苏科版 九年级上册 第2章 对称图形——圆有关的知识点

第二章《对称图形—圆》小结与复习（2）康进成一、知识梳理（四）直线与圆相切（1）圆的切线的性质:（2）圆的切线的判定方法:①切线的定义②d=r ③切线的判定定理（3）切线长定理:注：常作辅助线4：（1）在已知切线时，常作过切点的半径.应用切线的性质定理解决问题.（2）在证明切线，直线与圆的公共点又不确定时，常过圆心作垂直于这条直线的垂线段，证明d=r 解决问题.（3）在证明切线，直线与圆的公共点已确定时，常作过这点的作半径. 应用切线的判定定理解决问题.基础练习：1、已知⊙O的直径为12cm，圆心O到直线上一点的距离为6cm，则直线与⊙O的公共点的个数为（）A．1 B．0或1 C．1或2 D．0或22、如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（）A．10 B．9 C．8 D．53、如图，⊙M与x轴相交于点A（2，0），B（8，0），与y轴相切于点C，则圆心M•的坐标是_______．4、如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，则∠D=．（五）、三角形的外接圆和内切圆1、三角形的外接圆、内切圆的定义、画法.2、外心、内心的性质：（1）三角形的外心是_________________________的交点，到____________________距离相等.（2）三角形的内心是_________________________的交点，到____________________距离相等.3、外心、内心性质的应用(与圆心角、圆周角相结合)4、求外接圆和内切圆的半径（1）在△ABC中，三边对应为a、b、c，则内切圆的半径为：2Sra b c∆=++（2）在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边对应为a 、b 、c ，则外接圆的半径为：2c r =，内切圆的半径为：ab r a b c =++或2a b c r +-= 5、基本图形及结论:（1）如图1，点O 为△ABC 的外心，则∠BOC=2∠A（2）如图2，点O 为△ABC 的内心，则∠BOC=90°+21∠A （3）如图3，点O 为△ABC 的内心，M 为⊙0上一动点（与DF 不重合），则①∠DOF=180°-∠A ②∠DMF =90°-21∠A 或∠DMF =90°+21∠A6、圆的内接四边形、外切四边形的性质（1）圆的内接四边形的对角互补；（2）圆的外切四边形的对边和相等.7、正多边形与圆（1）正多边形的定义、画法、轴对称性、中心对称性（边数是奇数或偶数）.（2）正多边形的外接圆、中心、半径的定义.（3）用直尺和圆规画一些特殊的正多边形：正方形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形等.（4）、三个常见的正多边形：正三角形、正方形、正六边形、其中正六边形的半径和边长相等. 注：常作辅助线5：作正多边形的半径、边心距，和正多边形的边构成直角三角形解决.基础练习：1、钝角三角形的外心在三角（ ）．A ．内部B ．一边上C ．外部D ．可能在内部也可能在外部2、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )．A ．多边形；B ．边数为奇数的正多边形；C ．正多边形；D ．边数为偶数的正多边形． 3、已知直角三角形两直角边长为5、12，则它的外接圆半径R ＝ ，内切圆半径r ＝ ．4、下列命题中，正确的说法有_________________（填序号）.①正多边形的各边相等；②各边相等的多边形是正多边形；③正多边形的各角相等；④各角相等的多边形是正多边形；⑤既是轴对称图形，又是中心对称的多边形是正多边形.5、正十二边形的每一个外角为°，每一个内角是°， 该图形绕其中心至少旋转°和本身重合．（六）弧长和扇形的面积1、圆周长和弧长公式（1）圆周长公式:；（2）弧长公式：.2、扇形的面积E（1）圆面积公式：.（2）扇形面积公式：①；②.（七）圆锥的侧面积和全面积1、圆锥的侧面展开图是，这个的弧长就是圆锥的，半径是这个圆锥的.2、圆锥的轴截面是。

图2 圆知识点1 圆的有关概念（1） 圆心和半径：圆心确定位置，半径确定大小。

等圆或同圆的半径都相等。

（2） 弦：圆上任意两点之间的线段。

直径是圆中最长的弦。

（3） 弧：圆上任意两点之间的部分。

完全重合的弧叫做等弧（强调度数相等且长度相等）（4） 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。

（5） 经过不在同一条直线上的三个点唯一确定一个圆。

【常作辅助线1】连接圆心和圆上的点，形成半径。

1．如图1，四边形PAOB 是扇形OMN 的内接矩形，顶点P 在 MN⌒上，且不与M N ，重合，当P 点在MN⌒上移动时，矩形PAOB 的形状、大小随之变化，则AB 的长度（ ） Ａ．变大 Ｂ．变小 Ｃ．不变 Ｄ．不能确定2．如图2，AB 为⊙O 直径，点C 、D 在⊙O 上，已知∠BOC ＝70°，AD ∥OC ，则∠AOD ＝__________．3．如图AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 与CD 的延长线交于点E ，且AB ＝2DE ，∠E ＝18°，求 ∠AOC 的度数。

知识点2 圆的有关性质（1）圆是中心对称图形，也是轴对称图形。

(2) 弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。

(3)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，也平分弦所对的优弧和劣弧。

(4) 圆周角的性质：① 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半②直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

【解题方法1】半径、弦长、弓高、圆心到弦的距离这四个量的关系是只要知道其中的两个就能求出另两个。

【解题方法2】当弦长=R 时，弦所对的圆心角=60°, 当弦长=R 2时，弦所对的圆心角=90°当弦长=R 3时，弦所对的圆心角=120°，一条弦所对的圆周角中，同侧相等，异侧互补。

九年级上册数学圆知识点苏科版九年级上册数学圆知识点数学中的圆是一个经典的几何形状，它在生活和科学中有着广泛的应用。

在九年级上册数学课程中，我们将学习有关圆的一系列知识点，包括圆的定义、圆心角、弧长和扇形面积的计算等内容。

下面将逐一介绍这些知识点。

一、圆的定义圆是由平面上所有到一个固定点距离相等的点构成的图形。

这个固定点称为圆心，到圆心距离相等的点称为圆上的点，这个相等的距离称为半径。

圆通常用大写字母O来表示圆心，用小写字母r来表示半径。

圆可以通过圆心和半径来描述，也可以通过圆心和圆上的两点来描述。

二、圆心角和弧度制圆心角是以圆心为顶点的角，它所对的弧称为圆心角所对的弧。

当圆心角的两边的长度相等时，我们称之为等弧。

圆心角的大小可以用度数来表示，也可以用弧度制来表示。

我们知道，在一个完整的圆内，一个圆心角的度数是360°。

而弧度制中，一个完整的圆对应的弧度数是2π。

三、弧长的计算弧是圆上的一段曲线，弧长是弧曲线的长度。

圆的弧长公式是L = 2πr，其中L表示弧长，r表示半径。

这个公式的推导可以通过圆周长公式C = 2πr来得到。

如果我们知道圆心角所对的弧的度数，也可以利用角度和圆的周长比例关系来计算弧长。

四、扇形的面积计算扇形是以圆心角为顶角的三角形，它的底边是圆上的一段弧。

扇形的面积可以通过圆心角的度数与圆面积的比例来计算。

设圆的半径为r，圆心角的度数为α，圆的面积为S。

那么扇形的面积可以用公式A = (α/360°) * πr²来表示。

我们可以看出，扇形的面积与圆的面积成正比。

五、切线和切点切线是与圆相切且只与圆相交于切点的直线。

切点是切线与圆相交的点，它在这个交点处垂直于切线。

圆有无数个切线，每个切点所对的切线都垂直于半径，垂直于半径的直线被称为半径的垂线。

六、相交弧和相交角当两个圆相交时，它们会形成两个相交的弧，这两个弧的长度加起来等于圆周上的一段弧。

相交弧所对的相交角是两个圆心角的度数之和。

【文库独家】第2章 对称图形-圆章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

九年级数学苏科版圆知识点圆在数学中是一个非常重要的概念，几乎贯穿了中学数学的整个课程。

九年级的学生们已经接触过很多与圆相关的知识，包括圆的定义、性质、定理等。

在本文中，我将为大家综述一些九年级数学苏科版中与圆相关的知识点。

首先，让我们回顾一下圆的定义。

圆是指平面上所有到一个固定点距离相等的点的轨迹。

这个固定点叫做圆心，到圆心的距离叫做半径。

半径等长的两条线段叫做圆的直径，它们的长度是圆的半径的两倍。

圆的周长等于直径与圆周率的乘积，而圆的面积等于半径的平方与圆周率的乘积。

在九年级的数学课程中，我们主要学习了一些与圆的性质相关的定理。

其中，最重要的定理之一是圆的切线定理。

圆的切线定理告诉我们，如果一条直线与圆的某一点相交，并且与通过该点的半径垂直相交，那么这条直线就是圆的切线。

根据圆的切线定理，我们可以得出一些有关切线的性质，比如切线与半径的垂直关系，以及切线与切线之间的夹角关系等。

九年级的数学课程还涉及到了与圆的位置关系相关的知识点。

其中，最常见的是判定两个圆的位置关系。

当两个圆的圆心之间的距离大于它们的半径之和时，这两个圆是相离的；当两个圆的圆心之间的距离等于它们的半径之和时，这两个圆是外切的；当两个圆的圆心之间的距离等于它们的半径之差时，这两个圆是内切的；当两个圆的圆心之间的距离小于它们的半径之差时，这两个圆是相交的。

另外，九年级的数学课程中还包括了与圆相关的一些解题方法。

比如求两条切线的夹角，可以利用切线与切线之间的夹角定理来解题；求切线与圆之间的交点，可以利用切线与半径的垂直关系来解题；求传统几何问题中的圆，可以利用一些已知条件，如垂直关系、相似关系、三角形的角度关系等来解题。

在这篇文章中，我只是简单地介绍了一些与九年级数学苏科版中的圆相关的知识点。

实际上，圆的知识非常广泛且深入，还包括了圆锥曲线、圆的柱面、圆的旋转体等内容。

希望通过本文的介绍，大家能够对圆的相关知识有一个初步的了解，并能够在学习中更加深入地理解和应用这些知识。

苏科版数学初三上册第2章对称图形圆知识点总结圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴，因此圆有无数条对称轴。

初中频道为大家编辑了对称图形圆知识点，希望对大家有帮助。

2.1 圆1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。

半圆周也是弧。

(1)劣弧：小于半圆周的弧。

(2)优弧：大于半圆周的弧。

想要获取更多详细知识点请点击苏科版初三数学上册圆知识点2.2 圆的对称性(1)圆是满足x轴对称的，这样只需要计算原来的1/2点的位置;(2)圆是满足y轴对称的，这样只需要计算原来的1/2点的位置;(3)圆是满足y = x or y = -x轴对称的，这样只需要计算原来的1/2点的位置;想要获取更多详细知识点请点击初三苏科版数学上册圆的对称性知识点2.3 确定圆的条件1.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.定理中不在同一直线这个条件不可忽略，确定一词应理解为有且只有 .2.通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形.只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了.想要获取更多详细知识点请点击苏科版九年级数学上确定圆的条件知识点2.4 圆周角圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。

证明(分类思想，3种，半径相等)①圆周角度数定理:圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

②同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。

(不在同圆或等圆中其实也相等的。

注:仅限这一条。

）想要获取更多详细知识点请点击九年级苏科版数学上圆周角知识点讲解2.5 直线与圆的位置关系①直线和圆无公共点，称相离。

AB与圆O相离，d r。

②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。

AB与⊙O相交，d③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。