散型随机变量的主要区别在于其取值的特点。
连续型随机变量的取值可以是任意的实数，在某个区间内可以取无穷多个不同的值。
二、连续型随机变量的特征连续型随机变量的特征可以通过其概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）来描述。
PDF是描述连续型随机变量概率分布的函数，可以用来计算随机变量落在某个区间内的概率。
连续型随机变量的概率密度函数具有以下两个性质：1. 非负性：对于任意的实数x，概率密度函数f(x)大于等于0。
2. 归一性：连续型随机变量的概率密度函数在整个取值范围上的积分等于1。
三、连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布可以通过其概率密度函数来确定。
常见的连续型随机变量概率分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
1. 均匀分布：均匀分布是最简单的连续型随机变量概率分布之一。
在均匀分布中，随机变量在某个区间内的取值是等可能的。
均匀分布的概率密度函数是一个常数，表示在某个区间内的概率是相等的。
2. 正态分布：正态分布是最重要的连续型随机变量概率分布之一。
许多自然现象和实际问题都服从正态分布。
正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，具有对称性。
其均值和标准差决定了曲线的位置和形状。
3. 指数分布：指数分布是描述随机事件发生时间间隔的连续型随机变量概率分布。
指数分布的概率密度函数是一个指数函数，表示事件发生的概率随时间的推移而逐渐减小。
四、连续型随机变量的期望和方差连续型随机变量的期望和方差是衡量随机变量分布的重要指标。
连续型随机变量
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连续型随机变量
数学概念
目录
01 数学定义
02 概念辨析
连续型随机变量是指如果随机变量X的所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任一点 的随机变量。例如，一批电子元件的寿命、实际中常遇到的测量误差等都是连续型随机变量。
数学定义
对于随机变量X，若存在一个非负的可积函数f(x)，使得对任意实数x，有 则称X为连续性随机变量。其中f(x)为X的概率分布密度函数，简称概率密度记为。 相关性质 由定义可知， 3.对于任意两个实数（假设），都有： X取任一指定实数值的概率，,这样在计算连续性随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开 区间还是闭区间。 有 尽管，但并不是不可能事件。同样，一个事件的概率为1，并不意味这个事件一定发生。 当提到一个随机变量X的概率分布，指的是它的分布函数，当X是连续型时指的是它的概率密度，当X是离散 型时指的是它的列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。离 散型随机变量与连续型随机变量也是由随机变量取值范围（或说成取值的形式）确定，变量取值只能取离散型的 自然数，就是离散型随机变量。
实例 比如，一次掷20个硬币，k个硬币正面朝上， k是随机变量， k的取值只能是自然数0，1，2，…，20，而不能取小数3.5、无理数√20…… 因而k是离散型随机变量。 再比如，掷一个骰子，令X为掷出的结果，则只会有1,2,3,4,5,6这六种结果，而掷出3.3333是不可能的。 因而X也是离散型随机变量。 如果变量可以在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的，这随机变量就称为连续型随机变量。
连续型随机变量
分布函数 F(x)
定义： F(x) P X x
性质: 0≤F(x)≤1； F(-∞)=0 , F(+∞)=1。
应用：※ (1) P(a X b) F(b) F(a)
(2) P X c 1 F(c)
(3)P X d F(d)
定义：设函数 Biblioteka (x) 在区间 规定：上连续,
称此函数为 f (x) 在
性质1: 性质2: 性质3:积分可加性
二、概率密度函数的性质
由定义知,概率密度函数 f(x) 具有以下性质:
1.非负性：f (x) 0( x );
2.归一性： f (x)dx 1; [确定待定参数]※
例1：设随机变量X的概率密度函数为
0, x 0或x 1 f (x) kx, 0 x 1
教学重点：连续型随机变量概率密度函数的概念、性 质及其应用，概率密度函数与分布函数间的关系。
基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式
不定积分的基本公式
C
xC
1 x1 C ( 1)
1
ln | x | C
ex C
ax C
ln a
不定积分的基本公式
sin x C
cos x C
tan x C cot x C
f (x)dx 1
设有一克金,被碾成沿x轴分布的一片面积为1的金箔
1.概率密度函数的几何解释
[密度函数定义]
x
F (x) f (t)dt
[密度函数求区间概率]
b
P(a X b) f (x)dx a
2.零概率事件与不可能事件是一回事吗？
注: 连续型随机变量取某一确定值的概率为零. 即，不可能事件与零概率事件的关系：
连续型随机变量
连续型随机变量随机变量是概率论与数理统计中的重要概念，在实际问题中有着广泛的应用。
其中，连续型随机变量是一类特殊的随机变量，其取值可以在某个区间内连续变化，而不是离散的。
1. 连续型随机变量的定义连续型随机变量是指在某一区间内取值的随机变量。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量可以取区间内的任意一个值。
例如，一个人的身高可以被视为一个连续型随机变量，在一定范围内可以取到任意一个具体的数值。
2. 连续型随机变量的概率密度函数连续型随机变量的概率分布可以通过概率密度函数来描述。
概率密度函数表示的是随机变量在某个取值处的概率密度，而不是具体的概率。
对于连续型随机变量X，其概率密度函数可以用f(x)来表示。
3. 连续型随机变量的累积分布函数连续型随机变量的累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）表示的是随机变量X小于等于某个值的概率。
对于连续型随机变量X，其累积分布函数可以用F(x)来表示。
4. 连续型随机变量的特征连续型随机变量与离散型随机变量相比，具有一些独特的特征。
首先，连续型随机变量的概率密度函数在整个定义域上积分等于1，即∫f(x)dx=1。
其次，连续型随机变量的概率函数为0，即P(X=x)=0。
此外，连续型随机变量的期望值和方差可以通过积分计算得到。
5. 连续型随机变量的常见分布在实际问题中，有许多常见的连续型随机变量分布可供选择。
其中一些常见的连续型随机变量分布包括正态分布、均匀分布、指数分布等。
每种分布都有其特定的特征与应用场景。
6. 连续型随机变量的应用由于连续型随机变量的灵活性和广泛性，它在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在金融领域中，股票价格的变动、汇率的波动等都可以视为连续型随机变量。
在工程领域中，一些物理量如温度、流量等也可以看作是连续型随机变量。
总结：连续型随机变量是一类取值在某个区间内连续变化的随机变量。
它的概率分布可以通过概率密度函数来描述，并通过累积分布函数计算其概率。
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对两边求导得η与ξ 的概率密度间的关系为:
x
} F (
x
)
( x)
1
x
现在, 当 ξ服从标准正态分布时, 将其乘上一个正的常数 σ 再加上一个常数 μ, 得到的 随机变量就服从一般的正态分布 , 其概率密度为
( x)
1 2
2
x2 2
2
D
x
x x e 2 2
|
1 2
e
x2 2
dx 1
因此标准正态分布的数学期望为 0, 方差为 1. 一个一般定理, 如果 ξ~φξ(x), η=σx +μ, σ>0, 则 Eη=σEξ+μ, η的分布函数为
F ( x) P{ x} P{ x} P{
2
则I
2
e x dx e y dy
2 2
e
( x 2 y 2 )
dxdy
积分范围在整个平面，作极坐标变换，令 x r cos , y r sin , dxdy rdrd
2
上式=
0 0
r e rdrd 2
e
( x )2 2 2
如果随机变量ξ的概率密度函数为上式, 则记ξ~N(μ,σ2),
φ( x )
0
μ-σ
μ
μ-σ
x
φ0(x)
0
x
e x ( x) 0
x0 其它
它的图形如下图所示 :
e x
φ(x)λ
x
它的期望和方差如下计算:
E
x ( x)dx
xe
0
x xe dx 0
xd e
x 0
x
e
0 2
而知道了广义概率密度函数, ξ的概率密度函数就可以根据性质 将(1)式代入得:
( x)dx 1 , 求出
( x)dx af ( x)dx 1
则a
1
f ( x)dx
因此, 知道了广义概率密度函数就等于知道了一般的概率密度函数, 我们只需关心函数的形 状就可以了解概率密度的性质了 . 因此也不必关于那个常数是什么 . 4.4 指数分布 指数分布的概率密度函数为
4.6 正态分布 正态分布也叫高斯分布，是最常用 的一种分布，用来描述许多误差或者大 量随机变量之和的分布。 标准正态分布 在讨论正态分布之前，先讨论标准 正态分布。说随机变量 ξ 服从标准正态 分布，是指它的概率密度函数为
x2 2
φ0(x)
-1
0
1
0 ( x)
1 2
0
x
e
证明
( x)dx 1 如下：
0
( x)dx
x 2
1 2
e
x2 2
dx
令u
, dx 2du , 则
上式=
1
e
u 2
du
1
上式利用了普阿松广义积分公式 普阿松积分公式的证明：
e
x2
dx
假设 I
x e dx
1
x 0(r 0, 0) 其它
而真实的概率密度函数 φ(x)=af(x), 可以给出常数 a 由下式计算:
a
x
0
r 1 x
e
dx
这样, 计算的关键就是要计算广义积分
x
0
r
r 1 x
e
dx , 作代换 t=λx, 则 x=t/λ, dx=dt/λ,
则
x
那么就称ξ服从 Γ -分布了 . 上式中之所以要求 k>-1, λ>0, 是因为广义积分
f ( x)dx
x
0
k
e x dx
只有在这种条件下才收敛. 此外, 传统上为了方便起见, 用另一个常数 r=k+1, 因此广义概率密度函数写为
x r 1e x f ( x) 0
b
此外, Γ(1)=1, 因 (1)
t
0
11 t
e dt e t | 1
0
则 Γ(2)=Γ(1+1)=1, Γ(3)=2Γ(2)=2, Γ(4)=3Γ(3)=3· 2·1=3!，… 一般地有 (n 1) n! Γ-分布的数学期望和方差计算如下:
E
x
(r 1) t e dt t de
r t r 0 0
t
t e
r
t
|
0
e t dt r
0
rt
0
r 1 t
e dt r(r )
上式用到了定积分的分部积分公式 udv uv vdu
a a a
b
|
b
(r ) t r 1e t dt
0
因此, Γ 分布的概率密度函数的形式为
r r 1 x x e ( x ) ( r ) 0
记作ξ~Γ(λ,r)
x 0(r 0, 0) 其它
Γ 函数的一个重要性质是 (r 1) r(r ) (r>0)成立 证:
r x r 1e x ( x) (r 1)! 0
x0 其它
为 r 阶爱尔朗分布或称厄兰分布(Erlang), 在排队论中用到 , 如, 在接完一个电话之后又 接了 r 次电话所需要的时间, 在设备出了一次故障之后又出了 r 次故障的时间. 当 r=n/2(n 是正整数), λ=1/2 时,
2
1 r 2 e | 因此 I 0 2
由于 φ0(x)为偶函数 , 因此 Eξ=0,
D E
2
x2 2
e
x2 2
dx
利用定积分的分部积分公式 udv uv vdu
a a a
b
|
b
b
令v e
x2 2
, 则 dv xe
x de 2 2
0
r 1 x
e
t dx 0
r 1
e
t
1
dt
1
t
0
r 1 t
e dt ,
问题就转成怎样计算广义积分
t
0
r 1 t
e dt , 这个积分有一个参数 r>0, 在 r 为一些特定
的参数时, 如当 r=1 时, 上面的广义积分还是可以计算的, 但是当 r 为任意的正实数时, 此广
义积分就没有一般的公式 , 一般的原函数表达式. 在这种情况下数学家常用的办法就是定义 一个新的函数 . 比如说, 在中学学的三角函数就无法用一个加减乘除的公式表示, 因此就发 明了 sin, cos 这样的记号来代表三角函数. 同样 , 上面的广义积分的取值只依赖于参数 r, 每 给定一个 r 值就有一个积分值与之对应, 因此也可以定义一个函数, 叫 Γ-函数, 定义为
0
r
( r )
x r 1e x dx
x e ( r )
r 0
Hale Waihona Puke 1r x
d (x)
1 (r 1) r t r e t dt (r ) 0 (r ) E
2
x
0
2
r
( r )
x e
r 1 x
(x) r 1 x dx 2 e d (x) 0 ( r ) 1
2
E
2
2
2
1
2
1
2
指数分布常用来作为各种 "寿命 "分布的近似. 4.5 Γ-分布 如果一个随机变量 ξ 只取正值 , 且在正半轴的广义概率密度函数的形式是 x 的某次方 xk 乘上指数函数 e -λx, 即
x k e x f ( x) 0
x 0(k 1, 0) 其它
连续型随机变量
给出一个新概念：广义概率密度函数。 设连续型随机变量ξ 的概率密度函数为 φ(x), 那么任何与之成正比的函数 f(x)∝φ(x), 都叫做 ξ的广义概率密度函数, 或者说 , 一个函数 f(x)是 ξ的广义概率密度函数, 说明存在着一实 数 a, 使得 φ(x)=af(x) (1)
n x 1 1 2 2 x e n ( x ) 2 2 ( n ) 2 0
x0 其它
称为具有 n 个自由度的 χ2-分布 , 是数理统计中最重要的几个常用统计量之一 . 一个重要结论, 当有若干个参数 λ 都相同的相互独立的服从 Γ-分布的随机变量相加得到 新的随机变量, 则此新的随机变量也服从 Γ-分布 , 其 λ 参数仍然不变, 而 r 参数则是各个随 机变量的 r 参数相加 . 即如果 ξ1~Γ(λ,r1), ξ2~Γ(λ,r2),…,ξn~Γ(λ,rn)两两相互独立, 则 ξ=ξ1+ξ2+…+ξn~Γ(λ,r1+r2+…+rn) 此性质最常用到的地方, 就是当有 k 个相互独立的服从自由度为 n1,n 2,…,nk 的 χ 2-分布的 随机变量 ξ1,ξ2,…,ξk 相加得到的随机变量 ξ=ξ1+ξ2+…+ξk 服从自由度为 n=n 1+n2+…+nk 的 χ2分布
x
} F (
x
)
( x)
1
x
现在, 当 ξ服从标准正态分布时, 将其乘上一个正的常数 σ 再加上一个常数 μ, 得到的 随机变量就服从一般的正态分布 , 其概率密度为
( x)
1 2
2
x2 2
2
D
x
x x e 2 2
|
1 2
e
x2 2
dx 1
因此标准正态分布的数学期望为 0, 方差为 1. 一个一般定理, 如果 ξ~φξ(x), η=σx +μ, σ>0, 则 Eη=σEξ+μ, η的分布函数为
F ( x) P{ x} P{ x} P{
2
则I
2
e x dx e y dy
2 2
e
( x 2 y 2 )
dxdy
积分范围在整个平面，作极坐标变换，令 x r cos , y r sin , dxdy rdrd
2
上式=
0 0
r e rdrd 2
e
( x )2 2 2
如果随机变量ξ的概率密度函数为上式, 则记ξ~N(μ,σ2),
φ( x )
0
μ-σ
μ
μ-σ
x
φ0(x)
0
x
e x ( x) 0
x0 其它
它的图形如下图所示 :
e x
φ(x)λ
x
它的期望和方差如下计算:
E
x ( x)dx
xe
0
x xe dx 0
xd e
x 0
x
e
0 2
而知道了广义概率密度函数, ξ的概率密度函数就可以根据性质 将(1)式代入得:
( x)dx 1 , 求出
( x)dx af ( x)dx 1
则a
1
f ( x)dx
因此, 知道了广义概率密度函数就等于知道了一般的概率密度函数, 我们只需关心函数的形 状就可以了解概率密度的性质了 . 因此也不必关于那个常数是什么 . 4.4 指数分布 指数分布的概率密度函数为
4.6 正态分布 正态分布也叫高斯分布，是最常用 的一种分布，用来描述许多误差或者大 量随机变量之和的分布。 标准正态分布 在讨论正态分布之前，先讨论标准 正态分布。说随机变量 ξ 服从标准正态 分布，是指它的概率密度函数为
x2 2
φ0(x)
-1
0
1
0 ( x)
1 2
0
x
e
证明
( x)dx 1 如下：
0
( x)dx
x 2
1 2
e
x2 2
dx
令u
, dx 2du , 则
上式=
1
e
u 2
du
1
上式利用了普阿松广义积分公式 普阿松积分公式的证明：
e
x2
dx
假设 I
x e dx
1
x 0(r 0, 0) 其它
而真实的概率密度函数 φ(x)=af(x), 可以给出常数 a 由下式计算:
a
x
0
r 1 x
e
dx
这样, 计算的关键就是要计算广义积分
x
0
r
r 1 x
e
dx , 作代换 t=λx, 则 x=t/λ, dx=dt/λ,
则
x
那么就称ξ服从 Γ -分布了 . 上式中之所以要求 k>-1, λ>0, 是因为广义积分
f ( x)dx
x
0
k
e x dx
只有在这种条件下才收敛. 此外, 传统上为了方便起见, 用另一个常数 r=k+1, 因此广义概率密度函数写为
x r 1e x f ( x) 0
b
此外, Γ(1)=1, 因 (1)
t
0
11 t
e dt e t | 1
0
则 Γ(2)=Γ(1+1)=1, Γ(3)=2Γ(2)=2, Γ(4)=3Γ(3)=3· 2·1=3!，… 一般地有 (n 1) n! Γ-分布的数学期望和方差计算如下:
E
x
(r 1) t e dt t de
r t r 0 0
t
t e
r
t
|
0
e t dt r
0
rt
0
r 1 t
e dt r(r )
上式用到了定积分的分部积分公式 udv uv vdu
a a a
b
|
b
(r ) t r 1e t dt
0
因此, Γ 分布的概率密度函数的形式为
r r 1 x x e ( x ) ( r ) 0
记作ξ~Γ(λ,r)
x 0(r 0, 0) 其它
Γ 函数的一个重要性质是 (r 1) r(r ) (r>0)成立 证:
r x r 1e x ( x) (r 1)! 0
x0 其它
为 r 阶爱尔朗分布或称厄兰分布(Erlang), 在排队论中用到 , 如, 在接完一个电话之后又 接了 r 次电话所需要的时间, 在设备出了一次故障之后又出了 r 次故障的时间. 当 r=n/2(n 是正整数), λ=1/2 时,
2
1 r 2 e | 因此 I 0 2
由于 φ0(x)为偶函数 , 因此 Eξ=0,
D E
2
x2 2
e
x2 2
dx
利用定积分的分部积分公式 udv uv vdu
a a a
b
|
b
b
令v e
x2 2
, 则 dv xe
x de 2 2
0
r 1 x
e
t dx 0
r 1
e
t
1
dt
1
t
0
r 1 t
e dt ,
问题就转成怎样计算广义积分
t
0
r 1 t
e dt , 这个积分有一个参数 r>0, 在 r 为一些特定
的参数时, 如当 r=1 时, 上面的广义积分还是可以计算的, 但是当 r 为任意的正实数时, 此广
义积分就没有一般的公式 , 一般的原函数表达式. 在这种情况下数学家常用的办法就是定义 一个新的函数 . 比如说, 在中学学的三角函数就无法用一个加减乘除的公式表示, 因此就发 明了 sin, cos 这样的记号来代表三角函数. 同样 , 上面的广义积分的取值只依赖于参数 r, 每 给定一个 r 值就有一个积分值与之对应, 因此也可以定义一个函数, 叫 Γ-函数, 定义为
0
r
( r )
x r 1e x dx
x e ( r )
r 0
Hale Waihona Puke 1r x
d (x)
1 (r 1) r t r e t dt (r ) 0 (r ) E
2
x
0
2
r
( r )
x e
r 1 x
(x) r 1 x dx 2 e d (x) 0 ( r ) 1
2
E
2
2
2
1
2
1
2
指数分布常用来作为各种 "寿命 "分布的近似. 4.5 Γ-分布 如果一个随机变量 ξ 只取正值 , 且在正半轴的广义概率密度函数的形式是 x 的某次方 xk 乘上指数函数 e -λx, 即
x k e x f ( x) 0
x 0(k 1, 0) 其它
连续型随机变量
给出一个新概念：广义概率密度函数。 设连续型随机变量ξ 的概率密度函数为 φ(x), 那么任何与之成正比的函数 f(x)∝φ(x), 都叫做 ξ的广义概率密度函数, 或者说 , 一个函数 f(x)是 ξ的广义概率密度函数, 说明存在着一实 数 a, 使得 φ(x)=af(x) (1)
n x 1 1 2 2 x e n ( x ) 2 2 ( n ) 2 0
x0 其它
称为具有 n 个自由度的 χ2-分布 , 是数理统计中最重要的几个常用统计量之一 . 一个重要结论, 当有若干个参数 λ 都相同的相互独立的服从 Γ-分布的随机变量相加得到 新的随机变量, 则此新的随机变量也服从 Γ-分布 , 其 λ 参数仍然不变, 而 r 参数则是各个随 机变量的 r 参数相加 . 即如果 ξ1~Γ(λ,r1), ξ2~Γ(λ,r2),…,ξn~Γ(λ,rn)两两相互独立, 则 ξ=ξ1+ξ2+…+ξn~Γ(λ,r1+r2+…+rn) 此性质最常用到的地方, 就是当有 k 个相互独立的服从自由度为 n1,n 2,…,nk 的 χ 2-分布的 随机变量 ξ1,ξ2,…,ξk 相加得到的随机变量 ξ=ξ1+ξ2+…+ξk 服从自由度为 n=n 1+n2+…+nk 的 χ2分布