人教版数学中考复习训练专题六 几何图形中的分类讨论 附答案

2024-2025学年人教版七年级数学上册《第6章几何图形初步》单元同步练习题（附答案）一．选择题1．在一个棱柱中，一共有八个面，则这个棱柱棱的条数有（）A．18条B．15条C．12条D．21条2．下列立体图形中，从正面看，看到的图形是三角形的是（）A．B．C．D．3．如图，点B、C、D在同一条直线上，则下列说法正确的是（）A．射线BD和射线DB是同一条射线B．直线BC和直线CD是同一条直线C．图中只有4条线段D．图中有4条直线4．下列语句正确的是（）A．延长线段AB到C，使BC＝ACB．反向延长线段AB，得到射线BAC．取直线AB的中点D．连接A、B两点，并使直线AB经过C点5．平面上有任意三点A、B、C，经过其中两点共可以画出直线的条数是（）A．1条B．3条C．1条或3条D．无数条6．如图，将书页一角斜折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕，BD平分∠A′BE，则∠CBD等于多少度（）A．70°B．80°C．90°D．100°7．如图，线段AB＝10cm，点C为线段AB上一点，BC＝3cm，点D，E分别为AC和AB 的中点，则线段DE的长为（）A．0.5B．1C．1.5D．28．小颖在研究无盖的正方体盒子的展开图时，画出下面4个展开图，其中符合要求的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题9．正方体有个面，有条棱．10．圆柱的侧面展开图是一个，圆锥的侧面展开图是一个，棱柱的侧面展开图是一个．11．如图，该图中不同的线段共有条．12．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成的，如图分别是从它的左面，上面看到的平面图形，则组成这个几何体的小立方块最多有个．13．在直线l上有A、B、C三点，AB＝8cm，BC＝3cm，则AC的长为．14．如图，点O是直线AD上一点，射线OC、OE分别是∠AOB，∠BOD的平分线，若∠AOC＝28°，则∠COD＝，∠BOE＝．三．解答题15．如图，已知同一平面内的四个点A、B、C、D，根据下列语句画出图形：（1）画直线AD；（2）画射线AB；（3）连接AC，在线段AC上找一点P，使它到点B、点D的距离的和PB+PD最小．16．（1）如图，在无阴影的方格中选出两个画上阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起可以构成一正方体的表面展开图．（填出两种答案）（2）如图所示的几何体是由5个相同的正方体搭成的，请分别画出这个几何体的三视图．17．如图，点P是线段AB上的一点，点M、N分别是线段AP、PB的中点．（1）如图1，若点P是线段AB的中点，且MP＝4cm，则线段AB的长cm；（2）如图2，若点P是线段AB上的任一点，且AB＝12cm，求线段MN的长；（3）小明由（1）（2）猜想到，若点P是直线AB上的任意一点，且AB＝12cm，线段MN的长与（2）中结果一样，你同意他的猜想吗？说明你的理由．18．如图，直线AB、CD交于O点，且∠BOC＝80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线．（1）求∠2和∠3的度数；（2）OF平分∠AOD吗？为什么？19．已知，线段AB＝16，M是线段AB的中点，P是线段AB上任意一点，N是线段PB的中点．（1）当P是线段AM的中点时，求线段NB的长；（2）当线段MP＝2时，求线段NB的长．（3）若点P在线段BA的延长线上，求线段PA与线段MN的数量关系．20．如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起．【计算与观察】（1）若∠DCE＝35°，则∠BCA＝；若∠ACB＝150°，则∠DCE＝；【猜想与证明】（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由．【拓展与运用】（3）若∠DCE：∠ACB＝2：7，求∠DCE的度数．参考答案一．选择题1．解：一个棱柱中，一共有八个面，则有2个底面，6个侧面，因此此立体图形是六棱柱，则这个棱柱棱的条数有18条．故选：A．2．解：A．圆锥从正面看到的形状为等腰三角形，符合题意；B．正方体从正面看到的形状为正方形，不符合题意；C．圆柱从正面看到的形状为矩形，不符合题意；D．长方体的主视图是矩形，不合题意；故选：A．3．解：A、射线BD和射线DB不是同一条射线，错误；B、直线BC和直线CD是同一条直线，正确；C、图中只有6条线段，错误；D、图中2条直线，错误；故选：B．4．解：A、延长线段AB到C，使BC＝AC，不可以做到，故本选项错误；B、反向延长线段AB，得到射线BA，故本选项正确；C、取直线AB的中点，错误，直线没有中点，故本选项错误；D、连接A、B两点，并使直线AB经过C点，若A、B、C三点不共线则做不到，故本选项错误．故选：B．5．解：当三点在同一直线上时，只能作出一条直线；三点不在同一直线上时，每两点可作一条，共3条；平面上有任意三点A、B、C，经过其中两点共可以画出直线的条数是1条或3条．故选：C．6．解：由翻折的性质得，∠ABC＝∠A′BC，∵BD平分∠A′BE，∴∠A′BD＝∠EBD，∵∠ABC+∠A′BC+∠A′BD+∠EBD＝180°，∴∠A′BC+∠A′BD＝90°，即∠CBD＝90°．故选：C．7．解：由线段的和差，得AC＝AB﹣BC＝10﹣3＝7cm，由点D是AC的中点，所以AD＝AC＝×7＝3.5cm；由点E是AB的中点，得AE＝AB＝×10＝5cm，由线段的和差，得DE＝AE﹣AD＝5﹣3.5＝1.5cm．故选：C．8．解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，第1个、第2个和第3个图形可以拼成一个无盖正方体；而第4个图形不能折成正方体，故不是正方体的展开图．∴符合要求的共有3个，故选：C．二．填空题9．解：正方体，它有6个面，有8条棱．故答案为：6，8．10．解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一个扇形，棱柱的侧面展开图是一个矩形．11．解：从点C到B，D，E，A有4条线段；同一直线上的B，D，E，A四点之间有×4×3＝6条；所以共10条线段．12．解：根据俯视图发现最底层由3个小立方块，从左视图发现第二层最多有2个小立方块，故最多有3+2＝5个小立方块，故答案为：5．13．解：当A、B、C的位置如图1所示时，∵AB＝8cm，BC＝3cm，∴BC＝AB﹣BC＝5（cm）；当A、B、C的位置如图2所示时，BC＝AB+BC＝8+3＝11（cm）．故答案为：5cm或11cm．14．解：∵∠AOC+∠COD＝180°，∠AOC＝28°，∴∠COD＝152°；∵OC是∠AOB的平分线，∠AOC＝28°，∴∠AOB＝2∠AOC＝2×28°＝56°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣56°＝124°，∵OE是∠BOD的平分线，∴∠BOE＝∠BOD＝×124°＝62°．故答案为：152°、62°．三．解答题15．解：（1）如图，AD为所作；（2）如图，AB为所作；（3）如图，点P为所作．16．解：如图所示：（答案不唯一）．（2）如图所示：17．解：（1）∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，∴AP＝2MP，BP＝2PN，∵MP＝4cm，∴AP＝8cm，∵P为AB的中点，∴AB＝2AP＝16cm，故答案为16；（2）∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，∴AP＝2MP，BP＝2PN，∴AP+BP＝2MP+2PN＝2MN，即AB＝2MN，∵AB＝12cm，∴MN＝6cm；（3）同意．理由：当P点在线段AB延长线上时，∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，∴AP＝2MP，BP＝2PN，∴AP﹣BP＝2MP﹣2PN＝2MN，即AB＝2MN，∵AB＝12cm，∴MN＝6cm；当P点在线段BA延长线上时，∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，∴AP＝2MP，BP＝2PN，∴BP﹣AP＝2PN﹣2MP＝2MN，即AB＝2MN，∵AB＝12cm，∴MN＝6cm．18．解：（1）∵∠BOC+∠2＝180°，∠BOC＝80°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°；∵OE是∠BOC的角平分线，∴∠1＝40°．∵∠1+∠2+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣40°﹣100°＝40°．（2）平分理由：∵∠2+∠3+∠AOF＝180°，∴∠AOF＝180°﹣∠2﹣∠3＝180°﹣100°﹣40°＝40°．∴∠AOF＝∠3＝40°，∴OF平分∠AOD．19．解：（1）如图：∵M是线段AB的中点，AB＝16，∴AM＝AB＝8，∵P是线段AM中点，∴AP＝AM＝4，∴PB＝AB﹣AP＝16﹣4＝12，∵N是线段PB的中点，∴NB＝PB＝×12＝6．（2）∵MP＝2，∴点P在M的左边或右边，当点P在M的左边时，由（1）知MB＝8，∵MP＝2，∴PB＝10，∵N是PB中点，∴NB＝10÷2＝5，当点P在M的右边时，∴PB＝6，∴NB＝3，∴NB值为5或3．（3）如图：∵MN＝NB﹣MB＝PB﹣8＝（PB﹣16），AP＝PB﹣AB＝PB﹣16，∴AP＝2MN．20．解：（1）①∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，∴∠ACE＝90°﹣∠DCE＝55°，∴∠BCA＝∠ACE+∠BCE＝145°，∴∠BCA＝145°；②∵∠ACB＝150°，∠ACD＝∠ECB＝90°，∴∠ACE＝∠DCB＝150°﹣90°＝60°，∴∠DCE＝90°﹣60°＝30°．故答案为：145°，30°；（2）猜想得：∠ACB+∠DCE＝180°（或∠ACB与∠DCE互补）．理由：∵∠ECB＝90°，∠ACD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB，∴∠ACB+∠DCE＝180°．（3）∵∠ACB+∠DCE＝180°，∠DCE：∠ACB＝2：7，∴∠DCE+∠DCE＝180°，解得∠DCE＝40°．。

C．根据平行线的性质可知：∠1=∠2，本选项不符合题意．
D、根据等角的余角相等，可知∠1=∠2，本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的性质对顶角的性质，等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（ ）
【答案】C
【解析】
分析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
详解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“时”相对的字是“奋”；
“代”相对的字是“新”；
“去”相对的字是“斗”．
故选C．
点睛：本题主要考查了正方体的平面展开图，解题的关键是掌握立方体的11种展开图的特征．
17．如图是正方体的表面展开图，请问展开前与“我”字相对的面上的字是（）
A．是B．好C．朋D．友
【答案】A
【解析】
【分析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“我”与“是”是相对面，
“们”与“朋”是相对面，
【详解】
解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，
∴AB=2dm，BC=BC′=2dm，
∴AC2=22+22=4+4=8，
∴AC=2 dm，
∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4 dm．
故选D．
【点睛】
本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．

“分类讨论”专题练习1.已知AB 是圆的直径，AC 是弦，AB ＝2，AC ＝2，弦AD ＝1，则∠CAD ＝ ．2. 若(x 2－x －1)x ＋2＝1，则x ＝___________．3. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．4.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（ ） A.2a b+ B.2a b- C.2a b +或2a b- D. a+b 或a-b5.同一平面上的四个点，过每两点画一直线，则直线的条数是（ ） A.1 B.4 C.6 D.1或4或66. 若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则A ．5或－1B ．－5或1C ．5或1D ．－5或－1 7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点（1，2）.（1）若a ＝1，抛物线顶点为A ，它与x 轴交于两点B 、C ，且△ABC 为等边三角形，求b 的值.（2）若abc ＝4，且a ≥b ≥c ，求|a |＋|b |＋|c |的最小值.8．长宽都为整数的矩形，可以分成边长都为整数的小正方形。

例如一个边长2⨯4的矩形：可以分成三种情况： （1）（2）一个长宽为3⨯6的矩形，可以怎样分成小正方形，请画出你的不同分法。

9.已知(1)A m -，与(2B m +，是反比例函数ky x=图象上的两个点． （1）求k 的值；（2）若点(10)C -，，则在反比例函数ky x=图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．分成两个正方形，面积分别为4，4分成8个正方形，面积每个都是1分成5个正方形，1个面积为4，4个面积是110.如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A C ，在坐标轴上，60cm OA =，80cm OC =．动点P 从点O 出发，以5cm/s 的速度沿x 轴匀速向点C 运动，到达点C 即停止．设点P 运动的时间为s t ． （1）过点P 作对角线OB 的垂线，垂足为点T ．求PT 的长y 与时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（2）在点P 运动过程中，当点O 关于直线AP 的对称点O '恰好落在对角线OB 上时，求此时直线AP 的函数解析式； （3）探索：以A P T ，，三点为顶点的APT △的面积能否达到矩形OABC 面积的14？请说明理由．答案：1. 15°或105°2. 2、－1、0、－23. 腰长6底边9或腰长8底边54.C5.D6.C7. 解：⑴由题意，a ＋b ＋c ＝2， ∵a ＝1，∴b ＋c ＝1 抛物线顶点为A （－b 2，c －b 24）设B （x 1，0），C （x 2，0），∵x 1＋x 2＝－b ，x 1x 2＝c ，△＝b 2－4c ＞0 ∴|BC|＝| x 1－x 2|＝| x 1－x 2|2＝（x 1＋x 2）2－4 x 1x 2＝b 2－4c ∵△ABC 为等边三角形，∴b 24 －c ＝ 32b 2－4c即b 2－4c ＝23·b 2－4c ，∵b 2－4c ＞0，∴b 2－4c ＝2 3∵c ＝1－b ， ∴b 2＋4b －16＝0， b ＝－2±2 5 所求b 值为－2±2 5⑵∵a ≥b ≥c ，若a ＜0，则b ＜0，c ＜0，a ＋b ＋c ＜0，与a ＋b ＋c ＝2矛盾. ∴a ＞0． ∵b ＋c ＝2－a ，bc ＝4a∴b 、c 是一元二次方程x 2－(2－a )x ＋4a ＝0的两实根．∴△＝（2－a ）2－4×4a≥0，∴a 3－4a 2＋4a －16≥0， 即（a 2＋4）(a －4)≥0，故a ≥4. ∵abc ＞0，∴a 、b 、c 为全大于０或一正二负．①若a 、b 、c 均大于0，∵a ≥4，与a ＋b ＋c ＝2矛盾； ②若a 、b 、c 为一正二负，则a ＞0，b ＜0，c ＜0, 则|a |＋|b |＋|c |＝a －b －c ＝a －(2－a )＝2a －2， ∵ a ≥4，故2a －2≥6当a ＝4，b ＝c ＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立． 故|a |＋|b |＋|c |的最小值为6． 8.分7种情况画图9.解：（1）由()332)1(+⋅=⋅-m m ，得m =-，因此k =（2）如图1，作BE x ⊥轴，E 为垂足，则3CE =，BE =，BC =因此30BCE =∠．由于点C 与点A 的横坐标相同，因此CA x ⊥轴，从而120ACB =∠． 当AC 为底时，由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B ，故不符题意．当BC 为底时，过点A 作BC 的平行线，交双曲线于点D ， 过点A D ，分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F ．由于30DAF =∠，设11(0)DF m m =>，则1AF ，12AD m =，由点(1A --，，得点11(1)D m --，．因此()()32323111=+-+-m m ，解之得1m =10m =舍去），因此点6D ⎛ ⎝⎭．此时的长度不等，故四边形ADBC 是梯形．如图2，当AB 为底时，过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D ． 由于AC BC =，因此30CAB =∠，从而150ACD =∠．作DH x ⊥轴，H 为垂足， 则60DCH =∠，设22(0)CH mm =>，则2DH =，由点(10)C -，，得点22(1)D m -+， 因此()323122=⋅+-m m ．解之得22m =（21m =-舍去），因此点(1D ． 此时4CD =，与AB 的长度不相等，故四边形ABDC 是梯形．如图3，当过点C 作AB 同理可得，点(2D --，，四边形ABCD 是梯形． 综上所述，函数y x=图象上存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形，点D 的坐标为：6D ⎛ ⎝⎭或(1D 或(2D --，． 图1图2 图310.解：（1）在矩形OABC 中，60OA =，80OC =，100OB AC ∴===PT OB ⊥，Rt Rt OPT OBC ∴△∽△． PT OP BC OB ∴=，即560100PT t=，3y PT t ∴== 当点P 运动到C 点时即停止运动，此时t 的最大值为80165=．所以，t 的取值范围是016t ≤≤．（2）当O 点关于直线AP 的对称点O '恰好在对角线OB 上时，A T P ，，三点应在一条直线上（如答图2）．AP OB ∴⊥，12∠=∠． Rt Rt AOP OCB ∴△∽△，OP AOCB OC∴=． 45OP ∴=．∴点P 的坐标为(450)，设直线AP 的函数解析式为y kx b =+．将点(060)A ，和点(450)P ，代入解析式，得60045.a b k b =+⎧⎨=+⎩，解这个方程组，得4360.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴此时直线AP 的函数解析式是4603y x =-+．（3）由（2）知，当4595t ==时，A T P ，，三点在一条直线上，此时点A T P ，， 不构成三角形．故分两种情况：（i ）当09t <<时，点T 位于AOP △的内部（如答图3）．过A 点作AE OB ⊥，垂足为点E ，由AO AB OB AE =可得48AE =．APT AOP ATO OTP S S S S ∴=--△△△△211160544843654222t t t t t t =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=-+． 若14APT OABC S S =△矩形，则应有26541200t t -+=，即292000t t -+=．此时，2(9)412000--⨯⨯<，所以该方程无实数根．所以，当09t <<时，以A P T ，，为顶点的APT △的面积不能达到矩形OABC 面积的14．（答图2）（答图1）（ii ）当916t <≤时，点T 位于AOP △的外部．（如答图4）此时2654APT ATO OTP AOP S S S S t t =+-=-△△△△．若14APT OABC S S =△矩形，则应有26541200t t -=，即292000t t --=．解这个方程，得192t +=，2902t -=<（舍去）．由于288162525>=，991722t +∴=>=．而此时916t <≤，所以92t +=也不符合题意，故舍去． 所以，当916t <≤时，以A P T ，，为顶点的APT △的面积也不能达到矩形OABC 面积的14． 综上所述，以A P T ，，为顶点的APT △的面积不能达到矩形OABC 面积的14．。

二轮复习--分类讨论Ⅰ、专题精讲:在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分类按一个标准；(3)分类讨论应逐级进行．Ⅱ、典型例题剖析【例1】(南充，11分)如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．解:由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A (0，－1)，B (－2，0)，D (－4，0)．设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ．点A ，B 在一次函数图象上，∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k 则一次函数解析式是 .121--=x y点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C (－4，1)． 设反比例函数解析式为m y x=． 点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4．故反比例函数解析式是:x y 4-=．点拨:解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。

【例2】(武汉实验，12分)如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为(－4，0)，以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。

以点O 2(13，5)为圆心的圆与x 轴相切于点D.(1)求直线l 的解析式；(2)将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度；(3)将⊙O 2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x 轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。