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三个正数的算数几何平均不等式ppt课件

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高二数学(理)《三个正数的算术-几何平均数》(课件)

高二数学(理)《三个正数的算术-几何平均数》(课件)

(a b c)(a b c ab bc ca ) 1 2 2 2 (a b c) (a b) (b c) (c a) 0, 2
2 2 2
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2011年上学期
如果a, b, c R , 那么a b c 3abc
*
n

a1a2 an 叫做这n个正数的几何平均数。
a1 a 2 a n ≥ n
n
2.基本不等式：
a1a2 an n N * , ai R ,1 i n
语言表述：n个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数，当且仅当a1＝a2＝…=an时， 等号成立．
湖南长郡卫星远程学校
(1)abc为定值时
a b c 3 abc
3
当且仅当a b c时, 等号成立.
(2)a b c为定值时
abc 3 abc ( ) 3
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2011年上学期
abc 3 推论: abc(a , b, c R ) 3
(1)abc为定值时
*
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2011年上学期
推广
关于“平均数”的概念：
1.如果 a1 , a2 , , an R , n 1且n N 则： a1 a 2 a n 叫做这n个正数的算术平均数。 n
*
n

a1a2 an 叫做这n个正数的几何平均数。
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2011年上学期
abc 3 推论: abc(a , b, c R ) 3
(1)abc为定值时

2. 三个正数的算术——几何平均不等式

2. 三个正数的算术——几何平均不等式

∴E2＝1k62 ·sin2θ·cos4θ＝3k22 (2sin2θ)·cos2θ·cos2θ ≤3k22 ·(2sin2θ＋co3s2θ＋cos2θ)3＝1k028， 当且仅当 2sin2θ＝cos2θ 时取等号， 即 tan2θ＝12，tan θ＝ 22时，等号成立． ∴h＝2tan θ＝ 2，即 h＝ 2时，E 最大． 因此选择灯的高度为 2米时，才能使桌子边缘处最亮．
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤12(2x2＋1－3x2＋1－x2)3＝247.
当且仅当 2x2＝1－x2，
即 x＝ 33时等号成立．
∴y≤2
9
3，∴y
的最大值为2 9
3 .
1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑： y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12 (x＋2－23x＋1＋x)3＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取 “＝”号的条件，显然 x＝2－2x＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也 就是说，这种拼凑法是不正确的． 2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数 学结构，同时也要注意算术－几何平均不等式的使用条件，三个 缺一不可．
用平均不等式求解实际问题 例 3 如图所示，在一张半径是 2 米的 圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道， 灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小； 挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．
由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到 桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点 到光源的距离 r 的平方成反比．
变式训练
若 2a＞b＞0，试求 a＋
4
的最小值．
（2a－b）·b
【解】 a＋2a－4b·b＝2a－2b＋b＋2a－4b·b ＝2a－ 2 b＋b2＋2a－4b·b

三个正数的算术—几何平均不等式 课件

三个正数的算术—几何平均不等式 课件

3
证明：因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3 xy2 >0，1＋
3
3
3
x2＋y≥3 xy2>0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3 xy2·3 x2y＝
9xy.当且仅当x＝y＝1时取等号．
类型3 利用平均不等式解决实际问题 [典例3] 如图所示，把一块边长为a的正方形铁皮 的各角切去大小相同的小正方形，再把它沿着虚线折起 做成一个无盖的铁盒，问切去的正方形边长是多少时， 盒子的体积最大？
4．若a，b，c都是正数且a＋b＋c＝6，则abc的最大
值为( )
A．2
B．27
C．8
D．3
解析：因为a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＝6，
所以abc≤a＋3b＋c3＝633＝8，
当且仅当a＝b＝c＝2时“＝”成立．
答案：C
5．若0<x<1，则函数y＝x4(1－x2)的最大值是
________，此时x＝________．
＝3－2x，即x＝43时，等号成立，
所以ymax＝217. (2)因为x>1，所以x－1>0， y＝x＋（x－4 1）2＝12(x－1)＋12(x－1)＋（x－4 1）2＋1≥
3
3
12（x－1）·12（x－1）·（x－4 1）2
＋1＝4，当且仅当
1 2
(x－1)＝12(x－1)＝（x－4 1）2，即x＝3时，等号成立．
a＋3b＋c＝－1，3
3
abc＝
3，故(1)不正确．
(2)由定理3，知等号成立的条件是a＝b＝c.故(2)不
正确．
(3)由定理3知(3)正确． (4)必须a1，a2，…，an都是正数，命题才成立． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×

三个正数的算术-几何平均不等式 课件

三个正数的算术-几何平均不等式 课件
三个正数的算术—几何平均不等式
1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果a1，a2，a3∈R＋，则：a1＋a32＋a3叫做这 3 个
正数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几__何__平_均__数_； (2)三个正数基本不等式：a1＋a32＋a3≥3 a1a2a3. 语言表述：三个正数的__算__术____平均数不小于它们的
___几__何___平均数． 练习 1：若已知 a1＝3，a2＝9，a3＝27 则a1＋a32＋a3＝
____1_3___，3 a1a2a3＝____9____， 则有：a1＋a32＋a3____≥____3 a1a2a3.
2．n 个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，…，an∈R＋，n＞1 且 n∈N＋则： a1＋a2＋n …＋an叫做这 n 个正数的算术平均数，
2．(1)几何平均数 (2)算术 几何 练习2： ≥
设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)(a2＋ b2＋c2)≥9abc.
证明：因为 a，b，c 为正数， 所以 a＋b＋c≥33 abc， a2＋b2＋c2≥33 a2b2c2， 将上述两个同向不等式相乘得
(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥93 a3b3c3＝9abc， 即(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.
设 a1，a2，a3，a4 为正数， 求证：a1＋a2＋4 a3＋a4≥4 a1a2a3a4， 当且仅当 a1＝a2＝a3＝a4 时，等号成立．
证明：若 a1＝a2＝a3＝a4，则上式左＝a1，右＝a1. 故所需证不等式中等号成立． 若 a1，a2，a3，a4 不全相等，则不妨设 a1≠a2，于是 a1＋a2＞2 a1a2＞0， a3＋a4≥2 a3a4＞0， 故 a1＋a2＋a3＋a4＞2( a1a2＋ a3a4)

高二数学人选修课件三个正数的算术几何平均数

高二数学人选修课件三个正数的算术几何平均数

几何平均数与均值不等式 的关系
均值不等式是几何平均数性质的一个推广， 它表明任意n个正数的算术平均数总是大于 等于它们的几何平均数。同时，几何平均数 也可以作为均值不等式取等条件的一个特例
。
04
算术几何平均不等式
不等式的形式与性质
形式
对于任意三个正数a, b, c，有 (a+b+c)/3 ≥ ³√(abc)，其中等号成 立当且仅当a=b=c。
算术平均数是指一组数的和除以 这组数的个数，而几何平均数是
指一组数的乘积的n次方根。
性质
对于任意一组正数，其算术平均数 总是大于等于几何平均数，当且仅 当这组数全部相等时取等号。
应用
在比较不同数据集的平均水平时， 算术平均数更常用，但在涉及增长 率、复利等问题时，几何平均数更 为合适。
算术几何平均不等式与均值不等式的联系
应用举例
例1
证明
例2
证明
已知a、b、c为三个正数， 且a+b+c=1，求证： (a+1)(b+1)(c+1)≥8(1a)(1-b)(1-c)。
由已知条件得a+b+c=1，则 (a+1)、(b+1)、(c+1)分别 为a、b、c与1的算术平均数 。根据算术几何平均不等式 ，有(a+1)、(b+1)、 (c+1)≥3³√(a+1)(b+1)(c+1 )。同理可得(1-a)、(1-b)、 (1-c)的算术平均数也大于等 于其几何平均数。将两不等 式相乘并化简即得所证不等 式。
三个正数的算术平均数满足均值不等 式，即(a+b+c)/3 ≥ ³√(abc)。当且 仅当a=b=c时，等号成立。

(新课程)高中数学 113 三个正数的算术几何平均不等式课件 新人教A选修45

(新课程)高中数学 113 三个正数的算术几何平均不等式课件 新人教A选修45

想一想：应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应 注意什么？ 提示 三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有 最小值．当且仅当三个正数相等时取得．
基础自测 1．已知 x 为正数，下列求最值的过程正确的是 ( )．
A．y＝x2＋2x＋x43≥3 3 x2·2x·x43＝6，∴ymin＝6
圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个 最大的体积．
[思路分析] 作出圆锥、圆柱的轴截面 → 利用相似三角形建立各元素之间的关系 → 列出目标函数——圆柱的体积的表达式 → 用平均不等式求最大值
解 设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似三角形的性质 可得H－H h＝Rr ， ∴r＝HR(H－h)． ∴V 圆柱＝πr2h＝πHR22(H－h)2h(0＜h＜H)．
规律方法 注意平均不等式应用的条件是三个正数在求最值时， 一定要求出等号成立时未知数的值，如果不存在使等号成立 的未知数的值，则最值不存在．
[思维启迪] 先列出数学模型，再利用平均不等式求解． 解析 设这四年间市场年需求量的年平均增长率为 x(x＞0)， 则 a4＝a1(1＋x)3＝a1(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3)， ∴(1＋x)3＝(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3)， ∴(1＋x)3＝(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3) ≤1＋P1＋1＋3P2＋1＋P33＝433. ∴1＋x≤43，即 x≤13， 对比所给数据，只有①③满足条件，故选 B. 答案 B
试一试：设a，b，c为正数，证明a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a ＝b＝c时等号成立)． 提示 a3＋b3＋c3≥3abc ⇔a3＋b3＋c3－3abc≥0 ⇔(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac)≥0 ⇔12(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0. 由于 a＋b＋c>0 且(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， 因而12(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0 成立． 当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．

3.三个正数的算术-几何平均不等式

证明：因为 x y z 3 xyz>0， 3
所以 （x y z)3 xyz
27
即（x+y+z）3 27xyz
例2.将一块边长为a的正方形铁皮,剪去四个角(四个全
等的正方形),作成一个无盖的铁盒,要使其容积最大,
剪去的小正方形的边长为多少?最大容积是多少?
x
解：设剪去的小正方形的边长为x
引理：如果a,b, c R , 那么a3 b3 c3 3abc
等号当且仅a=b=c时成立．
证明：a3 b3 c3 3abc
(a b)3 3a3b 3ab2 c3 3abc
(a b)3 c3 3a3b 3ab2 3abc
(a b c) (a b)2 (a b)c c2 3ab(a b c)
2．定理3的推广 对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于
它们的几何平均，即 a1＋a2＋n …＋an≥n a1a2…an ，当且仅
当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
3、Байду номын сангаас习作业错解分析
当0 x 1时, 求函数y x(1 x2 )的最大值.
4、例题研究
例1、已知x，y，z R+， 求证：（x+y+z）3 27xyz。
c 时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的算术平均 不小 于它们的 几何平均．
(1)不等式a＋3b＋c≥3 abc成立的条件是：a，b，c均为正数 ，而等号成立的条件是：当且仅当 a＝b＝c . (2)定理 3 可变形为：①abc≤(a＋3b＋c)3；②a3＋b3＋c3≥3abc.
(3)三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式 的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即 “一正，二定，三相等”．

三个正数的算术-几何平均不等式

即 x=
3
3时,y 取最小值 2 ×
2
33
3
= 2 9.
错解 2:∵x>0,
3
1 2
∴y=x2 + + ≥3·
1 2

3
3
2 · · = 3 2,y 的最小值为 3 2.
题型一
题型二
题型三
题型四
3

错因分析:错解 1 中不能保证两正数 x2与 的积为定值,此
3
时 2 3为变量,不能说当 x=
2
题型一
题型二
题型三
题型四
解:∵y=x(1-x2),
1
2
2
2
2
2
2
2
∴y =x (1-x ) =2x (1-x )(1-x )·.
2
∵2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,
1 22 +1-2 +1-2
2
∴y ≤2
3
3
=
4
.
27
3
当且仅当 2x2=1-x2,即 x= 3 时,等号成立.
2 3
3.三个正数的算术-几何平均不等式
学习目标：
1.了解三个正数的算术-几何平均不等式.
2.会应用三个正数的算术-几何平均不等式解决简单问题.
1.三个正数或三个以上正数的算术-几何平均不等式的应用条件
剖析:“一正”:不论是三个数或者 n 个数的算术-几何平均不等式,
3
都要求是正数,否则不等式是不成立的.如 a+b+c≥3 abc, 取a=b=3
≤32 ·
3
3
=
2

,

三个正数的算术平均与几何平均

2
例3：如图，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切 去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转 作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是 多少时，才能使盒子的容积最大？
例4 、某厂生产一批无盖圆柱形桶，每个桶的容积为(3/2)πm3 ，已 知用来做底面的金属３元／m2， 做侧面的金属２元／m2， 问 如 何设计它的底面半径与高，才能使成本最低？
练习：
1、课本P11第12题。
1 2、若a b 0, 则a 的最小值为_____. (a b)b
3、当母线长为1的圆锥体体积最大时， 则其侧面展开图的圆心角是————。
练习：
已知球的半径为R，球内接圆柱的底面半径 为r，高为h,则r和h为何值时，内接圆柱的体 积最大？
证明：a b c 3abc(a, b, c R )
3 3 3

定理3：如果 a, b, c R ，那么

abc 3 abc ，当且仅当 a b c 时， 3
等号成立。 三个正数的算术平均不小于它们的几何平均
以上定理还可进一步推广到一般情形：
对于n 个正数 a1 , a2 ,, an , 它们的算术 平均不小于它们的几何平均，即
解 ：设圆柱形桶的底面半径为r米，高为h米 ， 则有 πr2 h=(3/2)π，即r2 h=3/2（定值）
成本y=3πr2+2·2πrh=π(3r2+4rh) ≥π3
3
=π（3r2+2rh+2rh)
3r 2 2rh 2rh
3 3 12r 4 h 2 9 28.3(元)
当且仅当３r2＝２rh，即r=(2/3)h时等式成立. 代入 r2h= 3/2 得 r=1, h=3/2 ∴ 当底半径为１米，高为3/2 米时，成本最低，每个 桶约为 28.3元

1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)


[小问题· 大思维]
a＋b＋c 3 1．满足不等式 ≥ abc成立的 a，b，c 的范围是什么？ 3
提示：a，b，c的范围为a≥0，b≥0，c≥0. 2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意 什么？ 提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，
和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得．
本题考查基本不等式、算术—几何平均值
不等式等基础知识，同时考查了等号成立的条件及推理运算 能力．
[证明] 法一：因为 a，b，c 均为正数，由平均值不 等式得 a2＋b2＋c2≥3(abc) ，
1 － 1 1 1 ＋b＋ c≥3(abc) 3 ， a 2 3
①
1 1 12 所以(a＋b＋ c) ≥9(abc)
设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似 H－h r R 三角形的性质可得 H ＝R，∴r＝H(H－h)． πR2 ∴V 圆柱＝πr2h＝ 2 (H－h)2h(0＜h＜H)． H 根据平均不等式可得 4πR2 H－h H－h 4πR2 H 3 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ( ) H 2 2 H 3 4 2 ＝ πR H. 27 H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
中的应用.2012年昆明模拟以解答题的形式考查了算术—
几何平均值不等式在证明不等式中的应用，是高考模拟命
题的一个新亮点．
[考题印证]
(2012· 昆明模拟)已知 a，b，c 均为正数，证明：a2＋b2＋ 1 1 12 c ＋(a＋b＋c ) ≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立．
2
[命题立意]
的条件是否保持一致．
[通一类] 2．设0<a<1,0<b<1,0<c<1，
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n 2

32 n2
,
所以
n

32 n2

n 2

n 2

32 n2

33
n 2

n 2

32 n2

6.
当且仅当n=4时等号成立.
12
3.若a>b>0,则a+
b
1
a
b

的最小值为_________.
【解析】因为a>b>0,所以a-b>0,
所以
a

1
ba
b


a

b

b

1
ba
3
(1)abc为定值时
a b c 33 abc
当且仅当 a b c时, 等号成立.
(2)a b c为定值时
abc (a b c)3 3
当且仅当a b c时,等号成立.
8
关于“平均数”的概念：
1．如果 a1, a2 , , an R , n 1且n N* 则：
提示:可将式子(1-3x)2·x化为 1 (1-3x)(1-3x)·6x 6
的形式.
2.典例2中如何构造式子,使其积为定值?
提示:可将式子x+
4
x 12
化为
x 1 2

x 1 2

x
4
12
1，
则其积
x 1 2
x 1
2 x
4
12
1
为常数.
15
【解析】1.因为0<x< 1 ,所以1-3x>0,
3
所以y=(1-3x)2·x= 1 (1-3x)·(1-3x)·6x
6
1 (1 3x 1 3x 6x )3 4 ,当且仅当1-3x=1-3x=6x,
6 即x=
1 9
3
81
时等号成立,此时ymax=
4 81 .
16
2.因为x>1,所以x-1>0,
y

x

x
4
12

1 2
x
1

1 2
(a

b

c)
(a

b)2

(b

c)2 (c

a)2


0,
6
定理3：若a,b.c∈R+,那么a + b + c ≥ 3 abc, 3
当且仅当a = b = c时，等号成立。
语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的 几何平均。
7
推论: a b c 3 abc(a,b, c R )
a1 a2 an 叫做这n个正数的算术平均数。 n
n a1a2 an叫做这n个正数的几何平均数。
2.基本不等式：
a1 a2 an n
≥
n a1a2 an n N * , ai R ,1 i n
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数， 当且仅当ａ1＝a2＝…=an时，等号成立． 9

1 2
x
1

x
4
12
1

33
1 2
x
1
1x
2
1
x
4
12
1
4，1

1 2

x

1


x
4
12
，
即x=3时等号成立,即ymin=4.
17
2.若将典例1条件变为“x,y∈R+且x2y=4”,如何求 x+y的最小值?
【解析】因为x,y∈R+且x2y=4,
【归纳总结】
1.定理3的变形及结论
(1)abc≤ ( a b c )3 . 3
(2)a3+b3+c3≥3abc.
(3)
1

3 1

1

3
abc

a
bc 3

a2 b2 c2 . 3
上式a中ab,bc,c均为正数,等号成立的条件均为a=b=c.
10
【即时小测】
4 1.函数y=2x2+ x (x∈R+)的最小值为 (
b


3，
当且仅当(a-b)=b= 1 时等号成立.
ba b
答案:3
13
类型一 利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值 【典例】1.求函数y=(1-3x)2·x (0＜x＜1) 的最大值.
3 4
2.求函数y=x+ x 12 (x>1)的最小值.
14
【解题探究】1.典例1中如何构造式子,使其和为定值?
A.6
B.7
C.8
【解析】选A.因为x∈R+,所以
y 2x2 4 2x2 2 2 3 3 2x2 2 2 6.
x
xx
xx
当且仅当x=1时等号成立.
) D.9
11
2.若n>0,则
n

32 n2
的最小值为
(
)
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】选C.因为
n

32 n2

n 2

1.3 三个正数的算术--几何平均数
1
定理1.如果 a, b R，那么 a 2 b 2 2ab
（当且仅当 a b 时取“=”号）
1．指出定理适用范围：a , b R
a 2．强调取“=”的条件： b
定理2.如果 a, b 是正数， 那么 a b ab
2
（当且仅当 a b时取“=”号）
所以x+y= x x y 33 1 x2y 33 1 4 3，
22
4
4
当且仅当 x x =y时等号成立,
注意：1．这个定理适用的范围：a, b R
2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。
2
利用算术平均数和集合平均数定理时一 定要注意定理的条件:
一正;二定;三相等.
有一个条件达不到就不能取得最值.
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1.基本不等式及其常用变式
(1)a2 b2 2ab (a,b R)
(a b c) (a b)2 (a b)c c2 3ab(a b c)
(a b c) a2 2ab b2 ac bc c2 3ab (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)
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基本不等式给出了两个整数的算术平均数与几何平均 数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个 正数，会有怎样的不等式成立呢？
类比、猜想：若a, b.c R , 那么 a b c 3 abc,当且仅当a b c时，
3 等号成立。
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a3 b3 c3 3abc (a b)3 3a3b 3ab2 c3 3abc (a b)3 c3 3a3b 3ab2 3abc
(2) a b ab (a,b R ) 2
(3) a b 2(ab 0) x 1 （2 x 0）
ba
x
(4)ab ( a b)2 a2 b2 (a, b R)
2
2
(5)a2 + b2 + c2 ab + bc + ca (a,b,c R)