2016年浙江省高考数学试卷(文科)菁优网解析

【解析】
{2,4,6}U
P =){2,4,6}{1,2,4}{1,2,4,6}(U P Q ==【提示】先求出
U
P ，再得出()U P Q
【考点】集合运算． 交于直线l ，
n
d h，可
211
n n n n
S S S S
+++
=
--，则数列{}
n
S为等差数列，故选A．
体积为28
=cm；所以几何体的表面积为64242280
+-⨯=cm，体积为32840
+=cm
定理求出D F '的最小值即可得出．
||||||||
a e
b e
a e
b e e e +=
+，其几何意义为a 在e 上的投影的绝对值与b 在e 上投影的绝对值的和，当e 与a b +共线时，取得最大值．∴22max (||||)||||||27a e b e a b a b a b +=+=++=．
||||a e b e +为a 在e 上的投影的绝对值与b 在e 上投影的绝对值的和，e 与a b +共线时，||||a e b e +取得最大值，即||a b +
【考点】平面向量的数量积运算． 三、解答题
⊥．所以BF⊥平面ACFD．为等边三角形，且F为CK的中点，则BF CK
+∞．
,0)(2,)
）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得的方程，与抛物线联立，求出
三点共线，可求出M。

绝密★考试结束前2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式 台体的体积公式121()3V h S S =其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目求的）．1.已知全集{}12,3456U =,,,,，集合{}13,5P =,，{}124Q =,,，则()U P Q =U ð（ ）.A.{}1B.{}3,5C.{}1,2,4,6 D.{}1,2,3,4,52.已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足//m α，n β⊥，则（ ）. A. //m lB. //m nC. n l ⊥D. m n ⊥3.函数2sin y x =的图像是（ ）.A. B. C. D.4.若平面区域30230230x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩…„… 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）.5.已知a ，0b >，且1a ≠，1b ≠，若log >1a b ，则（ ）. A.()()110a b --< B. ()()10a a b --> C.()()10b b a --<D. ()()10b b a -->6.已知函数()2f x x bx =+，则“0b <”是“()()f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数()f x 满足：()f x x …且()2,xf x x ∈R …. A.若()f a b „，则a b „ B.若()2bf a „，则a b „ C.若()f a b …，则a b … D.若()2b f a …，则a b … 8.如图所示，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且*1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ，*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N (P Q ≠表示点P 与Q 不重合) .若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则（ ）.A .{}n S 是等差数列 B.{}2n S 是等差数列 C.{}n d 是等差数列 D.{}2n d 是等差数列二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．） 9. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______2cm ， 体积是______3cm.10. 已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____， 半径是______.11. 已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =________，b =________. 12．买《全归纳》即赠完整word 版高考真题设函数()3231f x x x =++．已知0a ≠，且()()()()2–––f x f a x b x a =，x ∈R ，则实数a =_____，b =______．13．设双曲线22–13y x =的左、右焦点分别为1F ，2F ．若点P 在双曲线上，且12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是_______．14．如图所示，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ==，1CD =，AD =90ADC ∠=︒．沿直线AC 将ACD △翻折成ACD '△，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是______．俯视图D 'ABCD •••n+115．已知平面向量a ，b ，1=a ，2=b ，·1=a b ．若e 为平面单位向量，则··+a e b e 的最大值是______． 三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本题满分14分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2cos b c a B +=． （1）证明：2A B =； （2）若2cos 3B =，求cosC 的值．17.（本题满分15分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知24S =，121n n a S +=+，*n ∈N . （1）求通项公式n a ；（2）求数列{}2n a n --的前n 项和.18.（本题满分15分）如图所示，在三棱台ABC DEF -中，平面BCFE ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，1BE EF FC ===，2BC =，3AC =.（1）求证：BF ⊥平面ACFD ；（2）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.FEBCDA19.（本题满分15分）如图所示，设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于1AF -. （1）求p 的值；（2）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.NF M BAx yO20. （本题满分15分）设函数()311f x x x=++，[]0,1x ∈.证明： （1）()21f x x x -+…； （2）。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={1，3，5}，Q ={1，2，4}，则U P Q （）=（ ） A.{1}B.{3，5}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5} 【答案】C考点：补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．2.已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则（ ） A.m ∥l B.m ∥n C.n ⊥lD.m ⊥n 【答案】C 【解析】试题分析：由题意知,l l αββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．故选C ．考点：线面位置关系.【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系． 3.函数y =sin x 2的图象是（ ）【答案】D 【解析】试题分析：因为2sin =y x 为偶函数，所以它的图象关于y 轴对称，排除A 、C 选项；当22x π=，即x =时，1max y =，排除B 选项，故选D.考点：三角函数图象.【方法点睛】给定函数的解析式识别图象，一般从五个方面排除、筛选错误或正确的选项：（1）从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的周期性，判断函数的循环往复；（5）从特殊点出发，排除不符合要求的选项. 4.若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）【答案】B考点：线性规划.【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据可行域的特点确定取得最值的最优解，代入计算．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．5.已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若log>1b，则（）aA.(1)(1)0-->a a b--< B. (1)()0a bC. (1)()0-->b b ab b a--< D. (1)()0【答案】D考点：对数函数的性质.【易错点睛】在解不等式log 1a b >时，一定要注意对a 分为1a >和01a <<两种情况进行讨论，否则很容易出现错误．6.已知函数f （x ）=x 2+bx ，则“b <0”是“f （f （x ））的最小值与f （x ）的最小值相等”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：由题意知222()()24=+=+-b b f x x bx x ，最小值为24-b .令2=+t x bx ，则2222(())()(),244==+=+-≥-b b b f f x f t t bt t t ， 当0<b 时，(())f f x 的最小值为24-b ，所以“0<b ”能推出“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”；当0=b 时，4(())=f f x x 的最小值为0，()f x 的最小值也为0，所以“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”不能推出“0<b ”．故选A ． 考点：充分必要条件.【方法点睛】解题时一定要注意p q ⇒时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．7.已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,xf x x ≥∈R .（ ）A.若()f a b ≤，则a b ≤B.若()2bf a ≤，则a b ≤ C.若()f a b ≥，则a b ≥ D.若()2b f a ≥，则a b ≥ 【答案】B考点：函数的奇偶性.【思路点睛】先由已知条件可得()f x 的解析式，再由()f x 的解析式判断()f x 的奇偶性，进而对选项逐个进行排除．8.如图，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且*1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ，*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N .(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则（ ）A.{}n S 是等差数列B.{}2n S 是等差数列 C.{}n d 是等差数列 D.{}2n d 是等差数列【答案】A 【解析】考点：新定义题、三角形面积公式.【思路点睛】先求出1n n n +∆A B B 的高，再求出1n n n +∆A B B 和112n n n +++∆A B B 的面积n S 和1n S +，进而根据等差数列的定义可得1n n S S +-为定值，即可得{}n S 是等差数列．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2,体积是______cm 3.【答案】80；40． 【解析】试题分析：由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，22262244242280S =⨯+⨯+⨯⨯-⨯=表，3244240V =+⨯⨯=．考点：三视图.【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积． 10.已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是 ______.【答案】(2,4)--；5．考点：圆的标准方程.【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得a 的方程，解得a 的值，一定要注意检验a 的值是否符合题意，否则很容易出现错误．11. 已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =______． 2；1． 【解析】试题分析：22cos sin 21cos2sin 22)14x x x x x π+=++++，所以2, 1.A b ==考点：三角恒等变换.【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简2cos x ，再用辅助角公式化简cos2sin 21x x ++，进而对照()sin x b ωϕA ++可得A 和b ．12．设函数f (x )=x 3+3x 2+1．已知a ≠0，且f (x )–f (a )=(x –b )(x –a )2，x ∈R ，则实数a =_____，b =______．【答案】－2；1． 【解析】试题分析：32323232()()313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--，23222()()(2)(2)x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-，所以223223203a b a ab a b a a --=⎧⎪+=⎨⎪-=--⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩．考点：函数解析式.【思路点睛】先计算()()f x f a -，再将()()2x b x a --展开，进而对照系数可得含有a ，b 的方程组，解方程组可得a 和b 的值．13．设双曲线x 2–23y =1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______． 【答案】(27,8)．考点：双曲线的几何性质.【思路点睛】先由对称性可设点P 在右支上，进而可得1F P 和2F P ，再由12F F ∆P 为锐角三角形可得2221212F F FF P +P >，进而可得x 的不等式，解不等式可得12F F P +P 的取值范围．14．如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD 5ADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△CD 'A ，直线AC 与D 'B 所成角的余弦的最大值是______．【答案】69【解析】试题分析：设直线AC 与'BD 所成角为θ．设O 是AC 中点，由已知得6AC =如图，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由6A ，30(B ，6(0,C ，作DH AC ⊥于H ，翻折过程中，'D H 始终与AC 垂直， 266CD CH CA ===，则63OH =，53066DH ==，因此可设30630'(,sin )636D αα-，则3030630'(sin )6236BD αα=--，与CA 平行的单位向量为(0,1,0)n =， 所以cos cos ',BD n θ=<>''BD n BD n⋅=＝6395cos α-cos 1α=时，cos θ取最大值6C考点：异面直线所成角.【思路点睛】先建立空间直角坐标系，再计算与C A 平行的单位向量n 和D 'B ，进而可得直线C A 与D 'B 所成角的余弦值，最后利用三角函数的性质可得直线C A 与D 'B 所成角的余弦值的最大值．15．已知平面向量a ，b ，|a |=1，|b |=2， a ·b =1．若e 为平面单位向量，则|a ·e |+|b ·e |的最大 值是______．【解析】试题分析：由已知得,60a b <>=︒，不妨取(1,0)a =，(1,3)b =，设(cos ,sin )e αα=，则cos cos a e b e ααα⋅+⋅=++cos cos ααα≤+2cosαα=，取等号时cosα与sin α同号．所以2cos 2cos αααα+=αα=+)αθ=+，（其中sin θθ==，取θ为锐角）． )αθ+≤易知当2παθ+=时，sin()αθ+取最大值1，此时α为锐角，sin ,cos αα同为正，因此上述不等式中等号能同时取到．故所求最大值为7． 考点：平面向量的数量积和模.【思路点睛】先设a ，b 和e 的坐标，再将a e b e ⋅+⋅转化为三角函数，进而用辅助角公式将三角函数进行化简，最后用三角函数的性质可得三角函数的最大值，进而可得a e b e ⋅+⋅的最大值．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c =2a cos B ．（Ⅰ）证明：A =2B ；（Ⅱ）若cos B =23，求cos C 的值． 【答案】（I ）证明见解析；（II ）22cos 27C =.因此，A π=（舍去）或2A B =，所以，2A B =.（II ）由2cos 3B =，得5sin B =，21cos 22cos 19B B =-=-， 故1cos 9A =-，45sin 9A =，22cos cos()cos cos sin sin 27C A B A B A B =-+=-+=. 考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理. 【思路点睛】（I ）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有A ，B 的式子，根据角的范围可证2A =B ；（II ）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得cos2B ，进而可得cos A 和sin A ，再用两角和的余弦公式可得cosC ．17.（本题满分15分）设数列{n a }的前n 项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*N n ∈. （I ）求通项公式n a ；（II ）求数列{2n a n --}的前n 项和.【答案】（I ）1*3,n n a n N -=∈；（II ）2*2,13511,2,2n n n T n n n n N =⎧⎪=⎨--+≥∈⎪⎩.考点：等差、等比数列的基础知识.【方法点睛】数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列{}n na b的求和，其中{}n a是等差数列，{}n b是等比数列；（2）裂项法：形如数列()()1f ng n⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭或()()f ng n⎧⎫⎨⎬±⎪⎪⎩⎭的求和，其中()f n，()g n是关于n的一次函数；（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分．18. （本题满分15分）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（I）求证：BF⊥平面ACFD；（II）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.【答案】（I）证明见解析；（II）217.【解析】试题分析：（I）先证F CB⊥A，再证F CB⊥K，进而可证FB⊥平面CFDA；（II）先找直线DB与平面CFDA所成的角，再在Rt FD∆B中计算，即可得线DB与平面CFDA所成的角的余弦值．试题解析：（I ）延长,,AD BE CF 相交于一点K ，如图所示，因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥，所以考点：空间点、线、面位置关系、线面角.【方法点睛】解题时一定要注意直线与平面所成的角的范围，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．19.（本题满分15分）如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1.（I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.【答案】（I ）2p =；（II ）()(),02,-∞+∞.设M(m,0),由A,M,N 三点共线得：222222231t t t t t m t t +=+--- ， 于是2221t m t =-，经检验，m<0或m>2满足题意. 综上，点M 的横坐标的取值范围是()(),02,-∞+∞.考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系. 【思路点睛】（I ）当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y 轴的距离；（II ）通过联立方程组可得点B 的坐标，进而可得点N 的坐标，再利用A ，M ，N 三点共线可得m 用含有t 的式子表示，进而可得M 的横坐标的取值范围.20.（本题满分15分）设函数()f x =311x x ++，[0,1]x ∈.证明： （I ）()f x 21x x ≥-+；（II ）34<()f x 32≤. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.由(Ⅰ)得()221331244f x x x x ⎛⎫≥-+=-+≥ ⎪⎝⎭， 又因为11932244f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()34f x >，综上，()33.42f x <≤ 考点：函数的单调性与最值、分段函数.【思路点睛】（I ）先用等比数列前n 项和公式计算231x x x -+-，再用放缩法可得23111x x x x-≤-++，进而可证()21f x x x ≥-+；（II ）由（I ）的结论及放缩法可证()3342f x <≤．。

2016年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁U P）∪Q=（）A．{1}B．{3，5}C．{1，2，4，6}D．{1，2，3，4，5}2．（5分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（）A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n3．（5分）函数y=sinx2的图象是（）A．B．C．D．4．（5分）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A．B．C．D．5．（5分）已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b ﹣1）（b﹣a）＞06．（5分）已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知函数f（x）满足：f（x）≥|x|且f（x）≥2x，x∈R．（）A．若f（a）≤|b|，则a≤b B．若f（a）≤2b，则a≤bC．若f（a）≥|b|，则a≥b D．若f（a）≥2b，则a≥b8．（5分）如图，点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上，且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|，A n≠A n+1，n∈N*，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|，B n≠B n+1，n∈N*，（P≠Q表示点P与Q不重合）若d n=|A n B n|，S n为△A n B n B n+1的面积，则（）A．{S n}是等差数列B．{S n2}是等差数列C．{d n}是等差数列 D．{d n2}是等差数列二、填空题9．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3．10．（6分）已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是，半径是．11．（6分）已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=，b=．12．（6分）设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x ﹣a）2，x∈R，则实数a=，b=．13．（4分）设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是．14．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是．15．（4分）已知平面向量，，||=1，||=2，=1，若为平面单位向量，则||+||的最大值是．三、解答题16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．17．（15分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ）求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．18．（15分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．19．（15分）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y 轴的距离等于|AF|﹣1，（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．20．（15分）设函数f（x）=x3+，x∈[0，1]，证明：（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x2（Ⅱ）＜f（x）≤．2016年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁U P）∪Q=（）A．{1}B．{3，5}C．{1，2，4，6}D．{1，2，3，4，5}【分析】先求出∁U P，再得出（∁U P）∪Q．【解答】解：∁U P={2，4，6}，（∁U P）∪Q={2，4，6}∪{1，2，4}={1，2，4，6}．故选：C．【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．2．（5分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（）A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n【分析】由已知条件推导出l⊂β，再由n⊥β，推导出n⊥l．【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α，∴m∥β或m⊂β或m与β相交，l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l．故选：C．【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3．（5分）函数y=sinx2的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据函数奇偶性的性质，以及函数零点的个数进行判断排除即可．【解答】解：∵sin（﹣x）2=sinx2，∴函数y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除A，C；由y=sinx2=0，则x2=kπ，k≥0，则x=±，k≥0，故函数有无穷多个零点，排除B，故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键．比较基础．4．（5分）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A．B．C．D．【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离．【解答】解：作出平面区域如图所示：∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等．联立方程组，解得A（2，1），联立方程组，解得B（1，2）．两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1，即x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0．∴平行线间的距离为d==，故选：B．【点评】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，属于基础题．5．（5分）已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b ﹣1）（b﹣a）＞0【分析】根据对数的运算性质，结合a＞1或0＜a＜1进行判断即可．【解答】解：若a＞1，则由log a b＞1得log a b＞log a a，即b＞a＞1，此时b﹣a＞0，b＞1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，若0＜a＜1，则由log a b＞1得log a b＞log a a，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b＜1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，综上（b﹣1）（b﹣a）＞0，故选：D．【点评】本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．比较基础．6．（5分）已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求出f（x）的最小值及极小值点，分别把“b＜0”和“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”当做条件，看能否推出另一结论即可判断．【解答】解：f（x）的对称轴为x=﹣，f min（x）=﹣．（1）若b＜0，则﹣＞﹣，∴当f（x）=﹣时，f（f（x））取得最小值f（﹣）=﹣，即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等．∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件．（2）设f（x）=t，则f（f（x））=f（t），∴f（t）在（﹣，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，若f（f（x））=f（t）的最小值与f（x）的最小值相等，则﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题．7．（5分）已知函数f（x）满足：f（x）≥|x|且f（x）≥2x，x∈R．（）A．若f（a）≤|b|，则a≤b B．若f（a）≤2b，则a≤bC．若f（a）≥|b|，则a≥b D．若f（a）≥2b，则a≥b【分析】根据不等式的性质，分别进行递推判断即可．【解答】解：A．若f（a）≤|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|，即|a|≤|b|，则a≤b不一定成立，故A错误，B．若f（a）≤2b，则由条件知f（x）≥2x，即f（a）≥2a，则2a≤f（a）≤2b，则a≤b，故B正确，C．若f（a）≥|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|，则|a|≥|b|不一定成立，故C错误，D．若f（a）≥2b，则由条件f（x）≥2x，得f（a）≥2a，则2a≥2b，不一定成立，即a≥b不一定成立，故D错误，故选：B．【点评】本题主要考查不等式的判断和证明，根据条件，结合不等式的性质是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．8．（5分）如图，点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上，且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|，A n≠A n+1，n∈N*，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|，B n≠B n+1，n∈N*，（P≠Q表示点P与Q不重合）若d n=|A n B n|，S n为△A n B n B n+1的面积，则（）A．{S n}是等差数列B．{S n2}是等差数列C．{d n}是等差数列 D．{d n2}是等差数列【分析】设锐角的顶点为O，再设|OA1|=a，|OB1|=c，|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d，由于a，c不确定，判断C，D不正确，设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n，运用三角形相似知识，h n+h n+2=2h n+1，由S n=d•h n，可得S n+S n+2=2S n+1，进而得到数列{S n}为等差数列．【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=c，|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d，由于a，c不确定，则{d n}不一定是等差数列，{d n2}不一定是等差数列，设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n，由三角形的相似可得==，==，两式相加可得，==2，即有h n+h n+2=2h n+1，由S n=d•h n，可得S n+S n+2=2S n+1，即为S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n，则数列{S n}为等差数列．另解：可设△A1B1B2，△A2B2B3，…，A n B n B n+1为直角三角形，且A1B1，A2B2，…，A n B n为直角边，即有h n+h n+2=2h n+1，由S n=d•h n，可得S n+S n+2=2S n+1，即为S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n，则数列{S n}为等差数列．故选：A．【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题．二、填空题9．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是80 cm2，体积是40cm3．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体下部为长方体，上部为正方体的组合体，结合图中数据求出它的表面积和体积即可．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2，表面积为2×4×4+2×42=64cm2，体积为2×42=32cm3；上部为正方体，其棱长为2，表面积是6×22=24 cm2，体积为23=8cm3；所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2，体积为32+8=40cm3．故答案为：80；40．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题，也考查了空间想象和计算能力，是基础题．10．（6分）已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是（﹣2，﹣4），半径是5．【分析】由已知可得a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2，把a=﹣1代入原方程，配方求得圆心坐标和半径，把a=2代入原方程，由D2+E2﹣4F＜0说明方程不表示圆，则答案可求．【解答】解：∵方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，∴a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2．当a=﹣1时，方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0，配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为5；当a=2时，方程化为，此时，方程不表示圆，故答案为：（﹣2，﹣4），5．【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．11．（6分）已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=，b=1．【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案．【解答】解：∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+（cos2x+sin2x）=sin（2x+）+1，∴A=，b=1，故答案为：；1．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键．12．（6分）设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x ﹣a）2，x∈R，则实数a=﹣2，b=1．【分析】根据函数解析式化简f（x）﹣f（a），再化简（x﹣b）（x﹣a）2，根据等式两边对应项的系数相等列出方程组，求出a、b的值．【解答】解：∵f（x）=x3+3x2+1，∴f（x）﹣f（a）=x3+3x2+1﹣（a3+3a2+1）=x3+3x2﹣（a3+3a2）∵（x﹣b）（x﹣a）2=（x﹣b）（x2﹣2ax+a2）=x3﹣（2a+b）x2+（a2+2ab）x﹣a2b，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，∴，解得或（舍去），故答案为：﹣2；1．【点评】本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题．13．（4分）设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是．【分析】由题意画出图形，以P在双曲线右支为例，求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值，可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围．【解答】解：如图，由双曲线x2﹣=1，得a2=1，b2=3，∴．不妨以P在双曲线右支为例，当PF2⊥x轴时，把x=2代入x2﹣=1，得y=±3，即|PF2|=3，此时|PF1|=|PF2|+2=5，则|PF1|+|PF2|=8；由PF1⊥PF2，得，又|PF1|﹣|PF2|=2，①两边平方得：，∴|PF1||PF2|=6，②联立①②解得：，此时|PF1|+|PF2|=．∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（）．故答案为：（）．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．14．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是．【分析】如图所示，取AC的中点O，AB=BC=3，可得BO⊥AC，在Rt△ACD′中，AC=．作D′E⊥AC，垂足为E，D′E=．CO=，CE==，EO=CO﹣CE=．过点B作BF∥AC，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．则四边形BOEF为矩形，BF=EO=．EF=BO=．则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．利用余弦定理求出D′F2的最小值即可得出．【解答】解：如图所示，取AC的中点O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC，在Rt△ACD′中，=．作D′E⊥AC，垂足为E，D′E==．CO=，CE===，∴EO=CO﹣CE=．过点B作BF∥AC，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．则四边形BOEF为矩形，∴BF=EO=．EF=BO==．则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥，cosθ=1时取等号．∴D′B的最小值==2．∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===．也可以考虑利用向量法求解．故答案为：．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．15．（4分）已知平面向量，，||=1，||=2，=1，若为平面单位向量，则||+||的最大值是．【分析】由题意可知，||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，由此可知，当与共线时，||+||取得最大值，即．【解答】解：||+||=，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值．∴=．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题．三、解答题16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．【分析】（1）由b+c=2acosB，利用正弦定理可得：sinB+sinC=2sinAcosB，而sinC=sin （A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入化简可得：sinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），可得0＜A﹣B＜π，即可证明．（II）cosB=，可得sinB=．cosA=cos2B=2cos2B﹣1，sinA=．利用cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB即可得出．【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．∴A=2B．（II）解：cosB=，∴sinB==．cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ）求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．【分析】（Ⅰ）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列{a n}是公比q=3的等比数列，即可求通项公式a n；（Ⅱ）讨论n的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，解得a1=1，a2=3，当n≥2时，a n=2S n+1，a n=2S n﹣1+1，+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，两式相减得a n+1=3a n，当n=1时，a1=1，a2=3，即a n+1=3a n，满足a n+1∴=3，则数列{a n}是公比q=3的等比数列，则通项公式a n=3n﹣1．（Ⅱ）a n﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，设b n=|a n﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，则b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，则b n=|a n﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，此时数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和T n=3+﹣=，则T n==．【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{a n}是等比数列是解决本题的关键．求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和．18．（15分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．【分析】（Ⅰ）根据三棱台的定义，可知分别延长AD，BE，CF，会交于一点，并设该点为K，并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK，进而得出BF⊥AC．而根据条件可以判断出点E，F分别为边BK，CK的中点，从而得出△BCK为等边三角形，进而得出BF⊥CK，从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF为直线BD和平面ACFD所成的角，根据条件可以求出BF=，DF=，从而在Rt△BDF中可以求出BD的值，从而得出cos∠BDF的值，即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示：∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；∴AC⊥平面BCK，BF⊂平面BCK；∴BF⊥AC；又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点；∴BF⊥CK，且AC∩CK=C；∴BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）∵BF⊥平面ACFD；∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角；∵F为CK中点，且DF∥AC；∴DF为△ACK的中位线，且AC=3；∴；又；∴在Rt△BFD中，，cos；即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为【点评】考查三角形中位线的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定定理，线面角的定义及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义．19．（15分）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y 轴的距离等于|AF|﹣1，（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得p值；（Ⅱ）设出直线AF的方程，与抛物线联立，求出B的坐标，求出直线AB，FN 的斜率，从而求出直线BN的方程，根据A、M、N三点共线，可求出M的横坐标的表达式，从而求出m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离，由抛物线定义得，，即p=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为y2=4x，F（1，0），可设（t2，2t），t≠0，t≠±1，∵AF不垂直y轴，∴设直线AF：x=sy+1（s≠0），联立，得y2﹣4sy﹣4=0．y1y2=﹣4，∴B（），又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，从而得FN：，直线BN：y=﹣，则N（），设M（m，0），由A、M、N三点共线，得，于是m==，得m＜0或m＞2．经检验，m＜0或m＞2满足题意．∴点M的横坐标的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属中档题．20．（15分）设函数f（x）=x3+，x∈[0，1]，证明：（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x2（Ⅱ）＜f（x ）≤．【分析】（Ⅰ）根据题意，1﹣x+x2﹣x3=，利用放缩法得≤，即可证明结论成立；（Ⅱ）利用0≤x≤1时x3≤x，证明f（x ）≤，再利用配方法证明f（x ）≥，结合函数的最小值得出f（x ）＞，即证结论成立．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为f（x）=x3+，x∈[0，1]，且1﹣x+x2﹣x3==，所以≤，所以1﹣x+x2﹣x3≤，即f（x）≥1﹣x+x2；（Ⅱ）证明：因为0≤x≤1，所以x3≤x，所以f（x）=x3+≤x +=x +﹣+=+≤；由（Ⅰ）得，f（x）≥1﹣x+x2=+≥，且f （）=+=＞，所以f（x ）＞；综上，＜f（x ）≤．【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目．第21页（共21页）。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={1，3，5}，Q ={1，2，4}，则U P Q （）ð=（ ） A.{1} B.{3，5}
C.{1，2，4，6}
D.{1，2，3，4，5}
【答案】C
2.已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则（ ）
A.m ∥l
B.m ∥n
C.n ⊥l
D.m ⊥n 【答案】C
【解析】
试题分析：由题意知,l l αββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．故选C ．
3.函数y =sin x 2的图象是（ ）
【答案】D
【解析】
试题分析：因为2sin =y x 为偶函数，所以它的图象关于y 轴对称，排除A 、C 选项；当
22x π=
，即x =时，1max y =，排除B 选项，故选D. 【方法点睛】给定函数的解析式识别图象，一般从五个方面排除、筛选错误或正确的选项：（1）从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的周期性，判断函数的循环往复；（5）从特殊点出发，排除不符合要求的选项.
4.若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩
夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的
距离的最
小值是（ ）
【答案】B。

2016年浙江省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则(∁UP)∪Q ＝( )A.{1}B.{3，5}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}2.(5分)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n3.(5分)函数y＝sinx2的图象是( )A. B. C. D.4.(5分)若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A. B. C. D.5.(5分)已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则( )A.(a－1)(b－1)＜0B.(a－1)(a－b)＞0C.(b－1)(b－a)＜0D.(b－1)(b－a)＞06.(5分)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.(5分)已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.( )A.若f(a)≤|b|，则a≤bB.若f(a)≤2b，则a≤bC.若f(a)≥|b|，则a≥bD.若f(a)≥2b，则a≥b8.(5分)如图，点列{An }、{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋1，n∈N*，|Bn Bn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋1，n∈N*，(P≠Q表示点P与Q不重合)若dn＝|AnBn|，Sn为△A n BnBn＋1的面积，则( )A.{Sn }是等差数列 B.{Sn2}是等差数列C.{dn }是等差数列 D.{dn2}是等差数列二、填空题9.(6分)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3.10.(6分)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是，半径是.11.(6分)已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝，b＝.12.(6分)设函数f(x)＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，则实数a＝，b＝.13.(4分)设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是.14.(4分)如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.15.(4分)已知平面向量，，||＝1，||＝2，＝1，若为平面单位向量，则||＋||的最大值是.三、解答题16.(14分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acosB. (1)证明：A＝2B；(2)若cosB＝，求cosC的值.17.(15分)设数列{an }的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.(Ⅰ)求通项公式an；(Ⅱ)求数列{|an－n－2|}的前n项和.18.(15分)如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC ＝1，BC＝2，AC＝3.(Ⅰ)求证：BF⊥平面ACFD；(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.19.(15分)如图，设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1，(Ⅰ)求p的值；(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围.20.(15分)设函数f(x)＝x3＋，x∈[0，1]，证明：(Ⅰ)f(x)≥1－x＋x2(Ⅱ)＜f(x)≤.2016年浙江省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则(∁UP)∪Q ＝( )A.{1}B.{3，5}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}【分析】先求出∁U P，再得出(∁UP)∪Q.【解答】解：∁UP＝{2，4，6}，(∁UP)∪Q＝{2，4，6}∪{1，2，4}＝{1，2，4，6}.故选：C.【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题.2.(5分)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n【分析】由已知条件推导出l⊂β，再由n⊥β，推导出n⊥l.【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α，∴m∥β或m⊂β或m与β相交，l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.故选：C.【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.3.(5分)函数y＝sinx2的图象是( )A. B. C. D.【分析】根据函数奇偶性的性质，以及函数零点的个数进行判断排除即可.【解答】解：∵sin(－x)2＝sinx2，∴函数y＝sinx2是偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除A，C；由y＝sinx2＝0，则x2＝kπ，k≥0，则x＝±，k≥0，故函数有无穷多个零点，排除B，故选：D.【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键.比较基础.4.(5分)若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A. B. C. D.【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离. 【解答】解：作出平面区域如图所示：∴当直线y＝x＋b分别经过A，B时，平行线间的距离相等.联立方程组，解得A(2，1)，联立方程组，解得B(1，2).两条平行线分别为y＝x－1，y＝x＋1，即x－y－1＝0，x－y＋1＝0.∴平行线间的距离为d＝＝，故选：B.【点评】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，属于基础题.5.(5分)已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则( )A.(a－1)(b－1)＜0B.(a－1)(a－b)＞0C.(b－1)(b－a)＜0D.(b－1)(b－a)＞0【分析】根据对数的运算性质，结合a＞1或0＜a＜1进行判断即可.【解答】解：若a＞1，则由loga b＞1得logab＞logaa，即b＞a＞1，此时b－a＞0，b＞1，即(b－1)(b－a)＞0，若0＜a＜1，则由loga b＞1得logab＞logaa，即b＜a＜1，此时b－a＜0，b＜1，即(b－1)(b－a)＞0，综上(b－1)(b－a)＞0，故选：D.【点评】本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键.比较基础.6.(5分)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】求出f(x)的最小值及极小值点，分别把“b＜0”和“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”当做条件，看能否推出另一结论即可判断.(x)＝－.【解答】解：f(x)的对称轴为x＝－，fmin(1)若b＜0，则－＞－，∴当f(x)＝－时，f(f(x))取得最小值f(－)＝－，即f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等.∴“b＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分条件.(2)设f(x)＝t，则f(f(x))＝f(t)，∴f(t)在(－，－)上单调递减，在(－，＋∞)上单调递增，若f(f(x))＝f(t)的最小值与f(x)的最小值相等，则－≤－，解得b≤0或b≥2.∴“b＜0”不是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的必要条件.故选：A.【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题.7.(5分)已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.( )A.若f(a)≤|b|，则a≤bB.若f(a)≤2b，则a≤bC.若f(a)≥|b|，则a≥bD.若f(a)≥2b，则a≥b【分析】根据不等式的性质，分别进行递推判断即可.【解答】解：A.若f(a)≤|b|，则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|，即|a|≤|b|，则a≤b不一定成立，故A错误，B.若f(a)≤2b，则由条件知f(x)≥2x，即f(a)≥2a，则2a≤f(a)≤2b，则a≤b，故B正确，C.若f(a)≥|b|，则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|，则|a|≥|b|不一定成立，故C错误，D.若f(a)≥2b，则由条件f(x)≥2x，得f(a)≥2a，则2a≥2b，不一定成立，即a≥b不一定成立，故D错误，故选：B.【点评】本题主要考查不等式的判断和证明，根据条件，结合不等式的性质是解决本题的关键.综合性较强，有一定的难度.8.(5分)如图，点列{A n }、{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋1，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋1，n ∈N *，(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)若d n ＝|A n B n |，S n 为△A nB n B n ＋1的面积，则( )A.{S n }是等差数列B.{S n 2}是等差数列C.{d n }是等差数列D.{d n 2}是等差数列【分析】设锐角的顶点为O ，再设|OA 1|＝a ，|OB 1|＝c ，|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|＝b ，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|＝d ，由于a ，c 不确定，判断C ，D 不正确，设△A n B n B n ＋1的底边B n B n ＋1上的高为h n ，运用三角形相似知识，h n ＋h n ＋2＝2h n ＋1，由S n ＝d •h n ，可得S n ＋S n ＋2＝2S n ＋1，进而得到数列{S n }为等差数列.【解答】解：设锐角的顶点为O ，|OA 1|＝a ，|OB 1|＝c ， |A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|＝b ，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|＝d ， 由于a ，c 不确定，则{d n }不一定是等差数列， {d n 2}不一定是等差数列，设△A n B n B n ＋1的底边B n B n ＋1上的高为h n ，由三角形的相似可得＝＝，＝＝，两式相加可得，＝＝2，即有h n ＋h n ＋2＝2h n ＋1，由S n ＝d •h n ，可得S n ＋S n ＋2＝2S n ＋1，即为S n ＋2－S n ＋1＝S n ＋1－S n ， 则数列{S n }为等差数列.另解：可设△A 1B 1B 2，△A 2B 2B 3，…，A n B n B n ＋1为直角三角形， 且A 1B 1，A 2B 2，…，A n B n 为直角边， 即有h n ＋h n ＋2＝2h n ＋1，由S n ＝d •h n ，可得S n ＋S n ＋2＝2S n ＋1， 即为S n ＋2－S n ＋1＝S n ＋1－S n ， 则数列{S n }为等差数列. 故选：A.【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题.二、填空题9.(6分)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是80 cm2，体积是40 cm3.【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体下部为长方体，上部为正方体的组合体，结合图中数据求出它的表面积和体积即可.【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2，表面积为2×4×4＋2×42＝64cm2，体积为2×42＝32cm3；上部为正方体，其棱长为2，表面积是6×22＝24 cm2，体积为23＝8cm3；所以几何体的表面积为64＋24－2×22＝80cm2，体积为32＋8＝40cm3.故答案为：80；40.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题，也考查了空间想象和计算能力，是基础题.10.(6分)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是(－2，－4) ，半径是 5 .【分析】由已知可得a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2，把a＝－1代入原方程，配方求得圆心坐标和半径，把a＝2代入原方程，由D2＋E2－4F＜0说明方程不表示圆，则答案可求. 【解答】解：∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5；当a＝2时，方程化为，此时，方程不表示圆， 故答案为：(－2，－4)，5.【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题.11.(6分)已知2cos 2x ＋sin2x ＝Asin(ωx＋φ)＋b(A ＞0)，则A ＝，b ＝ 1 .【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案. 【解答】解：∵2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝1＋(cos2x ＋sin2x)＝sin(2x ＋)＋1，∴A ＝，b ＝1，故答案为：；1.【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键.12.(6分)设函数f(x)＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f(x)－f(a)＝(x －b)(x －a)2，x ∈R ，则实数a ＝ －2 ，b ＝ 1 .【分析】根据函数解析式化简f(x)－f(a)，再化简(x －b)(x －a)2，根据等式两边对应项的系数相等列出方程组，求出a 、b 的值. 【解答】解：∵f(x)＝x 3＋3x 2＋1，∴f(x)－f(a)＝x 3＋3x 2＋1－(a 3＋3a 2＋1) ＝x 3＋3x 2－(a 3＋3a 2)∵(x －b)(x －a)2＝(x －b)(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b)x 2＋(a 2＋2ab)x －a 2b ， 且f(x)－f(a)＝(x －b)(x －a)2，∴，解得或(舍去)，故答案为：－2；1.【点评】本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题.13.(4分)设双曲线x 2－＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是.【分析】由题意画出图形，以P 在双曲线右支为例，求出∠PF 2F 1和∠F 1PF 2为直角时|PF 1|＋|PF 2|的值，可得△F 1PF 2为锐角三角形时|PF 1|＋|PF 2|的取值范围. 【解答】解：如图，由双曲线x 2－＝1，得a 2＝1，b 2＝3，∴.不妨以P 在双曲线右支为例，当PF 2⊥x 轴时， 把x ＝2代入x 2－＝1，得y ＝±3，即|PF 2|＝3，此时|PF 1|＝|PF 2|＋2＝5，则|PF 1|＋|PF 2|＝8； 由PF 1⊥PF 2，得，又|PF 1|－|PF 2|＝2，①两边平方得：，∴|PF 1||PF 2|＝6，② 联立①②解得：， 此时|PF 1|＋|PF 2|＝.∴使△F 1PF 2为锐角三角形的|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是().故答案为：().【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题.14.(4分)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ＝BC ＝3，CD ＝1，AD ＝，∠ADC ＝90°，沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD′，直线AC 与BD′所成角的余弦的最大值是 .【分析】如图所示，取AC的中点O，AB＝BC＝3，可得BO⊥AC，在Rt△ACD′中，AC＝.作D′E⊥AC，垂足为E，D′E＝.CO＝，CE＝＝，EO＝CO－CE＝.过点B 作BF∥AC，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC与BD′所成的角.则四边形BOEF为矩形，BF＝EO＝.EF＝BO＝.则∠FED′为二面角D′－CA－B的平面角，设为θ.利用余弦定理求出D′F2的最小值即可得出.【解答】解：如图所示，取AC的中点O，∵AB＝BC＝3，∴BO⊥AC，在Rt△ACD′中，＝.作D′E⊥AC，垂足为E，D′E＝＝.CO＝，CE＝＝＝，∴EO＝CO－CE＝.过点B作BF∥AC，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC与BD′所成的角.则四边形BOEF为矩形，∴BF＝EO＝.EF＝BO＝＝.则∠FED′为二面角D′－CA－B的平面角，设为θ.则D′F2＝＋－2×cosθ＝－5cosθ≥，cosθ＝1时取等号.∴D′B的最小值＝＝2.∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值＝＝＝.也可以考虑利用向量法求解.故答案为：.【点评】本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题.15.(4分)已知平面向量，，||＝1，||＝2，＝1，若为平面单位向量，则||＋||的最大值是.【分析】由题意可知，||＋||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，由此可知，当与共线时，||＋||取得最大值，即.【解答】解：||＋||＝，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值.∴＝.故答案为：.【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题.三、解答题16.(14分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若cosB＝，求cosC的值.【分析】(1)由b＋c＝2acosB，利用正弦定理可得：sinB＋sinC＝2sinAcosB，而sinC＝sin(A ＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，代入化简可得：sinB＝sin(A－B)，由A，B∈(0，π)，可得0＜A－B＜π，即可证明.(II)cosB＝，可得sinB＝.cosA＝cos2B＝2cos2B－1，sinA＝.利用cosC ＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB即可得出.【解答】(1)证明：∵b＋c＝2acosB，∴sinB＋sinC＝2sinAcosB，∵sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sinB ＝sinAcosB －cosAsinB ＝sin(A －B)，由A ，B ∈(0，π)，∴0＜A －B ＜π，∴B ＝A －B ，或B ＝π－(A －B)，化为A ＝2B ，或A ＝π(舍去). ∴A ＝2B.(II)解：cosB ＝，∴sinB ＝＝.cosA ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝，sinA ＝＝.∴cosC ＝－cos(A ＋B)＝－cosAcosB ＋sinAsinB ＝＋×＝.【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.17.(15分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (Ⅰ)求通项公式a n ；(Ⅱ)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和.【分析】(Ⅰ)根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列{a n }是公比q ＝3的等比数列，即可求通项公式a n ；(Ⅱ)讨论n 的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|a n －n －2|}的前n 项和.【解答】解：(Ⅰ)∵S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. ∴a 1＋a 2＝4，a 2＝2S 1＋1＝2a 1＋1， 解得a 1＝1，a 2＝3，当n ≥2时，a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1， 两式相减得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ， 即a n ＋1＝3a n ，当n ＝1时，a 1＝1，a 2＝3， 满足a n ＋1＝3a n ，∴＝3，则数列{a n }是公比q ＝3的等比数列，则通项公式a n ＝3n －1.(Ⅱ)a n －n －2＝3n －1－n －2，设b n ＝|a n －n －2|＝|3n －1－n －2|，则b 1＝|30－1－2|＝2，b 2＝|3－2－2|＝1， 当n ≥3时，3n －1－n －2＞0， 则b n ＝|a n －n －2|＝3n －1－n －2， 此时数列{|a n －n －2|}的前n 项和T n ＝3＋－＝，则T＝＝.n【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{a}是等比数列是解决本题的关键.求出过程中使用了转化法和分组法进行n数列求和.18.(15分)如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC ＝1，BC＝2，AC＝3.(Ⅰ)求证：BF⊥平面ACFD；(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.【分析】(Ⅰ)根据三棱台的定义，可知分别延长AD，BE，CF，会交于一点，并设该点为K，并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB＝90°可以得出AC⊥平面BCK，进而得出BF⊥AC.而根据条件可以判断出点E，F分别为边BK，CK的中点，从而得出△BCK为等边三角形，进而得出BF⊥CK，从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD；(Ⅱ)由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF为直线BD和平面ACFD所成的角，根据条件可以求出BF＝，DF＝，从而在Rt△BDF中可以求出BD的值，从而得出cos∠BDF的值，即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值.【解答】解：(Ⅰ)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示：∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；∴AC⊥平面BCK，BF⊂平面BCK；∴BF⊥AC；又EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2；∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点；∴BF⊥CK，且AC∩CK＝C；∴BF⊥平面ACFD；(Ⅱ)∵BF⊥平面ACFD；∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角；∵F为CK中点，且DF∥AC；∴DF为△ACK的中位线，且AC＝3；∴；又；∴在Rt△BFD中，，cos；即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为【点评】考查三角形中位线的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定定理，线面角的定义及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义.19.(15分)如图，设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1，(Ⅰ)求p的值；(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围.【分析】(Ⅰ)利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得p值；(Ⅱ)设出直线AF的方程，与抛物线联立，求出B的坐标，求出直线AB，FN的斜率，从而求出直线BN的方程，根据A、M、N三点共线，可求出M的横坐标的表达式，从而求出m的取值范围.【解答】解：(Ⅰ)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x＝－1的距离，由抛物线定义得，，即p＝2；(Ⅱ)由(Ⅰ)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1，0)，可设(t2，2t)，t≠0，t≠±1，∵AF不垂直y轴，∴设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)，联立，得y2－4sy－4＝0.y 1y2＝－4，∴B()，又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，从而得FN：，直线BN：y＝－，则N()，设M(m，0)，由A、M、N三点共线，得，于是m＝＝，得m＜0或m＞2.经检验，m＜0或m＞2满足题意.∴点M的横坐标的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞).【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属中档题.20.(15分)设函数f(x)＝x3＋，x∈[0，1]，证明：(Ⅰ)f(x)≥1－x＋x2(Ⅱ)＜f(x)≤.【分析】(Ⅰ)根据题意，1－x＋x2－x3＝，利用放缩法得≤，即可证明结论成立；(Ⅱ)利用0≤x≤1时x3≤x，证明f(x)≤，再利用配方法证明f(x)≥，结合函数的最小值得出f(x)＞，即证结论成立.【解答】解：(Ⅰ)证明：因为f(x)＝x3＋，x∈[0，1]，且1－x＋x2－x3＝＝，所以≤，所以1－x＋x2－x3≤，即f(x)≥1－x＋x2；(Ⅱ)证明：因为0≤x≤1，所以x3≤x，所以f(x)＝x3＋≤x＋＝x＋－＋＝＋≤；由(Ⅰ)得，f(x)≥1－x＋x2＝＋≥，且f()＝＋＝＞，所以f(x)＞；综上，＜f(x)≤.【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目.。

2016年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，P）∪Q=（）则（∁UA．{1} B．{3，5} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}2．（5分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n ⊥β，则（）A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n3．（5分）函数y=sinx2的图象是（）A．B．C．D．4．（5分）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A．B．C．D．b＞1，则（）5．（5分）已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logaA．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b ﹣1）（b﹣a）＞06．（5分）已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知函数f（x）满足：f（x）≥|x|且f（x）≥2x，x∈R．（）A．若f（a）≤|b|，则a≤b B．若f（a）≤2b，则a≤bC．若f（a）≥|b|，则a≥b D．若f（a）≥2b，则a≥b8．（5分）如图，点列{An }、{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，A n ≠An+1，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N*，（P≠Q表示点P与Q不重合）若dn =|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（）A．{Sn }是等差数列 B．{Sn2}是等差数列C．{dn }是等差数列 D．{dn2}是等差数列二、填空题9．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3．10．（6分）已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是，半径是．11．（6分）已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A= ，b= ．12．（6分）设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，x∈R，则实数a= ，b= ．13．（4分）设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是．14．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是．15．（4分）已知平面向量，，||=1，||=2，=1，若为平面单位向量，则||+||的最大值是．三、解答题16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．17．（15分）设数列{an }的前n项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式an；（Ⅱ）求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和．18．（15分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．19．（15分）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y 轴的距离等于|AF|﹣1，（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．20．（15分）设函数f（x）=x3+，x∈[0，1]，证明：（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x2（Ⅱ）＜f（x）≤．2016年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁UP）∪Q=（）A．{1} B．{3，5} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}【分析】先求出∁U P，再得出（∁UP）∪Q．【解答】解：∁UP={2，4，6}，（∁UP）∪Q={2，4，6}∪{1，2，4}={1，2，4，6}．故选：C．【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．2．（5分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n ⊥β，则（）A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n【分析】由已知条件推导出l⊂β，再由n⊥β，推导出n⊥l．【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α，∴m∥β或m⊂β或m与β相交，l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l．故选：C．【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3．（5分）函数y=sinx2的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据函数奇偶性的性质，以及函数零点的个数进行判断排除即可．【解答】解：∵sin（﹣x）2=sinx2，∴函数y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除A，C；由y=sinx2=0，则x2=kπ，k≥0，则x=±，k≥0，故函数有无穷多个零点，排除B，故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键．比较基础．4．（5分）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A．B．C．D．【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离．【解答】解：作出平面区域如图所示：∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等．联立方程组，解得A（2，1），联立方程组，解得B（1，2）．两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1，即x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0．∴平行线间的距离为d==，故选：B．【点评】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，属于基础题．5．（5分）已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则（）A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b ﹣1）（b﹣a）＞0【分析】根据对数的运算性质，结合a＞1或0＜a＜1进行判断即可．【解答】解：若a＞1，则由loga b＞1得logab＞logaa，即b＞a＞1，此时b﹣a＞0，b＞1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，若0＜a＜1，则由loga b＞1得logab＞logaa，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b＜1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，综上（b﹣1）（b﹣a）＞0，故选：D．【点评】本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．比较基础．6．（5分）已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求出f（x）的最小值及极小值点，分别把“b＜0”和“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”当做条件，看能否推出另一结论即可判断．（x）=﹣．【解答】解：f（x）的对称轴为x=﹣，fmin（1）若b＜0，则﹣＞﹣，∴当f（x）=﹣时，f（f（x））取得最小值f （﹣）=﹣，即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等．∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件．（2）设f（x）=t，则f（f（x））=f（t），∴f（t）在（﹣，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，若f（f（x））=f（t）的最小值与f（x）的最小值相等，则﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题．7．（5分）已知函数f（x）满足：f（x）≥|x|且f（x）≥2x，x∈R．（）A．若f（a）≤|b|，则a≤b B．若f（a）≤2b，则a≤bC．若f（a）≥|b|，则a≥b D．若f（a）≥2b，则a≥b【分析】根据不等式的性质，分别进行递推判断即可．【解答】解：A．若f（a）≤|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|，即|a|≤|b|，则a≤b不一定成立，故A错误，B．若f（a）≤2b，则由条件知f（x）≥2x，即f（a）≥2a，则2a≤f（a）≤2b，则a≤b，故B正确，C．若f（a）≥|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|，则|a|≥|b|不一定成立，故C错误，D．若f（a）≥2b，则由条件f（x）≥2x，得f（a）≥2a，则2a≥2b，不一定成立，即a≥b不一定成立，故D错误，故选：B．【点评】本题主要考查不等式的判断和证明，根据条件，结合不等式的性质是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．8．（5分）如图，点列{An }、{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，A n ≠An+1，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N*，（P≠Q表示点P与Q不重合）若dn =|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（）A．{Sn }是等差数列 B．{Sn2}是等差数列C．{dn }是等差数列 D．{dn2}是等差数列【分析】设锐角的顶点为O，再设|OA1|=a，|OB1|=c，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|Bn Bn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，c不确定，判断C，D不正确，设△AnBnBn+1的底边B n Bn+1上的高为hn，运用三角形相似知识，hn+hn+2=2hn+1，由Sn=d•hn，可得S n +Sn+2=2Sn+1，进而得到数列{Sn}为等差数列．【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=c，|An An+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，c不确定，则{dn}不一定是等差数列，{dn2}不一定是等差数列，设△An BnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，由三角形的相似可得==，==，两式相加可得，==2，即有hn +hn+2=2hn+1，由Sn =d•hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn，则数列{Sn}为等差数列．另解：可设△A1B1B2，△A2B2B3，…，AnBnBn+1为直角三角形，且A1B1，A2B2，…，AnBn为直角边，即有hn +hn+2=2hn+1，由Sn =d•hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn，则数列{Sn}为等差数列．故选：A．【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题．二、填空题9．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是80 cm2，体积是40 cm3．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体下部为长方体，上部为正方体的组合体，结合图中数据求出它的表面积和体积即可．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2，表面积为2×4×4+2×42=64cm2，体积为2×42=32cm3；上部为正方体，其棱长为2，表面积是6×22=24 cm2，体积为23=8cm3；所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2，体积为32+8=40cm3．故答案为：80；40．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题，也考查了空间想象和计算能力，是基础题．10．（6分）已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是（﹣2，﹣4），半径是 5 ．【分析】由已知可得a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2，把a=﹣1代入原方程，配方求得圆心坐标和半径，把a=2代入原方程，由D2+E2﹣4F＜0说明方程不表示圆，则答案可求．【解答】解：∵方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，∴a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2．当a=﹣1时，方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0，配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为5；当a=2时，方程化为，此时，方程不表示圆，故答案为：（﹣2，﹣4），5．【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．11．（6分）已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A= ，b= 1 ．【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案．【解答】解：∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+（cos2x+sin2x）=sin（2x+）+1，∴A=，b=1，故答案为：；1．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键．12．（6分）设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，x∈R，则实数a= ﹣2 ，b= 1 ．【分析】根据函数解析式化简f（x）﹣f（a），再化简（x﹣b）（x﹣a）2，根据等式两边对应项的系数相等列出方程组，求出a、b的值．【解答】解：∵f（x）=x3+3x2+1，∴f（x）﹣f（a）=x3+3x2+1﹣（a3+3a2+1）=x3+3x2﹣（a3+3a2）∵（x﹣b）（x﹣a）2=（x﹣b）（x2﹣2ax+a2）=x3﹣（2a+b）x2+（a2+2ab）x﹣a2b，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，∴，解得或（舍去），故答案为：﹣2；1．【点评】本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题．13．（4分）设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是．【分析】由题意画出图形，以P在双曲线右支为例，求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值，可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围．【解答】解：如图，由双曲线x2﹣=1，得a2=1，b2=3，∴．不妨以P在双曲线右支为例，当PF2⊥x轴时，把x=2代入x2﹣=1，得y=±3，即|PF2|=3，此时|PF1|=|PF2|+2=5，则|PF1|+|PF2|=8；由PF1⊥PF2，得，又|PF1|﹣|PF2|=2，①两边平方得：，∴|PF1||PF2|=6，②联立①②解得：，此时|PF1|+|PF2|=．∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（）．故答案为：（）．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．14．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是．【分析】如图所示，取AC的中点O，AB=BC=3，可得BO⊥AC，在Rt△ACD′中，AC=．作D′E⊥AC，垂足为E，D′E=．CO=，CE==，EO=CO ﹣CE=．过点B作BF∥AC，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．则四边形BOEF为矩形，BF=EO=．EF=BO=．则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．利用余弦定理求出D′F2的最小值即可得出．【解答】解：如图所示，取AC的中点O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC，在Rt△ACD′中，=．作D′E⊥AC，垂足为E，D′E==．CO=，CE===，∴EO=CO﹣CE=．过点B作BF∥AC，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．则四边形BOEF为矩形，∴BF=EO=．EF=BO==．则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥，cosθ=1时取等号．∴D′B的最小值==2．∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===．也可以考虑利用向量法求解．故答案为：．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．15．（4分）已知平面向量，，||=1，||=2，=1，若为平面单位向量，则||+||的最大值是．【分析】由题意可知，||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，由此可知，当与共线时，||+||取得最大值，即．【解答】解：||+||=，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值．∴=．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题．三、解答题16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．【分析】（1）由b+c=2acosB，利用正弦定理可得：sinB+sinC=2sinAcosB，而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入化简可得：sinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），可得0＜A﹣B＜π，即可证明．（II）cosB=，可得sinB=．cosA=cos2B=2cos2B﹣1，sinA=．利用cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB即可得出．【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．∴A=2B．（II）解：cosB=，∴sinB==．cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）设数列{an }的前n项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式an；（Ⅱ）求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和．【分析】（Ⅰ）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列{an }是公比q=3的等比数列，即可求通项公式an；（Ⅱ）讨论n的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，解得a1=1，a2=3，当n≥2时，an+1=2Sn+1，an=2Sn﹣1+1，两式相减得an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an，即an+1=3an，当n=1时，a1=1，a2=3，满足an+1=3an，∴=3，则数列{an}是公比q=3的等比数列，则通项公式an=3n﹣1．（Ⅱ）an﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，设bn =|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，则b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，则bn =|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，此时数列{|an ﹣n﹣2|}的前n项和Tn=3+﹣=，则Tn==．【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{an}是等比数列是解决本题的关键．求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和．18．（15分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠A CB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．【分析】（Ⅰ）根据三棱台的定义，可知分别延长AD，BE，CF，会交于一点，并设该点为K，并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK，进而得出BF⊥AC．而根据条件可以判断出点E，F分别为边BK，CK的中点，从而得出△BCK为等边三角形，进而得出BF⊥CK，从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF为直线BD和平面ACFD所成的角，根据条件可以求出BF=，DF=，从而在Rt△BDF中可以求出BD的值，从而得出cos ∠BDF的值，即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示：∵平面BCFE ⊥平面ABC，且AC⊥BC；∴AC⊥平面BCK，BF⊂平面BCK；∴BF⊥AC；又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点；∴BF⊥CK，且AC∩CK=C；∴BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）∵BF⊥平面ACFD；∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角；∵F为CK中点，且DF∥AC；∴DF为△ACK的中位线，且AC=3；∴；又；∴在Rt△BFD中，，cos；即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为【点评】考查三角形中位线的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定定理，线面角的定义及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义．19．（15分）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y 轴的距离等于|AF|﹣1，（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得p值；（Ⅱ）设出直线AF的方程，与抛物线联立，求出B的坐标，求出直线AB，FN 的斜率，从而求出直线BN的方程，根据A、M、N三点共线，可求出M的横坐标的表达式，从而求出m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离，由抛物线定义得，，即p=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为y2=4x，F（1，0），可设（t2，2t），t≠0，t ≠±1，∵AF不垂直y轴，∴设直线AF：x=sy+1（s≠0），联立，得y2﹣4sy﹣4=0．y 1y2=﹣4，∴B（），又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，从而得FN：，直线BN：y=﹣，则N（），设M（m，0），由A、M、N三点共线，得，于是m==，得m＜0或m＞2．经检验，m＜0或m＞2满足题意．∴点M的横坐标的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属中档题．20．（15分）设函数f（x）=x3+，x∈[0，1]，证明：（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x2（Ⅱ）＜f（x ）≤．【分析】（Ⅰ）根据题意，1﹣x+x2﹣x3=，利用放缩法得≤，即可证明结论成立；（Ⅱ）利用0≤x≤1时x3≤x，证明f（x ）≤，再利用配方法证明f（x ）≥，结合函数的最小值得出f（x ）＞，即证结论成立．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为f（x）=x3+，x∈[0，1]，且1﹣x+x2﹣x3==，所以≤，所以1﹣x+x2﹣x3≤，即f（x）≥1﹣x+x2；（Ⅱ）证明：因为0≤x≤1，所以x3≤x，所以f（x）=x3+≤x+=x+﹣+=+≤；由（Ⅰ）得，f（x）≥1﹣x+x2=+≥，且f （）=+=＞，所以f（x ）＞；综上，＜f（x ）≤．【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目．第21页（共21页）。

【解析】
{2,4,6}U
P =){2,4,6}{1,2,4}{1,2,4,6}(U P Q ==【提示】先求出
U
P ，再得出()U P Q
【考点】集合运算． 交于直线l ，
n
d h，可
211
n n n n
S S S S
+++
=
--，则数列{}
n
S为等差数列，故选A．
体积为28
=cm；所以几何体的表面积为64242280
+-⨯=cm，体积为32840
+=cm
定理求出D F '的最小值即可得出．
||||||||
a e
b e
a e
b e e e +=
+，其几何意义为a 在e 上的投影的绝对值与b 在e 上投影的绝对值的和，当e 与a b +共线时，取得最大值．∴22max (||||)||||||27a e b e a b a b a b +=+=++=．
||||a e b e +为a 在e 上的投影的绝对值与b 在e 上投影的绝对值的和，e 与a b +共线时，||||a e b e +取得最大值，即||a b +
【考点】平面向量的数量积运算． 三、解答题
⊥．所以BF⊥平面ACFD．为等边三角形，且F为CK的中点，则BF CK
+∞．
,0)(2,)
）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得的方程，与抛物线联立，求出
三点共线，可求出M。