20222高三数学(理科)(全国版)一轮复习试题：第2章第5讲 对数与对数函数 2

高考数学一轮复习定时检测 2.5对数与对数函数（带详细解析） 理 新人教A 版一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2009·湖南文，1)log 22的值为( ) A ．－ 2B. 2C ．－12D.12解析 log 22＝log 2212＝12.答案 D2．(2009·广东文，4)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝ ( ) A.12x B ．2x －2 C ．log 12x D ．log 2x解析 函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a＝2，故f (x )＝log 2x ，故选D. 答案 D3．(2009·辽宁文，6)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x＋1)．则f (2＋log 23)＝ ( ) A.124 B.112 C.18 D.38 解析 因为2＋log 23<4，故f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (3＋log 23)．又3＋log 23>4，故f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·13＝124.答案 A4．(2009·韶关第一学期期末)已知0<x <y <a <1，m ＝log a x ＋log a y ，则有 ( )A ．m <0B ．0<m <1C ．1<m <2D ．m >2解析 m ＝log a xy ，∵0<x <y <a <1，∴0<xy <a 2<1.∴m >log a a 2＝2. 答案 D5．(2010·烟台一模)函数y ＝f (x )的图象如下图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )6．(2010·绍兴模拟)函数y ＝log a |x ＋b | (a >0，a ≠1，ab ＝1)的图象只可能是 ( )解析 由a>0，ab =1可知b>0，又y=log a |x+b|的图象关于x=-b 对称，由图象可知b>1，且0<a<1，由单调性可知，B 正确． 答案 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2009·江苏，11)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝__________________________. 解析 ∵log 2x ≤2，∴0<x ≤4.又∵A ⊆B ，∴a >4， ∴c ＝4. 答案 48．(2009·嘉兴第一学期期末)计算：[(－4)3]13＋log 525＝________.解析 原式＝(－4)1＋log 552＝－4＋2＝－2. 答案 －29．(2009·台州第一学期期末)已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系是________．解析 ∵m <0，n <0，m n＝log a c ·log c b ＝log a b <log a a ＝1，∴m >n . 答案 m >n三、解答题(共40分)10．(13分)(2010·巢湖一模)将下列各数按从大到小的顺序排列：log 89，log 79，log 123，log 1229， ⎝ ⎛⎭⎪⎫123，⎝ ⎛⎭⎪⎫12π.解 log 1229＝(－log 29)2＝log 229，在同一坐标系内作出y ＝log 8x ，y ＝log 7x ，y ＝log 2x 的图象如图所示，当x ＝9时，由图象知log 29>log 79>log 89>1＝log 88，∴log 229>log 79>log 89>1，即19log 9log 9log 87221>>>.∵xy )21(=在R 上是减函数， ∴1>3)21(>π)21( >0. 又log 3<0，综上：3log π)2()21(9log 9log 9log 21387221>1>>>.11．(13分)(2009·邵阳模拟)若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2 －3×4x的最值及相应的x 的值．解 y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2>0， 解得x <1或x >3，∴M ＝{x |x <1，或x >3}， f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.令2x＝t ，∵x <1或x >3， ∴t >8或0<t <2.∴f (t )＝4t －3t 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43(t >8或0<t <2)．由二次函数性质可知：当0<t <2时，f (t )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43， 当t >8时，f (x )∈(－∞，－160)，当2x＝t ＝23，即x ＝log 223时，f (x )max ＝43.综上可知：当x ＝log 223时，f (x )取到最大值为43，无最小值．12．(14分)(2009·四平期末)已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x的定义域为[0,1]．(1)求a 的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．解 方法一 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a＝2⇒a ＝log 32.(2)由(1)得g (x )＝λ·2x －4x，设0≤x 1<x 2≤1， 因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2.方法二 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a＝2⇒a ＝log 32.(2)由(1)得g (x )＝λ·2x －4x，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g′(x)＝λln 2·2x－ln 4·4x＝ln 2[－2·(2x)2＋λ·2x]≤0成立．设2x＝u∈[1,2]，上式成立等价于－2u2＋λu≤0恒成立．因为u∈[1,2]，只需λ≤2u 恒成立，所以实数λ的取值范围是λ≤2.。

第二章 函数的概念与基本初等函数I第二讲 函数的基本性质1.[2021江西红色七校第一次联考]下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( ) A.y =cos x B.y =x 2C.y =ln|x |D.y =e-|x |2.[2021湖北省四地七校联考]若函数f (x )=sIn x ·ln(mx +√1+4x 2)的图象关于y 轴对称,则m =( ) A .2B .4C .±2D .±43.[2020郑州三模]若函数f (x )={e x -x +2a ,x >0,(a -1)x +3a -2,x ≤0在(-∞,+∞)上是单调函数,则a 的取值范围是( )A .[1,+∞)B .(1,3]C .[12,1) D .(1,2]4.[2021广州市阶段模拟]已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且 f (x )-g (x )=x 3+x 2+a ,则g (2)=( ) A.-4B.4C.-8D.85.[2021长春市第一次质量监测]定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=f (x +5),当x ∈[-2,0)时,f (x )=-(x +2)2,当x ∈[0,3)时,f (x )=x ,则f (1)+f (2)+…+f (2 021)=( )A.809B.811C.1 011D.1 0136.[2021陕西省部分学校摸底检测]已知函数f (x )=2x cosx 4x +a是偶函数,则函数f (x )的最大值为( )A.1B.2C.12 D .37.[2021济南名校联考]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x +6)=f (x ),y =f (x +3)为偶函数,若f (x )在(0,3)上单调递减,则下面结论正确的是( ) A .f (192)<f (e 12)<f (ln 2) B .f (e 12)<f (ln 2)<f (192) C .f (ln 2)<f (192)<f (e 12) D .f (ln 2)<f (e 12)<f (192)8.[2020陕西省百校联考]函数f (x )在[0,+∞)上单调递增,且f (x +2)的图象关于直线x =-2对称,若f (-2)=1,则满足f (x -2)≤1的x 的取值范围是( )A.[-2,2]B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.(-∞,0]∪[4,+∞)D.[0,4]9.[2020江苏苏州初调]若y =f (x )是定义在R 上的偶函数,当x ∈[0,+∞)时,f (x )={sInx ,x ∈[0,1),f (x -1),x ∈[1,+∞),则f (-π6-5)= .10.函数f (x )=x 3-3x 2+5x -1图象的对称中心为 .11.[2021蓉城名校联考]已知函数f (x )=x +cos x ,x ∈R,设a = f (0.3-1), b = f (2-0.3),c = f (log 20.2),则( )A.b <c <aB.c <a <bC.b <a <cD.c <b <a12.[2021辽宁葫芦岛第二次测试]已知y =f (x -1)是定义在R 上的偶函数,且y =f (x )在[-1,+∞)上单调递增,则不等式f (-2x -1-1)<f (3)的解集为( )A.(2,+∞)B.(3,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,3)13.已知f (x )是定义在(1,+∞)上的增函数,若对于任意x ,y ∈(1,+∞),均有f (x )+f (y )=f (2x +y),f (2)=1,则不等式f (x )+f (x -1)-2≥0的解集为( )A.[52,+∞)B.(52,+∞)C.[1,52]D.(2,52]14.[2020长春市质量监测]已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数,且满足f (2+x )+f (x )=0,当x ∈[-2,0]时,f (x )=-x 2-2x ,则当x ∈[4,6]时,y =f (x )的最小值为( ) A.-8B.-1C.0D.115.[2020广东七校联考]已知定义在R 上的偶函数y =f (x +2),其图象是连续的,当x >2时,函数y =f (x )是单调函数,则满足f (x )=f (1-1x+4)的所有x 之积为( )A .3B .-3C .-39D .3916.[原创题]设增函数f (x )={lnx ,x >1,-1+ax x,0<x ≤1的值域为R,若不等式f (x )≥x +b 的解集为{x |c ≤x ≤e},则实数c 的值为( ) A.e -√e 2-42B.e+√e 2-42C.e±√e 2-42D .12答 案第二讲 函数的基本性质1.D 函数y =cos x 是偶函数且是周期为2π的周期函数,所以y =cos x 在(0,+∞)上不具有单调性,所以A 选项不符合题意;函数y =x 2为偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,所以B 选项不符合题意;函数y =ln|x |={lnx ,x >0,ln (-x ),x <0为偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,所以C 选项不符合题意;函数y =e -|x |={e -x ,x ≥0,e x ,x <0为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,所以D 选项符合题意.故选D .2.C ∵f (x )的图象关于y 轴对称,∴f (x )为偶函数,又y =sin x 为奇函数,∴y =ln(mx +√1+4x 2)为奇函数,即ln[-mx +√1+4·(-x )2]+ln(mx +√1+4x 2)=0,即ln(1+4x 2-m 2x 2)=0,1+4x 2-m 2x 2=1,解得m =±2.故选C .3.B 当x >0时,f (x )=e x -x +2a ,则f'(x )=e x-1>0,所以函数f (x )在(0,+∞)上单调递增.因为函数f (x )在(-∞,+∞)上是单调函数,所以函数f (x )在(-∞,+∞)上是单调递增函数.当x ≤0时,f (x )=(a -1)x +3a -2是单调递增函数,所以a -1>0,得a >1.e 0-0+2a ≥(a -1)×0+3a -2,解得a ≤3.所以1<a ≤3,故选B .4.C 依题意f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,且f (x )-g (x )=x 3+x 2+a ①,所以f (-x )-g (-x )=-x 3+x 2+a ,即f (x )+g (x )=-x 3+x 2+a ②,②-①得2g (x )=-2x 3,g (x )=-x 3,所以g (2)=-23=-8.故选C .5.A由f (x )=f (x +5)可知f (x )的周期为5,又f (0)=0,f (1)=1,f (2)=2,f (-1)=-1,f (-2)=0,∴f (3)=f (-2)=0,f (4)=f (-1)=-1,f (5)=f (0)=0,∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)=2,∴f (1)+f (2)+…+f (2 021)=f (1)+2×404=809.故选A . 6.C 解法一 因为函数f (x )=2x cosx4x +a 是偶函数,所以f (-x )=f (x ),即2-x cos (-x )4-x +a=2x cosx 4x +a,化简可得a (4x -1)=4x-1,得a =1,所以f (x )=2x cosx 4x +1=cosx 2x +2-x.又cos x ≤1,2x +2-x ≥2,当且仅当x =0时两个“=”同时成立,所以f (x )≤12.故选C .解法二 因为函数f (x )为偶函数,所以f (-1)=f (1),即2-1cos (-1)4-1+a=21cos14+a ,解得a =1,所以f (x )=2x cosx4x +1=cosx2x +2-x .因为cos x ≤1,2x+2-x≥2,当且仅当x =0时两个“=”同时成立,所以f (x )max =12,故选C .7.A 由f (x +6)=f (x )知函数f (x )是周期为6的函数.因为y =f (x +3)为偶函数,所以f (x +3)=f (-x +3),所以f (192)=f (72)=f (12+3)=f (-12+3)=f (52).(题眼)(难点:利用函数的性质把自变量的取值化到同一个单调区间内)因为1<e 12<2,0<ln 2<1,所以0<ln 2<e 12<52<3.因为f (x )在(0,3)上单调递减,所以f (52)<f (e 12)<f (ln 2),即f (192)<f (e 12)<f (ln 2),故选A .8.D 依题意得,函数f (x )是偶函数,则f (x -2)≤1,即f (|x -2|)≤f (|-2|).由函数f (x )在[0,+∞)上单调递增得|x -2|≤2,即-2≤x -2≤2,0≤x ≤4.所以满足f (x -2)≤1的x 的取值范围是[0,4],故选D .9.12因为y =f (x )是定义在R 上的偶函数,所以f (-π6-5)=f (π6+5).因为x ≥1时,f (x )=f (x -1),所以f (π6+5)=f (π6+4)=…=f (π6).又0<π6<1,所以f (π6)=sin π6=12.故f (-π6-5)=12.10.(1,2) 解法一 由题意设图象的对称中心为(a ,b ),则2b =f (a +x )+f (a -x )对任意x 均成立,代入函数解析式得,2b =(a +x )3-3(a +x )2+5(a +x )-1+(a -x )3-3(a -x )2+5(a -x )-1=2a 3+6ax 2-6a 2-6x 2+10a -2=2a 3-6a 2+10a -2+(6a -6)x 2对任意x 均成立,所以6a -6=0,且2a 3-6a 2+10a -2=2b ,即a =1,b =2,即f (x )的图象的对称中心为(1,2). 解法二 由三次函数对称中心公式可得,f (x )的图象的对称中心为(1,2).11.D f (x )=x +cos x ,则f'(x )=1-sin x ≥0,所以f (x )在R 上单调递增,又log 20.2<2-0.3<1<0.3-1=103,所以f (log 20.2)<f (2-0.3)<f (103),即c <b <a.12.D 由题可知y =f (x -1)的图象关于y 轴对称.因为y =f (x )的图象向右平移1个单位长度得到y =f (x -1)的图象,所以y =f (x )的图象关于直线x =-1对称.因为y =f (x )在[-1,+∞)上单调递增,所以f (x )在(-∞,-1)上单调递减.所以|-2x -1-1-(-1)|<|3-(-1)|,即0<2x -1<4,解得x <3,所以原不等式的解集为(-∞,3),故选D .13.A 根据f (x )+f (y )=f (2x +y),f (2)=1,可得2=1+1=f (2)+f (2)=f (24),所以f (x )+f (x -1)-2≥0得f (22x -1)≥f (24).又f (x )是定义在(1,+∞)上的增函数,所以{22x -1≥24,x >1,x -1>1, 解得x ≥52.所以不等式f (x )+f (x -1)-2≥0的解集为[52,+∞).14.B由f (2+x )+f (x )=0,得函数f (x )是以4为周期的周期函数.设x ∈[0,2],则-x ∈[-2,0],f (-x )=-(-x )2-2(-x )=-x 2+2x.因为函数y =f (x )是定义在R上的奇函数,所以f (x )=-f (-x )=x 2-2x =(x -1)2-1,当x =1时,f (x )取得最小值-1.由周期函数的性质知,当x ∈[4,6]时,y =f (x )的最小值是-1,故选B .15.D 因为函数y =f (x +2)是偶函数,所以函数y =f (x )图象关于x =2对称,因为f (x )在(2,+∞)上单调,所以f (x )在(-∞,2)上也单调,所以要使f (x )=f (1-1x+4),则x =1-1x+4或4-x =1-1x+4.由x =1-1x+4,得x 2+3x -3=0,Δ1>0,设方程的两根分别为x 1,x 2,则x 1x 2=-3;由4-x =1-1x+4,得x 2+x -13=0,Δ2>0,设方程的两根分别为x 3,x 4,则x 3x 4=-13.所以x 1x 2x 3x 4=39.故选D .16.A 当x >1时,f (x )为增函数,且f (x )∈(0,+∞), 当0<x ≤1时,-1+ax x=a -1x ≤a -1,即f (x )∈(-∞,a -1].因为f (x )为增函数,所以a -1≤0,则a ≤1,又函数f (x )的值域为R,所以a -1≥0,即a ≥1,从而a =1,函数f (x )={lnx ,x >1,-1+x x,0<x ≤1.因为不等式f (x )≥x +b 的解集为{x |c ≤x ≤e},易知ln x =x +b 的解为x =e,所以b =1-e,当x =1时,x +b =1+1-e=2-e<0=f (1),故0<c <1.令-1+x x=x +1-e,得x 2-e x +1=0,从而x =e -√e 2-42,则c =e -√e 2-42,故选A .。

2.6对数与对数函数必备知识预案自诊知识梳理1.对数的概念如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=log a N,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.2.对数的性质与运算法如此(1)对数的运算法如此如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么①log a(MN)=;②log a M=;N③log a M n=(n∈R).(2)对数的性质:a log a N=N(a>0,且a≠1,N>0).(3)对数换底公式:log a b=log c b(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).log c a3.对数函数的图象与性质图象4.反函数指数函数y=a x(a>0,且a≠1)与对数函数(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,它们的图象关于直线对称.1.对数的性质(a>0,且a≠1,b>0)(1)log a1=0;(2)log a a=1;log a b(m≠0).(3)lo g a m b n=nm2.换底公式的推论(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;c>0,且c≠1)(1)log a b·log b a=1,即log a b=1;log b a(2)log a b·log b c·log c d=log a d.3.对数函数的图象与底数大小的比拟如图,直线y=1与四个函数图象交点的横坐标即为相应的底数.结合图象知0<c<d<1<a<b.由此我们可以得到下面的规律:在第一象限内,从左到右底数逐渐增大.考点自诊1.判断如下结论是否正确,正确的画“√〞,错误的画“×〞.(1)log2x2=2log2x.()(2)函数y=log2x与y=lo g133x都是对数函数.()(3)当x>1时,假如log a x>log b x,如此a<b.()(4)函数f(x)=lg x-2x+2与g(x)=lg(x-2)-lg(x+2)是同一个函数.()(5)对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),(1a,-1).() 2.(2020某某某某中学八模,理3)x·log32=1,如此4x=()A.4B.6C.4log32D.93.(2020某某历城二中模拟四,3)a=lo g1516,b=lo g13π3,c=3-13,如此a,b,c的大小关系是()A.b<a<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a4.假如函数y'=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y'|0<y'≤1},如此函数y=log a|x|的图象大致是()5.(2020某某某某一模,理13)假如2a =10,b=log 510,如此1a +1b =.关键能力学案突破考点对数式的化简与求值【例1】化简如下各式:(1)lg 37+lg 70-lg 3-√(lg3)2-lg9+1; (2)log 3√2743·log 5[412log 210-(3√3)23-7log 72].解题心得对数运算的一般思路:(1)首先利用幂的运算把底数或真数进展变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.对点训练1(1)(2020全国1,文8)设a log 34=2,如此4-a =()A.116B.19C.18D.16(2)(2020某某某某一模,5)定义在R 上的函数f (x )的周期为4,当x ∈[-2,2)时,f (x )=13x -x-4,如此f (-log 36)+f (log 354)=()A.32B.32-log 32 C.-12D.23+log 32考点对数函数的图象与其应用【例2】(1)函数y=2log4(1-x)的图象大致是()(2)当0<x≤12时,4x=log a x有解,如此实数a的取值X围是.解题心得应用对数型函数的图象可求解的问题:(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,也常利用数形结合思想;(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.对点训练2(1)函数f(x)=log a|x|+1(0<a<1)的图象大致是()(2)函数y=|log2x|-12x的零点个数是()A.0B.1C.2D.3变式发散将本例(2)中的“4x=log a x有解〞改为“4x<log a x〞,如此实数a的取值X围为.考点对数函数的性质与其应用(多考向探究)考向1比拟含对数的函数值的大小【例3】(1)(2020全国3,文10)设a=log32,b=log53,c=23,如此()A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b(2)(2020某某某某一模,理9)a=log0.30.5,b=log30.5,c=log0.50.9,如此()A.ab<ac<a+bB.a+b<ab<acC.ac<ab<a+bD.ab<a+b<ac解题心得比拟含对数的函数值的大小,首先应确定对应函数的单调性,然后比拟含对数的自变量的大小,同底数的可借助函数的单调性;底数不同、真数一样的可以借助函数的图象;底数、真数均不同的可借助中间值(0或1).对点训练3(1)(2020某某某某二模,理3)a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,如此()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b(2)(2020全国3,理12)55<84,134<85.设a=log 53,b=log 85,c=log 138,如此()A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b考向2解含对数的函数不等式【例4】(1)函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增.假如正实数a 满足f (log 2a )+f (lo g 12a )≤2f (1),如此a 的取值X 围是()A.[1,2]B.0,12C.12,2 D.(0,2](2)设函数f (x )={log 2x,x >0,log 12(-x),x <0.假如f (a )>f (-a ),如此实数a 的取值X 围是()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)解题心得解简单对数不等式,先统一底数,化为形如log a f (x )>log a g (x )(a>0,且a ≠1)的不等式,再借助y=log a x 的单调性求解,当a>1时,log a f (x )>log a g (x )⇔{f(x)>0,g(x)>0,f(x)>g(x),当0<a<1时,log a f (x )>log a g (x )⇔{f(x)>0,g(x)>0,f(x)<g(x).对点训练4(1)定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,如此不等式f(x)<-1的解集是.(2)不等式log(x-3)(x-1)≥2的解集为.考向3对数型函数的综合问题【例5】函数f(x)=log a(x+1)-log a(1-x),a>0,且a≠1.(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并予以证明;(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的取值X围.解题心得有关对数型函数的综合问题要注意三点:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些根本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.对点训练5(1)(2020某某潍坊一模,7)定义在R上的偶函数f(x)=2|x-m|-1,记a=f(-ln 3),b=f(-log25),c=f(2m),如此()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a(2)函数f(x)=log a(ax2-x+3)在[1,3]上单调递增,如此a的取值X围是.2.6对数与对数函数必备知识·预案自诊知识梳理2.(1)①log a M+log a N ②log a M-log a N ③n log a M3.(0,+∞)(1,0)增函数减函数4.y=log a x y=x考点自诊1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2.D ∵x ·log 32=1,∴x=log 23,∴4x =4log 23=4log 49=9,应当选D .3.D a=lo g 1516>lo g 1515=1,b=lo g 13π3<lo g 131=0,c=3-13=√33,如此0<c<1,所以b<c<a.应当选D .4.A 函数y'=a |x|(a>0,且a ≠1)的值域为{y'|0<y'≤1},如此0<a<1,由此可知y=log a |x|的图象大致是A .5.1∵2a =10,∴a=log 210,又b=log 510,∴1a +1b =1log210+1log 510=lg2+lg5=lg10=1.关键能力·学案突破例1解(1)原式=lg37×703-√(lg3)2-2lg3+1=lg10-√(lg3-1)2=1-|lg3-1|=lg3.(2)原式=log 33343·log 5[10-(332)23−7log 72]=(log 3334-1)·log 5(10-3-2)=(34-1)·log 55=-14.对点训练1(1)B(2)A(1)因为a log 34=log 34a =2,所以4a =32=9,所以4-a =14a =19.应当选B .(2)由题意,f (log 354)=f (log 354-4)=f log 323,∵当x ∈[-2,2)时,f (x )=13x-x-4,且-log 36∈[-2,2),log 323∈[-2,2),∴f (-log 36)+f (log 354)=13-log 36-(-log 36)-4+13log 323-log 323-4=3log 36+3log 332+log 36-log 323-8=6+32+log 39-8=32.应当选A .例2(1)C(2)0,√22(1)函数y=2log 4(1-x )的定义域为(-∞,1),排除A,B;又函数y=2log 4(1-x )在定义域内单调递减,排除D .应当选C .(2)构造函数f (x )=4x 和g (x )=log a x.当a>1时不满足条件,当0<a<1时,画出两个函数在0,12上的大致图象,如下列图.可知,只需两图象在0,12上有交点即可,如此f 12≥g12,即2≥log a 12,如此0<a ≤√22,所以a 的取值X 围为0,√22.对点训练2(1)A(2)C(1)由于函数f (x )=log a |x|+1(0<a<1)是偶函数,故其图象关于y 轴对称.当x>0时,f (x )=log a |x|+1(0<a<1)单调递减;当x<0时,f (x )=log a |x|+1(0<a<1)单调递增.再由图象过点(1,1),(-1,1),可知应选A .(2)函数y=|log 2x|-12x 的零点个数即为方程|log 2x|=12x的实数根的个数.在同一平面直角坐标系内作出函数y=|log 2x|与y=12x的图象(图象略),不难得出两个函数的图象有2个交点,应当选C .变式发散√22,1设函数f (x )=4x 和g (x )=log a x ,可知当a>1时不满足条件,当0<a<1时,f12<g12,即2<log a 12,如此a>√22,所以a 的取值X 围为√22,1.例3(1)A(2)D(1)∵32a=32log 32=lo g 3223=log 98<1,∴a<23.∵32b=32log 53=lo g 5233=log 2527>1,∴b>23.又c=23,∴a<c<b.应当选A .(2)∵0=log 0.31<log 0.30.5<log 0.30.3=1,即0<a<1;log 30.5<log 31=0,即b<0;0=log 0.51<log 0.50.9<log 0.50.5=1,即0<c<1,∴ab<0,0<ac<1,即有ab<ac. ∵1a+1b =log 0.50.3+log 0.53=log 0.50.9=c ,即0<a+b ab=c<1,∴ab<a+b<0.综上,ab<a+b<ac.应当选D .对点训练3(1)B(2)A(1)∵log 51<log 52<log 5√5,∴0<a<12,b=log 0.50.2=lo g 1215=log 25>log 24=2,∵0.51<0.50.2<0.50,∴12<c<1,∴a<c<b ,应当选B .(2)∵43a=43log 53=lo g 5334=log 12581<1,∴a<34.∵43b=43log 85=lo g 8354=log 512625>1,∴b>34. ∵55<84,∴54b=54log 85=lo g 8455<1,∴b<45.∵134<85,∴54c=54log 138=lo g 13485>1,∴c>45. 综上,a<b<c.例4(1)C(2)C(1)因为lo g 12a=-log 2a ,所以f (log 2a )+f (lo g 12a )=f (log 2a )+f (-log 2a )=2f (log 2a ),原不等式变为2f (log 2a )≤2f (1),即f (log 2a )≤f (1).又因为f (x )是定义在R 上的偶函数,且在[0,+∞)内单调递增,所以|log 2a|≤1,即-1≤log 2a ≤1,解得12≤a ≤2,应当选C .(2)由题意可得{a >0,log 2a >-log 2a 或{a <0,log 12(-a)>log 2(-a),解得a>1或-1<a<0.应当选C .对点训练4(1)(-∞,-2)∪0,12(2){x|4<x ≤5}(1)由条件可知,当x ∈(-∞,0)时,f (x )=-log 2(-x ).当x ∈(0,+∞)时,f (x )<-1,即为log 2x<-1,解得0<x<12;当x ∈(-∞,0)时,f (x )<-1,即为-log 2(-x )<-1,解得x<-2.所以f (x )<-1的解集为(-∞,-2)∪0,12.(2)原不等式等价于{x -1>0,x -3>1,x -1≥(x -3)2或{x -1>0,0<x -3<1,x -1≤(x -3)2,解得4<x ≤5,故原不等式的解集为{x|4<x ≤5}.例5解(1)因为f (x )=log a (x+1)-log a (1-x ),所以{x +1>0,1-x >0,解得-1<x<1.故所求函数的定义域为{x|-1<x<1}.(2)f (x )为奇函数.证明如下:由(1)知f (x )的定义域为{x|-1<x<1},f (-x )=log a (-x+1)-log a (1+x )=-[log a (x+1)-log a (1-x )]=-f (x ).故f (x )为奇函数.(3)因为当a>1时,f (x )在定义域{x|-1<x<1}上是增函数, 由f (x )>0,得x+11-x>1,解得0<x<1.所以x 的取值X 围是(0,1).对点训练5(1)C(2)0,16∪(1,+∞)(1)根据题意,有f (-x )=f (x ),即2|x-m|-1=2|-x-m|-1,可得m=0,如此f (x )=2|x|-1={2x -1,x ≥0,2-x -1,x <0.如此f (x )在(0,+∞)上单调递增,a=f (-ln3)=f (ln3),b=f (log 25),c=f (20)=f (1),又0<1<ln3<2<log 25,如此c<a<b ,应当选C .(2)令t=ax 2-x+3,如此原函数化为y=f (t )=log a t.当a>1时,f (t )为定义域上的增函数,所以要保证t=ax 2-x+3在[1,3]上单调递增, 所以{12a ≤1,a -1+3>0,a >1,解得a>1.当0<a<1时,f (t )为定义域上的减函数,所以要保证t=ax 2-x+3在[1,3]上单调递减,所以{12a≥3,9a -3+3>0,0<a <1,解得0<a ≤16. 故a 的取值X 围为0,16∪(1,+∞).。

指数与指数函数[A 组 基础保分练]1.函数f （x ）＝21－x的大致图像为（ ）解析：函数f （x ）＝21－x ＝2×⎝⎛⎭⎫12x，单调递减且过点（0，2），选项A 中的图像符合要求. 答案：A2.（2021·安徽皖江名校模拟）若e a ＋πb ≥e －b ＋π－a ，则有（ ） A.a ＋b ≤0 B.a －b ≥0 C.a －b ≤0 D.a ＋b ≥0解析：令f （x ）＝e x－π－x ，则f （x ）在R 上是增加的，因为e a ＋πb ≥e －b ＋π－a ，所以e a －π－a ≥e －b－πb ，则f （a ）≥f （－b ），所以a ≥－b ，即a ＋b ≥0. 答案：D3.（2021·衡阳模拟）当x ∈（－∞，－1]时，不等式（m 2－m ）·4x －2x ＜0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.（－2，1） B.（－4，3） C.（－3，4） D.（－1，2）解析：∵（m 2－m ）·4x －2x ＜0在x ∈（－∞，－1]上恒成立，∴m 2－m ＜12x 在x ∈（－∞，－1]上恒成立.又f （x ）＝12x 在x ∈（－∞，－1]上单调递减，∴f （x ）≥2，∴m 2－m ＜2，∴－1＜m ＜2. 答案：D4.已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x <0，则函数f （x ）是（ ）A.偶函数，在[0，＋∞）上单调递增B.偶函数，在[0，＋∞）上单调递增C.奇函数，且单调递增D.奇函数，且单调递增解析：易知f （0）＝0，当x >0时，f （x ）＝1－2－x ，－f （x ）＝2－x －1，此时－x <0，则f （－x ）＝2－x －1＝－f （x ）；当x <0时，f （x ）＝2x －1，－f （x ）＝1－2x ，此时－x >0，则f （－x ）＝1－2－（－x ）＝1－2x ＝－f （x ）.即函数f （x ）是奇函数，且单调递增. 答案：C5.设函数f （x ）＝x 2－a 与g （x ）＝a x 在区间（0，＋∞）上具有不同的单调性，其中a ＞1且a ≠2，则M ＝（a －1）0.2与N ＝⎝⎛⎭⎫1a 0.1的大小关系是（ ） A.M ＝N B.M ≤N C.M ＜N D.M ＞N解析：由题意，因为f （x ）＝x 2－a 与g （x ）＝a x 在区间（0，＋∞）上具有不同的单调性，所以易知a ＞2，所以M ＝（a －1）0.2＞1，N ＝⎝⎛⎭⎫1a 0.1＜1，所以M ＞N .答案：D6.（2021·广州模拟）若存在负实数使得方程2x －a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.（2，＋∞）B.（0，＋∞）C.（0，2）D.（0，1）解析：在同一直角坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x －a 的图像，则由图知，当a ∈（0，2）时符合要求.答案：C 7.不等式＞⎝⎛⎭⎫12x ＋4的解集为__________.解析：＞2－x －4，∴－x 2＋2x ＞－x －4，即x 2－3x －4＜0，∴－1＜x ＜4.答案：{x |－1＜x ＜4}8.若函数f （x ）＝a x （a ＞0，a ≠1）在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g （x ）＝（1－4m ）x 在[0，＋∞）上是增函数，则a ＝__________.解析：若a ＞1，有a 2＝4，a －1＝m .此时a ＝2，m ＝12，此时g （x ）＝－x 为减函数，不合题意.若0＜a ＜1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意.答案：149.已知函数f （x ）＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a .（1）求f （x ）的单调区间；（2）若f （x ）的最大值等于94，求实数a 的值.解析：（1）令t ＝|x |－a ，则f （t ）＝⎝⎛⎭⎫23t ，不论a 取何值，t 在（－∞，0]上单调递减， 在[0，＋∞）上单调递增，又f （t ）＝⎝⎛⎭⎫23t 是单调递减的，因此f （x ）的单调递增区间是（－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞）.（2）由于f （x ）的最大值是94，且94＝⎝⎛⎭⎫23－2，所以g （x ）＝|x |－a 应该有最小值－2， 即g （0）＝－2，从而a ＝2.10.已知函数f （x ）＝2x ＋k ·2－x ，k ∈R .（1）若函数f （x ）为奇函数，求实数k 的值；（2）若对任意的x ∈[0，＋∞）都有f （x ）＞2－x 成立，求实数k 的取值范围.解析：（1）因为f （x ）＝2x ＋k ·2－x 是奇函数，所以f （－x ）＝－f （x ），x ∈R ，即2－x ＋k ·2x ＝－（2x ＋k ·2－x ）.所以（1＋k ）＋（k ＋1）·22x ＝0对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－1.（2）因为x ∈[0，＋∞）时，均有f （x ）＞2－x ，即2x ＋k ·2－x ＞2－x 成立，所以1－k ＜22x 对x ≥0恒成立，所以1－k ＜（22x ）min . 因为y ＝22x 在[0，＋∞）上单调递增， 所以（22x ）min ＝1，所以k ＞0.所以实数k 的取值范围是（0，＋∞）.[B 组 能力提升练]1.已知函数f （x ）＝2x －2，则函数y ＝|f （x ）|的图像可能是（ ）解析：|f （x ）|＝|2x－2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≥1，2－2x ，x ＜1，易知函数y ＝|f （x ）|的图像的分段点是x ＝1，且过点（1，0），（0，1），⎝⎛⎭⎫－1，32.又|f （x ）|≥0. 答案：B2.（2021·青岛模拟）函数y ＝a x ＋2－1（a ＞0且a ≠1）的图像恒过的点是（ ） A.（0，0） B.（0，－1） C.（－2，0） D.（－2，－1）解析：因为函数y ＝a x（a ＞0且a ≠1）的图像恒过点（0，1），将该图像向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到y ＝a x ＋2－1（a ＞0且a ≠1）的图像，所以y ＝a x ＋2－1（a ＞0且a ≠1）的图像恒过点（－2，0）. 答案：C3.（2021·潍坊模拟）已知a ＝⎝⎛⎭⎫12－43，b ＝⎝⎛⎭⎫14－25，c ＝⎝⎛⎭⎫125－13，则（ ）A.a ＜b ＜cB.b ＜c ＜aC.c ＜b ＜aD.b ＜a ＜c解析：因为a ＝⎝⎛⎭⎫12－43＝243，b ＝⎝⎛⎭⎫14－25＝245，c ＝⎝⎛⎭⎫125－13＝523，显然有b ＜a ，又a ＝423＜523＝c ，故b ＜a ＜c . 答案：D4.设x ＞0，且1＜b x ＜a x ，则（ ） A.0＜b ＜a ＜1 B.0＜a ＜b ＜1 C.1＜b ＜a D.1＜a ＜b解析：因为1＜b x ，所以b 0＜b x ， 因为x ＞0，所以b ＞1，因为b x ＜a x，所以⎝⎛⎭⎫a b x ＞1，因为x ＞0，所以ab＞1，所以a ＞b ，所以1＜b ＜a . 答案：C5.已知0＜b ＜a ＜1，则在a b ，b a ，a a ，b b 中最大的是（ ） A.b a B.a aC.a bD.b b解析：因为0＜b ＜a ＜1，所以y ＝a x 和y ＝b x 均为减函数，所以a b ＞a a ，b a ＜b b ，又因为y ＝x b 在（0，＋∞）上为增函数，所以a b ＞b b ，所以在a b ，b a ，a a ，b b 中最大的是a b . 答案：C6.不等式⎝⎛⎭⎫12x 2＋ax <⎝⎛⎭⎫122x ＋a －2恒成立，则a 的取值范围是__________.解析：由题意，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，因为⎝⎛⎭⎫12x 2＋ax <⎝⎛⎭⎫122x ＋a －2恒成立， 所以x 2＋ax >2x ＋a －2恒成立，所以x 2＋（a －2）x －a ＋2>0恒成立， 所以Δ＝（a －2）2－4（－a ＋2）<0， 即（a －2）（a －2＋4）<0， 即（a －2）（a ＋2）<0，故有－2<a <2，即a 的取值范围是（－2，2）. 答案：（－2，2）7.已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中可能成立的关系式有__________.（填序号）解析：函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x 的图像如图所示.由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0. 故①②⑤可能成立，③④不可能成立. 答案：①②⑤[C 组 创新应用练]1.（2021·杭州模拟）设y ＝f （x ）在（－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）＞K .给出函数f （x ）＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈（－∞，1]，恒有f K （x ）＝f （x ），则（ ） A.K 的最大值为0 B.K 的最小值为0 C.K 的最大值为1 D.K 的最小值为1解析：根据题意可知，对于任意x ∈（－∞，1]，若恒有f K （x ）＝f （x ），则f （x ）≤K 在x ≤1上恒成立，即f （x ）的最大值小于或等于K 即可.令2x ＝t ，则t ∈（0，2]，f （t ）＝－t 2＋2t ＝－（t －1）2＋1，可得f （t ）的最大值为1，所以K ≥1. 答案：D2.（2021·北京模拟）已知14C 的半衰期为5 730年（是指经过5 730年后，14C 的残余量占原始量的一半）.设14C 的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系为b ＝a e －kx ，其中x 表示经过的时间，k 为一个常数.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约 年.（参考数据：log 20.767≈－0.4）解析：由题意可知，当x ＝5 730时，a e －5 730k ＝12a ，解得k ＝ln 25 730.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.所以76.7%＝e －ln 25 730x ，得ln 0.767＝－ln 25 730x ，x ＝－5 730×ln 0.767ln 2＝－5 730×log 2 0.767≈2292.答案：2 292对数与对数函数[A 组 基础保分练]1.（2020·高考全国卷Ⅰ）设a log 34＝2，则4－a ＝（ ） A.116 B.19 C.18 D.16解析：法一：因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，所以4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19.法二：因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝＝9－1＝19.答案：B2.函数y ＝log 3（2x －1）＋1的定义域是（ ） A.[1，2] B.[1，2） C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧log 3（2x －1）＋1≥0，2x －1＞0，即⎩⎨⎧log 3（2x －1）≥log 313，x ＞12，解得x ≥23.答案：C3.（2021·吕梁模拟）已知a ＝log 35，b ＝1.51.5，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.c ＜a ＜b B.c ＜b ＜a C.a ＜c ＜b D.a ＜b ＜c解析：1＜a ＝log 35＝12log 325＜12log 327＝1.5，b ＝1.51.5＞1.5，c ＝ln 2＜1，所以c ＜a ＜b .答案：A4.已知x ∈⎝⎛⎭⎫12，1，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，那么（ ） A.a ＜b ＜c B.c ＜a ＜b C.b ＜a ＜c D.b ＜c ＜a解析：由于12＜x ＜1，故x ＞x 2，故ln x ＞ln x 2＝2ln x ，所以a ＞b .c －a ＝ln 3x －ln x ＝ln x （ln 2x－1），由于ln x ＜0，|ln x |＜ln 2＜1，ln 2x －1＜0，所以ln x （ln 2x －1）＞0，故c ＞a . 答案：C5.若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝log 2a （x ＋1）满足f （x ）＞0，则实数a 的取值范围是（ ）A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.（0，＋∞） 解析：因为－1＜x ＜0，所以0＜x ＋1＜1.又因为f （x ）＞0，所以0＜2a ＜1，所以0＜a ＜12.答案：A6.（2021·西安模拟）设方程10x ＝|lg （－x ）|的两个根分别为x 1，x 2，则（ ） A.x 1x 2＜0 B.x 1x 2＝0 C.x 1x 2＞1 D.0＜x 1x 2＜1解析：作出y ＝10x 与 y ＝|lg （－x ）|的大致图像，如图所示.显然x 1＜0，x 2＜0. 不妨令x 1＜x 2， 则x 1＜－1＜x 2＜0， 所以10x 1＝lg （－x 1），10x 2＝－lg （－x 2）， 此时10x 1＜10x 2，即lg （－x 1）＜－lg （－x 2）， 由此得lg （x 1x 2）＜0，所以0＜x 1x 2＜1. 答案：D7.已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是__________.解析：由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A ＞0，故A ＝98＝7 2. 答案：72 8.已知函数f （x ）＝log 0.5（x 2－ax ＋3a ）在[2，＋∞）上单调递减，则a 的取值范围为__________. 解析：令g （x ）＝x 2－ax ＋3a ，因为f （x ）＝log 0.5（x 2－ax ＋3a ）在[2，＋∞）上单调递减， 所以函数g （x ）在区间[2，＋∞）内单调递增，且恒大于0，所以12a ≤2且g （2）＞0，所以a ≤4且4＋a ＞0，所以－4＜a ≤4. 答案：（－4，4]9.设f （x ）＝log a （1＋x ）＋log a （3－x ）（a ＞0，且a ≠1），且f （1）＝2. （1）求a 的值及f （x ）的定义域；（2）求f （x ）在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值. 解析：（1）因为f （1）＝2，所以log a 4＝2（a ＞0，且a ≠1），所以a ＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3， 所以函数f （x ）的定义域为（－1，3）.（2）f （x ）＝log 2（1＋x ）＋log 2（3－x ） ＝log 2[（1＋x ）（3－x ）]＝log 2[－（x －1）2＋4]， 所以当x ∈（－1，1]时，f （x ）是增函数； 当x ∈（1，3）时，f （x ）是减函数，故函数f （x ）在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f （1）＝log 24＝2. 10.已知函数f （x ）＝log 4（ax 2＋2x ＋3）. （1）若f （1）＝1，求f （x ）的单调区间；（2）是否存在实数a ，使f （x ）的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 解析：（1）∵f （1）＝1，∴log 4（a ＋5）＝1，得a ＝－1， 故f （x ）＝log 4（－x 2＋2x ＋3）.由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3，函数定义域为（－1，3）. 令g （x ）＝－x 2＋2x ＋3，则g （x ）在（－1，1）上递增，在（1，3）上递减， 又y ＝log 4x 在（0，＋∞）上递增，所以f （x ）的单调递增区间是（－1，1），递减区间是（1，3）. （2）假设存在实数a 使f （x ）的最小值为0， 则h （x ）＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f （x ）的最小值为0.[B 组 能力提升练]1.函数f （x ）＝|log a （x ＋1）|（a ＞0，且a ≠1）的图像大致是（ ）解析：函数f （x ）＝|log a （x ＋1）|的定义域为{x |x ＞－1}，且对任意的x ，均有f （x ）≥0，结合对数函数的图像可知选C. 答案：C2.函数y ＝log a x 与y ＝－x ＋a 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）解析：当a ＞1时，函数y ＝log a x 的图像为选项B ，D 中过点（1，0）的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图像与y 轴的交点的纵坐标a 应满足a ＞1，选项B ，D 中的图像都不符合要求； 当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 的图像为选项A ，C 中过点（1，0）的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图像与y 轴的交点的纵坐标a 应满足0＜a ＜1，选项A 中的图像符合要求. 答案：A3.已知函数f （x ）＝|ln x |.若0＜a ＜b ，且f （a ）＝f （b ），则a ＋4b 的取值范围是（ ） A.（4，＋∞） B.[4，＋∞） C.（5，＋∞） D.[5，＋∞）解析：由f （a ）＝f （b ）得|ln a |＝|ln b |，根据函数y ＝|ln x |的图像及0＜a ＜b ，得－ln a ＝ln b ，0＜a ＜1＜b ，1a ＝b .令g （b ）＝a ＋4b ＝4b ＋1b，易得g （b ）在（1，＋∞）上单调递增，所以g （b ）＞g （1）＝5，即a ＋4b ＞5. 答案：C4.若log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜－1，则（ ） A.2x ＜3y ＜5z B.5z ＜3y ＜2x C.3y ＜2x ＜5z D.5z ＜2x ＜3y解析：设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t ＜－1，x ＝2t ，y ＝3t ，z ＝5t ，因此2x ＝2t ＋1，3y ＝3t ＋1，5z ＝5t ＋1.又t ＜－1，所以t ＋1＜0，由幂函数y ＝x t ＋1的单调性可知5z ＜3y ＜2x . 答案：B5.（2020·高考全国卷Ⅲ）已知55＜84，134＜85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则（ ） A.a ＜b ＜c B.b ＜a ＜c C.b ＜c ＜a D.c ＜a ＜b解析：∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58＜⎝⎛⎭⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝⎛⎭⎫log 52422－1log 58＜⎝⎛⎭⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53＜log 85.∵55＜84，134＜85，∴5log 85＜4，4＜5log 138，∴log 85＜log 138，∴log 53＜log 85＜log 138，即a ＜b ＜c . 答案：A6.（2021·黄石模拟）已知x 1＝log 132，x 2＝2，x 3满足⎝⎛⎭⎫13x 3＝log 3x 3，则（ ）A.x 1＜x 2＜x 3B.x 1＜x 3＜x 2C.x 2＜x 1＜x 3D.x 3＜x 1＜x 2 解析：由题意可知x 3是函数y 1＝⎝⎛⎭⎫13x与y 2＝log 3x 的图像交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝⎝⎛⎭⎫13x与y 2＝log 3x 的图像，如图所示，由图像可知x 3＞1，而x 1＝log 132＜0，0＜x 2＝2＜1，所以x 3＞x 2＞x 1. 答案：A7.已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ＜3，13x 2－103x ＋8，x ≥3，若存在实数a ，b ，c ，d ，满足f （a ）＝f （b ）＝f（c ）＝f （d ），其中d ＞c ＞b ＞a ＞0，则abcd 的取值范围__________.解析：由题意可得－log 3a ＝log 3b ＝13c 2－103c ＋8＝13d 2－103d ＋8，可得log 3（ab ）＝0，故ab ＝1.结合函数f （x ）的图像，在区间[3，＋∞）上， 令f （x ）＝1可得c ＝3，d ＝7，cd ＝21. 令f （x ）＝0可得c ＝4，d ＝6，cd ＝24. 故有21＜abcd ＜24. 答案：（21，24）[C 组 创新应用练]1.（2020·新高考全国卷）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I （t ）＝e rt 描述累计感染病例数I （t ）随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ln 2≈0.69）（ ） A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 解析：由R 0＝1＋rT ，R 0＝3.28，T ＝6，得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38.由题意，累计感染病倒数增加1倍，则I （t 2）＝2I （t 1），即e0.38t 2＝2e0.38t 1，所以e0.38（t 2－t 1）＝2，即0.38（t 2－t 1）＝ln 2，∴t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8.答案：B 2.（2021·朝阳模拟）在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度（单位mol/L ，记作[H ＋]）和氢氧根离子的物质的量浓度（单位mol/L ，记作[OH －]）的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg[H ＋]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为（参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48）（ ） A.12 B.13 C.16 D.110解析：由题意可得pH ＝－lg[H ＋]∈（7.35，7.45），且[H ＋]·[OH －]＝10－14，∴lg [H ＋][OH －]＝lg [H ＋]10－14[H ＋]＝lg [H ＋]2＋14＝2lg[H ＋]＋14.∵7.35＜－lg[H ＋]＜7.45，∴－7.45＜lg[H ＋]＜－7.35，∴－0.9＜2lg[H ＋]＋14＜－0.7，即－0.9＜lg [H ＋][OH －]＜－0.7.∵lg 12＝－lg 2≈－0.30，故A 错误；lg 13＝－lg 3≈－0.48，故B 错误；lg 16＝－lg 6＝－（lg 2＋lg 3）≈－0.78，故C 正确；lg 110＝－1，故D 错误.答案：C3.已知函数f （x ）＝ln x1－x ，若f （a ）＋f （b ）＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是__________.解析：由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b＝0，即ln ⎝⎛⎭⎫a 1－a ·b 1－b ＝0，从而a 1－a ·b1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a （1－a ）＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14.又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝⎛⎭⎫a －122＋14＜14，即ab ∈⎝⎛⎭⎫0，14. 答案：⎝⎛⎭⎫0，14。

第六节 对数与对数函数授课提示：对应学生用书第281页[A 组 基础保分练]1.（2020·高考全国卷Ⅰ）设a log 34＝2，则4－a ＝（ ） A.116 B.19 C.18 D.16解析：法一：因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，所以4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19.法二：因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝＝9－1＝19.答案：B2.函数y ＝log 3（2x －1）＋1的定义域是（ ） A.[1，2] B.[1，2） C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧log 3（2x －1）＋1≥0，2x －1＞0，即⎩⎨⎧log 3（2x －1）≥log 313，x ＞12，解得x ≥23.答案：C 3.（2021·吕梁模拟）已知a ＝log 35，b ＝1.51.5，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.c ＜a ＜b B.c ＜b ＜a C.a ＜c ＜b D.a ＜b ＜c解析：1＜a ＝log 35＝12log 325＜12log 327＝1.5，b ＝1.51.5＞1.5，c ＝ln 2＜1，所以c ＜a ＜b .答案：A4.已知x ∈⎝⎛⎭⎫12，1，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，那么（ ）A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜a ＜cD.b ＜c ＜a解析：由于12＜x ＜1，故x ＞x 2，故ln x ＞ln x 2＝2ln x ，所以a ＞b .c －a ＝ln 3x －ln x ＝ln x （ln 2x－1），由于ln x ＜0，|ln x |＜ln 2＜1，ln 2x －1＜0，所以ln x （ln 2x －1）＞0，故c ＞a . 答案：C5.若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝log 2a （x ＋1）满足f （x ）＞0，则实数a 的取值范围是（ ）A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞D.（0，＋∞）解析：因为－1＜x ＜0，所以0＜x ＋1＜1.又因为f （x ）＞0，所以0＜2a ＜1，所以0＜a ＜12.答案：A 6.（2021·西安模拟）设方程10x ＝|lg （－x ）|的两个根分别为x 1，x 2，则（ ） A.x 1x 2＜0 B.x 1x 2＝0 C.x 1x 2＞1 D.0＜x 1x 2＜1 解析：作出y ＝10x 与 y ＝|lg （－x ）|的大致图像，如图所示.显然x 1＜0，x 2＜0. 不妨令x 1＜x 2， 则x 1＜－1＜x 2＜0，所以10x 1＝lg （－x 1），10x 2＝－lg （－x 2）， 此时10x 1＜10x 2，即lg （－x 1）＜－lg （－x 2），由此得lg （x 1x 2）＜0，所以0＜x 1x 2＜1. 答案：D7.已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是__________.解析：由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A ＞0，故A ＝98＝7 2.答案：7 28.已知函数f （x ）＝log 0.5（x 2－ax ＋3a ）在[2，＋∞）上单调递减，则a 的取值范围为__________. 解析：令g （x ）＝x 2－ax ＋3a ，因为f （x ）＝log 0.5（x 2－ax ＋3a ）在[2，＋∞）上单调递减， 所以函数g （x ）在区间[2，＋∞）内单调递增，且恒大于0，所以12a ≤2且g （2）＞0，所以a ≤4且4＋a ＞0，所以－4＜a ≤4. 答案：（－4，4]9.设f （x ）＝log a （1＋x ）＋log a （3－x ）（a ＞0，且a ≠1），且f （1）＝2. （1）求a 的值及f （x ）的定义域；（2）求f （x ）在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值. 解析：（1）因为f （1）＝2，所以log a 4＝2（a ＞0，且a ≠1），所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3， 所以函数f （x ）的定义域为（－1，3）.（2）f （x ）＝log 2（1＋x ）＋log 2（3－x ） ＝log 2[（1＋x ）（3－x ）]＝log 2[－（x －1）2＋4]， 所以当x ∈（－1，1]时，f （x ）是增函数；当x ∈（1，3）时，f （x ）是减函数，故函数f （x ）在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f （1）＝log 24＝2. 10.已知函数f （x ）＝log 4（ax 2＋2x ＋3）. （1）若f （1）＝1，求f （x ）的单调区间；（2）是否存在实数a ，使f （x ）的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 解析：（1）∵f （1）＝1，∴log 4（a ＋5）＝1，得a ＝－1， 故f （x ）＝log 4（－x 2＋2x ＋3）.由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3，函数定义域为（－1，3）. 令g （x ）＝－x 2＋2x ＋3，则g （x ）在（－1，1）上递增，在（1，3）上递减， 又y ＝log 4x 在（0，＋∞）上递增，所以f （x ）的单调递增区间是（－1，1），递减区间是（1，3）. （2）假设存在实数a 使f （x ）的最小值为0， 则h （x ）＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此⎩⎨⎧a ＞0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f （x ）的最小值为0.[B 组 能力提升练]1.函数f （x ）＝|log a （x ＋1）|（a ＞0，且a ≠1）的图像大致是（ ）解析：函数f （x ）＝|log a （x ＋1）|的定义域为{x |x ＞－1}，且对任意的x ，均有f （x ）≥0，结合对数函数的图像可知选C. 答案：C2.函数y ＝log a x 与y ＝－x ＋a 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）解析：当a ＞1时，函数y ＝log a x 的图像为选项B ，D 中过点（1，0）的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图像与y 轴的交点的纵坐标a 应满足a ＞1，选项B ，D 中的图像都不符合要求；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 的图像为选项A ，C 中过点（1，0）的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图像与y 轴的交点的纵坐标a 应满足0＜a ＜1，选项A 中的图像符合要求. 答案：A3.已知函数f （x ）＝|ln x |.若0＜a ＜b ，且f （a ）＝f （b ），则a ＋4b 的取值范围是（ ） A.（4，＋∞） B.[4，＋∞） C.（5，＋∞） D.[5，＋∞） 解析：由f （a ）＝f （b ）得|ln a |＝|ln b |，根据函数y ＝|ln x |的图像及0＜a ＜b ，得－ln a ＝ln b ，0＜a ＜1＜b ，1a ＝b .令g （b ）＝a ＋4b ＝4b ＋1b ，易得g （b ）在（1，＋∞）上单调递增，所以g （b ）＞g （1）＝5，即a ＋4b ＞5.答案：C4.若log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜－1，则（ ） A.2x ＜3y ＜5z B.5z ＜3y ＜2x C.3y ＜2x ＜5z D.5z ＜2x ＜3y解析：设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t ＜－1，x ＝2t ，y ＝3t ，z ＝5t ，因此2x ＝2t ＋1，3y ＝3t ＋1，5z ＝5t ＋1.又t ＜－1，所以t ＋1＜0，由幂函数y ＝x t ＋1的单调性可知5z ＜3y ＜2x . 答案：B 5.（2020·高考全国卷Ⅲ）已知55＜84，134＜85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则（ ） A.a ＜b ＜c B.b ＜a ＜c C.b ＜c ＜a D.c ＜a ＜b解析：∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58＜⎝ ⎛⎭⎪⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝⎛⎭⎫log 52422－1log 58＜⎝⎛⎭⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53＜log 85.∵55＜84，134＜85，∴5log 85＜4，4＜5log 138，∴log 85＜log 138，∴log 53＜log 85＜log 138，即a ＜b ＜c . 答案：A6.（2021·黄石模拟）已知x 1＝log 132，x 2＝2，x 3满足⎝⎛⎭⎫13x 3＝log 3x 3，则（ ）A.x 1＜x 2＜x 3B.x 1＜x 3＜x 2C.x 2＜x 1＜x 3D.x 3＜x 1＜x 2 解析：由题意可知x 3是函数y 1＝⎝⎛⎭⎫13x 与y 2＝log 3x 的图像交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝⎝⎛⎭⎫13x与y 2＝log 3x 的图像，如图所示，由图像可知x 3＞1，而x 1＝log 132＜0，0＜x 2＝2＜1，所以x 3＞x 2＞x 1.答案：A7.已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ＜3，13x 2－103x ＋8，x ≥3，若存在实数a ，b ，c ，d ，满足f （a ）＝f （b ）＝f（c ）＝f （d ），其中d ＞c ＞b ＞a ＞0，则abcd 的取值范围__________.解析：由题意可得－log 3a ＝log 3b ＝13c 2－103c ＋8＝13d 2－103d ＋8，可得log 3（ab ）＝0，故ab ＝1.结合函数f （x ）的图像，在区间[3，＋∞）上， 令f （x ）＝1可得c ＝3，d ＝7，cd ＝21. 令f （x ）＝0可得c ＝4，d ＝6，cd ＝24. 故有21＜abcd ＜24.答案：（21，24）[C 组 创新应用练] 1.（2020·新高考全国卷）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I （t ）＝e rt 描述累计感染病例数I （t ）随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ln 2≈0.69）（ ） A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 解析：由R 0＝1＋rT ，R 0＝3.28，T ＝6， 得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38.由题意，累计感染病倒数增加1倍，则I （t 2）＝2I （t 1），即e0.38t 2＝2e0.38t 1，所以e0.38（t 2－t 1）＝2，即0.38（t 2－t 1）＝ln 2，∴t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8.答案：B 2.（2021·朝阳模拟）在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度（单位mol/L ，记作[H ＋]）和氢氧根离子的物质的量浓度（单位mol/L ，记作[OH －]）的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg[H ＋]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为（参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48）（ ） A.12 B.13 C.16 D.110解析：由题意可得pH ＝－lg[H ＋]∈（7.35，7.45），且[H ＋]·[OH －]＝10－14，∴lg[H ＋][OH －]＝lg[H ＋]10－14[H ＋]＝lg [H ＋]2＋14＝2lg[H ＋]＋14.∵7.35＜－lg[H ＋]＜7.45，∴－7.45＜lg[H ＋]＜－7.35，∴－0.9＜2lg[H ＋]＋14＜－0.7，即－0.9＜lg [H ＋][OH －]＜－0.7.∵lg 12＝－lg 2≈－0.30，故A 错误；lg 13＝－lg 3≈－0.48，故B 错误；lg 16＝－lg 6＝－（lg 2＋lg 3）≈－0.78，故C 正确；lg 110＝－1，故D 错误.答案：C3.已知函数f （x ）＝ln x1－x ，若f （a ）＋f （b ）＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是__________.解析：由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ·b 1－b ＝0，从而a 1－a ·b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1， 故ab ＝a （1－a ）＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14.又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝⎛⎭⎫a －122＋14＜14，即ab ∈⎝⎛⎭⎫0，14. 答案：⎝⎛⎭⎫0，14。

第二讲 函数的定义域、值域A 组基础巩固一、选择题1．(2021·山东临沂月考）函数f (x )＝错误!＋ln|x ｜的定义域为（ B ） A ．［－1,＋∞) B ．［－1，0）∪（0,＋∞） C ．（－∞,－1］D ．(－1，0)∪（0，＋∞)［解析] 由题意得错误!∴x ∈［－1,0)∪（0,＋∞）．故选B 。

2．f （x ）＝x 2＋x ＋1在［－1，1］上的值域为（ C ） A ．[1，3] B ．错误! C.错误!D ．错误!［解析] ∵f （x )＝x 2＋x ＋1的对称轴为x ＝－错误!， ∴f （x ）min ＝f 错误!＝错误!,又f (－1）＝1，f （1）＝3, ∴f (x ）∈错误!。

3．(2021·北京西城区模拟）下列函数中，值域为［0，1]的是（ D ） A ．y ＝x 2 B ．y ＝sin x C ．y ＝错误!D ．y ＝错误!［解析］ y ＝x 2的值域[0，＋∞)，y ＝sin x 的值域为[－1，1］，y ＝错误!的值域（0，1］，故选D.4．（2021·广东华南师大附中月考）已知函数f （x ）的定义域是［－1，1］，则函数g （x ）＝f (2x －1)ln (1－x )的定义域是（ B ）A ．[0，1]B ．（0，1）C ．［0，1）D ．(0，1］[解析] 错误! 解得0〈x 〈1。

5．（2021·佛山模拟)函数f （x ）＝错误!的值域为（ D ） A ．［1，＋∞） B ．（1,＋∞） C ．(0，1]D ．（0，1） ［解析］ f （x ）＝错误!＝错误!，∵错误!x 〉0， ∴1＋错误!x 〉1，∴0<错误!<1。

6．（2021·河南安阳三校联考改编）若函数f （x ）＝错误!的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( B ）A ．（0，4］B ．[0，4］C ．[0,4）D ．(0,4]［解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立;当m ≠0时，则错误!解得0〈m ≤4. 综上可得，0≤m ≤4。

对数函数一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内.．对数式log a2(5a)b中，实数a的取值范围是〔〕A．(,5)B．(2,5)C．(2,)D．(2,3)(3,5)2．如果lgx=lga+3lgb－5lgc，那么〔〕A．x=a+3b－c B．x3ab ab3D．x=a+b3－c35cC．xc53．设函数y=lg(x2－5x)的定义域为M，函数y=lg(x－5)+lgx的定义域为N，那么〔〕A．M∪N=R B．M=N C．M ND．M N4．假设函数log2(kx2+4kx+3)的定义域为R，那么k的取值范围是〔〕A．33C．,3,0]3 0,B．0,D．(,44445．以下函数图象正确的选项是〔〕A B C D6．函数g(x)f(x)1R，那么g(x)，其中log2f(x)=2x，x〔〕f(x)A．是奇函数又是减函数B．是偶函数又是增函数C．是奇函数又是增函数D．是偶函数又是减函数8．如果y=log2〔〕a－1x在(0，+∞)内是减函数，那么a的取值范围是A．｜a｜＞1B．｜a｜＜2C．a2D．1a2二、填空题：请把答案填在题中横线上.9．函数y log1(2x2)的定义域是，值域是.210．方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解为.来源于网络11．将函数y2x的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，作出C2关于直线y=x对称的图象C3，那么C3的解析式为.12．函数y=log1(x24x12)的单调递增区间是.2三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.13．函数f(x)log2x1log2(x1)log2(px).x1求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的值域.14．设函数f(x)lg(xx21).确定函数f(x)的定义域；判断函数f(x)的奇偶性；证明函数f(x)在其定义域上是单调增函数；求函数f(x)的反函数.15．现有某种细胞100个，其中有占总数1的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律2开展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？〔参考数据：lg30.477,lg2〕.来源于网络16．如图，A，B，C为函数y log1x的图象2上的三点，它们的横坐标分别是t,t+2,t+4(t1).(1)设ABC的面积为S求S=f(t)；判断函数S=f(t)的单调性；求S=f(t)的最大值.17．已求函数y log a(x x2)(a 0,a1)的单调区间.参考答案一、DCCB BDBD二、9．211,2，0,；10．0；11．ylog2(x1)1；12．(,2)；三、来源于网络13．解：(1)函数的定义域为 (1，p). (2)当 ＞3时， f ( )的值域为(－∞，2log 2 ( +1)－2)；p x p当1＜p 3时，f(x)的值域为(－ ，1+log2(p+1)).14．解：(1)由xx 2 1 0得x ∈R ，定义域为 R. (2)是奇函数. (3)设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，x 21 0那么f(x 1) f(x 2)lgx 1 x 121.令tx x 2 1，x 2x 22 1那么t 1t 2 (x 1x 12 1)(x 2x 22 1).=(x 1 x 2)(x 121 x 22 1)=(x x ) (x 1x 2)(x 1x 2)1 2x 121x 221=(x 12 2x 2)(x 1 1 x 2 1x 1x 2x 12 1x 221∵x 1－x 2＜0，x 12 1 x 1 0，x 221x 20，x 121 x 22 10，∴t 1－t 2＜0，∴0＜t 1＜t 2，∴0t 11，t 2∴f(x)－f(x2 )＜lg1=0，即f(x1 )＜f(x )，∴函数f(x)在R 上是单调增函数.12(4)反函数为y102x1(x R).210x15．解：现有细胞 100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为1 100 110023 100 ；22 22小时后，细胞总数为1 3 100 13 100 29100；2 2 224 3小时后，细胞总数为1 9 100 1 9 1002 27 100；2 4 2 484小时后，细胞总数为1 27 100 1 27 1002 81 100；2 8 2 816y 与时间x 〔小时〕之间的函数关系为：x，xN可见，细胞总数 y10032xx3103 10为底的对数，得由 ，得 108，两边取以10010 228， ∵8 8，∴xlg3lg2lg3lg2∴x .xlg38，2来源于网络16．解：〔1〕过A,B,C,分别作AA1 ,BB ,CC 1 垂直于x 轴，垂足为 A 1 ,B,C ， 11 1 那么S=S 梯形AA 1B 1B+S 梯形BB 1C 1C －S梯形AA 1C 1C.log 31 t 24tlog 3(1 4 )(t2)2 t 24t〔2〕因为v=t 24t 在[1,)上是增函数,且v5,v14 在5. 上是减函数，且1<u9 ;S log 3u 在1, 9 上是增函数，v55所以复合函数S=f(t)log 3(14上是减函数t 2)在1,4t9 2 log 35〔3〕由〔2〕知t=1时，S 有最大值，最大值是f(1) log 3517．解：由xx 2 >0得0<x<1，所以函数y log a (xx 2)的定义域是(0,1)因为0<xx 2=(x 1)2 11，24 4所以，当0<a<1时,log a (xx 2)log a 14函数ylog a (xx 2 )的值域为 1;log a ,4当a>1时,log a (xx 2)log a14函数ylog a (xx 2)的值域为,log a14当0<a<1时，函数ylog a (xx 2)在0,1 上是减函数，在1 ,1上是增函数；22当a>1时，函数ylog a (xx 2)在0, 1上是增函数，在1,1 上是减函数.22指数函数 x2.函数y=23的图象与直线y=x 的位置关系是 ( )3.假设函数y=a x +b-1(a>0且a ≠1)的图象经过二、三、四象限，那么一定有 ( )A.0<a<1且b>0B.a>1 且b>0C.0<a<1 且b<0D.a>1且b<0来源于网络函数y=－e x 的图象A.与y=e x 的图象关于y 轴对称B.与y=e x 的图象关于坐标原点对称C.与y=e－D.与y=e －x的图象关于坐标原点对称x的图象关于y 轴对称5.假设直线y=2a 与函数y=|a x －1|〔a ＞0且a ≠1〕的图象有两个公共点，那么 a 的取值范围是__________.6.函数y1x 2 2x2的递增区间是___________.2题型一：指数式的运算1133x 2x231、x2x2的值；3，求2x 22x题型二：指数方程及应用3、解方程⑴4x +2x -2=0⑵4x +|1－2x |=11.1, xx1 4.假设函数f(x)那么不等式|f(x)|1 x ,x3()3的解集为____________. 解：此题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法.属于根底知识、根本运算的考查 .1 x 0〔1〕由|f(x)|1 1 3x0.3x3〔2〕由|f(x)|1x 0x1 x1 1x10x1.3333 3∴不等式|f(x)|1 的解集为 x| 3 x1，∴应填3,1.3题型三：指数函数的图像与应用5、右图是指数函数①y=a x,②y=b x ,③y=c x ,④y=d x 的图象，那么a 、、 、 d 与1的大小关系是()bcA.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c6、假设函数y(1)|1x|m 的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是〔 〕2来源于网络A ．m ≤－1B ．－1≤m<0C ．m ≥1D ．0<m ≤1|2x －4|17．假设函数f(x)＝a(a>0，a ≠1)，满足f(1)＝9，那么f(x)的单调递减区间是() A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]1 21 1 (a ＝－1 舍去)，即f(x)＝ 1|2x －4|由f(1)＝得a＝，∴a ＝ 3 3.99 3由于y ＝|2x －4|在(－∞，2)上递减，在(2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2)上递增，在(2，＋∞)上递减．故选B.8、方程 x2=2－x 的解的个数为______________.题型四：指数函数单调性的运用9、⑴函数y1x 22x2的单调区间是.⑵函数y=2x 2x6的递增区间是.210、2x2x≤(1)x2，求函数y=2X 2X 的值域。

第5节 指数、对数知 识 梳 理1.根式与指数幂的运算 （1）根式①概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.②性质：（n a ）n ＝a （a 使n a 有意义）；当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.（2）分数指数幂①规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1）；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1（a >0，m ，n ∈N *，且n >1）；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.②有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；（a r ）s ＝a rs ；（ab ）r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2.对数与对数的运算 （1）对数的概念如果a x ＝N （a >0，且a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.（2）对数的性质①log a 1＝0；②log a a ＝1；③a log a N ＝N ；④log a a b ＝b （a >0，且a ≠1）. （3）对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a （MN ）＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M （n ∈R ）. （4）换底公式log b N ＝log a Nlog ab （a ，b 均大于零且不等于1）.已知a ，b ，c ，d ，M ，N 都满足条件，则： （1）log am M n ＝nm log a M （m ，n ∈R ，且m ≠0）； （2）log a b ＝1log ba ，推广log ab ·log bc ·log cd ＝log a d .诊 断 自 测1.（必修1P52例5改编）化简[（－2）6]12－（－1）0的结果为（ ）A.－9B.7C.－10D.9 答案 B解析 原式＝（26）12－1＝8－1＝7. 2.若log a 2<log b 2<0，则（ ） A.0<a <b <1 B.0<b <a <1 C.a >b >1 D.b >a >1 答案 B解析 log a 2<log b 2<0⇔lg 2lg a <lg 2lg b <0⇔lg b <lg a <0，故0<b <a <1.故选B. 3.⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝ . 答案 2解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.4.计算：log 222＝ ；2log 23＋log 43＝ .答案 －12 3 3解析 log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.5.设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝ ，（2α）β＝ .答案 14 215解析 由一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15，则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，（2α）β＝2αβ＝215.6.（2021·杭州质检）设a ＝log 23，b ＝log 38，则2a ＝ ；ab ＝ . 答案 3 3解析 由a ＝log 23得2a＝3，ab ＝log 23×log 38＝ln 3ln 2×ln 8ln 3＝ln 23ln 2＝3ln 2ln 2＝3.考点一 指数幂的运算【例1】 化简：（1）a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b13（a >0，b >0）；（2）⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋（0.002）－12－10（5－2）－1＋（2－3）0.解 （1）原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab －1. （2）原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723＋50012－10（5＋2）＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679.感悟升华 （1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序.（2）当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.（3）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】 化简求值：（1）⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－（0.01）0.5；（2）（a 23×b －1）－12×a －12×b 136a ×b 5.解 （1）原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.考点二 对数的运算【例2】 （1）设2a＝5b＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝（ ）A.10B.10C.20D.100（2）计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝ Ｗ.（3）（2020·全国Ⅰ卷）设a log 34＝2，则4－a ＝（ ） A.116 B.19 C.18 D.16答案 （1）A （2）－20 （3）B解析 （1）由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.（2）原式＝（lg 2－2－lg 52）×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.（3）法一 因为a log 34＝2， 所以log 34a ＝2，所以4a ＝32＝9， 所以4－a ＝14a ＝19.故选B.法二 因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝4－log 49＝4log 49－1＝9－1＝19.故选B.感悟升华 （1）在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.（2）先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.（3）a b ＝N ⇔b ＝log a N （a >0，且a ≠1）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练2】 （1）（2017·全国Ⅰ卷）设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则（ ） A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2x D.3y <2x <5z（2）（2020·全国Ⅲ卷）已知55<84，134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则（ ）A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b（3）若实数a ＞b ＞1，且log a b ＋log b a ＝52，则log a b ＝ ，b 2a ＝ Ｗ.答案 （1）D （2）A （3）12 1解析 （1）取对数：x ln 2＝y ln 3＝z ln 5，x y ＝ln 3ln 2>32（由ln 32>ln 23可得），又x ，y 为正数，∴2x >3y .x ln 2＝z ln 5，则x z ＝ln 5 ln 2<52（由ln 52＜ln 25可得），又x ，z 为正数，∴2x <5z ，∴3y <2x <5z ，故选D.（2）∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52422－1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53<log 85.∵55<84，134<85，∴5log 85<4log 88＝4＝4log 1313<5log 138，∴log 85<log 138，∴log 53<log 85<log 138，即a <b <c .故选A.（3）由a ＞b ＞1，得0<log a b ＜1，又因为log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log ab ＝52，解得log a b＝12，所以a 12＝b ，即b 2＝a ，所以b 2a ＝1.基础巩固题组一、选择题1.化简：416x 8y 4（x <0，y <0）＝（ ） A.2x 2y B.2xy C.4x 2y D.－2x 2y 答案 D解析 ∵x <0，y <0，∴416x 8y 4＝2x 2|y |＝－2x 2y . 2.（log 29）×（log 34）＝（ ） A.14 B.12 C.2 D.4 答案 D解析 （log 29）×（log 34）＝2log 23×2log 32＝4.3.（2021·台州期末评估）已知a ＝log 248，2b＝23，则a ＋b ＝（ ）A.4B.5C.6D.7 答案 B解析 由题意得a ＝log 2（16×3）＝4＋log 23，b ＝log 223＝1－log 23，则a ＋b ＝5，故选B.4.已知x ，y 为正实数，则（ ） A.2lg x＋lg y＝2lg x ＋2lg y B.2lg（x ＋y ）＝2lg x ＋2lg yC.2lg x ·lg y＝2lg x ＋2lg y D.2lg （xy ）＝2lg x ·2lg y答案 D解析 ∵x ，y ∈（0，＋∞），∴2lg （xy ）＝2lg x ＋lg y ＝2lg x ·2lg y ，A 不成立，D 成立；对于B ，C ，不妨取x ＝y ＝1，代入B ，C 易知不成立，故选D.5.（2021·杭州质检）设正实数x ，y 满足e x ·e y ＝（e x ）y ，则当x ＋y 取得最小值时，x＝（）A.1B.2C.3D.4 答案 B解析由e x·e y＝（e x）y得e x＋y＝e xy，所以x＋y＝xy≤（x＋y）24，解得x＋y≥4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，故选B.6.（2020·全国Ⅲ卷）设a＝log32，b＝log53，c＝23，则（）A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b 答案 A解析∵3log32＝log38<2，∴log32<23，即a<c.∵3log53＝log527>2，∴log53>23，即b>c.∴a<c<b.故选A.7.已知a>0，b>0，则下列等式不正确的是（）A.a lg b·b lg a＝1B.a lg b＋b lg a＝2a lg bC.a lg b·b lg a＝（a lg b）2D.a lg b·b lg a＝b lg a2答案 A解析由于a>0，b>0，故当a＝b时，有a lg b b lg a＝（a lg b）2，a lg b＋b lg a＝a lg b＋a lg b＝2a lg b，a lg b·b lg a＝（b lg a）2＝b2lg a＝b lg a2，故选A.8.（2019·北京卷）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝52lgE1E2，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）.已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10－10.1答案 A解析设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2，则太阳与天狼星的亮度分别为E1，E2.由题意知m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－（－26.7）＝52lg E 1E 2，所以lg E 1E 2＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1.故选A.9.已知log 23＝a ，log 25＝b ，则log 295＝（ ）A.a 2－bB.2a －bC.a 2bD.2ab 答案 B解析 ∵log 23＝a ，log 25＝b ，∴log 295＝log 29－log 25＝2log 23－log 25＝2a －b . 二、填空题10.若log 2x ＝log 43，则x ＝ Ｗ. 答案3解析 由等式可得log 2x ＝12log 23，解得x ＝ 3. 11.（lg 2）2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝ Ｗ. 答案 2解析 （lg 2）2＋lg 2·lg 50＋lg 25 ＝lg 2·（lg 2＋lg 50）＋lg 25 ＝2（lg 2＋lg 5）＝2.12.若x ＝log 43，则（2x －2－x ）2＝ Ｗ. 答案 43解析 ∵x ＝log 43，∴4x ＝3，4－x ＝13， ∴（2x －2－x ）2＝4x －2＋4－x ＝3－2＋13＝43. 13.已知a 12＋a －12＝3，则a ＋a －1＝ ，a 2＋a －2＝答案 7 47解析 ∵a 12＋a －12＝3， ∴两边平方得a ＋a －1＋2＝9， ∴a ＋a －1＝7，对上式两边平方得a 2＋2＋a －2＝49，∴a 2＋a －2＝47.14.计算：2lg 2＋lg 25＝ ，方程log 2（x ＋1）＝3的解为x ＝ 答案 2 7解析 2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，∵方程log 2（x ＋1）＝3，∴x ＋1＝23＝8，解得x ＝7.能力提升题组15.（2021·温州适考）设a ，b ∈（0，1）∪（1，＋∞），则“a ＝b ”是“log a b ＝log b a ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为a ，b ∈（0，1）∪（1，＋∞），当a ＝b 时，log a b ＝log b a ，充分性成立；当log a b ＝log b a ，取a ＝2，b ＝12，验证等式成立，故必要性不成立，所以“a ＝b ”是“log a b ＝log b a ”的充分不必要条件，故选A.16.（2018·全国Ⅲ卷）设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则（ ） A.a ＋b <ab <0 B.ab <a ＋b <0 C.a ＋b <0<ab D.ab <0<a ＋b 答案 B解析 由a ＝log 0.20.3得1a ＝log 0.30.2，由b ＝log 20.3得1b ＝log 0.32，所以1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，所以0<1a ＋1b <1，得0<a ＋b ab <1.又a >0，b <0，所以ab <0，所以ab <a ＋b <0.17.函数f （x ）＝2log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －x 2＋1x 2－22的图象为（ ）答案 D解析 f （x ）＝2log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －x 2＋1x 2－22＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，1x，x ≥1，故选D.18.比较lg 2，（lg 2）2，lg （lg 2）的大小，其中最大的是 ；最小的是 答案 lg 2 lg （lg 2）解析 因为0＜lg 2＜1，所以lg （lg 2）＜0＜（lg 2）2＜lg 2，即最大的是lg 2，最小的是lg （lg 2）.19.已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则xy 的最大值是 Ｗ. 答案 112解析 由题意得lg 2x ＋lg 8y ＝lg （2x ×23y ）＝lg 2x ＋3y ＝lg 2（x >0，y >0），所以x ＋3y ＝1，则xy ＝13x ×3y ≤13⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22＝112，当且仅当x ＝3y ＝12时，等号成立，所以xy 的最大值为12。

第五讲幂函数与二次函数A组基础巩固一、选择题1．幂函数y＝f（x）的图象经过点(3，错误!）,则f（x)是（D）A．偶函数，且在区间（0，＋∞）内是增函数B．偶函数，且在区间（0，＋∞)内是减函数C．奇函数，且在区间（0，＋∞)内是减函数D．非奇非偶函数，且在区间（0，＋∞）内是增函数［解析］设幂函数f（x）＝x a，则f（3）＝3a＝错误!，解得a＝错误!，则f(x）＝x错误!＝错误!，是非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞）内是增函数．2．(2020·湖北鄂东南省级示范高中教育改革联盟期中）若幂函数y＝x－1，y＝x m与y＝x n在第一象限的图象如图所示，则m与n的取值情况为（D）A．－1<m〈0〈n<1B．－1〈n<0<mC．－1〈m〈0〈n D．－1〈n<0〈m<1［解析］取x＝错误!，由图易知错误!〈错误!m<1〈错误!n<错误!－1,∴－1<n<0〈m 〈1.故选D。

3．（2021·北京昌平区月考）已知幂函数f(x）＝（m2－m－1）x m在（0,＋∞）上单调递减，则实数m＝（A）A．－1B．2C．－1或2 D．错误!［解析］由于函数f（x)是幂函数,所以m2－m－1＝1,解得m＝2或m＝－1。

当m＝2时，f（x）＝x2在(0，＋∞)上单调递增，舍去；当m＝－1时，f（x）＝x－1在（0，＋∞）上单调递减．故选A。

4．(2021·福建长庆中学月考）函数y＝x2－x＋1，x∈［－1,1］的最大值与最小值之和为(B）A．1。

75B．3。

75C．4 D．5[解析］函数y＝x2－x＋1图象的对称轴为直线x＝错误!，则y＝x2－x＋1在错误!上单调递减，在错误!上单调递增,∴y max＝（－1）2－(－1）＋1＝3，y min＝错误!2－错误!＋1＝错误!，∴y max＋y min＝3＋错误!＝3。

75，故选B.5．如图给出四个幂函数大致的图象，则图象与函数对应不正确的是(A）A．①y＝x错误!B．②y＝x2C．③y＝x错误!D．④y＝x－1[解析］根据常见幂函数的图象判断或取特殊值,逐个验证知B、C、D正确．6．(2021·清华附中统练)函数f(x）＝ax2－(a－1）x－3在区间［－1，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（D)A。

第二章 函数的概念与基本初等函数I第五讲 对数与对数函数练好题·考点自测 1.下列说法正确的是( )①若MN >0,则log a (MN )=log a M +log a N.②对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)在(0,+∞)上是增函数. ③函数y =ln1+x 1-x与y =ln(1+x )-ln(1-x )的定义域相同.④对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a ,1),(1a ,-1),函数图象只在第一、四象限. A.①③④B.①③C.③④D.④2.[2019浙江,6,5分]在同一直角坐标系中,函数y =1ax ,y =log a (x +12)(a >0,且a ≠1)的图象可能是( )3.[2020全国卷Ⅰ,8,5分]设a log 34=2,则4-a=( ) A.116B.19C.18D.164.[2020全国卷Ⅱ,9,5分][理]设函数f (x )=ln|2x +1|-ln|2x -1|,则f (x )( ) A .是偶函数,且在(12,+∞)单调递增B .是奇函数,且在(-12,12)单调递减C .是偶函数,且在(-∞,-12)单调递增 D .是奇函数,且在(-∞,-12)单调递减5.[2020全国卷Ⅲ,12,5分][理]已知55<84,134<85.设a =log 53,b =log 85,c =log 138,则( ) A .a <b <c B .b <a <c C .b <c <a D .c <a <b6.[2019全国卷Ⅱ,14,5分][理]已知f (x )是奇函数,且当x <0时,f (x )=-e ax.若f (ln 2)=8,则a = . 7.[2018全国卷Ⅲ,16,5分]已知函数f (x )=ln(√1+x 2-x )+1,f (a )=4,则f (-a )= . 8.[2016浙江,12,6分][理]已知a >b >1.若log a b +log b a =52,a b=b a,则a = ,b = .拓展变式1.[2021安徽省四校联考]已知实数a,b满足a+b=5,log2a=log3b,则ab=()A.2B.3C.5D.62.(1)[2019天津,6,5分][理]已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为()A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b(2)[2020海南,7,5分]已知函数f(x)=lg(x2 -4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是()A.(-∞,-1]B.(-∞,2]C.[2,+∞)D.[5,+∞)3.里氏震级M的计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的倍.4.设x,y,z为正实数,且log2x=log3y=log5z>0,则x2,y3,z5的大小关系不可能是()A.x2<y3<z5B.y3<x2<z5C.x2=y3=z5D.z5<y3<x2答案第五讲对数与对数函数1.C对于①,当M<0,N<0时不成立;对于②,当0<a<1时,y=log a x在(0,+∞)上是减函数,故②不成立;对于③,函数y=ln 1+x1-x与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域均为(-1,1),故③正确;对于④,由对数函数的图象与性质可知④正确.故说法正确的是③④,选C.2.D解法一若0<a<1,则函数y=1a x 是增函数,y=log a(x+12)是减函数且其图象过点(12,0),结合选项可知,选项D可能成立;若a>1,则y=1a x 是减函数,而y=log a(x+12)是增函数且其图象过点(12,0),结合选项可知,没有符合的图象.故选D.解法二 分别取a =12和a =2,在同一直角坐标系内画出相应函数的图象(图略),通过对比可知选D .3.B 解法一 因为a log 34=2,所以log 34a =2,则有4a =32=9,所以4-a=14a=19,故选B .解法二 因为a log 34=2,所以a =2log34=log 39log 34=log 49,所以4-a=14=19,故选B . 解法三 令4-a=t ,两边同时取对数得log 34-a=log 3t ,即-a log 34=log 3t ,即a log 34=-log 3t =log 31t,因为a log 34=2,所以log 31t =2,所以1t =32=9,所以t =19,即4-a=19,故选B .4.D 由{2x +1≠0,2x -1≠0,得函数f (x )的定义域为(-∞,-12)∪(-12,12)∪(12,+∞),其关于原点对称,因为f (-x )=ln|2(-x )+1|-ln|2(-x )-1|=ln|2x -1|-ln|2x +1|=-f (x ),所以函数f (x )为奇函数,排除A,C .当x ∈(-12,12)时,f (x )=ln(2x +1)-ln(1-2x ),易知函数f (x )单调递增,排除B .当x ∈(-∞,-12)时,f (x )=ln(-2x -1)-ln(1-2x )=ln 2x+12x -1=ln(1+22x -1),易知函数f (x )单调递减,故选D .5.A 55<84⇒ln 55<ln 84⇒5ln 5<4ln 8,所以45>ln5ln8=log 85=b ;同理134<85⇒ln 134<ln 85⇒4ln 13<5ln 8,所以45<ln8ln13=log 138=c ;34<53⇒ln 34<ln 53⇒4ln 3<3ln 5,所以34>ln3ln5=log 53=a ;83<54⇒ln 83<ln 54⇒3ln 8<4ln 5,所以34<ln5ln8=log 85=b.综上可知,a <34<b <45<c ,故选A . 6.-3 当x >0时,-x <0, f (-x )=-e -ax.因为函数f (x )为奇函数,所以当x >0时, f (x )=-f (-x )=e -ax,所以f (ln 2)=e-a ln2=(12)a=8,所以a =-3.7.-2 解法一 由f (a )=ln(√1+a 2-a )+1=4,得ln(√1+a 2-a )=3,所以f (-a )=ln(√1+a 2+a )+1=-ln √1+a 2+a +1=-ln(√1+a 2-a )+1=-3+1=-2.解法二 因为f (x )=ln(√1+x 2-x )+1,所以f (x )+f (-x )=ln(√1+x 2-x )+ln(√1+x 2+x )+2=2. 故f (a )+f (-a )=2,所以f (-a )=2-4=-2.8.4 2 因为a >b >1,所以log a b ∈(0,1).因为log a b +log b a =52,即log a b +1log a b=52,所以log a b =12或log a b =2(舍去),所以a 12=b ,即a =b 2.所以a b=(b 2)b=b 2b=b a ,所以a =2b ,所以b 2=2b ,解得b =2或b =0(舍去),所以a =b 2=4.1.D 设log 2a =log 3b =t ,则a =2t,b =3t,所以a +b =2t+3t=5.因为函数f (t )=2t+3t为增函数,且f (1)=5,所以t =1,所以a =2,b =3,所以ab =6,故选D .2.(1)A 因为a =log 52<log 5√5=12,c =0.50.2>0.51=12,故a <c ;因为b =log 0.50.2>log 0.50.25=2,c =0.50.2<0.50=1,故c <b.所以a <c <b.故选A.(2)D由x2-4x-5>0,解得x>5或x<-1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞).又函数y=x2-4x-5在(5,+∞)上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,所以函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(5,+∞)上单调递增,所以a≥5,故选D.3.610 000根据题意,由lg 1 000-lg 0.001=6得此次地震的震级为6级,因为标准地震的振幅为0.001,设9级地震的最大振幅为A9,则lg A9-lg 0.001=9,解得A9=106,同理可得5级地震的最大振幅A5=102,所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍.4.B解法一取x=2,则由log2x=log3y=log5z得y=3,z=5,此时易知x2=y3=z5,此时选项C成立.取x=4,则由log2x=log3y=log5z得y=9,z=25,此时易知x2<y3<z5,此时选项A成立.取x=√2,则由log2x=log3y=log5z得y=√3,z=√5,此时易知z5<y3<x2,此时选项D成立.综上,利用排除法可知选B.解法二设log2x=log3y=log5z=k,则x=2k,y=3k,z=5k,所以x2=2k-1,y3=3k-1,z5=5k-1.由题意知k>0,接下来对k与1的大小关系加以讨论.若k=1,则x2=1,y3=1,z5=1,所以x2=y3=z5,所以选项C有可能成立.若0<k<1,则根据函数f(t)=t k-1在(0,+∞)上单调递减可得2k-1>3k-1>5k-1,所以z5<y3<x2,所以选项D有可能成立.若k>1,则根据函数f(t)=t k-1在(0,+∞)上单调递增可得2k-1<3k-1<5k-1,所以x2<y3<z5,所以选项A有可能成立.综上,利用排除法可知选B.。

第五章 平面向量第二讲 平面向量的数量积及应用1.[2021贵阳市摸底测试]已知向量a =(1,m ),b =(3,-2),且(a -b )⊥b ,则m =( ) A.-5B.-3C.3D.52.[2021安徽省四校联考]已知单位向量a ,b 满足|2a +b |=|2a -b |,则(3a -b )·(a +b )=( ) A.1 B.2 C.3 D.43.[2021浙江杭州二中、学军中学等五校联考]已知a =(1,2),b =(1,-7),c =2a +b ,则c 在a 方向上的投影为( ) A.-3√55B.-3√210C.3√210D.3√554.[2021四省八校联考]对于任意一条直线,把与该直线平行的非零向量称为该直线的一个方向向量.若向量a =(1,x ),b =(-2,1-x )均为直线l 的方向向量,则cos<a ,b >=( )A.1B.√22 C.0 D.-15.[2021黑龙江省六校阶段联考]已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,且a 与b 的夹角为60°,则|a +b |=( ) A .√7B .√3C .√5D .2√26.[2021洛阳市统考]已知向量a ,b 均为非零向量,且|a |=|b |=|a -b |,则a 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π67.[2020广东六校二联]设平面向量a =(-2,1),b =(λ,2),若a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是( ) A.(-12,2)∪(2,+∞)B.(-∞,-4)∪(-4,1)C.(1,+∞)D.(-∞,1)8.[2021大同市调研测试]设向量a =(x ,1),b =(-1,2),a ⊥b ,则|a -2b |= . 9.[2021南昌市高三测试]已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ = .10.[2021晋南高中联考]已知向量a ,b 满足:|a |=|b |=1,a ⊥b.若√2a +b 与xa +b 的夹角为45°,则实数x =.11.[2021云南省部分学校统一检测]已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3, |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=(√2,-1),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.212 B.-152C.-32 D .9212.[2021安徽省示范高中联考]已知△ABC 中,AB =4,AC =4√3,BC =8,动点P 自点C 出发沿线段CB 运动,到达点B 时停止,动点Q 自点B 出发沿线段BC 运动,到达点C 时停止,且动点Q 的速度是动点P 的2倍.若二者同时出发,且一个点停止运动时,另一个点也停止运动,则该过程中AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是( ) A.72B.4C.492D.2313.[2020河北九校第二次联考]已知两个不相等的非零向量a ,b ,满足|a |=1,且a 与b -a 的夹角为60°,则|b |的取值范围是( ) A.(0,√32) B.[√32,1) C.[√32,+∞) D.(1,+∞)14.[2020长春市第四次质量监测]已知在△ABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,则△ABC 的面积为( ) A.12 B.√22C.√32D.√7215.[2020山东威海模拟]若P 为△ABC 所在平面内一点,且|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则△ABC 的形状为( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形D.等腰直角三角形16.[2020唐山市模拟]已知e 1,e 2是两个单位向量,λ∈R 时,|e 1+λe 2|的最小值为√32,则|e 1+e 2|=( ) A.1 B.√3 C.1或√3 D .217.已知锐角△ABC 外接圆的半径为1,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,B =π4,则BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 .18.[角度创新]已知O 为△ABC 的外接圆圆心,且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为 ( ) A.12 B.√22C.√2D.219.[2020开封市高三模拟]已知单位向量a ,b 满足|a +b |>1,则a 与b 夹角的取值范围是( ) A .[0,π3) B .[0,2π3) C .(π3,π] D .(2π3,π]20.[双空题]已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=|b |=|c |=1,若a ·b =12,则(a +b )·(2b -c )的最小值是 ,最大值是 .答 案第二讲 平面向量的数量积及应用1.A ∵向量a =(1,m ),b =(3,-2),∴a -b =(-2,m +2),又(a -b )⊥b ,∴(a -b )·b =-6-2(m +2)=0,解得m =-5.故选A.2.B∵|2a +b |=|2a -b |,∴(2a +b )2=(2a -b )2,∴4a 2+b 2+4a ·b =4a 2+b 2-4a ·b ,可得a ·b =0,∴(3a -b )·(a +b )=3a 2-b 2+2a ·b =2,故选B.3.A 因为a =(1,2),b =(1,-7),所以c =2a +b =(3,-3),则c 在a 方向上的投影为|c |cos<a ,c >=c ·a|a |=√5=-3√55.故选A .4.D 由题意,知a ∥b ,所以1·(1-x )=x ·(-2),解得x =-1,所以a =(1,-1),b =(-2,2),所以cos<a ,b >=a ·b|a |·|b |=√12+(-1)·√(-2)+22=-1,故选D .5.A 解法一 (a +b )2=a 2+2a ·b +b 2=1+2×1×2×cos 60°+4=7,所以|a +b |=√7,故选A . 解法二 如图D 5-2-4所示,图D 5-2-4作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,∠AOB =60°,以OA ,OB 为邻边作平行四边形OACB ,则OC⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ,在△OAC 中,∠OAC =120°,OC 2=OA 2+AC 2-2OA ·AC ·cos∠OAC =1+4-2×1×2×(-12)=7,所以OC =√7,即|a +b |=√7,故选A . 6.B 解法一 因为|a |=|a -b |,所以|a |2=|a -b |2,即|a |2=|a |2-2a ·b +|b |2,化简得|b |2-2a ·b =0,设a 与b 的夹角为θ,则|b |2-2|a ||b |cos θ=0,因为|a |=|b |≠0,所以cos θ=12,又θ∈[0,π],所以θ=π3,故选B .解法二 由向量减法的三角形法则及|a |=|b |=|a -b |知,|a |,|b |,|a -b |构成等边三角形的三条边长,所以向量a 与b 的夹角为π3,故选B .7.B 解法一 因为a 与b 的夹角为锐角,所以cos<a ,b >∈(0,1). 又a =(-2,1),b =(λ,2),所以cos<a ,b >=a ·b |a ||b |=5·√λ2+4∈(0,1),整理得{-2λ+2>0,λ2+8λ+16>0,所以{λ<1,λ≠-4,所以λ的取值范围为(-∞,-4)∪(-4,1).故选B . 解法二 因为a 与b 的夹角为锐角,所以{a ·b >0,a ,b 不共线.又a =(-2,1),b =(λ,2),所以{-2λ+2>0,λ-2≠21,所以{λ<1,λ≠-4,所以λ的取值范围为(-∞,-4)∪(-4,1).故选B .8.5 因为a ⊥b ,所以a ·b =-x +2=0,x =2,所以a -2b =(2,1)-2(-1,2)=(4,-3),则|a -2b |=5.9.4 解法一 因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =22+0=4.解法二 因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4. 10.-2√2+3 解法一 因为√2a +b 与xa +b 的夹角为45°,所以√2a+b |2a+b |·|xa+b |=√2x+1=√22,即x 2+4√2x -1=0,解得x =-2√2±3.因为√2x +1>0,所以x >-√22,所以x =-2√2-3应舍去,所以x =-2√2+3.解法二 因为a ,b 为单位向量,且a ⊥b ,所以不妨令a =(1,0),b =(0,1),则√2a +b =(√2,1),xa +b =(x ,1),所以cos 45°=√2a+b |2a+b |·|xa+b |=√2x+1=√22,即x 2+4√2x -1=0,解得x =-2√2±3.因为√2x +1>0,所以x >-√22,所以x =-2√2-3应舍去,所以x =-2√2+3.11.B 由|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=(√2,-1),得(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)2=2+2AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 3×1=3,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =32,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=32-9=-152.故选B. 12.C 解法一 因为AB =4,AC =4√3,BC =8,所以AB 2+AC 2=BC 2,所以△ABC 是直角三角形,且∠A =90°,∠C =30°,∠B =60°.如图D 5-2-5,分别以AC ,AB 所在直线为x ,y 轴建立平面直角坐标系,设|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=t ,则|BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2t ,且0≤2t ≤8,即0≤t ≤4,图D 5-2-5则A (0,0),Q (√3t ,4-t ),P (4√3−√32t ,12t ),AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3t ,4-t ),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4√3−√32t ,12t ),所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3t (4√3−√32t )+12t (4-t )=-2t 2+14t (0≤t ≤4),当t =72时,AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值,最大值为492,故选C . 解法二 因为AB =4,AC =4√3,BC =8,所以AB 2+AC 2=BC 2,所以△ABC 是直角三角形,且∠A =90°,∠C =30°,∠B =60°.设CP =t ,则BQ =2t ,且0≤2t ≤8,即0≤t ≤4,BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为30°,CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°,所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4√3×2t ×cos 30°+4×t ×cos 60°-2t 2=-2t 2+14t (0≤t ≤4),当t =72时,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值,最大值为492,故选C . 13.D 如图D 5-2-6所示,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b -a ,则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.因为a 与b -a 的夹角为60°,所以∠BAC =60°,则∠OAB =120°,则B 为射线AD 上的动点(不包括点A ),又|a |=1,即|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,所以由图可知,|b |>1,故选D .图D 5-2-614.C 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-(|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos B )=-|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos B =1,所以cos B =-1|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |.由余弦定理,得cos B =12+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-(√7)22×1×|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=-1|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |,解得|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,所以cos B =-12,所以sin B =√32,所以S △ABC =12|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin B =√32.15.C 因为|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )|=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,即|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ |,两边同时平方,整理得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以△ABC 为直角三角形.故选C . 16.C 设向量e 1,e 2的夹角为θ,则e 1·e 2=cos θ,因为|e 1+λe 2|=√1+λ2+2λcosθ=√(λ+cosθ)2+1-cos 2θ,且当λ=-cos θ时,|e 1+λe 2|min =√1-cos 2θ=√32,解得cos θ=±12,|e 1+e 2|=√2+2cosθ,则|e 1+e 2|的值为1或√3,故选C .17.(2,1+√2] ∵a sinA=c sinC=2,∴a =2sin A ,c =2sin C =2sin(3π4-A ),∴BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√22ac =√22×2sin A ×2sin(3π4-A )=2sin A (cos A +sin A )=2sin A cos A +2sin 2A =sin 2A -cos 2A +1=√2sin(2A -π4)+1.∵0<A <π2,0<3π4-A <π2,∴π4<A <π2,∴π4<2A -π4<3π4,故√22<sin(2A -π4)≤1,故BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∈(2,1+√2]. 18.C 如图D 5-2-7,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos∠BAO ,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos∠CAO , 由O 为△ABC 的外心,得向量AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,向量AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,即|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BAO =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠CAO =12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,从而12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2×12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2,即|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,因而|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗|=√2,故选C.图D 5-2-719.B 解法一 设单位向量a ,b 的夹角为θ,则θ∈[0,π],将|a +b |>1两边同时平方得a 2+2a ·b +b 2>1,化简得2+2cos θ>1,即cos θ>-12,又θ∈[0,π],所以0≤θ<2π3,故选B .解法二 设单位向量a ,b 的夹角为θ,显然当θ=0时,|a +b |>1成立;当θ≠0时,如图D 5-2-8所示,图D 5-2-8令OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,以OA ,OB 为邻边作平行四边形OACB ,则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ,∠AOB =θ,因为a ,b 均为单位向量,所以平行四边形OACB 是边长为1的菱形,则∠AOC =θ2,取OC 的中点D ,连接AD ,则AD ⊥OC ,所以cos∠AOC =cos θ2=ODOA =|a+b |2|a |=|a+b |2,因为|a +b |>1,所以cos θ2>12,又θ∈(0,π],所以θ2∈(0,π2],所以0<θ2<π3,即 0<θ<2π3.综上可知,0≤θ<2π3,故选B . 20.3-√3 3+√3由|a |=|b |=1,a ·b =12,可得<a ,b >=π3,令OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴的正方向建立如图D 5-2-9所示的平面直角坐标系,则a =OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),b =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32).图D 5-2-9设c =OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos θ,sin θ)(0≤θ<2π),则(a +b )·(2b -c )=2a ·b -a ·c +2b 2-b ·c =3-(cos θ+12cos θ+√32sin θ)=3-√3sin(θ+π3).因为-1≤sin(θ+π3)≤1,所以(a +b )·(2b -c )的最小值和最大值分别为3-√3,3+√3.。

课时作业9 对数与对数函数一、选择题1．在对数式b ＝og a －25－a 中，实数a 的取值范围是 ．A ．a ＞5或a ＜2B ．2＜a ＜5C ．2＜a ＜3或3＜a ＜5D ．3＜a ＜42．设a ＝131log 2，b ＝132log 3，c ＝og 3错误!，则a ，b ，c 的大小关系是 ． A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a3．已知0＜a ＜1，则方程a ||＝|og a |的实根个数是 ．A ．4B ．3C ．2D ．14．已知函数f 满足：当≥4时，f ＝错误!，当＜4时，f ＝f ＋1，则f 2＋og 23等于 ．A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!5．设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝12log a ，错误!b ＝12log b ，错误!c ＝og 2c ，则 ．A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c6．已知函数f ＝|g |，若a ≠b ，且fa ＝fb ，则a ＋b 的取值范围是 ．A ．1，＋∞ B．[1，＋∞C ．2，＋∞ D．[2，＋∞7．已知一容器中有A ，B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用 1 C 2a 的图象不经过第二象限，则实数m 的取值范围是__________．10．已知函数22log (23)a y x ax =--在－∞，－2上是增函数，则a 的取值范围是__________．三、解答题11．若a ，b 是方程2g 2－g 4＋1＝0的两个根，求g ab ·og a b ＋og b a 的值．12．若函数f ＝2－＋b ，且f og 2a ＝b ，og 2fa ＝2a ≠1．1求f og 2的最小值及对应的值；2取何值时，f og 2＞f 1，且og 2f ＜f 1．参考答案一、选择题1．C 解析：要使对数式有意义，只要错误!解得2＜a ＜3或3＜a ＜52．B 解析：∵13log y x =在0，＋∞上单调递减，且错误!＜错误!， ∴113312log >log 23，即b ＜a∵c ＝og 3错误!＝133log 4，且错误!＞错误!， ∴113332log <log 43，故c ＜b ＜a3．C 解析：a ||＝|og a |有意义，则＞0，问题即a ＝|og a |，画出两个函数＝a ，＝|og a |的图象，则可以得到交点有2个．4．A 解析：∵2＋og 23＜4，又当＜4时，f ＝f ＋1，∴f 2＋og 23＝f 2＋og 23＋1＝f 3＋og 23．∵3＋og 23＞4， ∴f 2＋og 23＝23+log 312⎛⎫ ⎪⎝⎭＝错误!3·2log 312⎛⎫ ⎪⎝⎭＝错误!3·121log 312⎛⎫ ⎪⎝⎭＝错误!×错误!＝错误!5．A 解析：由2a ＝12log a 可知a ＞0⇒2a ＞1⇒12log a ＞1⇒0＜a ＜错误!；由错误!b ＝12log b 可知b ＞0⇒0＜12log b ＜1⇒错误!＜b ＜1；由错误!c ＝og 2c 可知c ＞0⇒0＜og 2c ＜1⇒1＜c ＜2从而a ＜b ＜c6．C 解析：函数f ＝|g |的图象如图所示，由图象知a ，b 一个大于1，一个小于1，不妨设a ＞1,0＜b ＜1∵fa ＝fb ，∴fa ＝|g a |＝g a ＝fb ＝|g b |＝－g b ＝g 错误!∴a ＝错误!∴a ＋b ＝b ＋错误!＞2错误!＝27．B 解析：当n A ＝1时2a ≥－1 解析：函数f ＝og 2－m 的图象是将f ＝og 2的图象向右平移m 个单位而得，要使图象不经过第二象限，则至多向左平移一个单位即向右平移－1个单位，所以m ≥－110．错误!∪0,1 解析：∵f ＝2－2a －3在－∞，a ]上是减函数，在[a ，＋∞上是增函数，∴要使22log (23)a y x ax =--在－∞，－2上是增函数，首先必有0＜a 2＜1，即0＜a ＜1或－1＜a ＜0，且有错误!得a ≥－错误!综上，得－错误!≤a ＜0或0＜a ＜1三、解答题11．解：原方程可化为2g 2－4g ＋1＝0，设t ＝g ，则原方程化为2t 2－4t ＋1＝0∴t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝错误!由已知a ，b 是原方程的两个根，则t 1＝g a ，t 2＝g b ，即g a ＋g b ＝2，g a ·g b ＝错误!，∴g ab ·og a b ＋og b a＝g a ＋g b 错误!＝错误!＝g a ＋g b ·错误!＝2×错误!＝12即g ab ·og a b ＋og b a ＝1212．解：1∵f ＝2－＋b ，∴f og 2a ＝og 2a 2－og 2a ＋b ，由已知og 2a 2－og 2a ＋b ＝b ，∴og 2a og 2a －1＝0∵a ≠1，∴og 2a ＝1，∴a ＝2又og 2fa ＝2，∴fa ＝4∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝4－a 2＋a ＝2故f ＝2－＋2从而f og 2＝og 22－og 2＋2＝错误!2＋错误!∴当og 2＝错误!，即＝错误!时，f og 2有最小值错误!2由题意错误!⇒错误!⇒0＜＜1。

课时跟踪检测十一对数与对数函数1．函数＝错误!的定义域为A．0,8] B．2,8]C．－2,8] D．[8，＋∞2．2022·安徽高考og29·og34＝C．2 D．43．若函数＝f是函数＝aa＞0，且a≠1的反函数，且f2＝1，则f＝A．og2C．og错误!D．2－24．2022·天津高考已知a＝，b＝，c＝，则A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞a＞c D．c＞a＞b5．2022·安徽名校模拟函数＝错误!的大致图象是6．已知函数f＝og错误!|－1|，则下列结论正确的是A．f错误!1在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为错误!，则a等于________．10．计算下列各式．1g 25＋g 2·g 50＋g 22；2错误!11．说明函数＝og2|＋1|的图象，可由函数＝og2的图象经过怎样的变换而得到．并由图象指出函数的单调区间．12．若f＝2－＋b，且f og2a＝b，og2fa＝2a≠1．1求f og2的最小值及对应的值；2取何值时，f og2>f1，且og2f＜f1．1．2022·山西四校联考定义在R上的函数f满足f＝错误!则f3的值为A．1 B．2C．－2 D．－32．已知f是周期为2的奇函数，当00且a≠1，满足对任意的1，2，当10，求实数a 的取值范围．[答题栏]A级B级7 __________ 8 __________ 9 __________答案课时跟踪检测十一A级1．C5．选C 由于错误!＝－错误!，所以函数＝错误!是奇函数，其图象关于原点对称．当>0时，对函数求导可知函数图象先增后减，结合选项可知选C6．选C 依题意得f3＝og错误!2＝－12a2a2a2a2a2a2a2a2a2a2f0，b＝f错误!＝f错误!＝－f错误!＝－g错误!>0，c＝f错误!＝f错误!＝g错误!g错误!，所以00，所以函数f在错误!上单调递减．令t＝2－a＋3，则二次函数t＝2－a＋3的对称轴为＝错误!，其在错误!上单调递减．由复合函数的单调性，可知＝og a为单调增函数，故a>1由对数函数的定义域，可知在区间错误!上，t>0恒成立，即2－a＋3>0在区间错误!上恒成立．而函数t＝2－a＋3在区间错误!上的最小值为错误!2－a×错误!＋3＝3－错误!故3－错误!>0，解得|a|<2错误!综上可得a的取值范围是1,2错误!．。

第二章 函数、导数及其应用第五节 对数与对数函数课时规范练A 组——基础对点练1．函数y ＝1log 2（x －2）的定义域是( ) A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2，3)∪(3，＋∞)D ．(2，4)∪(4，＋∞)解析：要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，log 2（x －2）≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x －2≠1，解得x ＞2且x ≠3.故选C. 答案：C2．设a ＝⎝⎛⎭⎫1213，b ＝log 132，c ＝log 123，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b解析：∵b ＝－log 32∈(－1，0)，c ＝－log 23＜－1，a ＝⎝⎛⎭⎫1213＞0，∴a ＞b ＞c ，故选A.答案：A3．(2020·焦作模拟)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图像大致是( )解析：若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝log a |x |的大致图像如图所示．故选B.答案：B4．(2020·吉安模拟)如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么( )A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x解析：因为y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，所以x ＞y ＞1.5．(2020·洛阳联考)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c解析：因为a ＝log 3 6＝log 3 3＋log 3 2＝1＋log 3 2，b ＝log 5 10＝log 5 5＋log 5 2＝1＋log 5 2，c ＝log 7 14＝log 7 7＋log 7 2＝1＋log 7 2，因为log 3 2＞log 5 2＞log 7 2，所以a ＞b ＞c ，故选D. 答案：D6．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)＞f (2)B ．f (a ＋1)＜f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解析：因为f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，所以0＜a ＜1，所以1＜a ＋1＜2，而f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以有f (a ＋1)＞f (2)．答案：A7．(2020·福州模拟)函数y ＝lg|x －1|的图像是( )解析：因为y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg （x －1），x ＞1，lg （1－x ），x ＜1. 当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D.又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．答案：A8．(2020·雅安模拟)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，若a ＝－f (log 2 15)，b ＝f (log 2 4.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：依题意a ＝f (－log 2 15)＝f (log 2 5)且log 25＞log 24.1＞20.8，结合函数的单调性有f (log 25)＞f (log 24.1)＞f (20.8)，即a ＞b ＞c .答案：C9．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．解析：∵4a ＝2，∴a ＝12，又lg x ＝a ，x ＝10a ＝10.10．函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________．解析：由题意知0＜－x 2＋22≤22＝232，结合对数函数图像(图略)，知f (x )∈⎝⎛⎦⎤－∞，32，故答案为⎝⎛⎦⎤－∞，32. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，32 B 组——素养提升练11．(2020·四川双流中学模拟)已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝12＋log 213，则( ) A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：a ＝log 29－log 23＝log 233，b ＝1＋log 27＝log 227，c ＝12＋log 213＝log 226，因为函数y ＝log 2x 是增函数，且27＞33＞26，所以b ＞a ＞c ，故选B.答案：B12．已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( )A ．f (x )在(0，2)单调递增B ．f (x )在(0，2)单调递减C ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图像关于点(1，0)对称答案：C13．(2020·九江七校联考)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－4，4]C ．(－∞，4)∪[2，＋∞)D ．[－4，4)解析：由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上递减，则a 2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4，4)，故选D. 答案：D14．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x －1，若在区间(－2，6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞0且a ≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫14，1 B ．(1，4)C ．(1，8)D ．(8，＋∞)解析：依题意得f (x ＋2)＝f (－(2－x ))＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是以4为周期的函数，结合题意画出函数f (x )在x ∈(－2，6)上的图像与函数y ＝log a (x ＋2)的图像，结合图像分析可知，要使f (x )与y ＝log a (x ＋2)的图像有4个不同的交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a （6＋2）＜1，由此解得a ＞8，即a 的取值范围是(8，＋∞)．答案：D15．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a 满足f (2)>f (－2)，则a 的取值范围是________． 解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f (－2)＝f (2)，∴f (2)>f (2)．∵2>0，f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，∴0<2<2⇒log 3a <12⇒0<a < 3. 答案：(0，3)16．若log 2a 1＋a 21＋a＜0，则a 的取值范围是________． 解析：当2a ＞1时，∵log 2a 1＋a 21＋a ＜0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a＜1. ∵1＋a ＞0，∴1＋a 2＜1＋a ，∴a 2－a ＜0，∴0＜a ＜1，∴12＜a ＜1. 当0＜2a ＜1时，∵log 2a 1＋a 21＋a ＜0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a＞1. ∵1＋a ＞0，∴1＋a 2＞1＋a .∴a 2－a ＞0，∴a ＜0或a ＞1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1.答案：⎝⎛⎭⎫12，1附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

第六节 对数与对数函数【知识重温】一、必记4个知识点 1．对数的概念 (1)对数的定义如果①________________________，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作②________，其中③________叫做对数的底数，④________叫做真数．(2)几种常见对数对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a (a >0且a ≠1) ⑤________ 常用对数 底数为⑥________ ⑦________ 自然对数 底数为⑧________ ⑨________ (1)对数的性质(ⅰ)a log a N ＝⑩________(a >0且a ≠1)； (ⅱ)log a a N ＝⑪________(a >0且a ≠1)． (2)对数的重要公式(ⅰ)换底公式：⑫________________(a ，b 均大于零且不等于1)；(ⅱ)log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝⑬________.(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 (ⅰ)log a (MN )＝⑭________________；(ⅱ)log a MN＝⑮________________；(ⅲ)log a M n ＝⑯________________(n ∈R )；(ⅳ)log am M n ＝nmlog a M (m ，n ∈R )．3．对数函数的图象与性质a>10<a <1图象性质(1)定义域：⑰________(2)值域：⑱________(3)过点⑲________，即x ＝⑳________时，y ＝○21________ (4)当x >1时，○22________ 当0<x <1时，○23________ (4)当x >1时，○24________ 当0<x <1时，○25________ (5)是(0，＋∞)上的 ○26________ (5)是(0，＋∞)上的 ○27________4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数○28________互为反函数，它们的图象关于直线○29________对称．二、必明2个易误点1．在运算性质log a M n ＝n log a M 中，易忽视M >0. 2．在解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域；(2)对数底数的取值范围．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( ) (2)log 2x 2＝2log 2x .( )(3)当x >1时，log a x >0.( )(4)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( )二、教材改编2．使式子log (2x －1)(2－x )有意义的x 的取值范围是( ) A ．x >2 B ．x <2 C.12<x <2 D.12<x <2且x ≠1 3．已知f (x )＝|lg x |，若a ＝f (14)，b ＝f (13)，c ＝f (2)，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a三、易错易混4．已知函数f (x )＝lg(x 2＋2ax －5a )在[2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围为________． 5．函数y ＝3＋log a (x ＋3)的图象必经过定点的坐标为( ) A ．(－2,3) B ．(－1,4) C ．(0,3) D ．(－2,2)四、走进高考6．[2020·天津卷]设a ＝30.7，b ＝⎝⎛⎭⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <b考点一 对数式的化简与求值[自主练透型]1．[2020·全国卷Ⅰ]设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A.116 B.19 C.18 D.162．计算：lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40＝________.3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________.4．已知log 189＝a,18b ＝5，则用a ，b 表示log 3645＝________. 悟·技法对数运算的一般思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算． (3)利用式子lg 2＋lg 5＝1进行化简.考点二 对数函数的图象及其应用[互动讲练型][例1] (1)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2) 悟·技法对数型函数图象的考查类型及解题思路 (1)对有关对数型函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象的变化趋势、图象的位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等求解．(2)对有关对数型函数的作图问题，一般是从基本初等函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象．特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法.[变式练]——(着眼于举一反三)1．已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．考点三 对数函数的性质及应用[分层深化型] 考向一：比较对数值的大小[例2] [2020·全国卷Ⅲ]设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b考向二：解简单的对数不等式或方程[例3] 已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)满足f ⎝⎛⎭⎫2a <f ⎝⎛⎭⎫3a ，则f (2x －1)>0的解集为( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞)考向三：与对数函数有关的函数性质问题[例4] (1)函数y ＝log a (2－ax )在区间[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)(2)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．悟·技法(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论． (2)底数与1的大小关系．(分类讨论)(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.[同类练]——(着眼于触类旁通)3．已知a ＝132-，b ＝log 213，c ＝121log 3，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b 4．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________． [变式练]——(着眼于举一反三)5．[2019·天津卷]已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b 6．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则f (－2)________f (a ＋1)．(填“ <”“＝”或“>”)[拓展练]——(着眼于迁移应用)7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)第六节 对数与对数函数 【知识重温】①a x ＝N (a >0且a ≠1) ②x ＝log a N ③a ④N ⑤log a N ⑥10 ⑦lg N ⑧e ⑨ln N⑩N ⑪N ⑫log b N ＝log a Nlog a b⑬log a d ⑭log a M ＋log a N ⑮log a M －log a N ⑯n log a M ⑰(0，＋∞) ⑱R ⑲(1,0)⑳1 ○210 ○22y >0 ○23y <0 ○24y <0 ○25y >0 ○26增函数 ○27减函数 ○28y ＝log a x ○29y ＝x 【小题热身】1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．解析：要使log (2x －1)(2－x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2－x >02x －1>02x －1≠1，解得12<x <2且x ≠1.故选D.答案：D3．解析：f (x )＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.作出f (x )的图象如图．f (x )在(0,1)上为减函数．∵0<14<13<1，∴f (14)>f (13)即a >b .又∵b ＝f (13)＝|lg 13|＝lg 3>|lg 2|＝f (2)＝c ，∴a >b >c . 答案：D4．解析：函数f (x )＝lg(x 2＋2ax －5a )在[2，＋∞)上是增函数，则函数t ＝x 2＋2ax －5a 在[2，＋∞)上是增函数，并且t ＝x 2＋2ax －5a 在区间[2，＋∞)上的最小值大于0，因此可得⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤2，4＋4a －5a >0，解得－2≤a <4. 答案：[－2,4)5．解析：因为当x ＝－2时，y ＝3＋0＝3，所以该函数的图象必过定点(－2,3)．答案：A6．解析：由题知c ＝log 0.70.8<1，b ＝⎝⎛⎭⎫13－0.8＝30.8，易知函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以b ＝30.8>30.7＝a >1，所以c <a <b ，故选D.答案：D课堂考点突破考点一1．解析：解法一 因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则有4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19.故选B.解法二 因为a log 34＝2，所以－a log 34＝－2，所以log 34－a ＝－2，所以4－a ＝3－2＝132＝19，故选B.答案：B2．解析：原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1.答案：13．解析：因为2a ＝5b ＝m ，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，所以m 2＝10，m ＝10.答案：104．解析：因为log 189＝a,18b ＝5，所以log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)1＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a. 答案：a ＋b 2－a考点二例1 解析：(1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}，所以a >1， 则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称． 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.(2)解法一 构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象，可知，f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.解法二 ∵0<x ≤12，∴1<4x ≤2，∴log a x >4x >1，∴0<a <1，排除选项C ，D ；取a ＝12，x ＝12，则有124＝2，121log 2＝1，显然4x <log a x 不成立，排除选项A. 答案：(1)B (2)B 变式练1．解析：函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有B 项．故选B 项．答案：B2．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞) 考点三例2 解析：∵23<32，∴2<233，∴log 32<log 3233＝23，∴a <c .∵33>52，∴3>235，∴log 53>log 5235＝23，∴b >c ，∴a <c <b ，故选A.答案：A例3 解析：解法一 因为函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而2a <3a且f ⎝⎛⎭⎫2a <f ⎝⎛⎭⎫3a ，所以f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，结合对数函数的图象与性质可得f (2x －1)>0⇒2x －1>1，所以x >1.解法二 由f ⎝⎛⎭⎫2a <f ⎝⎛⎭⎫3a 知log a 2a >log a 3a， 所以log a 2－1<log a 3－1，所以log a 2<log a 3，所以a >1，由f (2x －1)>0得log a (2x －1)>0，所以2x －1>1，即x >1. 答案：C例4 解析：(1)题中隐含a >0，∴2－ax 在区间[0,1]上是减函数．∴y ＝log a u 应为增函数，且u ＝2－ax 在区间[0,1]上应恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2－a >0，∴1<a <2.(2)当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6≥4. 因为f (x )的值域为[4，＋∞)，所以当a >1时，3＋log a x >3＋log a 2≥4， 所以log a 2≥1，所以1<a ≤2；当0<a <1时，3＋log a x <3＋log a 2，不符合题意． 故a ∈(1,2]．答案：(1)C (2)(1,2] 同类练3．解析：因为0<a <1，b <0，c ＝12log 13＝log 23>1.所以c >a >b . 答案：D4．解析：f (x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (log 22＋log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14，所以当log 2x ＝－12，即x ＝22时，f (x )取得最小值－14.答案：－14变式练5．解析：a ＝log 52<log 55＝12，而c ＝0.50.2>0.51＝12，故a <c ；b ＝log 0.50.2>log 0.50.25＝2，而c ＝0.50.2<0.50＝1，故c <b .所以a <c <b .答案：A6．解析：因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a >1，所以a ＋1>2.因为f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)<f (a ＋1)．答案：<7．解析：若a >0，则log 2a >12log a ，即2log 2a >0，所以a >1.若a <0，则12log (－a )>log 2(－a )，即2log 2(－a )<0，所以0<－a <1，所以－1<a <0. 综上知，实数a 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：C。

2022高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第6节对数与对数函数小中高精品教案试卷A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．函数y＝log23某－的定义域是()B．[1,2)A．[1,2]1C.，121D．，12D[由log2(2某－1)≥00＜2某－1≤1＜某≤1.]232．(2022·石家庄模拟)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是()A．a＝b＜cC．a＜b＜cB．a＝b＞cD．a＞b＞c3B[因为a＝log23＋log23＝log233＝log23＞1，b＝log29－log23＝log233＝a，c2＝log32＜log33＝1，所以a＝b＞c.]3．若函数y＝loga某(a＞0，且a≠1)的图像如图2-6-3所示，则下列函数图像正确的是()【导学号：66482063】图2-6-3ABCDB[由题图可知y＝loga某的图像过点(3,1)，∴loga3＝1，即a＝3.1某－某A项，y＝3＝在R上为减函数，错误；3B项，y＝某符合；C项，y＝(－某)＝－某在R上为减函数，错误；333小中高精品教案试卷D项，y＝log3(－某)在(－∞，0)上为减函数，错误．]log2某，某＞0，4．已知函数f(某)＝－某3＋1，某≤0，1则f(f(1))＋flog3的值是()2【导学号：66482064】A．5C．－1A[由题意可知f(1)＝log21＝0，B．37D．2f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，flog3＝3－log3＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，1所以f(f(1))＋flog3＝5.]25．已知y＝loga(2－a某)在区间[0,1]上是减函数，则a的取值范围是()A．(0,1)C．(1,2)B．(0,2)D．[2，＋∞)1212C[因为y＝loga(2－a某)在[0,1]上递减，u＝2－a某(a＞0)在[0,1]上是减函数，所以y＝logau是增函数，所以a＞1.又2－a＞0，所以1＜a＜2.]二、填空题51－16．(2022·安徽高考)lg＋2lg2－＝________.2251－1－1[lg＋2lg2－＝lg5－lg2＋2lg2－222＝(lg5＋lg2)－2＝1－2＝－1.]7．函数y＝log2|某＋1|的递减区间为________，递增区间为________．(－∞，－1)(－1，＋∞)[作出函数y＝log2某的图像，将其关于y 轴对称得到函数y＝log2|某|的图像，再将图像向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|某＋1|的图像(如图所示)．由图知，函数y＝log2|某＋1|的递减区间为(－∞，－1)，递增区间为(－1，＋∞)．] 5ba8．(2022·浙江高考)已知a>b>1，若logab＋logba＝，a＝b，则a＝________，b＝2________.【导学号：66482065】2小中高精品教案试卷1542[∵logab＋logba＝logab＋＝，logab21∴logab＝2或.2∵a>b>1，∴logab∴logab＝，∴a＝b.2∵a＝b，∴(b)＝bb，∴b＝bb，∴2b＝b，∴b＝2，∴a＝4.]三、解答题9．设f(某)＝loga(1＋某)＋loga(3－某)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(某)的定义域；2ba2b22b23(2)求f(某)在区间0，上的最大值．2[解](1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，a≠1)，∴a＝2.3分1＋某＞0，由3－某＞0，得某∈(－1,3)，∴函数f(某)的定义域为(－1,3).5分(2)f(某)＝log2(1＋某)＋log2(3－某)＝log2(1＋某)(3－某)＝log2[－(某－1)＋4]，7分∴当某∈(－1,1]时，f(某)是增函数；当某∈(1,3)时，f(某)是减函数，23故函数f(某)在0，上的最大值是f(1)＝log24＝2.12分210．已知函数f(某)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当某＞0时，f(某)＝log某.2(1)求函数f(某)的解析式；(2)解不等式f(某－1)＞－2.【导学号：66482066】[解](1)当某＜0时，－某＞0，则f(－某)＝log(－某)．2因为函数f(某)是偶函数，所以f(－某)＝f(某)，2分所以函数f(某)的解析式为2小中高精品教案试卷f(某)＝0，某＝0，log－某2122log1某，某＞0，，某＜0.5分(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(某)是偶函数，2所以不等式f(某－1)＞－2可化为f(|某－1|)＞f(4).8分又因为函数f(某)在(0，＋∞)上是减函数，所以|某－1|＜4，解得－5＜某＜5，即不等式的解集为(－5，5).12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2022·东北三省四市一联)已知点(n，an)(n∈N)在y＝e的图像上，若满足当Tn＝ln某22某a1＋lna2＋…＋lnan＞k时，n的最小值为5，则k的取值范围是() A．k＜15C．10≤k＜15某B．k＜10D．10＜k＜15n12C[因为点(n，an)在y＝e的图像上，所以an＝e，所以Tn＝ln(ee…e)＝nnn＋2，由nn＋2＞k时n的最小值为5，即＋2＋2＞k，≤k，解得10≤k＜15，故选C.]－某＋6，某≤2，2．(2022·福建高考)若函数f(某)＝3＋loga某，某>2(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．(1,2][当某≤2时，y＝－某＋6≥4.∵f(某)的值域为[4，＋∞)，∴当a>1时，3＋loga某>3＋loga2≥4，∴loga2≥1，∴1当03．已知函数f(某)＝loga(某＋1)－loga(1－某)(a＞0且a≠1)．(1)求f(某)的定义域；(2)判断f(某)的奇偶性并予以证明；(3)当a＞1时，求使f(某)＞0的某的解集．4小中高精品教案试卷[解](1)要使函数f(某)有意义，某＋1＞0，则1－某＞0，解得－1＜某＜1.3分故所求函数f(某)的定义域为(－1,1).4分(2)证明：由(1)知f(某)的定义域为(－1,1)，且f(－某)＝loga(－某＋1)－loga(1＋某)＝－[loga(某＋1)－loga(1－某)]＝－f(某)，故f(某)为奇函数.8分(3)因为当a＞1时，f(某)在定义域(－1,1)内是增函数，某＋1所以f(某)＞0＞1，解得0＜某＜1，1－某所以使f(某)＞0的某的解集是(0,1).12分。

提能拔高限时训练10 对数与对数函数一、选择题2＞og b 2＞0,那么＜a ＜b ＜b ＜a ＜a ＜b ＜1 ＜b ＜a ＜1解析：由换底公式及0log 1log 122>>b a , 得0＜og 2a ＜og 2b∴1＜a ＜b故选A答案：A,b,c 均为正数,且c b a cb a 22121log )21(,log )21(,log 2===,则＜b ＜c ＜b ＜a ＜a ＜b ＜a ＜c解析：∵a,b,c 均为正数,由指数函数性质,得2a＞1,0＜21b ＜1,0＜21c ＜1, ∴1log 0,1log 0,1log 22121<<<<>c b a , 由对数函数性质,得0＜a ＜21,21＜b ＜1,1＜c ＜2∴选A 答案：A3若55ln ,33ln ,22ln ===c b a ,则（ ） ＜b ＜c ＜b ＜a ＜a ＜b ＜a ＜c解析：只需比较535ln ,3ln ,2ln的大小,即比较535,3,2的大小 又1011015616132132)2(8)2(22=====, 10110125156161231325)5(55,9)3(33======, ∴35325<<∴c＜a ＜答案：C＝og 24＞0的反函数是…＝24＞2 ＝24＞0＝2-4＞2 ＝2-4＞0解析：∵＞0,∴4＞4∴＞2∵＝og 24,∴2＝4∴反函数为＝2-4＞2答案：C5设0＜a ＜1,函数)22(log )(2--=x x a a a x f ,则使f ＜0的的取值范围是A-∞,0 B0,∞ C -∞,og a 3 Dog a 3,∞解析：由a 2-2a-2＞1,得a ＞3∴＜og a 3答案：C1、C2、C3、C 4是函数＝og a 的图象,则曲线C 1、C 2、C 3、C 4对应的a 的值依次为（ ）、2、31、21 、3、31、21 、3、21、31 、2、21、31 解析：由对数函数底数与图象间的关系在轴上方,底数从左到右依次递增,可知C 1、C 2、C 3、C 4对应的a 的值依次为2、3、31、21 答案：B⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=,2,1)21(,2),1(log )(2x x x x f x 0＞1,则0的取值范围是 A-∞,0∪2,∞ B0,2 C -∞,-1∪3,∞ D -1,3 解析：当0∈［2,∞时,由f 0＝og 20-1＞1,得0＞3;当0∈-∞,2时,由11)21()(00>-=x x f ,得0＜-1所以0∈-∞,-1∪3,∞故选C答案：C＝aog a 1在［0,1］上的最大值与最小值之和为a,则a 的值为（ ） A 41 B 21 解析：当a ＞1时,f 在［0,1＝上递增;当0＜a ＜1时,f 在［0,1］上递减, ∴f 的最大值和最小值应在［0,1］的端点处取得,f0f1＝a10aog a 2＝aog a 2＝-1a -1＝2a ＝21 答案：B＞0且a≠1,函数)2lg()2lg()()(ax ax a a y +-•=在［0,1］上是关于的减函数,则a 的取值范围是A0,1 B0,2 C1,2 D1,∞解析：函数式可化为)4lg(22)(x aa y -=,令t ＝g4-a 22,则t 在［0,1］上递减,又函数)4lg(22)(x a a y -=在［0,1］上也递减,由复合函数的单调性,知t a y )(=递增,∴a＞1又注意到在［0,1］上恒有2-a ＞0,∴a＜x 2min ＜2,即1＜a ＜2 答案：C＝og a 2-a3a ＞0且a≠1满足;对任意实数1、2,当1＜2≤2a 时,总有f 1-f 2＞0,则实数a 的取值范围是A0,3 B1,3 C2, D1,解析：由题意,知函数f 在区间-∞,2a ］上是减函数,又＝2-a3在区间-∞,2a ］上也是减函数,∴a ＞1且032)2(2>+•-a a a,解得1＜a ＜故选D 答案：D二、填空题1、2是方程g 2g3g2gg3·g2＝0的两根,则12＝_________解析：由已知,得gg3gg2＝0,解得311=x ,212=x ,即6121=x x 答案：61 的图象沿轴方向向左平移1个单位后与f ＝3的图象关于直线＝对称,且g19＝a2,则函数＝3a 0＜≤1的值域为__________解析：∵f＝3的反函数为＝og 3,将它向右平移1个单位,得g ＝og 3-1,∴g19＝og 318＝2og 32＝a2∴a＝og 32∴x x ax xy 23332log 2log 33====0＜≤1的值域为1,2］ 答案：1,2］13下列四个条件:①⎩⎨⎧-∞∈<<);0,(,10x a ②⎩⎨⎧+∞∈<<);,0(,10x a ③⎩⎨⎧-∞∈>);0,(,1x a ④⎩⎨⎧+∞∈>),0(,1x a 中,能使函数21log x y a=为单调递减函数的是__________将你认为正确的条件编号都填上 解析：设＝og a u,21x u = 当0＜a ＜1时,＝og a u 为减函数,∈-∞,0时,u 为增函数,＝f 为减函数,而∈0,∞时,u 为减函数,∴②不正确,①正确;当a ＞1时,＝og a u 为增函数,∈-∞,0时,u 为增函数,f 为增函数,③不正确,∈0,∞时,u 为减函数,∴f 为减函数∴④正确答案：①④＝og 22-a3a,对于任意≥2,当Δ＞0时,恒有fΔ＞f,则实数a 的取值范围是_________解析：∵当≥2且Δ＞0时,fΔ＞f,即当≥2时,f 为单调增函数∴二次函数g ＝2-a3a 的对称轴2a ≤2 ∴a≤4又g2＝4-2a3a ＞0,∴a＞-4∴-4＜a ≤4答案：-4＜a ≤4三、解答题152022安徽安庆质检,18函数12log )(2--=x x x f 的定义域为集合A,关于的不等式22a ＜21a2a∈R 的解集为B,求使A∪B＝B 的实数a 的取值范围 解:∵A∪B＝B,∴AB 由012>--x x A ＝{|1＜＜2}; 由22a ＜21a22a ＜-a-2,即2a1＜-a, 若a1＜0即a ＜-1, 则)1(2+->a a x ∵AB, ∴1)1(2≤+-a a a ≤32-∴a＜-1 若a1＝0即a ＝-1,则∈R ,满足AB,∴a＝-1适合;若a1＞0,即a ＞-1,则)1(2+-<a a x , ∵AB, ∴541542)1(2-≤<-⇒-≤⇒≥+-a a a a 综上,a∈-∞,54-］ ＝og a 2-a1若当∈［1,2］时f 有意义,求实数a 的取值范围;2若不等式f ＜0在区间［1,2］上恒成立,求实数a 的取值范围解：1令g ＝2-a,由题意g ＞0在［1,2］上恒成立又a ＞0,∴g 在［1,2］上递减∴g2＝2-2a ＞0故0＜a ＜12由1,可知0＜a ＜1由f ＜0在［1,2］上恒成立,可知g ＞1在［1,2］上恒成立,即φ＝1-a ＞0在［1,2］上恒成立又a ＞0,∴φ在［1,2］上递减,∴φ2＝1-2a ＞0故0＜a ＜21 教学参考例题 志鸿优化系列丛书 【例1】 已知函数f ＝-og 22-a-a 在区间-∞,31-上是增函数,求实数a 的取值范围解:∵函数f 在-∞,31-上单调递增,则μ＝2-a-a 在-∞,31-上为正数且单调递减,即有 2)31(23120)31(≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥-a a μ, ∴实数a 的取值范围为［231-,2］【例2】 已知函数f ＝na-·b＞0,a ＞1＞b ＞0的定义域为0,∞,是否存在这样的a,b 使得f 恰在1,∞上取正值,且f3＝n4若存在,试求出a,b 的值;若不存在,试说明理由解:存在∵f 的定义域为0,∞,∴不等式a-·b＞0的解集为0,∞,该不等式化为b a ＞ ∵不等式的解集为0,∞,∴＝1从而f ＝ga-b若存在满足题设的a,b,则f3＝na 3-b 3＝n4,且na-b ＞0对一切＞1恒成立易证得f 在1,∞上是增函数,∴当＞1时,f ＞f1又f ＞0恰在1,∞上成立,∴f1＝0,即na-b ＝0∴a -b ＝1①又f3＝na 3-b 3＝n4,∴a 3-b 3＝4②由①②组成方程组,并注意到a ＞1＞b ＞0, 解得215,215-=+=b a , 故存在满足题设中的a,b,其中215,215-=+=b a。