2019年山东省泰安市中考数学试题及答案解析(word档含答案解析)

2019年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（4分）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（）A．﹣B．﹣3C．|﹣3.14|D．π2．（4分）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a2+a2＝a4 3．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米4．（4分）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④5．（4分）如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）A．150°B．180°C．210°D．240°6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A．众数是8B．中位数是8C．平均数是8.2D．方差是1.27．（4分）不等式组的解集是（）A．x≤2B．x≥﹣2C．﹣2＜x≤2D．﹣2≤x＜2 8．（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．309．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．11．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P 为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．D．二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．15．（4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为．16．（4分）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x ﹣13的解为．17．（4分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）先化简，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP 是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．24．（13分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．2019年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（4分）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（）A．﹣B．﹣3C．|﹣3.14|D．π【分析】根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反尔小．【解答】解：∵||＝＜|﹣3|＝3∴﹣＜（﹣3）C、D项为正数，A、B项为负数，正数大于负数，故选：B．【点评】此题主要考查利用绝对值来比较实数的大小，此题要掌握性质”两负数比较大小，绝对值大的反尔小，正数大于负数，负数的绝对值为正数“．2．（4分）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a2+a2＝a4【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故此选项正确；B、a4•a2＝a6，故此选项错误；C、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；D、a2+a2＝2a2，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：42万公里＝420000000m用科学记数法表示为：4.2×108米，故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出对称轴的条数，从而得解．【解答】解：①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；④不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（4分）如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）A．150°B．180°C．210°D．240°【分析】过点E作EF∥11，利用平行线的性质解答即可．【解答】解：过点E作EF∥11，∵11∥12，EF∥11，∴EF∥11∥12，∴∠1＝∠AEF＝30°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝30°+180°＝210°，故选：C．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A．众数是8B．中位数是8C．平均数是8.2D．方差是1.2【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．【解答】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确；10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是（8+8）＝8，故B选项正确；平均数为（6+7×2+8×3+9×2+10×2）＝8.2，故C选项正确；方差为[（6﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（10﹣8.2）2+（10﹣8.2）2]＝1.56，故D选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．7．（4分）不等式组的解集是（）A．x≤2B．x≥﹣2C．﹣2＜x≤2D．﹣2≤x＜2【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，由①得，x≥﹣2，由②得，x＜2，所以不等式组的解集是﹣2≤x＜2．故选：D．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．8．（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．30【分析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE＝AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．9．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°【分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由直角三角形的性质即可得出结果．【解答】解：如图所示：连接OC、CD，∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°，∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；故选：A．【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图如图所示：∵共有25种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有15种结果，∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为＝；故选：C．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．11．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．【解答】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．【点评】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P 为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．D．【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°∴∠DP2P1＝90°∴∠DP1P2＝45°∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2∴BP1＝2∴PB的最小值是2故选：D．【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是k．【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＞0，求出k 的取值范围；【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＝﹣4k+1﹣12＞0，解得k；故答案为：k．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝13两，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：，故答案为：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．15．（4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为π．【分析】连接OC，作CH⊥OB于H，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BD，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．【解答】解：连接OC，作CH⊥OB于H，∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，由勾股定理得，OB＝＝3，∵OA＝OC，∠OAB＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠COB＝30°，∴CO＝CB，CH＝OC＝，∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．【点评】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、三角形的面积公式是解题的关键．16．（4分）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x ﹣13的解为x1＝2，x2＝4．【分析】根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，∴，得b＝﹣4，则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，解得，x1＝2，x2＝4．故意答案为：x1＝2，x2＝4．【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得b的值是解题的关键．17．（4分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是（2n﹣1）．【分析】根据题意和函数图象可以求得点A1，A2，A3，A4的坐标，从而可以得到前n个正方形对角线长的和，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，∴前n个正方形对角线长的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+C n﹣1A n）＝（1+2+4+8+…+2n﹣1），设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，则2S﹣S＝2n﹣1，∴S＝2n﹣1，∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，∴前n个正方形对角线长的和是：×（2n﹣1），故答案为：（2n﹣1），【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是2．【分析】连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC＝90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出EF的长度．【解答】解：如图，连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，∵E为AD中点，∴AE＝DE＝AD＝6由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∵EC＝＝＝3，∴，∴FE＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）先化简，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝（+）÷（﹣）＝÷＝•＝，当a＝时，原式＝＝1﹣2．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的运算能力．20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？【分析】（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数40×50%﹣8＝12（人），第4组人数40×50%﹣10﹣3＝7（人），所以a＝12，b＝7；（2）＝27°，所以“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），所以成绩高于80分的共有900人．【解答】解：（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数40×50%﹣8＝12（人），第4组人数40×50%﹣10﹣3＝7（人），∴a＝12，b＝7；（2）＝27°，∴“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），∴成绩高于80分的共有900人．【点评】本题考查了统计图，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．【分析】（1）先求出OB，进而求出AD，得出点A坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）分三种情况，①当AB＝PB时，得出PB＝5，即可得出结论；②当AB＝AP时，利用点P与点B关于AD对称，得出DP＝BD＝4，即可得出结论；③当PB＝AP时，先表示出AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，进而建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B（5，0），∴OB＝5，∵S△OAB＝，∴×5×AD＝，∴AD＝3，∵OB＝AB，∴AB＝5，在Rt△ADB中，BD＝＝4，∴OD＝OB+BD＝9，∴A（9，3），将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，∴反比例函数的解析式为y＝，将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣；（2）由（1）知，AB＝5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当AB＝PB时，∴PB＝5，∴P（0，0）或（10，0），②当AB＝AP时，如图2，由（1）知，BD＝4，易知，点P与点B关于AD对称，∴DP＝BD＝4，∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），③当PB＝AP时，设P（a，0），∵A（9，3），B（5，0），∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2∴a＝，∴P（，0），即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？【分析】（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据数量＝总价÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，根据总价＝单价×数量结合总价不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据题意，得：+＝1100，解得：x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝3．答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，依题意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，解得：m≤1000．答：A种粽子最多能购进1000个．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP 是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．【分析】（1）想办法证明AG＝PF，AG∥PF，推出四边形AGFP是平行四边形，再证明P A＝PF即可解决问题．（2）证明△AEP∽△DEC，可得＝，由此即可解决问题．（3）利用（2）中结论．求出DE，AE即可．【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，∴∠AGP＝∠APG，∴AP＝AG，∵P A⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，∴P A＝PF，∴PF＝AG，∵AE⊥BD，PF⊥BD，∴PF∥AG，∴四边形AGFP是平行四边形，∵P A＝PF，∴四边形AGFP是菱形．（2）证明：如图②中，∵AE⊥BD，PE⊥EC，∴∠AED＝∠PEC＝90°，∴∠AEP＝∠DEC，∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠EAP＝∠EDC，∴△AEP∽△DEC，∴＝，∵AB＝CD，∴AE•AB＝DE•AP；（3）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∴BD＝＝，∵AE⊥BD，∴S△ABD＝•BD•AE＝•AB•AD，∴AE＝，∴DE＝＝，∵AE•AB＝DE•AP；∴AP＝＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（13分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用A、B、C三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式．（2）设点P横坐标为t，用t代入二次函数表达式得其纵坐标．把t当常数求直线BP解析式，进而求直线BP与x轴交点C坐标（用t表示），即能用t表示AC的长．把△PBA 以x轴为界分成△ABC与△ACP，即得到S△PBA＝AC（OB+PD）＝4，用含t的式子代入即得到关于t的方程，解之即求得点P坐标．（3）作点O关于直线AB的对称点E，根据轴对称性质即有AB垂直平分OE，连接BE 交抛物线于点M，即有BE＝OB，根据等腰三角形三线合一得∠ABO＝∠ABM，即在抛物线上（AB下方）存在点M使∠ABO＝∠ABM．设AB与OE交于点G，则G为OE中点且OG⊥AB，利用△OAB面积即求得OG进而得OE的长．易求得∠OAB＝∠BOG，求∠OAB的正弦和余弦值，应用到Rt△OEF即求得OF、EF的长，即得到点E坐标．求直线BE解析式，把BE解析式与抛物线解析式联立，求得x的解一个为点B横坐标，另一个即为点M横坐标，即求出点M到y轴的距离．【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）∴解得：∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2（2）如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D设P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3）∴OD＝t，PD＝t2﹣t﹣2设直线BP解析式为y＝kx﹣2把点P代入得：kt﹣2＝t2﹣t﹣2∴k＝t﹣∴直线BP：y＝（t﹣）x﹣2当y＝0时，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝∴C（，0）∵t＞3∴t﹣2＞1∴，即点C一定在点A左侧∴AC＝3﹣∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝AC•OB+AC•PD＝AC（OB+PD）＝4∴＝4解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去）∴t2﹣t﹣2＝∴点P的坐标为（4，）（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F∴AB垂直平分OE∴BE＝OB，OG＝GE∴∠ABO＝∠ABM∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°∴OA＝3，OB＝2，AB＝∴sin∠OAB＝，cos∠OAB＝∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OG∴OG＝∴OE＝2OG＝∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°∴∠OAB＝∠BOG∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cos∠BOG＝∴EF＝OE＝，OF＝OE＝∴E（，﹣）设直线BE解析式为y＝ex﹣2把点E代入得：e﹣2＝﹣，解得：e＝﹣∴直线BE：y＝﹣x﹣2当﹣x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得：x1＝0（舍去），x2＝∴点M横坐标为，即点M到y轴的距离为．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，等腰三角形性质，三角函数的应用．第（3）题点的存在性问题，可先通过画图确定满足∠ABO＝∠ABM的点M位置，通过相似三角形对应边成比例或三角函数为等量关系求线段的长．25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．【分析】（1）过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M，可证四边形AGFM是矩形，可得AG＝MF，AM＝FG，由“AAS”可证△EFM≌△CEB，可得BE＝MF，ME＝BC＝AB，可得BE＝MA＝MF＝AG＝FG；（2）延长GH交CD于点N，由平行线分线段成比例可得，且CH＝FH，可得GH＝HN，NC＝FG，即可求DG＝DN，由等腰三角形的性质可得DH⊥HG．【解答】解：（1）AG＝FG，理由如下：如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD∴四边形AGFM是矩形∴AG＝MF，AM＝FG，∵∠CEF＝90°，∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC∴△EFM≌△CEB（AAS）∴BE＝MF，ME＝BC∴ME＝AB＝BC∴BE＝MA＝MF∴AG＝FG，（2）DH⊥HG理由如下：如图，延长GH交CD于点N，∵FG⊥AD，CD⊥AD∴FG∥CD∴，且CH＝FH，∴GH＝HN，NC＝FG∴AG＝FG＝NC又∵AD＝CD，∴GD＝DN，且GH＝HN∴DH⊥GH【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△EFM≌△CEB是本题的关键．。

泰安市2019年初中学业水平考试数学试题本试卷共150分，考试时间120分.第I 卷（选择题 共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1.在实数π,3,3|,14.3|---中，最小的数是A.3-B. - 3C.|14.3|-D.π 2.下列运算正确的是A.336a a a =÷B.824a a a =⋅C.6326)2(a a = D.422a a a =+3.2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里，远地点约42万公里的地月转移轨道。

将数据42万公里用科学记数法表示为 A.4.2×109米 B.4.2×108米 C.42×107米 D.4.2×107米 4.下列图形：其中是轴对称图形且有两条对称轴的是 A.B.C.D.5.如图，直线，∥︒=∠301,21l l 则∠2+∠3=A.150°B.180°C.210°D.240°6.某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确．．．的是A.众数是8B.中位数是8C.平均数是8.2D.方差是1.27.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>--+-≥+1223352)1(245xxxx的解集是A.2≤x B.2-≥x C.22≤<-x D.22<≤-x8.如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C 港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为km.A.30+303B.30+103C.10+303D.3039.如图,△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为A.32°B.31°C.29°D.61°10.一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5,的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为A.51B.52C.53D.5411.如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为A.π21B.πC.2πD.3π12.如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=2，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是A. 2B. 4C.2D.22第II 卷（非选择题 共102分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）13.已知关于x 的一元二次方程03)12(22=++--k x k x 有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 .14.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各种多少两？设黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为 。

2019年山东省泰安市中考数学试题及参考答案与解析（全卷共150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（）A．﹣B．﹣3 C．|﹣3.14| D．π2．下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a2+a2＝a43．2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米4．下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④5．如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）A．150°B．180°C．210°D．240°6．某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A．众数是8 B．中位数是8 C．平均数是8.2 D．方差是1.27．不等式组的解集是（）A．x≤2 B．x≥﹣2 C．﹣2＜x≤2 D．﹣2≤x＜28．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．309．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°10．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．11．如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π12．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．第Ⅱ卷（非选择题共102分）二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．14．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．15．如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为．16．若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为．17．在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．18．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF 折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）先化简，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B （5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．24．（13分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF ＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．参考答案与解析第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（）A．﹣B．﹣3 C．|﹣3.14| D．π【知识考点】算术平方根；实数大小比较．【思路分析】根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反尔小．【解答过程】解：∵||＝＜|﹣3|＝3∴﹣＜（﹣3）C、D项为正数，A、B项为负数，正数大于负数，故选：B．【总结归纳】此题主要考查利用绝对值来比较实数的大小，此题要掌握性质”两负数比较大小，绝对值大的反尔小，正数大于负数，负数的绝对值为正数“．2．下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a2+a2＝a4【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【思路分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答过程】解：A、a6÷a3＝a3，故此选项正确；B、a4•a2＝a6，故此选项错误；C、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；D、a2+a2＝2a2，故此选项错误；故选：A．【总结归纳】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答过程】解：42万公里＝420000000m用科学记数法表示为：4.2×108米，故选：B．【总结归纳】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【知识考点】轴对称图形．【思路分析】根据轴对称图形的概念分别确定出对称轴的条数，从而得解．【解答过程】解：①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；④不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．【总结归纳】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）A．150°B．180°C．210°D．240°【知识考点】平行线的性质．【思路分析】过点E作EF∥11，利用平行线的性质解答即可．【解答过程】解：过点E作EF∥11，∵11∥12，EF∥11，∴EF∥11∥12，∴∠1＝∠AEF＝30°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝30°+180°＝210°，故选：C．【总结归纳】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．6．某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A．众数是8 B．中位数是8 C．平均数是8.2 D．方差是1.2【知识考点】折线统计图；算术平均数；中位数；众数；方差．【思路分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．【解答过程】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确；10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是（8+8）＝8，故B选项正确；平均数为（6+7×2+8×3+9×2+10×2）＝8.2，故C选项正确；方差为[（6﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（10﹣8.2）2+（10﹣8.2）2]＝1.56，故D选项错误；故选：D．【总结归纳】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．7．不等式组的解集是（）A．x≤2 B．x≥﹣2 C．﹣2＜x≤2 D．﹣2≤x＜2【知识考点】解一元一次不等式组．【思路分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答过程】解：，由①得，x≥﹣2，由②得，x＜2，所以不等式组的解集是﹣2≤x＜2．故选：D．【总结归纳】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．8．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．30【知识考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【思路分析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．【解答过程】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE＝AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B．【总结归纳】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°【知识考点】切线的性质．【思路分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC ＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由直角三角形的性质即可得出结果．【解答过程】解：如图所示：连接OC、CD，∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°，∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；故选：A．【总结归纳】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．10．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．【知识考点】列表法与树状图法．【思路分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答过程】解：画树状图如图所示：∵共有25种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有15种结果，∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为＝；故选：C．【总结归纳】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．11．如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π【知识考点】垂径定理；弧长的计算；翻折变换（折叠问题）．【思路分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．【解答过程】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．【总结归纳】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．12．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．【知识考点】垂线段最短；矩形的性质；轨迹．【思路分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．【解答过程】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°∴∠DP2P1＝90°∴∠DP1P2＝45°∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2∴BP1＝2∴PB的最小值是2故选：D．【总结归纳】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．第Ⅱ卷（非选择题共102分）二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．【知识考点】根的判别式．【思路分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＞0，求出k的取值范围；【解答过程】解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＝﹣4k+1﹣12＞0，解得k；故答案为：k．【总结归纳】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．14．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．【知识考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【思路分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝13两，根据等量关系列出方程组即可．【解答过程】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：，故答案为：．【总结归纳】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．15．如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为．【知识考点】含30度角的直角三角形；扇形面积的计算．【思路分析】连接OC，作CH⊥OB于H，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BD，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．【解答过程】解：连接OC，作CH⊥OB于H，∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，由勾股定理得，OB＝＝3，∵OA＝OC，∠OAB＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠COB＝30°，∴CO＝CB，CH＝OC＝，∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．【总结归纳】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、三角形的面积公式是解题的关键．16．若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为．【知识考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．【思路分析】根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，∴，得b＝﹣4，则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，解得，x1＝2，x2＝4．故意答案为：x1＝2，x2＝4．【总结归纳】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得b的值是解题的关键．17．在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．【知识考点】规律型：点的坐标；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【思路分析】根据题意和函数图象可以求得点A1，A2，A3，A4的坐标，从而可以得到前n个正方形对角线长的和，本题得以解决．【解答过程】解：由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，∴前n个正方形对角线长的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+C n﹣1A n）＝（1+2+4+8+…+2n﹣1），设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，则2S﹣S＝2n﹣1，∴S＝2n﹣1，∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，∴前n个正方形对角线长的和是：×（2n﹣1），故答案为：（2n﹣1），【总结归纳】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF 折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是．【知识考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【思路分析】连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC＝90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出EF的长度．【解答过程】解：如图，连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，∵E为AD中点，∴AE＝DE＝AD＝6由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∵EC＝＝＝3，∴，∴FE＝2，故答案为：2．【总结归纳】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）先化简，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．【知识考点】分式的化简求值．【思路分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答过程】解：原式＝（+）÷（﹣）＝÷＝•＝，当a＝时，原式＝＝1﹣2．【总结归纳】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的运算能力．20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？【知识考点】频数（率）分布表；扇形统计图．【思路分析】（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数40×50%﹣8＝12（人），第4组人数40×50%﹣10﹣3＝7（人），所以a＝12，b＝7；（2）＝27°，所以“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），所以成绩高于80分的共有900人．【解答过程】解：（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数40×50%﹣8＝12（人），第4组人数40×50%﹣10﹣3＝7（人），∴a＝12，b＝7；（2）＝27°，∴“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），∴成绩高于80分的共有900人．【总结归纳】本题考查了统计图，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B （5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．【知识考点】反比例函数综合题．【思路分析】（1）先求出OB，进而求出AD，得出点A坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）分三种情况，①当AB＝PB时，得出PB＝5，即可得出结论；②当AB＝AP时，利用点P与点B关于AD对称，得出DP＝BD＝4，即可得出结论；③当PB＝AP时，先表示出AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，进而建立方程求解即可得出结论．【解答过程】解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B（5，0），∴OB＝5，∵S△OAB＝，∴×5×AD＝，∴AD＝3，∵OB＝AB，∴AB＝5，在Rt△ADB中，BD＝＝4，∴OD＝OB+BD＝9，∴A（9，3），将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，∴反比例函数的解析式为y＝，将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣；（2）由（1）知，AB＝5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当AB＝PB时，∴PB＝5，∴P（0，0）或（10，0），②当AB＝AP时，如图2，由（1）知，BD＝4，易知，点P与点B关于AD对称，∴DP＝BD＝4，∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），③当PB＝AP时，设P（a，0），∵A（9，3），B（5，0），∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2∴a＝，∴P（，0），即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．【总结归纳】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？【知识考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【思路分析】（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据数量＝总价÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，根据总价＝单价×数量结合总价不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答过程】解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据题意，得：+＝1100，解得：x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝3．答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，依题意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，解得：m≤1000．答：A种粽子最多能购进1000个．【总结归纳】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．【知识考点】相似形综合题．【思路分析】（1）想办法证明AG＝PF，AG∥PF，推出四边形AGFP是平行四边形，再证明PA ＝PF即可解决问题．（2）证明△AEP∽△DEC，可得＝，由此即可解决问题．（3）利用（2）中结论．求出DE，AE即可．【解答过程】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，∴∠AGP＝∠APG，∴AP＝AG，∵PA⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，∴PA＝PF，∴PF＝AG，∵AE⊥BD，PF⊥BD，∴PF∥AG，∴四边形AGFP是平行四边形，∵PA＝PF，∴四边形AGFP是菱形．（2）证明：如图②中，∵AE⊥BD，PE⊥EC，∴∠AED＝∠PEC＝90°，∴∠AEP＝∠DEC，∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠EAP＝∠EDC，∴△AEP∽△DEC，∴＝，∵AB＝CD，∴AE•AB＝DE•AP；（3）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∴BD＝＝，∵AE⊥BD，∴S△ABD＝•BD•AE＝•AB•AD，∴AE＝，∴DE＝＝，∵AE•AB＝DE•AP；∴AP＝＝．【总结归纳】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（13分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）用A、B、C三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式．（2）设点P横坐标为t，用t代入二次函数表达式得其纵坐标．把t当常数求直线BP解析式，进而求直线BP与x轴交点C坐标（用t表示），即能用t表示AC的长．把△PBA以x轴为界分成△ABC与△ACP，即得到S△PBA＝AC（OB+PD）＝4，用含t的式子代入即得到关于t的方程，解之即求得点P坐标．（3）作点O关于直线AB的对称点E，根据轴对称性质即有AB垂直平分OE，连接BE交抛物线于点M，即有BE＝OB，根据等腰三角形三线合一得∠ABO＝∠ABM，即在抛物线上（AB下方）存在点M使∠ABO＝∠ABM．设AB与OE交于点G，则G为OE中点且OG⊥AB，利用△OAB面积即求得OG进而得OE的长．易求得∠OAB＝∠BOG，求∠OAB的正弦和余弦值，应用到Rt△OEF即求得OF、EF的长，即得到点E坐标．求直线BE解析式，把BE解析式与抛物线解析式联立，求得x的解一个为点B横坐标，另一个即为点M横坐标，即求出点M到y轴的距离．【解答过程】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）∴解得：∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2（2）如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D设P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3）∴OD＝t，PD＝t2﹣t﹣2设直线BP解析式为y＝kx﹣2把点P代入得：kt﹣2＝t2﹣t﹣2∴k＝t﹣∴直线BP：y＝（t﹣）x﹣2当y＝0时，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝∴C（，0）∵t＞3∴t﹣2＞1∴，即点C一定在点A左侧∴AC＝3﹣∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝AC•OB+AC•PD＝AC（OB+PD）＝4∴＝4解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去）∴t2﹣t﹣2＝∴点P的坐标为（4，）（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F∴AB垂直平分OE∴BE＝OB，OG＝GE∴∠ABO＝∠ABM∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°∴OA＝3，OB＝2，AB＝∴sin∠OAB＝，cos∠OAB＝∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OG∴OG＝∴OE＝2OG＝∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°∴∠OAB＝∠BOG∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cos∠BOG＝。

泰安2019中考数学试题及答案一、选择题1. 设函数f(x) = 2x - 1，下列哪个是f(x)在(x = 2)处的值？A) 1 B) 3 C) 4 D) 5解析：将x = 2代入函数表达式中得f(2) = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3，选项B为正确答案。

2. 若两个数的和是24，差是16，则这两个数分别是：A) 20和4 B) 12和10 C) 18和6 D) 15和11解析：设两个数为x和y，则有x + y = 24和x - y = 16。

将两个方程联立可得x = 20，y = 4，选项A为正确答案。

3. 若正方形ABCD的边长为8cm，点E是边BC的中点，连接AE 并延长到边CD的一点F，则AE : EF : FD 的比值为：A) 1 : 1 : 2 B) 1 : 2 : 1 C) 1 : 3 : 2 D) 1 : 2 : 3解析：由题意可知三角形AED与三角形BCF相似，而EF是BC的一半，故AE : EF : FD = 1 : 2 : 3，选项D为正确答案。

二、填空题1. 已知两个数的比是4 : 5，较小的数是25，则较大的数是\_\_\_。

解析：设较大的数为x，则有x : 25 = 5 : 4，通过比例的性质可得x = 25 * (5/4) = 31.25。

2. 将5x - 7 + 3x + 12 简化后的多项式为 \_\_\_。

解析：合并同类项可得8x + 5。

三、解答题1. 计算： 2/3 + 5/6 - 1/4 = \_\_\_。

解析：首先确定通分为12，得到 8/12 + 10/12 - 3/12 = 15/12 = 1 1/4。

2. 某矩形的长是宽的2倍，面积为48平方米，求矩形的长和宽各是多长。

解析：设矩形的宽为x，则矩形的长为2x。

根据题意可得2x * x = 48，解得x = 4或x = -6，考虑到宽不可能为负数，所以宽为4m，长为8m。

四、解答题（证明）已知：△ABC是等边三角形，角E是边AB的延长线上的点，连线CE交BC于点D。

2019年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（4分）在实数| 3.14|-，3-，π中，最小的数是( )A ．B ．3-C ．| 3.14|-D ．π选B ．2．（4分）下列运算正确的是( ) A ．633a a a ÷=B ．428a a a =C ．236(2)6a a =D ．224a a a +=【解析】A 、633a a a ÷=，故此选项正确；B 、426a a a =，故此选项错误；C 、236(2)8a a =，故此选项错误；D 、2222a a a +=，故此选项错误；选A ．3．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为( ) A ．94.210⨯米B ．84.210⨯米C ．74210⨯米D ．74.210⨯米【解析】42万公里420000000m =用科学记数法表示为：84.210⨯米， 选B ．4．（4分）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是( ) A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【解析】①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确； ②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确； ③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；④不是轴对称图形，故本选项错误． 选A ．5．（4分）如图，直线121//1，130∠=︒，则23(∠+∠= )A ．150︒B ．180︒C ．210︒D ．240︒【解析】过点E 作1//1EF ， 121//1，1//1EF ， 12//1//1EF ∴，130AEF ∴∠=∠=︒，3180FEC ∠+∠=︒，23330180210AEF FEC ∴∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒，选C ．6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是( ) A ．众数是8B ．中位数是8C ．平均数是8.2D ．方差是1.2【解析】由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A 选项正确；10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是1(88)82+=，故B 选项正确；平均数为1(6728392102)8.210+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 选项正确； 方差为22222222221[(68.2)(78.2)(78.2)(88.2)(88.2)(88.2)(98.2)(98.2)(108.2)(108.2)] 1.5610-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=，故D 选项错误；选D ．7．（4分）不等式组542(1),2532132x x x x +-⎧⎪+-⎨->⎪⎩…的解集是( )A ．2x …B ．2x -…C ．22x -<…D ．22x -<…【解析】()54212532132x x x x ⎧+-⎪⎨+-->⎪⎩①②…，由①得，2x -…， 由②得，2x <，所以不等式组的解集是22x -<…． 选D ．8．（4分）如图，一艘船由A 港沿北偏东65︒方向航行至B 港，然后再沿北偏西40︒方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20︒方向，则A ，C 两港之间的距离为( )km ．A．30+B．30+C．10+D．【解析】根据题意得，6520CAB ∠=︒-︒，402060ACB ∠=︒+︒=︒，AB = 过B 作BE AC ⊥于E ， 90AEB CEB ∴∠=∠=︒，在Rt ABE ∆中，45ABE ∠=︒，AB =30AE BE AB km ∴===， 在Rt CBE ∆中，60ACB ∠=︒，CE ∴==，30AC AE CE ∴=+=+A ∴，C 两港之间的距离为(30km +，选B ．9．（4分）如图，ABC ∆是O 的内接三角形，119A ∠=︒，过点C 的圆的切线交BO 于点P ，则P ∠的度数为( )A ．32︒B ．31︒C ．29︒D ．61︒【解析】如图所示：连接OC 、CD ， PC 是O 的切线， PC OC ∴⊥， 90OCP ∴∠=︒， 119A ∠=︒，18061ODC A ∴∠=︒-∠=︒， OC OD =，61OCD ODC ∴∠=∠=︒， 18026158DOC ∴∠=︒-⨯︒=︒， 9032P DOC ∴∠=︒-∠=︒；选A ．10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为()A．15B．25C．35D．45【解析】画树状图如图所示：共有25种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有15种结果，∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为153 255=；选C．11．（4分）如图，将O沿弦AB折叠，AB恰好经过圆心O，若O的半径为3，则AB的长为()A．12πB．πC．2πD．3π【解析】连接OA、OB，作OC AB⊥于C，由题意得，12OC OA=，30OAC∴∠=︒，OA OB=，30OBA OAC∴∠=∠=︒，120AOB∴∠=︒，∴AB的长12032180ππ⨯==，选C．12．（4分）如图，矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是( )A ．2B ．4CD ．【解析】如图：当点F 与点C 重合时，点P 在1P 处，11CP DP =， 当点F 与点E 重合时，点P 在2P 处，22EP DP =， 12//PP CE ∴且1212PP CE =当点F 在EC 上除点C 、E 的位置处时，有DP FP = 由中位线定理可知：1//PP CE 且112PP CF = ∴点P 的运动轨迹是线段12P P ， ∴当12BP PP ⊥时，PB 取得最小值矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为AB 的中点， CBE ∴∆、ADE ∆、1BCP ∆为等腰直角三角形，12CP = 145ADE CDE CPB ∴∠=∠=∠=︒，90DEC ∠=︒ 2190DP P ∴∠=︒ 1245DPP ∴∠=︒2190P PB ∴∠=︒，即112BP PP ⊥， BP ∴的最小值为1BP 的长在等腰直角1BCP 中，12CP BC ==1BP ∴=PB ∴的最小值是选D ．二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）已知关于x 的一元二次方程22(21)30x k x k --++=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 114k <-． 【解析】∴△22(21)4(3)41120k k k =--+=-+->， 解得114k <-； 答案：114k <-． 14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为 911(10)(8)13x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩．【解析】设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，由题意得： 911(10)(8)13x yy x x y =⎧⎨+-+=⎩， 答案：911(10)(8)13x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩．15．（4分）如图，90AOB ∠=︒，30B ∠=︒，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A 、点C ，交OB 于点D ，若3OA =，则阴影都分的面积为34π ．【解析】连接OC ，作CH OB ⊥于H ， 90AOB ∠=︒，30B ∠=︒， 60OAB ∴∠=︒，26AB OA ==，由勾股定理得，OB = OA OC =，60OAB ∠=︒， AOC ∴∆为等边三角形， 60AOC ∴∠=︒， 30COB ∴∠=︒，CO CB ∴=，1322CH OC ==，∴阴影都分的面积226031133033333602223604πππ⨯⨯=-⨯⨯+⨯-=，答案：34π．16．（4分）若二次函数25y x bx =+-的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程25213x bx x +-=-的解为 12x =，24x = ．【解析】二次函数25y x bx =+-的对称轴为直线2x =，∴22b-=， 得4b =-，则25213x bx x +-=-可化为：245213x x x --=-， 解得，12x =，24x =． 故意答案为：12x =，24x =．17．（4分）在平面直角坐标系中，直线:1l y x =+与y 轴交于点1A ，如图所示，依次作正方形111OA B C ，正方形1222C A B C ，正方形2333C A B C ，正方形3444C A B C ，⋯⋯，点1A ，2A ，3A ，4A ，⋯⋯在直线l 上，点1C ，2C ，3C ，4C ，⋯⋯在x 轴正半轴上，则前n 1)n - ．【解析】由题意可得，点1A 的坐标为(0,1)，点2A 的坐标为(1,2)，点3A 的坐标为(3,4)，点4A 的坐标为(7,8)，⋯⋯， 11OA ∴=，122C A =，234C A =，348C A =，⋯⋯，∴前n 111223341)2482)n n n OA C A C A C A C A --++++⋯+=++++⋯+，设112482n S -=++++⋯+，则1224822n n S -=+++⋯++， 则221n S S -=-， 21n S ∴=-，11248221n n -∴++++⋯+=-，∴前n (21)n -，1)n -，18．（4分）如图，矩形ABCD 中，AB =12BC =，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将AEF ∆沿EF折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是【解析】如图，连接EC ， 四边形ABCD 为矩形，90A D ∴∠=∠=︒，12BC AD ==，DC AB ==E 为AD 中点，162AE DE AD ∴=== 由翻折知，AEF GEF ∆≅∆，6AE GE ∴==，AEF GEF ∠=∠，90EGF EAF D ∠=∠=︒=∠， GE DE ∴=， EC ∴平分DCG ∠， DCE GCE ∴∠=∠，90GEC GCE ∠=︒-∠，90DEC DCE ∠=︒-∠， GEC DEC ∴∠=∠，1180902FEC FEG GEC ∴∠=∠+∠=⨯︒=︒，90FEC D ∴∠=∠=︒，又DCE GCE ∠=∠， FEC EDC ∴∆∆∽，∴FE ECDE DC=，22EC DE =∴6FE =FE ∴=答案：三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）先化简，再求值：2541(9)(1)11a a a a a --+÷--++，其中a = 【解析】原式228925141()()1111a a a a a a a a ----=+÷-++++22816411a a a a a a -+-=÷++2(4)11(4)a a a a a -+=+- 4a a-=，当a原式1=-20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）:请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a ，b 的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？【解析】（1）抽取学生人数1025%40÷=（人)，第2组人数4050%812⨯-=（人)，第4组人数4050%1037⨯--=（人)，12a ∴=，7b =；（2）33602740︒⨯=︒， ∴ “第5组”所在扇形圆心角的度数为27︒；（3）成绩高于80分：180050%900⨯=（人)，∴成绩高于80分的共有900人．21．（11分）已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x =的图象交于点A ，与x 轴交于点(5,0)B ，若OB AB =，且152OAB S ∆=． （1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P 为x 轴上一点，ABP ∆是等腰三角形，求点P 的坐标．【解析】（1）如图1，过点A 作AD x ⊥轴于D ，(5,0)B ，5OB ∴=，152OAB S ∆=， ∴115522AD ⨯⨯=， 3AD ∴=，OB AB =，5AB ∴=，在Rt ADB ∆中，4BD ==，9OD OB BD ∴=+=，(9,3)A ∴，将点A 坐标代入反比例函数m y x =中得，9327m =⨯=， ∴反比例函数的解析式为27y x=， 将点(9,3)A ，(5,0)B 代入直线y kx b =+中，9350k b k b +=⎧⎨+=⎩， ∴3434k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线AB 的解析式为3344y x =-； （2）由（1）知，5AB =，ABP ∆是等腰三角形，∴①当AB PB =时，5PB ∴=，(0,0)P ∴或(10,0)，②当AB AP =时，如图2，由（1）知，4BD =，易知，点P 与点B 关于AD 对称，4DP BD ∴==，54413OP ∴=++=，(13,0)P ∴，③当PB AP =时，设(,0)P a ，(9,3)A ，(5,0)B ，22(9)9AP a ∴=-+，22(5)BP a =-，22(9)9(5)a a ∴-+=-658a ∴=， 65(8P ∴，0)， 即：满足条件的点P 的坐标为(0,0)或(10,0)或(13,0)或65(8，0)．22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？【解析】（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据题意，得：1500150011001.2x x+=，解得： 2.5x=，经检验， 2.5x=是原方程的解，且符合题意，1.23x∴=．答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子(2600)m-个，依题意，得：3 2.5(2600)7000m m+-…，解得：1000m…．答：A种粽子最多能购进1000个．23．（13分）在矩形ABCD中，AE BD⊥于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分ABD∠，交AE于点G，PF BD⊥于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE EC⊥，如图②，求证：AE AB DE AP=；（3）在（2）的条件下，若1AB=，2BC=，求AP的长．【解答】（1）证明：如图①中，四边形ABCD 是矩形，90BAD ∴∠=︒，AE BD ⊥，90AED ∴∠=︒，90BAE EAD ∴∠+∠=︒，90EAD ADE ∠+∠=︒，BAE ADE ∴∠=∠，AGP BAG ABG ∠=∠+∠，APD ADE PBD ∠=∠+∠，ABG PBD ∠=∠， AGP APG ∴∠=∠，AP AG ∴=，PA AB ⊥，PF BD ⊥，BP 平分ABD ∠，PA PF ∴=，PF AG ∴=，AE BD ⊥，PF BD ⊥，//PF AG ∴，∴四边形AGFP 是平行四边形，PA PF =，∴四边形AGFP 是菱形．（2）证明：如图②中，AE BD ⊥，PE EC ⊥，90AED PEC ∴∠=∠=︒，AEP DEC ∴∠=∠，90EAD ADE ∠+∠=︒，90ADE CDE ∠+∠=︒，EAP EDC ∴∠=∠，AEP DEC ∴∆∆∽， ∴AE AP DE DC=， AB CD =，AE AB DE AP ∴=；（3）解：四边形ABCD 是矩形，2BC AD ∴==，90BAD ∠=︒，BD ∴=，AE BD ⊥，1122ABD S BD AE AB AD∆∴==，AE ∴， DE ∴AE AB DE AP =；112AP ∴==． 24．（13分）若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴、y 轴分别交于点(3,0)A 、(0,2)B -，且过点(2,2)C -．（1）求二次函数表达式；（2）若点P 为抛物线上第一象限内的点，且4PBA S ∆=，求点P 的坐标；（3）在抛物线上(AB 下方）是否存在点M ，使A B O A B M ∠=∠？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由．【解析】（1）二次函数的图象经过点(3,0)A 、(0,2)B -、(2,2)C -∴930002422a b c c a b c ++=⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩ 解得：23432a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩∴二次函数表达式为224233y x x =-- （2）如图1，设直线BP 交x 轴于点C ，过点P 作PD x ⊥轴于点D设(P t ，2242)(3)33t t t --> OD t ∴=，224233PD t t =-- 设直线BP 解析式为2y kx =-把点P 代入得：2242233kt t t -=-- 2433k t ∴=- ∴直线24:()233BP y t x =-- 当0y =时，24()2033t x --=，解得：32x t =- 3(2C t ∴-，0) 3t >21t ∴-> ∴332t <-，即点C 一定在点A 左侧 33(3)322t AC t t -∴=-=-- 111()4222PBA ABC ACP S S S AC OB AC PD AC OB PD ∆∆∆=+=+=+=∴213(3)24(22)42233t t t t -+--=- 解得：14t =，21t =-（舍去）∴2243216102233333t t --=--= ∴点P 的坐标为10(4,)3 （3）在抛物线上(AB 下方）存在点M ，使ABO ABM ∠=∠．如图2，作点O 关于直线AB 的对称点E ，连接OE 交AB 于点G ，连接BE 交抛物线于点M ，过点E 作EF y ⊥轴于点FAB ∴垂直平分OEBE OB ∴=，OG GE =ABO ABM ∴∠=∠(3,0)A 、(0,2)B -，90AOB ∠=︒3OA ∴=，2OB =，ABsin OB OAB AB ∴∠==，cos OA OAB AB ∠==1122AOB S OA OB AB OG ∆== 613OA OB OG AB ∴==2OE OG ∴==90OAB AOG AOG BOG ∠+∠=∠+∠=︒OAB BOG ∴∠=∠Rt OEF ∴∆中，sin EF BOG OE ∠==cos OF BOG OE ∠==2413EF ∴==，3613OF == 24(13E ∴，36)13- 设直线BE 解析式为2y ex =- 把点E 代入得：243621313e -=-，解得：512e =- ∴直线5:212BE y x =-- 当2524221233x x x --=--，解得：10x =（舍去），2118x =∴点M横坐标为118，即点M到y轴的距离为118．25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，EFC∆是等腰直角三角形，点E在AB上，且90CEF∠=︒，FG AD⊥，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．【解析】（1）AG FG=，理由如下：如图，过点F作FM AB⊥交BA的延长线于点M四边形ABCD是正方形∠=︒=∠B BAD∴=，90AB BC⊥，90FM ABMAD⊥∠=︒，FG AD∴四边形AGFM是矩形=，AG MF∴=，AM FG∠=︒，CEF90∠+∠=︒BEC BCEFEM BEC∴∠+∠=︒，9090∠=∠=︒，EF EC=∴∠=∠，且90M BFEM BCEEFM CEB AAS∴∆≅∆()∴=，ME BCBE MF=∴==ME AB BC∴==BE MA MF∴=，AG FG（2）DH HG⊥理由如下：如图，延长GH交CD于点N，FG AD⊥⊥，CD AD∴//FG CD∴FG FH GHCN CH NH==，且CH FH=，GH HN∴=，NC FG=AG FG NC∴==又AD CD=，GD DN∴=，且GH HN= DH GH∴⊥。

泰安市2019年初中学业水平考试数学试题本试卷共150分，考试时间120分.第I 卷（选择题 共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1.在实数π,3,3|,14.3|---中，最小的数是 A.3- B. - 3 C.|14.3|- D.π2.下列运算正确的是A.336a a a =÷B.824a a a =⋅C.6326)2(a a = D.422a a a =+ 3.2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里，远地点约42万公里的地月转移轨道。

将数据42万公里用科学记数法表示为A.4.2×109米B.4.2×108米C.42×107米D.4.2×107米4.下列图形：其中是轴对称图形且有两条对称轴的是 A. B. C. D.5.如图，直线，∥︒=∠301,21l l 则∠2+∠3=A.150°B.180°C.210°D.240°6.某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确．．．的是 A.众数是8 B.中位数是8 C.平均数是8.2 D.方差是1.27.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>--+-≥+1223352)1(245x x x x 的解集是 A.2≤x B.2-≥x C.22≤<-x D.22<≤-x8.如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行302km 至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为 km. A.30+303 B.30+103 C.10+303 D.3039.如图 ,△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠A=119°，过点C 的圆的切线交BO 于点P ，则∠P 的度数为A.32°B.31°C.29°D.61°10.一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5,的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为 A.51 B.52 C.53 D.54 11.如图，将⊙O 沿弦AB折叠，恰好经过圆心O ，若⊙O 的半径为3，则的长为 A.π21 B.π C.2π D.3π12.如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=2，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是A. 2B. 4C.2D.22第II 卷（非选择题 共102分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）13.已知关于x 的一元二次方程03)12(22=++--k x k x 有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 .14.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各种多少两？设黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为 。

2019年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题(本大题共12小题,在每小题给出得四个选项中,只有一个就是正确得,请把正确得选项选出来,每小题选对得4分,选错、不选或选出得答案超过一个,均记零分)1.(4分)在实数|﹣3、14|,﹣3,﹣,π中,最小得数就是()A.﹣B.﹣3C.|﹣3、14|D.π2.(4分)下列运算正确得就是()A.a6÷a3＝a3B.a4•a2＝a8C.(2a2)3＝6a6D.a2+a2＝a43.(4分)2018年12月8日,我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器,“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里得地月转移轨道,将数据42万公里用科学记数法表示为()A.4、2×109米B.4、2×108米C.42×107米D.4、2×107米4.(4分)下列图形:就是轴对称图形且有两条对称轴得就是()A.①②B.②③C.②④D.③④5.(4分)如图,直线11∥12,∠1＝30°,则∠2+∠3＝()A.150°B.180°C.210°D.240°6.(4分)某射击运动员在训练中射击了10次,成绩如图所示:下列结论不正确得就是()A.众数就是8B.中位数就是8C.平均数就是8、2D.方差就是1、27.(4分)不等式组得解集就是()A.x≤2B.x≥﹣2C.﹣2＜x≤2D.﹣2≤x＜28.(4分)如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间得距离为()km.A.30+30B.30+10C.10+30D.309.(4分)如图,△ABC就是⊙O得内接三角形,∠A＝119°,过点C得圆得切线交BO于点P,则∠P得度数为()A.32°B.31°C.29°D.61°10.(4分)一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5得五个小球,这些球除标号外都相同,从中随机摸出两个小球,则摸出得小球标号之与大于5得概率为()A. B. C. D.11.(4分)如图,将⊙O沿弦AB折叠,恰好经过圆心O,若⊙O得半径为3,则得长为()A.πB.πC.2πD.3π12.(4分)如图,矩形ABCD中,AB＝4,AD＝2,E为AB得中点,F为EC上一动点,P为DF中点,连接PB,则PB得最小值就是()A.2B.4C.D.二、填空题(本大题共6小题,满分24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分)13.(4分)已知关于x得一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+3＝0有两个不相等得实数根,则实数k得取值范围就是.14.(4分)《九章算术》就是我国古代数学得经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金、银一枚各重几何？”意思就是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计),问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意可列方程组为.15.(4分)如图,∠AOB＝90°,∠B＝30°,以点O为圆心,OA为半径作弧交AB于点A、点C,交OB于点D,若OA＝3,则阴影都分得面积为.16.(4分)若二次函数y＝x2+bx﹣5得对称轴为直线x＝2,则关于x得方程x2+bx﹣5＝2x﹣13得解为.17.(4分)在平面直角坐标系中,直线l:y＝x+1与y轴交于点A1,如图所示,依次作正方形OA1B1C1,正方形C1A2B2C2,正方形C2A3B3C3,正方形C3A4B4C4,……,点A1,A2,A3,A4,……在直线l上,点C1,C2,C3,C4,……在x轴正半轴上,则前n个正方形对角线长得与就是.18.(4分)如图,矩形ABCD中,AB＝3,BC＝12,E为AD中点,F为AB上一点,将△AEF沿EF折叠后,点A恰好落到CF上得点G处,则折痕EF得长就是.三、解答题(本大题共7小题,满分78分,解答应写出必要得文字说明、证明过程或推演步骤)19.(8分)先化简,再求值:(a﹣9+)÷(a﹣1﹣),其中a＝.20.(8分)为弘扬泰山文化,某校举办了“泰山诗文大赛”活动,从中随机抽取部分学生得比赛成绩,根据成绩(成绩都高于50分),绘制了如下得统计图表(不完整):组别分数人数第1组90＜x≤1008第2组80＜x≤90a第3组70＜x≤8010第4组60＜x≤70b第5组50＜x≤603请根据以上信息,解答下列问题:(1)求出a,b得值;(2)计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角得度数;(3)若该校共有1800名学生,那么成绩高于80分得共有多少人？21.(11分)已知一次函数y＝kx+b得图象与反比例函数y＝得图象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OB＝AB,且S△OAB＝.(1)求反比例函数与一次函数得表达式;(2)若点P为x轴上一点,△ABP就是等腰三角形,求点P得坐标.22.(11分)端午节就是我国得传统节日,人们素有吃粽子得习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个,购买A种粽子与购买B种粽子得费用相同.已知A种粽子得单价就是B种粽子单价得1、2倍.(1)求A、B两种粽子得单价各就是多少？(2)若计划用不超过7000元得资金再次购进A、B两种粽子共2600个,已知A、B两种粽子得进价不变.求A种粽子最多能购进多少个？23.(13分)在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,点P就是边AD上一点.(1)若BP平分∠ABD,交AE于点G,PF⊥BD于点F,如图①,证明四边形AGFP就是菱形;(2)若PE⊥EC,如图②,求证:AE•AB＝DE•AP;(3)在(2)得条件下,若AB＝1,BC＝2,求AP得长.24.(13分)若二次函数y＝ax2+bx+c得图象与x轴、y轴分别交于点A(3,0)、B(0,﹣2),且过点C(2,﹣2).(1)求二次函数表达式;(2)若点P为抛物线上第一象限内得点,且S△PBA＝4,求点P得坐标;(3)在抛物线上(AB下方)就是否存在点M,使∠ABO＝∠ABM？若存在,求出点M到y轴得距离;若不存在,请说明理由.25.(14分)如图,四边形ABCD就是正方形,△EFC就是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF＝90°,FG⊥AD,垂足为点C.(1)试判断AG与FG就是否相等？并给出证明;(2)若点H为CF得中点,GH与DH垂直吗？若垂直,给出证明;若不垂直,说明理由.2019年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,在每小题给出得四个选项中,只有一个就是正确得,请把正确得选项选出来,每小题选对得4分,选错、不选或选出得答案超过一个,均记零分)1.(4分)在实数|﹣3、14|,﹣3,﹣,π中,最小得数就是()A.﹣B.﹣3C.|﹣3、14|D.π【分析】根据绝对值得大小进行比较即可,两负数比较大小,绝对值大得反尔小.【解答】解:∵||＝＜|﹣3|＝3∴﹣＜(﹣3)C、D项为正数,A、B项为负数,正数大于负数,故选:B.【点评】此题主要考查利用绝对值来比较实数得大小,此题要掌握性质”两负数比较大小,绝对值大得反尔小,正数大于负数,负数得绝对值为正数“.2.(4分)下列运算正确得就是()A.a6÷a3＝a3B.a4•a2＝a8C.(2a2)3＝6a6D.a2+a2＝a4【分析】直接利用合并同类项法则以及积得乘方运算法则、同底数幂得乘除运算法则分别计算得出答案.【解答】解:A、a6÷a3＝a3,故此选项正确;B、a4•a2＝a6,故此选项错误;C、(2a2)3＝8a6,故此选项错误;D、a2+a2＝2a2,故此选项错误;故选:A.【点评】此题主要考查了合并同类项以及积得乘方运算、同底数幂得乘除运算,正确掌握相关运算法则就是解题关键.3.(4分)2018年12月8日,我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器,“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里得地月转移轨道,将数据42万公里用科学记数法表示为()A.4、2×109米B.4、2×108米C.42×107米D.4、2×107米【分析】科学记数法得表示形式为a×10n得形式,其中1≤|a|＜10,n为整数.确定n得值时,要瞧把原数变成a时,小数点移动了多少位,n得绝对值与小数点移动得位数相同.当原数绝对值＞1时,n就是正数;当原数得绝对值＜1时,n就是负数.【解答】解:42万公里＝420000000m用科学记数法表示为:4、2×108米,故选:B.【点评】此题考查了科学记数法得表示方法.科学记数法得表示形式为a×10n得形式,其中1≤|a|＜10,n为整数,表示时关键要正确确定a得值以及n得值.4.(4分)下列图形:就是轴对称图形且有两条对称轴得就是()A.①②B.②③C.②④D.③④【分析】根据轴对称图形得概念分别确定出对称轴得条数,从而得解.【解答】解:①就是轴对称图形且有两条对称轴,故本选项正确;②就是轴对称图形且有两条对称轴,故本选项正确;③就是轴对称图形且有4条对称轴,故本选项错误;④不就是轴对称图形,故本选项错误.故选:A.【点评】本题考查了轴对称图形得概念,轴对称图形得关键就是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.5.(4分)如图,直线11∥12,∠1＝30°,则∠2+∠3＝()A.150°B.180°C.210°D.240°【分析】过点E作EF∥11,利用平行线得性质解答即可.【解答】解:过点E作EF∥11,∵11∥12,EF∥11,∴EF∥11∥12,∴∠1＝∠AEF＝30°,∠FEC+∠3＝180°,∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝30°+180°＝210°,故选:C.【点评】此题考查平行线得性质,关键就是根据平行线得性质解答.6.(4分)某射击运动员在训练中射击了10次,成绩如图所示:下列结论不正确得就是()A.众数就是8B.中位数就是8C.平均数就是8、2D.方差就是1、2【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差得算法进行计算,即可得到不正确得选项.【解答】解:由图可得,数据8出现3次,次数最多,所以众数为8,故A选项正确;10次成绩排序后为:6,7,7,8,8,8,9,9,10,10,所以中位数就是(8+8)＝8,故B选项正确;平均数为(6+7×2+8×3+9×2+10×2)＝8、2,故C选项正确;方差为[(6﹣8、2)2+(7﹣8、2)2+(7﹣8、2)2+(8﹣8、2)2+(8﹣8、2)2+(8﹣8、2)2+(9﹣8、2)2+(9﹣8、2)2+(10﹣8、2)2+(10﹣8、2)2]＝1、56,故D选项错误;故选:D.【点评】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差,用“先平均,再求差,然后平方,最后再平均”得到得结果表示一组数据偏离平均值得情况,这个结果叫方差.7.(4分)不等式组得解集就是()A.x≤2B.x≥﹣2C.﹣2＜x≤2D.﹣2≤x＜2【分析】先求出两个不等式得解集,再求其公共解.【解答】解:,由①得,x≥﹣2,由②得,x＜2,所以不等式组得解集就是﹣2≤x＜2.故选:D.【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集得求法,其简便求法就就是用口诀求解.求不等式组解集得口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到(无解).8.(4分)如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间得距离为()km.A.30+30B.30+10C.10+30D.30【分析】根据题意得,∠CAB＝65°﹣20°,∠ACB＝40°+20°＝60°,AB＝30,过B作BE⊥AC于E,解直角三角形即可得到结论.【解答】解:根据题意得,∠CAB＝65°﹣20°,∠ACB＝40°+20°＝60°,AB＝30,过B作BE⊥AC于E,∴∠AEB＝∠CEB＝90°,在Rt△ABE中,∵∠ABE＝45°,AB＝30,∴AE＝BE＝AB＝30km,在Rt△CBE中,∵∠ACB＝60°,∴CE＝BE＝10km,∴AC＝AE+CE＝30+10,∴A,C两港之间得距离为(30+10)km,故选:B.【点评】本题考查了解直角三角形得应用,方向角问题,三角形得内角与,就是基础知识比较简单.9.(4分)如图,△ABC就是⊙O得内接三角形,∠A＝119°,过点C得圆得切线交BO于点P,则∠P得度数为()A.32°B.31°C.29°D.61°【分析】连接OC、CD,由切线得性质得出∠OCP＝90°,由圆内接四边形得性质得出∠ODC＝180°﹣∠A＝61°,由等腰三角形得性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°,求出∠DOC＝58°,由直角三角形得性质即可得出结果.【解答】解:如图所示:连接OC、CD,∵PC就是⊙O得切线,∴PC⊥OC,∴∠OCP＝90°,∵∠A＝119°,∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°,∵OC＝OD,∴∠OCD＝∠ODC＝61°,∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°,∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°;故选:A.【点评】本题考查了切线得性质、等腰三角形得性质、直角三角形得性质、三角形内角与定理;熟练掌握切线得性质就是解题得关键.10.(4分)一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5得五个小球,这些球除标号外都相同,从中随机摸出两个小球,则摸出得小球标号之与大于5得概率为()A. B. C. D.【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能得结果与两次摸出得小球得标号之与大于5得情况,再利用概率公式即可求得答案.【解答】解:画树状图如图所示:∵共有25种等可能得结果,两次摸出得小球得标号之与大于5得有15种结果,∴两次摸出得小球得标号之与大于5得概率为＝;故选:C.【点评】本题考查得就是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏得列出所有可能得结果,用到得知识点为:概率＝所求情况数与总情况数之比.11.(4分)如图,将⊙O沿弦AB折叠,恰好经过圆心O,若⊙O得半径为3,则得长为()A.πB.πC.2πD.3π【分析】连接OA、OB,作OC⊥AB于C,根据翻转变换得性质得到OC＝OA,根据等腰三角形得性质、三角形内角与定理求出∠AOB,根据弧长公式计算即可.【解答】解:连接OA、OB,作OC⊥AB于C,由题意得,OC＝OA,∴∠OAC＝30°,∵OA＝OB,∴∠OBA＝∠OAC＝30°,∴∠AOB＝120°,∴得长＝＝2π,故选:C.【点评】本题考查得就是弧长得计算、直角三角形得性质、翻转变换得性质,掌握弧长公式就是解题得关键.12.(4分)如图,矩形ABCD中,AB＝4,AD＝2,E为AB得中点,F为EC上一动点,P为DF中点,连接PB,则PB得最小值就是()A.2B.4C.D.【分析】根据中位线定理可得出点点P得运动轨迹就是线段P1P2,再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时,PB取得最小值;由矩形得性质以及已知得数据即可知BP1⊥P1P2,故BP得最小值为BP1得长,由勾股定理求解即可.【解答】解:如图:当点F与点C重合时,点P在P1处,CP1＝DP1,当点F与点E重合时,点P在P2处,EP2＝DP2,∴P1P2∥CE且P1P2＝CE当点F在EC上除点C、E得位置处时,有DP＝FP由中位线定理可知:P1P∥CE且P1P＝CF∴点P得运动轨迹就是线段P1P2,∴当BP⊥P1P2时,PB取得最小值∵矩形ABCD中,AB＝4,AD＝2,E为AB得中点,∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形,CP1＝2∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°,∠DEC＝90°∴∠DP2P1＝90°∴∠DP1P2＝45°∴∠P2P1B＝90°,即BP1⊥P1P2,∴BP得最小值为BP1得长在等腰直角BCP1中,CP1＝BC＝2∴BP1＝2∴PB得最小值就是2故选:D.【点评】本题考查轨迹问题、矩形得性质等知识,解题得关键就是学会利用特殊位置解决问题,有难度.二、填空题(本大题共6小题,满分24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分)13.(4分)已知关于x得一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+3＝0有两个不相等得实数根,则实数k得取值范围就是k.【分析】根据方程有两个不相等得实数根可得△＝(2k﹣1)2﹣4(k2+3)＞0,求出k得取值范围;【解答】解:∵原方程有两个不相等得实数根,∴△＝(2k﹣1)2﹣4(k2+3)＝﹣4k+1﹣12＞0,解得k;故答案为:k.【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)得根与△＝b2﹣4ac有如下关系:①当△＞0时,方程有两个不相等得两个实数根;②当△＝0时,方程有两个相等得两个实数根;③当△＜0时,方程无实数根.14.(4分)《九章算术》就是我国古代数学得经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金、银一枚各重几何？”意思就是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计),问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意可列方程组为.【分析】根据题意可得等量关系:①9枚黄金得重量＝11枚白银得重量;②(10枚白银得重量+1枚黄金得重量)﹣(1枚白银得重量+8枚黄金得重量)＝13两,根据等量关系列出方程组即可.【解答】解:设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,由题意得:,故答案为:.【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,关键就是正确理解题意,找出题目中得等量关系.15.(4分)如图,∠AOB＝90°,∠B＝30°,以点O为圆心,OA为半径作弧交AB于点A、点C,交OB于点D,若OA＝3,则阴影都分得面积为π.【分析】连接OC,作CH⊥OB于H,根据直角三角形得性质求出AB,根据勾股定理求出BD,证明△AOC为等边三角形,得到∠AOC＝60°,∠COB＝30°,根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可.【解答】解:连接OC,作CH⊥OB于H,∵∠AOB＝90°,∠B＝30°,∴∠OAB＝60°,AB＝2OA＝6,由勾股定理得,OB＝＝3,∵OA＝OC,∠OAB＝60°,∴△AOC为等边三角形,∴∠AOC＝60°,∴∠COB＝30°,∴CO＝CB,CH＝OC＝,∴阴影都分得面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π,故答案为:π.【点评】本题考查得就是扇形面积计算、等边三角形得判定与性质,掌握扇形面积公式、三角形得面积公式就是解题得关键.16.(4分)若二次函数y＝x2+bx﹣5得对称轴为直线x＝2,则关于x得方程x2+bx﹣5＝2x﹣13得解为x1＝2,x2＝4.【分析】根据对称轴方程求得b,再解一元二次方程得解.【解答】解:∵二次函数y＝x2+bx﹣5得对称轴为直线x＝2,∴,得b＝﹣4,则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为:x2﹣4x﹣5＝2x﹣13,解得,x1＝2,x2＝4.故意答案为:x1＝2,x2＝4.【点评】本题主要考查得就是抛物线与x轴得交点,利用抛物线得对称性求得b得值就是解题得关键.17.(4分)在平面直角坐标系中,直线l:y＝x+1与y轴交于点A1,如图所示,依次作正方形OA1B1C1,正方形C1A2B2C2,正方形C2A3B3C3,正方形C3A4B4C4,……,点A1,A2,A3,A4,……在直线l上,点C1,C2,C3,C4,……在x轴正半轴上,则前n个正方形对角线长得与就是(2n﹣1).【分析】根据题意与函数图象可以求得点A1,A2,A3,A4得坐标,从而可以得到前n个正方形对角线长得与,本题得以解决.【解答】解:由题意可得,点A1得坐标为(0,1),点A2得坐标为(1,2),点A3得坐标为(3,4),点A4得坐标为(7,8),……,∴OA1＝1,C1A2＝2,C2A3＝4,C3A4＝8,……,∴前n个正方形对角线长得与就是:(OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+C n﹣1A n)＝(1+2+4+8+…+2n﹣1),设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1,则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n,则2S﹣S＝2n﹣1,∴S＝2n﹣1,∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1,∴前n个正方形对角线长得与就是:×(2n﹣1),故答案为:(2n﹣1),【点评】本题考查一次函数图象上点得坐标特征、规律型:点得坐标,解答本题得关键就是明确题意,利用数形结合得思想解答.18.(4分)如图,矩形ABCD中,AB＝3,BC＝12,E为AD中点,F为AB上一点,将△AEF沿EF折叠后,点A恰好落到CF上得点G处,则折痕EF得长就是2.【分析】连接EC,利用矩形得性质,求出EG,DE得长度,证明EC平分∠DCF,再证∠FEC＝90°,最后证△FEC∽△EDC,利用相似得性质即可求出EF得长度.【解答】解:如图,连接EC,∵四边形ABCD为矩形,∴∠A＝∠D＝90°,BC＝AD＝12,DC＝AB＝3,∵E为AD中点,∴AE＝DE＝AD＝6由翻折知,△AEF≌△GEF,∴AE＝GE＝6,∠AEF＝∠GEF,∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D,∴GE＝DE,∴EC平分∠DCG,∴∠DCE＝∠GCE,∵∠GEC＝90°﹣∠GCE,∠DEC＝90°﹣∠DCE,∴∠GEC＝∠DEC,∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°,∴∠FEC＝∠D＝90°,又∵∠DCE＝∠GCE,∴△FEC∽△EDC,∴,∵EC＝＝＝3,∴,∴FE＝2,故答案为:2.【点评】本题考查了矩形得性质,轴对称得性质,相似三角形得判定与性质等,解题关键就是能够作出适当得辅助线,连接CE,构造相似三角形,最终利用相似得性质求出结果.三、解答题(本大题共7小题,满分78分,解答应写出必要得文字说明、证明过程或推演步骤)19.(8分)先化简,再求值:(a﹣9+)÷(a﹣1﹣),其中a＝.【分析】先根据分式得混合运算顺序与运算法则化简原式,再将a得值代入计算可得.【解答】解:原式＝(+)÷(﹣)＝÷＝•＝,当a＝时,原式＝＝1﹣2.【点评】本题主要考查分式得化简求值,解题得关键就是掌握分式得混合运算顺序与运算法则及二次根式得运算能力.20.(8分)为弘扬泰山文化,某校举办了“泰山诗文大赛”活动,从中随机抽取部分学生得比赛成绩,根据成绩(成绩都高于50分),绘制了如下得统计图表(不完整):组别分数人数第1组90＜x≤1008第2组80＜x≤90a第3组70＜x≤8010第4组60＜x≤70b第5组50＜x≤603请根据以上信息,解答下列问题:(1)求出a,b得值;(2)计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角得度数;(3)若该校共有1800名学生,那么成绩高于80分得共有多少人？【分析】(1)抽取学生人数10÷25%＝40(人),第2组人数40×50%﹣8＝12(人),第4组人数40×50%﹣10﹣3＝7(人),所以a＝12,b＝7;(2)＝27°,所以“第5组”所在扇形圆心角得度数为27°;(3)成绩高于80分:1800×50%＝900(人),所以成绩高于80分得共有900人.【解答】解:(1)抽取学生人数10÷25%＝40(人),第2组人数40×50%﹣8＝12(人),第4组人数40×50%﹣10﹣3＝7(人),∴a＝12,b＝7;(2)＝27°,∴“第5组”所在扇形圆心角得度数为27°;(3)成绩高于80分:1800×50%＝900(人),∴成绩高于80分得共有900人.【点评】本题考查了统计图,熟练掌握条形统计图与扇形统计图就是解题得关键.21.(11分)已知一次函数y＝kx+b得图象与反比例函数y＝得图象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OB＝AB,且S△OAB＝.(1)求反比例函数与一次函数得表达式;(2)若点P为x轴上一点,△ABP就是等腰三角形,求点P得坐标.【分析】(1)先求出OB,进而求出AD,得出点A坐标,最后用待定系数法即可得出结论;(2)分三种情况,①当AB＝PB时,得出PB＝5,即可得出结论;②当AB＝AP时,利用点P与点B关于AD对称,得出DP＝BD＝4,即可得出结论;③当PB＝AP时,先表示出AP2＝(9﹣a)2+9,BP2＝(5﹣a)2,进而建立方程求解即可得出结论.【解答】解:(1)如图1,过点A作AD⊥x轴于D,∵B(5,0),∴OB＝5,∵S△OAB＝,∴×5×AD＝,∴AD＝3,∵OB＝AB,∴AB＝5,在Rt△ADB中,BD＝＝4,∴OD＝OB+BD＝9,∴A(9,3),将点A坐标代入反比例函数y＝中得,m＝9×3＝27,∴反比例函数得解析式为y＝,将点A(9,3),B(5,0)代入直线y＝kx+b中,,∴,∴直线AB得解析式为y＝x﹣;(2)由(1)知,AB＝5,∵△ABP就是等腰三角形,∴①当AB＝PB时,∴PB＝5,∴P(0,0)或(10,0),②当AB＝AP时,如图2,由(1)知,BD＝4,易知,点P与点B关于AD对称,∴DP＝BD＝4,∴OP＝5+4+4＝13,∴P(13,0),③当PB＝AP时,设P(a,0),∵A(9,3),B(5,0),∴AP2＝(9﹣a)2+9,BP2＝(5﹣a)2,∴(9﹣a)2+9＝(5﹣a)2∴a＝,∴P(,0),即:满足条件得点P得坐标为(0,0)或(10,0)或(13,0)或(,0).【点评】此题就是反比例函数综合题,主要考查了待定系数法,勾股定理,三角形得面积,等腰三角形得性质,用分类讨论得思想解决问题就是解本题得关键.22.(11分)端午节就是我国得传统节日,人们素有吃粽子得习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个,购买A种粽子与购买B种粽子得费用相同.已知A种粽子得单价就是B种粽子单价得1、2倍.(1)求A、B两种粽子得单价各就是多少？(2)若计划用不超过7000元得资金再次购进A、B两种粽子共2600个,已知A、B两种粽子得进价不变.求A种粽子最多能购进多少个？【分析】(1)设B种粽子单价为x元/个,则A种粽子单价为1、2x元/个,根据数量＝总价÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个,即可得出关于x得分式方程,解之经检验后即可得出结论;(2)设购进A种粽子m个,则购进B种粽子(2600﹣m)个,根据总价＝单价×数量结合总价不超过7000元,即可得出关于m得一元一次不等式,解之取其中得最大值即可得出结论.【解答】解:(1)设B种粽子单价为x元/个,则A种粽子单价为1、2x元/个,根据题意,得:+＝1100,解得:x＝2、5,经检验,x＝2、5就是原方程得解,且符合题意,∴1、2x＝3.答:A种粽子单价为3元/个,B种粽子单价为2、5元/个.(2)设购进A种粽子m个,则购进B种粽子(2600﹣m)个,依题意,得:3m+2、5(2600﹣m)≤7000,解得:m≤1000.答:A种粽子最多能购进1000个.【点评】本题考查了分式方程得应用以及一元一次不等式得应用,解题得关键就是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量之间得关系,正确列出一元一次不等式.23.(13分)在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,点P就是边AD上一点.(1)若BP平分∠ABD,交AE于点G,PF⊥BD于点F,如图①,证明四边形AGFP就是菱形;(2)若PE⊥EC,如图②,求证:AE•AB＝DE•AP;(3)在(2)得条件下,若AB＝1,BC＝2,求AP得长.【分析】(1)想办法证明AG＝PF,AG∥PF,推出四边形AGFP就是平行四边形,再证明P A＝PF即可解决问题.(2)证明△AEP∽△DEC,可得＝,由此即可解决问题.(3)利用(2)中结论.求出DE,AE即可.【解答】(1)证明:如图①中,∵四边形ABCD就是矩形,∴∠BAD＝90°,∵AE⊥BD,∴∠AED＝90°,∴∠BAE+∠EAD＝90°,∠EAD+∠ADE＝90°,∴∠BAE＝∠ADE,∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG,∠APD＝∠ADE+∠PBD,∠ABG＝∠PBD,∴∠AGP＝∠APG,∴AP＝AG,∵P A⊥AB,PF⊥BD,BP平分∠ABD,∴P A＝PF,∴PF＝AG,∵AE⊥BD,PF⊥BD,∴PF∥AG,∴四边形AGFP就是平行四边形,∵P A＝PF,∴四边形AGFP就是菱形.(2)证明:如图②中,∵AE⊥BD,PE⊥EC,∴∠AED＝∠PEC＝90°,∴∠AEP＝∠DEC,∵∠EAD+∠ADE＝90°,∠ADE+∠CDE＝90°,∴∠EAP＝∠EDC,∴△AEP∽△DEC,∴＝,∵AB＝CD,∴AE•AB＝DE•AP;(3)解:∵四边形ABCD就是矩形,∴BC＝AD＝2,∠BAD＝90°,∴BD＝＝,∵AE⊥BD,∴S△ABD＝•BD•AE＝•AB•AD,∴AE＝,∴DE＝＝,∵AE•AB＝DE•AP;∴AP＝＝.【点评】本题属于相似形综合题,考查了相似三角形得判定与性质,矩形得性质,解直角三角形等知识,解题得关键就是正确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型.24.(13分)若二次函数y＝ax2+bx+c得图象与x轴、y轴分别交于点A(3,0)、B(0,﹣2),且过点C(2,﹣2).(1)求二次函数表达式;(2)若点P为抛物线上第一象限内得点,且S△PBA＝4,求点P得坐标;(3)在抛物线上(AB下方)就是否存在点M,使∠ABO＝∠ABM？若存在,求出点M到y轴得距离;若不存在,请说明理由.【分析】(1)用A、B、C三点坐标代入,用待定系数法求二次函数表达式.(2)设点P横坐标为t,用t代入二次函数表达式得其纵坐标.把t当常数求直线BP解析式,进而求直线BP与x轴交点C 坐标(用t表示),即能用t表示AC得长.把△PBA以x轴为界分成△ABC与△ACP,即得到S△PBA＝AC(OB+PD)＝4,用含t得式子代入即得到关于t得方程,解之即求得点P坐标.(3)作点O关于直线AB得对称点E,根据轴对称性质即有AB垂直平分OE,连接BE交抛物线于点M,即有BE＝OB,根据等腰三角形三线合一得∠ABO＝∠ABM,即在抛物线上(AB下方)存在点M使∠ABO＝∠ABM.设AB与OE交于点G,则G为OE中点且OG⊥AB,利用△OAB面积即求得OG进而得OE得长.易求得∠OAB＝∠BOG,求∠OAB得正弦与余弦值,应用到Rt△OEF即求得OF、EF得长,即得到点E坐标.求直线BE解析式,把BE解析式与抛物线解析式联立,求得x得解一个为点B横坐标,另一个即为点M横坐标,即求出点M到y轴得距离.【解答】解:(1)∵二次函数得图象经过点A(3,0)、B(0,﹣2)、C(2,﹣2)∴解得:∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2(2)如图1,设直线BP交x轴于点C,过点P作PD⊥x轴于点D设P(t,t2﹣t﹣2)(t＞3)∴OD＝t,PD＝t2﹣t﹣2设直线BP解析式为y＝kx﹣2把点P代入得:kt﹣2＝t2﹣t﹣2∴k＝t﹣∴直线BP:y＝(t﹣)x﹣2当y＝0时,(t﹣)x﹣2＝0,解得:x＝∴C(,0)∵t＞3∴t﹣2＞1∴,即点C一定在点A左侧∴AC＝3﹣∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝AC•OB+AC•PD＝AC(OB+PD)＝4∴＝4解得:t1＝4,t2＝﹣1(舍去)∴t2﹣t﹣2＝∴点P得坐标为(4,)(3)在抛物线上(AB下方)存在点M,使∠ABO＝∠ABM.如图2,作点O关于直线AB得对称点E,连接OE交AB于点G,连接BE交抛物线于点M,过点E作EF⊥y轴于点F ∴AB垂直平分OE∴BE＝OB,OG＝GE∴∠ABO＝∠ABM∵A(3,0)、B(0,﹣2),∠AOB＝90°∴OA＝3,OB＝2,AB＝∴sin∠OAB＝,cos∠OAB＝∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OG∴OG＝∴OE＝2OG＝∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°∴∠OAB＝∠BOG∴Rt△OEF中,sin∠BOG＝,cos∠BOG＝∴EF＝OE＝,OF＝OE＝∴E(,﹣)设直线BE解析式为y＝ex﹣2把点E代入得:e﹣2＝﹣,解得:e＝﹣∴直线BE:y＝﹣x﹣2当﹣x﹣2＝x2﹣x﹣2,解得:x1＝0(舍去),x2＝∴点M横坐标为,即点M到y轴得距离为.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式,一元二次方程得解法,轴对称得性质,等腰三角形性质,三角函数得应用.第(3)题点得存在性问题,可先通过画图确定满足∠ABO＝∠ABM得点M位置,通过相似三角形对应边成比例或三角函数为等量关系求线段得长.25.(14分)如图,四边形ABCD就是正方形,△EFC就是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF＝90°,FG⊥AD,垂足为点C.(1)试判断AG与FG就是否相等？并给出证明;(2)若点H为CF得中点,GH与DH垂直吗？若垂直,给出证明;若不垂直,说明理由.【分析】(1)过点F作FM⊥AB交BA得延长线于点M,可证四边形AGFM就是矩形,可得AG＝MF,AM＝FG,由“AAS”可证△EFM≌△CEB,可得BE＝MF,ME＝BC＝AB,可得BE＝MA＝MF＝AG＝FG;(2)延长GH交CD于点N,由平行线分线段成比例可得,且CH＝FH,可得GH＝HN,NC＝FG,即可求DG＝DN,由等腰三角形得性质可得DH⊥HG.【解答】解:(1)AG＝FG,理由如下:如图,过点F作FM⊥AB交BA得延长线于点M∵四边形ABCD就是正方形∴AB＝BC,∠B＝90°＝∠BAD∵FM⊥AB,∠MAD＝90°,FG⊥AD∴四边形AGFM就是矩形∴AG＝MF,AM＝FG,∵∠CEF＝90°,∴∠FEM+∠BEC＝90°,∠BEC+∠BCE＝90°∴∠FEM＝∠BCE,且∠M＝∠B＝90°,EF＝EC ∴△EFM≌△CEB(AAS)∴BE＝MF,ME＝BC∴ME＝AB＝BC∴BE＝MA＝MF∴AG＝FG,(2)DH⊥HG理由如下:如图,延长GH交CD于点N,∵FG⊥AD,CD⊥AD∴FG∥CD∴,且CH＝FH,∴GH＝HN,NC＝FG∴AG＝FG＝NC。

2019 年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（ 4分）在实数 |﹣ 3.14|，﹣ 3，﹣，π中，最小的数是（）A ．﹣B．﹣ 3C．|﹣ 3.14|D．π2．（ 4分）下列运算正确的是（）633428236224A ． a ÷a ＝ aB ． a ?a ＝ a C．（2a ）＝ 6a D．a +a ＝ a3．（ 4 分） 2018 年 12 月 8 日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约 200公里、远地点约42 万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A ． 4.2×109 米B ． 4.2×108米C．42× 107米D．4.2× 107米4．（ 4分）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A ．①②B ．②③C．②④D．③④5．（ 4 分）如图，直线11∥ 12，∠ 1＝ 30°，则∠ 2+∠ 3＝（）A ． 150°B ． 180°C．210°D．240°6．（ 4 分）某射击运动员在训练中射击了10 次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A ．众数是8B．中位数是8C．平均数是8.2D．方差是 1.27．（ 4 分）不等式组的解集是（）A ． x≤ 2B ． x≥﹣ 2C．﹣ 2＜ x≤ 2D．﹣ 2≤ x＜ 28．（4 分）如图，一艘船由 A 港沿北偏东65°方向航行30km 至 B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在 A 港北偏东20°方向，则A， C 两港之间的距离为（） km．A ． 30+30B ． 30+10C．10+30D．309．（ 4 分）如图，△ ABC是⊙ O 的内接三角形，∠ A＝ 119°，过点 C 的圆的切线交BO 于点P，则∠ P 的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°10．（ 4 分）一个盒子中装有标号为1，2， 3， 4，5 的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于 5 的概率为（）A ．B ．C．D．11．（ 4 分）如图，将⊙ O 沿弦AB 折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A ．πB ．πC．2πD．3π12．（4 分）如图，矩形ABCD中， AB＝ 4， AD ＝2， E 为AB 的中点， F 为EC上一动点，P 为DF中点，连接PB，则PB 的最小值是（）A ． 2B ． 4C．D．二、填空题（本大题共 6 小题，满分 24分，只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分）22＝ 0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是．13．（ 4 分）已知关于 x 的一元二次方程 x﹣（2k﹣ 1）x+k +314．（ 4 分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9 枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银 11 枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换 1 枚后，甲袋比乙袋轻了 13 两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重 y 两，根据题意可列方程组为．15．（4 分）如图，∠ AOB＝ 90°，∠ B＝ 30°，以点 O 为圆心， OA 为半径作弧交AB 于点 A、点 C，交 OB 于点 D，若 OA＝ 3，则阴影都分的面积为．16．（4 分）若二次函数22．y＝ x +bx﹣ 5 的对称轴为直线x＝ 2，则关于 x 的方程 x +bx﹣ 5＝ 2x﹣ 13 的解为17．（4 分）在平面直角坐标系中，直线 l ：y＝x+1与 y 轴交于点 A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形 C1A2B2C2，正方形 C2A3B3C3，正方形 C3A4B4C4，⋯⋯，点A1， A2， A3，A4，⋯⋯在直线l 上，点 C1， C2， C3， C4，⋯⋯在 x轴正半轴上，则前n 个正方形对角线长的和是．18．（ 4 分）如图，矩形恰好落到 CF 上的点ABCD 中， AB＝ 3，BC＝12，E为ADG 处，则折痕EF 的长是．中点，F为AB 上一点，将△AEF沿 EF折叠后，点A三、解答题（本大题共7 小题，满分78 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8 分）先化简，再求值：（ a﹣ 9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．20．（8 分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于 50 分），绘制了如下的统计图表（不完整）：组别分数人数第 1 组90＜ x≤ 1008第 2 组80＜ x≤ 90a第 3 组70＜ x≤ 8010第 4 组60＜ x≤ 70b第 5 组50＜ x≤ 603请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出 a， b 的值；（2）计算扇形统计图中“第 5 组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800 名学生，那么成绩高于80 分的共有多少人？21．（11 分）已知一次函数y＝kx+b 的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与 x 轴交于点B（ 5，0），若 OB＝ AB，且 S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点 P 为 x 轴上一点，△ ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标．22．（11 分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000 元购进A、 B粽子 1100 个，购买 A 种粽子与购买 B 种粽子的费用相同．已知 A 种粽子的单价是 B 种粽子单价的 1.2 倍．（1）求 A、 B 两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000 元的资金再次购进A、 B 两种粽子共2600 个，已知A、B 两种粽子的进价不变．求粽子最多能购进多少个？两种A 种23．（ 13 分）在矩形ABCD 中， AE⊥BD 于点 E，点 P 是边 AD 上一点．（1）若 BP 平分∠ ABD ，交 AE 于点 G， PF⊥ BD 于点 F ，如图①，证明四边形 AGFP 是菱形；（2）若 PE⊥ EC，如图②，求证： AE?AB＝ DE ?AP；（3）在（ 2）的条件下，若AB＝ 1，BC＝ 2，求 AP 的长．224．（ 13 分）若二次函数y＝ ax +bx+c 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于点A（ 3，0）、 B（ 0，﹣ 2），且过点C（ 2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点 P 为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝ 4，求点P 的坐标；（3）在抛物线上（AB 下方）是否存在点M，使∠ ABO＝∠ ABM ？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由．CEF ＝ 90°， FG ⊥ AD，25．（ 14 分）如图，四边形ABCD 是正方形，△EFC 是等腰直角三角形，点 E 在 AB 上，且∠垂足为点 C．（1）试判断 AG 与 FG 是否相等？并给出证明；（2）若点 H 为 CF 的中点， GH 与 DH 垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．2019 年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（ 4 分）在实数|﹣ 3.14|，﹣ 3，﹣， π中，最小的数是（）A ．﹣B ．﹣ 3C ．|﹣ 3.14|D ．π【分析】 根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反尔小．【解答】 解：∵ ||＝＜|﹣3|＝3∴﹣＜（﹣ 3）C 、D 项为正数， A 、 B 项为负数，正数大于负数，故选： B ．【点评】 此题主要考查利用绝对值来比较实数的大小，此题要掌握性质”两负数比较大小，绝对值大的反尔小，正数大于负数，负数的绝对值为正数“．2．（ 4 分）下列运算正确的是（）63 34 28236224A ． a ÷a ＝ aB ． a ?a ＝ aC ．（2a ） ＝ 6aD ．a +a ＝ a【分析】 直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】 解： A 、 a 6÷ a 3＝ a 3，故此选项正确；42 6B 、 a ?a ＝a ，故此选项错误；2 ） 36C 、（ 2a ＝ 8a ，故此选项错误；222D 、 a +a ＝ 2a ，故此选项错误； 故选： A ．【点评】 此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、 同底数幂的乘除运算， 正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（ 4 分） 2018 年 12 月 8 日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约 42 万公里的地月转移轨道，将数据42 万公里用科学记数法表示为（）A ． 4.2×10 9 米B ． 4.2×108米C ．42× 107米D ．4.2× 107米【分析】 科学记数法的表示形式为a × 10n的形式，其中 1≤|a|＜ 10， n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞ 1 时， n 是正数；当原数的绝对值＜1 时， n 是负数．【解答】 解： 42 万公里＝ 420000000m 用科学记数法表示为：4.2× 108米，故选：B．a× 10n的形式，其中1≤ |a|＜ 10， n 为整数，【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为表示时关键要正确确定 a 的值以及n 的值．4．（ 4 分）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出对称轴的条数，从而得解．【解答】解：① 是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；② 是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；③是轴对称图形且有 4 条对称轴，故本选项错误；④ 不是轴对称图形，故本选项错误．故选： A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（ 4 分）如图，直线11∥ 12，∠ 1＝ 30°，则∠ 2+∠ 3＝（）A ． 150°B ． 180°C．210°D．240°【分析】过点 E 作 EF ∥11，利用平行线的性质解答即可．【解答】解：过点 E 作 EF∥ 11，∵11∥ 12， EF∥ 11，∴EF ∥11∥ 12，∴∠ 1＝∠ AEF ＝ 30°，∠ FEC +∠ 3＝ 180°，∴∠ 2+ ∠ 3＝∠ AEF+∠FEC +∠ 3＝ 30° +180 °＝ 210°，故选： C．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．6．（ 4 分）某射击运动员在训练中射击了10 次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A ．众数是 8B．中位数是 8C．平均数是 8.2D．方差是 1.2【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．【解答】解：由图可得，数据8 出现 3 次，次数最多，所以众数为8，故 A 选项正确；10 次成绩排序后为：6， 7，7， 8， 8，8， 9， 9，10， 10，所以中位数是（ 8+8 ）＝ 8，故 B 选项正确；平均数为（ 6+7×2+8 × 3+9× 2+10 ×2）＝ 8.2，故 C 选项正确；方差为22222222 [（ 6﹣ 8.2） +（ 7﹣8.2）+（ 7﹣ 8.2） +（ 8﹣8.2） +（ 8﹣8.2） +（ 8﹣8.2）+（ 9﹣8.2） +（ 9﹣ 8.2） + 22（10﹣ 8.2） +（ 10﹣ 8.2） ]＝ 1.56，故 D 选项错误；故选： D．【点评】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．7．（ 4 分）不等式组的解集是（）A ． x≤ 2B ． x≥﹣ 2C．﹣ 2＜ x≤ 2D．﹣ 2≤ x＜ 2【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，由① 得， x≥﹣ 2，由② 得， x＜ 2，所以不等式组的解集是﹣2≤x＜ 2．故选： D．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．8．（4 分）如图，一艘船由 A 港沿北偏东65°方向航行30km 至 B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至在 A 港北偏东20°方向，则A， C 两港之间的距离为（）km．C港，C港A ． 30+30B ． 30+10C．10+30D．30【分析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣ 20°，∠ ACB＝ 40° +20°＝ 60°， AB＝ 30，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：根据题意得，∠CAB＝ 65°﹣ 20°，∠ ACB＝ 40°+20 °＝ 60°， AB＝ 30，过B 作 BE⊥AC 于 E，∴∠AEB＝∠ CEB＝ 90°，在 Rt △ ABE 中，∵∠ ABE＝ 45°， AB＝ 30，∴AE ＝BE＝AB ＝30km，在Rt △ CBE 中，∵∠ ACB＝ 60°，∴CE ＝BE＝ 10km，∴AC ＝AE+CE＝ 30+10，∴A， C 两港之间的距离为（30+10）km，故选： B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．9．（ 4 分）如图，△ ABC 是⊙ O 的内接三角形，∠ A＝ 119°，过点 C 的圆的切线交 BO 于点 P，则∠ P 的度数为（）A ． 32°B ． 31°C．29°D．61°【分析】连接 OC、CD，由切线的性质得出∠OCP ＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC ＝ 180°﹣∠A＝ 61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD ＝∠ ODC ＝ 61°，求出∠ DOC ＝ 58°，由直角三角形的性质即可得出结果．【解答】解：如图所示：连接OC、 CD ，∵PC 是⊙ O 的切线，∴PC ⊥OC，∴∠ OCP ＝90°，∵∠ A＝119°，∴∠ ODC ＝ 180°﹣∠ A＝61°，∵OC＝OD ，∴∠ OCD ＝∠ ODC ＝ 61°，∴∠ DOC ＝ 180°﹣ 2× 61°＝ 58°，∴∠ P＝ 90°﹣∠ DOC ＝ 32°；故选： A．【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．10．（ 4 分）一个盒子中装有标号为1，2， 3， 4，5 的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于 5 的概率为（）A．B．C．D．5 的情【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图如图所示：∵共有 25 种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于 5 的有 15 种结果，∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为＝；故选： C．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．11．（ 4 分）如图，将⊙ O 沿弦 AB 折叠，恰好经过圆心O，若⊙O 的半径为3，则的长为（）A ．πB ．πC．2πD．3π【分析】连接 OA、OB，作 OC⊥ AB 于 C，根据翻转变换的性质得到OC＝OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．【解答】解：连接 OA 、OB，作 OC⊥AB 于 C，由题意得， OC＝OA，∴∠ OAC ＝30°，∵OA＝ OB，∴∠ OBA ＝∠ OAC＝30°，∴∠ AOB ＝120°，∴的长＝＝2π，故选： C．【点评】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．12．（4 分）如图，矩形ABCD 中， AB＝ 4， AD ＝2， E 为 AB 的中点， F 为 EC 上一动点， P 为DF中点，连接PB，则PB 的最小值是（）A ． 2B ． 4C．D．【分析】根据中位线定理可得出点点P 的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP ⊥P1P2时，PB 取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥ P1P2，故BP 的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．【解答】解：如图：当点 F 与点 C 重合时，点P 在 P1处， CP1＝DP 1，当点 F 与点 E 重合时，点P 在 P2处， EP2＝ DP 2，∴P1P2∥CE 且 P1P2＝CE当点 F在EC上除点C、 E 的位置处时，有DP＝FP由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF∴点P 的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥ P1P2时， PB 取得最小值∵矩形 ABCD 中， AB ＝4， AD＝ 2，E 为 AB 的中点，∴△ CBE 、△ ADE 、△ BCP1为等腰直角三角形，CP1＝ 2∴∠ ADE ＝∠ CDE ＝∠ CP1B＝ 45°，∠ DEC＝ 90°∴∠ DP 2P1＝ 90°∴∠ DP 1P2＝ 45°∴∠ P2P1B＝ 90°，即 BP1⊥ P1P2，∴BP 的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中， CP1＝BC ＝ 2∴BP 1＝2∴PB 的最小值是 2故选： D．【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．二、填空题（本大题共 6 小题，满分 24分，只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分）13．（ 4分）已知关于x 的一元二次方程22k 的取值范围是x﹣（ 2k﹣ 1）x+k +3＝ 0 有两个不相等的实数根，则实数k．【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k﹣ 1）2﹣ 4（ k2+3）＞ 0，求出 k 的取值范围；【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝（ 2k﹣ 1）2﹣ 4（ k2+3）＝﹣ 4k+1﹣ 12＞0，解得 k；故答案为： k．【点评】本题考查了一元二次方程22﹣ 4ac有如下关系：①当△＞ 0时，方程有两ax +bx+c＝ 0（ a≠0）的根与△＝b个不相等的两个实数根；②当△＝ 0 时，方程有两个相等的两个实数根；③ 当△＜0时，方程无实数根．14．（ 4 分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9 枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银 11 枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换 1 枚后，甲袋比乙袋轻了13 两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为．【分析】根据题意可得等量关系：① 9 枚黄金的重量＝ 11 枚白银的重量；②（ 10 枚白银的重量 +1 枚黄金的重量）﹣（ 1 枚白银的重量 +8 枚黄金的重量）＝ 13 两，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设每枚黄金重 x 两，每枚白银重 y 两，由题意得：，故答案为：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．OB于点D，15．（4 分）如图，∠ AOB＝ 90°，∠ B＝ 30°，以点O 为圆心， OA 为半径作弧交AB 于点 A、点 C，交若 OA＝ 3，则阴影都分的面积为π．BD ，证明△AOC为等边【分析】连接 OC，作 CH⊥ OB 于 H，根据直角三角形的性质求出AB ，根据勾股定理求出三角形，得到∠AOC＝ 60°，∠ COB＝ 30°，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．【解答】解：连接 OC，作 CH⊥ OB 于 H ，∵∠ AOB ＝90°，∠ B＝ 30°，∴∠ OAB ＝60°， AB＝ 2OA＝ 6，由勾股定理得，OB＝＝3，∵OA＝ OC，∠ OAB＝ 60°，∴△ AOC 为等边三角形，∴∠ AOC ＝60°，∴∠ COB ＝30°，∴CO＝ CB， CH＝OC＝，∴阴影都分的面积＝﹣×3× 3×+× 3×﹣＝π，故答案为：π．【点评】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、三角形的面积公式是解题的关键．22的解为x1＝2，x2＝ 4 ．16．（4 分）若二次函数 y＝ x +bx﹣ 5 的对称轴为直线 x＝2，则关于 x 的方程 x +bx﹣ 5＝2x﹣ 13【分析】根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．2【解答】解：∵二次函数 y＝ x +bx﹣ 5 的对称轴为直线 x＝ 2，∴，得 b＝﹣ 4，22则 x +bx﹣ 5＝2x﹣ 13可化为： x ﹣ 4x﹣ 5＝ 2x﹣ 13，解得， x1＝ 2， x2＝ 4．故意答案为： x1＝ 2， x2＝4．【点评】本题主要考查的是抛物线与x 轴的交点，利用抛物线的对称性求得 b 的值是解题的关键．17．（4 分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形 C1A2B2C2，正方形 C2A3B3C3，正方形 C3A4B4C4，⋯⋯，点 A1， A2， A3，A4，⋯⋯在直线 l 上，点 C1， C2， C3， C4，⋯⋯在 x轴正半轴上，则前n 个正方形对角线长的和是（ 2n﹣1）．【分析】根据题意和函数图象可以求得点A1，A2，A3， A4的坐标，从而可以得到前n 个正方形对角线长的和，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，点A1的坐标为（ 0，1），点 A2的坐标为（ 1， 2），点 A3的坐标为（ 3， 4），点 A4的坐标为（ 7，8），⋯⋯，∴OA1＝ 1， C1A2＝ 2，C2A3＝ 4， C3A4＝ 8，⋯⋯，∴前 n 个正方形对角线长的和是：（ OA1+C1A2+C2A3+C3A4+⋯ +C n﹣1A n）＝（ 1+2+4+8+ ⋯ +2n ﹣1），设 S＝ 1+2+4+8+ ⋯ +2n ﹣1n﹣ 1n ，则 2S＝ 2+4+8+ ⋯ +2+2，则 2S ﹣ S ＝2n﹣ 1，∴S ＝ 2n﹣ 1，∴ 1+2+4+8+ ⋯ +2n ﹣ 1＝ 2n﹣ 1，∴前 n 个正方形对角线长的和是：×（ 2n﹣ 1），故答案为：（ 2n﹣1），【点评】 本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．（ 4 分）如图，矩形恰好落到 CF 上的点ABCD 中， AB ＝ 3，BC ＝12，E 为 ADG 处，则折痕 EF 的长是2．中点，F 为AB 上一点，将△AEF沿 EF折叠后，点A【分析】 连接 EC ，利用矩形的性质， 求出 EG ，DE∽△ EDC ，利用相似的性质即可求出EF 的长度．【解答】 解：如图，连接EC ，∵四边形 ABCD 为矩形，∴∠ A ＝∠ D ＝90°， BC ＝AD ＝ 12， DC ＝AB ＝3∵E 为 AD 中点，∴AE ＝DE ＝AD ＝6由翻折知，△ AEF ≌△ GEF ，的长度， 证明，EC 平分∠DCF ，再证∠FEC ＝ 90°，最后证△FEC∴AE ＝GE ＝ 6，∠ AEF ＝∠ GEF ，∠ EGF ＝∠ EAF ＝ 90°＝∠ D ，∴GE ＝ DE ，∴EC 平分∠ DCG ，∴∠ DCE ＝∠ GCE ，∵∠ GEC ＝90°﹣∠ GCE ，∠ DEC ＝ 90°﹣∠ DCE ，∴∠ GEC ＝∠ DEC ，∴∠ FEC ＝∠ FEG +∠GEC ＝× 180°＝ 90°，∴∠ FEC ＝∠ D ＝ 90°，又∵∠ DCE ＝∠ GCE ，∴△ FEC ∽△ EDC ，∴ ，∵EC ＝＝＝ 3，∴，∴F E＝2，故答案为： 2．【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接 CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．三、解答题（本大题共7 小题，满分78 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8 分）先化简，再求值：（ a﹣ 9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 a 的值代入计算可得．【解答】解：原式＝（+）÷（﹣）＝÷＝?＝，当 a＝时，原式＝＝1﹣2．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的运算能力．20．（8 分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50 分），绘制了如下的统计图表（不完整）：组别分数人数第 1 组90＜ x≤ 1008第 2 组80＜ x≤ 90a第 3 组70＜ x≤ 8010第 4 组60＜ x≤ 70b第 5 组50＜ x≤ 603请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出 a， b 的值；（2）计算扇形统计图中“第 5 组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800 名学生，那么成绩高于80 分的共有多少人？【分析】（ 1）抽取学生人数 10÷ 25%＝ 40（人），第 2 组人数 40× 50%﹣ 8＝ 12（人），第 4 组人数 40× 50%﹣ 10 ﹣3＝ 7（人），所以 a＝ 12，b＝ 7；（2）＝27°，所以“第 5 组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于 80 分： 1800×50%＝ 900（人），所以成绩高于 80 分的共有 900人．【解答】解：（ 1）抽取学生人数 10÷ 25%＝40（人），第 2 组人数 40× 50%﹣8＝ 12（人），第 4 组人数 40× 50%﹣10﹣ 3＝ 7（人），∴a＝ 12， b＝ 7；（2）＝27°，∴“第 5 组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于 80 分： 1800×50%＝ 900（人），∴成绩高于 80 分的共有 900 人．【点评】本题考查了统计图，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．21．（11 分）已知一次函数y＝kx+b 的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与 x 轴交于点B（ 5，0），若 OB＝ AB，且 S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点 P 为 x 轴上一点，△ ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标．【分析】（ 1）先求出OB，进而求出AD ，得出点 A 坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）分三种情况，① 当AB＝PB时，得出P B＝5，即可得出结论；②当 AB＝ AP 时，利用点P 与点 B 关于 AD 对称，得出DP ＝BD＝ 4，即可得出结论；③当PB＝AP 时，先表示出AP 【解答】解：（ 1）如图 1，过点∵B（ 5，0），2222，进而建立方程求解即可得出结论．＝（ 9﹣ a） +9 ，BP＝（ 5﹣ a）A 作 AD⊥ x 轴于 D，∴OB＝ 5，∵S△OAB＝，∴×5×AD＝，∴AD ＝ 3，∵OB＝ AB，∴AB ＝5，在 Rt △ ADB 中， BD＝＝4，∴OD ＝ OB+BD ＝9，∴A（ 9，3），将点 A 坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9× 3＝27，∴反比例函数的解析式为y＝，将点 A（ 9， 3）， B（ 5， 0）代入直线y＝ kx+b 中，，∴，∴直线 AB 的解析式为y＝x﹣；（2）由（ 1）知， AB＝ 5，∵△ ABP 是等腰三角形，∴①当 AB＝ PB 时，∴PB ＝5，∴P（ 0，0）或（ 10， 0），②当 AB＝ AP 时，如图2，由（ 1）知， BD ＝ 4，易知，点 P 与点 B 关于 AD 对称，∴DP ＝ BD＝ 4，∴OP＝ 5+4+4＝ 13，∴ P（ 13， 0），③当 PB＝ AP 时，设 P（ a， 0），∵A（ 9，3）， B（5， 0），2222，∴AP＝（ 9﹣ a） +9， BP＝（ 5﹣ a）∴（ 9﹣ a）2＝（ 5﹣ a）2 +9∴a＝，∴P（，0），即：满足条件的点 P 的坐标为（ 0， 0）或（ 10， 0）或（ 13， 0）或（， 0）．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．22．（11 分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000 元购进 A、 B 两种粽子 1100 个，购买 A 种粽子与购买 B 种粽子的费用相同．已知 A 种粽子的单价是 B 种粽子单价的 1.2 倍．（1）求 A、 B 两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过 7000 元的资金再次购进 A、 B 两种粽子共2600 个，已知 A、B 两种粽子的进价不变．求 A 种粽子最多能购进多少个？【分析】（ 1）设 B 种粽子单价为 x 元/ 个，则 A 种粽子单价为 1.2x 元 /个，根据数量＝总价÷单价结合用3000 元购进A、 B 两种粽子 1100 个，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进 A 种粽子 m 个，则购进 B 种粽子（ 2600﹣m）个，根据总价＝单价×数量结合总价不超过7000 元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（ 1）设 B 种粽子单价为x 元 /个，则 A 种粽子单价为 1.2x 元 /个，根据题意，得：+＝1100，解得： x＝ 2.5，经检验， x＝2.5 是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝ 3．答： A 种粽子单价为 3 元 /个， B 种粽子单价为 2.5 元 /个．（2）设购进 A 种粽子 m 个，则购进 B 种粽子（ 2600﹣ m）个，依题意，得： 3m+2.5（ 2600﹣ m）≤ 7000，解得： m≤ 1000 ．答： A 种粽子最多能购进1000 个．（ 1）找准等量关系，正确列出分【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：式方程；（ 2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（ 13 分）在矩形ABCD 中， AE⊥BD 于点 E，点 P 是边 AD 上一点．（1）若 BP 平分∠ ABD ，交 AE 于点 G， PF⊥ BD 于点 F ，如图①，证明四边形 AGFP 是菱形；（2）若 PE⊥ EC，如图②，求证： AE?AB＝ DE ?AP；（3）在（ 2）的条件下，若 AB＝ 1，BC＝ 2，求 AP 的长．【分析】（ 1）想办法证明AG＝ PF， AG∥PF，推出四边形AGFP是平行四边形，再证明PA＝ PF 即可解决问题．（2）证明△ AEP∽△ DEC，可得＝，由此即可解决问题．（3）利用（ 2）中结论．求出 DE ， AE 即可．【解答】（ 1）证明：如图①中，∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ BAD ＝90°，∵AE ⊥BD，∴∠ AED ＝90°，∴∠ BAE+∠ EAD＝ 90°，∠ EAD +∠ ADE ＝ 90°，∴∠ BAE＝∠ ADE，∵∠ AGP ＝∠ BAG+∠ ABG，∠ APD ＝∠ ADE+∠ PBD，∠ ABG ＝∠ PBD ，∴∠ AGP ＝∠ APG，∴AP ＝AG，∵P A⊥AB，PF⊥BD，BP 平分∠ABD ，∴PA＝ PF，∴PF ＝AG，∵A E ⊥BD，PF⊥BD，∴PF ∥AG，∴四边形 AGFP 是平行四边形，∵P A＝ PF ，∴四边形 AGFP 是菱形．（2）证明：如图② 中，∵AE ⊥BD， PE⊥ EC，∴∠ AED ＝∠ PEC＝ 90°，∴∠ AEP＝∠ DEC，∵∠ EAD +∠ADE ＝ 90°，∠ ADE +∠ CDE ＝90°，∴∠ EAP＝∠ EDC，∴△ AEP∽△ DEC，∴＝，∵AB ＝CD，∴AE ?AB＝DE ?AP；（3）解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴BC ＝AD＝ 2，∠ BAD ＝ 90°，∴BD＝＝，∵AE ⊥BD，∴S△ABD＝?BD?AE＝?AB?AD ，∴AE ＝，∴DE ＝＝，∵AE ?AB ＝DE ?AP ；∴AP ＝＝ ．【点评】 本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．224．（ 13 分）若二次函数 y ＝ ax +bx+c 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于点A （ 3，0）、B （ 0，﹣ 2），且过点C （ 2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点 P 为抛物线上第一象限内的点，且S △PBA ＝ 4，求点 P 的坐标；（3）在抛物线上（ AB 下方）是否存在点M ，使∠ ABO ＝∠ ABM ？若存在，求出点 M 到 y 轴的距离；若不存在，请说明理由．【分析】（ 1）用 A 、 B 、 C 三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式．（2）设点 P 横坐标为 t ，用 t 代入二次函数表达式得其纵坐标．把t 当常数求直线 BP 解析式，进而求直线 BP 与 x轴交点 C 坐标（用 t 表示），即能用 t 表示 AC 的长．把△ PBA 以 x 轴为界分成△ABC 与△ ACP ，即得到 S △ PBA ＝ AC（OB+PD ）＝ 4，用含 t 的式子代入即得到关于t 的方程，解之即求得点 P 坐标．（3）作点 O 关于直线AB 的对称点 E ，根据轴对称性质即有 AB 垂直平分 OE ，连接 BE 交抛物线于点M ，即有 BE＝OB ，根据等腰三角形三线合一得∠ABO ＝∠ ABM ，即在抛物线上（ AB 下方）存在点 M 使∠ ABO ＝∠ ABM ．设AB 与 OE 交于点 G ，则 G 为 OE 中点且 OG ⊥ AB ，利用△ OAB 面积即求得OG 进而得 OE 的长．易求得∠ OAB ＝∠BOG ，求∠ OAB 的正弦和余弦值，应用到Rt △OEF 即求得 OF 、 EF 的长，即得到点E 坐标．求直线 BE 解析式，把 BE 解析式与抛物线解析式联立，求得 x 的解一个为点 B 横坐标， 另一个即为点 M 横坐标， 即求出点 M 到 y 轴的距离．【解答】 解：（ 1）∵二次函数的图象经过点A （3， 0）、B （ 0，﹣ 2）、C （ 2，﹣ 2）∴解得：∴二次函数表达式为y ＝ x 2﹣ x ﹣ 2（2）如图 1，设直线BP 交 x 轴于点 C，过点 P 作 PD ⊥ x 轴于点 D设P（ t， t 2﹣ t﹣ 2）（ t＞ 3）∴OD ＝ t， PD ＝ t 2﹣ t﹣ 2设直线 BP 解析式为y＝ kx﹣2把点 P 代入得： kt﹣ 2＝t 2﹣t﹣ 2∴k＝ t﹣∴直线 BP： y＝（t﹣）x﹣2当 y＝ 0 时，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝∴C（，0）∵t＞ 3∴t﹣ 2＞ 1∴，即点 C 一定在点 A 左侧∴AC ＝3﹣∵S△＝ S△△ACP ＝ AC?OB+AC?PD ＝AC（ OB+PD）＝ 4PBA ABC+S∴＝ 4解得： t1＝ 4， t2＝﹣ 1（舍去）∴t 2﹣ t﹣ 2＝∴点 P 的坐标为（ 4，）（3）在抛物线上（AB 下方）存在点M，使∠ ABO＝∠ ABM．如图 2，作点 O 关于直线AB 的对称点 E，连接 OE 交 AB 于点 G，连接 BE 交抛物线于点M，过点 E 作 EF⊥ y 轴于点F∴AB 垂直平分 OE∴BE ＝OB， OG＝ GE∴∠ ABO ＝∠ ABM∵A（ 3，0）、 B（0，﹣ 2），∠ AOB＝ 90°∴OA＝ 3， OB＝ 2， AB＝∴sin ∠OAB＝，cos∠OAB＝∵S △AOB ＝ OA?OB ＝AB?OG∴OG ＝∴OE ＝ 2OG ＝∵∠ OAB +∠AOG ＝∠ AOG+∠BOG ＝ 90°∴∠ OAB ＝∠ BOG∴Rt △ OEF 中， sin ∠ BOG ＝ ， cos ∠ BOG ＝ ∴EF ＝ OE ＝， OF ＝OE ＝∴E （，﹣）设直线 BE 解析式为 y ＝ ex ﹣2把点 E 代入得：e ﹣ 2＝﹣ ，解得： e ＝﹣∴直线 BE ： y ＝﹣x ﹣ 2当﹣ x ﹣2＝x 2﹣ x ﹣ 2，解得： x 1＝ 0（舍去）， x 2＝∴点 M 横坐标为，即点 M 到 y 轴的距离为．【点评】 本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，等腰三角形性质，三角函数的应用．第（3）题点的存在性问题，可先通过画图确定满足∠ ABO ＝∠ ABM 的点 M 位置，通过相似三角形对应边成比例或三角函数为等量关系求线段的长．25．（ 14 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，△ EFC 是等腰直角三角形，点E 在 AB 上，且∠ CEF ＝ 90°， FG ⊥ AD ，垂足为点 C ．（1）试判断 AG 与 FG 是否相等？并给出证明；（2）若点 H 为 CF 的中点， GH 与 DH 垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．【分析】（ 1）过点 F 作 FM ⊥AB 交 BA 的延长线于点M，可证四边形“AAS”可证△ EFM ≌△ CEB ，可得 BE ＝MF ， ME＝ BC＝ AB，可得（2）延长 GH 交 CD 于点 N，由平行线分线段成比例可得即可求 DG＝ DN，由等腰三角形的性质可得DH ⊥ HG ．【解答】解：（ 1） AG＝FG，理由如下：如图，过点 F 作 FM ⊥AB 交 BA 的延长线于点MAGFM 是矩形，可得AG＝ MF ， AM＝ FG，由BE＝ MA＝ MF ＝AG ＝FG ；，且 CH ＝ FH ，可得 GH ＝ HN ， NC＝FG，∵四边形 ABCD 是正方形∴AB ＝BC，∠ B＝90°＝∠ BAD∵FM ⊥ AB，∠ MAD ＝ 90°， FG⊥ AD∴四边形 AGFM 是矩形∴AG＝ MF ， AM＝ FG ，∵∠ CEF ＝ 90°，∴∠ FEM +∠ BEC ＝ 90°，∠ BEC+∠ BCE ＝ 90°∴∠ FEM ＝∠ BCE，且∠ M＝∠ B＝ 90°， EF ＝EC ∴△ EFM ≌△ CEB（AAS）∴BE ＝MF ， ME＝BC∴ME ＝ AB＝ BC∴BE ＝MA＝ MF∴AG＝ FG，（2） DH ⊥HG。