20222高三数学(理科)(全国版)一轮复习试题：第2章第5讲 对数与对数函数 2

高考数学一轮复习定时检测 2.5对数与对数函数（带详细解析） 理 新人教A 版一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2009·湖南文，1)log 22的值为( ) A ．－ 2B. 2C ．－12D.12解析 log 22＝log 2212＝12.答案 D2．(2009·广东文，4)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝ ( ) A.12x B ．2x －2 C ．log 12x D ．log 2x解析 函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a＝2，故f (x )＝log 2x ，故选D. 答案 D3．(2009·辽宁文，6)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x＋1)．则f (2＋log 23)＝ ( ) A.124 B.112 C.18 D.38 解析 因为2＋log 23<4，故f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (3＋log 23)．又3＋log 23>4，故f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·13＝124.答案 A4．(2009·韶关第一学期期末)已知0<x <y <a <1，m ＝log a x ＋log a y ，则有 ( )A ．m <0B ．0<m <1C ．1<m <2D ．m >2解析 m ＝log a xy ，∵0<x <y <a <1，∴0<xy <a 2<1.∴m >log a a 2＝2. 答案 D5．(2010·烟台一模)函数y ＝f (x )的图象如下图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )6．(2010·绍兴模拟)函数y ＝log a |x ＋b | (a >0，a ≠1，ab ＝1)的图象只可能是 ( )解析 由a>0，ab =1可知b>0，又y=log a |x+b|的图象关于x=-b 对称，由图象可知b>1，且0<a<1，由单调性可知，B 正确． 答案 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2009·江苏，11)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝__________________________. 解析 ∵log 2x ≤2，∴0<x ≤4.又∵A ⊆B ，∴a >4， ∴c ＝4. 答案 48．(2009·嘉兴第一学期期末)计算：[(－4)3]13＋log 525＝________.解析 原式＝(－4)1＋log 552＝－4＋2＝－2. 答案 －29．(2009·台州第一学期期末)已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系是________．解析 ∵m <0，n <0，m n＝log a c ·log c b ＝log a b <log a a ＝1，∴m >n . 答案 m >n三、解答题(共40分)10．(13分)(2010·巢湖一模)将下列各数按从大到小的顺序排列：log 89，log 79，log 123，log 1229， ⎝ ⎛⎭⎪⎫123，⎝ ⎛⎭⎪⎫12π.解 log 1229＝(－log 29)2＝log 229，在同一坐标系内作出y ＝log 8x ，y ＝log 7x ，y ＝log 2x 的图象如图所示，当x ＝9时，由图象知log 29>log 79>log 89>1＝log 88，∴log 229>log 79>log 89>1，即19log 9log 9log 87221>>>.∵xy )21(=在R 上是减函数， ∴1>3)21(>π)21( >0. 又log 3<0，综上：3log π)2()21(9log 9log 9log 21387221>1>>>.11．(13分)(2009·邵阳模拟)若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2 －3×4x的最值及相应的x 的值．解 y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2>0， 解得x <1或x >3，∴M ＝{x |x <1，或x >3}， f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.令2x＝t ，∵x <1或x >3， ∴t >8或0<t <2.∴f (t )＝4t －3t 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43(t >8或0<t <2)．由二次函数性质可知：当0<t <2时，f (t )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43， 当t >8时，f (x )∈(－∞，－160)，当2x＝t ＝23，即x ＝log 223时，f (x )max ＝43.综上可知：当x ＝log 223时，f (x )取到最大值为43，无最小值．12．(14分)(2009·四平期末)已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x的定义域为[0,1]．(1)求a 的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．解 方法一 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a＝2⇒a ＝log 32.(2)由(1)得g (x )＝λ·2x －4x，设0≤x 1<x 2≤1， 因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2.方法二 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a＝2⇒a ＝log 32.(2)由(1)得g (x )＝λ·2x －4x，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g′(x)＝λln 2·2x－ln 4·4x＝ln 2[－2·(2x)2＋λ·2x]≤0成立．设2x＝u∈[1,2]，上式成立等价于－2u2＋λu≤0恒成立．因为u∈[1,2]，只需λ≤2u 恒成立，所以实数λ的取值范围是λ≤2.。

第二章 函数的概念与基本初等函数I第二讲 函数的基本性质1.[2021江西红色七校第一次联考]下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( ) A.y =cos x B.y =x 2C.y =ln|x |D.y =e-|x |2.[2021湖北省四地七校联考]若函数f (x )=sIn x ·ln(mx +√1+4x 2)的图象关于y 轴对称,则m =( ) A .2B .4C .±2D .±43.[2020郑州三模]若函数f (x )={e x -x +2a ,x >0,(a -1)x +3a -2,x ≤0在(-∞,+∞)上是单调函数,则a 的取值范围是( )A .[1,+∞)B .(1,3]C .[12,1) D .(1,2]4.[2021广州市阶段模拟]已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且 f (x )-g (x )=x 3+x 2+a ,则g (2)=( ) A.-4B.4C.-8D.85.[2021长春市第一次质量监测]定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=f (x +5),当x ∈[-2,0)时,f (x )=-(x +2)2,当x ∈[0,3)时,f (x )=x ,则f (1)+f (2)+…+f (2 021)=( )A.809B.811C.1 011D.1 0136.[2021陕西省部分学校摸底检测]已知函数f (x )=2x cosx 4x +a是偶函数,则函数f (x )的最大值为( )A.1B.2C.12 D .37.[2021济南名校联考]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x +6)=f (x ),y =f (x +3)为偶函数,若f (x )在(0,3)上单调递减,则下面结论正确的是( ) A .f (192)<f (e 12)<f (ln 2) B .f (e 12)<f (ln 2)<f (192) C .f (ln 2)<f (192)<f (e 12) D .f (ln 2)<f (e 12)<f (192)8.[2020陕西省百校联考]函数f (x )在[0,+∞)上单调递增,且f (x +2)的图象关于直线x =-2对称,若f (-2)=1,则满足f (x -2)≤1的x 的取值范围是( )A.[-2,2]B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.(-∞,0]∪[4,+∞)D.[0,4]9.[2020江苏苏州初调]若y =f (x )是定义在R 上的偶函数,当x ∈[0,+∞)时,f (x )={sInx ,x ∈[0,1),f (x -1),x ∈[1,+∞),则f (-π6-5)= .10.函数f (x )=x 3-3x 2+5x -1图象的对称中心为 .11.[2021蓉城名校联考]已知函数f (x )=x +cos x ,x ∈R,设a = f (0.3-1), b = f (2-0.3),c = f (log 20.2),则( )A.b <c <aB.c <a <bC.b <a <cD.c <b <a12.[2021辽宁葫芦岛第二次测试]已知y =f (x -1)是定义在R 上的偶函数,且y =f (x )在[-1,+∞)上单调递增,则不等式f (-2x -1-1)<f (3)的解集为( )A.(2,+∞)B.(3,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,3)13.已知f (x )是定义在(1,+∞)上的增函数,若对于任意x ,y ∈(1,+∞),均有f (x )+f (y )=f (2x +y),f (2)=1,则不等式f (x )+f (x -1)-2≥0的解集为( )A.[52,+∞)B.(52,+∞)C.[1,52]D.(2,52]14.[2020长春市质量监测]已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数,且满足f (2+x )+f (x )=0,当x ∈[-2,0]时,f (x )=-x 2-2x ,则当x ∈[4,6]时,y =f (x )的最小值为( ) A.-8B.-1C.0D.115.[2020广东七校联考]已知定义在R 上的偶函数y =f (x +2),其图象是连续的,当x >2时,函数y =f (x )是单调函数,则满足f (x )=f (1-1x+4)的所有x 之积为( )A .3B .-3C .-39D .3916.[原创题]设增函数f (x )={lnx ,x >1,-1+ax x,0<x ≤1的值域为R,若不等式f (x )≥x +b 的解集为{x |c ≤x ≤e},则实数c 的值为( ) A.e -√e 2-42B.e+√e 2-42C.e±√e 2-42D .12答 案第二讲 函数的基本性质1.D 函数y =cos x 是偶函数且是周期为2π的周期函数,所以y =cos x 在(0,+∞)上不具有单调性,所以A 选项不符合题意;函数y =x 2为偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,所以B 选项不符合题意;函数y =ln|x |={lnx ,x >0,ln (-x ),x <0为偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,所以C 选项不符合题意;函数y =e -|x |={e -x ,x ≥0,e x ,x <0为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,所以D 选项符合题意.故选D .2.C ∵f (x )的图象关于y 轴对称,∴f (x )为偶函数,又y =sin x 为奇函数,∴y =ln(mx +√1+4x 2)为奇函数,即ln[-mx +√1+4·(-x )2]+ln(mx +√1+4x 2)=0,即ln(1+4x 2-m 2x 2)=0,1+4x 2-m 2x 2=1,解得m =±2.故选C .3.B 当x >0时,f (x )=e x -x +2a ,则f'(x )=e x-1>0,所以函数f (x )在(0,+∞)上单调递增.因为函数f (x )在(-∞,+∞)上是单调函数,所以函数f (x )在(-∞,+∞)上是单调递增函数.当x ≤0时,f (x )=(a -1)x +3a -2是单调递增函数,所以a -1>0,得a >1.e 0-0+2a ≥(a -1)×0+3a -2,解得a ≤3.所以1<a ≤3,故选B .4.C 依题意f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,且f (x )-g (x )=x 3+x 2+a ①,所以f (-x )-g (-x )=-x 3+x 2+a ,即f (x )+g (x )=-x 3+x 2+a ②,②-①得2g (x )=-2x 3,g (x )=-x 3,所以g (2)=-23=-8.故选C .5.A由f (x )=f (x +5)可知f (x )的周期为5,又f (0)=0,f (1)=1,f (2)=2,f (-1)=-1,f (-2)=0,∴f (3)=f (-2)=0,f (4)=f (-1)=-1,f (5)=f (0)=0,∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)=2,∴f (1)+f (2)+…+f (2 021)=f (1)+2×404=809.故选A . 6.C 解法一 因为函数f (x )=2x cosx4x +a 是偶函数,所以f (-x )=f (x ),即2-x cos (-x )4-x +a=2x cosx 4x +a,化简可得a (4x -1)=4x-1,得a =1,所以f (x )=2x cosx 4x +1=cosx 2x +2-x.又cos x ≤1,2x +2-x ≥2,当且仅当x =0时两个“=”同时成立,所以f (x )≤12.故选C .解法二 因为函数f (x )为偶函数,所以f (-1)=f (1),即2-1cos (-1)4-1+a=21cos14+a ,解得a =1,所以f (x )=2x cosx4x +1=cosx2x +2-x .因为cos x ≤1,2x+2-x≥2,当且仅当x =0时两个“=”同时成立,所以f (x )max =12,故选C .7.A 由f (x +6)=f (x )知函数f (x )是周期为6的函数.因为y =f (x +3)为偶函数,所以f (x +3)=f (-x +3),所以f (192)=f (72)=f (12+3)=f (-12+3)=f (52).(题眼)(难点:利用函数的性质把自变量的取值化到同一个单调区间内)因为1<e 12<2,0<ln 2<1,所以0<ln 2<e 12<52<3.因为f (x )在(0,3)上单调递减,所以f (52)<f (e 12)<f (ln 2),即f (192)<f (e 12)<f (ln 2),故选A .8.D 依题意得,函数f (x )是偶函数,则f (x -2)≤1,即f (|x -2|)≤f (|-2|).由函数f (x )在[0,+∞)上单调递增得|x -2|≤2,即-2≤x -2≤2,0≤x ≤4.所以满足f (x -2)≤1的x 的取值范围是[0,4],故选D .9.12因为y =f (x )是定义在R 上的偶函数,所以f (-π6-5)=f (π6+5).因为x ≥1时,f (x )=f (x -1),所以f (π6+5)=f (π6+4)=…=f (π6).又0<π6<1,所以f (π6)=sin π6=12.故f (-π6-5)=12.10.(1,2) 解法一 由题意设图象的对称中心为(a ,b ),则2b =f (a +x )+f (a -x )对任意x 均成立,代入函数解析式得,2b =(a +x )3-3(a +x )2+5(a +x )-1+(a -x )3-3(a -x )2+5(a -x )-1=2a 3+6ax 2-6a 2-6x 2+10a -2=2a 3-6a 2+10a -2+(6a -6)x 2对任意x 均成立,所以6a -6=0,且2a 3-6a 2+10a -2=2b ,即a =1,b =2,即f (x )的图象的对称中心为(1,2). 解法二 由三次函数对称中心公式可得,f (x )的图象的对称中心为(1,2).11.D f (x )=x +cos x ,则f'(x )=1-sin x ≥0,所以f (x )在R 上单调递增,又log 20.2<2-0.3<1<0.3-1=103,所以f (log 20.2)<f (2-0.3)<f (103),即c <b <a.12.D 由题可知y =f (x -1)的图象关于y 轴对称.因为y =f (x )的图象向右平移1个单位长度得到y =f (x -1)的图象,所以y =f (x )的图象关于直线x =-1对称.因为y =f (x )在[-1,+∞)上单调递增,所以f (x )在(-∞,-1)上单调递减.所以|-2x -1-1-(-1)|<|3-(-1)|,即0<2x -1<4,解得x <3,所以原不等式的解集为(-∞,3),故选D .13.A 根据f (x )+f (y )=f (2x +y),f (2)=1,可得2=1+1=f (2)+f (2)=f (24),所以f (x )+f (x -1)-2≥0得f (22x -1)≥f (24).又f (x )是定义在(1,+∞)上的增函数,所以{22x -1≥24,x >1,x -1>1, 解得x ≥52.所以不等式f (x )+f (x -1)-2≥0的解集为[52,+∞).14.B由f (2+x )+f (x )=0,得函数f (x )是以4为周期的周期函数.设x ∈[0,2],则-x ∈[-2,0],f (-x )=-(-x )2-2(-x )=-x 2+2x.因为函数y =f (x )是定义在R上的奇函数,所以f (x )=-f (-x )=x 2-2x =(x -1)2-1,当x =1时,f (x )取得最小值-1.由周期函数的性质知,当x ∈[4,6]时,y =f (x )的最小值是-1,故选B .15.D 因为函数y =f (x +2)是偶函数,所以函数y =f (x )图象关于x =2对称,因为f (x )在(2,+∞)上单调,所以f (x )在(-∞,2)上也单调,所以要使f (x )=f (1-1x+4),则x =1-1x+4或4-x =1-1x+4.由x =1-1x+4,得x 2+3x -3=0,Δ1>0,设方程的两根分别为x 1,x 2,则x 1x 2=-3;由4-x =1-1x+4,得x 2+x -13=0,Δ2>0,设方程的两根分别为x 3,x 4,则x 3x 4=-13.所以x 1x 2x 3x 4=39.故选D .16.A 当x >1时,f (x )为增函数,且f (x )∈(0,+∞), 当0<x ≤1时,-1+ax x=a -1x ≤a -1,即f (x )∈(-∞,a -1].因为f (x )为增函数,所以a -1≤0,则a ≤1,又函数f (x )的值域为R,所以a -1≥0,即a ≥1,从而a =1,函数f (x )={lnx ,x >1,-1+x x,0<x ≤1.因为不等式f (x )≥x +b 的解集为{x |c ≤x ≤e},易知ln x =x +b 的解为x =e,所以b =1-e,当x =1时,x +b =1+1-e=2-e<0=f (1),故0<c <1.令-1+x x=x +1-e,得x 2-e x +1=0,从而x =e -√e 2-42,则c =e -√e 2-42,故选A .。

2.6对数与对数函数必备知识预案自诊知识梳理1.对数的概念如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=log a N,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.2.对数的性质与运算法如此(1)对数的运算法如此如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么①log a(MN)=;②log a M=;N③log a M n=(n∈R).(2)对数的性质:a log a N=N(a>0,且a≠1,N>0).(3)对数换底公式:log a b=log c b(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).log c a3.对数函数的图象与性质图象4.反函数指数函数y=a x(a>0,且a≠1)与对数函数(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,它们的图象关于直线对称.1.对数的性质(a>0,且a≠1,b>0)(1)log a1=0;(2)log a a=1;log a b(m≠0).(3)lo g a m b n=nm2.换底公式的推论(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;c>0,且c≠1)(1)log a b·log b a=1,即log a b=1;log b a(2)log a b·log b c·log c d=log a d.3.对数函数的图象与底数大小的比拟如图,直线y=1与四个函数图象交点的横坐标即为相应的底数.结合图象知0<c<d<1<a<b.由此我们可以得到下面的规律:在第一象限内,从左到右底数逐渐增大.考点自诊1.判断如下结论是否正确,正确的画“√〞,错误的画“×〞.(1)log2x2=2log2x.()(2)函数y=log2x与y=lo g133x都是对数函数.()(3)当x>1时,假如log a x>log b x,如此a<b.()(4)函数f(x)=lg x-2x+2与g(x)=lg(x-2)-lg(x+2)是同一个函数.()(5)对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),(1a,-1).() 2.(2020某某某某中学八模,理3)x·log32=1,如此4x=()A.4B.6C.4log32D.93.(2020某某历城二中模拟四,3)a=lo g1516,b=lo g13π3,c=3-13,如此a,b,c的大小关系是()A.b<a<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a4.假如函数y'=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y'|0<y'≤1},如此函数y=log a|x|的图象大致是()5.(2020某某某某一模,理13)假如2a =10,b=log 510,如此1a +1b =.关键能力学案突破考点对数式的化简与求值【例1】化简如下各式:(1)lg 37+lg 70-lg 3-√(lg3)2-lg9+1; (2)log 3√2743·log 5[412log 210-(3√3)23-7log 72].解题心得对数运算的一般思路:(1)首先利用幂的运算把底数或真数进展变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.对点训练1(1)(2020全国1,文8)设a log 34=2,如此4-a =()A.116B.19C.18D.16(2)(2020某某某某一模,5)定义在R 上的函数f (x )的周期为4,当x ∈[-2,2)时,f (x )=13x -x-4,如此f (-log 36)+f (log 354)=()A.32B.32-log 32 C.-12D.23+log 32考点对数函数的图象与其应用【例2】(1)函数y=2log4(1-x)的图象大致是()(2)当0<x≤12时,4x=log a x有解,如此实数a的取值X围是.解题心得应用对数型函数的图象可求解的问题:(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,也常利用数形结合思想;(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.对点训练2(1)函数f(x)=log a|x|+1(0<a<1)的图象大致是()(2)函数y=|log2x|-12x的零点个数是()A.0B.1C.2D.3变式发散将本例(2)中的“4x=log a x有解〞改为“4x<log a x〞,如此实数a的取值X围为.考点对数函数的性质与其应用(多考向探究)考向1比拟含对数的函数值的大小【例3】(1)(2020全国3,文10)设a=log32,b=log53,c=23,如此()A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b(2)(2020某某某某一模,理9)a=log0.30.5,b=log30.5,c=log0.50.9,如此()A.ab<ac<a+bB.a+b<ab<acC.ac<ab<a+bD.ab<a+b<ac解题心得比拟含对数的函数值的大小,首先应确定对应函数的单调性,然后比拟含对数的自变量的大小,同底数的可借助函数的单调性;底数不同、真数一样的可以借助函数的图象;底数、真数均不同的可借助中间值(0或1).对点训练3(1)(2020某某某某二模,理3)a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,如此()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b(2)(2020全国3,理12)55<84,134<85.设a=log 53,b=log 85,c=log 138,如此()A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b考向2解含对数的函数不等式【例4】(1)函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增.假如正实数a 满足f (log 2a )+f (lo g 12a )≤2f (1),如此a 的取值X 围是()A.[1,2]B.0,12C.12,2 D.(0,2](2)设函数f (x )={log 2x,x >0,log 12(-x),x <0.假如f (a )>f (-a ),如此实数a 的取值X 围是()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)解题心得解简单对数不等式,先统一底数,化为形如log a f (x )>log a g (x )(a>0,且a ≠1)的不等式,再借助y=log a x 的单调性求解,当a>1时,log a f (x )>log a g (x )⇔{f(x)>0,g(x)>0,f(x)>g(x),当0<a<1时,log a f (x )>log a g (x )⇔{f(x)>0,g(x)>0,f(x)<g(x).对点训练4(1)定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,如此不等式f(x)<-1的解集是.(2)不等式log(x-3)(x-1)≥2的解集为.考向3对数型函数的综合问题【例5】函数f(x)=log a(x+1)-log a(1-x),a>0,且a≠1.(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并予以证明;(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的取值X围.解题心得有关对数型函数的综合问题要注意三点:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些根本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.对点训练5(1)(2020某某潍坊一模,7)定义在R上的偶函数f(x)=2|x-m|-1,记a=f(-ln 3),b=f(-log25),c=f(2m),如此()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a(2)函数f(x)=log a(ax2-x+3)在[1,3]上单调递增,如此a的取值X围是.2.6对数与对数函数必备知识·预案自诊知识梳理2.(1)①log a M+log a N ②log a M-log a N ③n log a M3.(0,+∞)(1,0)增函数减函数4.y=log a x y=x考点自诊1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2.D ∵x ·log 32=1,∴x=log 23,∴4x =4log 23=4log 49=9,应当选D .3.D a=lo g 1516>lo g 1515=1,b=lo g 13π3<lo g 131=0,c=3-13=√33,如此0<c<1,所以b<c<a.应当选D .4.A 函数y'=a |x|(a>0,且a ≠1)的值域为{y'|0<y'≤1},如此0<a<1,由此可知y=log a |x|的图象大致是A .5.1∵2a =10,∴a=log 210,又b=log 510,∴1a +1b =1log210+1log 510=lg2+lg5=lg10=1.关键能力·学案突破例1解(1)原式=lg37×703-√(lg3)2-2lg3+1=lg10-√(lg3-1)2=1-|lg3-1|=lg3.(2)原式=log 33343·log 5[10-(332)23−7log 72]=(log 3334-1)·log 5(10-3-2)=(34-1)·log 55=-14.对点训练1(1)B(2)A(1)因为a log 34=log 34a =2,所以4a =32=9,所以4-a =14a =19.应当选B .(2)由题意,f (log 354)=f (log 354-4)=f log 323,∵当x ∈[-2,2)时,f (x )=13x-x-4,且-log 36∈[-2,2),log 323∈[-2,2),∴f (-log 36)+f (log 354)=13-log 36-(-log 36)-4+13log 323-log 323-4=3log 36+3log 332+log 36-log 323-8=6+32+log 39-8=32.应当选A .例2(1)C(2)0,√22(1)函数y=2log 4(1-x )的定义域为(-∞,1),排除A,B;又函数y=2log 4(1-x )在定义域内单调递减,排除D .应当选C .(2)构造函数f (x )=4x 和g (x )=log a x.当a>1时不满足条件,当0<a<1时,画出两个函数在0,12上的大致图象,如下列图.可知,只需两图象在0,12上有交点即可,如此f 12≥g12,即2≥log a 12,如此0<a ≤√22,所以a 的取值X 围为0,√22.对点训练2(1)A(2)C(1)由于函数f (x )=log a |x|+1(0<a<1)是偶函数,故其图象关于y 轴对称.当x>0时,f (x )=log a |x|+1(0<a<1)单调递减;当x<0时,f (x )=log a |x|+1(0<a<1)单调递增.再由图象过点(1,1),(-1,1),可知应选A .(2)函数y=|log 2x|-12x 的零点个数即为方程|log 2x|=12x的实数根的个数.在同一平面直角坐标系内作出函数y=|log 2x|与y=12x的图象(图象略),不难得出两个函数的图象有2个交点,应当选C .变式发散√22,1设函数f (x )=4x 和g (x )=log a x ,可知当a>1时不满足条件,当0<a<1时,f12<g12,即2<log a 12,如此a>√22,所以a 的取值X 围为√22,1.例3(1)A(2)D(1)∵32a=32log 32=lo g 3223=log 98<1,∴a<23.∵32b=32log 53=lo g 5233=log 2527>1,∴b>23.又c=23,∴a<c<b.应当选A .(2)∵0=log 0.31<log 0.30.5<log 0.30.3=1,即0<a<1;log 30.5<log 31=0,即b<0;0=log 0.51<log 0.50.9<log 0.50.5=1,即0<c<1,∴ab<0,0<ac<1,即有ab<ac. ∵1a+1b =log 0.50.3+log 0.53=log 0.50.9=c ,即0<a+b ab=c<1,∴ab<a+b<0.综上,ab<a+b<ac.应当选D .对点训练3(1)B(2)A(1)∵log 51<log 52<log 5√5,∴0<a<12,b=log 0.50.2=lo g 1215=log 25>log 24=2,∵0.51<0.50.2<0.50,∴12<c<1,∴a<c<b ,应当选B .(2)∵43a=43log 53=lo g 5334=log 12581<1,∴a<34.∵43b=43log 85=lo g 8354=log 512625>1,∴b>34. ∵55<84,∴54b=54log 85=lo g 8455<1,∴b<45.∵134<85,∴54c=54log 138=lo g 13485>1,∴c>45. 综上,a<b<c.例4(1)C(2)C(1)因为lo g 12a=-log 2a ,所以f (log 2a )+f (lo g 12a )=f (log 2a )+f (-log 2a )=2f (log 2a ),原不等式变为2f (log 2a )≤2f (1),即f (log 2a )≤f (1).又因为f (x )是定义在R 上的偶函数,且在[0,+∞)内单调递增,所以|log 2a|≤1,即-1≤log 2a ≤1,解得12≤a ≤2,应当选C .(2)由题意可得{a >0,log 2a >-log 2a 或{a <0,log 12(-a)>log 2(-a),解得a>1或-1<a<0.应当选C .对点训练4(1)(-∞,-2)∪0,12(2){x|4<x ≤5}(1)由条件可知,当x ∈(-∞,0)时,f (x )=-log 2(-x ).当x ∈(0,+∞)时,f (x )<-1,即为log 2x<-1,解得0<x<12;当x ∈(-∞,0)时,f (x )<-1,即为-log 2(-x )<-1,解得x<-2.所以f (x )<-1的解集为(-∞,-2)∪0,12.(2)原不等式等价于{x -1>0,x -3>1,x -1≥(x -3)2或{x -1>0,0<x -3<1,x -1≤(x -3)2,解得4<x ≤5,故原不等式的解集为{x|4<x ≤5}.例5解(1)因为f (x )=log a (x+1)-log a (1-x ),所以{x +1>0,1-x >0,解得-1<x<1.故所求函数的定义域为{x|-1<x<1}.(2)f (x )为奇函数.证明如下:由(1)知f (x )的定义域为{x|-1<x<1},f (-x )=log a (-x+1)-log a (1+x )=-[log a (x+1)-log a (1-x )]=-f (x ).故f (x )为奇函数.(3)因为当a>1时,f (x )在定义域{x|-1<x<1}上是增函数, 由f (x )>0,得x+11-x>1,解得0<x<1.所以x 的取值X 围是(0,1).对点训练5(1)C(2)0,16∪(1,+∞)(1)根据题意,有f (-x )=f (x ),即2|x-m|-1=2|-x-m|-1,可得m=0,如此f (x )=2|x|-1={2x -1,x ≥0,2-x -1,x <0.如此f (x )在(0,+∞)上单调递增,a=f (-ln3)=f (ln3),b=f (log 25),c=f (20)=f (1),又0<1<ln3<2<log 25,如此c<a<b ,应当选C .(2)令t=ax 2-x+3,如此原函数化为y=f (t )=log a t.当a>1时,f (t )为定义域上的增函数,所以要保证t=ax 2-x+3在[1,3]上单调递增, 所以{12a ≤1,a -1+3>0,a >1,解得a>1.当0<a<1时,f (t )为定义域上的减函数,所以要保证t=ax 2-x+3在[1,3]上单调递减,所以{12a≥3,9a -3+3>0,0<a <1,解得0<a ≤16. 故a 的取值X 围为0,16∪(1,+∞).。

指数与指数函数[A 组 基础保分练]1.函数f （x ）＝21－x的大致图像为（ ）解析：函数f （x ）＝21－x ＝2×⎝⎛⎭⎫12x，单调递减且过点（0，2），选项A 中的图像符合要求. 答案：A2.（2021·安徽皖江名校模拟）若e a ＋πb ≥e －b ＋π－a ，则有（ ） A.a ＋b ≤0 B.a －b ≥0 C.a －b ≤0 D.a ＋b ≥0解析：令f （x ）＝e x－π－x ，则f （x ）在R 上是增加的，因为e a ＋πb ≥e －b ＋π－a ，所以e a －π－a ≥e －b－πb ，则f （a ）≥f （－b ），所以a ≥－b ，即a ＋b ≥0. 答案：D3.（2021·衡阳模拟）当x ∈（－∞，－1]时，不等式（m 2－m ）·4x －2x ＜0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.（－2，1） B.（－4，3） C.（－3，4） D.（－1，2）解析：∵（m 2－m ）·4x －2x ＜0在x ∈（－∞，－1]上恒成立，∴m 2－m ＜12x 在x ∈（－∞，－1]上恒成立.又f （x ）＝12x 在x ∈（－∞，－1]上单调递减，∴f （x ）≥2，∴m 2－m ＜2，∴－1＜m ＜2. 答案：D4.已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x <0，则函数f （x ）是（ ）A.偶函数，在[0，＋∞）上单调递增B.偶函数，在[0，＋∞）上单调递增C.奇函数，且单调递增D.奇函数，且单调递增解析：易知f （0）＝0，当x >0时，f （x ）＝1－2－x ，－f （x ）＝2－x －1，此时－x <0，则f （－x ）＝2－x －1＝－f （x ）；当x <0时，f （x ）＝2x －1，－f （x ）＝1－2x ，此时－x >0，则f （－x ）＝1－2－（－x ）＝1－2x ＝－f （x ）.即函数f （x ）是奇函数，且单调递增. 答案：C5.设函数f （x ）＝x 2－a 与g （x ）＝a x 在区间（0，＋∞）上具有不同的单调性，其中a ＞1且a ≠2，则M ＝（a －1）0.2与N ＝⎝⎛⎭⎫1a 0.1的大小关系是（ ） A.M ＝N B.M ≤N C.M ＜N D.M ＞N解析：由题意，因为f （x ）＝x 2－a 与g （x ）＝a x 在区间（0，＋∞）上具有不同的单调性，所以易知a ＞2，所以M ＝（a －1）0.2＞1，N ＝⎝⎛⎭⎫1a 0.1＜1，所以M ＞N .答案：D6.（2021·广州模拟）若存在负实数使得方程2x －a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.（2，＋∞）B.（0，＋∞）C.（0，2）D.（0，1）解析：在同一直角坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x －a 的图像，则由图知，当a ∈（0，2）时符合要求.答案：C 7.不等式＞⎝⎛⎭⎫12x ＋4的解集为__________.解析：＞2－x －4，∴－x 2＋2x ＞－x －4，即x 2－3x －4＜0，∴－1＜x ＜4.答案：{x |－1＜x ＜4}8.若函数f （x ）＝a x （a ＞0，a ≠1）在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g （x ）＝（1－4m ）x 在[0，＋∞）上是增函数，则a ＝__________.解析：若a ＞1，有a 2＝4，a －1＝m .此时a ＝2，m ＝12，此时g （x ）＝－x 为减函数，不合题意.若0＜a ＜1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意.答案：149.已知函数f （x ）＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a .（1）求f （x ）的单调区间；（2）若f （x ）的最大值等于94，求实数a 的值.解析：（1）令t ＝|x |－a ，则f （t ）＝⎝⎛⎭⎫23t ，不论a 取何值，t 在（－∞，0]上单调递减， 在[0，＋∞）上单调递增，又f （t ）＝⎝⎛⎭⎫23t 是单调递减的，因此f （x ）的单调递增区间是（－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞）.（2）由于f （x ）的最大值是94，且94＝⎝⎛⎭⎫23－2，所以g （x ）＝|x |－a 应该有最小值－2， 即g （0）＝－2，从而a ＝2.10.已知函数f （x ）＝2x ＋k ·2－x ，k ∈R .（1）若函数f （x ）为奇函数，求实数k 的值；（2）若对任意的x ∈[0，＋∞）都有f （x ）＞2－x 成立，求实数k 的取值范围.解析：（1）因为f （x ）＝2x ＋k ·2－x 是奇函数，所以f （－x ）＝－f （x ），x ∈R ，即2－x ＋k ·2x ＝－（2x ＋k ·2－x ）.所以（1＋k ）＋（k ＋1）·22x ＝0对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－1.（2）因为x ∈[0，＋∞）时，均有f （x ）＞2－x ，即2x ＋k ·2－x ＞2－x 成立，所以1－k ＜22x 对x ≥0恒成立，所以1－k ＜（22x ）min . 因为y ＝22x 在[0，＋∞）上单调递增， 所以（22x ）min ＝1，所以k ＞0.所以实数k 的取值范围是（0，＋∞）.[B 组 能力提升练]1.已知函数f （x ）＝2x －2，则函数y ＝|f （x ）|的图像可能是（ ）解析：|f （x ）|＝|2x－2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≥1，2－2x ，x ＜1，易知函数y ＝|f （x ）|的图像的分段点是x ＝1，且过点（1，0），（0，1），⎝⎛⎭⎫－1，32.又|f （x ）|≥0. 答案：B2.（2021·青岛模拟）函数y ＝a x ＋2－1（a ＞0且a ≠1）的图像恒过的点是（ ） A.（0，0） B.（0，－1） C.（－2，0） D.（－2，－1）解析：因为函数y ＝a x（a ＞0且a ≠1）的图像恒过点（0，1），将该图像向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到y ＝a x ＋2－1（a ＞0且a ≠1）的图像，所以y ＝a x ＋2－1（a ＞0且a ≠1）的图像恒过点（－2，0）. 答案：C3.（2021·潍坊模拟）已知a ＝⎝⎛⎭⎫12－43，b ＝⎝⎛⎭⎫14－25，c ＝⎝⎛⎭⎫125－13，则（ ）A.a ＜b ＜cB.b ＜c ＜aC.c ＜b ＜aD.b ＜a ＜c解析：因为a ＝⎝⎛⎭⎫12－43＝243，b ＝⎝⎛⎭⎫14－25＝245，c ＝⎝⎛⎭⎫125－13＝523，显然有b ＜a ，又a ＝423＜523＝c ，故b ＜a ＜c . 答案：D4.设x ＞0，且1＜b x ＜a x ，则（ ） A.0＜b ＜a ＜1 B.0＜a ＜b ＜1 C.1＜b ＜a D.1＜a ＜b解析：因为1＜b x ，所以b 0＜b x ， 因为x ＞0，所以b ＞1，因为b x ＜a x，所以⎝⎛⎭⎫a b x ＞1，因为x ＞0，所以ab＞1，所以a ＞b ，所以1＜b ＜a . 答案：C5.已知0＜b ＜a ＜1，则在a b ，b a ，a a ，b b 中最大的是（ ） A.b a B.a aC.a bD.b b解析：因为0＜b ＜a ＜1，所以y ＝a x 和y ＝b x 均为减函数，所以a b ＞a a ，b a ＜b b ，又因为y ＝x b 在（0，＋∞）上为增函数，所以a b ＞b b ，所以在a b ，b a ，a a ，b b 中最大的是a b . 答案：C6.不等式⎝⎛⎭⎫12x 2＋ax <⎝⎛⎭⎫122x ＋a －2恒成立，则a 的取值范围是__________.解析：由题意，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，因为⎝⎛⎭⎫12x 2＋ax <⎝⎛⎭⎫122x ＋a －2恒成立， 所以x 2＋ax >2x ＋a －2恒成立，所以x 2＋（a －2）x －a ＋2>0恒成立， 所以Δ＝（a －2）2－4（－a ＋2）<0， 即（a －2）（a －2＋4）<0， 即（a －2）（a ＋2）<0，故有－2<a <2，即a 的取值范围是（－2，2）. 答案：（－2，2）7.已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中可能成立的关系式有__________.（填序号）解析：函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x 的图像如图所示.由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0. 故①②⑤可能成立，③④不可能成立. 答案：①②⑤[C 组 创新应用练]1.（2021·杭州模拟）设y ＝f （x ）在（－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）＞K .给出函数f （x ）＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈（－∞，1]，恒有f K （x ）＝f （x ），则（ ） A.K 的最大值为0 B.K 的最小值为0 C.K 的最大值为1 D.K 的最小值为1解析：根据题意可知，对于任意x ∈（－∞，1]，若恒有f K （x ）＝f （x ），则f （x ）≤K 在x ≤1上恒成立，即f （x ）的最大值小于或等于K 即可.令2x ＝t ，则t ∈（0，2]，f （t ）＝－t 2＋2t ＝－（t －1）2＋1，可得f （t ）的最大值为1，所以K ≥1. 答案：D2.（2021·北京模拟）已知14C 的半衰期为5 730年（是指经过5 730年后，14C 的残余量占原始量的一半）.设14C 的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系为b ＝a e －kx ，其中x 表示经过的时间，k 为一个常数.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约 年.（参考数据：log 20.767≈－0.4）解析：由题意可知，当x ＝5 730时，a e －5 730k ＝12a ，解得k ＝ln 25 730.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.所以76.7%＝e －ln 25 730x ，得ln 0.767＝－ln 25 730x ，x ＝－5 730×ln 0.767ln 2＝－5 730×log 2 0.767≈2292.答案：2 292对数与对数函数[A 组 基础保分练]1.（2020·高考全国卷Ⅰ）设a log 34＝2，则4－a ＝（ ） A.116 B.19 C.18 D.16解析：法一：因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，所以4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19.法二：因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝＝9－1＝19.答案：B2.函数y ＝log 3（2x －1）＋1的定义域是（ ） A.[1，2] B.[1，2） C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧log 3（2x －1）＋1≥0，2x －1＞0，即⎩⎨⎧log 3（2x －1）≥log 313，x ＞12，解得x ≥23.答案：C3.（2021·吕梁模拟）已知a ＝log 35，b ＝1.51.5，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.c ＜a ＜b B.c ＜b ＜a C.a ＜c ＜b D.a ＜b ＜c解析：1＜a ＝log 35＝12log 325＜12log 327＝1.5，b ＝1.51.5＞1.5，c ＝ln 2＜1，所以c ＜a ＜b .答案：A4.已知x ∈⎝⎛⎭⎫12，1，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，那么（ ） A.a ＜b ＜c B.c ＜a ＜b C.b ＜a ＜c D.b ＜c ＜a解析：由于12＜x ＜1，故x ＞x 2，故ln x ＞ln x 2＝2ln x ，所以a ＞b .c －a ＝ln 3x －ln x ＝ln x （ln 2x－1），由于ln x ＜0，|ln x |＜ln 2＜1，ln 2x －1＜0，所以ln x （ln 2x －1）＞0，故c ＞a . 答案：C5.若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝log 2a （x ＋1）满足f （x ）＞0，则实数a 的取值范围是（ ）A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.（0，＋∞） 解析：因为－1＜x ＜0，所以0＜x ＋1＜1.又因为f （x ）＞0，所以0＜2a ＜1，所以0＜a ＜12.答案：A6.（2021·西安模拟）设方程10x ＝|lg （－x ）|的两个根分别为x 1，x 2，则（ ） A.x 1x 2＜0 B.x 1x 2＝0 C.x 1x 2＞1 D.0＜x 1x 2＜1解析：作出y ＝10x 与 y ＝|lg （－x ）|的大致图像，如图所示.显然x 1＜0，x 2＜0. 不妨令x 1＜x 2， 则x 1＜－1＜x 2＜0， 所以10x 1＝lg （－x 1），10x 2＝－lg （－x 2）， 此时10x 1＜10x 2，即lg （－x 1）＜－lg （－x 2）， 由此得lg （x 1x 2）＜0，所以0＜x 1x 2＜1. 答案：D7.已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是__________.解析：由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A ＞0，故A ＝98＝7 2. 答案：72 8.已知函数f （x ）＝log 0.5（x 2－ax ＋3a ）在[2，＋∞）上单调递减，则a 的取值范围为__________. 解析：令g （x ）＝x 2－ax ＋3a ，因为f （x ）＝log 0.5（x 2－ax ＋3a ）在[2，＋∞）上单调递减， 所以函数g （x ）在区间[2，＋∞）内单调递增，且恒大于0，所以12a ≤2且g （2）＞0，所以a ≤4且4＋a ＞0，所以－4＜a ≤4. 答案：（－4，4]9.设f （x ）＝log a （1＋x ）＋log a （3－x ）（a ＞0，且a ≠1），且f （1）＝2. （1）求a 的值及f （x ）的定义域；（2）求f （x ）在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值. 解析：（1）因为f （1）＝2，所以log a 4＝2（a ＞0，且a ≠1），所以a ＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3， 所以函数f （x ）的定义域为（－1，3）.（2）f （x ）＝log 2（1＋x ）＋log 2（3－x ） ＝log 2[（1＋x ）（3－x ）]＝log 2[－（x －1）2＋4]， 所以当x ∈（－1，1]时，f （x ）是增函数； 当x ∈（1，3）时，f （x ）是减函数，故函数f （x ）在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f （1）＝log 24＝2. 10.已知函数f （x ）＝log 4（ax 2＋2x ＋3）. （1）若f （1）＝1，求f （x ）的单调区间；（2）是否存在实数a ，使f （x ）的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 解析：（1）∵f （1）＝1，∴log 4（a ＋5）＝1，得a ＝－1， 故f （x ）＝log 4（－x 2＋2x ＋3）.由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3，函数定义域为（－1，3）. 令g （x ）＝－x 2＋2x ＋3，则g （x ）在（－1，1）上递增，在（1，3）上递减， 又y ＝log 4x 在（0，＋∞）上递增，所以f （x ）的单调递增区间是（－1，1），递减区间是（1，3）. （2）假设存在实数a 使f （x ）的最小值为0， 则h （x ）＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f （x ）的最小值为0.[B 组 能力提升练]1.函数f （x ）＝|log a （x ＋1）|（a ＞0，且a ≠1）的图像大致是（ ）解析：函数f （x ）＝|log a （x ＋1）|的定义域为{x |x ＞－1}，且对任意的x ，均有f （x ）≥0，结合对数函数的图像可知选C. 答案：C2.函数y ＝log a x 与y ＝－x ＋a 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）解析：当a ＞1时，函数y ＝log a x 的图像为选项B ，D 中过点（1，0）的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图像与y 轴的交点的纵坐标a 应满足a ＞1，选项B ，D 中的图像都不符合要求； 当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 的图像为选项A ，C 中过点（1，0）的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图像与y 轴的交点的纵坐标a 应满足0＜a ＜1，选项A 中的图像符合要求. 答案：A3.已知函数f （x ）＝|ln x |.若0＜a ＜b ，且f （a ）＝f （b ），则a ＋4b 的取值范围是（ ） A.（4，＋∞） B.[4，＋∞） C.（5，＋∞） D.[5，＋∞）解析：由f （a ）＝f （b ）得|ln a |＝|ln b |，根据函数y ＝|ln x |的图像及0＜a ＜b ，得－ln a ＝ln b ，0＜a ＜1＜b ，1a ＝b .令g （b ）＝a ＋4b ＝4b ＋1b，易得g （b ）在（1，＋∞）上单调递增，所以g （b ）＞g （1）＝5，即a ＋4b ＞5. 答案：C4.若log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜－1，则（ ） A.2x ＜3y ＜5z B.5z ＜3y ＜2x C.3y ＜2x ＜5z D.5z ＜2x ＜3y解析：设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t ＜－1，x ＝2t ，y ＝3t ，z ＝5t ，因此2x ＝2t ＋1，3y ＝3t ＋1，5z ＝5t ＋1.又t ＜－1，所以t ＋1＜0，由幂函数y ＝x t ＋1的单调性可知5z ＜3y ＜2x . 答案：B5.（2020·高考全国卷Ⅲ）已知55＜84，134＜85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则（ ） A.a ＜b ＜c B.b ＜a ＜c C.b ＜c ＜a D.c ＜a ＜b解析：∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58＜⎝⎛⎭⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝⎛⎭⎫log 52422－1log 58＜⎝⎛⎭⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53＜log 85.∵55＜84，134＜85，∴5log 85＜4，4＜5log 138，∴log 85＜log 138，∴log 53＜log 85＜log 138，即a ＜b ＜c . 答案：A6.（2021·黄石模拟）已知x 1＝log 132，x 2＝2，x 3满足⎝⎛⎭⎫13x 3＝log 3x 3，则（ ）A.x 1＜x 2＜x 3B.x 1＜x 3＜x 2C.x 2＜x 1＜x 3D.x 3＜x 1＜x 2 解析：由题意可知x 3是函数y 1＝⎝⎛⎭⎫13x与y 2＝log 3x 的图像交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝⎝⎛⎭⎫13x与y 2＝log 3x 的图像，如图所示，由图像可知x 3＞1，而x 1＝log 132＜0，0＜x 2＝2＜1，所以x 3＞x 2＞x 1. 答案：A7.已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ＜3，13x 2－103x ＋8，x ≥3，若存在实数a ，b ，c ，d ，满足f （a ）＝f （b ）＝f（c ）＝f （d ），其中d ＞c ＞b ＞a ＞0，则abcd 的取值范围__________.解析：由题意可得－log 3a ＝log 3b ＝13c 2－103c ＋8＝13d 2－103d ＋8，可得log 3（ab ）＝0，故ab ＝1.结合函数f （x ）的图像，在区间[3，＋∞）上， 令f （x ）＝1可得c ＝3，d ＝7，cd ＝21. 令f （x ）＝0可得c ＝4，d ＝6，cd ＝24. 故有21＜abcd ＜24. 答案：（21，24）[C 组 创新应用练]1.（2020·新高考全国卷）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I （t ）＝e rt 描述累计感染病例数I （t ）随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ln 2≈0.69）（ ） A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 解析：由R 0＝1＋rT ，R 0＝3.28，T ＝6，得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38.由题意，累计感染病倒数增加1倍，则I （t 2）＝2I （t 1），即e0.38t 2＝2e0.38t 1，所以e0.38（t 2－t 1）＝2，即0.38（t 2－t 1）＝ln 2，∴t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8.答案：B 2.（2021·朝阳模拟）在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度（单位mol/L ，记作[H ＋]）和氢氧根离子的物质的量浓度（单位mol/L ，记作[OH －]）的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg[H ＋]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为（参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48）（ ） A.12 B.13 C.16 D.110解析：由题意可得pH ＝－lg[H ＋]∈（7.35，7.45），且[H ＋]·[OH －]＝10－14，∴lg [H ＋][OH －]＝lg [H ＋]10－14[H ＋]＝lg [H ＋]2＋14＝2lg[H ＋]＋14.∵7.35＜－lg[H ＋]＜7.45，∴－7.45＜lg[H ＋]＜－7.35，∴－0.9＜2lg[H ＋]＋14＜－0.7，即－0.9＜lg [H ＋][OH －]＜－0.7.∵lg 12＝－lg 2≈－0.30，故A 错误；lg 13＝－lg 3≈－0.48，故B 错误；lg 16＝－lg 6＝－（lg 2＋lg 3）≈－0.78，故C 正确；lg 110＝－1，故D 错误.答案：C3.已知函数f （x ）＝ln x1－x ，若f （a ）＋f （b ）＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是__________.解析：由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b＝0，即ln ⎝⎛⎭⎫a 1－a ·b 1－b ＝0，从而a 1－a ·b1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a （1－a ）＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14.又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝⎛⎭⎫a －122＋14＜14，即ab ∈⎝⎛⎭⎫0，14. 答案：⎝⎛⎭⎫0，14。

第六节 对数与对数函数授课提示：对应学生用书第281页[A 组 基础保分练]1.（2020·高考全国卷Ⅰ）设a log 34＝2，则4－a ＝（ ） A.116 B.19 C.18 D.16解析：法一：因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，所以4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19.法二：因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝＝9－1＝19.答案：B2.函数y ＝log 3（2x －1）＋1的定义域是（ ） A.[1，2] B.[1，2） C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧log 3（2x －1）＋1≥0，2x －1＞0，即⎩⎨⎧log 3（2x －1）≥log 313，x ＞12，解得x ≥23.答案：C 3.（2021·吕梁模拟）已知a ＝log 35，b ＝1.51.5，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.c ＜a ＜b B.c ＜b ＜a C.a ＜c ＜b D.a ＜b ＜c解析：1＜a ＝log 35＝12log 325＜12log 327＝1.5，b ＝1.51.5＞1.5，c ＝ln 2＜1，所以c ＜a ＜b .答案：A4.已知x ∈⎝⎛⎭⎫12，1，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，那么（ ）A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜a ＜cD.b ＜c ＜a解析：由于12＜x ＜1，故x ＞x 2，故ln x ＞ln x 2＝2ln x ，所以a ＞b .c －a ＝ln 3x －ln x ＝ln x （ln 2x－1），由于ln x ＜0，|ln x |＜ln 2＜1，ln 2x －1＜0，所以ln x （ln 2x －1）＞0，故c ＞a . 答案：C5.若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝log 2a （x ＋1）满足f （x ）＞0，则实数a 的取值范围是（ ）A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞D.（0，＋∞）解析：因为－1＜x ＜0，所以0＜x ＋1＜1.又因为f （x ）＞0，所以0＜2a ＜1，所以0＜a ＜12.答案：A 6.（2021·西安模拟）设方程10x ＝|lg （－x ）|的两个根分别为x 1，x 2，则（ ） A.x 1x 2＜0 B.x 1x 2＝0 C.x 1x 2＞1 D.0＜x 1x 2＜1 解析：作出y ＝10x 与 y ＝|lg （－x ）|的大致图像，如图所示.显然x 1＜0，x 2＜0. 不妨令x 1＜x 2， 则x 1＜－1＜x 2＜0，所以10x 1＝lg （－x 1），10x 2＝－lg （－x 2）， 此时10x 1＜10x 2，即lg （－x 1）＜－lg （－x 2），由此得lg （x 1x 2）＜0，所以0＜x 1x 2＜1. 答案：D7.已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是__________.解析：由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A ＞0，故A ＝98＝7 2.答案：7 28.已知函数f （x ）＝log 0.5（x 2－ax ＋3a ）在[2，＋∞）上单调递减，则a 的取值范围为__________. 解析：令g （x ）＝x 2－ax ＋3a ，因为f （x ）＝log 0.5（x 2－ax ＋3a ）在[2，＋∞）上单调递减， 所以函数g （x ）在区间[2，＋∞）内单调递增，且恒大于0，所以12a ≤2且g （2）＞0，所以a ≤4且4＋a ＞0，所以－4＜a ≤4. 答案：（－4，4]9.设f （x ）＝log a （1＋x ）＋log a （3－x ）（a ＞0，且a ≠1），且f （1）＝2. （1）求a 的值及f （x ）的定义域；（2）求f （x ）在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值. 解析：（1）因为f （1）＝2，所以log a 4＝2（a ＞0，且a ≠1），所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3， 所以函数f （x ）的定义域为（－1，3）.（2）f （x ）＝log 2（1＋x ）＋log 2（3－x ） ＝log 2[（1＋x ）（3－x ）]＝log 2[－（x －1）2＋4]， 所以当x ∈（－1，1]时，f （x ）是增函数；当x ∈（1，3）时，f （x ）是减函数，故函数f （x ）在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f （1）＝log 24＝2. 10.已知函数f （x ）＝log 4（ax 2＋2x ＋3）. （1）若f （1）＝1，求f （x ）的单调区间；（2）是否存在实数a ，使f （x ）的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 解析：（1）∵f （1）＝1，∴log 4（a ＋5）＝1，得a ＝－1， 故f （x ）＝log 4（－x 2＋2x ＋3）.由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3，函数定义域为（－1，3）. 令g （x ）＝－x 2＋2x ＋3，则g （x ）在（－1，1）上递增，在（1，3）上递减， 又y ＝log 4x 在（0，＋∞）上递增，所以f （x ）的单调递增区间是（－1，1），递减区间是（1，3）. （2）假设存在实数a 使f （x ）的最小值为0， 则h （x ）＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此⎩⎨⎧a ＞0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f （x ）的最小值为0.[B 组 能力提升练]1.函数f （x ）＝|log a （x ＋1）|（a ＞0，且a ≠1）的图像大致是（ ）解析：函数f （x ）＝|log a （x ＋1）|的定义域为{x |x ＞－1}，且对任意的x ，均有f （x ）≥0，结合对数函数的图像可知选C. 答案：C2.函数y ＝log a x 与y ＝－x ＋a 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）解析：当a ＞1时，函数y ＝log a x 的图像为选项B ，D 中过点（1，0）的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图像与y 轴的交点的纵坐标a 应满足a ＞1，选项B ，D 中的图像都不符合要求；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 的图像为选项A ，C 中过点（1，0）的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图像与y 轴的交点的纵坐标a 应满足0＜a ＜1，选项A 中的图像符合要求. 答案：A3.已知函数f （x ）＝|ln x |.若0＜a ＜b ，且f （a ）＝f （b ），则a ＋4b 的取值范围是（ ） A.（4，＋∞） B.[4，＋∞） C.（5，＋∞） D.[5，＋∞） 解析：由f （a ）＝f （b ）得|ln a |＝|ln b |，根据函数y ＝|ln x |的图像及0＜a ＜b ，得－ln a ＝ln b ，0＜a ＜1＜b ，1a ＝b .令g （b ）＝a ＋4b ＝4b ＋1b ，易得g （b ）在（1，＋∞）上单调递增，所以g （b ）＞g （1）＝5，即a ＋4b ＞5.答案：C4.若log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜－1，则（ ） A.2x ＜3y ＜5z B.5z ＜3y ＜2x C.3y ＜2x ＜5z D.5z ＜2x ＜3y解析：设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t ＜－1，x ＝2t ，y ＝3t ，z ＝5t ，因此2x ＝2t ＋1，3y ＝3t ＋1，5z ＝5t ＋1.又t ＜－1，所以t ＋1＜0，由幂函数y ＝x t ＋1的单调性可知5z ＜3y ＜2x . 答案：B 5.（2020·高考全国卷Ⅲ）已知55＜84，134＜85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则（ ） A.a ＜b ＜c B.b ＜a ＜c C.b ＜c ＜a D.c ＜a ＜b解析：∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58＜⎝ ⎛⎭⎪⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝⎛⎭⎫log 52422－1log 58＜⎝⎛⎭⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53＜log 85.∵55＜84，134＜85，∴5log 85＜4，4＜5log 138，∴log 85＜log 138，∴log 53＜log 85＜log 138，即a ＜b ＜c . 答案：A6.（2021·黄石模拟）已知x 1＝log 132，x 2＝2，x 3满足⎝⎛⎭⎫13x 3＝log 3x 3，则（ ）A.x 1＜x 2＜x 3B.x 1＜x 3＜x 2C.x 2＜x 1＜x 3D.x 3＜x 1＜x 2 解析：由题意可知x 3是函数y 1＝⎝⎛⎭⎫13x 与y 2＝log 3x 的图像交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝⎝⎛⎭⎫13x与y 2＝log 3x 的图像，如图所示，由图像可知x 3＞1，而x 1＝log 132＜0，0＜x 2＝2＜1，所以x 3＞x 2＞x 1.答案：A7.已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ＜3，13x 2－103x ＋8，x ≥3，若存在实数a ，b ，c ，d ，满足f （a ）＝f （b ）＝f（c ）＝f （d ），其中d ＞c ＞b ＞a ＞0，则abcd 的取值范围__________.解析：由题意可得－log 3a ＝log 3b ＝13c 2－103c ＋8＝13d 2－103d ＋8，可得log 3（ab ）＝0，故ab ＝1.结合函数f （x ）的图像，在区间[3，＋∞）上， 令f （x ）＝1可得c ＝3，d ＝7，cd ＝21. 令f （x ）＝0可得c ＝4，d ＝6，cd ＝24. 故有21＜abcd ＜24.答案：（21，24）[C 组 创新应用练] 1.（2020·新高考全国卷）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I （t ）＝e rt 描述累计感染病例数I （t ）随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ln 2≈0.69）（ ） A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 解析：由R 0＝1＋rT ，R 0＝3.28，T ＝6， 得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38.由题意，累计感染病倒数增加1倍，则I （t 2）＝2I （t 1），即e0.38t 2＝2e0.38t 1，所以e0.38（t 2－t 1）＝2，即0.38（t 2－t 1）＝ln 2，∴t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8.答案：B 2.（2021·朝阳模拟）在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度（单位mol/L ，记作[H ＋]）和氢氧根离子的物质的量浓度（单位mol/L ，记作[OH －]）的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg[H ＋]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为（参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48）（ ） A.12 B.13 C.16 D.110解析：由题意可得pH ＝－lg[H ＋]∈（7.35，7.45），且[H ＋]·[OH －]＝10－14，∴lg[H ＋][OH －]＝lg[H ＋]10－14[H ＋]＝lg [H ＋]2＋14＝2lg[H ＋]＋14.∵7.35＜－lg[H ＋]＜7.45，∴－7.45＜lg[H ＋]＜－7.35，∴－0.9＜2lg[H ＋]＋14＜－0.7，即－0.9＜lg [H ＋][OH －]＜－0.7.∵lg 12＝－lg 2≈－0.30，故A 错误；lg 13＝－lg 3≈－0.48，故B 错误；lg 16＝－lg 6＝－（lg 2＋lg 3）≈－0.78，故C 正确；lg 110＝－1，故D 错误.答案：C3.已知函数f （x ）＝ln x1－x ，若f （a ）＋f （b ）＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是__________.解析：由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ·b 1－b ＝0，从而a 1－a ·b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1， 故ab ＝a （1－a ）＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14.又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝⎛⎭⎫a －122＋14＜14，即ab ∈⎝⎛⎭⎫0，14. 答案：⎝⎛⎭⎫0，14。

第二讲 函数的定义域、值域A 组基础巩固一、选择题1．(2021·山东临沂月考）函数f (x )＝错误!＋ln|x ｜的定义域为（ B ） A ．［－1,＋∞) B ．［－1，0）∪（0,＋∞） C ．（－∞,－1］D ．(－1，0)∪（0，＋∞)［解析] 由题意得错误!∴x ∈［－1,0)∪（0,＋∞）．故选B 。

2．f （x ）＝x 2＋x ＋1在［－1，1］上的值域为（ C ） A ．[1，3] B ．错误! C.错误!D ．错误!［解析] ∵f （x )＝x 2＋x ＋1的对称轴为x ＝－错误!， ∴f （x ）min ＝f 错误!＝错误!,又f (－1）＝1，f （1）＝3, ∴f (x ）∈错误!。

3．(2021·北京西城区模拟）下列函数中，值域为［0，1]的是（ D ） A ．y ＝x 2 B ．y ＝sin x C ．y ＝错误!D ．y ＝错误!［解析］ y ＝x 2的值域[0，＋∞)，y ＝sin x 的值域为[－1，1］，y ＝错误!的值域（0，1］，故选D.4．（2021·广东华南师大附中月考）已知函数f （x ）的定义域是［－1，1］，则函数g （x ）＝f (2x －1)ln (1－x )的定义域是（ B ）A ．[0，1]B ．（0，1）C ．［0，1）D ．(0，1］[解析] 错误! 解得0〈x 〈1。

5．（2021·佛山模拟)函数f （x ）＝错误!的值域为（ D ） A ．［1，＋∞） B ．（1,＋∞） C ．(0，1]D ．（0，1） ［解析］ f （x ）＝错误!＝错误!，∵错误!x 〉0， ∴1＋错误!x 〉1，∴0<错误!<1。

6．（2021·河南安阳三校联考改编）若函数f （x ）＝错误!的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( B ）A ．（0，4］B ．[0，4］C ．[0,4）D ．(0,4]［解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立;当m ≠0时，则错误!解得0〈m ≤4. 综上可得，0≤m ≤4。

对数函数一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内.．对数式log a2(5a)b中，实数a的取值范围是〔〕A．(,5)B．(2,5)C．(2,)D．(2,3)(3,5)2．如果lgx=lga+3lgb－5lgc，那么〔〕A．x=a+3b－c B．x3ab ab3D．x=a+b3－c35cC．xc53．设函数y=lg(x2－5x)的定义域为M，函数y=lg(x－5)+lgx的定义域为N，那么〔〕A．M∪N=R B．M=N C．M ND．M N4．假设函数log2(kx2+4kx+3)的定义域为R，那么k的取值范围是〔〕A．33C．,3,0]3 0,B．0,D．(,44445．以下函数图象正确的选项是〔〕A B C D6．函数g(x)f(x)1R，那么g(x)，其中log2f(x)=2x，x〔〕f(x)A．是奇函数又是减函数B．是偶函数又是增函数C．是奇函数又是增函数D．是偶函数又是减函数8．如果y=log2〔〕a－1x在(0，+∞)内是减函数，那么a的取值范围是A．｜a｜＞1B．｜a｜＜2C．a2D．1a2二、填空题：请把答案填在题中横线上.9．函数y log1(2x2)的定义域是，值域是.210．方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解为.来源于网络11．将函数y2x的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，作出C2关于直线y=x对称的图象C3，那么C3的解析式为.12．函数y=log1(x24x12)的单调递增区间是.2三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.13．函数f(x)log2x1log2(x1)log2(px).x1求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的值域.14．设函数f(x)lg(xx21).确定函数f(x)的定义域；判断函数f(x)的奇偶性；证明函数f(x)在其定义域上是单调增函数；求函数f(x)的反函数.15．现有某种细胞100个，其中有占总数1的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律2开展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？〔参考数据：lg30.477,lg2〕.来源于网络16．如图，A，B，C为函数y log1x的图象2上的三点，它们的横坐标分别是t,t+2,t+4(t1).(1)设ABC的面积为S求S=f(t)；判断函数S=f(t)的单调性；求S=f(t)的最大值.17．已求函数y log a(x x2)(a 0,a1)的单调区间.参考答案一、DCCB BDBD二、9．211,2，0,；10．0；11．ylog2(x1)1；12．(,2)；三、来源于网络13．解：(1)函数的定义域为 (1，p). (2)当 ＞3时， f ( )的值域为(－∞，2log 2 ( +1)－2)；p x p当1＜p 3时，f(x)的值域为(－ ，1+log2(p+1)).14．解：(1)由xx 2 1 0得x ∈R ，定义域为 R. (2)是奇函数. (3)设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，x 21 0那么f(x 1) f(x 2)lgx 1 x 121.令tx x 2 1，x 2x 22 1那么t 1t 2 (x 1x 12 1)(x 2x 22 1).=(x 1 x 2)(x 121 x 22 1)=(x x ) (x 1x 2)(x 1x 2)1 2x 121x 221=(x 12 2x 2)(x 1 1 x 2 1x 1x 2x 12 1x 221∵x 1－x 2＜0，x 12 1 x 1 0，x 221x 20，x 121 x 22 10，∴t 1－t 2＜0，∴0＜t 1＜t 2，∴0t 11，t 2∴f(x)－f(x2 )＜lg1=0，即f(x1 )＜f(x )，∴函数f(x)在R 上是单调增函数.12(4)反函数为y102x1(x R).210x15．解：现有细胞 100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为1 100 110023 100 ；22 22小时后，细胞总数为1 3 100 13 100 29100；2 2 224 3小时后，细胞总数为1 9 100 1 9 1002 27 100；2 4 2 484小时后，细胞总数为1 27 100 1 27 1002 81 100；2 8 2 816y 与时间x 〔小时〕之间的函数关系为：x，xN可见，细胞总数 y10032xx3103 10为底的对数，得由 ，得 108，两边取以10010 228， ∵8 8，∴xlg3lg2lg3lg2∴x .xlg38，2来源于网络16．解：〔1〕过A,B,C,分别作AA1 ,BB ,CC 1 垂直于x 轴，垂足为 A 1 ,B,C ， 11 1 那么S=S 梯形AA 1B 1B+S 梯形BB 1C 1C －S梯形AA 1C 1C.log 31 t 24tlog 3(1 4 )(t2)2 t 24t〔2〕因为v=t 24t 在[1,)上是增函数,且v5,v14 在5. 上是减函数，且1<u9 ;S log 3u 在1, 9 上是增函数，v55所以复合函数S=f(t)log 3(14上是减函数t 2)在1,4t9 2 log 35〔3〕由〔2〕知t=1时，S 有最大值，最大值是f(1) log 3517．解：由xx 2 >0得0<x<1，所以函数y log a (xx 2)的定义域是(0,1)因为0<xx 2=(x 1)2 11，24 4所以，当0<a<1时,log a (xx 2)log a 14函数ylog a (xx 2 )的值域为 1;log a ,4当a>1时,log a (xx 2)log a14函数ylog a (xx 2)的值域为,log a14当0<a<1时，函数ylog a (xx 2)在0,1 上是减函数，在1 ,1上是增函数；22当a>1时，函数ylog a (xx 2)在0, 1上是增函数，在1,1 上是减函数.22指数函数 x2.函数y=23的图象与直线y=x 的位置关系是 ( )3.假设函数y=a x +b-1(a>0且a ≠1)的图象经过二、三、四象限，那么一定有 ( )A.0<a<1且b>0B.a>1 且b>0C.0<a<1 且b<0D.a>1且b<0来源于网络函数y=－e x 的图象A.与y=e x 的图象关于y 轴对称B.与y=e x 的图象关于坐标原点对称C.与y=e－D.与y=e －x的图象关于坐标原点对称x的图象关于y 轴对称5.假设直线y=2a 与函数y=|a x －1|〔a ＞0且a ≠1〕的图象有两个公共点，那么 a 的取值范围是__________.6.函数y1x 2 2x2的递增区间是___________.2题型一：指数式的运算1133x 2x231、x2x2的值；3，求2x 22x题型二：指数方程及应用3、解方程⑴4x +2x -2=0⑵4x +|1－2x |=11.1, xx1 4.假设函数f(x)那么不等式|f(x)|1 x ,x3()3的解集为____________. 解：此题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法.属于根底知识、根本运算的考查 .1 x 0〔1〕由|f(x)|1 1 3x0.3x3〔2〕由|f(x)|1x 0x1 x1 1x10x1.3333 3∴不等式|f(x)|1 的解集为 x| 3 x1，∴应填3,1.3题型三：指数函数的图像与应用5、右图是指数函数①y=a x,②y=b x ,③y=c x ,④y=d x 的图象，那么a 、、 、 d 与1的大小关系是()bcA.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c6、假设函数y(1)|1x|m 的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是〔 〕2来源于网络A ．m ≤－1B ．－1≤m<0C ．m ≥1D ．0<m ≤1|2x －4|17．假设函数f(x)＝a(a>0，a ≠1)，满足f(1)＝9，那么f(x)的单调递减区间是() A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]1 21 1 (a ＝－1 舍去)，即f(x)＝ 1|2x －4|由f(1)＝得a＝，∴a ＝ 3 3.99 3由于y ＝|2x －4|在(－∞，2)上递减，在(2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2)上递增，在(2，＋∞)上递减．故选B.8、方程 x2=2－x 的解的个数为______________.题型四：指数函数单调性的运用9、⑴函数y1x 22x2的单调区间是.⑵函数y=2x 2x6的递增区间是.210、2x2x≤(1)x2，求函数y=2X 2X 的值域。

第5节 指数、对数知 识 梳 理1.根式与指数幂的运算 （1）根式①概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.②性质：（n a ）n ＝a （a 使n a 有意义）；当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.（2）分数指数幂①规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1）；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1（a >0，m ，n ∈N *，且n >1）；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.②有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；（a r ）s ＝a rs ；（ab ）r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2.对数与对数的运算 （1）对数的概念如果a x ＝N （a >0，且a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.（2）对数的性质①log a 1＝0；②log a a ＝1；③a log a N ＝N ；④log a a b ＝b （a >0，且a ≠1）. （3）对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a （MN ）＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M （n ∈R ）. （4）换底公式log b N ＝log a Nlog ab （a ，b 均大于零且不等于1）.已知a ，b ，c ，d ，M ，N 都满足条件，则： （1）log am M n ＝nm log a M （m ，n ∈R ，且m ≠0）； （2）log a b ＝1log ba ，推广log ab ·log bc ·log cd ＝log a d .诊 断 自 测1.（必修1P52例5改编）化简[（－2）6]12－（－1）0的结果为（ ）A.－9B.7C.－10D.9 答案 B解析 原式＝（26）12－1＝8－1＝7. 2.若log a 2<log b 2<0，则（ ） A.0<a <b <1 B.0<b <a <1 C.a >b >1 D.b >a >1 答案 B解析 log a 2<log b 2<0⇔lg 2lg a <lg 2lg b <0⇔lg b <lg a <0，故0<b <a <1.故选B. 3.⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝ . 答案 2解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.4.计算：log 222＝ ；2log 23＋log 43＝ .答案 －12 3 3解析 log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.5.设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝ ，（2α）β＝ .答案 14 215解析 由一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15，则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，（2α）β＝2αβ＝215.6.（2021·杭州质检）设a ＝log 23，b ＝log 38，则2a ＝ ；ab ＝ . 答案 3 3解析 由a ＝log 23得2a＝3，ab ＝log 23×log 38＝ln 3ln 2×ln 8ln 3＝ln 23ln 2＝3ln 2ln 2＝3.考点一 指数幂的运算【例1】 化简：（1）a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b13（a >0，b >0）；（2）⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋（0.002）－12－10（5－2）－1＋（2－3）0.解 （1）原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab －1. （2）原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723＋50012－10（5＋2）＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679.感悟升华 （1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序.（2）当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.（3）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】 化简求值：（1）⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－（0.01）0.5；（2）（a 23×b －1）－12×a －12×b 136a ×b 5.解 （1）原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.考点二 对数的运算【例2】 （1）设2a＝5b＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝（ ）A.10B.10C.20D.100（2）计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝ Ｗ.（3）（2020·全国Ⅰ卷）设a log 34＝2，则4－a ＝（ ） A.116 B.19 C.18 D.16答案 （1）A （2）－20 （3）B解析 （1）由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.（2）原式＝（lg 2－2－lg 52）×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.（3）法一 因为a log 34＝2， 所以log 34a ＝2，所以4a ＝32＝9， 所以4－a ＝14a ＝19.故选B.法二 因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝4－log 49＝4log 49－1＝9－1＝19.故选B.感悟升华 （1）在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.（2）先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.（3）a b ＝N ⇔b ＝log a N （a >0，且a ≠1）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练2】 （1）（2017·全国Ⅰ卷）设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则（ ） A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2x D.3y <2x <5z（2）（2020·全国Ⅲ卷）已知55<84，134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则（ ）A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b（3）若实数a ＞b ＞1，且log a b ＋log b a ＝52，则log a b ＝ ，b 2a ＝ Ｗ.答案 （1）D （2）A （3）12 1解析 （1）取对数：x ln 2＝y ln 3＝z ln 5，x y ＝ln 3ln 2>32（由ln 32>ln 23可得），又x ，y 为正数，∴2x >3y .x ln 2＝z ln 5，则x z ＝ln 5 ln 2<52（由ln 52＜ln 25可得），又x ，z 为正数，∴2x <5z ，∴3y <2x <5z ，故选D.（2）∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52422－1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53<log 85.∵55<84，134<85，∴5log 85<4log 88＝4＝4log 1313<5log 138，∴log 85<log 138，∴log 53<log 85<log 138，即a <b <c .故选A.（3）由a ＞b ＞1，得0<log a b ＜1，又因为log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log ab ＝52，解得log a b＝12，所以a 12＝b ，即b 2＝a ，所以b 2a ＝1.基础巩固题组一、选择题1.化简：416x 8y 4（x <0，y <0）＝（ ） A.2x 2y B.2xy C.4x 2y D.－2x 2y 答案 D解析 ∵x <0，y <0，∴416x 8y 4＝2x 2|y |＝－2x 2y . 2.（log 29）×（log 34）＝（ ） A.14 B.12 C.2 D.4 答案 D解析 （log 29）×（log 34）＝2log 23×2log 32＝4.3.（2021·台州期末评估）已知a ＝log 248，2b＝23，则a ＋b ＝（ ）A.4B.5C.6D.7 答案 B解析 由题意得a ＝log 2（16×3）＝4＋log 23，b ＝log 223＝1－log 23，则a ＋b ＝5，故选B.4.已知x ，y 为正实数，则（ ） A.2lg x＋lg y＝2lg x ＋2lg y B.2lg（x ＋y ）＝2lg x ＋2lg yC.2lg x ·lg y＝2lg x ＋2lg y D.2lg （xy ）＝2lg x ·2lg y答案 D解析 ∵x ，y ∈（0，＋∞），∴2lg （xy ）＝2lg x ＋lg y ＝2lg x ·2lg y ，A 不成立，D 成立；对于B ，C ，不妨取x ＝y ＝1，代入B ，C 易知不成立，故选D.5.（2021·杭州质检）设正实数x ，y 满足e x ·e y ＝（e x ）y ，则当x ＋y 取得最小值时，x＝（）A.1B.2C.3D.4 答案 B解析由e x·e y＝（e x）y得e x＋y＝e xy，所以x＋y＝xy≤（x＋y）24，解得x＋y≥4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，故选B.6.（2020·全国Ⅲ卷）设a＝log32，b＝log53，c＝23，则（）A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b 答案 A解析∵3log32＝log38<2，∴log32<23，即a<c.∵3log53＝log527>2，∴log53>23，即b>c.∴a<c<b.故选A.7.已知a>0，b>0，则下列等式不正确的是（）A.a lg b·b lg a＝1B.a lg b＋b lg a＝2a lg bC.a lg b·b lg a＝（a lg b）2D.a lg b·b lg a＝b lg a2答案 A解析由于a>0，b>0，故当a＝b时，有a lg b b lg a＝（a lg b）2，a lg b＋b lg a＝a lg b＋a lg b＝2a lg b，a lg b·b lg a＝（b lg a）2＝b2lg a＝b lg a2，故选A.8.（2019·北京卷）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝52lgE1E2，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）.已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10－10.1答案 A解析设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2，则太阳与天狼星的亮度分别为E1，E2.由题意知m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－（－26.7）＝52lg E 1E 2，所以lg E 1E 2＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1.故选A.9.已知log 23＝a ，log 25＝b ，则log 295＝（ ）A.a 2－bB.2a －bC.a 2bD.2ab 答案 B解析 ∵log 23＝a ，log 25＝b ，∴log 295＝log 29－log 25＝2log 23－log 25＝2a －b . 二、填空题10.若log 2x ＝log 43，则x ＝ Ｗ. 答案3解析 由等式可得log 2x ＝12log 23，解得x ＝ 3. 11.（lg 2）2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝ Ｗ. 答案 2解析 （lg 2）2＋lg 2·lg 50＋lg 25 ＝lg 2·（lg 2＋lg 50）＋lg 25 ＝2（lg 2＋lg 5）＝2.12.若x ＝log 43，则（2x －2－x ）2＝ Ｗ. 答案 43解析 ∵x ＝log 43，∴4x ＝3，4－x ＝13， ∴（2x －2－x ）2＝4x －2＋4－x ＝3－2＋13＝43. 13.已知a 12＋a －12＝3，则a ＋a －1＝ ，a 2＋a －2＝答案 7 47解析 ∵a 12＋a －12＝3， ∴两边平方得a ＋a －1＋2＝9， ∴a ＋a －1＝7，对上式两边平方得a 2＋2＋a －2＝49，∴a 2＋a －2＝47.14.计算：2lg 2＋lg 25＝ ，方程log 2（x ＋1）＝3的解为x ＝ 答案 2 7解析 2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，∵方程log 2（x ＋1）＝3，∴x ＋1＝23＝8，解得x ＝7.能力提升题组15.（2021·温州适考）设a ，b ∈（0，1）∪（1，＋∞），则“a ＝b ”是“log a b ＝log b a ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为a ，b ∈（0，1）∪（1，＋∞），当a ＝b 时，log a b ＝log b a ，充分性成立；当log a b ＝log b a ，取a ＝2，b ＝12，验证等式成立，故必要性不成立，所以“a ＝b ”是“log a b ＝log b a ”的充分不必要条件，故选A.16.（2018·全国Ⅲ卷）设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则（ ） A.a ＋b <ab <0 B.ab <a ＋b <0 C.a ＋b <0<ab D.ab <0<a ＋b 答案 B解析 由a ＝log 0.20.3得1a ＝log 0.30.2，由b ＝log 20.3得1b ＝log 0.32，所以1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，所以0<1a ＋1b <1，得0<a ＋b ab <1.又a >0，b <0，所以ab <0，所以ab <a ＋b <0.17.函数f （x ）＝2log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －x 2＋1x 2－22的图象为（ ）答案 D解析 f （x ）＝2log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －x 2＋1x 2－22＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，1x，x ≥1，故选D.18.比较lg 2，（lg 2）2，lg （lg 2）的大小，其中最大的是 ；最小的是 答案 lg 2 lg （lg 2）解析 因为0＜lg 2＜1，所以lg （lg 2）＜0＜（lg 2）2＜lg 2，即最大的是lg 2，最小的是lg （lg 2）.19.已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则xy 的最大值是 Ｗ. 答案 112解析 由题意得lg 2x ＋lg 8y ＝lg （2x ×23y ）＝lg 2x ＋3y ＝lg 2（x >0，y >0），所以x ＋3y ＝1，则xy ＝13x ×3y ≤13⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22＝112，当且仅当x ＝3y ＝12时，等号成立，所以xy 的最大值为12。

第五讲幂函数与二次函数A组基础巩固一、选择题1．幂函数y＝f（x）的图象经过点(3，错误!）,则f（x)是（D）A．偶函数，且在区间（0，＋∞）内是增函数B．偶函数，且在区间（0，＋∞)内是减函数C．奇函数，且在区间（0，＋∞)内是减函数D．非奇非偶函数，且在区间（0，＋∞）内是增函数［解析］设幂函数f（x）＝x a，则f（3）＝3a＝错误!，解得a＝错误!，则f(x）＝x错误!＝错误!，是非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞）内是增函数．2．(2020·湖北鄂东南省级示范高中教育改革联盟期中）若幂函数y＝x－1，y＝x m与y＝x n在第一象限的图象如图所示，则m与n的取值情况为（D）A．－1<m〈0〈n<1B．－1〈n<0<mC．－1〈m〈0〈n D．－1〈n<0〈m<1［解析］取x＝错误!，由图易知错误!〈错误!m<1〈错误!n<错误!－1,∴－1<n<0〈m 〈1.故选D。

3．（2021·北京昌平区月考）已知幂函数f(x）＝（m2－m－1）x m在（0,＋∞）上单调递减，则实数m＝（A）A．－1B．2C．－1或2 D．错误!［解析］由于函数f（x)是幂函数,所以m2－m－1＝1,解得m＝2或m＝－1。

当m＝2时，f（x）＝x2在(0，＋∞)上单调递增，舍去；当m＝－1时，f（x）＝x－1在（0，＋∞）上单调递减．故选A。

4．(2021·福建长庆中学月考）函数y＝x2－x＋1，x∈［－1,1］的最大值与最小值之和为(B）A．1。

75B．3。

75C．4 D．5[解析］函数y＝x2－x＋1图象的对称轴为直线x＝错误!，则y＝x2－x＋1在错误!上单调递减，在错误!上单调递增,∴y max＝（－1）2－(－1）＋1＝3，y min＝错误!2－错误!＋1＝错误!，∴y max＋y min＝3＋错误!＝3。

75，故选B.5．如图给出四个幂函数大致的图象，则图象与函数对应不正确的是(A）A．①y＝x错误!B．②y＝x2C．③y＝x错误!D．④y＝x－1[解析］根据常见幂函数的图象判断或取特殊值,逐个验证知B、C、D正确．6．(2021·清华附中统练)函数f(x）＝ax2－(a－1）x－3在区间［－1，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（D)A。