第2章复习课 圆

图 2－2
【解析】 ∵∠C＝90°，AC＝ 6 cm ， BC＝8 cm ， ∴AB ＝ AC2＋BC2＝ 62＋82＝ 10(cm)． 设 AB 边上的高为 h ，则 AB ·h ＝ AC·BC， 6×8 ∴h ＝ ＝4.8(cm)． 10 (1)当 r＝4 cm 时，d >r，此时 AB 与⊙C 相离． (2)当 r＝4.8 cm 时，d＝r，此时 AB 与⊙C 相切． (3)当 r＝6 cm 时，d<r，此时 AB 与⊙C 相交．
知识梳理
专题讲练
一、直线与圆的位置关系
【精选题 1】 ⊙O 的半径为 R，点 O 到直线 l 的距离为 d.已知 R，d 是方程 x2－8x＋n＝0 的两根，当直线 l 与⊙O 相切时，n 的值为_________．
【解析】 ∵R，d 是方程 x2－8x＋n＝0 的两根，且直线 l 与⊙O 相切，∴d＝R， ∴方程有两个相等的实根， ∴Δ＝64－4n＝0，解得 n＝16.
要点点拨
1．判定一条直线为圆的切线主要有三种方法： (1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线． (2) 圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切 线． (3) 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 切线． 2． 对于切线的性质的掌握可归纳为三个条件： ①过圆心； ②过切点；③垂直于切线．事实上，只要知道其中两 个性质，就可以推出第三个． 3．连结过切点的半径是常用的辅助线．
③连结 AC.∵PC＝BC，∴∠CPB＝∠CBP. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. 在△PCO 和△BCA 中， ∵∠CPO＝∠CBA，PC＝BC，∠PCO＝∠BCA， ∴△PCO≌△BCA(ASA)． ∴OP＝AB，故此结论正确． ④∵△PCO≌△BCA，∴CO＝CA＝AO， ∴△OAC 是等边三角形，∴∠ACO＝60°， ∴∠OCB＝30°，∴∠PCB＝90°＋∠OCB＝120°. ∵四边形 PCBD 是菱形， ∴∠PDB＝∠PCB＝120°，故此结论正确． 综上所述，正确的个数是 4.
要点点拨
1．判断直线与圆的位置关系的关键是求出圆心到直线的 距离，再与半径比较：直线与圆相离⇔ d>r；直线与 圆相切⇔d＝r；直线与圆相交⇔d<r. 2．有些问题中，要看清所给条件是半径还是直径，判断 的是图形的边与圆的关系还是图形的边所在的直线 与圆的关系．
二、切线的判定与性质
【精选题 4】 (泰安中考)如图 23，P 为⊙O 的直径 BA 延长线上的一 点，PC 与⊙O 相切，切点为 C， D 是⊙O 上一点，连结 PD.已知 PC＝PD＝BC， 有下列结论： ①PD 图 23 与⊙O 相切； ②四边形 PCBD 是菱 形；③OP＝AB；④∠PDB＝120° .其中正确的个数是 ( ) A．4 B．3 C．2 D．1
【精选题 11】 一块三角形空地如图 2－ 10 所示，现要在空地上设计一个圆形 的花坛，并且要使花坛的面积最大， 你能设计出来吗？试试看．
【解析】 要使花坛的面积最大，则花坛 必须与三角形的三边相切，即作△ABC 的 图210 内切圆． (1)作△ABC 的内角∠A，∠C 的平分线，两条角平分线 相交于点 O.
四、三角形的内切圆
【精选题 10】 如图 2­9，向等边三角形 ABC 内掷 小石子，小石子落在△ABC 中的每一个点都是 等可能的，则该小石子落在△ABC 的内切圆中 的概率是 ．
【解析】 设 ⊙O 与 BC 边相切于点 H，连结 CO，HO. 图 2­9 易得 OH ⊥BC，BH ＝CH ，∠OCH ＝30°.设 BC＝2x ，则 CH＝x . 3 x 2 πx 2 3 ∴HO＝CH ·tan 30°＝ x .∴S ⊙O＝π 3 ＝ . 3 3 1 ∵△ABC 的高为 2x ·sin 60°＝ 3x ，∴ S △ABC＝ ×2x · 3x ＝ 3x 2. 2 πx 2 3π ∴该小石子落在 △ABC 的内切圆中的概率是 3 ＝ . 9 2 3x 3π 【答案】 9
【答案】
16
【精选题 2】 如图 2－ 1， 在 Rt △ ABC 中，∠ C＝ 90 °，∠ A ＝ 30°，斜 边 AB ＝ 8 cm.以点 C 为圆心，r 为 半径作圆． 图2－1 (1)当⊙C 与 AB 所在直线没有交点时，r 的取值范围 为 ． (2)当⊙C 与 AB 所在直线只有一个交点时，r 的取值 范围为 ． (3)当⊙C 与 AB 所在直线有两个交点时，r 的取值范 围为 ．
三、切线长及切线长定理
【精选题 7】 如图 2­6，PA，PB 是⊙O 的 切线， A， B 为切点， AC 是⊙O 的直径． 若 ∠P ＝ 60 ° ， OA ＝ 2 ， 则 ∠BAC ＝ ，AB＝ ．
图26
【解析】 ∵PA，PB 是⊙O 的切线， ∴PA＝PB ，∠PAC＝90°. 又∵∠APB＝60°，∴△APB 是等边三角形， ∴AB＝AP，∠PAB ＝60°.
∴∠BAC＝∠PAC－∠PAB＝90°－60°＝30°. 连结 OP，则∠APO＝∠BPO＝30°. 在 Rt △AOP 中，∵OA ＝2，∠APO＝30°，∴OP＝4. 由勾股定理，得 AP＝ OP2－OA2＝2 3.∴AB＝AP＝2 3.
【答案】 30° 2 3
【精选题 8】 如图 27，已知 AB 为⊙O 的直径，PA，PC 是⊙O 的切线，A， C 为切点，∠BAC＝30°. (1)求∠P 的大小． (2)若 AB＝2，求 PA 的长(结果保留根号)．
图27 【解析】 (1)∵ PA 是⊙O 的切线， AB 为⊙O 的直径，∴PA⊥AB ，即∠ BAP ＝90°， ∴∠CAP ＝90°－∠BAC＝60°. 又∵PA，PC 切⊙O 于点 A ，C，∴PA＝PC. ∴△PAC 为等边三角形．∴∠ P＝60°.
(2)连结 BC，则∠ACB＝90°. 在 Rt△ACB 中，∵AB＝2，∠BAC＝30°， ∴AC＝AB· cos∠BAC＝2cos 30°＝ 3. ∵△PAC 为等边三角形，∴PA＝AC＝ 3.
【精选题 9】 如图 28，在△ABC 中， ∠B＝90°，O 是 AB 上一点，以点 O 为圆心，OB 长为半径的圆与 AB 交于点 E， 与 AC 相切于点 D， 直线 ED 交 BC 的延长线于点 F. (1)求证：BC＝FC. (2)若 AD∶AE＝2∶1，求 tan F 的值．
图28
【解】 (1)连结 BD . ∵BE 为⊙ O 的直径，∴∠ BDE ＝ 90°， ∴∠ EBD ＝ 90°－ ∠BED . ∵∠ EBF ＝90°， ∴∠ F ＝90°－∠ BEF .∴∠ F ＝ ∠EBD . ∵AC 切⊙ O 于点 D，∴∠ EBD＝ ∠ADE ＝∠CDF . ∴∠ F ＝ ∠CDF .∴DC＝ FC. ∵OB ⊥ BC， ∴BC 是⊙O 的切线， ∴ DC＝ BC.∴ BC＝FC .
(2)在 △ADE 和△ ABD 中， ∵∠ A ＝ ∠A ，∠ ADE ＝ ∠ABD， DE AE 1 ∴△ ADE ∽△ ABD.∴ ＝ ＝ . BD AD 2 又∵∠F ＝∠ EBD ， DE 1 ∴tan F ＝ tan ∠ EBD ＝ ＝ . BD 2
要点点拨
1．过圆外一点向圆作切线有两条． 2．对于切线长定理，应明确以下几点：(1)若已知圆的两 条切线相交， 则切线长相等； (2)若已知两条切线平行， 则圆上两个切点的连线为直径； (3)经过圆外一点引圆 的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形； (4)经过圆外一点引圆的两条切线， 切线的夹角与过切 点的两条半径的夹角互补； (5)圆外一点与圆心的连线 平分过这点向圆引的两条切线所夹的角． 3．连结过切点的半径是常添的辅助线．
1 (2)∵ CD＝ 2， S △CQD＝ ， 2 1 ∴CD 上的高线长为 . 2 点 Q 的位置如解图①所示，共四 种情况．
2 3. 3
(3)如解图②， 过点 Q 作 QN ⊥AD 于点 N ， 过点 P 作 PM ⊥AD 于点 M . 1 由(2)可知 QN ＝ . 2 ∵CQ⊥QD，QN ⊥CD，∴ QN 2＝CN ·DN . 1 设 CN ＝x ，则 DN ＝2－ x ，∴x (2－x )＝ ， 4 2－ 3 2＋ 3 解得 x 1＝ ， x 2＝ . 2 2 2＋ 3 CN ∵CQ＞QD，∴CN ＝ ，∴ ＝2＋ 3. QN 2 CM CN 易证△PMC∽△QNC ，∴ ＝ ＝2＋ 3，∴CM ＝ (2＋ 3)PM . PM QN 在 Rt △AMP 中，易得 AM ＝ 3PM . ∵AM ＋ CM ＝AC＝1，∴ 3PM ＋(2＋ 3)PM ＝1， ∴PM ＝ 3－1 3－1 ，∴AP＝ 2PM ＝ . 4 2
【解析】 过点 C 作 CD ⊥AB 于点 D. 在 Rt △ABC 中， ∵∠ACB ＝90°， ∠A ＝30°， 1 ∴BC ＝ AB ＝4 cm. 2
（精选题2解）
在 Rt △CDB 中，∵∠ CDB ＝90°，∠B ＝60°， ∴CD ＝ BC·sin B ＝2 3(cm)． (1)当⊙C 与 AB 所在直线没有交点时，0 cm<r<2 3 cm. (2)当⊙C 与 AB 所在直线只有一个交点时，r＝2 3 cm. (3)当⊙C 与 AB 所在直线相交有两个交点时，r>2 3 cm.
【答案】知 AB 是⊙O 的直径， BC 是⊙O 的切线， 切点为 B， OC 平行于弦 AD.求证：CD 是⊙O 的 切线． 【解析】 连结 OD. 图24 ∵OC∥AD， ∴∠BOC＝∠OAD，∠DOC＝∠ODA. ∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA. ∴∠BOC＝∠DOC. 又∵OD＝OB，OC＝OC，∴△DOC≌△BOC(SAS)． ∴∠CDO＝∠CBO. ∵AB 是直径，BC 是切线，∴∠CBO＝90°. ∴∠CDO＝90°，即 CD⊥OD.∴CD 是⊙O 的切线．
图 2－ 5 1 (3)当△CQD 的面积为 ，且点 Q 位于以 CD 为直径的上半圆上， 2 CQ＞QD 时(如图 2－5②)，求 AP 的长．