[k12精品]2019届九年级数学下册第二章2.7正多边形与圆练习新版湘教版

2.7正多边形与圆基础题知识点1认识正多边形1．正八边形的每个内角为(B)A．120°B．135°C．140°D．144°2．对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是(B)A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有(C)①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形．A．3个B．4个C．5个D．6个知识点2正多边形的有关作图4．用尺规画正八边形时，先将半径为R的圆四等分，再将直角平分，最后依次连接各分点即可得正八边形．5．在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一种画圆内接正三角形的方法：(1)如图，作直径AD；(2)作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；(3)连接AB，AC，则△ABC为所求的三角形．请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由．解：两位同学的方法正确．连接BO，CO，设BC交AD于点E.∵BC垂直平分OD，1OE 1∴在Rt△OEB中，cos∠BOE＝＝.OB 2∴∠BOE＝60°.由垂径定理，得∠COE＝∠BOE＝60°.∵AD为直径，∴∠AOB＝∠AOC＝120°.∴AB＝BC＝CA，即△ABC为等边三角形．知识点3正多边形与圆的有关计算6．(2017·滨州)若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为(A)2A. 2 B．2 2 C. D．127．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝(A)A．30°B．35°C．45°D．60°8．如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S.解：∵正n边形边长为a，OM⊥AB，OA＝OB，1 1∴AM＝AB＝a.2 2∵边心距为r，a 1∴正n边形的半径R＝OM2＋AM2＝r2＋（）2＝4r2＋a2.2 2∴周长P＝na.1 1 ∴面积S＝nS△OAB＝n×a×r＝nar.2 2中档题29．(2017·达州)以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是(A)2 3A. B. C. 2 D. 32 210．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域．设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为(A)A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a211．(教材P86习题T3变式)如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的⊙O，则劣弧AB的长度为π．12．(2018·株洲)如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝48°．13．如图，正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，连接AE.已知⊙O的半径为2 cm.︵(1)求∠AED的度数和AB的长；(2)求正六边形ABCDEF与⊙O的面积之比．解：(1)连接OA，OB.∵ABCDEF为正六边形，∴∠F＝120°，∠AEF＝30°.∴∠AED＝120°－30°＝90°.31 ∴∠AOB＝360°×＝60°，6︵60π× 2 2πAB的长为＝cm.180 3(2)过点O作OH⊥AB，垂足为H，∵∠AOH＝30°，OA＝2 cm，1 1∴由勾股定理得OH＝ 3 cm，S△AOB＝AB·OH＝×2×3＝3(cm2)．2 2∴正六边形ABCDEF的面积为6S△AOB＝6 3 cm2，⊙O的面积为π·22＝4πcm2.∴正六边形ABCDEF与⊙O的面积之比＝6 3∶4π＝3 3∶2π.14．如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF＝DM.(1)求证：△BCF≌△CDM；(2)求∠BPM的度数．解：(1)证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠CDM.在△BCF和△CDM中，BC＝CD，{C F＝DM，)∠BCF＝∠CDM，∴△BCF≌△CDM(SAS)．(2)∵五边形ABCDE是正五边形，180°×（5－2）∴∠BCF＝＝108°.5∴∠CBF＋∠CFB＝180°－∠BCF＝72°.∵△BCF≌△CDM，∴∠MCD＝∠CBF.∴∠MCD＋∠CFB＝72°.∴∠BPM＝∠CPF4＝180°－(∠MCD＋∠CFB)＝108°.综合题15．如图1，2，3，…，m中，M，N分别是⊙O的内接正△ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.(1)求图1中∠MON的度数；(2)图2中∠MON的度数是90°，图3中∠MON的度数是72°；(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．(直接写出答案)解：(1)连接OB，OC.∵正△ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OBN＝∠OCN＝30°.∴∠BOC＝120°.而BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN(SAS)．∴∠BOM＝∠CON.∴∠MON＝∠BOC＝120°.360°(3)∠MON＝.n5。

2.7 正多边形与圆知|识|目|标1．通过对多边形的边角比较，归纳出正多边形的概念及相关性质．2．通过回顾尺规作图，掌握画圆的内接正多边形的方法．3．通过操作与讨论，理解正多边形的对称性，并能进行相关计算．目标一理解正多边形的有关概念例1 教材补充例题下列说法正确的是( )A．各边相等的多边形是正多边形B．各角相等的多边形是正多边形C．各边相等的圆内接多边形是正多边形D．各角相等的圆内接多边形是正多边形【归纳总结】正多边形及其有关概念：(1)正多边形的定义包含了正多边形的基本性质：①各边相等；②各角相等．(2)正多边形的判定方法：同时满足条件：①各边相等；②各角相等的多边形是正多边形．目标二会画正多边形例2 教材补充例题已知⊙O和⊙O上的一点A，如图2－7－1所示．(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；(2)在(1)题所作的图中，如果点E在劣弧AB上，试证明EB是⊙O内接正十二边形的一边．图2－7－1【归纳总结】等分圆周画正多边形的工具和方法：(1)只用量角器：用量角器把360°圆心角n等分，相应圆周也n等分，顺次连接各分点得到正n边形．(2)用量角器和圆规：先用量角器画出360°圆心角的n分之一，从而得到圆周的n分之一，再用圆规顺次截取，便得圆周的n等分点，顺次连接各分点得到正n边形．(3)用圆规和直尺：用尺规等分圆周，可以作正六边形、正方形等特殊正多边形．目标三 能进行正多边形的有关计算例3 教材补充例题如图2－7－2，G ，H 分别是正六边形ABCDEF 的边BC ，CD 上的点，且AG ＝5，BG ＝CH ，AG 交BH 于点P .(1)求BH 的长；(2)求∠APH 的度数．图2－7－2【归纳总结】正n 边形中存在的“三个角”“三条线段”“一个周长”和“一个面积”：(1)与正n 边形有关的角：①中心角：每个中心角的度数为360°n； ②内角：每个内角的度数为（n －2）·180°n ； ③外角：每个外角的度数为360°n. (2)正多边形的半径R 、边心距r 、边长a 间的关系：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋r 2＝R 2. (3)正n 边形的周长l 与边长a ，面积S 与边长a 、边心距r 间的关系：周长l ＝na ；面积S ＝12arn .知识点一 正多边形的有关概念正多边形：各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形．将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心．知识点二正多边形的画法基本原理：由于在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，因此可以用等分圆心角的方法来等分圆周，画正多边形．常用方法：(1)用量角器等分；(2)用圆规等分．知识点三正多边形的对称性正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有____条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的______．当n为奇数时，正n边形的n条对称轴都是顶点与中心的连线所在的直线；当n为偶数时，正n边形有____条对称轴是过顶点与中心的直线，有____条对称轴是过中心与边垂直的直线．正偶数边形都是中心对称图形，它的对称中心是这个正多边形的中心．判断：正多边形都是中心对称图形．( )答案：√以上答案正确吗？若不正确，请说明理由．教师详解详析【目标突破】例1 [解析] C 通过举反例可以知道菱形的各边相等，但它不是正多边形，可以排除选项A ，矩形各角相等，但它不是正多边形，可以排除选项B ，D .例2 [解析] (1)根据正方形和正六边形的作图方法分别作出⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)通过计算EB 所对的圆心角的度数来证明．解：(1)在⊙O 中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径AC 和BD ，连接AB ，BC ，CD ，DA ，得⊙O 的内接正方形ABCD(如图所示)；按正六边形的作法用直尺和圆规在⊙O 中作出正六边形AEFCGH.(2)证明：连接OE.∵AE 是正六边形的一边，∴∠AOE ＝360°6＝60°. ∵AB 是正方形的一边，∴∠AOB ＝360°4＝90°， ∴∠BOE ＝∠AOB －∠AOE ＝90°－60°＝30°.设EB 是⊙O 内接正n 边形的一边，则360°n＝30°，解得n ＝12， ∴EB 是⊙O 内接正十二边形的一边．例3 解：(1)在正六边形ABCDEF 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ＝120°.在△ABG 与△BCH 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ，BG ＝CH ，∴△ABG ≌△BCH ，∴BH ＝AG ＝5.(2)由(1)知△ABG ≌△BCH ，∴∠BAG ＝∠CBH ，∴∠BPG ＝∠ABG ＝120°，∴∠APH ＝∠BPG ＝120°.【总结反思】[小结] 知识点三 n 中心 n 2 n 2[反思] 不正确．因为只有正偶数边形才是中心对称图形．反思：正偶数边形既是中心对称图形，又是轴对称图形；正奇数边形仅是轴对称图形．。

2．7 正多边形与圆
知识要点 正多边形与圆
若正六边形的边长为a ，则其外接
圆半径与内切圆半径的比为（ ）
A ．2∶1
B ．2∶ 3 C.3∶1 D ．3∶ 3
分析：如图，∵正六边形的边长为a ，∴正六边形的半径为a ，则外接圆的半径为a ，内切圆的半径是正六边形的中心到各边的距离．在等边△AOB 中，OG ⊥AB ，则AG
＝1
2
AO .在Rt△AOG 中，可求出OG 的长，OA ∶OG 的值为所求．
方法点拨：常见正多边形的边长与半径的关系：正六边形的边长等于外接圆半径，正三角形的边长等于其外接圆半径的3倍，正方形的边长等于其外接圆半径的2倍．
(教材P86习题T2变式)已知正六
边形ABCDEF 的外接圆半径是R ，求正六边形的边长a 和面积S .
分析：连接OA 、OB ，过O 作OH ⊥AB ，再由正六边形的性质得AH ＝1
2
R ，据此可求出
a 及OH ，从而可求S .
方法点拨：本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．
参考答案: 要点归纳
知识要点：相等 相等 内接 外接圆 内接 外接圆 轴对称 n 中心 中心 中心 典例导学 例1 B
例2 解：连接OA 、OB ，过O 作OH ⊥AB ，则∠AOH ＝12×360°6＝30°，∴AH ＝1
2R ，∴a ＝
2AH ＝R .由勾股定理可得OH 2＝R 2
－(12R )2，
∴OH ＝
32R ，∴S ＝1
2
·AB ·OH ×6＝12·R ·32R ·6＝332
R 2
.。

第2章圆 2.7 正多边形与圆1. 下面图形中，是正多边形的是( ).A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 等腰梯形2.利用等分圆可以作正多边形，只利用直尺和圆规不能作出的多边形是()A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正七边形3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有()①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形.A.3个B.4个C.5个D.6个4. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是()A. R2－r2＝a2B. a＝2Rsin36°C. a＝2rtan36°D. r＝Rcos36°5. 小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为()A.23cmB.43cmC.63cmD.83cm6. 已知等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比是()A.1∶2∶ 3B.2∶3∶4C.1∶3∶2D.1∶2∶37. 下列命题：①正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆；②各边相等的圆外切多边形是正多边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形；⑤正n边形的中心角是a n＝360°n，且正多边形的中心角与其每一个外角相等.其中真命题有()A.2个B.3个C.4个D.5个8. 如图正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为.9. 已知正六边形ABCDEF的边心距为3cm，则正六边形的半径为cm.10. 如图，已知⊙O的周长等于6πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的边长为cm.11.圆内接正六边形的边心距为23，则这个正六边形的周长为cm.12. 已知正六边形的边长为4，如图，求这个正六边形的边长a6，周长P6，面积S6.13. 如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M，求证：(1) AC∥DE；(2) ME＝AE.14. 如图，点E、D分别是三角形ABC，正方形ABCM，正五边形ABCMN中以点C为顶点的相邻两边上的点，且BE＝CD，DB交AE于P点.(1) 求图①中，∠APD的度数；(2) 图②中，∠APD的度数为________，图③中，∠APD的度数为________；(3) 根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形中？若能，写出推广问题与结论；若不能，请说明理由.答案：1---7 CDCAB DA 8. π 9. 2 10. 3 11. 2412. 解：过O 作OG⊥AB 于G ，连接OA 、OB ，∴∠AOB＝360°6＝60°.∵OA＝OB ，∴△OAB 是等边三角形，∴a 6＝4.P 6＝4×6＝24.在Rt △OAG 中，OA ＝4，AG ＝BG ＝2，∴OG ＝42－22＝23，∴S 6＝12×4×23×6＝24 3.答：这个正六边形的边长是4，周长为24，面积为24 3.13. （1） 证明：∵正五边形，∴AB＝CB ，∴∠BAC＝∠BCA.∵∠BAC＋∠BCA＋∠ABC ＝180°，∠ABC＝108°，∴∠BAC＝36°.∵∠EAC＋∠BAC＝∠EAB＝108°，∴∠EAC ＝72°.∵∠AED＝108°，∴∠EAC＋∠AED＝180°，∴AC∥DE.（2） 证明：∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠EAB＝108°，EA ＝AB ，∴∠BEA＝∠ABE ＝36°，同理∠MAB＝36°，∴∠EMA＝72°，∠EAM＝72°，∴EM＝EA.14. 解：(1) 正三角形ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC＝∠C＝60°，又BE ＝CD ，∴△ABE≌△BCD，∴∠BAE＝∠CBD.∵∠ABD＋∠DBC＝60°，∴∠ABD＋∠BAE＝60°，即∠APD＝60°； (2) 90°；108°；(3)能.推广的问题与结论为点E 、D 分别为正n 边形中以C 点为顶点的相邻两边上的点，且BE ＝CD ，BD 与AE 交于点P ，则∠APD 的度数为n －2·180°n .。

2．7 正多边形与圆知识要点正多边形与圆文字叙述图例概念各边________，各角也________的多边形叫做正多边形.正多边形与圆将一个圆n(n≥3)等份，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的________正多边形；这个圆是这个正多边形的________，正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心．如图，正六边形ABCDEF是⊙O的________正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的________.正多边形的性质正多边形都是________图形，一个正n边形共有________条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的________；当边数n为偶数时，正n边形也是________对称图形，它的对称中心就是这个正n边形的________.解题策略正n边形的各顶点到其中心的距离R和其中心到各边的距离r和边长a之间的关系：如图，在Rt△OAM中，OA2＝OM2＋AM2，即R2＝r2＋(a2)2.若正六边形的边长为a，则其外接圆半径与内切圆半径的比为（）A．2∶1 B．2∶3C.3∶1 D．3∶3分析：如图，∵正六边形的边长为a，∴正六边形的半径为a，则外接圆的半径为a，内切圆的半径是正六边形的中心到各边的距离．在等边△AOB中，OG⊥AB，则AG ＝12AO.在Rt△AOG中，可求出OG的长，OA∶OG的值为所求．方法点拨：常见正多边形的边长与半径的关系：正六边形的边长等于外接圆半径，正三角形的边长等于其外接圆半径的3倍，正方形的边长等于其外接圆半径的2倍．(教材P86习题T2变式)已知正六边形ABCDEF的外接圆半径是R，求正六边形的边长a和面积S.分析：连接OA、OB，过O作OH⊥AB，再由正六边形的性质得AH＝12R，据此可求出a及OH，从而可求S.方法点拨：本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．参考答案: 要点归纳知识要点：相等 相等 内接 外接圆 内接 外接圆 轴对称 n 中心 中心 中心 典例导学 例1 B例2 解：连接OA 、OB ，过O 作OH ⊥AB ，则∠AOH ＝12×360°6＝30°，∴AH ＝12R ，∴a ＝2AH ＝R .由勾股定理可得OH 2＝R 2－(12R )2，∴OH ＝32R ，∴S ＝12·AB ·OH ×6＝12·R ·32R ·6＝332R 2.。

2．7 正多边形与圆知识点 1正多边形的定义和作正多边形1．以下命题中，是真命题的有()①各边相等的多边形是正多边形；②各内角分别相等的多边形是正多边形；③各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形．A．0个B．1个C．2个D．3个2．如图 2－7－ 1 所示，六边形 ABCDEF是⊙ O的内接正六边形，且OA＝4，则这个正六边形的边长是 ()图 2－ 7－1A．24B．6C．4D．233．在图 2－ 7－ 2 中，试分别按要求画出圆的内接正多边形．图 2－ 7－2知识点 2正多边形的性质4．正六边形的对称轴有()A．3条B．6条C．9条D．12条5．对于一个正多边形，以下说法错误的选项是()A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直均分线是它的对称轴B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补6．假如一个正多边形绕它的中心旋转36°和本来的图形重合，那么这个正多边形可能是 ()A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正十边形7．正七边形有________条对称轴．知识点 3正多边形的有关计算8．如图 2－ 7－ 3，正方形ABCD内接于⊙ O，它的边长为4，则⊙ O的半径是 ()图 2－ 7－3A．22B．42C．2D．49．2017·株洲以下圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是() A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形10．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是()A．互余B．互补C．互余或互补D．不可以确立11．2017·玉林如图2－ 7－ 4，在边长为 2 的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长订交获得一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是 ________．图 2－ 7－412．如图 2－ 7－ 5，六边形 ABCDEF是半径为 8 的⊙ O的内接正六边形，求它的周长和面积． ( 结果保留根号 )图 2－7－513．2017·滨州若正方形的外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为()2A.2B．22C.2D．1︵14．如图 2－ 7－ 6，半径为 1 的⊙ O与正六边形ABCDEF相切于点 A，D，则 AD的长为 ()图 2－ 7－61125A.6πB.3πC.3πD.6π15．如图 2－ 7－ 7，正方形 ABCD内接于⊙ O，其边长为 4，则⊙ O的内接正三角形 EFG的边长为 ________．图 2－ 7－716．如图2－7－ 8，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前 3 个正五边形，要完成这一圆环还需________个正五边形．图 2－ 7－817．2017·岳阳我国魏晋期间的数学家刘徽创立了“割圆术”，他以为圆内接正多边形的边数越多时，其周长就越凑近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值．设半径为r 的圆内L 6r接正 n 边形的周长为L，圆的直径为 d，如图 2－ 7－ 9 所示，当 n＝ 6 时，π≈d＝2r＝ 3，那Lsin 15°＝cos75°≈ 0.259)么当 n＝ 12 时，≈＝ ________．( 结果精确到 0.01 ，参照数据：πd图 2－ 7－918．如图 2－ 7－ 10，在正五边形ABCDE中，对角线 AC，BD订交于点F.(1)判断△ ABF的形状，并说明原由；(2)求证：四边形 AFDE为菱形．图 2－7－10︵19 ．(1) 已知：如图①，△ABC是⊙ O的内接正三角形， P 为BC上一动点，求证：P A＝ PB ＋PC；︵(2)如图②，四边形 ABCD是⊙ O的内接正方形， P 为 BC上一动点，求证： PA＝ PC＋2PB；︵(3)如图③，六边形 ABCDEF是⊙ O的内接正六边形， P 为 BC上一动点，请研究 PA， PB，PC三者之间有何数目关系，并恩赐证明．图 2－7－11教师详解详析1． B 2.C 3. 略4． B [解析] 以以以下图，正六边形的对称轴有 6 条．5． B6 ． D [ 解析 ] A 项，正三角形绕它的中心旋转能和本来的图形重合的最小的度数是120° .B 项，正方形绕它的中心旋转能和本来的图形重合的最小的度数是 90° .C 项，正六边形绕它的中心旋转能和本来的图形重合的最小的度数是 60° .D 项，正十边形绕它的中心旋转能和本来的图形重合的最小的度数是36° . 应选 D.7． 78．A[解析]过点 O 作 OE ⊥AD 于点 E ，连接 OD ，则 AE ＝ DE ＝ 2，OE ＝ 2. 在 Rt △ ODE 中，OD ＝ 222.ED ＋ OE ＝ 29．A[解析] ∵正三角形一条边所对的圆心角是 360°÷ 3＝ 120°，正方形一条边所对的圆心角是 360°÷ 4＝ 90°，正五边形一条边所对的圆心角是 360°÷ 5＝ 72°，正六边形一条边所对的圆心角是360°÷ 6＝ 60°， ∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形．应选A.10． B[解析] 设正多边形的边数为n ，则正多边形的中心角为360° ，正多边形的一个n360°外角等于n，因此正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的内角互补，因此正多边形的中心角与该正多边形的一个内角互补．应选 B.211． 8＋ 82[ 解析] 由题意，可得＝ 2＋2×2＝2＋22 ，∴四边形的周AD2ABCD长是 4×(2 ＋ 2 2) ＝8＋8 2.12．解：连接 ， .OB OC∵六边形 ABCDEF 是正六边形，∴∠ BOC ＝ 60°， ∴△ OBC 是等边三角形， ∴ BC ＝ OB ＝8，∴正六边形 ABCDEF 的周长＝ 6× 8＝ 48. 过点 O 作 OG ⊥ BC 于点 G .∵△ OBC 是等边三角形， OB ＝8，∴∠ OBC ＝ 60°，3∴ OG ＝ OB ·sin ∠ OBC ＝8× 2 ＝4 3，∴1 1 3＝ 16 3，△ OBC ＝· ＝ ×8×4S 2BC OG 2∴S 六边形 ABCDEF ＝6 △ OBC ＝ 6× 163＝ 963.S13． A [ 解析] 如图，由“正方形的外接圆半径为2”可得＝ 2，∠ ＝ 45°，由切OB OBC线的性质可得∠＝ 90°，因此△ 为等腰直角三角形，因此 ＝ 2 ＝ 2.OCB OBCOC2 OB14． C [ 解析 ] 连接 OA ， OD ，∵⊙ O 与正六边形 ABCDEF 相切于点 A ， D ，∴∠＝∠＝ 90°.OAFODE∵∠ E ＝∠ F ＝ 120°，︵ 120π× 1 2π∴∠ AOD ＝ 540°－ 90°－ 90°－ 120°－ 120°＝ 120°，∴ AD 的长为180 ＝3 .应选C.15． 26 [ 解析 ] 连接 AC ， OE ， OF ，过点 O 作 OM ⊥ EF 于点 M .∵四边形 ABCD 是正方形，∴ AB ＝ BC ＝4，∠ ABC ＝ 90°，∴ AC 是⊙ O 的直径， AC ＝42，∴ OE ＝ OF ＝2 2.∵ OM ⊥ EF ，∴ EM ＝ MF . ∵△ EFG 是等边三角形， ∴∠ GEF ＝ 60° .1在 Rt △ OME 中，∵ OE ＝ 2 2，∠ OEM ＝ 2∠ GEF ＝30°， ∴ OM ＝ 2， EM ＝ 6，∴ EF ＝ 2 6.故答案为 26.16．7 [ 解析 ] ∵多边形是正五边形， ∴内角是 1×(5 － 2) × 180°＝ 108°，∴∠ ＝ 180°5 O－ (180 °－ 108° ) － (180 °－ 108°) ＝ 36°，36°的圆心角所对的弧长为圆周长的 1，即 1010 个正五边形能围成这一圆环，因此要完成这一圆环还需 7 个正五边形．17．3.11 [ 解析 ]如图，圆的内接正十二边形被半径分成12 个以以以下图的等腰三角形，其顶角为30°，即∠AOB＝ 30°，过点O作OH⊥AB于点H，则∠AOH＝ 15°. ∵AO＝BO＝r，Rt△中，sin∠＝AH AH＝× sin15 °，＝ 2 ＝ 2r× sin15 °，∴，即 sin15 °＝，∴AOH AOH A O r AH r AB AHL24r× sin15 °L＝12×2r ×sin15°＝24r ×sin15°.又∵ d＝2r ，∴π≈d＝2r≈ 3.11.18．解： (1) △ABF是等腰三角形．原由：∵在正五边形ABCDE中，对角线BD， AC订交于点 F，∴∠ ABC＝∠ BCD＝108°，AB＝BC，BC＝ CD，∴∠ BAC＝∠ ACB＝36°，∠ CDB＝∠ CBD＝36°，∴∠ ABD＝∠ ABC－∠ CBD＝108°－36°＝72°，∴∠ AFB＝180°－36°－72°＝72°，∴∠ ABD＝∠ AFB，∴△ ABF为等腰三角形．(2)证明：∵五边形 ABCDE是正五边形，∴ AB＝ BC＝CD＝ DE＝AE.∵∠ ABD＋∠ BAE＝72°＋108°＝180°，∴BD∥ AE，同理， AC∥ DE，∴四边形 AFDE是平行四边形．∵ AE＝ DE，∴四边形 AFDE是菱形．19．解： (1) 证明：延长BP至 E，使 PE＝ PC，连接 CE，如图①.∵△ ABC是等边三角形，∴∠ BAC＝60°.∵ A， B， P， C四点共圆，∴∠ BAC＋∠ BPC＝180°.∵∠ BPC＋∠ EPC＝180°，∴∠ BAC＝∠ EPC＝60°.又∵ PE＝ PC，∴△ PCE是等边三角形，∴CE＝ PC，∠ E＝60°.又∵∠ BCE＝60°＋∠ BCP，∠ ACP＝60°＋∠ BCP，∴∠ BCE＝∠ ACP.∵△ ABC，△ ECP为等边三角形，∴CE＝ PC，AC＝ BC，∴△ BEC≌△ APC(SAS)，∴PA＝ BE＝PB＋ PC.(2)证明：过点 B 作 BE⊥ BP交 PA于点 E，如图②.∵∠ 1＋∠ 2＝∠ 2＋∠ 3＝ 90°，∴∠ 1＝∠ 3.易知∠ APB＝45°，∴ PB＝ BE，∴ PE＝2PB.又∵ AB＝ BC，∴△ ABE≌△ CBP，∴AE＝ PC.∴PA＝ AE＋PE＝ PC＋2PB.(3)PA＝ PC＋3PB.证明：过点 B 作 BM⊥ AP，在 AP上截取 AQ＝ PC，连接 BQ，如图③.∵∠ BAP＝∠ BCP， AB＝ BC，∴△ ABQ≌△ CBP，∴ BQ＝ BP，∴ PM＝ QM.PM又易知∠ APB＝30°，cos∠ APB＝，PB3∴PM＝2 PB，∴ PQ＝3 PB，∴PA＝ PQ＋AQ＝3PB＋ PC.。

2．7 正多边形与圆
知识要点 正多边形与圆
若正六边形的边长为a ，则其外接
圆半径与内切圆半径的比为（ ）
A ．2∶1
B ．2∶ 3 C.3∶1 D ．3∶ 3
分析：如图，∵正六边形的边长为a ，∴正六边形的半径为a ，则外接圆的半径为a ，内切圆的半径是正六边形的中心到各边的距离．在等边△AOB 中，OG ⊥AB ，则AG
＝1
2
AO .在Rt△AOG 中，可求出OG 的长，OA ∶OG 的值为所求．
方法点拨：常见正多边形的边长与半径的关系：正六边形的边长等于外接圆半径，正三角形的边长等于其外接圆半径的3倍，正方形的边长等于其外接圆半径的2倍．
(教材P86习题T2变式)已知正六
边形ABCDEF 的外接圆半径是R ，求正六边形的边长a 和面积S .
分析：连接OA 、OB ，过O 作OH ⊥AB ，再由正六边形的性质得AH ＝1
2
R ，据此可求出
a 及OH ，从而可求S .
方法点拨：本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．
参考答案: 要点归纳
知识要点：相等 相等 内接 外接圆 内接 外接圆 轴对称 n 中心 中心 中心 典例导学 例1 B
例2 解：连接OA 、OB ，过O 作OH ⊥AB ，则∠AOH ＝12×360°6＝30°，∴AH ＝1
2R ，∴a ＝
2AH ＝R .由勾股定理可得OH 2＝R 2
－(12R )2，
∴OH ＝
32R ，∴S ＝1
2
·AB ·OH ×6＝12·R ·32R ·6＝332
R 2
.。