2020年中考数学动态问题分项破解专题01 动点问题中的最值、最短路径问题(教师版)

中考数学专题:线段/路径最值问题线段最值问题解法分类一、定点到定点⇒连线段点P在直线l上，AP+BP何时最小？二、定点到定线⇒作垂线点P在直线l上，AP何时最小？三、定点到定圆⇒连心线点P在圆O上，AP何时最小？线段最值问题一般转化为上述三个问题.例题赏析：1.如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN 的周长最小值为．思路：把点P分别沿OA、OB翻折得P1、P2，周长即为P1M+MN+P2N，转化为求P1、P2两点之间最小值，得△PMN最小值为P1P2＝OP＝6.2.如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．思路：点N沿AD翻折至AC上，BM+MN＝BM+MN'，转化为求点B到直线AC的连线最小值，即BN'⊥AC时，最小值为2√2.3.如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心、1为半径画圆，E是⊙A上一动点，F是BC 上的一动点，则FE+FD的最小值是．思路：点D沿BC翻折至D'，DF+EF＝D'F+EF，转化为求点D'到圆A上各点的最小距离，易求D'E＝4.4.抛物线y=3/5x2-18/5x+3与直线y=3/5x+3相交于A、B两点，点M是线段AB上的动点，直线PM∥y轴，交抛物线于点N．在点M运动过程中，求出MN的最大值.思路：设M（m，3/5m2-18/5m+3），N（m，3/5m+3），用函数关系式表示MN=（3/5m+3）-（3/5m2-18/5m+3）=21/5m-3/5m2，求得最大值即可.5.在菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6，点E、F分别是边 AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF 的最小值，则这个最小值是思路：点E沿AC翻折，转化为点到点的距离.（将军饮马问题实质就是通过翻折转化为定点到定点的问题）6.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O 的最大距离为 .思路：取AB中点E，连接DE、OE，由两点间线段最短，得OD≤OE+DE，最大为1+√2.7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP 沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是简解：B'点运动路径为以C为圆心，BC为半径的圆弧，转化为点到圆的最短距离AC-B'C=1.8.如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE的最小值为 .思路：正六边形最大半径为1/2，与正方形中心重合，E点运动路径为圆，转化为求点到圆的最短距离，如下图.9.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是 .思路：D是定点，C是直线AC上的动点，转化为求点到线的最短距离.10.在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=3/5，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A'B'C，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△A'B'C绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F'，求线段EF'长度的最大值与最小值的差.思路：先确定线段A'B'的运动轨迹是圆环，外圆半径为BC，内圆半径为AB边上的高，F'是A'B'上任意一点，因此F'的运动轨迹是圆环内的任意一点，由此转化为点E到圆环的最短和最长距离.E到圆环的最短距离为EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8，E到圆环的最长距离为EF1=EC+CF1=3+6=9，其差为7.2.问：何时需要作辅助线翻折其中的定点（定线或定圆）？答：当动点所在直线不在定点（定线或定圆）之间时，需把定点（定线或定圆）沿动点所在直线翻折以使定点（定线或定圆）处于动点所在直线的两侧，从而便于连接相关线段或作垂线与动点所在直线找到交点.如上述例3，动点F所在直线不在定圆A和定点D之间，因而需把D点沿BC翻折至D'，即可转化为定点D'到定圆A的最短距离，另外亦可把圆A沿BC翻折至另一侧，同样可以转化为定点D到定圆A'的最短距离，如下图.关键方法：动中求定，动点化定线；以定制动，定点翻两边.（1）动中求定，动点化定线：如例7、例8、例10，动点所在路径未画出时需先画出动点所在轨迹，一般动点所在轨迹为线或圆.（2）以定制动，定点翻两边：如例1、例2、例3、例5，定点（线或圆）在动点所在直线同侧时需翻折至两侧，转化为上述三种关系.练1、如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

专题01 动点问题中的最值、最短路径问题动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中.其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法.一、基础知识点综述1. 两点之间，线段最短；2. 垂线段最短；3. 若A、B是平面直角坐标系内两定点，P是某直线上一动点，当P、A、B在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB的长（如下图所示）；（1）单动点模型作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P是x轴上一动点，求P A+PB的最小值的作图.P 是∠AOB 内一点，M 、N 分别是边OA 、OB 上动点，求作△PMN 周长最小值.作图方法：作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’，连接P ’P ’’与动点所在直线的交点M 、N 即为所求.5. 二次函数的最大（小）值()2y a x h k =-+，当a >0时，y 有最小值k ；当a <0时，y 有最大值k .二、主要思想方法利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析） 三、精品例题解析例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB =12，AE =3，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为例2. （2019·凉山州）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C 、F 分别是直线x =－5和x 轴上的动点，CF =10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取最小值时，tan ∠BAD =（ ）OA .817 B . 717 C . 49 D . 59例3. （2019·南充）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，AB =24,BC =5,给出结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；②△OAB 的面积的最大值为144；③当OD 最大时，点D 的坐标为)2626125,262625(，其中正确的结论是 （填写序号）.例4. （2019·天津）已知抛物线2y x bx c =-+（b 、c 为常数，b >0）经过点A (－1,0)，点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点，若点Q （1,2Q b y +2QM +b 的值.例5. （2019·舟山）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC 和EDF 拼合在个平面上，边AC 与EF 重合，12AC cm ．当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动．当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长为 cm ；连接BD ，则△ABD 的面积最大值为 2cm ．例6. （2019·巴中）如图，在菱形ABCD 中，连接BD 、AC 交于点O ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，以O 为圆心，OH 为半径的半圆交AC 于点M .（1）求证：DC是圆O的切线；（2）若AC=4MC，且AC=8，求图中阴影部分面积；（3）在（2）的前提下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值.B D。

专题15最短路径问题模型一. 两点之间，线段最短模型二. “将军饮马”模型三. 双动点模型四. 垂线段最短【例1】（2019·河南南阳一模）如图，已知一次函数y=12x+2的图象与x轴、y轴交于点A、C，与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于点P，过点P作PB⊥x轴，垂足为B，且△ABP的面积为9.（1）点A的坐标为，点C的坐标为，点P的坐标为；（2）已知点Q在反比例函数y=kx的图象上，其横坐标为6，在x轴上确定一点M，是的△PQM的周长最小，BA'O求出点M的坐标.【分析】（1）根据一次函数的解析式求得A、C坐标，由S△ABP=12·AB·BP=9，设P点坐标为（m，12m+2），代入得到点P坐标；（2）先根据反比例函数解析式求得Q点坐标，作Q点（或P点）关于x轴的对称点Q’（P’），连接PQ’（QP’）与x轴的交点即为点M，用待定系数法求出直线PQ’（QP’的解析式）.【解析】解：（1）在y=12x+2中，当x=0时，y=2；y=0时，x=－4，∴A点坐标为（－4,0），C点坐标为（0,2），设P点坐标为（m，12m+2），m>0，则AB=m+4，BP=12m+2,∵S△ABP=12·AB·BP=9，即12×（m+4）（12m+2）=9，解得：m=2或m=－10（舍），∴点P的坐标为（2,3）；（2）如图，作点Q关于x轴的对称点Q’，连接PQ’交x轴于点M，此时，△PQM的周长最小，6，－1），设直线PQ’的解析式为：y=mx+b，得：23 61m bm b+=⎧⎨+=-⎩，解得：15mb=-⎧⎨=⎩，即直线PQ’的解析式为：y=－x+5，当y=0时，x=5，即M点坐标为（5,0），∴当△PQM的周长最小时，M点坐标为（5,0）.【变式1-1】（2017·新野一模）已知抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），C三点．直线y=mx+12交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN=2NF，求出此时点P的坐标；（3）如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），∴20 4220a ba b-+=⎧⎨++=⎩，解得a=﹣1，b=1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．（2）直线y=mx+12交抛物线与A、Q两点，将A（﹣1，0）代入得：m=12，∴直线AQ的解析式为y=12x+12．设点P的横坐标为n，则P（n，﹣n2+n+2），N（n，12n+12），F（n，0），∴PN=﹣n2+n+2﹣（12n+12）=﹣n2+12n+32，NF=12n+12，∵PN=2NF，即﹣n2+12n+32=2×（12n+12），解得：n=﹣1或12．当n=﹣1时，点P与点A重合，舍去．故点P的坐标为（12，94）．（3）∵y=﹣x2+x+2，=﹣（x﹣12）2+94，∴M（12，94）．∵A、C关于直线DE对称，∴连接AM交直线DE与点G，连接CG、CM，此时，△CMG的周长最小，设直线AM的函数解析式为y=kx+b，将A（﹣1，0），M（12，94）代入并解得：k=32，b=32，∴直线AM的函数解析式为y=32x+32，∵D为AC的中点，∴D（﹣12，1）．可得直线AC的解析式为：y=2x+2，直线DE的解析式为y=﹣12x+34．将y=﹣12x+34与y=32x+32联立，解得：x=﹣38，y=1516．∴在直线DE上存在点G，使△CMG的周长最小，G（﹣38，1516）．【变式1-2】（2019·三门峡二模）已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D 是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设OD ＝m．（1）问题发现如图1，△CDE的形状是三角形．（2）探究证明如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．图1 图2【答案】见解析．【解析】解：（1）证明：由旋转性质，得：∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；故答案为：等边；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝∴△BDE的周长最小值为：+4.1.（2018·焦作一模）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP．（1）填空：抛物线的解析式为，点C的坐标；（2）点P在抛物线上运动，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标；（3）如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q'，请直接写出当点Q'落在坐标轴上时点P的坐标．图1 图2【答案】（1）y=﹣x2+3x+4，（﹣1，0）；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），∴-16a+4b+c=0，c=4，解得:b=3，c=4，∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4，当y=0时，﹣x2+3x+4=0，解得x=﹣1，x=4，即C（﹣1，0）；答案为：y=﹣x2+3x+4；（﹣1，0）；（2）∵△AQP∽△AOC，∴AQ AOPQ CO=4，即AQ=4PQ，设P（m，﹣m2+3m+4），则PQ=|4﹣（﹣m2+3m+4|=|m2﹣3m|，∴4|m2﹣3m|=m，解得：m1=0（舍去），m2=134，m3=114，∴P点坐标为（134，5116）或（114，7516）.（3）设P（m，﹣m2+3m+4），∵抛物线对称轴为：x =32， ∴m ＞32， ①当点Q ′落在x 轴上时，延长QP 交x 轴于H ，则PQ =m 2﹣3m ，由折叠性质知：∠AQ ′P =∠AQP =90°，AQ ′=AQ =m ，PQ ′=PQ =m 2﹣3m ， ∵∠AQ ′O =∠Q ′PH ， ∴△AOQ ′∽△Q ′HP ， ∴'''OA AQ Q B PQ =， 即24'3m Q B m m=-，得：Q ′B =4m ﹣12， ∴OQ ′=12﹣3m ，在Rt △AOQ ′中，由勾股定理得：42+（12﹣3m ）2=m 2， 解得：m 1=4，m 2=5，即P 点坐标为（4，0），（5，﹣6）； ②当点Q ′落在y 轴上，此时以点A 、Q ′、P 、Q 所组成的四边形为正方形， ∴PQ =PQ ′， 即|m 2﹣3m |=m ，得m 1=0（舍去），m 2=4，m 3=2， P 点坐标为（4，0），（2，6）， 综上所述，点P 的坐标为（4，0）或（5，﹣6）或（2，6）.2.（2019·中原名校大联考）如图，直线y ＝﹣x +5与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与直线y ＝﹣x +5交于B ，C 两点，已知点D 的坐标为（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点M ，N 分别是直线BC 和x 轴上的动点，则当△DMN 的周长最小时，求点M ，N 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y＝﹣x+5中，当x＝0，y＝5，当y＝0，x＝5，点B、C的坐标分别为（5，0）、（0，5），将（5，0）、（0，5），代入y＝﹣x2+bx+c，并解得：b=4，c=5即二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5.（2）在y＝﹣x2+bx+5中，当y＝0时，x＝﹣1或5，∴A（﹣1，0），OB＝OC＝2，∴∠OCB＝45°；过点D分别作x轴和直线BC的对称点D′（0，﹣3）、D″，∵∠OCB＝45°，∴CD″∥x轴，点D″（2，5），连接D′D″交x轴、直线BC于点N、M，此时△DMN的周长最小，设直线D’D’’的解析式为：y＝mx+n将D′（0，﹣3），D″（2，5），代入解得：m=4，n=－3，直线D’D’’的解析式为：y＝4x﹣3，∴N(34，0).联立y＝4x﹣3，y＝﹣x+5得：x=85，y=175，即M(85，175).3.（2017·预测卷）已知，在平面直角从标系中，A点坐标为（0，4），B点坐标为（2，0），C（m，6）为反比例函数123y=图象上一点．将△AOB绕B点旋转至△A′O′B处．（1）求m的值；（2）求当AO′最短和最长时A′点的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵C（m，6）为反比例函数123y=图象上一点，∴m=23；（2）当AO′最短时A′点的坐标（2+65，85），当AO′最长时A′点的坐标（2﹣65，﹣85）．①当点O′在线段AB上时，AO′最短，过点O′作O′N⊥x轴于N，过点A′作A′M⊥O′N于M，∵O′N∥OA，∴''BN O N O B OB OA AB==，即'2425 BN O N==∴BN=25，O′N=45．由∠A′MO′=∠A′O′B=∠O′NB=90°，得：∠MA′O′=∠NO′B，∴△A′MO′∽△O′NB，∴''2 'A M O MO N BN==，∴A′M，O′M即A’（）；②当点O′在线段AB延长线上时，AO′最长，同理可得：（2）．4.（2017·郑州一模）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O 于点Q，则PQ的最小值为（）A B C．2D．3【答案】A．【解析】解：由垂线段最短知，当OP⊥l时，OP取最小值，而由PQ PQ取最小值，过点O作OP⊥l于P，过P作⊙O的切线PQ，切点为Q，连接OQ，则OP=3，OQ=2，∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP=90°，由勾股定理得：PQ，即PQ，故答案为：A ．5.（2019·许昌月考）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AB =2，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P 、D （P 、D 两点不重合）两点间的最短距离为 ．【答案】 2.【解析】解：（1）BC 为腰，且∠PCB 为顶角时，以C 为圆心，以BC 为半径画弧，点P 在弧上，由题意知，点P 在菱形外或与A 、D 重合，不符合题意；（2）以BC 为腰，且∠PBC 为顶角时，点P 在以B 为圆心，以AB 为半径的圆上，则PD 的最小值为：BD －BC BC －BC ﹣2；（3）BC 为底时，则点P 在线段BC 的垂直平分线上，由垂线段最短知，PD 最小为：1+1=2；∵2<2，∴PD 的最小值为：﹣2.6.（2019·郑州外国语模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，已知A (-1,0)，C (0,3).(1)求抛物线的解析式；（2）如图，抛物线的顶点为E ，EF ⊥x 轴于F ，N 是直线EF 上一动点，M (m ，0)是x 轴上一个动点，请直接写出CN +MN +12MB 的最小值.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (-1,0)，C (0,3)代入y =-x 2+bx +c 得：103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，即抛物线的解析式为：y =-x 2+2x +3；（2）首先构造出12MB ，将AB 绕点B 顺时针旋转30°，交y 轴于H ，过M 作MG ⊥BH 于G ，则MG =12MB ，CN +MN +12MB 的最小值即CN +MN +MG 的最小值， 由图可知，当C 、N 、M 、G 共线，且CG ⊥BH 时，取得最小值，即∠HCG =30°，∵OB =3，∠ABH =30°，∴AH H （0），∴CH∴CG =CH ·cos ，即CN +MN +12MB 的最小值为32. 7.（2019·郑州实验中学模拟）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与一直线相交于A （1，0）、C （﹣2，3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ．（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值；（3）在对称轴上是否存在一点M ，使△ANM 的周长最小．若存在，请求出△ANM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得：10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的函数解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x +3；设直线AC 的解析式为：y ＝kx +n ，将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝kx +n ，得：k +n =0，-2k +n =3，解得：k =-1，n =1，即直线AC 的解析式为y ＝﹣x +1．（2）过点P 作PF ∥y 轴交直线AC 于点F ，设点P （x ，﹣x 2﹣2x +3），则点F （x ，﹣x +1），（﹣2＜x ＜1）∴PF ＝﹣x 2﹣2x +3﹣（﹣x +1）＝﹣x 2﹣x +2．∴S △APC ＝12(x A －x C )•PF ＝﹣32x 2﹣32x +3 ＝﹣32（x +12）2+278． ∴当x ＝﹣12时，△APC 的面积取最大值，最大值为278． （3）当x ＝0时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝3，∴点N 的坐标为（0，3）．由y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4，得：抛物线的对称轴为x ＝﹣1．∴点C ，N 关于抛物线的对称轴对称，设直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，此时△ANM周长有最小值．由勾股定理得：AC＝，AN＝∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝∴△ANM周长的最小值为8.（2018·郑州预测卷）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3.（1）求抛物线的解析式；（2）连接CB交EF于点M，连接AM交OC于点R，连接AC，求△ACR的周长；（3）设G(4，－5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PH⊥EF于点H，连接AP，GH，问AP＋PH ＋HG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，∴C (0，3)，E (2，3)．将C (0，3)，E (2，3)代入y＝－x2＋bx＋c得：b=2，c=3，∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋2x＋3；(2)在y＝－x2＋2x＋3中，当y＝0时，x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，∵AO＝1，CO＝3，∴在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC ∵CO＝BO＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴FM＝BF＝1，∵RO∥MF，∠RAO＝∠MAF，∴△ARO∽△AMF，∴RO AOMF AF=，得RO＝13，∴CR＝OC－OR＝3－13＝83，AR，∴△ACR的周长为：AC＋CR＋AR＝83+；（3）取OF中点A′，连接A′G交直线EF的延长线于点H，过点H作HP′⊥y轴于点P′，连接AP′，当P在P′处时，AP＋PH＋HG最小，A′(1，0)，设直线A′G的解析式为：y＝kx＋m，将G(4，－5)，A′(1，0)代入得：k=53-，b=53，∴直线A′G的解析式为：y＝53-x＋53.当x＝2时，y＝53 -，即点H的坐标为(2，53 -)，∴符合题意的点P的坐标为(0，53 -)．9. （2019·郑州联考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y2x-与x轴交于A，C（A在C 的左侧），点B 在抛物线上，其横坐标为1，连接BC ，BO ，点F 为OB 中点．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）若点D 为抛物线第四象限上的一个动点，连接BD ，CD ，点E 为x 轴上一动点，当△BCD 的面积的最大时，求点D 的坐标，及|FE ﹣DE |的最大值.【答案】见解析.【解析】解：（1）在y2x -y ＝0，解得：x 1＝32，x 2＝72， ∴A （32，0），C （72，0） 当x ＝1时，y ＝即B （1，，设直线BC 的解析式为y ＝kx +b得：702k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得5k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 直线BC 的解析式为y＝x. （2）设点D （m，255-+），则点H （m，5-m+5） 过点D 作DH ⊥x 轴交BC 于点H ，HD ＝5-m +5﹣（255-+）＝294m ⎫-+⎪⎝⎭ S △BCD =12×DH ×（x C －x B ） =54DH ， ∴当m ＝94时，HD 取最大值，此时S △BCD 的面积取最大值．此时D （94. 作D 关于x 轴的对称点D ′则D ′（94）， 连接D ′H 交x 轴于一点E ，此时|D ′E ﹣FE |最大，最大值为D ′F 的长度，∵F （12）∴D ′F ，即|FE ﹣DE |． 10.（2019·三门峡一模）反比例函数k y x=（k 为常数，且k ≠0）的图象经过点A (1，3)，B (3，m )． （1）求反比例函数的解析式及点B 的坐标；（2）在x 轴上找一点P ，使P A +PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）将点A(1，3)代入kyx=得：k=3，即反比例函数解析式为：3yx =，将点B(3，m)代入3yx=得：m=1，即B(3，1).（2）作点A关于x轴的对称点A’(1，－3)，连接A’B交x轴于点P，此时P A+PB最小，如图所示，设直线A’B的解析式为：y=kx+b，∴331k bk b+=-⎧⎨+=⎩，解得：25kb=⎧⎨=-⎩，即直线A’B的解析式为：y=2x－5，当y=0时，x=52，即P(52，0).ABO x y。

2020中考常见最值问题总结归纳微专题一：单线段最值+单动点型WORKINGPLAN微专题一：单线段最值+单动点型类型一：动点轨迹--直线型考法指导动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

（1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值（2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。

【典例精析】例题1．（2020·全国初三单元测试）如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【答案】【详解】 ABCD 为矩形，AB DC ∴=又=PAB PCD S S∴点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上，连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，且PC PD AC +====故答案为：【针对训练】1．（2018·湖北中考真题）如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（ ）A．4 B．2 C ．1 D ．2【答案】C【详解】连接OC ，作PE ⊥AB 于E，MH ⊥AB 于H，QF ⊥AB 于F ，如图，∵△ACB 为到等腰直角三角形，∴AC=BC=2，∠A=∠B=45°， ∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB，OC 平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt △AOP 和△COQ 中A OCQ AO COAOP COQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴Rt △AOP ≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，∴∴PE+QF=2，CQ+BQ，=2BC=2 ∵M 点为PQ 的中点，∴MH 为梯形PEFQ 的中位线，∴MH=12，PE+QF，=12， 即点M 到AB 的距离为12， 而CO=1，∴点M 的运动路线为△ABC 的中位线，∴当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长=12AB=1， 故选C，2．（2017·江苏中考真题）如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______，【答案】【详解】解：如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，在Rt，ABC′中，易知AB=BC′=6，，ABC′=90°，，EE′=AC故答案为：3．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）【详解】解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：∵∵ABC是等边三角形，∵AB=BC=AC，∵A=∵B=60°，由旋转的性质得：∵ACB=∵DCE=60°，CD=CE，∵∵ACD=∵BCE，∵∵ACD∵∵BCE（SAS），∵AD=BE．（2）如图2，过点A作AF∵EB交EB延长线于点F．∵∵ACD∵∵BCE，∵∵CBE=∵A=60°，∵点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，∵∵ACB=∵CBE=60°，∵AC∵EF，∵AF∵BE，∵AF∵AC，在Rt∵ACF中，，∵CD=CF=类型二：动点轨迹--圆或圆弧型考法指导动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

2020中考数学几何专题突破模块四：动点最值问题1．（2019·安徽中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是（）A．0 B．4 C．6 D．82．（2018·贵州中考真题）如图，在△ABC中，BC=6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG 长的最小值为_____．3．（2019·吉林中考真题）如图，在矩形ABCD 中，4,3AD cm AB cm ==，E 为边BC 上一点，BE AB =，连接AE ．动点P Q 、从点A 同时出发，点P 以2/cm s 的速度沿AE 向终点E 运动；点Q 以2/cm s 的速度沿折线AD DC -向终点C 运动．设点Q 运动的时间为()x s ，在运动过程中，点P ，点Q 经过的路线与线段PQ 围成的图形面积为()2y cm ．⑴AE =________cm ,EAD ∠=________°；⑵求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； ⑶当54PQ cm =时，直接写出x 的值．4．（2019·湖北中考真题）如图，AB 是O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上一动点，ACB ∠的角平分线交O 于点D ，BAC ∠的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是（ ）A 2B ．2πC ．32D 55．（2019·湖南中考真题）如图，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA (不包括端点)上运动，且满足AE CG =，AH CF =． (1)求证：AEH CGF ∆≅∆；(2)试判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．(3)请探究四边形EFGH 的周长一半与矩形ABCD 一条对角线长的大小关系，并说明理由．6．（2020·湖南）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则55CD BD +的最小值是( )A ．25B ．45C ．53D ．107．（2019·陕西中考真题）如图，在正方形ABCD 中，AB=8，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM=6. P 为对角线BD 上一点，则PM —PN 的最大值为___.8.（2019·南省衡阳市）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以l cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t 为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．9．（2019•吉林省长春市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A 出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作□PQMN．设□PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．（1）①AB的长为；②PN的长用含t的代数式表示为．（2）当□PQMN为矩形时，求t的值；（3）当□PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；（4）当过点P且平行于BC的直线经过□PQMN一边中点时，直接写出t的值．10．（2019•江苏省苏州市）已知矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP ＝25cm .如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动（不包含点C ）.设动点M 的运动时间为t （s ），APM ∆的面积为S （cm ²），S 与t 的函数关系如图②所示：（1）直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;（2）如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇（不包含点C ），动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm .①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.①（图）PBCDAS （cm²）t （s ）②图O2.57.511．（2019•江苏省扬州市）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG 运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥A B．设PQ与AB之间的距离为x．（1）若a＝12．①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为；②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．12．（2019•山东省青岛市）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．13．（2019•天津市）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB 相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当3≤S≤53时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．。

专题 09 动点类题目图形最值问题研究题型一：矩形中的相似求解例 1.（ 2019·绍兴） 如图，矩形 ABCD 中， AB=a ， BC=b ，点 M 、 N 分别在边 AB 、 CD上，点 E 、 F 分别在边 BC 、 AD 上， MN 、EF 交于点 P. 记 k=MN:EF.（ 1）若 a ： b 的值为 1，当 MN ⊥ EF 时，求 k 的值 .（ 2）若 a ： b 的值为 1，求 k 的最大值和最小值 .2（ 3）若 k 的值为 3，当点 N 是矩形的极点，∠MPE =60°， MP=EF=3 PE 时，求 a ：b 的值 .AFD NMBEC题型二：二次函数中几何图形最值求解 例 2.（ 2019·衡阳） 如图，二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A （﹣ 1， 0）和点 B（3， 0），与 y 轴交于点 N ，以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD ，点 P 是 x 轴上一动点，连接 CP ，过点 P 作 CP 的垂线与y 轴交于点 E ．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点 P 在线段 OB （点 P 不与 O 、B 重合）上运动至哪处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；（ 3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接 MN 、MB ．请问： △ MBN 的面积可否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明原由．题型三：二次函数中面积最值的求解例 3.（ 2019·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线C : y ax 2 2x c 订交于点A（ -1,0）和点 B（ 2,3）两点 .（1）求抛物线 C 函数表达式；（2）若点 M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形 MANB ，当平行四边形 MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积 S 及点 M的坐标；（3）在抛物线 C 的对称轴上可否存在定点F，使抛物线 C 上任意一点 P 到点 F 的距离等于到直线y 17F 的坐标；若不存在，请说明原由 .的距离，若存在，求出定点4题型四：反比率函数中面积最值的求解例 4.（ 2018·扬州一模）如图1，反比率函数y= k（ x＞ 0）的图象经过点A（ 23， 1），射x线 AB 与反比率函数图象交于另一点B（ 1，a），射线 AC 与 y 轴交于点C，∠ BAC=75°，AD ⊥ y 轴，垂足为 D ．（1）求 k 的值；（2）求 tan∠ DAC 的值及直线AC 的解析式；（3）如图 2， M 是线段 AC 上方反比率函数图象上一动点，过M 作直线 l⊥ x 轴，与 AC 相交于点 N，连接 CM，求△ CMN 面积的最大值．题型五：反比率函数中面积最值的求解例 5.（ 2019·达州）如图 1，已知抛物线 y=－ x2+bx+c 过点 A(1,0)， B(－ 3,0).（1）求抛物线的解析式及其极点 C 的坐标；（2）设点 D 是 x 轴上一点，当tan（∠ CAO+∠ CDO ） =4 时，求点 D 的坐标；（3）如图 2，抛物线与 y 轴交于点 E，点 P 是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA 交BE 于点 M，交 y 轴于点 N，△ BMP 和△ EMN 的面积分别为m、 n，求 m－ n 的最大值 .题型六：二次函数中最值及最短路径题型例 6.（2019·绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（ a＞0）的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，获取以以下图的抛物线，该抛物线与x 轴交于点 A、 B（点 A 在点 B 的左侧），OA=1，经过点 A 的一次函数 y=kx+b（ k≠0）的图象与 y 轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ ABD 的面积为 5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点 E 在一次函数的图象下方，求△ACE 面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；（3）若点 P 为 x 轴上任意一点，在（ 2）的结论下，求PE+ 3PA 的最小值．5例 7.（ 2019·潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy 中， O 为坐标原点，点A（ 4， 0），点 B （0， 4），△ ABO 的中线 AC 与 y 轴交于点 C，且⊙M 经过 O， A， C 三点．（1）求圆心 M 的坐标；（2）若直线 AD 与⊙ M 相切于点 A，交 y 轴于点 D，求直线 AD 的函数表达式；（3）在过点 B 且以圆心M 为极点的抛物线上有一动点P，过点 P 作 PE∥ y 轴，交直线AD 于点 E．若以 PE 为半径的⊙ P 与直线 AD 订交于另一点 F ．当 EF ＝ 4 5 时，求点 P 的坐标．答案与解析题型一：矩形中的相似求解例1.（ 2019·绍兴）如图，矩形 ABCD 中， AB=a， BC=b，点 M、 N 分别在边 AB、 CD 上，点 E、 F 分别在边BC、 AD 上， MN 、EF 交于点 P. 记 k=MN:EF.（1）若 a： b 的值为 1，当 MN ⊥ EF 时，求 k 的值 .（2）若 a： b 的值为1，求 k 的最大值和最小值 . 2（ 3）若 k 的值为 3，当点 N 是矩形的极点，∠MPE =60°， MP=EF=3 PE 时，求 a：b 的值.A FDNMB E C【解析】（ 1）当 a： b=1 时，可得四边形ABCD 为正方形，由MN ⊥ EF ，可证 MN =EF ，即 k=1；（ 2）先确定 MN 和 EF 的取值范围，当 MN 取最大值， EF 取最小值时， k 的值最大，否则反之；（ 3）依照 N 是矩形极点，分两种情况谈论，即N 分别与 D 点和 C 点重合，依照不同样图形求解 .【答案】见解析.【解析】解：（ 1）当 a：b=1 时，即 AB=BC，∵四边形 ABCD 是矩形，∴四边形 ABCD 是正方形，过 F 作 FG ⊥ BC 于 G，过 M 作 MH ⊥CD 于 H，以以下图所示，A FDNMHBG E C ∵MN⊥ EF ，∴∠ NMH =∠ EFG ，∵∠ MHN =∠ FGE =90°， MH =FG ，∴△ MNH ≌△ FEG ，∴MN=EF ，即 k=1；（ 2）由题意知： b=2a，所以得： a≤EF ≤5a，2a≤MN ≤5a ,所以当 MN 取最大值， EF 取最小值时， k 取最大值，为 5 ；25当 MN 取最小值， EF 取最大值时， k 取最小值，为；5（ 3）以以下图所示，A F DP NMBEC连接 FN ，ME，设PE=x，则 EF =MP=3x， PF=2x，MN =3EF=9 x， PN=6x，∴PF PN PE PM又∵∠ FPN =∠ MPE，∴△ FPN∽△ EPM ，∴∠ PFN=∠ PEM，∴FN∥ ME ，①当 N 点与 D 点重合时，由FN ∥ ME 得， M 点与 B 点重合，AF（N）DP HB C （M ）E过F 作 FH ⊥ BD 于 H ，∵∠ MPE=60°，∴∠ PFH =30°，∴ PH=x ， FH = 3x ， BH=BP+PH=4x ， DH =5x ，在 Rt △ DFH 中， tan ∠FDH =3 ，5即 a:b=3;5②当 N 点与 C 点重合时，过A FDM H PBE（N ） C过点 E 作 EH ⊥ MN 于 H ，连接 EM ，则 PH =x ，EH= 3x ， CH=PC+PH =13x ，在 Rt △ ECH 中， tan ∠ECH =3 ， 13∵ ME ∥ FC ，∴∠ MEB=∠ FCB=∠ CFD ，∵∠ B=∠ D ，∴△ MEB ∽△ CFD ，∴CD FC=2,MB MECD 2BM 2 3即 a:b=BC;BC13综上所述， a:b 的值为3 或 2 3 .513题型二：二次函数中几何图形最值求解例 2.（ 2019·衡阳） 如图，二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A （﹣ 1， 0）和点 B（3， 0），与 y 轴交于点 N ，以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD ，点 P 是 x 轴上一动点，连接 CP ，过点 P 作 CP 的垂线与 y 轴交于点 E ．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点 P 在线段 OB （点 P 不与 O 、B 重合）上运动至哪处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；（ 3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接 MN 、MB ．请问： △ MBN 的面积可否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明原由．【解析】（ 1）将点 A 、B 的坐标代入二次函数解析式求解； （ 2）由 △ POE ∽△ CBP 得出比率 线段，可表示 OE 的长，利用二次函数的性质可求出线段 OE 的最大值；（3）过点 M 作 MH ∥ y轴交 BN 于点 H ，由 S △MNB ＝S △BMH +S △MNH 即可求解． 【答案】见解析 .【解析】解：（ 1） ∵抛物线 y ＝ x 2+bx+c 经过 A （﹣ 1， 0）， B （ 3， 0），1 b c 09 3bc ，0 解得：b 2 c，3抛物线函数关系表达式为y ＝ x 2﹣2x ﹣ 3；（ 2）由题意知： AB ＝ OA+OB ＝ 4，在正方形 ABCD 中， ∠ ABC ＝ 90°， PC ⊥ BE ， ∴∠ OPE+∠ CPB ＝ 90°，∠CPB +∠ PCB ＝ 90°， ∴∠ OPE ＝∠ PCB ，又∵∠ EOP ＝ ∠ PBC ＝ 90°，∴△ POE ∽△ CBP ，∴BC OP ，BP OE∴4 x ， 3 xOE2∴OE ＝1x 2 3x1 x 3 9 ，44 216当 x3时，即 OP =3时线段 OE 长有最大值，最大值为9 ．2216（3）存在．如图，过点 M 作 MH ∥y 轴交 BN 于点 H ，∴N 点坐标为（ 0，﹣ 3），设直线 BN 的解析式为 y ＝kx+b ，3k b 0 ∴，b3∴直线 BN 的解析式为y ＝x ﹣ 3，设 M （ m ， m 2﹣2m ﹣ 3），则 H （ m ， m ﹣ 3）， ∴MH ＝ m ﹣ 3﹣（ m 2 ﹣2m ﹣3）＝﹣ m 2+3 m ，∴S △MNB ＝S △BMH +S △MNH ＝11 m 2m 2 3m3 27 ，2228∴a ＝ 3时， △ MBN 的面积有最大值，最大值是27，此时 M 点的坐标为（ 3，15）．2824题型三：二次函数中面积最值的求解例 3.（ 2019·自贡） 如图，已知直线 AB 与抛物线 C : y ax 2 2xc 订交于点 A （ -1,0）和点 B （ 2,3）两点 .（1）求抛物线 C 函数表达式；（2）若点 M 是位于直线 AB 上方抛物线上的一动点， 以 MA 、MB 为相邻的两边作平行四边的坐标；（3）在抛物线 C 的对称轴上可否存在定点 F ，使抛物线 C 上任意一点 P 到点 F 的距离等于到直线 y17 F 的坐标；若不存在，请说明原由 .的距离，若存在，求出定点4【答案】见解析 .【解析】解：（ 1）把 A （ -1,0），B （ 2,3）代入抛物线得：a 2 c 04a 4 c 3解得a 1c 3∴抛物线的函数表达式为：y=－x 2+2x+3（ 2）∵ A （ -1,0）， B （ 2,3），∴直线 AB 的解析式为： y=x+1，以以下图所示，过 M 作 MN ∥ y 轴交 AB 于 N ，设 M(m,－ m 2+2m+3)， N(m,m+1) ，（ -1＜ m ＜2）∴MN =－ m 2+m+2，∴S △△△ 1x A ) MNABM =S AMN +S BMN = ( x B2∴S △ ABM =1( m 2 m 2)33 (m 1 ) 227 ，22 28∴当1 时， △ ABM 的面积有最大值 27，而 S □MANB△ ABM27 ，此时1 7 m8=2S=M (, )242 2（ 3）存在，点 F (1,15)4原由以下：抛物线极点为D ，则 D （ 1,4），则极点 D 到直线 y17 的距离为 1 ，174 4设 F (1, n) 、 P(x, x 22x 3) ，设 P 到直线 y的距离为 PG.4则 PG=17( x 2 2 x3) x 22x 5 ，44∵P 为抛物线上任意一点都有 PG=PF ，∴当 P 与极点 D 重合时，也有 PG=PF .此时 PG= 1，即极点 D 到直线 y17 的距离为 1 ，44 41∴PF =DF = ，∴ F (1,15) ，4∵PG=PF ，∴PG 2=PF 2， ∵ PF 2( x 1)2(15x 2 2x 3)2( x 1)2(x 22x3 )244PG 2( x 22x 5) 2(15 43)25)2∴ (x 1)2x 2 2x 3)2 ( x 1)2( x 2 2 x (x 22x44 4整理化简可得 0x=0，∴当 F (1,15) 时，无论 x 取任何实数，均有 PG=PF .4题型四：反比率函数中面积最值的求解k例 4.（ 2018·扬州一模） 如图 1，反比率函数 y= x （ x ＞ 0）的图象经过点 A （2 3， 1），射线 AB 与反比率函数图象交于另一点 B （ 1， a ），射线 AC 与 y 轴交于点 C ，∠ BAC=75°，AD ⊥y 轴，垂足为 D ． （1）求 k 的值；（2）求 tan ∠ DAC 的值及直线 AC 的解析式；（3）如图 2， M 是线段 AC 上方反比率函数图象上一动点，过 M 作直线 l ⊥ x 轴，与 AC 相交于点 N ，连接 CM ，求 △ CMN 面积的最大值．11【答案】见解析.【解析】解：（ 1）∵将 A（2 3 ， 1）代入反比率函数y＝k ，x∴k＝ 2 3 ；（2）由（ 1）知，反比率函数解析式为y＝2 3，x∵点 B（ 1， a）在反比率函数y＝23 的图象上，x∴a＝ 2 3 ，∴点 B（ 1， 2 3 ）过 B 作 BE⊥ AD 于 E，以以下图所示，则AE＝BE ＝2 3 ﹣1．∴∠ ABE＝∠ BAE＝45°又∵∠ BAC＝75°，∴∠ DAC ＝30°3∴DC ＝ tan30°·AD＝ 2 3 ＝ 2，∴OC＝ 1，即 C（ 0，﹣ 1）设直线 AC 的解析式为y＝kx+b12∴ 2 3kb 1 ，b1解得k3 3 b1∴直线 AC 的解析式为 y ＝ 3 x ﹣ 13（ 3）设 M （ m ，2 3）， N （ m ， 3m ﹣ 1）m3则 MN ＝2 3－ （3 m ﹣ 1）＝2 3﹣ 3 m+1，m3 m 3∴S △CMN ＝ 1 （23 ﹣ 3 m+1） m ＝﹣ m 2+ m+2m 3＝﹣3（ m ﹣ 3 ） 2+ 9 3628当 m ＝3时， △ CMN 的面积有最大值，最大值为9 3 .28题型五：反比率函数中面积最值的求解例 5.（ 2019·达州） 如图 1，已知抛物线 y=－ x 2+bx+c 过点 A(1,0)， B(－ 3,0).（1）求抛物线的解析式及其极点 C 的坐标；（2）设点 D 是 x 轴上一点，当tan （∠ CAO+∠ CDO ） =4 时，求点 D 的坐标；（3）如图 2，抛物线与 y 轴交于点 E ，点 P 是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA 交BE 于点 M ，交 y 轴于点 N ， △ BMP 和 △ EMN 的面积分别为 m 、 n ，求 m － n 的最大值 .【答案】见解析 .2【解析】解：（ 1）把点（ 1，0），（﹣ 3， 0）代入 y ＝﹣ x +bx+c ，得，0 1 b c ， 0 9 3bc解得 b ＝﹣ 2， c ＝ 3，2 2，∴y ＝﹣ x ﹣ 2x+3 ＝－（ x+1） +4∴此抛物线解析式为： y ＝﹣ x 2﹣2x+3，极点 C 的坐标为（﹣ 1， 4）；13（2）由（ 1）知：抛物线对称轴为x ＝﹣ 1，设抛物线对称轴与x 轴交于点 H ， H （﹣ 1， 0），在 Rt △ CHO 中， CH ＝4， OH ＝ 1，∴ t an ∠COH ＝ CH＝4，OH∵∠ COH ＝ ∠ CAO+∠ ACO ，∴当 ∠ ACO ＝ ∠ CDO 时，tan （ ∠CAO+∠CDO ）＝ tan ∠ COH ＝ 4，以以下图所示，当点 D 在对称轴左侧时，∵∠ ACO ＝∠ CDO ， ∠ CAO ＝∠ CAO ，∴△ AOC ∽△ ACD ，∴ AC AO ，AD AC∵AC ＝ 2 5 ， AO ＝ 1，∴AD ＝ 20， OD ＝ 19，∴D （﹣ 19， 0）；当点 D 在对称轴右侧时，点D 关于直线 x ＝ 1 的对称点 D'的坐标为（ 17， 0），∴点 D 的坐标为（﹣ 19，0）或（ 17， 0）；（ 3）设 P （ a ，﹣ a 2﹣ 2a+3），设直线 PA 的解析式为： y=kx+b ，将 P （ a ，﹣ a 2﹣ 2a+3）， A （ 1， 0）代入 y ＝ kx+b ，ak ba 2 2a 3 k b，解得， k ＝﹣ a ﹣ 3， b ＝ a+3 ，∴ y ＝（﹣ a ﹣ 3） x+a+3，当 x ＝ 0 时， y ＝ a+3，∴ N （ 0，a+3），14以以下图所示，∵m=S △ BPM ＝ S △BPA ﹣ S 四边形 BMNO ﹣ S △AON ， n=S △EMN ＝ S △EBO ﹣ S 四边形 BMNO ，∴m － n ＝ S △BPA ﹣ S △EBO ﹣ S △AON＝ 1×4×（﹣ a 2﹣ 2a+3）﹣ 1 ×3×3﹣ 1×1×（ a+3） 2 2 2＝﹣ 2（ a+ 9 ） 2+ 81，8 32 ∴当 a ＝﹣ 9 时， m － n 有最大值81.832题型六：二次函数中最值及最短路径题型例 6.（2019·绵阳） 在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax 2（ a ＞0）的图象向右平移1 个单位，再向下平移 2 个单位，获取以以下图的抛物线，该抛物线与 x 轴交于点 A 、 B （点 A在点 B 的左侧） ，OA=1，经过点 A 的一次函数 y=kx+b （ k ≠0）的图象与 y 轴正半轴交于点 C ，且与抛物线的另一个交点为D ， △ ABD 的面积为 5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点 E 在一次函数的图象下方，求 △ACE 面积的最大值，并求出此时点 E 的坐标；（3）若点 P 为 x 轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+ 3PA 的最小值．5【答案】见解析 .【解析】解：（ 1）由平移知，平移后获取的抛物线解析式为y=a （ x-1）2 -2，∵OA=1，15∴点 A 的坐标为（ -1，0），代入抛物线的解析式得， 4a-2=0 ，得： a= 1，2∴抛物线的解析式为 y1 x 1 21 x2 x3 ．2 ，即 y222令 y=0，解得 x 1=-1 ， x 2 =3，∴B （ 3，0），∴AB =OA +OB=4，∵△ ABD 的面积为 5，1∴S △ ABD = AB ·y D =5∴ y D = 5，25 1 x 2 x 3 ，解得 x 1=-2， x 2=4，2225∴D （ 4， ），设直线 AD 的解析式为 y=kx+b ，∴ 4kb5k12 ，2 ，解得：k b 0b1 2∴直线 AD 的解析式为： y=1x+ 1 . 2 2（ 2）过点 E 作 EM ∥y 轴交 AD 于 M ，以以下图所示，设 E （ a ， 1a 2－ a － 3 ）， M （a ， 1 a+ 1），2 2 2 2∴ME = － 1a 2+ 3a+2 ，2 2∴S △ ACE =S △ AME － S △CME =－ 1 （ a 2－ 3a － 4） =－ 1 （ a － 3 ） 2+25，44 2 1616∴当 a= 3 时， △ ACE 的面积有最大值，最大值是25，此时 E 点坐标为（ 3 ， 15 ）．21628（ 3）作 E 关于 x 轴的对称点 F ，连接 EF 交 x 轴于点 G ，过点 F 作 FH ⊥ AE 于点 H ，交轴于点 P ，∴AG = 5 ， EG = 15，2 8AG 4 ∴,EG3∵∠ AGE=∠ AHP =90° ∴sin ∠= PHEG 3EAGAE，AP53∴PH = AP ，∵E 、 F 关于 x 轴对称，∴PE =PF ，3∴PE + 5 AP=FP+HP=FH ，此时 FH 最小，∵ E F =15， ∠AEG =∠ HEF ，4∴sin ∠ AEG=sin ∠ HEF =AGFH4 AEAE 5∴FH =3．即 PE+ 3PA 的最小值是3． 5例 7.（ 2019·潍坊） 如图，在平面直角坐标系 xoy 中， O 为坐标原点，点A （ 4， 0），点 B（ 0， 4），△ ABO 的中线 AC 与 y 轴交于点 C ，且 ⊙M 经过 O ， A ， C 三点．（ 1）求圆心 M 的坐标；（ 2）若直线 AD 与 ⊙ M 相切于点 A ，交 y 轴于点 D ，求直线 AD 的函数表达式；（3）在过点B 且以圆心 M 为极点的抛物线上有一动点 P ，过点 P 作 PE ∥ y 轴，交直线 AD于点 E ．若以 PE 为半径的 ⊙ P 与直线 AD 订交于另一点 F ．当 EF ＝ 4 5 时，求点 P 的坐标．17【答案】见解析．【解答】解：（ 1）∵ AC 为△ ABO 的中线，点B（ 0，4），∴点 C（0， 2），∵点 A（ 4， 0），点M 为线段 AC 的中点，即 M（ 2， 1）；（2）∵⊙P 与直线 AD ，则∠ CAD ＝ 90°，设∠ CAO＝α，则∠ CAO＝∠ ODA＝∠ PEH ＝α，tan∠ CAO＝OC1αα5， cosα＝25 ，OA2＝ tan ，则 sin＝55AC＝ 10 ，则 CD＝AC＝ 10，sin则 D （ 0，﹣ 8），设直线 AD 的解析式为： y＝ mx+n：b8得：，解得： k=2， b=－ 8，4k b 0直线 AD的表达式为： y＝2x﹣ 8；（3）抛物线的表达式为：y＝ a（ x﹣ 2）2+1，3将点 B 坐标代入上式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝3x2﹣ 3x+4，41过点 P 作 PH ⊥ EF，则 EH ＝EF＝ 2 5 ，18(完满版)2020年中考数学动向问题图形最值问题研究(含答案) 21 / 21 cos ∠PEH ＝ EH cos 2 5PE 5得： PE ＝ 5，设点 P （ x ， 3 x 2﹣ 3x+4），则点 E （ x ，2x ﹣ 8），4则 PE ＝ 3 x 2﹣ 3x+4 ﹣ 2x+8＝5，4解得 x ＝ 14 或 2（舍），3则点 P （ 14 ， 19 ）．3 3 19。

2020中考常见最值问题总结归纳微专题一：单线段最值+单动点型WORKING PLAN微专题一：单线段最值+单动点型类型一：动点轨迹--直线型考法指导动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

（1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值（2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定 ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。

【典例精析】例题1．（全国初三单元测试）如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【详解】ABCD为矩形，∴=AB DCS S又=PAB PCD∴点P到AB的距离与到CD的距离相等，即点P线段AD垂直平分线MN上，+的值最小，连接AC，交MN与点P，此时PC PD+====且PC PD AC故【针对训练】1．（湖北中考真题试卷）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P 为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C 时，点M所经过的路线长为（）A B C．1D．2C【详解】连接OC ，作PE ⊥AB 于E，MH ⊥AB 于H，QF ⊥AB 于F ，如图，∵△ACB 为到等腰直角三角形，∴AC=BC=2，∠A=∠B=45°， ∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB，OC 平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt △AOP 和△COQ 中A OCQ AO COAOP COQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴Rt △AOP ≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，∴PE=2AP=2CQ，QF=2BQ， ∴PE+QF=2，CQ+BQ，=2∵M 点为PQ 的中点，∴MH 为梯形PEFQ 的中位线，∴MH=12，PE+QF，=12，即点M到AB的距离为1 2，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=12AB=1，故选C，2．（2017·江苏中考真题试卷）如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB 方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______，【详解】解：如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，在Rt，ABC′中，易知AB=BC′=6，，ABC′=90°，，EE′=AC故3．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．（1）见解析；（2）【详解】解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：∵∵ABC是等边三角形，∵AB=BC=AC，∵A=∵B=60°，由旋转的性质得：∵ACB=∵DCE=60°，CD=CE，∵∵ACD=∵BCE，∵∵ACD∵∵BCE（SAS），∵AD=BE．（2）如图2，过点A作AF∵EB交EB延长线于点F．∵∵ACD∵∵BCE，∵∵CBE=∵A=60°，∵点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，∵∵ACB=∵CBE=60°，∵AC∵EF，∵AF∵BE，∵AF∵AC，在Rt∵ACF中，，∵CD=CF=类型二：动点轨迹--圆或圆弧型考法指导动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

（完整版）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。

这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。

理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。

教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。

考的较多的还是“饮马问题”。

知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。

（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A 关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C 就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。