2015年江苏省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

理科数学2015年高三2015江苏卷理科数学理科数学填空题（本大题共13小题，每小题____分，共____分。

）1．已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为____．2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为____．3．设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为____．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为____．5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为____．6．已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n 的值为____．7．不等式2＜4的解集为____．8．已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为____．9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为____．10．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____．11．设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为____．13．已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为____．14．设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为____．简答题（综合题）（本大题共10小题，每小题____分，共____分。

）12．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为____．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．17.求BC的长；18.求sin2C的值．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：19.DE∥平面AA1C1C；20.BC1⊥AB1．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．21.求a，b的值；22.设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．23.求椭圆的标准方程；24.过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．25.试讨论f（x）的单调性；26.若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．27.证明：2，2，2，2依次构成等比数列；28.是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；29.是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．选做题。

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5 【解析】 试题分析：{123}{245}{12345}5AB ==，，，，，，，，，个元素考点：集合运算2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 【答案】6考点：平均数3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 5 【解析】试题分析：22|||34|5||5||5z i z z =+=⇒=⇒=考点：复数的模4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.【答案】7 【解析】试题分析：第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;结束循环，输出7.S =S ←1 I ←1While I <10 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S（第4题图）考点：循环结构流程图5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 【答案】5.6考点：古典概型概率6.已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), n m -的值为______. 【答案】3- 【解析】试题分析：由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 考点：向量相等7.不等式224xx-<的解集为________.【答案】(1,2).- 【解析】试题分析：由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).- 考点：解指数不等式与一元二次不等式 8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3 【解析】试题分析：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 考点：两角差正切公式9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

一，填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}3,2,1=A ,{}5,4,2=B ,则集合B A 中圆素地个数为_______.【结果】5【思路】试题思路：{123}{245}{12345}5A B == ，，，，，，，，，个元素考点：集合运算2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据地平均数为________.【结果】6考点：平均数3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位）,则z 地模为_______.【思路】试题思路：22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=考点：复数地模,可知输出地结果S 为________.【结果】7【思路】试题思路：第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;结束循环,输出7.S =考点：循环结构流程图5.袋中有形状，大小都相同地4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同地概率为________.【结果】5.6（第4题图）考点：古典概型概率6.已知向量a =)1,2(,b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), n m -地值为______.【结果】3-【思路】试题思路：由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-考点：向量相等7.不等式224x x-<地解集为________.【结果】(1,2).-【思路】试题思路：由题意得：2212x x x -<⇒-<<,解集为(1,2).-考点：解指数不等式与一圆二次不等式8.已知tan 2α=-,()1tan 7αβ+=,则tan β地值为_______.【结果】3【思路】试题思路：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++-考点：两角差正切公式9.现有橡皮泥制作地底面半径为5,高为4地圆锥和底面半径为2，高为8地圆柱各一个。

2015年江苏省高考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为．2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答：解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g （x ）与φ（x ）=﹣f （x ）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数为4． 故答案为：4． 点评：本题考查求方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k •a k+1）的值为 ．考点：数列的求和． 专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用． 分析： 利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出． 解解：答：=+=++++=++=++，∴（a k •a k+1）=+++++++…+++++++…+=+0+0 =．故答案为：9．点评： 本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（14分）（2015•江苏）在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，A=60°． （1）求BC 的长； （2）求sin2C 的值．考点： 余弦定理的应用；二倍角的正弦． 专题： 解三角形． 分析：（1）直接利用余弦定理求解即可． （2）利用正弦定理求出C 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可． 解答：解：（1）由余弦定理可得：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB ＜BC ，∴C 为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f （t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=•=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．考点：等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln （1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=＞0，由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．考点：特征值与特征向量的计算．专题：矩阵和变换．分析：利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．解答：解：由已知，可得A=﹣2，即==，则，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵A的另一个特征值为1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解答：解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g（x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）f（6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：（1）f（6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题解析1. 解析 由并集的运算知识知{}1,2,3,4,5AB =，故集合A B 中元素的个数为5．2. 解析 解法一：对数据进行整理，4，5，6，6，7，8，观察易知平均数为6x =．解法二：平均数()146587666x =+++++=． 3. 解析 解法一：设i z a b =+，,a b ∈R ，则()()2222i 2i 34i z a b a b ab =+=-+=+，从而22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，即2232a b ab ⎧-=⎨=⎩，故2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而z == 解法二：由题意2234i 5z z ==+==，故z =．4. 解析故输出的结果S 为．5. 解析 解法一：1只白球设为a ，1只红球设为b ，2只黄球设为c ，d ，则摸球的所有情况为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d ，共6件，满足题意的事件为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，共5件，故概率为56P =．解法二（理科做法）：从反面考查，反面情况为摸出的2只球颜色相同，故2224C 51C 6P =-=． 6. 解析 由题意m n +a b()()2,11,2m n =+-()2,2m n m n =+-()9,8=-，从而2928m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得25m n =⎧⎨=⎩，故3m n -=-．评注 也可以将m n -用2m n +与2m n -线性表示，如()()1322355m n m n m n -=++-=-． 7. 解析 由题意22242x x-<=，根据2x y =是单调递增函数，得22x x -<，即()()22210xx x x --=-+<，故不等式的解集为()1,2-或写成{}12x x -<<均可．评注 题是不难，但是解集是集合，估计又要有考生忘记了．8. 解析 解法一：()tan tan βαβα=+-()()tan tan 1tan tan αβααβα+-=++⋅127317+==-． 解法二：()tan tan tan1tan tan αβαβαβ++=-⋅2tan 112tan 7ββ-+==+，故tan 3β=．解法三：()tan tan αβαβ=+-()()tan tan 1tan tan αββαββ+-=++⋅1tan 7211tan 7ββ-==-+，故t a n 3β=． 9. 解析 原来的总体积为()()22154283V =⨯π⨯⨯+π⨯⨯1963π=，设新的半径为r ，故变化后体积()()221'483V r r =⨯π⨯⨯+π⨯⨯22819633r ππ==， 计算得27r=，从而r =10. 解析 解法一（几何意义）：动直线210mx y m ---=整理得()()210m x y --+=，则l 经过定点()2,1M -，故满足题意的圆与l 切于M 时，半径最大，从而r ==()2212x y -+=．解法二（代数法——基本不等式）：由题意r d======…，当且仅当1m =时，取“=”．故标准方程为()2212x y -+=．解法三（代数法——∆判别式）：由题意r d=== 设22211m m t m ++=+，则()21210t m m t --+-=，因为m ∈R ， 所以()()222410t ∆=---…，解得02t 剟，即d 的最大值为11. 解析 解法一：可以考虑算出前10项，但运算化简较繁琐．解法二：由题意得212a a -=，323a a -=，…，1n n a a n --=，()*2,n n ∈N …故累加得1234n a a n -=++++…，从而1+234n a n =++++…()12n n +=， 当1n =时，满足通项．故()1211211n a n n n n ⎛⎫==⨯- ⎪++⎝⎭()*n ∈N ， 则有123101111a a a a ++++...1111121+2231011⎛⎫=⨯--++- ⎪⎝⎭ (120211111)⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭． 12. 解析 解法一（几何意义）：即找到P 到直线10x y -+=的最小距离（或取不到），该值即为实数c 的最大值． 已知双曲线221xy -=的渐近线为0x y ±=，易知10x y -+=与0x y -=平行，因此该两平行线间的距离即为最小距离（且无法达到），故实数c的最大值为2d ==． 解法二（纯粹代数法）：设双曲线右支上的任一点为()00,x y ，则22001x y -=，且01x …，从而d c =>恒成立，因为22001y x =-，1︒若00y …时，则d ==，构造()0011f x x ==+，则()011f x +=>，从而d =>=． 2︒若00y <时，则d ===，根据单调递增性，其最小值为01x =．综上所述：2c…，即实数c=．解法三（参数方程，酌情掌握）：因为双曲线右支下部的点到直线的距离不可能为最小值，不妨设设双曲线右支上部的一点为1sec cos sin tan cos x y ααααα⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，0,2απ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．从而d=1sin 1α-+==先研究1sin sin 1cos cos 0αααα--=--， 式子sin 1cos 0αα--表示221x y +=，(]0,1x ∈，[)0,1y ∈上的点与点()0,1间的斜率，易知[)sin 11,0cos 0αα-∈--，从而1sin 12d α-+⎛= ⎝，故2c …，即实数c2=．评注 解法二是观察到已知直线与双曲线的渐近线互相平行，典型的寻求几何关系进行切入；解法二中也可设001x y c -+=，研究直线与双曲线右支相切的状态． 解法三先排除一部分的情况，这在解法二中也同样适用． 13. 解析 解法一（逐步去绝对值）：1︒当01x <…时，()()f xg x +ln 0ln 1x x =+==，故ln 1x =±，e x =（舍）或1e x =，即在(]0,1上有一解为1ex =． 2︒当1x >时，ln 0x >，故()ln ln f x x x ==，()()2ln 421f x g x x x +=+--=，①当12x <<时，2ln 21x x -+=，不妨设()2ln 2h x x x =-+，()2112'20x h x x x x-=-=<对()1,2x ∈恒成立， 故()hx 单调递减，()()min 2ln22ln2111h x h ==-=--<-，()()max 11h x h ==，根据绝对值函数的性质分析，在()1,2x ∈上有一解；②当2x …时，2ln 61x x +-=，不妨设()2ln 6m x x x =+-，则()1'20m x x x=+>对[)2,x ∈+∞恒成立，故()mx 单调递增，()()min 2ln22ln2111h x h ==-=--<-，又()612e e1m =>，根据绝对值函数的性质分析，在[)2,x ∈+∞上有两解．综上所述：方程()()1f x g x +=实根的个数为4．解法二（直接去绝对值）：设()()()hx f x g x =+，则()22ln ,01ln 2,12ln 62x x h x x x x x x x -<⎧⎪=+-<<⎨⎪+-⎩……，下仿照解法一分析．或者通过分析()1hx =±的解亦可．解法三（图像转化）：因为()()1f x g x +=， 所以()()1f x g x +=±，从而()()1g x f x =±-，即()()1gx f x =-或()()1g x f x =--．先分别画出()f x 与()g x 的图形，如图所示：得到图形中弯折、端点部位的具体值，然后分别研究()()1g x f x =-与()()1g x f x =--的图像，如下图所示，易见共有4个交点．()()1g x f x =-图形分析 ()()1g x f x =--图形分析评注 此题考查函数的零点，函数的零点问题一般从函数的零点、方程的根、图像的交点角度解决，从方程的角度分析此题侧重去绝对值的步步考查，从函数的零点分析此题侧重对图像中部分点的精确取值．同样的零点求解问题，此题难度明显高于去年．14.解析 解法一（强制法）：由题意得()()0cos0,sin0cos01,1=+=a，1122⎛⎫+= ⎪⎝⎭a ，212⎛= ⎝⎭a ，()30,1=a，412⎛=- ⎝⎭a，5⎛= ⎝⎭a ，()61,1=--a，7122⎛⎫=- ⎪⎝⎭a，811,22⎛⎫=- ⎪⎝⎭a ，()90,1=-a ，1011,22⎛⎫= ⎪⎝⎭a，11122⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，()121,1=a .从而()11+1011111122222222k k k =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=++⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑a a12⎛++++ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭12⎛+++ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111222222⎛⎫⎛⎫-+⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=（恰当整理化简即可）.解法二（部分规律法）：由题意6cos ,sin cos 666k k k k +πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+π+π++π⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭a cos ,sin cos 666k k k k πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭a ，从而671k k k k +++=a a a a ，即1k k +a a 的结果呈现以6T =为周期的变化，故()11+1kk k =⋅∑a a ()0112233445562=⨯++a a +a a a a a a +a a +aa =.解法三（通用规律法）：由题意得：()()()1111cos ,sin cos cos ,sin cos 666666k k k k k k k k ++π+π+π⎛⎫πππ⎛⎫⋅=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a ()()()111coscos sin cos sin cos 666666k k k k k k +π+π+π⎛⎫πππ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()111coscos cos cos sin sin 666666k k k k k k +π+π+π⎡⎤πππ=++⎢⎥⎣⎦()()()()1111coscos cos sin cos cos sin 66666666k k k k k k k k +π+π+π+π⎡⎤ππππ=+-++⎢⎥⎣⎦ ()()()111coscos sin sin cos cos 666666k k k k k +π+π+π⎡⎤πππ=+++⎢⎥⎣⎦11cossin cos 626262626k k k k k ⎤πππππ=-++⎥⎣⎦1sin sin 6626k k k ⎤πππ+-⎥⎣⎦22111sin cos cos 1cos 2662626k k k k ⎛ππππ⎫⎛⎫=++--+ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭211sin 1cos 432622k k ⎛ππ=++-+ ⎝⎭1cos131322k k π+⎛π=++-+ ⎝⎭12sin 43434k k π+π=++， sin 3k y π=，cos 3k y π=的周期为263T π==π，在一个周期内其和为0， 故()11+1012k k k =⋅==∑a a 解法四（部分规律法）：()()()1111cos ,sin cos cos ,sin cos 666666k k k k k k k k ++π+π+π⎛⎫πππ⎛⎫⋅=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a ()()()()1111coscos cos sin cos cos sin 66666666k k k k k k k k +π+π+π+π⎡⎤ππππ=+-++⎢⎥⎣⎦ ()()11coscos cos sin 66666k k k k +π+π⎡⎤πππ=+++⎢⎥⎣⎦⎝⎭则()()11111111+10001cos cos sin 26636kk k k k k k k k ====+ππππ⎛⎫⋅=+++ ⎪⎝⎭∑∑∑aa ， 设()1coscos 66n n n b +ππ=， 由诱导公式()()334coscos 66n n n b ++π+π=()1sin sin 66n n +ππ=，故()()311sin sin cos cos 6666n n n n n n b b ++π+πππ+=+cos 62π==， 从而分组求和()111coscos 666k k k =+ππ==∑ 设sin 36nn c ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由诱导公式()33sin sin 3636n n n n c c ++π⎛⎫πππ⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故30n nc c ++=，从而分组求和11sin 036k k =ππ⎛⎫+=⎪⎝⎭∑．又1112k ===()11+10k k k =⋅=∑a a 评注 解法一、二虽然足够复杂，但只要罗列清楚并逐步解决，就会发现其实比较简单，从一般法角度进行解决思路难寻，便可以从具体值的角度思考，这给了江苏考区的大部分普通考生以希望． 解法三侧重对三角公式的化简，侧重从一般的角度找到问题的突破口．但解法三中化化简()1coscos 66k k +ππ使用积化和差简化过程，即()()21cos +cos166cos cos =662k k k +ππ+ππ，但高中阶段该公式已不要求掌握，因此此题顺利化简确实也比较麻烦． 解法四在解法三的基础之上进行了优化，不化到最简形式也可解决问题． 也有学生考虑构造cos ,sin cos 666kk k k πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a =cos ,sin +0,cos 666k k k πππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+k k =b c ，则k b 和+1k b 都是单位向量且夹角为6π，即+12k k ⋅=b b ． 15. 解析（1）由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅14922372=+-⨯⨯⨯=，解得BC =（2）222cos 2AC BC AB C AC BC +-=⋅==，因为()0,C ∈π，故sin C ==， 故sin 22sin cos C C C =⋅27==． 评注可不化简，有时候会利于下面的运算．16. 解析 （1）因为四边形11BCC B 是矩形，所以E 是1BC 的中点，又D 是1AB 的中点， 因此DE 是1BCA △的中位线，故DE AC ∥， 又DE ⊄平面11AAC C ，AC ⊂平面11AAC C ，所以DE ∥平面11AAC C ． （2）因为1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1AC CC ⊥，又AC BC ⊥，1BC CC C =，从而AC ⊥平面11BCC B ，因为1BC ⊂平面11BCC B ，所以1BC AC ⊥．因为1BC CC =，E 为1BC 的中点，所以11BC CB ⊥， 因为1ACCB C =，所以1BC ⊥平面1ABC ，又因为1AB ⊂平面1ABC ，所以11BC AB ⊥．17. 解析（1）由题意2ay x b=+过()5,40M ，()20,2.5N ， 故4025 2.5400aba b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得10000a b =⎧⎨=⎩．（2）① 由题意，曲线C 为21000y x =，易知21000,P t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，32000'y x =-， 故曲线C 在点P 处的切线斜率为32000k t =-， 故曲线C 在点P 处的切线方程为()2310002000y x t t t-=--，化简即3220003000y x t t =-+，令0x =，则23000y t =；令0y =，则32t x =． 故()f t ==()520t 剟． ② 设()24900000094t t g t +=，则()536000000'92g t t t +=-66581092t t -⨯+=⨯， 令()'0g t >，则66810t >⨯，即()()332200t >，从而2200t>，即t >因此()g t在t ⎡∈⎣上单调递减，在(25t ⎤∈⎦上单调递增，故当t=()(min f t f ===评注 第（2）②问或用基本不等式解决，2224490000009900000099=+488t t t t t ++…3900==2527=6754⨯⨯，当且仅当24900000098t t =， 即66810t =⨯，即t =“=”，故公里l的最短距离为18. 解析（1）由题意得232a c cc e a⎧+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，故a =，即222a c =，从而1c =，a =，1b =，故椭圆的标准方程为2212x y +=． （2）解法一（正设斜率）：若AB 的斜率不存在时，则AB 方程为1x =，此时AB =，易知此时32CP AB =≠，不满足题意；当AB 的斜率为0时，此时亦不满足题意；因此AB 斜率存在且不为0，不妨设AB 斜率为k ，则AB 方程()1y k x =-，不妨设()11,Ax y ，()22,B x y ，联立直线AB 与椭圆，即()22221x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩⇒()()2222124220k x k x k +-+-=， 因为点()1,0F在椭圆内，故0∆>恒成立，所以212221224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，故12A B x =-==)22112kk +=+， 又1PCk k=-，21222212C x x k x k +==+，故C P x PC -=222212k k ⎫=+⎪+⎭= 因为2PC AB =)22112k k+=+，2=，即()(22231k +=，整理得424296188kk k k ++=+，即42210k k -+=，即()2210k-=，解得1k =±，从而直线AB 方程为10x y --=或10x y +-=．解法二（反设）：由题意，直线AB 的斜率必不为0，故设直线方程为1x my =+， 不妨设()11,Ax y ，()22,B x y ，与椭圆联立22122x my x y =+⎧+=⎨⎩，整理得()222210m y my ++-=，因为点()1,0F 在椭圆内，故0∆>恒成立，故1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，因此12AB y =-==)2212m m +=+， 则C 点的纵坐标为12222y y mm +=-+， 于是C 点的横坐标为222122m m m m ⎛⎫-+= ⎪++⎝⎭， 又CP AB ⊥，故CP k m =-，所以2CP =+=， 因为2PC AB =)2212m m +=+， 化简得()()222381m m +=+，即42210mm -+=，化简得21m =，计算得1m =±， 从而直线AB 方程为10x y --=或10x y +-=．解法三（中点弦）：不妨设()00,Cx y ，()11,A x y ，()22,B x y ，则221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差()()()()1212121212x x x x y y y y +-=-+-， 故1212ABy y k x x -=-()12122x xy y +=-+002x y =-，又001AB CF y k k x ==-，故000021x y y x -=-，即()200021y x x =--， 设'A ，'B 分别是A ，B 两点在右准线上的投影，则由圆锥曲线统一定义得'AF e AA =，'BFe BB =， 故()''AB AF FB e AA BB=+=+)1242xx =--)0422x =-)02x =-， 因0012A P B Ck x k y -==，故PC 方程为()00002y y y x x x -=-，即0002yx y x y =-，联立2x =-，得00042,y P y x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 从而PC =)022AB x ==-，即()()0002220082242y y x x x ⎛⎫++=- ⎪⎝+⎭，所以()()00222200024822x y x x x ⎛⎫++=- ⎪⎝+⎭，又()200021y x x =--， 从而()()()()22200000282212x x x x x +=---+，即()()000220282122x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-+，故()()()0020202282x x x x =+-+-， 因为02x ≠，故()()2000822x x x =-+，整理得20091240x x -+=，故()20320x -=，解得023x =，回代()200021y x x =--，得013y =±，从而直线AB 方程为10x y --=或10x y +-=．解法四（几何性质，网友解答）：不妨设直线AB 的倾斜角为α，则AF=BF=222cos 1sin AB αα==-+①，作椭圆的右准线'l ，过C 作y 轴的垂线，分别交左、 右准线于M ，H ， 分别过A ，B 作右准线'l 的垂线分别 交'l 于'A ，'B ，过A 作'BB 的垂线交'BB 于N ，由PC AB ⊥，易得ABN CPM △△∽，故xFA CPM α∠=∠=，sin CMPC α=②，由图CM MH CH =-()1''2MH AA BB =-+()12MH AF BF e =-+12MH AB e=-，由2PC AB =及②得2sin CM AB α=，即12sin 2MH AB CM AB eα-==，x42sin 2AB AB α-=，即2sin 4AB α⎛= ⎝⎭，代入①得22sin 421sin αα⎛+= +⎝⎭，整理22sin 10αα-+=，即)210α-=，解得sin 2α=，所以4απ=或43π， 即1k =±，从而直线AB 方程为10x y --=或10x y +-=．评注 第（2）问实属常规运算，不少为计算过的学生认为此题比较难，也有人认为必须要挖掘中点 弦（设而不求，不能直接使用结论）与焦半径公式解决，其实计算而来只觉得化简始终是这一题 要解决的问题，何时该作何化简？需要考虑什么问题？为何要这么处理？这么处理下面是否好解 决？我得到式子是否足够美观，是否对称，是否可约？这一直是解析几何问题解决过程中需要的 思考．利用中点弦设参解决固然简单，但找到关系方为上策．在解决的过程中有些类似弦长，比如PC ，可以选用弦长公式解决，未必求出P 之坐标用两点之间距离解决，这些都需要考生在考上上临场反应，说白了，就是平时积累的结果．19. 解析（1）由题意，()2'32f x x ax =+233x x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1︒当203a -=，即0a =时，()2'30f x x =…对x ∈R 恒成立，故()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；2︒当203a ->，即0a <时，令()2'303f x x x a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则0x <或23x a >-， 所以()f x 的单调递增区间为(),0-∞和,23a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为30,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；3︒当203a -<，即0a <时，令()2'303f x x x a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则23x a <-或0x >，所以()f x 的单调递增区间为23,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,+∞，单调递减区间为023,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）解法一：因b c a =-，故()32f x x ax c a =++-，由（1）得：1︒当0a =时，()f x 单调递增，不满足题意；2︒当0a <时，若函数()f x 有三个不同的零点，则()324032700f f a a c a ffc a ⎧⎛⎫==+-< ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--=>⎩极小极大恒成立， 从而3427c a a c a⎧<-+⎪⎨⎪>⎩对(),3a ∈-∞-恒成立， 构造()3427g a a a =-+，则()24'109g a a =-+<对(),3a ∈-∞-恒成立， 故()ga 单调递减，从而()()31g a g >-=，故31c -剟．3︒当0a >时，若函数()f x 有三个不同的零点，则()324032700f f a a c a ffc a ⎧⎛⎫==+-> ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--=<⎩极大极小恒成立， 从而3427c a ac a⎧>-+⎪⎨⎪<⎩对331,,22a ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 构造()3427g a a a =-+， 则()22449'1994g a a a ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭433922a a ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令()0ga >，则312a <<，故()ga 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，则()312g a g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，从而11c c ⎧⎨⎩……，即1c =． 综上得1c =．解法二：因b c a =-，故()32f x x ax c a =++-， 由（1）得：1︒当0a =时，()f x 单调递增，不满足题意；2︒当0a ≠时，若函数()f x 有三个不同的零点，则只需保证()203f f f a f ⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝-⎭极大极小()34027a c a c a ⎛⎫=+--< ⎪⎝⎭，又实数a 的解集为()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此13a =-，21a =，332a =是方程()34027a c a c a ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭的三个实数根， 易知该方程必有一根a c =， 从而若3c =-时，则()3433027a a a ⎛⎫----=⎪⎝⎭，验证知21a =不为其根，故舍； 若1c =时，则()3411027a a a ⎛⎫+--=⎪⎝⎭，验证知13a =-，332a =是其根，验证不等式()3411027a a a ⎛⎫+--<⎪⎝⎭，即()()()232310a a a +--<， 即()()()232310a a a +-->，其解集为()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足题意；若32c =时，则343302722a a a ⎛⎫⎛⎫+--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，验证知21a =不为其根，故舍．综上得1c =．解法三：因b c a =-，故()32f x x ax c a =++-，由（1）得：1︒当0a =时，()f x 单调递增，不满足题意；2︒当0a <时，若函数()f x 有三个不同的零点，则()324032700f f a a c a ffc a ⎧⎛⎫==+-< ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--=>⎩极小极大，从而34027a c a a c⎧+-<⎪⎨⎪<⎩，根据a 的取值范围可知：3a =-是方程34027a c a +-=的根，因此1c =． 3︒当0a >时，若1c =，则根据函数()f x 有三个不同的零点，则必有()324032700f fa a c a ffc a ⎧⎛⎫==+-> ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--=<⎩极大极小，即()()232301a a a ⎧+->⎪⎨>⎪⎩． 因此解得3a <-或312a <<或32a >，符合题意． 综上得1c =．评注 （2）的解法一将该问题转化到恒成立解决；解法二将问题统一归类转化到不等式的解集，进 而转化到等式（方程）的根；解法三亦是将问题转化到不等式的解集问题进行解决． 20. 解析（1）由题意11a a =，21a a d =+，312a a d =+，413a a d =+，故121122222a d da a a +==，3211222222a d d d a a a ++==，31413222222d da a a a d ++==，而120a ≠且20d ≠，从而31242,2,2,2a a a a 时以12a 为首项，2d为公比的等比数列．（2）解法一：假设存在满足条件的1,a d ， 从而11a a =，()2221a a d =+，()33312a a d =+，()44413a a d =+，若满足题意，的须使43213624324a a a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即4321332324a a a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 即()()()()()4311132111223a d a a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+=++⎪⎩①②，化简得3223411122311264030a d a d a d d a d a d d ⎧++-=⎪⎨++=⎪⎩， 因为0d ≠，故32231112211264030a a d a d d a a d d ⎧++-=⎪⎨++=⎪⎩，不妨设1a t d =， 从而转化为32226410310t t t t t ⎧++-=⎪⎨++=⎪⎩③④，由④得231t t =--，代入③得()22316410t t t t --++-=，化简得到210t -=，即12t =，易见12t =不满足④式，故方程组无解，即不存在满足条件的1,a d ． 解法二：假设存在满足条件的1,a d ，若需满足条件，则必有43213a a a =成立，即为了方便，不妨设1a a d =-，2a a =，3a a d =+，易知10a a d=->，即a d >，从而()()34a a d a d =-+，即()()422222a a da ad d =-++4322223422aa d a d a d ad d =++---，整理得334220a d ad d --=，因为0d ≠，故设a t d=，则32210t t --=，构造()3221g t t t =--，则()2'320g t t =->对()1,t ∈+∞恒成立，由()110g=-<，()2110g =>知()1,2t ∈．另外，还需有624324a a a =，即32324a a a =，即()()322a d a a d +=+，整理得2230a d ad d +-=，仿照上面的步骤即210t t +-=，解得()11,2t =或()21,2t =，因此不满足题意． 综上论证：不存在满足条件的1,a d ．解法三（取对数降为线性）：假设存在满足条件的1,a d ，由1a ，2a ，3a ，4a 均为正数， 因此2341234,,,a a a a 均为正数，所以2341234ln ,ln ,ln ,ln a a a a 构成等差数列， 即1234ln ,2ln ,3ln ,4ln a a a a 构成等差数列，不妨设通项为pn q +，1,2,3,4n =，由于1234,,,a a a a 构成等差数列，且公差为d ()0d ≠，故设其通项为n a dn a =+，1,2,3,4n =，从而()lnn dn a pn q +=+，即()ln q dn a p n+=+对1,2,3,4n =均成立，不妨设()()ln qf x dx a p x =+--，从而()()222'd q dx pdx qa f x dx a x dx a x++=+=++， 因为0d ≠，0x >，0dx a +>， 所以函数()'f x 至多有两个零点，即()f x 在()0,x ∈+∞上至多有三个单调区间，从而()f x 至多会有三个零点，这与1,2,3,4x =都是()f x 的零点相矛盾，因此不存在满足条件的1,a d ．（3）解法一（取对数降为线性）：假设存在满足条件的1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n kn k n k a a a a +++依次成等比数列，因为231234,,,n n k n k n k a a a a +++都是整数， 所以231234ln ,ln ,ln ,ln nn kn k n ka a a a +++构成等差数列，即()()()1234ln ,ln ,2ln ,3ln n a n k a n a n k a +++构成等差数列，设期通项为sm t +，1,2,3,4m =，不妨设数列1234,,,a a a a 的通项为ma dm a =+，1,2,3,4m =，0d ≠，所以()()1ln n m k dm a sm t +-+=+⎡⎤⎣⎦，即()ln sm tdm a km n k++=+-对1,2,3,4m =恒成立，不妨设n k c -=，令()()ln sx tg x dx a kx c+=+-+，则()()()()2's kx c k sx t dg x dx a kx c +-+=-++()2d sc kt dx a kx c -=-++ ()()()()()22d kx c kt sc dx a dx a kx c ++-+=++()()()()22222dk x dkc ktd scd x c d kt sc adx a kx c ++-++-=++，因为0d ≠，0x >，0dx a +>，0kx c +≠， 所以函数()'g x 至多有两个零点，即()g x 在()0,x ∈+∞上至多有三个单调区间，从而()gx 至多会有三个零点，这与1,2,3,4x =都是()g x 的零点相矛盾，因此不存在满足条件的1,a d ，使得231234,,,nn kn k n k a a a a +++依次成等比数列．解法二（多次求导，省考试院提供）：假设存在满足条件的1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,nn kn k n ka a a a +++依次成等比数列，则()()()()()()()22111322111232n k n k n n k n k n k a a d a d a d a d a d +++++⎧+=+⎪⎨++=+⎪⎩， 分别在上述两个等式的两边同时除以()21n k a +及()221n k a +，并令1d t a =1,03t t ⎛⎫>-≠ ⎪⎝⎭，则()()()()()()()2232212111312n k n k n k n k n k t t t t t +++++⎧+=+⎪⎨++=+⎪⎩， 将上述两个等式两边取对数，得()()()()()()()()()()2ln 122ln 1ln 13ln 1322ln 12n k t n k t n k t n k t n k t ++=++⎧⎪⎨+++++=++⎪⎩ 化简得()()()()()()()()2ln 12ln 12ln 1ln 123ln 13ln 13ln 1ln 13k t t n t t k t t n t t ⎧+-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎪⎣⎦⎣⎦⎨+-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎪⎣⎦⎣⎦⎩，上述两式相除得()()()()()()()()ln 12ln 12ln 1ln 12ln 13ln 12ln 1ln 12t t t t t t t t +-++-+=+-++-+， 化简得()()()()()()ln 13ln 123ln 12ln 14ln 13ln 1t t t t t t +++++=++（*）， 令()()()()()()()4ln 13ln 1ln 13ln 123ln 12ln 1gt t t t t t t =++-++-++，则()()()()()()()()()()222213ln 13312ln 1231ln 1'11213t t t t t t g t t t t ⎡⎤++-+++++⎣⎦=+++， 令()()()()()()()22213ln 13312ln 1231ln 1h t t t t t t t =++-+++++， 则()()()()()()()'613ln 13212ln 121ln 1h t t t t t t t =++-+++++⎡⎤⎣⎦.令()()()()()()()()'613ln 13212ln 121ln 1m t h t t t t t t t ==++-+++++⎡⎤⎣⎦， 则()()()()'63ln 134ln 12ln 1m t t t t =+-+++⎡⎤⎣⎦， 令()()()()()'63ln 134ln 12ln 1n t m t t t t ==+-+++⎡⎤⎣⎦， 则()()()()12'011213n t t t t =>+++，由()()()()00000g h m n ====，()'0n t >，知()n t ，()m t ，()h t ，()g t 在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上均单调，故()gt 只有唯一的零点0t =，即方程（*）只有唯一解0t =，故假设不成立．所以不存在满足条件的1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,nn kn k n ka a a a +++依次成等比数列．评注 第（1）问可以探究并证明2n a nb =是等比数列．证明：因为112222n n nn a a a d a ++-==，因此2n a n b =以112a b =为首项，2d 为公比的等比数列． 第（2）问解法一其实就是通过两元关系找到方程组的解，解高次方程最好的办法就是不断降幂迭代，衔接教材中有一道题就是降幂迭代思维，例：设12x =，求4221x x x ++-的值． 解析因为264x -=32-=，故()223321x x ==-+，即210x x +-=.即12x =是方程210x x +-=的一个根，故4221xx x ++-()22121x x x =-++-22x =()21x =-22x =-)21=-3=-【1】或者也可以对方程组()()()()()4311132111223a d a a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+=++⎪⎩①②， 将②代入①得()()()4211113a d a a d a d +=++，化简即()()321113a d a a d +=+，进而探求1a 与d 的关系，由②可直接得到1a 与的关系，验证关系不一致即可证明不存在，如同解法二类似．【2】为了简化运算，参考标准可以选为2a 与d ，如同解法二类似．但解法二也可以利用迭代，例如解法二涉及32221010t t t t ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩，转换后即()21210t t t ---=，即2210t --=，方程无解．【3】降幂迭代的方向可以不同（部分迭代和全部迭代），仅是步骤复杂程度变化，但结论不变，．如处理解法一得到的式子还可以是32226410310t t t t t ⎧++-=⎪⎨++=⎪⎩③④，由④得231t t =--，代入③得()()231631410t t t t --+--+-=，即261670t t ++=，再次迭代，即()6311670t t --++=，解得12t =，同理推翻．【4】如果直接由624324a a a =可以推证2310t t ++=，其中1a t d=．解得t =1a =或1a =，当1302a -=>时，易知0d <，此时413302a a d -=+=<，不满足题意；当1302a -=>时，易知0d <，此时413302a a d +=+=<，不满足题意． 可以直接推翻结论．【5】构造的时候也可以构造成1dt a =，如省考试院公布的标准答案． 解法二是通过论证判定方程组解的范围不一致（一个求解范围，一个是确定值）进行否定，具 有一定的风险，因为对解的限制要求较高，若两解差的精度较小，则难以通过此法判定． 因此，往后此类试题也可以考查两方程均无法解出确定则，则我们可以通过降幂迭代或者判定 解得范围解决．解法三是从构造方程研究函数零点角度解决． 但数学翻译语言：“函数()'f x 至多有两个零点，则()f x 至多有三个单调区间”是不成立的，因为()f x 在无定义的地方可能会间断，将某一单调区间拆成两个，但此题有限制，因此成立．数学翻译语言：“()f x 至多有三个单调区间，则()f x 至多会有三个零点”是正确的．【6】也有老师从函数的凹凸性给予解释．（2）假设存在参数可以是其成等比数列，那么我们可以构造出下面的对应等式关系：1a bq =，222a bq =，333a bq =，444a bq =，,0q b >，1b ≠，所以1nn a qb =()1,2,3,4n =关于n 的函数是一致凹或凸的，所以()11,a 与()44,a 的连线 必不与 ()22,a ，()33,a 的连线重合．这是与等差数列对应点在直线上是矛盾的，故不存在1,a d 满足要求． （3）依据题意构造等式关系如下：1n n a bq =，2'n k n k a b q ++=，233'n k n k a b q ++=，354'n kn k a b q ++=，'k b bq =， 所以11'n a qb =，12'n ka qb +=，133'n ka qb +=，154'n ka qb +=，假设存在，那么坐标上三点()2,n k a +，()33,n k a +，()45,n k a +共线，依据函数图像凹凸性，知其不成立，因此不存在． 21（A ）. 解析 由题意E C ∠=∠，又AB AC =，故ABC C ∠=∠，所以ABC E ∠=∠， 又BADBAE ∠=∠，所以ABD AEB △△∽．21（B ）. 解析 由题意112012x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎦⎣⎦⎣⎦⎣，所以122x y -=-⎧⎨=⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩，故1120-⎡⎤=⎢⎥⎦⎣A ． 所以()112f λλλ+-=-()12λλ=+-22λλ=+-， 令()0f λ=，则12λ=-，21λ=，所以它的另一个特征值为1λ=．21（C ）. 解析由题意得sin 422θθθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以()22sin cos 40ρρθθ+--=，即22sin 2cos 40ρρθρθ+--=，从而222240xy y x ++--=，即()()22116x y -++=，故圆C．21（D ）. 解析当32x -…时，化简得332x +…，解得13x -…，故13x -…； 当32x <-时，化简得32x --…，解得5x -…，故5x -…． 故不等式的解集为(]1,5,3⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭．22. 解析 由PA ⊥平面ABCD ，2ABC BAD π∠=∠=， 故AB ，AD ，AP 两两垂直，所以建立如右图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,2P，()1,1,0C ，()0,2,0D ，()1,0,0B ．（1）易知BC ⊥平面PAB ，故平面PAB 的一个法向量为 ()0,1,0BC =．又()1,1,2PC=-，()0,2,2PD =-，设平面PCD 的一个法向量为(),,x y z =n ，则PC ⊥n ，PD ⊥n ，所以20220PC x y z PD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n ，取1z =，则1y =，1x =，故()1,1,1=n ，因此cos ,BC BC BC ⋅===⋅n n n， 易知平面PAB 与平面PCD 所成二面角为锐二面角，故其余弦值为3． （2）因()0,2,2DP =-，设BQ BP λ=，[]0,1λ∈．所以CQ CB BQ=+CB BP λ=+()()0,1,01,0,2λ=-+-(),1,2λλ=--，因此cos ,CQ DPCQ DP CQ DP⋅=⋅=2=设()()222151f λλλ+=+2244151λλλ++=+， 所以()()()()()2222845110441'51f λλλλλλλ++-++=+()()222210251λλλ-+-=+()()()222522151λλλ--+=+， 令()'0f λ>，则25λ<，所以函数()f λ在20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,15⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当25λ=时，()f λ有最大值，即cos ,CQ DP 有最大值，此时直线CQ 与DP 所成的角最小，故5BQ =． 评注 也可以假设Q 点的坐标解决．在求解cos ,CQ DP 的最大值时，也可以处理成：2cos ,2CQ DP =12t λ=+，则[]1,3t ∈，所以2cos ,CQ DP===所以当1105299t ==⨯，29105t t-+取最小值， 此时cos ,CQ DP 取最大值，此时直线CQ 与DP 所成的角最小，即9125t λ==+，解得25λ=，故BQ =． 23. 分析 其实解决此除了需要有良好的数学分类思维以外，还需下表辅助我们理解问题的本质．1234567891011121314151617186162636465661k k k k k k k k +++++++共………………组组第带标记的表示为3的倍数或约数（其实1是奇葩，其余的都是3的倍数），带标记的表示为2的倍数或约数，而则表示既是3的倍数或约数又是2的倍数或约数（即为6的倍数或约数，此题不作研究）．这样研究6n k =()*k ∈N 时，可直接得()()()()63121112f n k k k k =++++=+，当63n k =+()*k ∈N 时，可直接得()()()()63311211117f n k k k k =+++++++=+．这就是此题的本质，以6为周期进行分类整合并进行数学归纳研究． 解析 （1）当6n =时，{}1,2,3X=，{}1,2,3,4,5,6n Y =，(),a b 可取()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,1，()2,2，()2,4，()2,6，()3,1，()3,3，()3,6，共13个，故()613f =．（2）当6n …时，()()*112,6113,61115,62117,63119,641110,65k n k k n k k n k f n k n k k n k k n k k +=⎧⎪+=+⎪+=+⎪=⎨+=+⎪⎪+=+⎪+=+∈⎩N ， 证明：1︒当1k =时，枚举可得()613f =，()714f =，()816f =，()918f =，()1020f =，()1121f =，符合通式；2︒假设k t =时，成立，即()()*112,6113,61115,62117,63119,641110,65t n t t n t t n t f n t n t t n t t n t t +=⎧⎪+=+⎪+=+⎪=⎨+=+⎪⎪+=+⎪+=+∈⎩N 成立，则当1k t =+时，此时66n t =+，此时()6f n +比()f n 多出有序数对11个，即多出()1,61t +，()1,62t +，()1,63t +，()1,64t +，()1,65t +，()1,66t +，()2,62t +，()2,64t +，()2,66t +，()3,63t +，()3,66t +，从而()()()6111112f n f n t +=+=++，符合通式；另外，当67n t =+，68n t =+，69n t =+，610n t =+，611n t =+，同理可证，综上，即()()()()()()()()*1112,661113,671115,6861117,691119,61011110,611t n t t n t t n t f n t n t t n t t t n t ++=+⎧⎪++=+⎪⎪++=+⎪+=⎨++=+⎪⎪++=+⎪++=+⎪∈⎩N ， 即当1k t =+时也成立． 例如61n k =+时，16n k -=，则()111711311366n n f n k -+=+=⨯+=，综上所述：()()*1112,66117,616118,626119,6361110,646115,656n n k n n k n n k f n n n k n k k n n n k +⎧=⎪⎪+⎪=+⎪⎪+⎪=+⎪=⎨+⎪=+⎪⎪+⎪=+⎪⎪+=+⎪⎩∈N ．评注 【1】（网友提供）在看各地的评析时，也有人用取整函数进行表达，即当6n …时，()1123n n f n n ⎡⎤⎡⎤=++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦223n n n ⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1︒可以验证6,7,8,9,10,11n =时均成立；2︒假设6n k m =+()*,0,1,2,3,4,5k m ∈=N 时成立，即()6666223k m k m f k m k m ++⎡⎤⎡⎤+=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 则当()61n k m =++，()61f k m ++⎡⎤⎣⎦()6632f k m =++++66621123k m k m k m ++⎡⎤⎡⎤=+++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()666123223k m k m k m ++⎡⎤⎡⎤=+++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()616161223k m k m k m ++++⎡⎤⎡⎤=+++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以()61n k m =++时也成立．综上所述：当6n …，*n ∈N 时，()223n n f n n ⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦均成立．【2】省考试院提供的结果形式为：()()*2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523n n n n k n n n n k n n n n k f n n n n n k n n n n n n k k n n k ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎭⎩∈⎝N ，归纳证明也是从元增加角度推导．其实此题与南京2015三模数学加试23极为相似． （2015南京三模23）已知集合A 是集合{}123,nP n =⋯，，，()*3,n n ∈N …的子集，且A 中恰有 3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A 的个数为()f n ．（1）求()3f ，()4f ；（2）求()f n （用含n 的式子表示）．解析 （1）()13f =，()42f =．（2）设*03,,3n A m m p p p ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N …， *1131,,3n A m m p p p +⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭N …，*2232,,3n A m m p p p +⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭N …，它们所含元素的个数分别记为0A ，1A ，2A ．①当3n k =时，则102k A A A ===．12k =，时，()()313C k kf n ==； 3k …时，()()33132333C C 22kkf k n k k =+=-+． 由于3n k =， 从而()321111863f n n n n=-+，3n k =，*k ∈N ．②当31n k =-时，则01A k =-，12A k A ==．2k =时，()()52214n f f ==⨯⨯=； 3k =时，()()81133220f f n ==++⨯⨯=；3k >时，()()23311113C 2C C C k k k kf n --=++32353122k k k =-+-； 由于13n k +=，从而()32111418639f n n n n =-+-，31n k =-，*k ∈N ． ③当32n k =-时，101k A A ==-，2A k =．2k =时，()()42112n f f ==⨯⨯=； 3k =时，()()7132213f n f ==+⨯⨯=；3k >时，()()23311112C C C C k kk k f n --=++32395222k k k =-+-； 由于23n k +=，从而()32111218639f n n n n =-+-，32n k =-，*k ∈N ． 所以()32*32*32*111,3,18631114,31,186391112,32,18639n n n n k k f n n n n n k k n n n n k k ⎧-+=∈⎪⎪⎪=-+-=-∈⎨⎪⎪-+-=-∈⎪⎩N N N ．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）答案解析数学Ⅰ【解析】{12A B=，，【提示】求出A BU，再明确元素个数集合并集及其运算】6】1(46x=+【提示】直接求解数据的平均数即可．平均数的计算．】（【解析】从中随机一次摸出】(2ma nb m n +=+【提示】直接利用向量的坐标运算，求解即可．【考点】平面向量的坐标运算．】224xx-<【提示】利用指数函数的单调性转化为解不等式．】tan tan(β=31(2)7=-，【提示】直接利用两角和的正切函数，求解即可．两角和与差的正切公式．】221196ππ54+π28=33V 221196ππ8π433r r +=，解得r =等列式求得r ．】圆心到切线】1n n a a +-(1)1232n n n +==++++=1121n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭1111111202121223310111111⎛⎫⎛⎫-+-+-+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【提示】数列{}n a 满足1()n n *+∈Ν，利用“累加求和”可得(1)2n n n a +=．再利用“裂0021x y -+又00)()x y +=00211x y ++的最小值为22c ∴【提示】双曲线2x -】πcos 6k ⎛⎝，π(1)ππ(1)ππ(1)ππ(1)ππ(1)πcos sin sin cos sin sin cos cos cos6666666666k k k k k k k k k +++++++++ π(1)ππ(1)ππ(1)ππ(1)ππ(1)πcos sin sin cos cos cos sin sin cos 666666666k k k k k k k k k +++++⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦π(1)cos 66k +1111100π(1)π)cos cos 66k k k k k k a +==+=+∑∑π(1)πππcos 33sin 6636k k +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭以63=，1)3k k a +∴=【提示】利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．cos 4AB AC A =+2sin 6021sin 7AB A BC ==317=-=cos 2C C =⨯（Ⅰ）直接利用余弦定理求解即可．2(0)3a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭34.27a 又b =2(0)3a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭设22()111(2)()n n k n k a a d a d +++=+，且32(2)111()(3)(2)n k n kn k a d a d a d +++++=+，利用等式以及对数的性质化简整理得到ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)4ln(13)ln(1)t t t t t t +++++=++，多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．【考点】等比数列的判定，等差数列、等比数列的性质，等差、等比数列的性质．数学Ⅱ(附加题){}AB AD AP ，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ．，所以AD 是平面的一个法向量，(0,2,0)AD =因为(1,1,PC =，(0,2,PD =0PC =m ，0PD =m ，即20y z -=(1,1,1)=m 是平面PCD 33AD AD AD <>==，mm m ，33． （Ⅱ）因为(1,0,2)BP =-，设(,0,2BQ BP λλ==-，又(0,1,0)CB =-则(,CQ CB BQ λ=+=-，又(0,DP =-110CQ DPCQ DP CQ DP <>==，2,CQ DP <>=,CQ DP <>的最大值为所成角取得最小值，又因为BP =的一个法向量与平面9,10CQ DP <>≤。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合A B 中元素的个数为▲．2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为▲．3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为▲．4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为▲．5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为▲．6.已知向量()21a = ，，()2a =- 1，，若()()98ma nb mn R +=-∈，，则m-n 的值为▲．7.不等式224x x-<的解集为▲．8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为▲．9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为▲．10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为▲．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

本卷满分为160分。

考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5．2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．那么这组数据的平均数为：3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．|z||z|=|3+4i|=故答案为：4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．．故答案为：．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3．解：向量，m+n，解得7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．28．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3．=，=9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：则新圆锥和圆柱的体积和为：，解得：故答案为：10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．d=，，11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．=+2+1=．．{．{项的和为故答案为：．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．的距离，即故答案为：13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（ak •a k+1）的值为．答=+：+，++++++．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．×=7．==cosC==×16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．y=，利用导数，确定单调性，即可求出当y=，，y=，，﹣（）=t=10，）时，10时，函数=15时，公路1518．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．=，=3，，即有椭圆方程为+y==（）==（）|PC|==19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．（﹣+b（﹣+b时，时，=或﹣．，﹣）∪（，））上单调递增，在（﹣）∪（﹣，，﹣）时，（﹣，）上单调递减；（﹣+b（﹣（时，时，），，）∪（，（）∪（20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．）证明：∵=2，，，依次构成等比数列；t=（﹣＜，不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，t=，[＞）在（﹣，三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．A=，可得=2，即，即A=【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．ρ﹣[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．”“＜，或．时，原不等式化为，≥时，原不等式化为【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．，＞≤，，∴=，=，得，，得=，＞=；）∵=λ==，则===，＞=，＞≤，即=，的最大值为，BP==，∴BP=26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．+=13=6+2+=13．=6+2+=13+2+，+1=k+2++ ++2=k+2++ ++2=k+2++ ++2=k+2++ ++2=k+2++ +。

2015年江苏省高考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为．2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx ﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b ＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．评：4．（5分）考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5分）考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答：解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5分）考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d 的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n =．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c 的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．故答案为：4．点评：本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．解答：解：=+=++++=++=++，∴（a k •a k+1）=++++++ +…+++++++…+=+0+0=．故答案为：9．点评：本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：（1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，∴C 为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A ，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y 轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x 1+x2=，x1x2=，则C （，），且|AB|=•=，若k=0，则AB的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f （x）的两个极值为f （0）=b，f（﹣）=+b，则函数f （x）有三个不同的零点等价于f（0）f （﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a ＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f （x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a ∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）考点：等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k 依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，答：∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（t）=φ1′（t ），则φ2′（t）=＞0，由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB ．本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．点评：【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）特征值与特征向量的计算．考点：专矩阵和变换．题：分利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．析：解解：由已知，可得A=﹣2，即==，答：则，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵A的另一个特征值为1．本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．点评：【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）简单曲线的极坐标方程．考点：专计算题；坐标系和参数方程．题：分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f （x）≤﹣g（x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解答：解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g（x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos 2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD ⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y ，z ），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos ＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos ＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos ＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP 所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．26．（10分）考数学归纳法．点：专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）f（6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：（1）f（6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f （k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．点评：。

2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B 中元素的个数为 5 ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答： 解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B 中元素的个数为5；故答案为：5点评： 题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 6 ．考点： 众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6． 故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）（2015•江苏）设复数z 满足z 2=3+4i （i 是虚数单位），则z 的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7 ．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答： 解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I ＜8，S=3，I=4满足条件I ＜8，S=5，I=7满足条件I ＜8，S=7，I=10不满足条件I ＜8，退出循环，输出S 的值为7． 故答案为：7．点评： 本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ．考点：古典概型及其概率计算公式． 专题：概率与统计．分析： 根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解解：根据题意，记白球为A ，红球为B ，黄球为答： C 1、C 2，则一次取出2只球，基本事件为AB 、AC 1、AC 2、BC 1、BC 2、C 1C 2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB 、AC 1、AC 2、BC 1、BC 2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评： 本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m +n =（9，﹣8）（m ，n ∈R ），则m ﹣n 的值为 ﹣3 ．考点：平面向量的基本定理及其意义． 专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答： 解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m +n =（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评： 本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2） ．考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 分析： 利用指数函数的单调性转化为x 2﹣x ＜2，求解即可．解答： 解；∵2＜4，∴x 2﹣x ＜2，即x 2﹣x ﹣2＜0，解得：﹣1＜x ＜2故答案为：（﹣1，2）点评： 本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan （α+β）=，则tanβ的值为 3 ．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答： 解：tanα=﹣2，tan （α+β）=，可知tan （α+β）==，即=， 解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题：计算题；空间位置关系与距离．分析： 由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r ，求出体积，由前后体积相等列式求得r ．解答： 解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r ， 则新圆锥和圆柱的体积和为：． ∴，解得：．故答案为：．点评： 本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点（1，0）为圆心且与直线mx ﹣y ﹣2m ﹣1=0（m ∈R ）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 （x ﹣1）2+y 2=2 ．考点：圆的标准方程；圆的切线方程． 专题：计算题；直线与圆．分析： 求出圆心到直线的距离d 的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答： 解：圆心到直线的距离d==≤， ∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x ﹣1）2+y 2=2．故答案为：（x ﹣1）2+y 2=2．点评： 本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），则数列{}的前10项的和为．考数列的求和；数列递推式．点：专题：等差数列与等比数列．分析： 数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），利用“累加求和”可得a n =．再利用“裂项求和”即可得出． 解答： 解：∵数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），∴当n≥2时，a n =（a n ﹣a n ﹣1）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=+n+…+2+1=． 当n=1时，上式也成立， ∴a n =． ∴=2． ∴数列{}的前n 项的和S n ===． ∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评： 本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2﹣y 2=1右支上的一个动点，若点P 到直线x ﹣y+1=0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ．考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 双曲线x 2﹣y 2=1的渐近线方程为x±y=0，c 的最大值为直线x ﹣y+1=0与直线x ﹣y=0的距离． 解答： 解：由题意，双曲线x 2﹣y 2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P 到直线x ﹣y+1=0的距离大于c 恒成立， 所以c 的最大值为直线x ﹣y+1=0与直线x ﹣y=0的距离，即． 故答案为：．点评： 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f （x ）=|lnx|，g （x ）=，则方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数为 4 ．考点：根的存在性及根的个数判断． 专题：综合题；函数的性质及应用． 分析： ：由|f （x ）+g （x ）|=1可得g （x ）=﹣f （x ）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论． 解答： 解：由|f （x ）+g （x ）|=1可得g （x ）=﹣f （x ）±1．g （x ）与h （x ）=﹣f （x ）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g （x ）与φ（x ）=﹣f （x ）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数为4． 故答案为：4．点评：本题考查求方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos ，sin +cos ）（k=0，1，2，…，12），则（a k •a k+1）的值为．考点：数列的求和． 专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用． 分利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、析： 积化和差公式、三角函数的周期性即可得出． 解答： 解：=+=++++=++ =++，∴（a k •a k+1）=+++++++…+++++++…+=+0+0 =．故答案为：9．点评： 本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，A=60°． （1）求BC 的长； （2）求sin2C 的值．考点： 余弦定理的应用；二倍角的正弦．专题：解三角形． 分析： （1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答： 解：（1）由余弦定理可得：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===， ∵AB＜BC ，∴C 为锐角， 则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC ﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC 1⊥AC；最后证明BC 1⊥平面B 1AC ，即可证出BC 1⊥AB 1．解答： 证明：（1）根据题意，得；E 为B 1C 的中点，D 为AB 1的中点，所以DE∥AC；又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ， 所以DE∥平面AA 1C 1C ；（2）因为棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC ， 因为AC ⊂平面ABC ， 所以AC⊥CC 1； 又因为AC⊥BC， CC 1⊂平面BCC 1B 1， BC ⊂平面BCC 1B 1， BC∩CC 1=C ，所以AC⊥平面BCC 1B 1； 又因为BC 1⊂平面平面BCC 1B 1， 所以BC 1⊥AC；因为BC=CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形， 所以BC 1⊥平面B 1AC ； 又因为AB 1⊂平面B 1AC ， 所以BC 1⊥AB 1．点本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与评：平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．考点：函数与方程的综合运用． 专题：综合题；导数的综合应用． 分析： （1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a ，b 的值；（2）①求出切线l 的方程，可得A ，B 的坐标，即可写出公路l 长度的函数解析式f （t ），并写出其定义域； ②设g （t ）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t 为何值时，公路l 的长度最短，并求出最短长度．解答： 解：（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P （t ，），∴y′=﹣，∴切线l 的方程为y ﹣=﹣（x ﹣t ）设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，则A （，0），B （0，）， ∴f （t ）==，t ∈[5，20]；②设g （t ）=，则g′（t ）=2t ﹣=0，解得t=10，t ∈（5，10）时，g′（t ）＜0，g （t ）是减函数；t ∈（10，20）时，g′（t ）＞0，g （t ）是增函数，从而t=10时，函数g （t ）有极小值也是最小值，∴g（t ）min =300， ∴f（t ）min =15，答：t=10时，公路l 的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程．考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）运用离心率公式和准线方程，可得a ，c 的方程，解得a ，c ，再由a ，b ，c 的关系，可得b ，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB 的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答： 解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y 2=1；（2）当AB⊥x 轴，AB=，CP=3，不合题意； 当AB 与x 轴不垂直，设直线AB ：y=k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将AB 方程代入椭圆方程可得（1+2k 2）x 2﹣4k 2x+2（k 2﹣1）=0， 则x 1+x 2=，x 1x 2=，则C （，），且|AB|=•=， 若k=0，则AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意； 则k≠0，故PC ：y+=﹣（x ﹣），P （﹣2，）， 从而|PC|=， 由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB 的方程为y=x ﹣1或y=﹣x+1．点本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离评： 心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f （x ）=x 3+ax 2+b （a ，b ∈R ）．（1）试讨论f （x ）的单调性；（2）若b=c ﹣a （实数c 是与a 无关的常数），当函数f （x ）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c 的值．考点： 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题： 综合题；导数的综合应用．分析： （1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f （x ）的单调性；（2）由（1）知，函数f （x ）的两个极值为f （0）=b ，f （﹣）=+b ，则函数f （x ）有三个不同的零点等价于f （0）f （﹣）=b （+b ）＜0，进一步转化为a ＞0时，﹣a+c ＞0或a ＜0时，﹣a+c ＜0．设g （a ）=﹣a+c ，利用条件即可求c 的值．解答： 解：（1）∵f（x ）=x 3+ax 2+b ， ∴f′（x ）=3x 2+2ax ，令f′（x ）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x ）＞0，∴f（x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a ＞0时，x ∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x ）＞0，x ∈（﹣，0）时，f′（x ）＜0，∴函数f （x ）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a ＜0时，x ∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x ）＞0，x ∈（0，﹣）时，f′（x ）＜0，∴函数f （x ）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f （x ）的两个极值为f （0）=b ，f （﹣）=+b ，则函数f （x ）有三个不同的零点等价于f （0）f （﹣）=b （+b ）＜0，∵b=c﹣a ，∴a＞0时，﹣a+c ＞0或a ＜0时，﹣a+c＜0．设g （a ）=﹣a+c ，∵函数f （x ）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞）， ∴在（﹣∞，﹣3）上，g （a ）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g （a ）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c ﹣1≤0，且g （）=c ﹣1≥0，∴c=1，此时f （x ）=x 3+ax 2+1﹣a=（x+1）[x 2+（a ﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x 2+（a ﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a ﹣1）2﹣4（1﹣a ）＞0，且（﹣1）2﹣（a ﹣1）+1﹣a≠0，解得a ∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞）， 综上c=1．点评： 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）（2015•江苏）设a 1，a 2，a 3．a 4是各项为正数且公差为d （d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a 1n ，a 2n+k ，a 3n+2k ，a 4n+3k 依次构成等比数列？并说明理由．考点： 等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析： （1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明； （2）利用反证法，假设存在a 1，d 使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a 1n ，a 2n+k ，a 3n+2k ，a 4n+3k 依次构成等比数列，得到a 1n （a 1+2d ）n+2k =（a 1+2d ）2（n+k ），且（a 1+d ）n+k （a 1+3d ）n+3k =（a 1+2d ）2（n+2k ），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t ）ln （1+2t ）+3ln （1+2t ）ln （1+t ）=4ln （1+3t ）ln （1+t ），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答： 解：（1）证明：∵==2d ，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a 1+d=a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a﹣d ，a ，a+d ，a+2d （a ＞d ，a ＞﹣2d ，d≠0） 假设存在a 1，d 使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，则a 4=（a ﹣d ）（a+d ）3，且（a+d ）6=a 2（a+2d ）4，令t=，则1=（1﹣t ）（1+t ）3，且（1+t ）6=（1+2t ）4，（﹣＜t ＜1，t≠0），化简得t 3+2t 2﹣2=0（*），且t 2=t+1，将t 2=t+1代入（*）式，t （t+1）+2（t+1）﹣2=t 2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列．（3）假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a 1n ，a 2n+k ，a 3n+2k ，a 4n+3k 依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k （1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln （1+2t ）+3（1+t ）2ln （1+t ），则φ′（t ）=6[（1+3t ）ln （1+3t ）﹣2（1+2t ）ln （1+2t ）+3（1+t ）ln （1+t ）]，令φ1（t ）=φ′（t ），则φ1′（t ）=6[3ln （1+3t ）﹣4ln （1+2t ）+ln （1+t ）]，令φ2（t ）=φ1′（t ），则φ2′（t ）=＞0，由g （0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t ）＞0，知g （t ），φ（t ），φ1（t ），φ2（t ）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g （t ）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a 1n ，a 2n+k ，a 3n+2k ，a 4n+3k 依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x ，y ∈R ，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．考点：特征值与特征向量的计算． 专题：矩阵和变换． 分析： 利用A =﹣2，可得A=，通过令矩阵A 的特征多项式为0即得结论．解答：解：由已知，可得A =﹣2，即==， 则，即， ∴矩阵A=， 从而矩阵A 的特征多项式f （λ）=（λ+2）（λ﹣1）， ∴矩阵A 的另一个特征值为1．点评： 本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C 的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C 的半径．考点： 简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析： 先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答： 解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x 2+y 2﹣2x+2y ﹣4=0，化为标准方程为（x ﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析： 思路1（公式法）：利用|f （x ）|≥g（x ）⇔f （x ）≥g（x ），或f （x ）≤﹣g （x ）；思路2（零点分段法）：对x 的值分“x≥”“x ＜”进行讨论求解． 解答： 解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x ， 得2x+3≥2﹣x ，或2x+3≥﹣（2﹣x ），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=． ①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥， 所以x≥； ②x＜时，原不等式化为x ﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f （x ）|≥g（x ）⇔f （x ）≥g（x ），或f （x ）≤﹣g （x ）；|f（x ）|≤g（x ）⇔﹣g （x ）≤f（x ）≤g（x ）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，已知PA⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．考点： 二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析： 以A 为坐标原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建系A ﹣xyz ．（1）所求值即为平面PAB 的一个法向量与平面PCD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos 2＜，＞≤，结合函数y=cosx 在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答： 解：以A 为坐标原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建系A ﹣xyz 如图，由题可知B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，2，0），P （0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB ，∴=（0，2，0），是平面PAB 的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD 的法向量为=（x ，y ，z ），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向评： 量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n ={1，2，3，…，n ）（n ∈N *），设S n ={（a ，b ）|a 整除b 或整除a ，a ∈X ，B ∈Y n }，令f （n ）表示集合S n 所含元素的个数．（1）写出f （6）的值；（2）当n≥6时，写出f （n ）的表达式，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析： （1）f （6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：（1）f （6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f （k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f （k+1）=f （k ）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f （k+1）=f （k ）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f （k+1）=f （k ）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立． 综上所述，结论对满足n≥6的自然数n 均成立． 点评： 本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，那么集合A ∪B 中元素的个数为________． 2. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________． 3. 若复数z 满足z 2＝3＋4i ，则z 的模为________．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．(第4题)5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．6. 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．7. 不等式2x2－x<4的解集为________．8. 已知tan α＝－2，tan (α＋β)＝17，那么tan β的值为________．9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________．11. 已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．13. 已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝⎩⎨⎧0，0<x ≤1，|x 2－4|－2，x>1，那么方程|f(x)＋g(x)|＝1实数根的个数为________．14. 若向量a k ＝⎝⎛⎭⎫cosk π6，sin k π6＋cosk π6(k ＝0，1，2，…，12)，则k ＝011(a k ·a k ＋1)的值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.(1) 求BC的长；(2) 求sin 2C的值．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱AB－CA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.若AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.(1) 求证：DE∥平面AA1C1C；(2) 求证：BC1⊥AB1.(第16题)17. (本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l.如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5 km 和40 km ，点N 到l 1，l 2的距离分别为20 km 和 2.5 km ，以l 1，l 2所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝a x 2＋b(其中a ，b 为常数)模型．(1) 求a ，b 的值；(2) 设公路l 与曲线C 相切于点P ，点P 的横坐标为t.①请写出公路l 长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．(第17题)18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1) 求椭圆的标准方程；(2) 过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．(第18题)19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋b(a ，b ∈R )．(1) 试讨论f(x)的单调性；(2) 若b ＝c －a(实数c 是与a 无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞，求c 的值．20. (本小题满分16分)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d(d ≠0)的等差数列． (1) 求证：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次成等比数列；(2) 是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次成等比数列，并说明理由；(3) 是否存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k3，a n ＋3k 4依次成等比数列，并说明理由．数学Ⅱ(附加题)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修41：几何证明选讲如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D ，求证：△ABD ∽△AEB.(第21－A 题)B. 选修42：矩阵与变换已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．C. 选修44：坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．D. 选修45：不等式选讲 解不等式x ＋|2x ＋3|≥2.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1) 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2) 若Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长．(第22题)23. (本小题满分10分)已知集合X ＝{1，2，3}，Y n ＝{1，2，3，…，n}(n ∈N *)，设S n＝{(a ，b)|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f(n)表示集合S n 所含元素的个数．(1) 写出f(6)的值；(2) 当n ≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)1. 5 【解析】由题意知A ∪B ＝{1，2，3，4，5}，则集合中有5个元素．2. 6 【解析】平均数为4＋6＋5＋8＋7＋66＝366＝6.3. 5 【解析】方法一：由z 2＝3＋4i ，知|z 2|＝|z|2＝5，所以|z|＝ 5.方法二：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )代入z 2＝3＋4i ，得解得所以z ＝±(2＋i)，所以|z|＝ 5.4. 7 【解析】由题意知，在循环的过程中，S 与I 的值依次为3，4；5，7；7，10.最后输出的S 的值为7.5. 56 【解析】方法一：从4只球中一次摸出2只，基本事件共有6个，2只颜色相同的事件只有1个，根据对立事件的概率公式知所求的概率为1－16＝56.方法二：基本事件共有6个，其中颜色不同的事件有5个：(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，故所求的概率为56.6. －3 【解析】由题意知m(2，1)＋n(1，－2)＝(9，－8)，所以错误!解得错误!所以m －n ＝－3.7. (－1，2) 【解析】由2x 2－x<4，知x 2－x<2，解得－1<x<2，所以原不等式的解集为(－1，2)．8. 3 【解析】方法一：tan β＝tan (α＋β－α)＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝17＋21＋17×（－2）＝3.方法二：由tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，得－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tan β＝3.9. 7 【解析】底面半径为5，高为4的圆锥的体积是1003π；底面半径为2，高为8的圆柱的体积是32π，故总体积是1963π.设重新制作后的圆锥、圆柱的底面半径为r ，则13πr 2·4＋πr 2·8＝1963π，所以r 2＝7，所以r ＝7.10. (x －1)2＋y 2＝2 【解析】方法一：圆半径r ＝|－m －1|m 2＋1，由r 2＝m 2＋2m ＋1m 2＋1＝1＋2m m 2＋1≤2，知r ≤2，所以半径最大的圆为(x －1)2＋y 2＝2.方法二：直线mx －y －2m －1＝0过定点(2，－1)，该点必须不在以(1，0)为圆心的圆(x－1)2＋y 2＝r 2内，所以(2－1)2＋(－1)2≥r 2，从而r 2≤2，即所求半径最大的圆为(x －1)2＋y 2＝2.11.2011【解析】由a n ＋1－a n ＝n ＋1知，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n （n ＋1）2.当n ＝1时上式也成立，所以a n ＝n （n ＋1）2，n ∈N *，所以1a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和为2(11－12＋12－13＋…＋110－111)＝2⎝⎛⎭⎫1－111＝2011. 12.22【解析】方法一：如图，数形结合，双曲线右支上点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于渐近线y ＝x 到x －y ＋1＝0的距离22，即c 的最大值为22. 方法二：设右支上点P ⎝⎛⎭⎫1cos α，tan α，－π2<α<π2，则点P 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪1cos α－tan α＋12＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－sin αcos α＋1＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22cos 2α2－sin 2α2＋1＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－sin α2cos α2＋sin α2＋1＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos α2cos α2＋sin α2＝2·cosα2cos α2＋sinα2＝2·11＋tanα2>22，即c 的最大值为22.(第12题)13. 4 【解析】若|f(x)＋g(x)|＝1，即f(x)＋g(x)＝±1.令h(x)＝f(x)＋g(x)，分段考虑函数．当x ∈(0，1]时，h(x)＝－lnx ，函数h(x)的值域为[0，＋∞)，且函数单调递减，故存在1个实数根；当x ∈(1，2]时，h(x)＝lnx －x 2＋2，h ′(x)＝1－2x 2x<0，所以函数单调递减，所以函数h(x)的值域为[ln2－2，1)，因为ln2－2<－1，故存在1个实数根；当x ∈(2，＋∞)时，h(x)＝lnx ＋x 2－6，函数单调递增，函数的值域为(ln2－2，＋∞)，故存在2个实数根．综上，一共存在4个实数根．14. 93 【解析】方法一：a 0·a 1＝(1，1)·⎝⎛⎭⎫32，32＋12＝3＋12，a 1·a 2＝334＋1，a 2·a 3＝32＋12，a 3·a 4＝32－12，a 4·a 5＝334－1，a 5·a 6＝3－12，a 6·a 7＝a 0·a 1，a 7·a 8＝a 1·a 2，…，所以(a k ·a k ＋1)＝2×932＝9 3.方法二：a k ·a k ＋1＝⎝⎛⎭⎫cosk π6，sin k π6＋cos k π6·(cos （k ＋1）π6，sin （k ＋1）π6＋cos（k ＋1）π6)＝cos k π6cos （k ＋1）π6＋sin （2k ＋1）π6＋cos π6＝12cos （2k ＋1）π6＋sin （2k ＋1）π6＋334，根据三角函数的周期性，(a k ·a k ＋1)＝12cos（2k ＋1）π6＋sin（2k ＋1）π6＋334＝0＋0＋12×334＝9 3. 15. (1) 由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2) 由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A ，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB<BC ，所以C 为锐角， 所以cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277， 所以sin 2C ＝2sin Ccos C ＝2×217×277＝437. 16. (1) 由题意知，E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1的中点，所以DE ∥AC. 又因为DE平面AA 1C 1C ，AC平面AA 1C 1C ，所以DE ∥平面AA 1C 1C.(2) 因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC. 因为AC平面ABC ，所以AC ⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ，CC 1，BC 平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1. 又因为BC 1平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥AC.因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，所以BC 1⊥B 1C. 因为AC ，B 1C平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1AC.又因为AB 1平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1.17. (1) 由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．将其分别代入y ＝ax 2＋b，得(2) ①由(1)知，y ＝1 000x2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫t ，1 000t 2. 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于点A ，B ，y ′＝－2 000x 3，则直线l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t 3(x －t)， 由此得A ⎝⎛⎭⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎫0，3 000t 2， 故f(t)＝⎝⎛⎭⎫3t 22＋⎝⎛⎭⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5，20]．②设g(t)＝t 2＋4×106t 4，则g′(t)＝2t －16×106t 5.令g′(t)＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t)<0，g(t)单调递减； 当t ∈(102，20)时，g ′(t)>0，g(t)单调递增．所以，当t ＝102时，函数g(t)有极小值，也是最小值，g(t)min ＝300，此时f(t)min ＝15 3. 答：当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为15 3 km. 18. (1) 由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2) 当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2，点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝22（1＋k 2）1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2），所以PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k|（1＋2k 2）. 因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k|（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.19. (1) f′(x)＝3x 2＋2ax ，令f′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a 3. 当a ＝0时，因为f′(x)＝3x 2>0(x ≠0)，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)，f ′(x)>0，函数f(x)在⎝⎛⎭⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增；x ∈⎝⎛⎭⎫－2a 3，0，f ′(x)<0，函数f(x)在⎝⎛⎭⎫－2a 3，0上单调递减； 当a<0时，x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞，f ′(x)>0，函数f(x)在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞上单调递增；x ∈⎝⎛⎭⎫0，－2a 3时，f ′(x)<0，函数f(x)在⎝⎛⎭⎫0，－2a 3上单调递减． (2) 由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)＝b ，f ⎝⎛⎭⎫－2a 3＝427a 3＋b ， 则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f ⎝⎛⎭⎫－2a 3＝b(427a 3＋b)<0，又因为b ＝c －a ，所以当a>0时，427a 3－a ＋c>0；当a<0时，427a 3－a ＋c<0. 设g(a)＝427a 3－a ＋c ，因为函数f(x)有三个不同的零点时， a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞， 则在(－∞，－3)上，g(a)<0，且在⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞上，g(a)>0均恒成立， 从而g(－3)＝c －1≤0，且g ⎝⎛⎭⎫32＝c －1≥0，因此c ＝1.此时，f(x)＝x 3＋ax 2＋1－a ＝(x ＋1)[x 2＋(a －1)x ＋1－a]，因为函数f(x)有三个不同的零点，所以x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0有两个异于－1的不相等的实数根，所以Δ＝(a －1)2－4(1－a)＝a 2＋2a －3>0，且(－1)2－(a －1)＋1－a ≠0，解得a ∈(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 综上，c 的值为1.20. (1) 因为2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1，2，3)是同一个常数， 所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列．(2) 令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d(a>d ，a>－2d ，d ≠0)．假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，则a 4＝(a －d)(a ＋d)3，且(a ＋d)6＝a 2(a ＋2d)4.令t ＝d a，则1＝(1－t)(1＋t)3， 且(1＋t)6＝(1＋2t)4⎝⎛⎭⎫－12<t<1，t ≠0， 化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.将t 2＝t ＋1代入(*)式，t(t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0，则t ＝－14. 显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立， 因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列．(3) 假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列， 则a n 1(a 1＋2d)n ＋2k ＝(a 1＋d)2(n ＋k)，且(a 1＋d)n ＋k (a 1＋3d)n ＋3k ＝(a 1＋2d)2(n ＋2k)． 分别在两个等式的两边同除以a 2（n ＋k ）1及a 2（n ＋2k ）1，并令t ＝d a 1⎝⎛⎭⎫t>－13，t ≠0， 则(1＋2t)n ＋2k ＝(1＋t)2(n ＋k)，且(1＋t)n ＋k (1＋3t)n ＋3k ＝(1＋2t)2(n ＋2k)，将上述两个等式两边取对数，得(n ＋2k)ln(1＋2t)＝2(n ＋k)ln(1＋t)， 且(n ＋k)ln(1＋t)＋(n ＋3k)ln(1＋3t)＝2(n ＋2k)ln(1＋2t)．化简得2k[ln(1＋2t)－ln(1＋t)]＝n[2ln(1＋t)－ln(1＋2t)]，且3k[ln(1＋3t)－ln(1＋t)]＝n[3ln(1＋t)－ln(1＋3t)]．再将这两式相除，化简得ln(1＋3t)ln(1＋2t)＋3ln(1＋2t)ln(1＋t)＝4ln(1＋3t)ln(1＋t)． (**)令g(t)＝4ln(1＋3t)ln(1＋t)－ln(1＋3t)ln(1＋2t)－3ln(1＋2t)ln(1＋t)，则g′(t)＝2[（1＋3t ）2ln （1＋3t ）－3（1＋2t ）2ln （1＋2t ）＋3（1＋t ）2ln （1＋t ）]（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）. 令φ(t)＝(1＋3t)2ln(1＋3t)－3(1＋2t)2ln(1＋2t)＋3(1＋t)2ln(1＋t)，则φ′(t)＝6[(1＋3t)ln(1＋3t)－2(1＋2t)ln(1＋2t)＋(1＋t)ln(1＋t)]．令φ1(t)＝φ′(t)，则φ′1(t)＝6[3ln(1＋3t)－4ln(1＋2t)＋ln(1＋t)]．令φ2(t)＝φ′1(t)，则φ′2(t)＝12（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）>0. 由g(0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t)>0，知φ2(t)，φ1(t)，φ(t)，g(t)在⎝⎛⎭⎫－13，0和(0，＋∞)上均单调． 故g(t)只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立．所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列． 21. A. 因为AB ＝AC ，所以∠ABD ＝∠C.又因为∠C ＝∠E ，所以∠ABD ＝∠E ，又∠BAE 为公共角，所以△ABD ∽△AEB.B. 由已知，得A α＝－2α，从而矩阵A 的特征多项式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)，所以矩阵A 的另一个特征值为1.C. 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.由圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0， 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.D. 原不等式可化为解得x ≤－5或x ≥－13. 综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－5或x ≥－13. 22. 以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则各点的坐标为A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．(1) 因为AD ⊥平面PAB ，所以AD →是平面PAB 的一个法向量，AD →＝(0，2，0)．因为PC →＝(1，1，－2)，PD →＝(0，2，－2)，设平面PCD 的法向量m ＝(x ，y ，z)，则m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，即错误!令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1，所以m ＝(1，1，1)是平面PCD 的一个法向量．从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33，所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33. (2) 因为BP →＝(－1，0，2)，设BQ →＝λBP →＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)， 又CB →＝(0，－1，0)，则CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1，2λ)．又DP →＝(0，－2，2)，从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2 . 设1＋2λ＝t ，t ∈[1，3]，则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝⎛⎭⎫1t －592＋209≤910. 当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|取得最大值31010. 因为y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值． 又因为BP ＝12＋22＝5，所以BQ ＝25BP ＝255.(第22题)23. (1) S 6＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，4)，(2，6)，(3，1)，(3，3)，(3，6)}，故f(6)＝13.下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f(6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立； ②假设n ＝k(k ≥6)时结论成立，那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：(ⅰ) 若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f(k ＋1)＝f(k)＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立； (ⅱ) 若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f(k ＋1)＝f(k)＋1＝k ＋2＋k 2＋k 3＋1 ＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－13，结论成立； (ⅲ) 若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f(k ＋1)＝f(k)＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－23，结论成立； (ⅳ) 若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f(k ＋1)＝f(k)＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2 ＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋k ＋13，结论成立； (ⅴ) 若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f(k ＋1)＝f(k)＋2＝k ＋2＋k －12＋k 3＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－13，结论成立； (ⅵ) 若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f(k ＋1)＝f(k)＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1 ＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－23，结论成立． 综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立.。

2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为．2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．答案：1、解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：52、解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．3、解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．4、解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．5、解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．6、解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．7、解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）8、解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．9、解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．10、解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．11、解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．12、解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．13、解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．故答案为：4．14、解：=+=+++=++=++，∴（a k•a k+1）=+++++++…++ =+0+0=．故答案为：9．15、解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，∴C为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．16、证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．17、解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．18、解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=•=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．19、解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．20、解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=＞0，由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列．21、证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．22、解：由已知，可得A=﹣2，即==，则，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵A的另一个特征值为1．23、解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．24、解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．25、解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．26、解：（1）f（6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．。