高三数学教案 圆的极坐标方程公式

圆的极坐标方程圆是平面坐标系中最常见的几何图形，它被广泛应用于工程、科学、艺术及实际生活中。

我们知道，圆的极坐标方程是用极坐标来描述圆的一种方法，它把圆的位置和形状表示为极坐标形式的函数，从而可以用极坐标有效地表示出整个平面坐标系中的圆。

圆的极坐标方程定义如下：圆心为原点(0,0)，圆半径为r，圆上任意一点(x,y)，则存在实数θ满足：x = rcosθy = rsinθ以上方程就是圆的极坐标方程，其中r表示圆的半径，θ表示圆上任意一点的极角，其中0≤θ≤2π，当极角θ发生变化时，对应的圆上任意点发生变化，这样就可以遍历整个圆的所有点。

此外，圆的极坐标方程也与平面坐标系有着密切的关系，假设圆上任意一点(x,y)，则其直角坐标可以根据圆的极坐标方程求出：x = rcosy = rsin则有：x = rcos=> x = rcos(arcos(x/r) )=> cos(arcos(x/r)) = x/ry = rsin=> y = rsin(arcsin(y/r))=> sin(arcsin(y/r)) = y/r所以，圆的极坐标方程中的实参θ可以由直角坐标中的实参x和y求出，即：θ = arctan ( y/x )从上面可以看出，当圆上任意一点的极角θ发生变化时，其直角坐标也会发生变化，这就是圆的极坐标方程与平面坐标系之间的密切联系。

另外，圆的极坐标方程也可以用来求解圆的面积及周长，假设圆半径r，则圆的面积为：S =r^2而圆的周长为：C = 2πr以上就是圆的极坐标方程的数学表示，从其可以看出，圆的极坐标方程既与平面坐标系有着密切联系，也可以用来求解圆的面积及周长，这一特性使得圆的极坐标方程在工程、科学、艺术及实际生活中得到了广泛应用。

总之，圆的极坐标方程是圆的一种表示方法，通过它，我们可以有效地把圆的位置和形状表示出来，而圆的极坐标方程又与平面坐标系有着密切联系，可以用来求解圆的面积及周长，这些优越的特性使得圆的极坐标方程得到广泛应用。

4.2.2圆的极坐标方程
学习目标：掌握圆的极坐标方程的推导方法及其结论，并能简单应用。

一、复习：
直线的极坐标方程的推导方法及其结论
二、引入
课本P28 2
三、建构
圆的极坐标方程：圆心),(00θρM ，半径r
特殊地：
（1）圆心在极点，半径r 的圆的极坐标方程是
（2）圆心在点M （r ，0），半径r 的圆的极坐标方程是
圆心在点)0,(r M -，半径r 的圆的极坐标方程是
（3）圆心在点)2,(π
r M ，半径r 的圆的极坐标方程是
圆心在点)2,
(π
r M -，半径r 的圆的极坐标方程是 x O
),(00θρM
例1、圆心的坐标为A （4，0），半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹方程。

练习：圆心的坐标为A （4，0），半径为4的圆中，求过极点的弦的三等分点的轨迹方程
变题：求圆心的坐标为)6,
4(πA ，半径为4的圆的极坐标方程。

比较与例1中已知圆的极坐标方程，有何联系？
例2、（课本P29 9）自极点O 作射线与4cos =θρ相交于点M ，在OM 上取一点P ，使得OM ·OP=12，求点P 的轨迹方程
四、课堂小结：
五、作业。

圆的极坐标方程教学设计教学目标：1.了解极坐标系的定义和基本特点；2.掌握圆的极坐标方程的推导方法；3.能够用极坐标方程描述圆。

教学内容：1.介绍极坐标系的定义和基本特点；2.解释如何用极坐标表示点的位置；3.推导圆的极坐标方程；4.给出一些实际问题，让学生应用极坐标方程描述圆。

教学步骤：步骤一：介绍极坐标系的定义和基本特点（10分钟）教师通过投影仪展示极坐标系的图像，解释其定义和基本特点。

说明极坐标系是由一个原点和一个极轴组成的，可以用角度和距离来表示点的位置。

步骤二：解释如何用极坐标表示点的位置（10分钟）教师通过示意图解释如何用极坐标表示点的位置，包括以极轴为参照，顺时针或逆时针方向的角度和与原点的距离。

步骤三：推导圆的极坐标方程（20分钟）1.教师引导学生思考如何用极坐标方程表示圆；2.教师提供一个已知条件，例如圆心为原点，半径为r；3.教师通过几何推导，由于圆是等距离于圆心的所有点的集合，可以推导出圆的极坐标方程为r=常数。

步骤四：完成一些练习题（20分钟）1.教师给出一些练习题，要求学生用极坐标方程表示圆，例如：a)半径为3的圆；b)圆心在(2,π/4)处，半径为4的圆。

2.学生独立完成练习题，并相互交流思路和答案。

步骤五：解答练习题并讲解（20分钟）1.教师解答学生的练习题，并解释答案的推导过程；2.教师引导学生思考和讨论，探究如何用极坐标方程描述特殊情况下的圆。

步骤六：应用极坐标方程描述圆的实际问题（20分钟）1.教师给出一些实际问题，要求学生用极坐标方程描述圆；2.学生独立或小组合作完成实际问题，并进行讨论。

步骤七：总结和评价（10分钟）教师总结本节课的重点内容并与学生互动交流，鼓励学生发表自己的观点。

教师可以提问学生如下问题：1.极坐标系有哪些特点？它有什么优势和应用领域？2.圆的极坐标方程是什么？如何推导出来的？3.你觉得极坐标方程对于描述圆形有什么优势或特殊应用？教学评价：1.教师对学生的课堂表现进行评价，包括是否积极参与讨论、对概念和推导过程的理解程度等。

圆的极坐标方程在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程$f(\rho,\theta)=0$，并且坐标适合方程$f(\rho,\theta)=0$的点都在曲线C上，那么方程$f(\rho,\theta)=0$叫做曲线C的极坐标方程。

对于圆的极坐标方程，有以下特殊情形：1) 圆心在极点(0,0)时，极坐标方程图形为$\rho=r$，其中$0\leq\theta<2\pi$。

2) 圆心在点$(r,0)$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\cos\theta$，其中$-\pi\leq\theta<\pi$。

3) 圆心在点$(r,\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\sin\theta$，其中$0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$。

4) 圆心在点$(r,\pi)$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\cos\theta$，其中$\pi\leq\theta<\frac{3\pi}{2}$。

5) 圆心在点$(r,-\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\sin\theta$，其中$-\frac{\pi}{2}<\theta\leq 0$。

对于一般情形，设圆心为C$(\rho,\theta)$，半径为$r$，M$(\rho,\theta)$为圆上任意一点，则$|CM|=r$，$\angleCOM=|\theta-\theta|$，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为$\rho^2-2\rho r\cos(\theta-\theta)+r^2=0$。

例如，极坐标方程$\rho=4$表示以极点为圆心，以4为半径的圆。

又例如，过极点且圆心为$(1,0)$的圆的极坐标方程为$\rho=2\cos\theta$。

极坐标方程$\rho=\cos\frac{\pi}{4}$表示以极点为圆心，以$\frac{1}{\sqrt{2}}$为半径的圆。

圆的极坐标方程说课稿一、教学目标通过本节课的学习，让学生了解并掌握圆的极坐标方程的概念和求解方法，培养学生对极坐标方程的应用能力，提高数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学准备1.教师准备笔记本电脑和投影仪；2.教师准备圆的极坐标方程的课件，包括概念讲解、例题演示和解题步骤等；3.学生准备纸和笔。

三、教学过程1. 引入教师用投影仪展示一个圆的图形，并提问学生是否知道如何描述这个圆的方程。

引导学生思考，提示学生回顾极坐标系的概念和极坐标方程的相关内容。

2. 讲解(1) 介绍极坐标系教师通过投影仪展示极坐标系的图像，简单介绍极坐标系的概念和极坐标的表示方法，并强调极角和极径的含义。

(2) 定义圆的极坐标方程教师给出圆的定义，并引入圆的极坐标方程的概念。

解释圆在极坐标系中的特点，即圆心为极点，半径为极径。

(3) 推导圆的极坐标方程教师通过数学推导的方式，解释圆的极坐标方程的推导过程。

首先，引入三角函数的关系，即 $x=r\\cos\\theta$ 和 $y=r\\sin\\theta$。

然后，将直角坐标转化为极坐标，得到 $x=r\\cos\\theta$ 和 $y=r\\sin\\theta$。

最后，将x和y代入圆的定义式x2+y2=r2，得到圆的极坐标方程r2=r2。

3. 案例演练教师提供一些圆的极坐标方程的案例，让学生通过实际操作来掌握圆的极坐标方程的求解方法。

教师可以引导学生按照以下步骤来解题：(1) 将极坐标方程的形式转化为直角坐标方程的形式通过使用三角函数的关系公式，将极坐标方程转化为直角坐标方程的形式。

(2) 求解直角坐标方程找到直角坐标方程对应的图形，并求解满足条件的解。

(3) 将解转化为极坐标方程将直角坐标方程的解转化为极坐标方程的形式。

4. 总结与拓展教师通过课件总结圆的极坐标方程的求解方法，并提醒学生注意圆的极坐标方程的特点。

引导学生分析圆的极坐标方程在实际问题中的应用。

四、课堂小结通过本节课的学习，我们了解了圆的极坐标方程的概念和求解方法。

极坐标圆的方程极坐标圆的方程极坐标是平面直角坐标系的一种表示方法，使用极径和极角来描述平面上的点。

极径指点到极点的距离，极角则是点在以极点为起点的射线与固定射线之间的角度。

极坐标的优势在于可以更方便地表示极坐标下的曲线，其中最基本的就是极坐标圆。

极坐标圆是一个以（0，0）点为圆心的圆，它的半径为r。

由于圆上任意一点的位置可以通过其极径r和极角θ来描述，所以极坐标下圆的方程为：r = a， a为圆的半径。

这个方程的基本思想就是通过给定的极径r和相应的极角θ，判断点是否在圆上。

一般来说，如果一个点的极坐标r和θ满足r = a，则说明该点在极坐标圆上。

圆形在极坐标系中的特征有很多，其中之一是圆图形的极坐标方程的对称性。

对于一个标准的圆形，可以通过任意的起始点，任意方向和极径的一半，确定圆心在极坐标中的值。

对于极坐标对称的圆，其极轴上的点可以是任意的。

图1另外，因为极坐标系中的坐标值只有一个r，所以极坐标圆也有其特殊的性质。

这些性质包括：1. 极坐标圆的方程函数是连续的，这意味着极坐标圆是连续的曲线。

2. 每个极坐标圆都有一个唯一的中心点，由于它们的半径不同，所以多个圆构成不同的图形。

3. 极坐标圆是同分布的，在所选起始点和方向上以半径的一半为间隔排布。

这也是极坐标系的优势。

4. 极坐标圆的中心到内圆弧的最大距离，等于半径。

这也是极坐标方程重要的特性，因为可以通过这样的特性，直接找到圆的半径。

图2在实际的应用中，极坐标圆可以用来表示长宽比一致的圆形，例如车轮、区域等等，还可以通过绘制圆弧、填充圆形来进行信息的可视化。

总之，极坐标圆是极坐标中最基本、最常用的图形之一，了解它的基本特性和方程，不仅可以帮助我们更好地绘制、理解和分析极坐标图形，而且可以为我们更好地应用极坐标提供迅速高效和实用的工具和方法。

5 圆的极坐标方程学习目标：1. 能写出不同位置的圆的极坐标方程，已知圆的极坐标方程，能在极坐标系中画出圆的图形；2. 会将圆的极坐标方程与圆的直角坐标方程互化. 学习重点：圆的极坐标方程的求法.学习难点：一般形式下圆的极坐标方程的推导. 学习过程： 一、课前准备阅读教材1213P P -的内容，并思考下面的问题：1．直角坐标系中，单位圆221x y +=在极坐标系中如何表示？ 答：1ρ=2．极坐标系中，圆心在极点，半径等于2的圆，能否用方程表示？ 答：可以，可以表示为2ρ=.二、新课导学： （一）新知：1. 已知圆C 的半径为a ，圆心在不同的位置上，试求出圆的极坐标方程.图3图2图1O设圆上的动点P 的坐标为(,)ρθ，（1）图1中，动点P 不论运动到什么位置，到极点的距离始终是a ，所以圆的极坐标方程是：a ρ=.（2）图2中，设圆与极轴交于点A ，在直角三角形OPA 中，cos 2aρθ=，即2cos a ρθ=，即为所求圆的极坐标方程.（3）图3中，设圆与垂直于极轴的直线交于点B ，则PBO θ∠=，在直角三角形PBO 中，sin 2PBO aρ∠=，即2sin a ρθ=，即为所求圆的极坐标方程.按照上面的思路，写出下面两种情况的圆的极坐标方程：图5图4（4）图4中，设直线OC 与圆交于点A ，则32POA πθ∠=-， 在Rt POA ∆中，3cos()22aρπθ-=，化简得2sin a ρθ=-，即为所求圆的方程. （5）图4中，设极轴的延长线与圆交于点A ，则POA πθ∠=-，在Rt POA ∆中，cos()ρπθ-=，化简得2cos a ρθ=-，即为所求圆的方程.（二）典型例题：【例1】已知圆心在)0,(a M ，半径为R ，试写出圆的极坐标方程． 【解析】设圆上动点P 的坐标为(,)ρθ，如图 ，在OPM ∆中，||OP ρ=，||PM R =，||OM a =，POM θ∠=，由余弦定理可得：222cos 2a R a ρθρ+-=，即 0cos 2222=-+-R a a θρρ.即为所求圆的极坐标方程.动动手：在圆心的极坐标为)0,4(A ，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹. 【解析】如图，设弦OP 的中点为(,)M ρθ，连MA ，在Rt AMO ∆中，cos 4ρθ=，所以，所求方程为4cos ρθ=.【例2】（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程， （2）化极坐标方程)3cos(6πθρ-= 为直角坐标方程.【解析】(1)由互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得：2222cossin 8sin 0ρθρθρθ+-=，因为ρ不恒为0，所以8sin ρθ=.(2) 将)3cos(6πθρ-=展开，得6cos cos 6sin sin 33ππρθθ=+，即3cos ρθθ=，两边同乘以ρ，得23cos sin ρρθθ= 将互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩及222x y ρ=+代入，得2230x y x +-=.动动手：(1) 化在直角坐标方程22240x y x y ++-=为极坐标方程， （2）化极坐标方程8sin()6πρθ=-为直角坐标方程.【解析】（1）根据互化公式，有22cos 4sin 0ρρθρθ+-=， 即：4sin 2cos ρθθ=-.(2) 将8sin()6πρθ=-展开，得8sin cos 6cos sin 66ππρθθ=-，即4cos ρθθ=-，两边同乘以ρ，得2sin 4cos ρθρθ=-将互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩及222x y ρ=+代入，得2240x y x ++-=.【例3】若圆心的坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的方程. 运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程.【解析】如图，设(,)P ρθ，因为),(00θρM ，所以0POM θθ∠=-（或0θθ-），||PO ρ=，0||MO ρ=，||PM r =， 在POM ∆中，由余弦定理，得2220002cos()r ρρρρθθ=+--，即所求的圆的极坐标方程为2220002cos()0r ρρρρθθ+---=.这是圆的极坐标方程的一般式，它可以推得任何特殊位置的圆的极坐标方程. 三、总结提升：1．求曲线的极坐标方程，就是建立以ρ、θ为变量的方程；类似于直角坐标系中的x 、y .求曲线的极坐标方程时，关键是找出动点所满足的几何条件，再运用三角运算、化简，得出极坐标方程.2.将极坐标方程与直角坐标方程互化，要注意互化公式的灵活运用，要注意互化前后两个方程的等价性.3.特殊位置的圆的极坐标方程比直角坐标方程简单，要会运用解三角形的方法求出圆的极坐标方程. 四、反馈练习：1.圆4sin ρθ=的圆心和半径分别是 （ B ） A ．(2,0)、2 B ．(2,)2π、2 C ． (2,)2π、4 D ．(2,)2π-、42.圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（ A ）A ．5(5,)3π B ．4(5,)3π C ．2(5,)3π D ．(5,)3π 3. 曲线的极坐标方程为1tan cos ρθθ=⋅，则曲线的直角坐标方程为2y x =.4. 极坐标方程分别为2cos ρθ=与2sin ρθ=的两个圆的圆心距为.5. 在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6,3(πC ，半径3=r ，求圆C 的极坐标方程.【解析】如图，6xOC π∠=，POx θ∠=，则6POC πθ∠=-（6πθ-），||3PC =，||3OC =，||OP ρ=， 在POC ∆中，由余弦定理，得222||||||2||||cos()6PC OP OC OP OC πθ=+--，即29923cos()6ρρρθ=+-⨯-，所以，所求方程为6cos()6πρθ=-.。

圆的极坐标方程及圆心半径的表示全集文档(可以直接使用，可编辑实用优质文档，欢迎下载）圆的极坐标方程及圆心、半径的表示圆心为C(00,θρ)，且半径为R的圆的极坐标方程是圆心在极点，半径为a(a>0)的圆的极坐标方程是ρ=a ．圆心在C(a , 0)(a>0)且过极点的圆的极坐标方程是ρ=2acosθ．圆心在（a,p ）（a>0）且过极点的圆的极坐标方程是r=-2acosq一．坐标表示的焦半径公式1、椭圆（一类）由代入整理得,同理，可以假想点P在y轴右边，且x>0 帮助，显然总有符合椭圆定义。

公式常见应用：（1）椭圆上点到焦点最远距离a+c,最近距离a-c（2）椭圆上三点A,B,C，若成等差数列，则到同一个焦点的焦半径也成等差数列。

（3）定义直线为椭圆的左右准线。

由焦半径公式，椭圆上任意一点P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比总等于离心率e.2. 双曲线由代入整理得,由双曲线上点,若点P在右支上，同理，.总有.若点P在左支上，同理，.总有.公示的应用：（1）若双曲线上同一支上的三点A,B,C，有成等差数列，则它们到同一个焦点的焦半径也成等差数列。

（2）定义直线为双曲线的左右准线。

由焦半径公式，双曲线上任意一点P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比总等于离心率e.3.抛物线公式的应用：抛物线上三点A,B,C，若，则。

二．圆锥曲线统一定义及方向角表示的焦半径公式1、统一定义：平面上到定点F与定直线l 距离之比等于常数e的点轨迹。

若0<e<1,轨迹为椭圆。

若e=1，则轨迹为抛物线。

若e>1，则轨迹为双曲线。

2.方向角焦半径公式（1）方向角定义如图：将Fx当始边，FM当终边所成角定义为点M的方向角。

方向角范围将焦准距离统一表示为P。

对于椭圆，双曲线(要求记忆)（2）公式：e:离心率，对于椭圆，双曲线，.（3）公式的应用：焦点弦长公式说明：（1）焦点弦长公式中，方向角以平方形式出现，不影响计算，可将方向角改为焦点弦和对称轴夹角：.（2）有对称性改为夹角，公式对椭圆，双曲线的左右焦点弦都成立。