2015年江苏省高考数学试卷及答案 Word版

2015年江苏数学高考试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为．2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．2015年江苏数学高考试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5分）考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答：解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5分）考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．故答案为：4．点评：本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．解答：解：=+=++++=++=++，∴（a k•a k+1）=+++++++…+++++++…+=+0+0=．故答案为：9．点评：本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：（1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，∴C为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f （t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=•=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）考点：等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln （1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=＞0，由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）考点：特征值与特征向量的计算．专题：矩阵和变换．分析：利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．解答：解：由已知，可得A=﹣2，即==，则，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵A的另一个特征值为1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解答：解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g（x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．26．（10分）考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）f（6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：（1）f（6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。

2015年江苏省高考数学试卷一、填空题1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合A B U 中元素的个数为_______.2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量()21a =r ，，()2a =-r 1，，若()()98ma nb mn R +=-∈r r，，则m-n 的值为______. 7.不等式224x x-<的解集为________.8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。

10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。

11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 。

12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。

若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。

13.已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。

14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos Λ=+=k k k k a k πππ，则∑=+⋅121)(k k ka a的值为 。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题及答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1.已知集合{}123A =，，,{}245B =，，,则集合A B 中元素的个数为_______. 【答案】52.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________. 【答案】63.设复数z 满足234z i =+(i 是虚数单位),则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S 为________. 【答案】75.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________. 【答案】566.已知向量()21a =，,()2a =-1，,若()()98ma nb mn R +=-∈，,则m-n 的值为______. 【答案】-37.不等式224x x -<的解集为________. 【答案】(-1,2)8.已知tan 2α=-,()1tan 7αβ+=,则tan β的值为_______.【答案】39.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为________.10.在平面直角坐标系xOy 中,以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 【答案】22(1)2x y -+=11.数列}{n a 满足11=a ,且11+=-+n a a n n (*N n ∈),则数列}1{na 的前10项和为 .【答案】201112.在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点.若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立,则是实数c 的最大值为 .13.已知函数|ln |)(x x f =,⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ,则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 .【答案】414.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ,则∑=+1101)(k k k a a 的值为 .【答案】二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（第4题图）在ABC V 中,已知2,3,60.AB AC A ===o(1)求BC 的长; (2)求sin 2C 的值.解:(1)由余弦定理得,BC =(2)由正弦定理得,sin 2C =16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,已知1,AC BC BC CC ⊥=,设1AB 的中点为D,11.B C BC E ⋂= 求证:(1)11//DE AACC 平面 (2)11BC AB ⊥ 证明:(1)只需证明DE//AC;(2)需先证AC ⊥平面11BCC B ,再证1BC ⊥平面1AB C.17.(本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为12l l ，,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N 为C 的两个端点,测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米,点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米,以12l l ，所在的直线分别为x,y 轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C 符合函数2ay x b=+(其中a,b 为常数)模型. (I)求a,b 的值；(II)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t.①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ,并写出其定义域; ②当t 为何值时,公路l 的长度最短？求出最短长度. 解:(1)由题意知,点,M N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5), 将其分别代入2ay x b =+中得,10000a b =⎧⎨=⎩ (2)由勾股定理得,()[5,20]f t t =∈由基本不等式可知,当t =,min ()f t =P如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()222210x y a b a b +=>>且右焦点F 到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程.解:(1)2212x y += (2)分AB 与x 轴垂直和不垂直两种情况讨论, 得直线AB 的方程为10x y --=或10x y +-=19.(本小题满分16分)已知函数32()(,)f x x ax b a b =++∈R ; (1)试讨论)(x f 的单调性；(2)若a c b -=(实数c 是与a 无关常数),当函数)(x f 有三个不同零点时,a 的取值范围恰好是33(,3)(1,)(,)22-∞-+∞求c 的值 解:(1)当0a <时,()f x 在2(0,)3a -上递减,在2(,0),(,)3a-∞-+∞上递增; 当0a =时,()f x 在(,)-∞+∞上递增; 当0a >时,()f x 在2(,0)3a -上递减,在2(,),(0,)3a-∞-+∞上递增. (2)1c =20.(本小题满分16分)设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 (1)证明:31242,2,2,2aaaa依次成等比数列(2)是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列,并说明理由(3)是否存在1,a d 及正整数,n k ,使得351234,,,n n k n k n k a a a a +++依次成等比数列,并说明理由解:(1)证明:因为11222(1,2,3)2n n n na a a d a n ++-===是同一个常数,所以31242,2,2,2a a a a构成等比数列.(2)用假设法,可证不存在1,a d ,使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列.(3)用假设法,可证不存在1,a d 及正整数,n k ,使得351234,,,n n k n k n k aa a a +++依次成等比数列.附加题21、(选做题)本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A 、[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图,在ABC ∆中,AC AB =,ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D 求证:ABD ∆≈AEB ∆ 证明:只需证ABD E ∠=∠,而BAE ∠为公共角,易证.B 、[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知R y x ∈,,向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量,矩阵A 以及它的另一个特征值. 解:1120A ⎡-⎤=⎢⎥⎦⎣,另一个特征值为1 C.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=,求圆C 的半径. 解:r =D ．[选修4-5：不等式选讲]解不等式|23|3x x ++≥ 解:1(,5][,)3-∞--+∞22.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====(1)求平面PAB 与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时,求线段BQ 的长 BQ =23.已知集合*{1,2,3},{1,2,3,,}()n X Y n n N ==∈,设},,|),{(n n Y b X a a b b a b a S ∈∈=整除或整除，令()f n 表示集合n S 所含元素个数. （1）写出(6)f 的值； (6)13f =（2）当6n ≥时，写出()f n的表达式，并用数学归纳法证明. 略A第21——APA BC DQ 第22题。

2015年江苏高考数学试题(含答案）一、填空题 （5分×14=70分）1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合AB 中元素的个数为______.2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量()21a =，，），（2-1b =若()()98ma nb mn R +=-∈，，则m-n 的值为______. 7.不等式224x x-<的解集为________.8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。

10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。

11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 。

12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。

若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。

13.已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。

14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ，则∑=+⋅121)(k k k a a 的值为 。

2015²江苏卷(数学)1．A1[2015·江苏卷] 已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________．1．5 [解析] 因为A ∪B ＝{1，2，3，4，5}，所以A ∪B 中元素的个数为5. 2．I2[2015·江苏卷] 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．2．6 [解析] x ＝16³(4＋6＋5＋8＋7＋6)＝6.3．L4[2015·江苏卷] 设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 3.5 [解析] 因为z 2＝3＋4i ，所以|z 2|＝|z |2＝|3＋4i|＝9＋16＝5，所以|z |＝ 5. 4．L2[2015·江苏卷] 根据如图1-1所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．S ←1I ←1While I<8 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S图1-14．7 [解析] 第一次循环得S ＝1＋2＝3，I ＝1＋3＝4<8；第二次循环得S ＝3＋2＝5，I ＝4＋3＝7<8；第三次循环得S ＝5＋2＝7，I ＝7＋3＝10>8，退出循环，故输出的S ＝7.5．K2[2015·江苏卷] 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．5.56[解析] 方法一：以1表示白球，以2表示红球，以3，4表示2只黄球，则随机摸出2只球的所有基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个，2只球颜色不同的基本事件有5个，故所求概率P ＝56.方法二：2只球颜色不同的对立事件是2只球颜色相同，有1种情况，故所求概率P ＝1－16＝56. 6．F2[2015·江苏卷] 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．6．－3 [解析] 因为m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3. 7．E3[2015·江苏卷] 不等式2x 2－x <4的解集为________．7．{x |－1<x <2}(或(－1，2)) [解析] 因为2x 2－x <4＝22，所以x 2－x <2，解得－1<x <2，故不等式的解集为(－1，2)．8．C5[2015·江苏卷] 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．8．3 [解析] 因为β＝(α＋β)－α，所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝17＋21－27＝3.9．G7[2015·江苏卷] 现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．9.7 [解析] 设新的底面半径为r ，则13π³52³4＋π³22³8＝13πr 2³4＋πr 2³8 ，即283πr 2＝1003π＋32π，解得r ＝7. 10．H4[2015·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．10．(x －1)2＋y 2＝2 [解析] 由直线mx －y －2m －1＝0得m (x －2)－(y ＋1)＝0，故直线过点(2，－1)．当切线与过(1，0)，(2，－1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r ＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.11．D4[2015·江苏卷] 设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．11.2011[解析] 因为a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n （n ＋1）2，所以1a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，故∑n ＝110 1a n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫110－111＝2011. 12．H6、H10[2015·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．12.22[解析] 不妨设点P (x 0，x 20－1)(x 0≥1)，则点P 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝||x 0－x 20－1＋12.令u (x )＝x －x 2－1＝1x ＋x 2－1，则u (x )是单调递减函数，且u (x )>0.当x →＋∞时，u (x )→0，所以d >22，故c max ＝22. 13．B8、B9[2015·江苏卷] 已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x ≤1，|x 2－4|－2，x >1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．13．4 [解析] 当0<x ≤1时，由||f （x ）＋g （x ）＝1得||ln x ＝1，解得x ＝1e或x ＝e(舍去)．当x >1时，由||f （x ）＋g （x ）＝1得||ln x ＝3－||x 2－4或||ln x ＝1－||x 2－4.分别在同一个坐标系中作出函数y ＝||ln x 与y ＝3－||x 2－4的图像(如图1)和函数y ＝||ln x 与y ＝1－||x 2－4的图像(如图2)．图1图2当x >1时，它们分别有1个、2个交点，故x >1时，方程有3个实根． 综上，方程||f （x ）＋g （x ）＝1共有4个不同的实根．14．C7、F3[2015·江苏卷] 设向量a k ＝⎝⎛⎭⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6(k ＝0，1，2，…，12)，则k ＝011(a k ²a k ＋1)的值为________．14．93 [解析] 因为a k ²a k ＋1＝cosk π6cos （k ＋1）π6＋⎝⎛⎭⎫sin k π6＋cos k π6⎣⎡⎦⎤sin （k ＋1）π6＋cos （k ＋1）π6＝2cos k π6cos （k ＋1）π6＋sin k π6sin （k ＋1）π6＋sin k π6cos （k ＋1）π6＋cos k π6sin（k ＋1）π6＝cos k π6cos （k ＋1）π6＋cos π6＋sin （2k ＋1）π6＝12cos （2k ＋1）π6＋sin （2k ＋1）π6＋334， 所以k ＝011(a k ²a k ＋1)＝12³334＋12k ＝011c os （2k ＋1）π6＋k ＝011s in （2k ＋1）π6＝9 3.15．C8[2015·江苏卷] 在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°.(1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．15．解：(1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2³2³3³12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BC sin A ，所以sin C ＝AB BC ²sin A ＝2sin 60°7＝217. 因为AB <BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ²cos C ＝2³217³277＝437. 16．G4、G5[2015·江苏卷] 如图1-2，在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC＝CC 1，设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.图1-216．证明：(1)由题意知，E 为B 1C 的中点， 又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC .又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ， 所以DE ∥平面AA 1C 1C . (2)因为三棱柱ABC - A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1. 又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1， BC ⊂平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ， 所以AC ⊥平面BCC 1B 1.又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥AC .因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，因此BC 1⊥B 1C .因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1AC . 又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1. 17．B10、B11[2015·江苏卷] 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l .如图1-3所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米．以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy .假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型．(1)求a ，b 的值．(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域． ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．图1-317．解：(1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)． 将其分别代入y ＝ax 2＋b，得⎩⎨⎧a25＋b＝40，a400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1000x 2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫t ，1000t 2. 设点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2000x 3，则l 的方程为y －1000t 2＝－2000t 3(x －t )，由此得A ⎝⎛⎭⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎫0，3000t 2. 故f (t )＝⎝⎛⎭⎫3t 22＋⎝⎛⎭⎫3000t 22＝32t 2＋4³106t4，t ∈[5，20]．②设g (t )＝t 2＋4³106t 4，则g ′(t )＝2t －16³106t 5.令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈[5，102)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数；当t ∈(102，20]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数．从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值，所以g (t )min ＝300，此时f (t )min＝15 3.故当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．18．H5、H10[2015·江苏卷] 如图1-4，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．图1-418．解：(1)由题意，得c a ＝22，且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2，C点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝ 22（1＋k 2）1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意，从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2），从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）.因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2，解得k ＝±1，此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1. 19．B9、B12[2015·江苏卷] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )． (1)试讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝c －a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞，求c 的值． 19．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a3.当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >0时，若x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)，则f ′(x )>0，若x ∈⎝⎛⎭⎫－2a3，0，则f ′(x )<0， 所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－2a3，0上单调递减； 当a <0时，若x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞，则f ′(x )>0，若x ∈⎝⎛⎭⎫0，－2a3，则f ′(x )<0， 所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，－2a3上单调递减． (2)由(1)知，函数f (x )的两个极值分别为f (0)＝b ，f ⎝⎛⎭⎫－2a 3＝427a 3＋b ，则函数f (x )有三个零点等价于f (0)·f ⎝⎛⎭⎫－2a 3＝b ⎝⎛⎭⎫427a 3＋b <0，从而 ⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－427a 3<b <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，0<b <－427a 3. 又b ＝c －a ，所以当a >0时，427a 3－a ＋c >0或当a <0时，427a 3－a ＋c <0.设g (a )＝427a 3－a ＋c .因为函数f (x )有三个零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞，所以在(－∞，－3)上g (a )<0，且在⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞上g (a )>0均恒成立， 从而g (－3)＝c －1≤0，且g ⎝⎛⎭⎫32＝c －1≥0，因此c ＝1.此时，f (x )＝x 3＋ax 2＋1－a ＝(x ＋1)[x 2＋(a －1)x ＋1－a ]．因为函数f (x )有三个零点，所以x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0有两个异于－1的不等实根， 所以Δ＝(a －1)2－4(1－a )＝a 2＋2a －3>0， 且(－1)2－(a －1)＋1－a ≠0，解得a ∈(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 综上，c ＝1.20．D2、D3、D5[2015·江苏卷] 设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列．(1)证明：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列．(2)是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列？并说明理由．(3)是否存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k3，a n ＋3k 4依次构成等比数列？并说明理由．20．解：(1)证明：因为2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1，2，3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列．(2)令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (a >d ，a >－2d ，d ≠0)．假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，则a 4＝(a －d )(a ＋d )3，且(a ＋d )6＝a 2(a ＋2d )4.令t ＝da ，则1＝(1－t )(1＋t )3，且(1＋t )6＝(1＋2t )4⎝⎛⎭⎫－12<t <1，t ≠0， 化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.将t 2＝t ＋1代入(*)式，得t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0，则t ＝－14.显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列．(3)假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k3，a n ＋3k 4依次构成等比数列， 则a n 1(a 1＋2d )n ＋2k＝(a 1＋d )2(n ＋k )， 且(a 1＋d )n ＋k (a 1＋3d )n ＋3k ＝(a 1＋2d )2(n ＋2k )．分别在两个等式的两边同除以a 2（n ＋k ）1及a 2（n ＋2k ）1，并令t ＝da 1⎝⎛⎭⎫t >－13，t ≠0， 则(1＋2t )n ＋2k ＝(1＋t )2(n ＋k )，且(1＋t )n ＋k (1＋3t )n ＋3k ＝(1＋2t )2(n ＋2k )．将上述两个等式两边取对数，得(n ＋2k )ln(1＋2t )＝2(n ＋k )ln(1＋t )，且(n ＋k )ln(1＋t )＋(n ＋3k )ln(1＋3t )＝2(n ＋2k )ln(1＋2t )，化简得2k [ln(1＋2t )－ln(1＋t )]＝n [2ln(1＋t )－ln(1＋2t )]，且k [3ln(1＋3t )＋ln(1＋t )－4ln(1＋2t )]＝n [2ln(1＋2t )－ln(1＋t )－ln(1＋3t )]． 再将这两式相除，化简得ln(1＋3t )ln(1＋2t )＋3ln(1＋2t )ln(1＋t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )(**)．令g (t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )－ln(1＋3t )ln(1＋2t )－3ln(1＋2t )ln(1＋t )，则g ′(t )＝2[（1＋3t ）2ln （1＋3t ）－3（1＋2t ）2ln （1＋2t ）＋3（1＋t ）2ln （1＋t ）]（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）.令φ(t )＝(1＋3t )2ln(1＋3t )－3(1＋2t )2ln(1＋2t )＋3(1＋t )2ln(1＋t )， 则φ′(t )＝6[(1＋3t )ln(1＋3t )－2(1＋2t )ln(1＋2t )＋(1＋t )ln(1＋t )]． 令φ1(t )＝φ′(t )，则φ′1(t )＝6[3ln(1＋3t )－4ln(1＋2t )＋ln(1＋t )]． 令φ2(t )＝φ′1(t )，则φ′2(t )＝12（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）>0.由g (0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t )>0，知φ2(t )，φ1(t )，φ(t )，g (t )在⎝⎛⎭⎫－13，0和(0，＋∞)上均单调． 故g (t )只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立，所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k3，a n ＋3k 4依次构成等比数列． 21．N1[2015·江苏卷] A ．[选修4-1：几何证明选讲]如图1-5，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D .求证：△ABD ∽△AEB .图1-5N2B .[选修4-2：矩阵与变换]已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．N3C .[选修4-4：坐标系与参数方程]已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．N4D.[选修4-5：不等式选讲]解不等式x ＋|2x ＋3|≥2.21．A.证明：因为AB ＝AC ，所以∠ABD ＝∠C . 又因为∠C ＝∠E ，所以∠ABD ＝∠E ， 又∠BAE 为公共角，所以△ABD ∽△AEB .B ．解：由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1120. 从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.C ．解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0，则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.D ．解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2，解得x ≤－5或x ≥－13.综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－5或x ≥－13. 22．G11、G12[2015·江苏卷] 如图1-6，在四棱锥P - ABCD 中，已知P A ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，P A ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1)求平面P AB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．图1-622．解：以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A - xyz ，则各点的坐标为B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)．(1)因为AD ⊥平面P AB ，所以AD →是平面P AB 的一个法向量，AD →＝(0，2，0)． 因为PC →＝(1，1，－2)，PD →＝(0，2，－2)， 设平面PCD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 所以m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1， 所以m ＝(1，1，1)是平面PCD 的一个法向量． 从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33，所以平面P AB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33. (2)由BP →＝(－1，0，2)，可设BQ →＝λBP →＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)，又CB →＝(0，－1，0)，所以CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1，2λ)，又DP →＝(0，－2，2)，从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →²DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2 . 设1＋2λ＝t ，t ∈[1，3]，则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝⎛⎭⎫1t －592＋209≤910， 当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|取得最大值为31010. 因为y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，所以此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值． 又因为BP ＝12＋22＝5，所以BQ ＝25BP ＝255. 23．M3[2015·江苏卷] 已知集合X ＝{1，2，3}，Y n ＝{1，2，3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }．令f (n )表示集合S n 所含元素的个数．(1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明．23．解：(1)f (6)＝13.(2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *)． 下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立． ②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，f (k ＋1)在f (k )的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：(i)若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立； (ii)若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k 3＋1＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－13，结论成立； (iii)若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－23，结论成立； (iv)若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2 ＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋k ＋13，结论成立； (v)若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k 3＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－13，结论成立； (vi)若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1 ＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－23，结论成立． 综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立．。

江苏一、填空题1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合AB 中元素的个数为_______.2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.已知向量()21a =，，()2a =-1，，若()()98ma nb mn R +=-∈，，则m-n 的值为______. 不等式224x x-<的解集为________.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。

10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。

11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 。

12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。

若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。

13.已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。

14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ，则∑=+⋅121)(k k ka a的值为 。

2015年江苏高考数学试题（无答案）一、填空题1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合AB 中元素的个数为_______.2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量()21a =，，()2a =-1，，若()()98ma nb mn R +=-∈，，则m-n 的值为______.7.不等式224x x-<的解集为________.8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______.9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。

10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。

11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 。

12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。

若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。

13.已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。

14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ，则∑=+111)(k k k a a 的值为 。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I 参考公式： 圆柱的体积公式：sh V =圆柱，其中s 为圆柱的表面积，h 为高.圆锥的体积公式：sh V 31=圆锥，其中s 为圆锥的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1. 已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A Y 中元素的个数为▲ ．2. 已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6，则这组数据的平均数为▲ ．3. 设复数z 满足i z 432+=（i 是虚数单位），则z 的模为 ▲ ．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄 球. 从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ．6. 已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若ma +nb =)8,9(-(R n m ∈,), n m -的值为 ▲ ．7. 不等式422<-x x 的解集为 ▲ ．8. 已知2tan -=α，71)tan(=+βα，则βtan 的值为 ▲ ．9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ▲ ．10. 在平面直角坐标系x O y 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ．11. 设数列{}n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n (*N n ∈), 则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1前10项的和为 ▲ ．12. 在平面直角坐标系x O y 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点，若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ▲ ．13. 已知函数x x f ln )(=，⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<=,1,24,10,0)(2x x x x g ，则方程1)()(=+x g x f 实根的个数为 ▲ ．14. 设向量a k =(6cos 6sin ,6cos πππk k k +)，(12,,2,1,0Λ=k )，则∑=+⋅111)(k k k a a 的值为▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知ο60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值. 16．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC ⊥，1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BC C B =11I .求证：（1）C C AA DE 11//平面； （2）11AB BC ⊥. 17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点MBDABC到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+ （其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度. 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程. M Nl 2l 1y CPl已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=. （1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞Y Y ，求c 的值.20.（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 （1）证明：31242,2,2,2a a a a 依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得k n k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说 明理由.2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学II21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D 求证：ABD ∆∽AEB ∆B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径.D.（选修4—5：不等式选讲） 解不等式|23|3x x ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题．．．．卡．的指定区域．．．．．E（第21——A内．. 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯 形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长23．（本小题满分10分）已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈=Λ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除=}n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明. 2020-2-8P A BCDQ。

2015年江苏省高考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为．2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f （x）+g（x）|=1实根的个数为．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l 长度的函数解析式f （t ），并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程； （2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f （x ）=x 3+ax 2+b （a ，b ∈R ）． （1）试讨论f （x ）的单调性；（2）若b=c ﹣a （实数c 是与a 无关的常数），当函数f （x ）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c 的值．20．（16分）（2015•江苏）设a 1，a 2，a 3．a 4是各项为正数且公差为d （d≠0）的等差数列． （1）证明：31242,2,2,2a a a a依次构成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n k n kn k a a a a +++依次构成等比数列？并说明理由。

2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）（2015?江苏）已知集合A={1 , 2, 3}, B={2 , 4, 5},则集合AU B中元素的个数为 _考点:并集及其运算.专题:集合.分析：求出A U B,再明确元素个数解答：解：集合A={1 , 2, 3} , B={2 , 4, 5},则A U B={1 , 2, 3, 4,5}；所以AUB中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2.（5分）（2015?江苏）已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6,那么这组数据的平均数为_6_考点：众数、中位数、平均数.专题:概率与统计.分析：直接求解数据的平均数即可.解答：解：数据4, 6, 5, 8, 7, 6,那么这组数据的平均数为：44-6+548+7^6 =6>6故答案为：6.点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查.3.（5分）（2015?江苏）设复数z满足z2=3+4i （ i是虚数单位），则z的模为一. 考点:复数求模.专题：数系的扩充和复数.分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可.解答：解：复数z满足z2=3+4i ,可得lzllzl=l3+4il=Jj莓梓巧，A lzl=^故答案为：•街点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力.4.（5分）（2015?江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7WTulft Z<Sgg 4 2冲+ 3End ^hile Print S考点:伪代码.专题：图表型；算法和程序框图.分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I, S的值，当1=10时不满足条件IV 8,退出循环，输出S的值为7・解答：解：模拟执行程序，可得S = 1, 1=1满足条件1< 8, S=3, 1=4满足条件1< 8, S=5, 1=7满足条件I < 8, S=7, 1=1不满足条件1<8,退出循环，输出S的值为7.故答案为：7.点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题.5.（5分）（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为虫・考点:古典概型及其概率计算公式.专题:概率与统计.分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可. 解答：解：根据题意，记白球为A,红球为B,黄球为Cl、C2,则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC 2、BC1、BC2、C1C2共6不申，其中2只球的颜色不同的是AB、AC 1、AC 2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P伞.故答案为：卫.点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目.6.(5 分)(2015?江苏)已知向量3= ( 2, 1) , b= ( 1, - 2)，若( 9, - 8) ( m, neR),则m - n的值为_H—考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题：平面向量及应用.分析: 解答: 直接利用向量的坐标运算，求解即可.解：向量-2），点评2n可得,解得m=2, n=5,考查计算能力.< 4的解集为（- 1, 2）.8. （5分）（2015?江苏）已知3 2, tan考点：指、对数不等式的解法.专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用.分析：利用指数函数的单调性转化为x2 - x< 2,求解即可.解答：x2 -K解；V2 <4,2・・・x - x< 2,7即x - x - 2< 0,解得：- 1< x<2故答案为：（- 1, 2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大.考点:两角和与差的正切函数.专题:三角函数的求值.分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可.解答：〒解：tan a = - 2, tan （ a + 3 ）'=,可知（an（ a + 0）L- tan ^ tanP =T,即l+2tan® = 7,解得tan B =3. 故答案为：3.点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查.7.9. （5分）（2015?江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个, 若将它们重新制作成总押只与高均保持不变, 但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为考点:棱柱、棱锥、棱台的体积.2 11.（5 分）（2015?江）数列｛a 1｝足 a*),数列｛ 丄｝的前10的和 20—考点：数列的求和;数列推式.:等差数列与等比数列. 分析：務別J数歹 I ｛a n1n+1 n｝足 a =1,且 a a =n+l （n WN 利用“裂求和”即可得出. *）,利用“累加求和”可得an n解答:解：•* an=n二 当 n 》2 ,n (n+1)当n=l ,上式也成立,解答：解：由意可知，原来和柱的体和: 吉心5冗1, 0)心且与直 mx y(x 1) ?+y 2=2分析:求出心到直的距离 d 的解答::算；空位置关系与距离.分析：由 意求出原来柱和 的体，出新的柱和 的底面半径r,求出体，由前后体相等列式求得r.新和柱的底面半径 r,新和柱的体和： —X4K r 2+8^ r ?二竺仝 |3 3•••空£$竺,解得：rWr-33故答案：低 点：本 考了柱与 的体公式，是基的算.10. （ 5分）（2015?江）在平面直角坐系 xOy 中，以点（ 2m 1=0 （ mWR ）相切的所有中，半径最大的的准方程考点：的准方程；的切方程.:算；直与.故答案:(x1) +y=2 . 点：本 考所的准方程，考点到直的距离公式，考学生的算能力，比基.解：心到直的距离 x 1) +y =2.a n n. (n+1)2[(「扣20故答案为:n 项和公7 7 12. (5x -y+l=』-占)• ・・・数列｛ 1 ｝的前n 项的和S =n2n ~n+l数列｛—-)的前io 项的和为22.务1120点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前 查了推理能力与计算能力，属于中档题.右支上的一个动点，若点P 到直线x- y+l=0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 丄 考点：双曲线的简单性质. 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：双曲线x - y =1的渐近线方程为 x±y=o, c 的最大值为直线 的距离. 解答：解：由题意，双曲线x 2- y 2=l 的渐近线方程为x±y=0 , 因为点P 到直线x- y+l=0的距离大于c 恒成立，所以c 的最大值为直线x-y+l=0与直线x- y=0的距离，即 故答案为：愛.|2点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础.a o<x<i13. ( 5分)(2015?江苏)已知函数亍(x) =llnxl , g ( x) 4.,则方程| x 24 | =2, X^>1If ( x) +g ( x) 1=1实根的个数为4 .考点：根的存在性及根的个数判断. 专题:综合题；函数的性质及应用.分析：：由lf(x)+g(x) 1=1可得g (x) = - f ( X)± 1 ,分别作出函数的图象，即可得出 结论. 解答：解：由 If ( x) +g ( x) 1 = 1 可得 g ( x) = - f ( X) ± 1 .g( X)与h ( x) = - f ( x) +1的图象如图所示，图象有两个交点；-4」Jg(x)与(f) ( x) = f(x) 1的象如所示，象有两个交点;•4_-S L所以方程lf( x) +g ( x) 1=1根的个数 4.故答案：4.点：本考求方程lf( x)+g(x)l=l根的个数，考数形合的数学思想，考学生分析解决的能力, 属于中档•—k开上兀fi G罠14.(5 分)(2015?江)向量=(cos ° , sin ° +cos ° ) ( k=0, 1, 2,…，12),11£ _皿_k=0( ak?ak+i)的・考数列的求和.点■等差数列与等比数列;平面向量及用.■■分利用向量数量运算性、两角和差的正弦公式、化和差公式、三角函数的周期性即可析得出.解解:=k 兀飞.k 冗 (k+1)冗 sin~g- cos-------------- ----kTT (k+1)兀kH(k+1) cos 可・cos p+sirr ---- 一 kTl . (k+1)兀kTl (k+n Kcos p sin 1GOJs QOS g2・3H ・咔・97T,+5开C05_T.¥开丄・11兀 sinrV 11兀丄 I -.13H 1-+化和差公6 | ・k 兀 k 兀、厂.(k+1)兀siri ——+cos —— J ( sm --------- ---- cos --6 6 6 6 7T —+JI_3、范・ 2k+1l 1 2H1TT二、解答（本大共 6小，共 90分，解答 写出文字明、明程或演算步）15. （ 14 分）（2015?江）在 AABC 中，已知 AB=2 , AC=3 , A=60 ° .（1） 求BC 的； （2） 求 sin2C 的.考点：余弦定理的用；二倍角的正弦. :解三角形.・ 2k+L 仃」/ _2k+l “丄 n .= COS"^S1 _— n+7； ^cos -17+COS —''分析：（1）直接利用余弦定理求解即可.（2）利用正弦定理求出C的正弦函数，然后利用一倍角公式求解即可.解答・•解：（1）由余弦定理可得：BC 2=AB 2+AC 2 2AB ?ACcosA=4+8 2X2X3^： =7, 所以BC=听.（2）由正弦定理可得：••• AB < BC , C 角,16.( 14ABC -A [B则cosC=71- sin2C=^l -孑等•因此sin2C=2sinCcosC=2 ・7 7 7点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键.考点:直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质.专题：证明题；空间位置关系与距离.分析：(1)根据中位线定理得DE〃AC ,即证DE〃平面AA1C1C；(2)先由直三棱柱得出CC1丄平面ABC ,即证AC丄CC1；再证明AC丄平面BCC1B 1, 即证BC 1丄AC ；最后证明BC1丄平面B 1AC ,即可证出BC 1丄AB 1.解答：证明：(1)根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE〃AC；又因为DE ?平面AA 1C1C, AC ?平面AA 1C1C,所以DE 〃平面AA 1C1C；(2)因为棱柱ABC・A 1B1C1是直三棱柱，所以CC1丄平面ABC ,因为AC ?平面ABC ,所以AC丄CC1；又因为AC丄BC,CC1?平面BCC 1B1,BC ?平面BCC冷\BC ACC1=C,所以AC丄平面BCC 1B 1；又因为BC 1?平面平面BCC 1B1,所以BC 1丄AC ；因为BC=CC 1,所以矩形BCC 1B1是正方形，所以BC 1丄平面B1AC ；又因为AB 1?平面B1AC , 所以BC 1±AB 1.点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目.17.（14分）（2015?江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为11, 12,山区边界曲线为C,计划修建的公路为1,如图所示，M, N为C的两个端点，测得点M到11, 12的距离分别为5千米和40千米，点N到11, 12的距离分别为20千米和2.5千米，以12, 11在的直线分别为x, y轴，建立平面直角坐标系xOy ,假设曲线C符合函数尸」_,+b （其中a, b为常数）模型.（1）求a, b的值；（2）设公路1与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路1长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路1的长度最短？求出最短长度.考点:函数与方程的综合运用.专题:综合题；导数的综合应用.分析：（1）由题意知，点M, N的坐标分别为（5, 40） ,（20, 2.5）,将其分别代入yf ,x2+b 建立方程组，即可求a, b的值；（2）① 求出切线1的方程，可得A, B的坐标，即可写出公路1长度的函数解析式f（t）,并写出其定义域；、 2 4X105②设g （t） --- ,利用导数，确定单调性，即可求出当｛为何值时，公路1 的长度最短，并求岀最短长度.(20, 2.5),解答：解：（1）由题意知，点M, N的坐标分别为（5,(b= 0 =40 25+将其解得（2）v ,10QQ 2 X (5Wx W20):•寸-200・・・切y- 1000t 2_设在点PSt 2 ' .・・2=3t 2 +4XlQt e[5,②设g （t)t 4 6・，(t)iq/2）t e （ 5,o ,g（(t) <0,t ）是减函,20)时, g f( t) >x 2 y 218. （16分）（2015?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy^4,已知椭圆a 2+b 2=l （ a>b> 0）的离心率为 2 ,且右焦点F 到左准线1的距离为3.（1） 求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于 A, B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线1和AB 于点P,C,若PC=2琴鼻求直线 AB 的方程.考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程. 专题:直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a, c 的方程，解得a, c,再由a, b, c 的关系,可得b,进而得到椭圆方程;（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和屮点坐标公式，即可得到所求直线的方程.1 0a= V2则b=l ,即有椭圆方程将AB 方程代入椭圆方程可得(CP=3,不合题意；(x - 1) , A (xi, yi) , B ( X2, y2), 2AB : y=k 22 2 -4k x+21) =0,2(k 2 L+2k 22 娠 tl+k 2) 1+2 k 2若k=0 ,则AB 的垂直平分线为 y 轴，与左从而IPCd |k|(1+丄(2k 2l+2P (- 2」共二解答：解：(l)由题意可得，e2且c+生3,解得c=l,c此时AB 的方程为 y=x - 1或y= - x+1.点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用， 属于中档题. 19. (16 分)(2015?江苏)已知函数 f ( x) -x'+ax'+b (a, beR). (1)试讨论f ( x)的单调性；(2)若b=c-a (实数c 是与a 无关的常数),当函数f ( x)有三个不同的零点时，a 的取值 范围恰好是(- g, - 3) U (1上)U (J, +8)，求c 的值.>2 2考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理. 专题:综合题；导数的综合应用.2(3k 2+ l)右+/4^2 <l+k 2) |k| (l+2k 2)~lt2k 2由 IPCI=2IABI,可得,解得k= ± 1,则Xl+X),且X1X2=严丿IABI =分析: (1)求导f (x)的单2a). _3 ?2(2)由(1)知，函数f ( X)的两个极值为f ( 0) =b, f (-+b,则函a=0 时，f ' ( x) > 0,・・・ f(X)在a> 0 时, xe (- )U( 0,・・・函数f2a(X)在(-8,-,(0, +8)a< 0 时, xe ( - < 0, ・・・函数f(X)在(-8,0), 2*(2)由 (1)知，函数f ( x)的两个极值为 f ( 0)二b, f (-2a-詈)上单调递减; 4 3+b,则函f( X)有三2a f ( o) f(・爷)=b(寻「27 +b) < 0, T b=c - a, 4 3・•・a> 0时，设 g ( a) 一 a+c, •・・函数8,U (T +°・••在(- 8,- 3)上，g+ 8)上g (a) > 0均恒成f ( x)有三个不同的零点等价于 f ( 0) f ( - g?) =b (吕 J +b) < 0,进一步转化为3274 14 T4 3a> 0 时，—a ' - a+c> 0 或 a V 0 时，—a" - a+c< 0・设 g ( a )- a+c,利用条件即可求c 的值.解答：解：(1) V f ( x) =x ^+ax^+b ,f z(x) =3x +2ax,令 f' (x) =0 ,可得 x=0 或3< 0,立，• • C = 1 y,f‘( x)此时f ( x) =x、+ax +1 - a= ( x+l ) [x + ( a - 1) x+1 - a],•・・函数有三个零点，9x_+ (a - 1) x+1 - a=0有两个异于-1的不等实根，•••△=( a 一1) z - 4 ( 1 - a) > 0,且(一1) — ( a - 1) +1 - aHO,20. ( (1) 证(2015?辽苏)设 a , a , ",2 幻，2 ", 22 al 1 2 ,，d,使得a , a (3)是否存在 说明理由.解答： 解解得 aG (- 8, 一 3) U ( 1,虽)U +8),2综上C = 1・点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大.12 3 4a ・a 是各项为正数且公差为 d ( dHO)的等差数列.5依次构成等比数列； as 3, a/依次构成等比数列？并说明理由； nn+kn+2k n+3kai, d 及正整数n, k,使得ai , a2 , a3, a4依次构成等比数列？并考点:等比关系的确定；等比数列的性质. 专题:等差数列与等比数列.分析：(1)根据等比数列和等差数列的定义即可证明；7 3 4(2) 利用反证法，假设存在 an d 使得ai, a22, a3', af 依次构成等比数列，推岀矛 盾，否定假设，得到结论；(3) 利用反证法，假设存在 ai, d 及正整数n, k,使得ai a2n+k , a 3 n +2k, a 4n+3k 依 次构成等比数列,得到 ai n( al+2d ) n+2k 二(al+2d )2 n+k,且(al+d) n+k( al+3d )n+3k(ai+2d) 2(n+2k),利用等式以及对数的性质化简整理得到g( i +3t ) In ( l+2t) +3In (l+2t) In ( 1+t) =4In (l+3t) In ( 1+t) ,( ** ),多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立.n 監十1 . ——=2^n &a =2d, (n=l , 2, 3,)是同一个常数，/. 2 '】，2叫,2 %,2幻依次构成等比数列；(2) 令 al+d=a,则 al, a2, a3, a4 分别为 a - d, a, a+d, a+2d ( a> d, a> - 2d, d#0)假设存在ai i 22, a33, a4°依次构成等比数列，・d 便却a ・、43624则 a = ( a - d) ( a+d),且(a+d) =a ( a+2d),令 t=—，则 1= (1 - t ) ( 1+t ) 3，且(1+t) 6= ( l+2t) 4 ,(t< 1, tHO), 化简得 t ^+2t 2 - 2=0 ( * )，且 t^=t+l ,将 t^=t+l 代入(*)式，t ( t+I ) +2 ( t+l ) - 2=t^+3t=t4-14-3t=4t4-l =0 ,贝!J t= -显然匸-寺是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，7 34因此不存在ai, d,使得ai, a2 ,町',昭 依次构成等比数列. (3) 假设存在ai i n , a2n+K , a3n+2K , a4n+3K ^次构成等比数,d 及正整数n, k,使得a列，( ) ( ) rmi n / 小八 n+2K ( 小八 2 n+K 口 / 八 n+K z “、n+3K ( c i 、2 n+2K 则 ai ( ai+2d) = ( ai+2d) ,且(ai+d) ( ai+3d ) = ( ai+2d ) ,2 ' n+k ?2 ' n+2k ?d_ 1分别在两个等式的两边同除以=a 1 , ai ,并令吨;，(t> "3, tHO),则（l+2t ）n+2k=（ 1O (/ n-In ( (1+t 1+t ) ]=],+2t)In ( l++31n ( 1+t) , 则 g‘ z2[(l+3t) _ln ( (1+t) (l+2t) (l+3t)29 l+3t) - 3 ( l+2t) In ( l+2t)7 (1+t ) In ( 1+t ),则' (t 令 1号)-4)'> o,0) 1 (t), 2 2再将这两式相除，化简得,三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括 21・24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤【选修 4-1：几何证明选讲】21. （ 10分）（2015?江苏）如图，在AABC 中，AB=AC , △ ABC 的外接圆OO 的弦AE 交 BC 于点D.求证：△ ABD s △ AEB •考点：相似三角形的判定. 专题：推理和证明.分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似.解答：证明：・/AB=AC ,・\ ZABD= ZC,又 T Z C=Z E, A Z ABD= Z E,又 Z BAE 是公共 角，22. （ 10分）（2015?江苏）已知~ax1 y 三R,向量X 1特征值-2的-1y 0是矩阵的属于分析: 通过令矩解答： 解：由已知，可得【选修P +2 P sin ( 7T -4=0,求可知：△ ABD s △ AEB .点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力.考点:特征值与特征向量的计算.-1 1・・.矩阵A =L2 0一从而矩阵A 的特征多项式f （入）=（入+2） （ x - 1）, ・・・矩阵A 的另一个特征值为1.点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于屮档题.考点:简单曲线的极坐标方程. 专题：计算题；坐标系和参数方程.分析：先根据X 二p cos H , y= PsinB,厂求岀圆的直用坐标方程，求出半径. 解答：2寸空-y2解：圆的极坐标方程为 P +2 P sin （ H -） - 4=0 ,可得 P - 2 P cos B +2 P sin B -4=0 ,2 2化为直角坐标方程为 x +y - 2x+2y - 4=0 , 化为标准方程换（x- 1） ?+（ y+i ）2=6, 圆的半径r=.点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x= P cos B , y= P sin 0 ,比较基础,［选修4・5：不等式选讲】24. ( 2015?江苏)解不等式 X +I2X +3I N2.考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式.【选修4-2：矩阵与变换】 -个特征向量，求矩阵 A 以及它的另一个特征值. 矩阵和变换.I a 利用A = - 2--- *1 ---- -- a a分析：思路1 (公式法)：利用If ( X) I2g ( X) ? f ( X) 2g ( X)，或f (x) W - g ( x); 思路2 (零点分段法)：对x的值分“XV0”进行讨论求解.2 2解答：解法1： x+l2x+引22变形为I2x+引22 - X,得2X+3M2 - X,或2x+3 2 -( 2 -x) , BP-i ,或xW - 5,3即原不等式的解集为(xlX 2— 3,或XW - 5}・3解法2：令I2x+：3I=O,得只=一卫.2①当寸，原不等式化为x+ ( 2x+3) 22,即x>-l,2 3所以x± -丄；3②x< 一爭'原不等式化为X・(2x+3 ) 22,即xW・5,所以xW - 5.综上，原不等式的解集为{xlx事-丄，或xW - 5}.3点评：本题考查了含绝对值不等式的解法.本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号.若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：If ( x) I2g (x) ? f (x) Mg ( x),或f ( x) W ・ g (x) ； If ( x) iWg (x) ?-g( x) Wf ( x) Wg ( x).可简记为：大于号取两边，小于号取中间.使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集.【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤ABCD为直角梯形, ZABC=25.( 10分)(2015?江苏)如图，在四棱锥P - ABCD中，已知PA丄平面ABCD ,且四边形TT2[(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长.考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算. 专题:空间位置关系与距离；空间角.分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A - xyz . ( 1 ) 所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝3•・・PG1, - 2) ,PD= (0, 2,・ 2),x, y, z),cos < AD,・・・平设1+2 7 则COS入t [1, 3],2t 2<CQ,_______ 2 ______ F9_g (丄一知t /*9,icos<CQ ,.DP> I 的最人值为10勺F-10t+9因为 y=co对值，计算即可；(2)利用换元法可得COS 2<CQ, DP> 总，结合函数y=cosx 在(0,—)上的单调10 2性，计算即得结论.解答：解：以A 为坐标原点，以 AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建系A - xyz 如 图，由题可知 B ( 1, 0, 0) , C (1, 1, 0) , D ( 0, 2, 0) , P ( 0, 0, 2).(1 ) VAD 丄平面PAB ,・••石二(0, 2, 0),是平面PAB 的一个法向量，(0, - i, o),贝CQ=CB+BQ=( - 入，(0, - 2, 2),从而 cos<C0，DP> =兀)上是减函数，此时直线 CQ 与DP 所成角取得最小值. 又•・・B P £] 2 + 2? 並,・•・BQ# BP=由巨逻专得 广K +卩- 2z=01 n\ • PD 二 0] ^2y — 2z 二Q设平面PCD 的法向量为IT取 y== 1,得 IF ( 1 ‘ 1,1),(2)0,当且点：本 考求二面角的三角函数，考用空向量解决 的能力，注意解方法的累，属于中档.*26. ( 10 分)(2015?江)已知集合 X={1 , 2, 3), Yn={l , 2, 3,…，n) (n^N ), Sn={( a, b) 或整除a, aex, B ey n },令f( n)表示集合Sn 所含元素的个数.(1) 写出f(6)的；(2) 当26，写出f(n)的表达式，并用数学 法明.la 整除b考点：数学法.:合；点列、数列与数学法. 分析•( 1) f (6) =6+2+ +|=咼；(2)根据数学法的明步，分，即可明・ 角军答： 口 •解：(1) f(6) =6+2+3；(2)当 n>6 , f(n)=n+24-〔专申 f «=6t n+2f,n=6t+ln n _ 2n+2+ (刁—-—)« n-6t+2 z Jn+24-〔二^丄 晋)，n=6t43 n+2f (詈 4^二)• n=61+4 n+2f (”；1 l "；2) , n=6H5下面用数学法明：①"6, f( 6) =6+2++購成立;②假n=k( k>6),成立，那么n=k+l , Sk+i 在Sk 的基上新增加的元素在(1, k+1 (2, k+1 ),(3, k+1 )中生，分以下情形： 1)若 k+l=6t , k=6 (t1)+5 ,此有 f( k+l)=f (k) +3=( k+l)+2+― ),1 k+132)若 k+l=6t+l ,则 k=6t+l ,此时有 f ( k+1 ) =f ( k) +l=k+2+—2T1=(k+1)+2+(k+1) 2-1(k+1) -1"nr"1,结论成立;3)若 k+l=6t+2 ,则 k=6t+l ,此时有 (k+1=f(k) +2=k+2+ □ +k-l^3~+2= ( k+1 ) +2+k+1 (k+1 )-2 ~2,结论成立;4)若 k+l=6t+3 ,则 k=6t+2 ,此时有 (k+1 =f ( k)+2=k+2+g ¥2 3+2= ( k+1(k+1) "1 k+1 2 」3,结论成立;+2+5)若 k+l=6t+4 ,则 k=6t+3 ,此时有 (k+1 =f ( k)k - 1 k+2=k +2+— E+2= ( k+1+2+吐 1 (k+1)~2,结论成立;6)若 k+l=6t+5 ,则 k=6t+4 ,此时有 (k+1 =f ( k) +2= ( k+1+2+ (k+1〕- 1 (k+1) " 2" * 3n26的自然数n 均成立.2 | ' 综上所述，结论对满足,结论成立.点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键.。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：圆柱的体积公式：V Sh =柱圆，其中S 是圆柱的底面积，h 为高． 圆锥的体积公式：13V Sh =圆锥，其中S 是圆锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}1,2,3A =，{}2,4,5B =，则集合AB 中元素的个数为．2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为． 3．设复数z 满足234i z =+（i 是虚数单位），则z 的模为． 4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为．5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为． 6．已知向量()2,1=a ，()1,2=-b ，若m n +a b ()9,8=-(),m n ∈R ，则m n -的值为．7．不等式224x x-<的解集为．8．已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为． 9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为．10．在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0为圆心且与直线210mx y m ---=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．11．设数列{}n a 满足11a =，且11n n a a n +-=+()*n ∈N ，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前10项的和为． 12．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点．若点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为．13．已知函数()ln f x x =，()20,0142,1x g x x x <⎧⎪=⎨-->⎪⎩…，则方程()()1f x g x +=实根的个数为．14．设向量cos ,sin cos 666k k k k πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a ()0,1,2,,12k =…，则()11+10k k k =⋅∑a a 的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC △中，已知2AB =，3AC =，60A =︒． （1）求BC 的长； （2）求sin2C 的值．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC ⊥，1BC CC =．设1AB 的中点为D ，11B C BC E =I ．求证：（1）DE ∥平面11AAC C ；（2）11BC AB ⊥．17．（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12,l l ，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12,l l 的距离分别为5千米和40千米，点N 到12,l l 的距离分别为20千米和2.5千米，以12,l l 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中a ，b 为常数）模型． （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ． ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．ED A 1B 1C 1BA如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b +=()0a b >>，且右焦点F 到左准线l 的距离为3． （1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．19．（本小题满分16分）已知函数()32f x x ax b =++(),a b ∈R ．（1）试讨论()f x 的单调性；（2）若b c a =-（实数c 是与a 无关的常数），当函数()f x 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求c 的值．20．（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d()0d ≠的等差数列．（1）证明：31242,2,2,2aaaa依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得351234,,,n n k n k n ka a a a +++依次成等比数列，并说明理由．绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在ABC △中，AB AC =，ABC △的外接圆O e 的弦AE 交BC 于点D ．求证：ABD AEB △△∽．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知,x y ∈R ，向量11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α是矩阵10x y ⎡⎤=⎢⎥⎦⎣A 的属于特征值2-的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知圆C的极坐标方程为2sin 404ρθπ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，求圆C 的半径．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）解不等式232x x ++…．【必做题】第22题、第23题, 每题10分, 共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD ﹣中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==． （1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．23．（本小题满分10分）已知集合{}1,2,3X =，{}1,2,3,,n Y n =…()*n ∈N ，设(){,n S a b a =整除b 或b 整除a ，},n a X b Y ∈∈，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数．（1）写出()6f 的值；（2）当6n …时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明QCBA P。

2015江苏高考数学卷word版(理)及答案D1.2.结果S 为 ▲ ．3.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ．4.已知向量()21a =，，()2a =-1，，若()()98ma nb mn R +=-∈，，则m-n 的值为 ▲ ．5.不等式224x x-<的解集为 ▲ ．8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为 ▲ ． 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 ▲ ．10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ． 11.数列}{na 满足11=a，且11+=-+n a an n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 ▲ ．12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x右支上的一个动点。

若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 ▲ ．13.已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数 为 ▲ ． 14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ，则∑=+⋅121)(k k ka a的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本小题满分14分） 在△ABC 中，已知2,3,60.AB AC A === (1)求BC 的长； （2）求sin2C 的值。

2015年江苏省高考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为．2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5．2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．那么这组数据的平均数为：3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．|z||z|=|3+4i|=故答案为：4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．．故答案为：．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3．解：向量，m+n，解得7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．28．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3．=，=9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：则新圆锥和圆柱的体积和为：，解得：故答案为：10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．d=，，11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．=+2+1=．．{．{项的和为故答案为：．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．的距离，即故答案为：13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k •a k+1）的值为．答=：+，++++++．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．×=7．==cosC==×16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．y=，利用导数，确定单调性，即可求出当y=，，y=，，﹣（）=t=10，）时，10时，函数=15时，公路1518．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．=，=3，，即有椭圆方程为+y==（）==（）|PC|==19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．（﹣+b（﹣+b时，时，=或﹣．，﹣）∪（，））上单调递增，在（﹣）∪（﹣，，﹣）时，（﹣，）上单调递减；（﹣+b（﹣（时，时，），，）∪（，（）∪（20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．）证明：∵=2，，，依次构成等比数列；t=（﹣＜，不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，t=，[＞）在（﹣，三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．A=，可得=2，即，即A=【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．ρ﹣[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．”“＜，或．时，原不等式化为，≥时，原不等式化为【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．，＞≤，，∴=，=，得，，得=，＞=；）∵=λ==，则===，＞=，＞≤，即=，的最大值为，BP==，∴BP=26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．+=13=6+2+=13．=6+2+=13+2+，+1=k+2++++2=k+2++++2=k+2++++2=k+2++++2=k+2+++参与本试卷答题和审题的老师有：sdpyqzh；qiss；w3239003；742048；sxs123；刘长柏；孙佑中；双曲线；whgcn；cst；尹伟云（排名不分先后）菁优网2015年7月21日。