高考数学人教A版(理)一轮复习：第二篇 第5讲 对数与对数函数

第二章函数第5讲对数与对数函数课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数（a ＞0，且a ≠1）.对数的运算2022浙江T7；2022天津T6；2021天津T7；2020全国卷ⅠT8该讲命题热点为对数运算、对数函数的图象与性质的判断及应用，常与指数函数综合考查，且难度有上升趋势.在2025年备考过程中要熟练掌握对数的运算性质和换底公式；学会构造新函数，结合单调性比较大小；注意对函数图象的应用，注意区分对数函数图象和指数函数图象.对数函数的图象及应用2019浙江T6对数函数的性质及应用2021新高考卷ⅡT7；2021全国卷乙T12；2020全国卷ⅠT12；2020全国卷ⅡT11；2020全国卷ⅢT12；2019全国卷ⅠT3学生用书P0341.对数与对数运算（1）对数的概念一般地，如果a x ＝N （a ＞0，且a ≠1），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作①x ＝log a N，其中a 叫做对数的②底数，N 叫做③真数.以10为底的对数叫做常用对数，记作④lg N；以e 为底的对数叫做自然对数，记作⑤ln N .（2）对数的性质、运算性质及换底公式性质log a 1＝⑥0，log a a ＝⑦1，l ＝⑧N （N ＞0），其中a ＞0，且a ≠1.运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：（1）log a （M ·N ）＝⑨log a M ＋log a N；（2）log a＝⑩log a M －log a N ；（3）log aMn ＝⑪n log a M，log a a n ＝⑫n（n ∈R ）.换底公式log a b ＝⑬log log（a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0）.推论：（1）log a b ·log b a ＝⑭1；（2）lo b n ＝log a b ；（3）log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .2.对数函数的图象和性质函数y ＝log a x （a ＞1）y ＝log a x （0＜a ＜1）图象性质定义域：⑮（0，＋∞）.值域：⑯R.图象过定点⑰（1，0），即恒有log a 1＝0.当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0.当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞0.在（0，＋∞）上单调递⑱增.在（0，＋∞）上单调递⑲减.规律总结1.对数函数y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a ，1），（1，－1），函数图象只在第一、四象限.2.如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右对数函数的底数逐渐增大.注意当对数函数的底数a 的大小不确定时，需分a ＞1和0＜a ＜1两种情况进行讨论.3.反函数指数函数y ＝a x （a ＞0，且a ≠1）与对数函数y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1）互为反函数，它们的图象关于直线⑳y ＝x对称（如图所示）.反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域，互为反函数的两个函数具有相同的单调性、奇偶性.1.[全国卷Ⅰ]设a log34＝2，则4－a＝（B）A.116B.19C.18D.16解析解法一因为a log34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝14＝19，故选B.解法二因为a log34＝2，所以a＝2log34＝log39log34＝log49，所以4a＝9，所以4－a＝14＝19，故选B.2.[多选]以下说法正确的是（CD）A.若MN＞0，则log a（MN）＝log a M＋log a NB.对数函数y＝log a x（a＞0且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数C.函数y＝ln1+1－与y＝ln（1＋x）－ln（1－x）的定义域相同D.对数函数y＝log a x（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，0）且过点（a，1）,（1，－1），函数图象只在第一、四象限3.lg25＋lg2·lg50＋（lg2）2＝2.4.若log a34＜1（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围是（0，34）∪（1，＋∞）.5.设log a2＝m，log a3＝n，则a2m＋n的值为12.6.[2023北京高考]已知函数f（x）＝4x＋log2x，则f（12）＝1.解析因为f（x）＝4x＋log2x，所以f（12）＝412log212＝2＋log22－1＝2－1＝1.学生用书P035命题点1对数的运算例1（1）[2022天津高考]化简（2log43＋log83）（log32＋log92）的值为（B）A.1B.2C.4D.6解析（2log43＋log83）（log32＋log92）＝（2lo g223＋log233）×（log32＋log322）＝（log23＋13log23）（log32＋12log32）＝43×log23×32×log32＝2，故选B.（2）[2022浙江高考]已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝（C）A.25B.5C.259D.53解析由2a＝5得a＝log25.又b＝log83＝log23log28＝13log23，所以a－3b＝log25－log23＝log253＝log453log42＝2log453＝log4259，所以4a－3b＝4log4259＝25 9，故选C.方法技巧对数运算的一般思路（1）转化：①利用a b＝N⇔b＝log a N（a＞0且a≠1）对题目条件进行转化；②利用换底公式化为同底数的对数运算.（2）利用恒等式：log a1＝0，log a a＝1，log a a N＝N，log＝M.（3）拆分：将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算性质化简.（4）合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数的运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算.训练1（1）[2024江苏省如皋市教学质量调研]我们知道，任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此时lg N＝n＋lg a（0≤lg a＜1）.当n＞0时，N是n＋1位数，则41000是（C）位数.（lg2≈0.3010）A.601B.602C.603D.604解析由lg41000＝lg22000＝2000lg2≈2000×0.3010＝602＝602＋lg1，得n＝602，所以41000是603位数.故选C.（2）[2024山东泰安第二中学模拟]（2＋1027）－23＋2log32－log349－5log259＝－716.解析原式＝[（43）3]－23＋log34－log349－5log53＝（43）－2＋log39－3＝916＋2－3＝－716.命题点2对数函数的图象及应用例2（1）[浙江高考]在同一直角坐标系中，函数y＝1，y＝log a（x＋12）（a＞0，且a≠1）的图象可能是（D）A BC D解析若0＜a ＜1，则函数y ＝1是增函数，y ＝log a （x ＋12）是减函数且其图象过点（12，0），结合选项可知，选项D 可能成立；若a ＞1，则y ＝1是减函数，而y ＝log a （x ＋12）是增函数且其图象过点（12，0），结合选项可知，没有符合的图象.故选D.（2）已知当0＜x ≤14时，有＜log a x ，则实数a 的取值范围为（116，1）.解析若＜log a x 在x ∈（0，14]时成立，则0＜a ＜1，且y ＝的图象在y ＝log a x 图象的下方，作出y ＝，y ＝log a x 的图象如图所示.＜log a 14，所以0<<1，12＞14，解得116＜a ＜1.故实数a 的取值范围是（116，1）.方法技巧与对数函数有关的图象问题的求解策略1.对于图象的识别，一般通过观察图象的变化趋势、利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项.2.对于对数型函数的图象，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.训练2（1）[多选/2024辽宁省部分学校模拟]已知a x ＝b －x （a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1），则函数y ＝log a （－x ）与y ＝b x 的图象可能是（AB）解析因为a x ＝b －x ，即a x ＝（1）x ，所以a ＝1，当a ＞1时，0＜b ＜1，函数y ＝b x 在R 上单调递减，且过点（0，1），因为y ＝log a x 与y ＝log a （－x ）的图象关于y 轴对称，故y ＝log a （－x ）在（－∞，0）上单调递减且过点（－1，0），故A 符合题意.当0＜a ＜1时，b ＞1，函数y ＝b x 在R 上单调递增，且过点（0，1），y ＝log a （－x ）在（－∞，0）上单调递增且过点（－1，0），故B 符合题意.故选AB.（2）[2024安徽省皖江名校联考]已知函数f （x ）＝｜log 3｜｜｜,≠0，0，=0，设a ，b ，c ，d是四个互不相同的实数，且满足f （a ）＝f （b ）＝f （c ）＝f （d ），则｜a ｜＋｜b ｜＋｜c ｜＋｜d ｜的取值范围是（4，＋∞）.解析作出函数f（x）的图象，如图所示，易知f（x）图象关于y轴对称.设f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝m（m＞0），且a＞b＞c＞d，作直线y＝m，则由图象得0＜b＜1＜a，则由题意知，log3a＝－log3b，且a＝－d，b＝－c，所以ab＝1，即b＝1，则｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜＝2（a＋b）＝2（a＋1）＞4，所以｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜的取值范围是（4，＋∞）.命题点3对数函数的性质及应用角度1比较大小例3（1）[2021新高考卷Ⅱ]若a＝log52，b＝log83，c＝12，则（C）A.c＜b＜aB.b＜a＜cC.a＜c＜bD.a＜b＜c解析a＝log52＝log54＜log55＝12＝c，b＝log83＝log89＞log88＝12＝c，所以a＜c＜b.故选C.（2）[2024天津市蓟州区第一中学模拟]已知函数f（x）在R上是增函数，若a＝f（log215），b＝f（log24.1），c＝f（20.5），则a，b，c的大小关系为（A）A.a＜c＜bB.b＜a＜cC.c＜b＜aD.c＜a＜b解析log215＝－log25＜－log24＝－2，log24.1＞log24＝2，20.5＝2∈（1，2），故log215＜20.5＜log24.1.由于f（x）在R上是增函数，故f（log215）＜f（20.5）＜f（log24.1），所以a＜c＜b.故选A.方法技巧比较对数值大小的常用方法1.底数相同时，比较真数的大小；真数相同时，利用换底公式转化为底数相同的形式，再比较大小，也可以借助对数函数的图象比较大小.2.当底数和真数都不相同时，常借助0，1或题干中出现的有理数等中间量比较大小，也可以通过作差或者作商比较大小.角度2解对数方程或不等式例4（1）[2024湘豫名校联考]已知函数f（x）＝log2｜x｜＋x2，则不等式f（ln x）＋f（－ln x）＜2的解集为（D）A.（1e，1）B.（1e，e）C.（1，e）D.（1e，1）∪（1，e）解析由题可知函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），∴ln x≠0.∵f（－x）＝log2｜－x｜＋（－x）2＝log2｜x｜＋x2＝f（x），∴f（x）是偶函数，∴由f（ln x）＋f（－ln x）＜2可得2f（ln x）＜2，即f（ln x）＜1.当x＞0时，f（x）＝log2x＋x2.∵y＝log2x和y＝x2在（0，＋∞）上都是单调递增的，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增，又f（1）＝1，∴｜ln x｜＜1且ln x≠0，∴1e＜x＜e且x≠1，所以原不等式的解集为（1e，1）∪（1，e）.故选D.（2）[2024江苏省淮安市五校联考]已知x＝4log6－9log6，y＝9log4＋6log4，则的值为（B）2 B.2C.5＋1D.5－1解析令log6x＝m，log4y＝n，则x＝6m，y＝4n.由x＝4log6－9log6，y＝9log4＋6log4可得6m＝4m－9m，4n＝9n＋6n，进而可得（32）m＝1－（32）2m，故（32）m＋（32）2m＝1，同理得（32）2n＋（32）n＝1，所以（32）m与（32）n均为方程t2＋t－1＝0的实数根，由t2＋t－1＝0，解得t t因为（32）m＞0，（32）n＞0，所以（32）m＝（32）n由于函数y＝（32）x为增函数，所以m＝n，＝64＝（32）m＝－1+52，故选B.方法技巧1.（1）log a f（x）＝b⇔f（x）＝a b（a＞0，且a≠1）.（2）log a f（x）＝log a g（x）⇔f（x）＝g（x）（f（x）＞0，g（x）＞0）.2.解简单对数不等式，先统一底数，化为形如log a f（x）＞log a g（x）的不等式，再借助y ＝log a x的单调性求解.角度3对数函数性质的应用例5（1）[全国卷Ⅱ]设函数f（x）＝ln｜2x＋1｜－ln｜2x－1｜，则f（x）（D）A.是偶函数，且在（12，＋∞）单调递增B.是奇函数，且在（－12，12）单调递减C.是偶函数，且在（－∞，－12）单调递增D.是奇函数，且在（－∞，－12）单调递减解析由2+1≠0，2－1≠0，得函数f（x）的定义域为（－∞，－12）∪（－12，12）∪（12，＋∞），其关于原点对称，因为f（－x）＝ln｜2（－x）＋1｜－ln｜2（－x）－1｜＝ln｜2x－1｜－ln｜2x＋1｜＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，排除A，C.当x∈（－12，12）时，f（x）＝ln（2x＋1）－ln（1－2x），易知函数f（x）单调递增，排除B.当x∈（－∞，－12）时，f（x）＝ln（－2x－1）－ln（1－2x）＝ln2r12－1＝ln（1＋22－1），易知函数f（x）单调递减，故选D.（2）[全国卷Ⅰ]若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则（B）A.a＞2bB.a＜2bC.a＞b2D.a＜b2解析令f（x）＝2x＋log2x，因为y＝2x在（0，＋∞）上单调递增，y＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）＝2x＋log2x在（0，＋∞）上单调递增.又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b＜22b＋log2（2b），所以f（a）＜f（2b），所以a＜2b.故选B.方法技巧对数型复合函数的单调性问题的求解策略（1）对于y＝log a f（x）型的复合函数的单调性，有以下结论：函数y＝log a f（x）的单调性与函数u＝f（x）（f（x）＞0）的单调性在a＞1时相同，在0＜a＜1时相反.（2）研究y＝f（log a x）型的复合函数的单调性，一般用换元法，即令t＝log a x，则只需研究t＝log a x及y＝f（t）的单调性即可.注意研究对数型复合函数的单调性，一定要坚持“定义域优先”原则，否则所得范围易出错.训练3（1）[2024河南名校联考]“a≤2”是“函数f（x）＝ln（x2－ax＋12）在区间（2，＋∞）上单调递增”的（A）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析二次函数y＝x2－ax＋12图象的对称轴为x＝2，若函数f（x）＝ln（x2－ax＋12）在区间（2，＋∞≤2，2＋12≥0，即a≤94，故“a≤2”是“函数f（x）＝ln（x2－ax＋12）在区间（2，＋∞）上单调递增”的充分不必要条件.故选A.（2）[2024河南商丘高三名校联考]已知a＝log64，b＝log53，c＝log76，则（B）A.a＜b＜c B.b＜a＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b解析由题意得a，b，c∈（0，1），∵log64·log67＜（log64+log672）2＝（log6282）2＜1，∴log64＜1log67＝log76，即a＜c.∵a＝log64＝log64256＞log64216＝34，b＝log53＝log5481＜log54125＝34，∴a＞b.综上所述，可得b＜a＜c.故选B.（3）[2024湖北名校联考改编]已知奇函数f（x）＝lg1+B1+（k≠1），则不等式－1＜f（x）＜lg12的解集为（13，911）.解析因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＋f（x）＝lg1－B1－＋lg1+B1+＝lg1－221－2＝0，所以k2＝1.因为k≠1，所以k＝－1，则由－1＜f（x）＜lg12，得lg110＜lg1－1+＜lg12，所以110＜1－1+＜12，解得13＜x＜911.学生用书P038指数、对数、幂值比较大小的策略策略1直接法例6（1）[2023南京六校联考]若a ＝0.40.5，b ＝0.50.4，c ＝log 324，则a ，b ，c 的大小关系是（D）A.a ＜b ＜cB.b ＜c ＜aC.c ＜b ＜aD.c ＜a ＜b解析因为0.40.5＜0.50.5＜0.50.4，所以a ＜b .因为c ＝log 324＝lo 2522＝25log 22＝0.4＜0.40.5＝a ，所以c ＜a ＜b ，故选D.（2）[2022全国卷甲]已知9m ＝10，a ＝10m －11，b ＝8m －9，则（A）A.a ＞0＞bB.a ＞b ＞0C.b ＞a ＞0D.b ＞0＞a解析因为9m ＝10，所以m ＝log 910，所以a ＝10m －11＝10log 910－11＝10log 910－10log 1011，因为log 910－log 1011＝lg10lg9－lg11lg10＝（lg10）2－lg 9·lg 11lg9·lg10＞（lg10）2－（lg9+lg112）2lg9·lg10＝1－（lg992）2lg9＞0，所以a ＞0.b ＝8l 910－9＝8l 910－8l 89，因为log 910－log 89＝lg10lg9－lg9lg8＝lg10·lg8－（lg9）2lg9·lg8＜（lg10+lg82）2－（lg 9）2lg9·lg8＝（lg802）2－（lg812）2lg9·lg8＜0，所以b ＜0.综上，a ＞0＞b .故选A.策略2图象法例7[2024山西大学附中模拟]若e a ＝－ln a ，e －b ＝ln b ，e －c ＝－ln c ，则（B ）A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜c ＜aD.b ＜a ＜c解析在同一直角坐标系中作出y ＝e x ，y ＝e －x ，y ＝ln x ，y ＝－ln x 的图象，如图所示，由图象可知a ＜c ＜b .故选B.策略3构造函数法例8[全国卷Ⅰ]设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则（D）A.2x ＜3y ＜5zB.5z ＜2x ＜3yC.3y ＜5z ＜2xD.3y ＜2x ＜5z解析令2x ＝3y ＝5z ＝k ，由x ，y ，z 为正数，知k ＞1.解法一（作差法）易知x ＝lglg2，y ＝lglg3，z ＝lglg5.因为k ＞1，所以lg k ＞0，所以2x －3y ＝2lg lg2－3lg lg3＝lgH （2lg3－3lg2）lg2×lg3＝lgHlg 98lg2×lg3＞0，故2x ＞3y ，2x －5z ＝2lg lg2－5lg lg5＝lgH （2lg5－5lg2）lg2×lg5＝lgHlg 2532lg2×lg5＜0，故2x ＜5z .所以3y ＜2x ＜5z .解法二（作商法）易知x ＝lg lg2，y ＝lglg3，z ＝lg lg5.由23＝23×lg3lg2＝lg9lg8＞1，得2x ＞3y ，由52＝52×lg2lg5＝lg 25lg 52＞1，得5z ＞2x .所以3y ＜2x ＜5z .解法三（函数法）易知x ＝ln ln2，y ＝ln ln3，z ＝lnln5.设函数f （t ）＝En ln（t ＞0，t ≠1），则f （2）＝2ln ln2＝2x ，f （3）＝3ln ln3＝3y ，f （5）＝5ln ln5＝5z .f '（t ）＝ln ·ln －1·En （ln ）2＝（ln －1）ln （ln ）2，易得当t ∈（e ，＋∞）时，f '（t ）＞0，函数f （t ）单调递增.因为e ＜3＜4＜5，所以f （3）＜f （4）＜f （5）.又f （2）＝2ln ln2＝2×2ln 2ln2＝4ln ln4＝f （4），所以f （3）＜f （2）＜f （5），即3y ＜2x ＜5z .方法技巧指数、对数、幂值比较大小的策略1.直接利用函数的性质，题目中出现的常数，特殊值（如0，1）等比较大小.2.当待比较大小的代数式无法单独分离出来时，通常会考虑代数式的几何意义，通过图象，利用交点坐标比较大小.3.式子结构比较麻烦，或呈现一定规律时，通常会构造新函数，利用新函数的单调性比较大小.4.作差、作商也是比较大小常用的方法.训练4（1）[2024山东省枣庄市第三中学模拟]设x ＝e 0.03，y ＝1.032，z ＝ln （e 0.6＋e 0.4），则x ，y ，z 的大小关系为（A）A.z ＞y ＞x B.y ＞x ＞z C.x ＞z ＞yD.z ＞x ＞y解析易得ln x＝0.03，ln y＝2ln1.03＝2ln（1＋0.03），令f（x）＝x－2ln（1＋x）（0＜x ＜110），则f'（x）＝1－2r1＝－1r1＜0，∴f（x）在（0，110）上递减，∴f（x）＜0－2ln（1＋0）＝0，则x＜2ln（1＋x），∴0.03＜2ln（1＋0.03），故y＞x.y＝1.032＝1.0609，z＝ln（e0.6＋e0.4）＞ln20.6+0.4＝ln2＋ln＝ln2＋12，易得ln2＞35，∴z＞1.1，∴y＜z.故z ＞y＞x，故选A.（2）[多选/2023黑龙江西北八校联考]已知实数x，y，z满足z·ln x＝z·e y＝1，则下列关系式可能成立的是（ABC）A.x＞y＞zB.x＞z＞yC.z＞x＞yD.z＞y＞x解析由题知实数x，y，z满足ln x＝e y＝1，在同一直角坐标系中分别作出函数m＝ln n，m＝e n，m＝1的大致图象，如图所示，再分别作出与n轴平行且与三个函数图象均相交的直线，依次记为m＝m1，m＝m2，m＝m3，如图所示.由直线m＝m1与三个函数图象的交点情况可得z＞x＞y，由直线m＝m2与三个函数图象的交点情况可得x＞z＞y，由直线m＝m3与三个函数图象的交点情况可得x＞y＞z.故选ABC.（3）[多选/2024广东省汕头市金禧中学模拟]若0＜c＜b＜1＜a，则下列不等式正确的是（ABC）A.log2024a＞log2024bB.log c a＞log b aC.（c－b）a c＞（c－b）a bD.（a－c）a c＞（a－c）a b解析对选项A：因为a＞1＞b＞0，且f（x）＝log2024x为增函数，所以f（a）＞f（b），即log2024a＞log2024b，故A正确.对选项B：因为a＞1＞b＞c＞0，所以log a c＜log a b＜0，所以1l＞1l，即log c a＞log b a，故B正确.对选项C，D：由题意易知a c＜a b且c－b＜0，a－c＞0，所以（c－b）a c＞（c－b）a b，（a－c）a c＜（a－c）a b，所以C正确，D错误.故选ABC.1.[命题点1/2024江苏省南通市教学质量调研]若3x＝4y＝6z＝k，且2＋1－1＝12，则实数k 的值为36.解析∵3x＝4y＝6z＝k，∴x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，则2＋1－1＝2log3＋1log4－1log6＝2log k3＋log k4－log k6＝log k9＋log k4－log k6＝log k（9×46）＝log k6＝12，∴12＝6，即k＝36.2.[命题点2/2024辽宁省大连市滨城高中联考]函数y＝log a x＋a x－1＋2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（k，b），若m＋n＝b－k且m＞0，n＞0，则9＋1的最小值为（B）A.9 B.8 C.92 D.52解析因为函数y＝log a x＋a x－1＋2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，3），所以m＋n ＝3－1＝2，所以2（9＋1）＝（m＋n）（9＋1）＝10＋9＋≥10＋29＝16，所以9＋1≥8，当且仅当n＝12，m＝32时等号成立，故选B.3.[命题点2]已知函数f（x）＝ln x，则函数y＝f（11－）的图象大致为（D）解析f（11－）＝ln11－＝－ln（1－x），其定义域为（－∞，1），且为增函数，故选D.4.[命题点3角度1]已知函数f（x）＝2｜x｜，a＝f（log0.53），b＝f（log45），c＝f（cosπ3），则（B）A.a＞c＞bB.a＞b＞cC.b＞a＞cD.c＞a＞b解析a＝f（log0.53）＝f（－log23），b＝f（log45）＝f（log25），c＝f（cosπ3）＝f（12），易知函数f（x）＝2｜x｜为偶函数，∴a＝f（log23）.又当x＞0时，函数f（x）＝2｜x｜＝2x单调递增，且log23＞log25＞12，∴f（log23）＞f（log25）＞f（12），∴a＞b＞c.故选B.5.[命题点3角度2，3/多选/2024湖南名校联考]已知函数f（x）＝lg（x2－x＋414），则（ACD）A.f（x）的最小值为1B.∃x∈R，满足f（1）＋f（x）＝2C.f（log92）＞f（23）D.f（90.1－12）＞f（30.18－12）解析由题知f（x）＝lg[（x－12）2＋10]，则f（x）在（－∞，12）上单调递减，在（12，＋∞）上单调递增，所以f（x）的最小值为f（12）＝lg10＝1，A正确.因为f（x）≥1，f（1）＞1，所以f（1）＋f（x）＞2，B错误.易知f（x）图象关于x＝12对称，因为0＜log92＝lg2lg9＜lg2lg8＝13，所以｜log92－12｜＞16，又｜23－12｜＝16，所以f（log92）＞f（23），C正确.因为90.1＝30.2＞30.18＞1，所以90.1－12＞30.18－12＞12，所以f（90.1－12）＞f（30.18－12），D正确.故选ACD.6.[思维帮角度1，3]已知实数a，b满足a＝log23＋log86，6a＋8a＝10b，则下列判断正确的是（C）A.a＞2＞bB.b＞2＞aC.a＞b＞2D.b＞a＞2解析先比较a与2的大小：a＝log23＋log86＝log23＋lo236＝log23＋13log26＝log23＋13（log22＋log23）＝1+4log233＝1+log2813，又2＝log2643，且log281＞log264，所以1+log2813－log2643＞0，即a＞2.再比较b与2的大小：因为a＞2，所以6a＋8a＞62＋82＝102，又6a＋8a＝10b，所以b＞2.最后比较a与b的大小：令f（x）＝6x＋8x－10x，x＞2，t＝x－2，t＞0，则x＝t＋2，令g（t）＝6t＋2＋8t＋2－10t＋2，t ＞0，则g（t）＝36×6t＋64×8t－100×10t＜36×8t＋64×8t－100×10t＝100×8t－100×10t ＜0，即当x＞2时，6x＋8x＜10x，所以6a＋8a＝10b＜10a，所以b＜a.综上，a＞b＞2.故选C.7.[思维帮角度2]若e－1·x3＝－ln x2·x3＝－1，则下列不等关系一定不成立的是（D）A.x1＜x3＜x2B.x3＜x1＜x2C.x3＜x2＜x1D.x1＜x2＜x3解析由e－1·x3＝－ln x2·x3＝－1，得e－1＝－ln x2＝－13.由e－1＞0，得0＜x2＜1，x3＜0.作出函数y＝e－x，y＝－ln x（0＜x＜1），y＝－1（x＜0）的大致图象，如图，由图可知x1＜x3＜x2，x3＜x1＜x2，x3＜x2＜x1均能够成立，只有D选项中的式子不可能成立.故选D.8.[思维帮角度3]已知a＜5且a e5＝5e a，b＜4且b e4＝4e b，c＜3且c e3＝3e c，则（D）A.c＜b＜aB.b＜c＜aC.a＜c＜bD.a＜b＜c解析解法一易知a，b，c均大于零.a e5＝5e a⇒e55＝e，b e4＝4e b⇒e44＝e，c e3＝3e c⇒e33＝e，所以设函数f（x）＝e，则有f（5）＝f（a），f（4）＝f（b），f（3）＝f（c），且f'（x）＝e（－1）2，则易得f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，作出f（x）在（0，＋∞）上的大致图象，如图，因为a＜5，b＜4，c＜3，所以a＜b＜c.解法二由题知，a＜5，b＜4，c＜3，因为a e5＝5e a，所以两边同时取对数可得ln a＋5＝ln5＋a，即ln－ln5－5＝1，同理可得ln－ln4－4＝ln－ln3－3＝1，即点A（a，ln a）与点D（5，ln5）连线的斜率k1＝1，点B（b，ln b）与点E（4，ln4）连线的斜率k2＝1，点C（c，ln c）与点F（3，ln3）连线的斜率k3＝1.因为点A，B，C，D，E，F均在函数y＝ln x的图象上，且AD∥BE∥CF，所以作出对应的示意图如图所示，由图可得a＜b＜c.故选D.学生用书·练习帮P2681.[2023宁夏六盘山高级中学模拟]若f（x）满足对定义域内任意的x1，x2，都有f（x1）＋f（x2）＝f（x1·x2），则称f（x）为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（D）A.f（x）＝2xB.f（x）＝（12）xC.f（x）＝x2D.f（x）＝log3x解析因为log3x1＋log3x2＝log3x1x2，满足f（x1）＋f（x2）＝f（x1·x2），所以f（x）＝log3x是“好函数”，故选D.2.[2024四川成都模拟]已知a＝log0.70.3，b＝log0.30.7，c＝0.5，则a，b，c的大小关系为（D）A.a＜c＜bB.c＜b＜aC.a＜b＜cD.b＜c＜a解析依题意，a＝log0.70.3＞log0.70.72＝2，b＝log0.30.7＝1log0.70.3＜12，而c＝0.5，所以b＜c ＜a.故选D.3.已知函数f（x）＝x＋1－2，x∈（2，8），当x＝m时，f（x）取得最小值n.则在平面直角坐标系中，函数g（x）＝lo g1｜x＋n｜的图象是（A）解析∵函数f（x）＝x－2＋1－2＋2≥（－2）·1－2＋2＝4，x∈（2，8），当且仅当x －2＝1－2，即x＝3时取等号，∴m＝3，n＝4.则函数g（x）＝log13｜x＋4｜在（－4，＋∞）上单调递减，在（－∞，－4）上单调递增，观察选项可知，选项A符合.故选A. 4.[2024河北石家庄市第十五中学模拟]已知函数f（x）＝lg（x2－ax＋12）在[－1，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（B）A.[6，＋∞）B.[6，7）C.（－∞，－2]D.（－13，－2]解析由题意得，函数y＝x2－ax＋12在[－1，3]上单调递减，且在[－1，3]上x2－ax＋12＞0≥3，－3+12>0，解得6≤a＜7，故a的取值范围是[6，7）.故选B.5.[2024陕西咸阳模拟]已知a＝2－0.01，b＝log510，c＝log612，则a，b，c的大小关系为（A）A.b＞c＞aB.b＞a＞cC.c＞b＞aD.c＞a＞b解析a＝2－0.01∈（2－1，20）＝（12，1），b＝1＋log52＞1，c＝1＋log62＞1，且log52＞log62，故b＞c＞a.故选A.6.[2023河南部分学校联考]设a＝log23，b＝log4x，c＝log865，若a，b，c中b既不是最小的也不是最大的，则x的取值范围是（A）A.（9，6523）B.（3，6513）C.[9，6523]D.[3，6513]解析∵a＝log23＝log827＜log865＝c，∴a＜b＜c，∴log23＜log4x＜log865，∴log23＜log212＜log26513，∴3<12＜6513，得9＜x＜6523，即x的取值范围是（9，6523），故选A.7.[2023山东模拟]已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）单调递减，（2x－5））＞f（log38）的解集为（C）则不等式f（lo g13A.{x｜52＜x＜4116}B.{x｜x＞132}C.{x｜52＜x＜4116或x＞132}D.{x｜x＜52或4116＜x＜132}解析因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（－∞，0]上单调递减，所以可将f （lo 13（2x －5））＞f （log 38）化为｜lo 13（2x －5）｜＞｜log 38｜，即log 3（2x －5）＞log 38或log 3（2x －5）＜－log 38＝log 318，即2x －5＞8或0＜2x －5＜18，解得x ＞132或52＜x ＜4116.故选C.8.[多选/2024甘肃省部分学校质量检测]若（a ，b ）（a ＞0，a ≠1）为函数y ＝log 2x 图象上的一点，则下列选项正确的是（ABC）A.（b ，a ）为函数y ＝2x 图象上的点B.（1，b ）为函数y ＝log 12x 图象上的点C.（－b ，a ）为函数y ＝（12）x 图象上的点D.（a ，2b ）为函数y ＝log 4x 图象上的点解析∵（a ，b ）（a ＞0，a ≠1）为函数y ＝log 2x 图象上的一点，∴log 2a ＝b ，∴2b ＝a ，则（b ，a ）为函数y ＝2x 图象上的点，故A 正确；∵log 2a ＝b ，∴log 121＝－1－1log 2a ＝b ，则（1，b ）为函数y ＝log 12x 图象上的点，故B 正确；∵2b ＝a ，∴（12）－b ＝2b ＝a ，则（－b ，a ）为函数y ＝（12）x 图象上的点，故C 正确；∵log 2a ＝b ，∴log 4a ＝12log 2a ＝12b ，故D 错误.故选ABC.9.[2023天津市汇文中学模拟]计算：（827）－23＋10lg3＋lo log 54·log 25＝3.解析（827）－23＋10lg 3＋lo log 54·log 25＝[（23）3]－23＋3＋log 3−2312－2lg2lg5·lg5lg2＝（23）－2＋3＋12－2log 33－2＝94＋3－14－2＝3.10.[2024江苏省联考]已知函数f （x ）＝2－log 2，≥1，4，<1，则f （f （12））＝1.解析由函数f （x ）＝2－log 2，≥1，4，<1，得f （f （12））＝f （2）＝1.11.[2024北京市中关村中学模拟]声音的等级f （x ）（单位：dB ）与声音强度x （单位：W /m 2）满足f （x ）＝10×lg1×10－12.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB.一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍.解析由f （x ）＝10×lg1×10－12，即y ＝10×lg1×10－12可知，声音强度x ＝1010×10－12＝10－12+10，设喷气式飞机起飞时声音强度与一般说话时声音强度分别为x 1，x 2，故强度之比12＝10－12+1401010－12+6010＝108.12.[2024贵州贵阳名校联考]已知函数f （x ）＝log 2｜x －a ｜＋1，且f （6＋x ）＝f （2－x ），则f （2）＝2.解析由f （6＋x ）＝f （2－x ）可知，函数f （x ）的图象关于直线x ＝4对称，而函数f （x ）＝log 2｜x －a ｜＋1的图象关于直线x ＝a 对称，所以a ＝4，所以f （x ）＝log 2｜x －4｜＋1，所以f （2）＝log 2｜2－4｜＋1＝2.13.[2023乌鲁木齐质监（一）]已知函数f （x ）＝ln 2－3+，a ＝log 23，b ＝log 34，c ＝log 58，则（A）A.f （a ）＜f （c ）＜f （b ）B.f （a ）＜f （b ）＜f （c ）C.f （c ）＜f （a ）＜f （b ）D.f （c ）＜f （b ）＜f （a ）解析f （x ）＝ln2－3+＝ln （－1＋53+），由2－3+＞0，得f （x ）的定义域为{x ｜－3＜x ＜2}，由复合函数的单调性可得，f （x ）在（－3，2）上单调递减.由＝log 34log 58＝lg4lg3lg8lg5＝2lg2lg53lg2lg3＝lg25lg27＜1，c ＞1得b ＜c .又9＞8，即32＞23，所以3＞232，log 23＞32，同理8＜532，log 58＜32，所以c ＜a ，于是b ＜c ＜a ，再结合f （x ）的单调性可得f （a ）＜f （c ）＜f （b ），故选A.14.[2024陕西模拟]已知函数f （x ）＝（12），≥1，（+<1，则下列结论正确的是（B ）A.f （f （0））＝12B.f （f （1C.f （f （log 23D.f （x ）的值域为（0，1]解析对于选项A ，f （0）＝f （1）＝12，f （f （0））＝f （12）＝f （3）＝（12）32＝（18）12＝A 错误；对于选项B ，f （1）＝12，f （f （1））＝f （12）B 正确；对于选项C ，因为log 23＞1，所以f （log 23）＝（12）log 23＝2log 213＝13，f （f （log 23））＝f （13）＝f（43）＝（12）43C错误；对于选项D，当x≥1时，f（x）＝（12）x∈（0，12]，当0≤x＜1时，1≤x＋1＜2，f（x）＝f（x＋1）＝（12）x＋1∈（14，12]，又当x＜0时，f（x）＝f（x＋1），所以当x＜0时，f（x）∈（14，12]，综上，函数f（x）的值域为（0，12]，故D 错误.故选B.15.[2024南昌市模拟]已知函数y＝e x和y＝ln x的图象与直线y＝2－x交点的横坐标分别为a，b，则（D）A.a＞bB.a＋b＜2C.ab＞1D.a2＋b2＞2解析易知y＝e x与y＝ln x互为反函数，对应的图象关于直线y＝x对称，如图，直线y＝x与y＝2－x垂直，所以两函数的图象与直线y＝2－x的交点A，B关于直线y＝x对称.设直线y＝x与y＝2－x的交点为C，则C（1，1），∴a＋b＝2且a≠b.＞＋2＝1，即a2＋b2＞2.故选D.16.[2024河南省六市部分学校联考]已知正数a，b，c∈（1，＋∞），且满足2－1－1＝2＋log2a，3－2－1＝3＋log3b，4－3－1＝4＋log4c，则下列不等式成立的是（B）A.c＜b＜aB.a＜b＜cC.a＜c＜bD.c＜a＜b解析由2－1－1＝2＋log2a，可得1－1＝log2a，由3－2－1＝3＋log3b，可得1－1＝log3b，由4－3－1＝4＋log4c，可得1－1＝log4c，易知y＝1－1（x＞1）和y＝log m x（m＝2，3，4）的图象相交，在同一平面直角坐标系中画出y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x与y＝1－1（x＞1）的图象如图.根据图象可知a＜b＜c.故选B.17.[2024合肥开学考试]定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足：对∀x1，x2∈（0，＋∞），且x 1≠x 2都有（1）－（2）1－2＞1，则不等式f （2log 2x ）－f （x ）＞log 2x 2－x 的解集为（B）A.（1，2）B.（2，4）C.（4，8）D.（8，16）解析根据题意：设x 1＞x 2，则（1）－（2）1－2＞1⇒f （x 1）－f （x 2）＞x 1－x 2⇒f （x 1）－x 1＞f （x 2）－x 2，可得函数h （x ）＝f （x ）－x 在（0，＋∞）上单调递增.则f （2log 2x ）－f （x ）＞log 2x 2－x ⇒f （log 2x 2）－log 2x 2＞f （x ）－x ⇒log 2x 2＞x ⇒log 2x 2＞log 22x ⇒x 2＞2x ，在同一坐标系中画出y ＝x 2与y ＝2x 的图象，如图.又x ＞0，得2＜x ＜4，则不等式的解集为（2，4），故选B.18.[多选/2023重庆二调]若a ，b ，c 都是正数，且2a ＝3b ＝6c ，则（BCD ）A.1＋1＝2B.1＋1＝1C.a ＋b ＞4cD.ab ＞4c 2解析令2a ＝3b ＝6c ＝m ，则a ＝log 2m ，b ＝log 3m ，c ＝log 6m ，∴1＝log m 2，1＝log m 3，1＝log m 6，∴1＋1＝log m 2＋log m 3＝log m 6＝1，A 选项错误，B 选项正确；a ＋b ＝（a ＋b ）（1＋1）c ＝c （2＋＋）＞c （2＋＝4c ，（∵a ≠b ，∴等号无法取到）C 选项正确；1＝1＋1＝＋B＞4B，∴ab ＞4c 2，D 选项正确.故选BCD.19.[多选/2024云南省昆明市第一中学双基检测]设偶函数f （x ）＝log a ｜x －b ｜在（－∞，0）上单调递增，则下列结论中正确的是（BC）A.f （a ＋2）＞f （b ＋2）B.f （a ＋2）＜f （b ＋2）C.f （a ＋1）＞f （b －2）D.f （a ＋1）＜f （b －2）解析因为函数f （x ）为偶函数，所以b ＝0.又偶函数f （x ）＝log a ｜x ｜在（－∞，0）上单调递增，则0＜a ＜1，所以1＜a ＋1＜2，2＜a ＋2＜3，且由函数f （x ）为偶函数知f （x ）在（0，＋∞）上单调递减.对于选项A 和B ，因为a ＋2＞2＝b ＋2，所以f （a ＋2）＜f （b ＋2），故A 错误，B 正确；对于选项C 和D ，因为1＜a ＋1＜2，b －2＝－2，所以f （a ＋1）＞f （2）＝f （－2）＝f （b －2），故C 正确，D 错误.故选BC.20.[多选/2024黑龙江哈尔滨模拟]已知函数f （x ）＝lo g 13（ax 2－3ax ＋2），则下列说法正确的是（AC）A.若f （x ）的值域为R ，则a ∈[89，＋∞）B.若f （x ）的定义域为R ，则a ∈（0，89）C.若f （x ）的最大值为0，则a ＝49D.若f （x ）的最小值为1，则a ＝2027解析选项A ：f （x ）的值域为R ，说明函数y ＝ax 2－3ax ＋2能取到所有大于0的数，当a＝0时，ax 2－3ax ＋2＝2，不满足；当a ≠0时，>0，Δ=92－8≥0，解得a ≥89，选项A 正确.选项B ：当f （x ）的定义域为R 时，函数y ＝ax 2－3ax ＋2＞0恒成立，当a ＝0时，ax 2－3ax ＋2＝2恒成立；当a ≠0时，>0，Δ=92－8<0，解得0＜a ＜89，综上，a ∈[0，89），选项B 错误.选项C ：若f （x ）的最大值为0，即y ＝ax 2－3ax ＋2的最小值为1=1，解得a ＝49，选项C 正确.选项D ：若f （x ）的最小值为1，即y ＝ax 2－3ax ＋2的最大值为13，则有13，无解，选项D 错误.故选AC.21.[多选/2024聊城模拟]对于两个均不等于1的正数m 和n ，定义：m*n ＝min {log m n ，log n m }，则下列结论正确的是（BC ）A.若a ＞1，且3*a ＝2*4，则a ＝9B.若a ≥b ≥c ＞1，且q q＝c*a ，则b ＝cC.若0＜a ＜b ＜c ＜1，则a*b －a*c ＝a*（）D.若0＜a ＜b ＜c ＜1，x ＞y ＞z ＞0，则（a x *b y ）·（b y *c z ）＝2（a x *c z ）解析选项A ：当1＜a ＜3时，log 3a ＝log 42，即log 3a ＝12，即a ＝312＝3；当a ＞3时，log a 3＝log 42，即log a 3＝12，即a ＝9.综上，当a ＞1时，a ＝3或a ＝9，则A 错误.选项B ：由q q＝c*a 及a ≥b ≥c ＞1，得log a b ＝log b c ·log a c ，即lg lg＝lg lg ·lglg，即lg 2b ＝lg 2c ，即lg b ＝lg c 或lg b ＝－lg c ，即b ＝c 或bc ＝1.由b ≥c ＞1，得bc ＞1，从而可得b ＝c ，则B 正确.选项C ：若0＜a ＜b ＜c ＜1，则a*b －a*c ＝log a b －log a c ＝log a，而由1＞＞b ＞a ＞0，得a*（）＝log a，所以a*b －a*c ＝a*（）成立，则C 正确.选项D ：由指数函数f （t ）＝a t （0＜a ＜1）是减函数，且x ＞y ，可得a x ＜a y .由幂函数h （x ）＝x y （y ＞0）在（0，＋∞）上单调递增，且a ＜b ，可得a y ＜b y ，于是0＜a x ＜b y ＜1，所以a x *b y ＝log b y ＝log a b ，同理b y *c z ＝log b c ，a x *c z ＝log a c ，所以（*）·（*）*＝log bloglog ＝log b logloglog＝1，则D 错误.故选BC.。

第5讲对数与对数函数【2014年高考会这样考】1．考查对数函数的定义域、值域、图象与性质的应用．2．多以比较大小、求对数函数在给定区间上的最值或值域等形式，来考查对数函数的单调性．3．考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质．4．考查对数函数与指数函数互为反函数的关系.对应学生21考点梳理1．对数的概念(1)对数的定义如果a x＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1)log a N常用对数底数为10lg N自然对数底数为e ln_N2.(1)对数的性质①a log a N＝N；②log a a N＝N(a>0且a≠1)．(2)对数的重要公式①换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1)；②log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.(3)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M >0，N>0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝nm log a M . 3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象续表性 质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1,0)当x >1时，y >0当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 【助学·微博】 一种思想对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明． 两个防范解决与对数有关的问题时，(1)优先考虑定义域；(2)注意底数的取值范围． 三个关键点画对数函数y ＝log a x 的图象应抓住三个关键点： (a,1)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.四种方法对数值的大小比较方法：(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图象比较．考点自测1．(人教A 版教材习题改编)(log 29)×(log 34)＝( )． A.14 B.12 C ．2 D ．4解析 (log 29)×(log 3 4)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.答案 D2．(2012·全国)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )．A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x解析 因为ln π>ln e ＝1，log 52<log 55＝1，所以x >y ，故排除A 、B ；又因为log 52<log 5 5＝12，e －12＝1e >12，所以z >y ，故排除C ，选D.答案 D3．(2011·安徽)若点(a ，b )在y ＝lg x 的图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，b B ．(10a,1－b ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2,2b ) 解析 当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图象上． 答案 D4．(2012·新课标全国)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)解析 构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的草图(图略)，可知，若g (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则a ＝22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案 B5．若log a 34<1，则实数a 的取值范围是________．解析 由log a 34<1，得⎩⎨⎧0<a <1，log a 34<log a a或a >1，解得0<a <34或a >1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)对应学生22考向一 对数式的化简与求值【例1】►计算下列各题： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)log 34273log 5[412log 210－(33)23－log 772]； (3)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－2lg 2＋1. [审题视点] 运用对数运算法则及换底公式进行计算． 解 (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1.(2)原式＝log 33343×log 5[2log 210－(332)23－log 772] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34log 33－log 33×log 5(10－3－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1·log 55＝－14. (3)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2－2lg 2＋1 ＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1| ＝lg 2＋1－lg 2＝1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化为同底和指数与对数的互化．在常用对数的计算中往往有一些数的变形，如5＝102，2＝105，50＝5×10等．【训练1】 (1)化简lg 37＋lg 70－lg 3－(lg 3)2－lg 9＋1； (2)已知f (3x )＝4x log 23＋233，求f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)的值． 解 (1)原式＝lg 37×703－(lg 3)2－2lg 3＋1 ＝lg 10－(lg 3－1)2＝1－|lg 3－1|＝lg 3. (2)令3x ＝t ，∴x ＝log 3t ，∴f (t )＝4log 23·log 3t ＋233＝4log 2t ＋233， ∴f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝4(log 22＋log 24＋log 28＋…＋log 228)＋8×233 ＝4·log 2(2·22·23·…·28)＋8×233＝4·log 2236＋1 864＝4×36＋1 864＝2 008.考向二 对数函数的图象及其应用【例2】►若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，则实数a 的取值范围是( )． A ．{a |0<a <1} B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪116≤a <1 C ．{a |a >1}D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪0<a ≤116[审题视点] 构造函数，画出函数图象，利用对数函数的图象与性质分析解决问题．解析 由x 2－log a x <0得x 2<log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得a ≥116，∴116≤a <1. 答案 B指数函数与对数函数的图象的特征：(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a >1时，图象上升；0<a <1时，图象下降；(2)底数的大小决定了图象的高低，即在y 轴右边，指数函数y ＝a x 的图象“底大图高”；在x 轴上方，对数函数y ＝log a x 的图象“底大图低”．其次，要熟练掌握函数图象的作法，特别是变换作图法．【训练2】 若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1,2)内恒成立，求实数a 的取值范围． 解 设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可． 当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的图象下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1，∴1<a ≤2，即实数a 的取值范围是(1,2]．考向三对数函数的性质及其应用【例3】►(2013·南京模拟)已知f(x)＝log a 1－mxx－1(a>0，a≠1)是奇函数．(1)求m的值；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当f(x)的定义域为(1，a－2)时，f(x)的值域为(1，＋∞)，求a的值．[审题视点] 对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．解(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝log a 1＋mx－x－1＋log a1－mxx－1＝log a1－m2x21－x2＝0对定义域内的任意x恒成立，∴1－m2x21－x2＝1，∴(m2－1)x2＝0，m＝±1.当m＝1时，1－mxx－1＝－1，函数无意义，∴m＝－1.(2)由(1)知，f(x)＝log a x＋1x－1，∴定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，求导得f′(x)＝－2x2－1log a e.①当a>1时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－1)与(1，＋∞)上都是减函数；②当0<a<1时，f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，－1)与(1，＋∞)上都是增函数．(3)∵1<x<a－2，∴a>3，f(x)在(1，a－2)内为减函数，∴命题等价于f(a－2)＝1，即log a a－1a－3＝1⇒a2－4a＋1＝0，解得a＝2＋3(a＝2－3舍去)．研究与对数函数有关的复合函数的单调性时，一种方法是利用导数(如本例解法)，这时应注意正确地进行求导运算，另一种方法是根据复合函数单调性的判断规则“同增异减”进行判断，对于含有参数的函数，必须进行分类讨论．【训练3】已知函数f(x)＝lg(a x－b x)(a>1>b>0)．(1)判断函数f (x )在其定义域内的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1，＋∞)内恒为正，试比较a －b 与1的大小关系． 解 (1)由a x －b x >0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x >1.∵a >1>b >0，∴ab >1，∴x >0， ∴f (x )定义域为(0，＋∞)． 设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 则由a >1>b >0，得ax 2>ax 1，bx 1>bx 2， 所以ax 2－bx 2>ax 1－bx 1>0，∴f (x 2)＝lg(ax 2－bx 2)>lg(ax 1－bx 1)＝f (x 1)， ∴f (x )是(0，＋∞)上的增函数．(2)由(1)，得x ∈(1，＋∞) 时，f (x )>f (1)恒成立．要使f (x )>0，则只需f (1)≥0，即a －b ≥1.对应学生24热点突破6——与指数、对数函数有关的求值问题【命题研究】 分析近几年各省市的高考试题，可以看出对本节内容的考查主要有：利用对数函数的性质比较实数的大小；结合函数图象的变换考查相关函数的性质；考查与对数函数相关的方程和不等式．以选择题为主，个别省市有填空题，以中等难度试题为主． 一、与对数函数有关的求值问题【真题探究1】► (2011·陕西)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.[教你审题] 先求f (1)，再求f (f (1))的值．[解法] 因为f (1)＝lg 1＝0，所以f (0)＝0＋a 3－03＝1，∴a ＝1. [答案] 1[反思] 若是求f (f (a ))，则要对a 进行讨论，分a >0和a ≤0两种情况，求得f (a )后，再根据f (a )在哪段内求最终值 二、与对数函数有关的解不等式问题【真题探究2】► (2011·辽宁)设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )．A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞) [教你审题] 分段函数分段求解，然后求各段的并集． [解法] 当x ≤1时，21－x ≤2，x ≥0，所以0≤x ≤1； 当x >1时，1－log 2x ≤2，x ≥12，所以x >1. 综上，x ≥0. [答案] D[反思] 解这类问题，除经过讨论代入函数解析式外，还用到函数单调性直接求解．【试一试】 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析 由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类讨论．f (a )>f (－a )⇒⎩⎨⎧a>0，log 2a >log 12a或⎩⎨⎧a <0，log 12(－a )>log 2(－a )⇒⎩⎨⎧a >0，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－1<a⇒a >1或－1<a <0. 答案 C对应学生233A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·天津)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3则( )．A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3＝5log 3103，1<log 23.4<2,0<log 43.6<1,1<log 3103<2，又log 23.4>log 2103>log 3103，∴log 23.4>log 3103>log 43.6，∴5log 23.4>5log 3103>5log 43.6，故选C. 答案 C2．(2013·徐州模拟)若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )． A ．0<a <1 B ．0<a <2，a ≠1 C ．1<a <2D ．a ≥2解析 因为y ＝x 2－ax ＋1是开口向上的二次函数，从而有最小值4－a 24，故要使函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a >1，且4－a 24>0，得1<a <2，故选C. 答案 C3．(2013·九江质检)若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是( )．解析 由已知函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可得0<a <1，0<b <1.则g (x )＝a x ＋b 的图象由y ＝a x 的图象沿y 轴向上平移b 个单位而得到，故选B. 答案 B4．若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 1)－f (x 2)>0，则实数a 的取值范围为( )．A ．(0,1)∪(1,3)B ．(1,3)C ．(0,1)∪(1,23)D ．(1,23)解析 “对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 1)－f (x 2)>0”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f (x )有意义”．事实上由于g (x )＝x 2－ax ＋3在x ≤a2时递减，从而⎩⎨⎧a >1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2>0.由此得a 的取值范围为(1,23)．故选D. 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝________.解析 由3x －a >0得x >a 3.因此，函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞，所以a 3＝23，a ＝2. 答案 26．对任意非零实数a ，b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则(log 128)⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝________.解析 框图的实质是分段函数，log 128＝－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9，由框图可以看出输出9－3＝－3.答案 －3. 三、解答题(共25分)7．(12分)已知函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x . (1)判断函数的奇偶性；(2)若y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围． 解 (1)函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x 的定义域为R . 又f (－x )＝log 12(a 2－3a ＋3)－x ＝－log 12(a 2－3a ＋3)x ＝－f (x )， 所以函数f (x )是奇函数．(2)函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则y ＝(a 2－3a ＋3)x 在(－∞，＋∞)上为增函数，由指数函数的单调性，知a 2－3a ＋3>1，解得a <1或a >2. 所以a 的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)． 8．(13分)已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x＝log 21＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0.(2)f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋2x ＋1)，当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减， ∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a. B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．函数f (x )＝lg(a x ＋4a －x －m )(a >0且a ≠1)的定义域为R ，则m 的取值范围为( )．A ．(0,4]B ．(－∞，4)C ．(－∞，4]D ．(1,4]解析 由于函数f (x )的定义域是R ，所以a x ＋4a x －m >0恒成立，即m <a x ＋4a x 恒成立，由基本不等式知只需m ≤4. 答案 C2．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 ( )． A ．(22，＋∞) B ．[22，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析 作出函数f (x )＝|lg x |的图象，由f (a )＝f (b )，0<a <b 知0<a <1<b ，－lg a ＝lg b ，∴ab ＝1，∴a ＋2b ＝a ＋2a ，由函数y ＝x ＋2x 的单调性可知，当0<x <1时，函数单调递减，∴a ＋2b ＝a ＋2a >3.故选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分) 3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，x >0的图象如图所示，则a ＋b ＋c＝________.解析 由图象可求得a ＝2，b ＝2，又易知函数y ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19的图象过点(0,2)，进而可求得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133. 答案 1334．对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数．在实数轴R (箭头向右)上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]就是x .这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么[log 31]＋[log 32]＋[log 33]＋[log 34]＋…＋[log 3243]＝________. 解析 当1≤n ≤2时，[log 3n ]＝0，当3≤n <32时，[log 3n ]＝1，…，当3k ≤n <3k＋1时，[log 3n ]＝k . 故[log 31]＋[log 32]＋[log 33]＋[log 34]＋…＋[log 3243]＝0×2＋1×(32－3)＋2×(33－32)＋3×(34－33)＋4×(35－34)＋5＝857. 答案 857三、解答题(共25分)5．(12分)若函数f (x )满足对于(0，＋∞)上的任意实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且x >1时f (x )>0，试证： (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )； (2)f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；(3)f (x )在(0，＋∞)上递增． 证明 (1)由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋f (y )＝f (x )，即f (x )－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y .(2)令x ＝y ＝1，则f (1)＝2f (1)．因此f (1)＝0. ∴f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (1)＝0，即f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x .(3)设0<x 1<x 2，则x 2x 1>1，由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0，即f (x 2)－f (x 1)>0.因此f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(0，＋∞)上递增．6．(13分)已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1，(a >0，且a ≠1)．(1)求函数的定义域，并证明：f (x )＝log a x ＋1x －1在定义域上是奇函数； (2)对于x ∈[2,4]，f (x )＝log a x ＋1x －1>log a m(x －1)2(7－x )恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x )，∴f (x )＝log a x ＋1x －1在定义域上是奇函数．(2)由x ∈[2,4]时，f (x )＝log a x ＋1x －1>log a m(x －1)2(7－x )恒成立，①当a >1时，∴x ＋1x －1>m(x －1)2(7－x )>0对x ∈[2,4]恒成立． ∴0<m <(x ＋1)(x －1)(7－x )在x ∈[2,4]恒成立． 设g (x )＝(x ＋1)(x －1)(7－x )，x ∈[2,4] 则g (x )＝－x 3＋7x 2＋x －7，g ′(x )＝－3x 2＋14x ＋1＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －732＋523，∴当x ∈[2,4]时，g ′(x )>0.∴y ＝g (x )在区间[2,4]上是增函数，g (x )min ＝g (2)＝15. ∴0<m <15.②当0<a <1时， 由x ∈[2,4]时， f (x )＝log a x ＋1x －1>log a m(x －1)2(7－x )恒成立，∴x＋1x－1<m(x－1)2(7－x)对x∈[2,4]恒成立．∴m>(x＋1)(x－1)(7－x)在x∈[2,4]恒成立．设g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)，x∈[2,4]，由①可知y＝g(x)在区间[2,4]上是增函数，g(x)max＝g(4)＝45，∴m>45.∴m的取值范围是(0,15)∪(45，＋∞).。