人教版高中数学选修4-4 3圆和直线的极坐标方程元标准形式1

极坐标与参数方程面面观1、极坐标极坐标系（polar coordinates）是指在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。

在平面上取定一点O，称为极点。

从O出发引一条射线Ox，称为极轴。

再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。

这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。

阿基米德螺旋线rθ=玫瑰线2sin(4) rθ=双纽线r2=2a2cos2θ心形线极坐标中的直线一般方程a ρcos θ+b ρcos θ+c =0(θ为倾斜角)极坐标中的圆圆心在极点，半径为R ：ρ=R （θ任意）半径为R 的圆过（R,0）点：ρ=2Rcos θ.圆心(a ，α)半径为r ：r 2=ρ2+a 2−2a ρcos (α−θ)ρ^2-2R ρ(sin θ+cos θ)+R^2=0圆心在(a ，π2)处且过极点：ρ=2asin θ(θ∈[0，π]) 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep -=.（p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ）．当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.2、参数方程 定义：一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数't’的函数{x=f(t)，y=g(t)}并且对于't‘的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M （x,y)都在这条曲线上，那么上述方程则为这条曲线的参数方程，联系x ，y 的变数't‘叫做变参数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

（注意：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义和几何意义的变数，也可以是没有实际意义的变数）圆的参数方程它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数（θ∈ [0，2π) ） (a,b) 为圆心坐标，r 为圆半径。

人教版高中数学选修四目录相似三角形的判定及相关性质、直线与圆的位置关系、平面与圆柱面的交线、平面与圆锥面的交线、简单曲线的极坐标方程、简单曲线的极坐标方程是人教版高中数学选修课的四个知识。

人教版高中数学选修目录人教版数学选修4-1第一讲、相似三角形的判定及有关性质一、平行线等分线段定理二、平行线分线段成比例定理三、相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四、直角三角形的射影定理第二讲、直线与圆的位置关系一、圆周角定理二、圆内接四边形的性质与判定定理三、圆的切线的性质及判定定理四、弦切角的性质五、与圆有关的比例线段第三讲、圆锥曲线性质的探讨一、平行射影二、平面与圆柱面的截线三、平面与圆锥面的截线人教版选修4-4目录第一讲、坐标系一、平面直角坐标系二、极坐标系三、简单曲线的极坐标方程四、柱坐标系与球坐标系简介第二讲、参数方程一、曲线的参数方程二、圆锥曲线的参数方程三、直线的参数方程四、渐开线与摆线高中数学选修4-5目录第一讲、不等式和绝对值不等式一、不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二、绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲、讲明不等式的基本方法一、比较法二、综合法与分析法三、反证法与放缩法第三讲、柯西不等式与排序不等式一、二维形式柯西不等式二、一般形式的柯西不等式三、排序不等式第四讲、数学归纳法证明不等式一、数学归纳法二、用数学归纳法证明不等式必修、选修什么意思人教版必修1、2、3、4、5为所有学生必修，不分文理，将作为学业水平考试的考试内容和高考的必考内容。

1-1，1-2是选修一系列，文科生必学内容，高考的必考内容。

另外还有两个系列的选修课，理科生必修，高考必修。

考三四系列是选修系列，要根据各省情况选择学习。

高考的时候，你选的每一本书都会有一个问题，你可以从中选择一本。

必修系列和选修系列的区别在于，只有学业水平考试是必修的，而高考是全部。

1.3.1圆的极坐标方程1.3.2直线的极坐标方程在直角坐标系中,平面曲线C可以用方程表示,类似的,在极坐标系中,是否也可以用方程表示?),(yxf),(θρf新课导入教学目标知识与能力1.使同学们对简单曲线极坐标方程有更系统更完整的认识。

2.培养同学们认识极坐标方程的能力。

过程与方法情感态度与价值观1.培养学生学会从“感性认识”到。

“理性认识”过程中获取新知。

2.感知极坐标方程在现实中的应用。

1.从实际问题中感知极坐标方程。

2.进一步了解极坐标系在实际生活中的应用。

教学重难点重点难点1.理解圆的极坐标方程的概念。

2.圆的极坐标方程的求法。

3.直线和圆的极坐标方程。

1.将直角坐标方程化为极坐标方程。

2.曲线的极坐标方程。

探究半径为a 的圆的圆心半径为C （a,0）(a>0),你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 满足的条件吗？),(θρ。

x（a,0） o 。

),(θρM A ρθ圆经过极点O,设圆和极轴的 另一个交点是A ，那么|OA|=2a, 设 为圆上除点O 外，A 以外的任意一点，则OM AM,在 Rt 中, |OM|=|OA| ),(θρM ⊥AMO ∆MOA∠cos即θρcos=(1)2a等式(1)是圆上任意一点的极坐标满足的条件曲线的极坐标方程定义：如果曲线C上的点与方程f(ρ,θ)=0有如下关系(1)曲线C上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(ρ,θ)=0 ；(2)方程f(ρ,θ)=0的所有解为坐标，的点都在曲线Ｃ上，则曲线Ｃ的方程是f(ρ,θ)=0。

例1.已知圆O 的半径为r ，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？ 解：如果以圆心O 为极点,从O 出发的一条射线为极轴建立坐标系, 那么圆上各点的几何特征就是它们 的极径都等于半径r ，设 为 圆上任意一点，则|MO|=r,即),(θρM r=ρ1.求下列圆的极坐标方程(1)圆的中心在极点，半径为3, (2)中心在点A (a ,0)，半径为a, (3)中心在点(b,π/2)，半径为b,(4)中心在点B (ρ1,θ1)，半径为r 。

高中数学选修4­4坐标系与参数方程知识点总结第一讲一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系：①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y 轴或纵坐标轴，x 轴或y 轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y )之间可以建立一一对应关系．(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点为P2.微信公众号：学设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二极坐标系(1)定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．(3)图示2．极坐标(1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R )，若点M 的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M (ρ，θ＋2k π)，(k ∈Z )．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)．(1)极坐标化直角坐标＝ρcos θ，＝ρsin θＷ.(2)直角坐标化极坐标2＝x 2＋y 2，θ＝yx（x ≠0）.三简单曲线的极坐标方程1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表：微信公众号：学圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0)ρ＝r (0≤θ<2π)圆心在点(r ，0)ρ＝2r cos_θ(－π2≤θ<π2)圆心在点(r ，π2)ρ＝2r sin_θ(0≤θ<π)圆心在点(r ，π)ρ＝－2r cos_θ(π2≤θ<3π2)圆心在点(r ，3π2)ρ＝－2r sin_θ(－π<θ≤0)(2)一般情形：设圆心C (ρ0，θ0)，半径为r ，M (ρ，θ)为圆上任意一点，则|CM |＝r ，∠COM ＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0即)cos(2002022θθρρρρ--+=r 3．直线的极坐标方程00△OPM 中利用正弦定理可得直线l 的极坐标方程为ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)．微信公众号：学四柱坐标系与球坐标系简介（了解）1．柱坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组（ρ，θ，z ）(z ∈R )表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z ∈R ．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )x ＝ρcos θy ＝ρsin θz ＝z2．球坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ，这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示，这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)，叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间x＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θz ＝r cos φ．微信公众号：学第二讲：一曲线的参数方程1．参数方程的概念1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t的函数：＝f （t ）＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y＝f （t ）＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ，0)．(1)设M (x ，y )为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O 的参数微信公众号：学其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM 0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐3．参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b>0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为（x －h ）2a 2＋（y －k ）2b 2＝1，则其参数方程为φ是参数)．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．微信公众号：学(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝12．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．三直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线lt 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M ＝x 0＋t cos α＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)＝x 0＋at ＝y 0＋bt(t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）1．渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．微信公众号：学(2)半径为r 的圆所产生摆线的参数方程为φ是参数)．微信公众号：学。

第6节：常用曲线的极坐标方程（1）
教学目的：
知识目标：了解掌握极坐标系中直线和圆的方程；
能力目标：巩固求曲线方程的方法和步骤。

教学重点：求直线与圆的极坐标方程。

教学难点：求直线与圆的极坐标方程的方法和步骤。

授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
问题情境
情境1：3cos =θρ , 5=ρ, 2=θρsis , πθ4
3=分别表示什么曲线？ 情境2：上述方程分别表示了直线与圆，把这些直线与圆一般化，它们的方程分别是什么？
二、讲解新课：
1、若直线l 经过),(00θρM 且极轴到此直线的角为α，求直线l 的极坐标方程。

变式训练：直线l 经过)2,3(π
M 且该直线到极轴所成角为4
π，求此直线l 的极坐标方程。

把前面所讲特殊直线用此通式来验证。

2、若圆心的坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的方程。

运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程。

3、例题讲解
在圆心的极坐标为)0,4(A ，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹。

三、巩固与练习
在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6,
3(πC ，半径3=r ， （1）求圆C 的极坐标方程。

（2）若Q 点在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且2:3:=OP OQ ，求动点P 的轨迹方程。

四、小 结：
本节课学习了以下内容：求直线与圆的极坐标方程。

五、课后作业：。

圆的极坐标方程
我们已经知道，圆心在原点，半径为a 的圆(图)的直角坐标方程为222
x +y =a ．那么，它的极坐标方程是什么？
为求曲线的极坐标方程，首先要建立极坐标系，那么在这里怎样建立极坐标系呢？即极点和极轴应该怎样选取呢？
以直角坐标系的原点作为极点，Ox 轴的正半轴作为极轴建立极坐标系．当然在两种坐标系中取相同的单位长度。

下面我们来求圆222x +y =a 的极坐标方程．
设(),M ρθ为圆上任意一点，那么圆就是集合{}P=M | |OM|=a ．
将已知条件用极坐标表示，得=a ρ①这就是所求的圆的极坐标方程．
这里要注意：方程中不含θ，说明θ可取任何实数值．
我们从学生最熟悉的图形出发，让学生自己选择适当的极坐标系，活跃思维，有利于培养学生的发散性思维．
请同学们再来讨论几个问题．
求圆心是C(a ，0)，半径是a 的圆的极坐标方程．
我们要仔细审题，正确理解题意．
解 由已知条件，圆心在极轴上，圆经过极点O ，设圆和极轴的另一个交点是A(图2)．
设(),M ρθ是圆上任意一点，连结MA ，则OM AM ⊥，在直角三角形OMA 中可得
|OM|=|OA|cos θ．又|OM|=ρ，|OA|=2a ，=2acos ρθ．②
这就是所求的圆的极坐标方程．
在求曲线的极坐标方程时，所取的动点(),M ρθ要具有任意性，找出用已知条件表示成ρ、θ之间的关系式是关键．本例与前面所解的都是半径为a 的圆，由于选择了不同的坐标系，因而所得极坐标方程形式也不同．如果再建立不同的坐标系，那么它们的极坐标方程形式也会不同吗？
从下面的练习我们可更清楚地看到这一点．
练习：根据图3所给出的条件，求下列圆的极坐标方程：(半径为a)。