2015江苏高考数学一轮复习配套练习(含答案)课时跟踪检测(十七) 任意角和弧度制及任意角的三角函数

课时作业19 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．将－300°化为弧度为( B ) A ．－43π B．－53πC ．－76π D．－74π解析：－300×π180＝－53π.2．tan 8π3的值为( D )A.33 B ．－33C. 3 D ．－ 3解析：tan 8π3＝tan(2π＋2π3)＝tan 2π3＝－ 3.3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( C ) A ．2 B ．sin2 C.2sin1D ．2sin1 解析：r ＝1sin1，l ＝θ·r ＝2·1sin1＝2sin1，故选C.4．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为(C)A.5π6B.2π3 C.11π6 D.5π3解析：因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33，又θ∈[0,2π)，可得θ＝11π6.5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( D )A.45 B ．－45 C.35 D ．－35解析：因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.6．(2019·某某一模)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( D )A.43B.34 C ．－34D ．－43解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43.7．点P (cos α，tan α)在第二象限是角α的终边在第三象限的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：若点P (cos α，tan α)在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，tan α>0，可得α的终边在第三象限；反之，若角α的终边在第三象限，有⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，tan α>0，即点P (cos α，tan α)在第二象限，故选项C 正确．8．已知A (x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点O )上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°，交单位圆于点B (x B ，y B )，则x A －y B 的取值X 围是( C )A ．[－2,2]B ．[－2，2]C ．[－1,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12解析：设x 轴正方向逆时针到射线OA 的角为α，根据三角函数的定义得x A ＝cos α，y B ＝sin(α＋30°)，所以x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝－32sin α＋12cos α＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．二、填空题9．－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是143°，最大负角是－217°.解析：因为－2 017°＝－6×360°＋143°，所以－2 017°角的终边与143°角的终边相同．所以－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是143°.又143°－360°＝－217°，故与－2 017°角终边相同的最大负角是－217°.10．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第四象限角．解析：由角α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z )，则k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )，故α2是第二或第四象限角．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2<0，所以α2只能是第四象限角．11．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为518.解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则扇形与圆面积之比为12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527，∴α＝5π6.∴扇形的弧长与圆周长之比为l c ＝5π6·23r 2πr ＝518.12．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝13.解析：解法1：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y 轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13.综合可得sin β＝13.解法2：令角α与角β均在区间(0，π)内，故角α与角β互补，得sin β＝sin α＝13. 解法3：由已知可得，sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝13(k ∈Z )．13．已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( D )A.5π6 B.2π3 C.5π3 D.11π6解析：由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6.14．(2019·某某模拟)已知角α的顶点在原点，始边在x 轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点A (m ，3m )，则sin2α＝32. 解析：由题意得|OA |2＝m 2＋3m 2＝1， 故m 2＝14.由任意角三角函数定义知cos α＝m ，sin α＝3m ，由此sin2α＝2sin αcos α＝23m 2＝32. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( D ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 解析：由三角函数线可知选D.16．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos2α＝23，则|a －b |＝( B )A.15B.55C.255D ．1 解析：解法1：由正切定义tan α＝y x，则tan α＝a 1＝b2，即a ＝tan α，b ＝2tan α.又cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝23，得tan 2α＝15，tan α＝±55. ∴|b －a |＝|2tan α－tan α|＝|tan α|＝55. 解法2：由两点斜率公式，得：tan α＝b －a2－1＝b －a .又cos2α＝cos 2α－sin 2α ＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝23， 解得tan 2α＝15，∴|b －a |＝|tan α|＝55.。

2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答：解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g （x ）与φ（x ）=﹣f （x ）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数为4． 故答案为：4． 点评：本题考查求方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k •a k+1）的值为 ．考点：数列的求和． 专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用． 分析： 利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出． 解解：答：=+=++++=++=++，∴（a k •a k+1）=+++++++…+++++++…+=+0+0 =．故答案为：9．点评： 本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（14分）（2015•江苏）在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，A=60°． （1）求BC 的长； （2）求sin2C 的值．考点： 余弦定理的应用；二倍角的正弦． 专题： 解三角形． 分析：（1）直接利用余弦定理求解即可． （2）利用正弦定理求出C 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可． 解答：解：（1）由余弦定理可得：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB ＜BC ，∴C 为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f （t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=•=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．考点：等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln （1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=＞0，由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．考点：特征值与特征向量的计算．专题：矩阵和变换．分析：利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．解答：解：由已知，可得A=﹣2，即==，则，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵A的另一个特征值为1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解答：解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g（x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）f（6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：（1）f（6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。

A.135°B.45°C.225°D.-225°2.已知角α的终边与单位圆交于点-,则tan α= ()A.-B.-C.-D.-3.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是()A.{α|-45°≤α≤120°} C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}B.{α|120°≤α≤315°} D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}4.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1相交于点P,则sin=()A.1B.C.-D.-5.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是 ()A. B. C.- D.-6.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是()A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]7.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,则cos α-sin α=.8.函数f(α)=-的定义域为.9.已知角α终边上一点P与点A(-1,2)关于y轴对称,角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称,则sinα+sinβ=.10.若角α与角终边相同,则在[0,2π]内终边与角终边相同的角是.11.已知扇形的周长为20 cm,当,它的圆心角的弧度数是多少时，它的面积最大最大值是多少？A.135°B.45°C.225°D.-225°答案.C因为-495°=-2×360°+225°,所以与-495°角终边相同的是225°角.2.已知角α的终边与单位圆交于点-,则tan α= ()A.-B.-C.-D.-=-,故选D.答案.D根据三角函数的定义,tan α==-3.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是()A.{α|-45°≤α≤120°} C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}B.{α|120°≤α≤315°} D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}答案.C4.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1相交于点P,则sin=()A.1B.C.-D.-答案.B∵点P在单位圆上,∴y=±,∴α=+2kπ k∈Z或α=-+2kπ k∈Z.∴sin=cos α=cos=cos=.故选B.5.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是 ()A. B. C.- D.-答案.A将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转,故选项C,D不正确.又拨慢10分钟,所以转过的角度应为圆周的=,即为×2π=.6.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是()A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]答案.A由cos α≤0 sin α>0可知,角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上,所以有-解得-2<a≤3.7.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,则cos α-sin α=. 答案.因为角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,不妨令x=-3,则y=-4,∴r=5,∴cos α==-,sin α==-,则cos α-sin α=-+=.8.函数f(α)=-的定义域为.答案.-(k∈Z)∵2cos α-1≥0 ∴cos α≥.由三角函数线画出角α满足条件的终边的范围(如图阴影部分所示).故α∈-(k∈Z).9.已知角α终边上一点P与点A(-1,2)关于y轴对称,角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称,则sinα+sinβ=.答案.0∵角α终边上一点P与点A(-1,2)关于y轴对称,∴P(1,2).∵角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称,∴Q(1,-2).由三角函数的定义可知sin α=,sin β=-,∴sin α+sin β=-=0.10.若角α与角终边相同,则在[0,2π]内终边与角终边相同的角是.答案.,,,由题意,得α=+2kπ(k∈Z),=+(k∈Z).又∈[0 2π]所以k=0,1,2,3,相应地有=,,,.11.已知扇形的周长为20 cm,当,它的圆心角的弧度数是多少时，它的面积最大最大值是多少？解答∵扇形的周长为20 cm,∴l+2r=20,即l=20-2r,∴扇形的面积S=lr=(20-2r)·r=-r2+10r=-(r-5)2+25,∴当半径r=5时,扇形的面积最大为25,此时α==2(rad).。

2015年江苏高考数学模拟试卷（一）第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知全集{|0}U x x =∈>R ，集合{}2A x x =∈R ≥，则U A ð ▲ ． 2．如图所示，在复平面内，点A 对应的复数为z ，则z 2的模为 ▲ ． 3．抛物线22y x =-的焦点坐标是 ▲ ．4．已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l ax y -+=．则“3-=a ”是“1l ∥2l ”的 ▲ 条件． 5．当向量(1,1)==-a c ，(1,0)=b 时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为 ▲ ．6．为了解某年级女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十米跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示．由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的概率为 ▲ ．7．定义在R 上的偶函数()f x x a x b =-+-（其中a b 、为常数）的最小值为2，则22=a b + ▲ ．8．设不等式组2201010x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域为D ，()P x y ，是区域D 上任意一点，则2x y --的最小值是 ▲ ．9．已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 ▲ ． 10．已知)2,0(,1010)4cos(πθπθ∈=+，则sin(2)3πθ-= ▲ ． 11．已知22:1O x y +=e ，若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O e 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是 ▲ ．12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上的任意一点，若7 88 6 1 8 9 1 5 7 8A 1-2Oyx212||||PF PF 的最小值为8a ，则双曲线离心率的取值范围是 ▲ ．13．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数．若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 等于 ▲ ． 14．在等腰三角形ABC 中，AB AC =，D 在线段AC 上，AD kAC =（k 为常数，且10<<k ），lBD =为定长，则ABC ∆的面积最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）函数π()cos(π)(0)2f x x ϕϕ=+<<的部分图象如图所示． （1）写出ϕ及图中0x 的值；（2）求()f x 在区间11[,]23-上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中， 11AA B B 为正方形，11BB C C 是菱形，平面11AA B B ⊥平面11BB C C ． （1）求证：//BC 平面11AB C ； （2）求证：1B C ⊥1AC ；（3）设点,,,E F H G 分别是111111,,,B C AA A B B C 的中点，试判断,,,E F H G 四点是否共面，并说明理由．CBC 1B 1A 1A如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角︒=∠45CAD ． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在何处时，βα+最小？18．（本小题满分16分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>且过点P ．右焦点为F ，点N （2,0）． （1）求椭圆E 的方程；（2）设动弦AB 与x 轴垂直，求证：直线AF 与直线BN 的交点M 仍在椭圆E 上．ABDCPβ α已知函数e ()xf x x=．（1）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为0ax y -=，求0x 的值； （2）当0x >时，求证：()f x x >；（3）设函数()()F x f x bx =-，其中b 为实常数，试讨论函数()F x 的零点个数，并证明你的结论．20．（本小题满分16分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，122n n a a p +=+（p 为常数，1,2,3,n =L ）． （1）若312S =，求n S ；（2）若数列{}n a 是等比数列，求实数p 的值． （3）是否存在实数p ，使得数列1{}na 满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的p 的值；若不存在，说明理由．第II 卷 （附加题 分值40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，P 是O e 外一点，PD 为切线，割线PEF 经过圆心O ，若12PF =，43PD =，求EFD ∠的度数．B ．选修4—2：矩阵与变换将曲线y ＝2sin4x 经矩阵M 变换后的曲线方程为y ＝sin x ，求变换矩阵M 的逆矩阵．C ．选修4—4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x (t 为参数，πα<<0)，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求AB 的最小值．D ．选修4—5：不等式选讲已知0a b >，且1a b +=，求证：212122a b +++≤．【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1、BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足111B A P A λ=（∈λR ）． （1）证明：PN ⊥AM ；（2）若平面PMN 与平面ABC 所成的角为45°，试确定点P 的位置．23．（本小题满分10分）已知数列{a n }满足：1*1122,1()n a n a a a a n -+=-=+∈N ． （1）若1a =-，求数列{a n }的通项公式；（2）若3a =，试证明：对*n ∀∈N ，a n 是4的倍数．2015年江苏高考数学模拟试卷（一）第Ⅰ卷 参考答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{|02}x x ∈<<R 2．5 3． 1(,0)2- 4．充分不必要 5．2 6．0.625 7．28．3- 9．2π 10．410- 11． (,1][1,)-∞-+∞U 12．(]1,3 13．12 14．)1(222k l -． 解析：2．2225z i z z =-+==， 4．1230l l a a ⇒=-=∥或,7．由题意()f x x a x b =-+-为偶函数，故0a b +=，又()f x 的最小值为2，所以2a b -=，所以221a b ==10．4cos(2)sin 225πθθ+=-=-，3cos()0,cos245πθθ+>∴=Q，故sin(2)3πθ-12．设2PF x =，2448a x a a x++≥，所以2x a c a =-≥，所以13e <≤13．2222221232222212349141a a a d d d b b b d d q d q q q ++++==++++++，令214=1t q q ++，t 为正整数，所以214+1=0q q t +-，解得q =8t 时，12q =14．如图，以B 为原点，BD 为x 轴建立直角坐标系xBy ．设A (x ，y )，y >0．因AD =kAC =kAB ，故AD 2=k 2AB 2，于是(x -l )2+y 2=k 2(x 2+y 2)．所以，22222(1)21k x lx l y k --+-=-=2222222(1)()111l k l k x k k k ---+---≤2222(1)k l k -，于是，max21kly k =-，2max 2()2(1)ABD kl S k ∆=-，2max max 21()()2(1)ABC ABD l S S k k ∆∆==-． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）ϕ的值是π6．0x 的值是53． （2）由（1）可知：π()cos(π)3f x x =+．因为 11[,]23x ∈-，所以 ππππ362x -+≤≤． 所以 当ππ03x +=，即13x =-时，()f x 取得最大值1；当πππ62x +=，即13x =时，()f x 取得最小值0．16．证明：（1）在菱形11BB C C 中，BC ∥11B C ．因为 BC Ë平面11AB C ，11B C Ì平面11AB C ， 所以 //BC 平面11AB C ．（2）连接1BC ．在正方形11ABB A 中，1AB BB ^． 因为 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B I 平面111BB C C BB =，AB Ì平面11ABB A ， 所以 AB ^平面11BB C C ．因为 1B C Ì平面11BB C C ， 所以 1AB B C ^． 在菱形11BB C C 中，11BC B C ^．因为 1BC Ì平面1ABC ，AB Ì平面1ABC ，1BC AB B I =，所以 1B C ^平面1ABC ． 因为 1AC Ì平面1ABC ， 所以 1B C ⊥1AC ． （3）,,,E F H G 四点不共面． 理由如下：因为 ,E G 分别是111,B C B C 的中点， 所以 GE ∥1CC ． 同理可证：GH ∥11C A ．因为 GE Ì平面EHG ，GH Ì平面EHG ，GE GH G I =，1CC Ì平面11AAC C ，11A C Ì平面11AAC C ，所以 平面EHG ∥平面11AAC C ． 因为 F ∈平面11AAC C ，所以 F ∉平面EHG ，即,,,E F H G 四点不共面．17．解：（1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则9CE =，6DE =，设BC x =，则tan tan tan tan()1tan tan CAE DAECAD CAE DAE CAE DAE ∠∠∠=∠∠=-∠⨯∠++961961x x x x==-⋅+， 化简得215540x x --=，解之得，18x =或3x =-（舍） 答：BC 的长度为18m ．（2）设BP t =，则18(018)CP t t =-<<，CBC 1B 1A 1AH GFECBC 1B 1A 1A2291516266(27)18tan()9151813518135118t t t t t t t t t tαβ-===-----⋅-++++++．设227()18135tf t t t =--++，222542723()(18135)t t f t t t -⨯'=-++，令()0f t '=，因为018t <<，得27t =，当27)t ∈时，()0f t '<，()f t 是减函数；当27,18)t ∈时，()0f t '>，()f t 是增函数，所以，当27t =时，()f t 取得最小值，即tan()αβ+取得最小值，因为2181350t t --<+恒成立，所以()0f t <，所以tan()0αβ<+，(,)2αβπ∈π+， 因为tan y x =在(,)2ππ上是增函数，所以当27t =时，αβ+取得最小值． 答：当BP为27)m 时，αβ+取得最小值． 18．（1）解：因为2e =，所以a =，b =c ， 即椭圆E 的方程可以设为222212x y b b+=．将点P 的坐标代入得：213144b =+=， 所以，椭圆E 的方程为2212x y +=． （2）证明：右焦点为F （1,0），设00(,)A x y ，由题意得00(,)B x y -．所以直线AF 的方程为：00(1)1y y x x =--， ① 直线BN 的方程为：00(2)2y y x x -=--， ② ①、 ②联立得，0000(1)(2)12y y x x x x --=---， 即003423x x x -=-，在代入②得，000034(1)123y x y x x -=---，即0023y y x =-．所以点M 的坐标为000034(,)2323x y x x ---．又因为2222220000200034(34)21()()2223232(23)M M x y x y x y x x x --++=+=--- ③将22012x y =-代入③得，2222202000222000(34)2(1)824182(23)2122(23)2(23)2(23)M M x x x x x x y x x x -+--+-+====---． 所以点M 在椭圆E 上．19．（1）解：2e e '()x xx f x x-=． 因为切线0ax y -=过原点(0,0)， 所以 00000200e e e x x x x x x x -=，解得：02x =． （2）证明：设2()e ()(0)xf xg x x x x ==>，则24e (2)'()x x x g x x -=． 令24e (2)'()0x x x g x x -==，解得2x =． x 在(0,)+∞上变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表所以 当2x =时，()g x 取得最小值2e4． 所以 当0x >时，2e ()14g x ?，即()f x x >．（3）解：()0F x =等价于()0f x bx -=，等价于20xe b x-=．注意0x ≠．令2()x e H x b x =-，所以3(2)()(0)x e x H x x x -'=≠． （I ）当0b ≤时， ()0H x >，所以()H x 无零点，即F(x)定义域内无零点．（II ）当0b >时，（i ）当0x <时，()0H x '>，()H x 单调递增；因为()H x 在(,0)-∞上单调递增，而11(H be b b -=-=⋅，又1>，所以(0H <．又因为1(n H nbe b b -=-=⋅，其中n N *∈，取13n b ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，1b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示1b的整数部分．所以1e <<，3n >，由此(0H >． 由零点存在定理知，()H x 在(,0)-∞上存在唯一零点． （ii ）当02x <<时，()0H x '<，()H x 单调递减； 当2x >时，()0H x '>，()H x 单调递增．所以当2x =时，()H x 有极小值也是最小值，2(2)4e H b =-． ①当2(2)04e H b =->，即204e b <<时，()H x 在(0,)+∞上不存在零点； ②当2(2)04e H b =-=，即24e b =时，()H x 在(0,)+∞上存在惟一零点2；………12分 ③当2(2)04e H b =-<，即24e b >时，由1>有(1)0H b b =-=->，而(2)0H <，所以()H x 在(0,2)上存在惟一零点；又因为23b >，223224(2)44b b e e b H b b b b -=-=． 令31()2th t e t =-，其中22t b =>，23()2t h t e t '=-，()3t h t e t ''=-，()3t h t e '''=-， 所以2()30h t e '''>->，因此()h t ''在(2,)+∞上单调递增，从而2()(2)60h t h e ''>=->， 所以()h t '在(2,)+∞上单调递增，因此2()(2)60h t h e ''>=->， 故()h t 在(2,)+∞上单调递增，所以2()(2)40h t h e >=->．由上得(2)0H b >，由零点存在定理知，()H x 在(2,2)b 上存在惟一零点，即在(2,)+∞上存在唯一零点．综上所述：当0b ≤时，函数F(x)的零点个数为0；当2e 04b <<时，函数F(x)的零点个数为1；当2e 4b =时，函数F(x)的零点个数为2；当2e 4b >时，函数F(x)的零点个数为3．20．解：（1）因为 11a =，122n n a a p +=+，所以 21222a a p p =+=+，322222a a p p =+=+． 因为 312S =，所以 22226324p p p ++++=+=，即6p =． 所以 13(1,2,3,)n n a a n +-==L ．所以 数列{}n a 是以1为首项，3为公差的等差数列．所以 2(1)31322n n n n nS n --=⨯+⨯=． （2）若数列{}n a 是等比数列，则2213a a a =．由（1）可得：2(1)1(1)2p p +=⨯+．解得：0p =． 当0p =时，由122n n a a p +=+得：11n n a a +===L ． 显然，数列{}n a 是以1为首项，1为公比的等比数列． 所以 0p =．（3）当0p =时，由（2）知：1(1,2,3,)n a n ==L ．所以11(1,2,3,)nn a ==L ，即数列1{}n a 就是一个无穷等差数列．所以 当0p =时，可以得到满足题意的等差数列． 当0p ≠时，因为 11a =，122n n a a p +=+，即12n n pa a +-=， 所以 数列{}n a 是以1为首项，2p为公差的等差数列． 所以 122n p p a n =+-． 下面用反证法证明：当0p ≠时，数列1{}na 中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等差数列．假设存在00p ≠，从数列1{}na 中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为{}nb ． 设数列{}n b 的公差为d ．①当00p >时，0(1,2,3,)n a n >=L ． 所以 数列{}n b 是各项均为正数的递减数列． 所以 0d <．因为 1(1)(1,2,3,)n b b n d n =+-=L ， 所以 当11b n d >-时，111(1)(11)0n bb b n d b d d=+-<+--=，这与0n b >矛盾． ②当00p <时，令001022p pn +-<，解得：021n p >-．所以 当021n p >-时，0n a <恒成立． 所以 数列{}n b 必然是各项均为负数的递增数列． 所以 0d >．因为 1(1)(1,2,3,)n b b n d n =+-=L ， 所以 当11b n d >-时，111(1)(11)0n bb b n d b d d=+->+--=，这与0n b <矛盾． 综上所述，0p =是唯一满足条件的p 的值．第II 卷 参考答案与解析21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲 解：连结DO ，Q PD 为切线，PEF 为割线，∴2PD PE PF =⋅，又Q PD =12PF =，∴24PD PE PF==，∴8EF PF PE =-=，4EO =，Q PD 为切线，D 为切点，∴OD PD ⊥在Rt PDO V 中，4OD =，8PO PE EO =+=，∴30DPO ∠=o ，60DOP ∠=o ，Q OD OF =，∴1302EFD DOP ∠=∠=o ． B ．选修4—2：矩阵与变换解：由条件知点(x ，y)在矩阵M 作用下变换为点⎝⎛⎭⎫4x ，y 2，即M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4x y 2， 所以M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012，设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，于是有MM －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝14b ＝0c 2＝0d 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝0c ＝0d ＝2，所以M 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002． C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（1）由θθρcos 4sin 2=，得θρθρcos 4)sin (2=所以曲线C 的直角坐标方程为x y 42=．（2）将直线l 的参数方程代入x y 42=，得04cos 4sin 22=--ααt t ．设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则=+21t t αα2sin cos 4，=21t t α2sin 4-， ∴=-+=-=21221214)(t t t t t t AB αααα2242sin 4sin 16sin cos 16=+，当2πα=时，AB 的最小值为4．D ．选修4—5：不等式选讲解：()()()22221212121118a b a b +++++++=≤，∴212122a b +++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）证明：如图，以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ．则P （λ，0,1），N （12，12，0），M （0,1，12），从而PN u u u r ＝（12－λ，12，－1），AM u u u u r ＝（0,1，12），PN AM ⋅u u u r u u u u r ＝（12－λ)×0＋12×1－1×12＝0，所以PN ⊥AM ；（2）平面ABC 的一个法向量为n ＝1AA u u u r＝（0,0,1）．设平面PMN 的一个法向量为m ＝（x ，y ，z ），由（1）得MP u u u r ＝（λ，－1，12）．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.021,021)21(,0,0z y x z y x MP m NP m λλ得 解得))1(2,12,3(,3.3)1(2,312λλλλ-+==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=m x x z x y 得令． ∵平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n |m |·|n ||＝|2(1－λ)|9＋(2λ＋1)2＋4(1－λ)2＝22，解得λ＝－12．故点P 在B 1A 1的延长线上，且|A 1P |＝12．23．解：（1）当1a =-时，1114,(1)1n a n a a -+=-=-+．令1n n b a =-，则115,(1)n b n b b +=-=-． 因15b =-为奇数，n b 也是奇数且只能为1-， 所以，5,1,1,2,n n b n -=⎧=⎨-≥⎩即4,1,0, 2.n n a n -=⎧=⎨≥⎩（2）当3a =时，1114,31n a n a a -+==+．下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数． 当1n =时，1441a ==⨯，命题成立；设当*()n k k =∈N 时，命题成立，则存在t ∈N *，使得4k a t =，1414(1)1313127(41)1k a t t k a ---+∴=+=+=⋅-+27(41)14(277)m m =⋅++=+，其中，4(1)14544434(1)4(1)4(1)44C 4(1)C 4C 4t t r r t r t t t t m --------=-⋅++-⋅+-⋅L L ，m ∴∈Z ，∴当1n k =+时，命题成立．∴由数学归纳法原理知命题对*n ∀∈N 成立．2015年江苏高考数学模拟试卷（二）第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．函数2()log (21)f x x =-的定义域为 ▲ ． 2．若复数iia ++2是实数（i 为虚数单位），则实数a 的值是 ▲ ． 3．在大小相同的4个小球中，2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是 ▲ ． 4．若()1cos 33πα-= ，则()sin 26πα-= ▲ ． 5．如图所示的流程图，若输入x 的值为 5.5-，则输出的结果c = ▲ ．6．已知实数x y ，满足约束条件 13230x x y x y ⎧⎪+⎨⎪--⎩≥≤≤ 若z ax y =+取得最小值时的最优解有无数个，则a = ▲ ．7．给出下列命题：其中，所有真命题的序号为 ▲ ．（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中正确的是 ▲ ．8．设斜率为22的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于不同的两点P 、Q ，若点P 、Q 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．9．已知等比数列{}n a 各项都是正数，且42324,4a a a -==，则{}n a 前10项的和为 ▲ ．10．在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别是2222a b c a b c +=，，，，则角C 的取值范围是 ▲ ． 11．如图，函数()()2sin (0,)2f x x πωϕωϕπ=+>≤≤的部分图象，其中A B ，分别是图中的最高点和最低点，且5AB =，那么ωϕ+的值为 ▲ ． 12．若141m x x+-≥对任意的)1,0(∈x 恒成立，则m 的取值范围为 ▲ ． 13．若正实数a ，b ，c 满足2223108a ab b c +-=，且a>b ，若不等式5a +6b ≥kc 恒成立，则实数k 的最大值为 ▲ ．14．设三角形ABC 的内角A 、B 、C 所对边a 、b 、c 成等比数列，则sin cos tan sin cos tan A A CB B C++的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量a =sin θ)与b =(1，cos θ)互相平行，其中θ∈(0，2π)． （1）求sin θ和cos θ的值；（2）求f (x )=sin(2x ＋θ)的最小正周期和单调增区间．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 中点，N 是PC 中点， （1）求证：//MN 面PAB ；（2）若面PMC ⊥面PAD ，求证：CM AD ⊥．BDA O BM C DEF N xy如图，某小区有一矩形地块OABC ，其中2=OC ，3=OA （单位百米）．已知OEF 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边EF 相切于点M 的直路l （宽度不计），交线段OC 于点D ，交线段OA 于点N ．现以点O 为坐标原点，线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边EF 满足函数()2202y x x =-+剟的图象．若点M 到y 轴距离记为t ． （1）当32=t 时，求直路l 所在的直线方程； （2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，并求出最大值．18．（本小题满分16分）已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 2e =﹒ （1）求椭圆E 的方程；（2）过点()1,0作斜率为k 的直线l 交点B 是点A 关于x 求出定点坐标﹒在数列{a n }中，1n a n=(n ∈N *)．从数列{a n }中选出k (k ≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{b n }，并称{b n }为数列{a n }的k 项之列．例如数列11112358，，，为{a n }的一个4项子列． （1）试写出数列{a n }的一个3项子列，并使其为等差数列；（2）如果{b n }为数列{a n }的一个5项子列，且{b n }为等差数列，证明：{b n }的公差d 满足108d -<< ； （3）如果{c n }为数列{a n }的一个m (m ≥3)项子列，且{c n }为等比数列，证明：c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m ≤2－112m -．20．（本小题满分16分）已知函数xm x x x f --=ln )(． （1）若,2=m 求)(x f 的最值； （2）讨论)(x f 的单调性；（3）已知B A ,是)(x f 图像上的二个不同的极值点，设直线AB 的斜率为k ． 求证: 1->k第II 卷 （附加题 分值40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，BAC ∠的平分线AD 交⊙O 于D ，过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ．若35AC AB =，求FDAF的值．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21c b M 有特征值11-=λ及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ． （1）求矩阵M ；（2）求曲线148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．选修4—5：不等式选讲已知222+=x y ，且x y ≠，求()()2211++-x y x y 的最小值．ABCDEFO【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，已知三棱锥ABC O -的侧棱OC OB OA ,,两两垂直，且2,1===OC OB OA ，E 是OC 的中点． （1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； （2）求二面角C BE A --的正弦值．23．（本小题满分10分）设整数3n ≥，集合{1,2,,},,P n A B =L 是P 的两个非空子集．记n a 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(,)A B 的个数． （1）求3a ； （2）求n a ．AECBO2015年江苏高考数学模拟试卷（二）第Ⅰ卷 参考答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．1(,)2+∞ 2．2 3．564．79- 5．1 6．－12 7．()1、()3、()4 89．1023 10．(0,]3π11．76π 12．1m ≥ 13． 14．解析：1．只要解不等式210x ->3．任意取两个球的种数有6种，取出两个都是白色的有2种， 116P =-6．直线y ＝－ax ＋z 与可行域（三角形）下边界x －2y －3＝0重合时z 最小，a=－128．设点P 、Q 在x 轴上的射影分别为焦点F 1、F 2，|PF 1|=2c (其中c 为|OF 1|的长)，从而|PF 2，所以2a =|PF 1|＋|PF 2|=，得e ． 9．由条件得11,2a q ==，则101023S =10．2222221cos 2442a b c a b ab C ab ab ab +-+===≥，又因为(0,)C π∈，得C ∈(0,]3π11． 23,6,2T T πω===得3πω=，又当0x =时，(0)1f =，得56πϕ=12．由题意可知0>m ，)1)(11(11x x x mx x m x -+-+=-+1111x mx m m x x-=+++++-≥∴14m ++，∴1m ≥13．由已知，2(4)(32)a b a b c +-=，40,320a b a b +>->，562(4)(32)a b a b a b +=++-≥min 56()a bk c+=≤14．sin cos tan sin cos tan A A C B B C ++=sin cos cos sin sin cos cos sin A C A C B C B C ++=sin()sin()A C B C ++=sin()sin()B A ππ--=sin sin B A =ba设a 、b 、c 的公比为q ，则b =aq ，c =aq 2，又 a 、b 、c 能构成三角形的三边，所以有222a aq aq aq aq a a aq aq ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，解得15151551q q q q R⎧-+<<⎪⎪⎪+-⎪<->⎨⎪∈⎪⎪⎪⎩或，即5151q -+<<． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）因为向量a 与b 平行，则sin θ=3cos θ，tan θ=3，又θ∈(0，2π)， 所以θ=3π，所以sin θ=32，cos θ=12；（2）由f (x )=sin(2x ＋θ)=sin(2)3x π+，得最小正周期T π=，由22k ππ-≤23x π+≤22k ππ+，k Z ∈，解得512k ππ-≤x ≤12k ππ+，k Z ∈， 所以f (x )的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈． 16．证明：（1）取PB 中点E ，连EA ，EN ，PBC ∆中，//EN BC 且12EN BC =， 又12AM AD =，//AD BC ，AD BC =得//EN =AM ，四边形ENMA 是平行四边形， 得//MN AE ，MN ⊄面PAB ，AE ⊂面PAB ，//MN ∴面PAB（2）过点A 作PM 的垂线，垂足为H ，Q 面PMC ⊥面PAD ，面PMC I 面PAD PM =，AH PM ⊥，AH ⊂面PADAH ∴⊥面PMC ，CM ⊂面PMC ，AH ∴⊥CMQ PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CM Q PA AH A =I ，PA 、AH ⊂面PAD ，CM ⊥面PAD ，AD ⊂Q 面PAD ，CM AD ∴⊥17．解：（1）由题意得()214,39M， 又因为2y x '=-，所以直线l 的斜率34-=k ，故直线l 的方程为()1442933y x -=--， 即92234+-=x y ． （2）由（1）易知)(2)2(:2t x t t y l --=--，即222++-=t tx y ．令0=y 得()122x t t=+，令0x =得22y t =+．由题意()2122,223t tt ⎧+⎪⎨⎪+⎩≤≤解得221t -≤≤． ()()2112222ODN S t t t ∆∴=⋅++()31444t t t=++．令()()31444g t t t t=++，则()()42222143443444t t g t t t t +-'=+-=()()2222324t t t +-=． 当6t =时，()60g '=；当()622,t ∈-时，()60g '<；∴所求面积的最大值为86918．解：（1）设椭圆E 的方程为22221x ya b +=，由已知得：2122a c c a⎧-=⎪⎨=⎪⎩21a c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ 2221b a c ∴=-= ，∴椭圆E 的方程为2212x y += （2）设()11,A x y ，()11,B x y -，则11x ≠，直线AP :11(1)1y y x x =--，与椭圆方程2222x y +=联立， 得()1222111234340x x y x x x -++-=，得113423P x x x -=-，点P 在直线AP 上，则1123P y y x =-，直线BP 方程：1111()(2)y y y x x x +=---，化简得：11(2)(2)y y x x =---，则直线BP 过定点(2,0)19．解：（1）3项子列111,,236；(答案不唯一)（2）由题意，知1≥b 1>b 2>b 3>b 4>b 5>0，所以d =b 2－b 1<0．若b 1=1，若{b n }为{a n }的一个5项子列，得b 2≤12，所以d =b 2－b 1≤12－1=－12，又b 5=b 1＋4d ，b 5>0，所以4d =b 5－b 1=b 5－1>－1，即d >－14，与d ≤－12矛盾，所以b 1≠1． 所以b 1≤12，因为b 5=b 1＋4d ，b 5>0，所以4d =b 5－b 1≥b 5－12>－12，即d >－18， 所以108d -<<．（3）由题意，设{c n }的公比为q ，则：c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m =c 1(1＋q ＋q 2＋……＋q m －1)，因为{c n }为{a n }的一个m 项子项，所以q 为正有理数，且q <1，c 1=1a≤1(a ∈N *)， 设q =(,*KK L N L∈，且K ，L 互质，L ≥2)， 当K =1时，因为q =1L ≤12，所以c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m =c 1(1＋q ＋q 2＋……＋q m －1)≤ 1＋12＋21()2＋……＋11()2m -=2－112m -； 当K ≠1时，因为c m =c 1qm －1=111m m K a L--⨯是{a n }的项，且K 、L 互质，所以a =K m －1×M (M ∈N*) 所以c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m =c 1(1＋q ＋q 2＋……＋q m －1)=1232111111()m m m m M K K L K L L----++++L 因为L ≥2，M ∈N *，所以c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m ≤1＋12＋21()2＋……＋11()2m -=2－112m -； 综上，c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m ≤2－112m -．20．解：（1）当2=m 时， 222(2)(2)(1)()0x x x x f x x x-----+'===，∴2=x ∴)(x f 在()2,0上单调递增，在()+∞,2上单调递减 ∴32ln )2()(max -==f x f（2）2221()()1m x x m f x x x x---'=-+= )0(>x i: 104m ∆-≤时，即≤时()0f x '≤，∴)(x f 在()+∞,0上单调递减．ii: ()0f x '=时24111m x +-=，24112mx ++=① 当041<<-m 时， 210x x << ∴)(x f 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-2411,0m上单调递减，在1122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递增，在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞++,2411m 上单调递减． ② 当0m ≥时， 210x x <<∴)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2411,0m 上单调递增，在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞++,2411m 上单调递减． （3）设)(,(),(,(2211x f x B x f x A则21,x x 是方程02=--m x x 的二个根，且m x x -=⋅21，1021<<<x x∴212221112121)(ln ln )()(x x x m x x x m x x x x x f x f k ------=--=2121211ln ln x x m x x x x ⋅+---=2ln ln 2121---=x x x x令)10(ln )(<<-=x xx x g ，∴ 11()10xg x x x-'=-=>，∴)(x g 在()1,0上单调递增 Θ1021<<<x x ，∴ )()(21x g x g <即2211ln ln x x x x -<-∴2121ln ln x x x x -<-，∴ 1ln ln 2121>--x x x x∴ 1->k第II 卷 参考答案与解析21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲解：连接OD ，BC ，设BC 交OD 于点M ．因为OA=OD ，所以∠OAD=∠ODA ；又因为∠OAD=∠DAE ，所以∠ODA=∠DAE 所以OD//AE ；又 因为AC ⊥BC ，且DE ⊥AC ，所以BC//DE ． 所以四边形CMDE 为平行四边形，所以CE=MD 由35AC AB =，设AC=3x ，AB=5x ，则OM=32x ，又OD=52x ， 所以MD=52x -32x =x ，所以AE=AC+CE=4x ，因为OD//AE ，所以FD AF =48552AE x OD x ==．B ．选修4—2：矩阵与变换 解：（1）由已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡111121c b ，即12,11=--=-c b ， ∴3,2==c b ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2331M ； （2）设曲线上任一点),(y x P ，P 在M 作用下对应点),(11'y x P ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x 232111 即⎩⎨⎧+=+=y x y y x x 23211，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=4321111y x y x y x ，代入148522=++y xy x 得22121=+y x ，即曲线148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线的方程是222=+y x ． C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －4，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． 圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －4＝0的距离为d ＝22＝2．又圆C 的半径r ＝2， 因此直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝22．D ．选修4—5：不等式选讲解：222x y +=Q ，()()224x y x y ∴++-= ，()()()2222114()()x y x y x y x y ⎛⎫++-+ ⎪+-⎝⎭Q≥，22111()()x y x y ∴++-≥， 当且仅当0x y ==，或0x ,y ==时2211()()x y x y ++-的最小值是1． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）以O 为原点，分别以OB ，OC ，OA 为x ，y ，z 轴，建立直角坐标系A (0，0，1)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，E (0，1，0)(2,1,0),(0,2,1)EB AC =-=-u u u r u u u r 2cos ,5EB AC ∴<>=-u u u r u u u r异面直线BE 与AC 所成角的余弦值为25． （2）(2,0,1),(0,1,1)AB AE =-=-u u u r u u u r，设平面ABE 的法向量为1(,,)x y z =n ，则由11,AB AE ⊥⊥n n u u u r u u u r ，得120(1,2,2)0x z y z -=⎧=⎨-=⎩n 取平面BEC 的法向量为2(0,0,1)=n122cos ,3∴<>=n n ， 二面角C BE A --． 23．解：（1）当n =3时，P ={1，2，3 }，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}， 则所有满足题意的集合对(A ，B )为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})， ({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对，所以a 35=；（2）设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤，整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：0111111C C C 2k k k k k -----++⋅⋅⋅+=， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，n 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n kn k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-， 从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---， 所以a n ()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=-=-=-⋅-=-⋅+-∑．2015年江苏高考数学模拟试卷（三）第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，集合B ＝{x |x <a }，其中a Z ∈，若A I B={1,2}，则a ＝ ▲ ． 2．若复数(1+i )z =3-4i (i 为虚数单位)，则复数z 的模| z | = ▲ ．3．右图是七位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 ▲ ．4．右边是一个算法的伪代码，若输入x 的值为1，则输出的x 的值是 ▲ ．5．有三张大小形状都相同的卡片，它们的正反面分别写有1和2、3和4、5和6，现将它们随机放在桌面上，则三张卡片上显示的数字之和大于10的概率是 ▲ ．6．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若371517233a a a a ++-=，则17S = ▲ ．7．已知正四棱锥的底面边长是2，这个正四棱锥的侧面积为16，则该正四棱锥的体积为 ▲ .8．设()αβ∈0π，，，且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=．则cos β的值为 ▲ ． 9．已知x ，y 满足约束条件1,3,23,x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥则z ＝2x ＋y 的最小值为 ▲ ．10．若2x ∀<，不等式()2620x a x a +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，A 为椭圆上一点，120AF AF ⋅=u u u r u u u u r ，2AF 与y轴交与点M ，若254F M MA =u u u u u r u u u r，则椭圆离心率的值为 ▲ ．12．已知二次函数232()(16)16f x ax a x a =+--（0a >）的图象与x 轴交于,A B 两点，则线段AB 长度的最小值 ▲ ．13．如图，在正△ABC 中，点G 为边BC 上的中点，线段AB ，AC 上的动点D ，E分别满足AD AB λ=u u u r u u u r ，(12)AE AC λ=-u u u r u u u r()λ∈R ，设DE 中点为F ，记()FG R BCλ=u u u r u u u r ，则()R λ的取值范围为 ▲ ． 14．设二次函数2()(21)2(0)f x ax b x a a =++--≠在区间[3,4]上至少有一个零点，则22a b +的最小值Read xIf x >3 then x ←x -3 Else x ←3-x EndIf Print x为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，且222a cb ac +=+． （1）若cosA ＝13，求sinC 的值；（2）若b ＝7，a ＝3c ，求三角形ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，底面ABCD 是菱形，45ABC ∠=︒， E 、F 分别是棱BC 、P A 上的点，EF //平面PCD ，PAE PAD ⊥平面平面． （1）求证：EF BC ⊥；（2）若AF FP λ=，求实数λ的值．如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB 长为2km ，C 、D 两点在半圆弧上，满足BC =CD ．设COB θ∠=．（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB 、BC 、CD 和DA 组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求l 的最大值．（2）若要在景区内种植鲜花，其中在AOD ∆和BOC ∆内种满鲜花，在扇形COD 内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S 最大．18．（本小题满分16分）如图，设A 、B 分别为椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点，P 是椭圆E 上不同于A 、B 的一动点，点F 是椭圆E 的右焦点，直线l 是椭圆E 的右准线．若直线AP 与直线：x a =和l 分别相交于C 、Q 两点，FQ 与直线BC 交于M ． （1）求:BM MC 的值；（2）若椭圆E的离心率为2，直线PM 的方程为80x +-=，求椭圆E 的方程．已知数列{n a }、{n b }满足：1121141n n n n n b a a b b a +=+==-，，.（1）求1234,,,b b b b ；（2）证明：11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（3）设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立．20．（本小题满分16分）已知函数()f x 满足2(2)()f x f x +=，当(02)x ∈，x ∈(0，2)时，1()ln ()2f x x ax a =+<-，当42x ∈--（，）时，()f x 的最大值为 - 4．（1）求实数a 的值； （2）设b ≠0，函数31()3g x bx bx =-，12x ∈（，）．若对任意112x ∈（，），总存在212x ∈（，），使()()120f x g x -=，求实数b 的取值范围．第II 卷 （附加题 分值40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，P A 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B ，C 两点，P A ＝3，PB ＝1，求∠ABC 的大小．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A 和A 的逆矩阵．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l ：cos sin x t y t αα⎧⎨⎩＝＋m ＝（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 5y x （ϕ为参数）的右焦点F ． （1）求m 的值；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|F A|·|FB|的最大值与最小值．D ．选修4—5：不等式选讲已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝1，2a 2＋3b 2＋6c 2＋d 2＝25，求实数d 的取值范围．OCBPA【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1 D 1的所有棱长都为1，M 、N 分别为线段BD 和B 1C 上的两个动点．（1）求线段MN 长的最小值；（2）当线段MN 长最小时，求二面角B －MN －C 的大小．23．（本小题满分10分）设函数()213213x f x x ex x -=--()x ∈R ． （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，用数学归纳法证明：*n ∀∈N ，1!nx x en ->．C 1AA2015年江苏高考数学模拟试卷（三）第Ⅰ卷 参考答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．3 2．5223．1.04 4．2 5． 12 6． 10.2 7．3154 8．1665- 9．1 10． 2a ≥ 11．1012．12 13．17,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．1100 解析：2．由|(1+i )z | =|3-4i |和|(1+i )z | =|1+i ||z | 可知|z |＝522. 3．由题意知，只要求83，84，84，85，86的方差，得到2222221.40.40.40.6 1.6 1.045s ++++==.4．1<3，故x =3-1=2.5．1+3+5=9，1+3+6=10，1+4+5=10，1+4+6=11，2+3+5=10，2+3+6=11，2+4+5=11，2+4+6=12共8种其中和大于10的有4种，故概率为4182=. 6．由条件得953a =，故1791710.2S a ==9．作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由1,23,x y x =⎧⎨=-⎩得1,1,x y =⎧⎨=-⎩∴z min ＝2－1＝1.11．设(0,)M m ，(,)A x y ，因为254F M MA =u u u u u r u u u r ，所以5(,)(,)4c m x y m -=-，解得49,55x c y m =-=，又因为120AF AF ⋅=u u u r u u u u r ，所以999(,)(,)05555c m c m ---=，解得229c m =，因为点A 在椭圆22221x y a b+=上，所以2222168112525c m a b +=，即222216912525c c a b +=，又即42241650250c a c a -+=，从而421650250e e -+=，解得10e =. 12．因式分解可得2()()(16)f x x a ax =-+，于是,A B 两点的坐标分别是216(,0),(,0)a a-，于是线段AB 的长度等于216a a +．记216()F a a a=+，322162(8)'()2a F a a a a -=-=，于是()F a 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，从而()F a 的最小值就是216(2)2122F =+=． 13．()12FG EC DB =+u u u r u u u r u u u r ，不妨设三角形边长为1，则12(1)2FG AC AB λλ=+-u u u r u u u r u u u r 231λ+=，又由。

课时跟踪检测(十七) 任意角和弧度制及任意角的三角函数第Ⅰ组：全员必做题1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是______．2．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是第________象限角．3．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝______. 4．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．5．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin7π10cos πtan 17π9， 其中符号为负的是________(填写序号)．6．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．7.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________. 8．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．9．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .10．已知sin α<0，tan α>0.(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限； (3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．第Ⅱ组：重点选做题1．满足cos α≤－12的角α的集合为________． 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP ―→的坐标为________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16. 即为－16×2π＝－π3. 答案：－π32．解析：易知sin θ<0，且cos θ≠0，∴θ是第三或第四象限角．答案：三或四3．解析：因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )， 又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )， 即得sin α＝12. 答案：124．解析：由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 答案：⎝⎛⎭⎫－12，32 5．解析：sin(－1 000°)＝sin 80°>0；cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0；sin 7π10cos πtan 17π9＝－sin 7π10tan 17π9，sin 7π10>0， tan 17π9<0，∴原式>0. 答案：③6．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)7．解析：因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35. 答案：－358．解析：由α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z )，k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )，知α2是第二或第四象限角，再由⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2<0，所以α2只能是第四象限角． 答案：四9．解：设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2. ∴圆心角α＝l r＝2. 如图，过O 作OH ⊥AB 于H .则∠AOH ＝1弧度．∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)．10．解：(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪(2k ＋1)π<α<2k π＋3π2，k ∈Z . (2)由(2k ＋1)π<α<2k π＋3π2， 得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ， 故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时， tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0， 所以tan α2sin α2cos α2取正号； 当α2在第四象限时， tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0， 所以tan α2sin α2cos α2也取正号． 因此，tan α2sin α2cos α2取正号． 第Ⅱ组：重点选做题1．解析：作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z 2．解析：如图，连结AP ，分别过P ，A 作PC ，AB 垂直x 轴于C ，B 点，过A 作AD ⊥PC 于D 点．由题意知BP 的长为2.∵圆的半径为1，∴∠BAP ＝2，故∠DAP ＝2－π2. ∴DP ＝AP ·sin ⎝⎛⎭⎫2－π2＝－cos 2， ∴PC ＝1－cos 2，DA ＝AP cos ⎝⎛⎭⎫2－π2＝sin 2. ∴OC ＝2－sin 2.故OP ＝(2－sin 2,1－cos 2)． 答案：(2－sin 2,1－cos 2)。

2015年江苏省高考数学试卷1、填空题1.已知集合，，则集合中元素的个数为_______.{}123A =，，{}245B =，，A B 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足（i 是虚数单位），则z 的模为_______.234z i =+4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量，，若，则m-n 的值为()21a = ，()2a =- 1，()()98ma nb mn R +=-∈ ，______.7.不等式的解集为________.224x x -<8.已知，，则的值为_______.tan 2α=-()1tan 7αβ+=tan β9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。

10.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切xOy )0,1()(012R m m y mx ∈=---的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。

11.数列满足，且（），则数列的前10项和为 }{n a 11=a 11+=-+n a a n n *N n ∈}1{na 。

12.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。

若点到直线xOy P 122=-y x P 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。

01=+-y x 13.已知函数，，则方程实根的个|ln |)(x x f =⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g 1|)()(|=+x g x f 数为 。

14.设向量，则的值为 )12,,2,1,06cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ∑=+⋅1201)(k k k a a 。