刚体定轴转动的角动量力矩的功

Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的 质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3： 如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A

（1）
（2）
（3）
解：
（1） dJ
z
x 2 dm
m l dx
O x
dm dx z
dm dx
J x
2 0
l
m
dx ml 2 l 3
1
（2） dJ r 2 dm
dm 2 rdr
J 2 1 2

R
0
r dr R 2
3
1
4
R
O r
dr
mR 2
a ( m1 m 2 ) g m1 m 2 M / 2
m2
m1 F

R
T1
T2
a
T1 Mg T2
m1g
m2g
例 3-3
如图，质量为 m，长为 l 的均匀细棒绕过 O
点的转轴自水平位置以零角速度自由下摆。求 （1）细棒运动到与水平夹角为时的角加速度和角 速度； （2）此时细棒末端 A 的速度和加速度。
z F Fz F d O

r
r
r F : 沿Oz rz F : 垂直Oz r Fz : 垂直Oz r F 0 z z
P
rz
O
结论：
M z r F
大小： M z F r sin F d 方向： 沿 r F 方向，即沿转动轴的方向
（3） dJ
1 2
r 2 dm
r R sin
z
2
dm dV r dy
， ，
( R sin ) 2 d ( R cos ) R 3 sin 3 d

r y R O

速度0＝0，下摆到竖直位置时的角速度为 ，按 力矩的功和转动动能增量的关系式得
定轴转动的动能定理
mg l 1 J 2
22
由此得 mgl
J
因 J 1 ml 2 代入上式得 3g
3
J
所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度
分别为
vA l 3gl
vC
l
2
1 2
3gl
刚体的平面平行运动
c.若系统内既有平动也有转动现象 发生，若对某一定轴的合外力矩为 零,则系统对该轴的角动量守恒。
定轴转动刚体的角动量守恒定律
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
v dx dt
dv d2 x a dt dt2
P mv F
EK
1 mv2 2
m
dA Fdx Fdt
刚体的定轴转动
d
dt
d
dt
Mz
dLz dt
t2 Mdt t1
L2 L1
dL
L2
L1
角动量定理的微分形式：
t2 t1
M
d
t
J
J0
t2 M d t为t t2 t1时间内力矩M 对给定轴的冲量矩
t1
。
2. 定轴转动刚体的角动量守恒定律
角动量守恒定律：若一个系统一段时间内
所受合外力矩M 恒为零，则此系统的总角 动量L 为一恒量。
解 先对细棒OA所受的力
作一分析；重力G 作用在 O
棒的中心点C，方向竖直向
下；轴和棒之间没有摩擦
力，轴对棒作用的支承力N
垂直于棒和轴的接触面且
通过O点，在棒的下摆过
G
程中，此力的方向和大小

J miri
i
例 如图
I m1r12 m2r22 m3r32
m2
可视为 质点
r1
m1
r2 r3
m3
转轴
•质量连续分布的物体
J rdm dm d 或 ds 或 dV

线积分

面积分

体积分
（记住：棒、圆盘和圆柱体的I）
例题 5-2
例题 5-3
例题 5-4
（4）以上三式联立，可得物体下落的加速度和速度：
a m g mM 2
V 2ah 4mgh 2m M
这时滑轮转动的角速度为 V 1 4mgh
R R 2m M
例题:质量M=1.1kg，半径=0.6m的匀质圆盘，可绕通过其
中心且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动。圆盘边缘绕有
看成质点 水平飞行
刚体作平动，其上所有点的速度、加速度相等，运动 轨迹都相同，整个刚体可当作质点来处理，满足牛顿 定律。
转动 刚体运动时，如果刚体中所有质点都绕着一直线 作圆周运动，则这刚体的运动称为转动，这条直 线称为转轴。转轴固定的转动叫定轴转动。
转轴
地球仪转动
一般情况下，刚体十分复杂，同时存在平动和 转动；可以证明，刚体的一般运动可以当作由一平 动和一绕瞬时轴的转动组合而成。

F
ds

F
cos
ds

Ft rd

Md
The total work done during a finite angular displacement
is then

W 0 M d
(5-18)
In the special case of M is a constant

第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的冲力极大， 物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略。这样，棒与物体 相撞时，它们组成的系统所受的对转轴O的外力矩为零，所 以，这个系统的对O轴的角动量守恒。我们用v表示物体碰撞 后的速度，则
1 1 2 2 ml mvl ml 3 3
（2）
式中’为棒在碰撞后的角速度，它可正可负。 ‘取正值， 表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。
第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减速直线运 动，加速度由牛顿第二定律求得为
mg ma
由匀减速直线运动的公式得
（3）
0 v 2as
2
亦即
v 2 2gs
（4）
由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得
R R/2

v
解：取人和盘为系统，
M外 0
R/2 R
系统的角动量守恒.
(1)开始系统的角动量为
2
o

v
1 1 R 2 m 0 M R 0 2 2
1 2 1 m R mE M R2 ME 后来： 4 2
mE ME mM
刚体力学第2讲——定轴转动中 的功能关系、刚体的角动量定理 和角动量守恒定律
主要内容
一、刚体转动动能定理 二、刚体的角动量守恒
一、转动动能定理
（一）力矩的功
W
2 1
M d
（二）转动动能定理
W Ek 2 Ek1
1 Ek J 2 2
（三）刚体的重力势能
（三） 刚体的重力势能
例2：两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2， 角速度分别为 1 、2，求两飞轮啮合后共 同的角速度 。啮合过程机械能损失。

第四章 刚体的定轴转动
9

物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
例1 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动， (A)它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变 (B)它受热膨胀时角速度变大，遇冷收缩时 角速度变小 (C)它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度均变大 (D)它受热膨胀时角速度变小，遇冷收缩时
in
M L 常量
ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
第四章 刚体的定轴转动
7
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
花样滑冰 茹可夫斯基凳
m
m
ω
第四章 刚体的定轴转动
r2
r1
8
物理学
第五版

2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律 直升机螺旋桨的设置
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
3

刚体定轴转动的角动量定理
质点mi受合力矩Mi(包括Miex、 Miin )
in 合外力矩 M 对定轴转的刚体 i 0 ，
dLi d( J ) d 2 Mi (mi ri ) dt dt dt
ex d d ( J ) 2 M M i ( mi ri ) dt d t d( J ) dL 刚体定轴转动 M dt dt 的角动量定理
第四章 刚体的定轴转动
5

物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从 t1到 t 2内，角速度从 ω1变为 ω2，积分可得：

R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
o R M

T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R

2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m

R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？

M J
p mivi
角动量
L J
角动量定理 M d(J)
dt
质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较（续）
质点的运动
动量守恒 力的功 动能
Fi 0时
mivi 恒量
Aab
b
F
dr
a
Ek
1 2
mv
2
动能定理
A
1 2
mv
2 2
1 2
mv12
重力势能
Ep mgh
机械能守恒
A外 A非保内 0时
进动特性的技术应用
翻转
外力
C
外力
进动
C
炮弹飞行姿态的控制：炮弹在飞行时，空气阻力对炮弹质心 的力矩会使炮弹在空中翻转；若在炮筒内壁上刻出了螺旋线 （称之为来复线），当炮弹由于发射药的爆炸所产生的强大 推力推出炮筒时，炮弹还同时绕自己的对称轴高速旋转。由 于这种自转作用，它在飞行过程中受到的空气阻力将不能使 它翻转，而只能使它绕着质心前进的方向进动。
pA pB
pA A
Bp B
s
s
O
x
结论：静止流体中任意两等高点的压强相等，即压强差为零。 若整个流体沿水平方向加速运动？ 加速运动为a，压强差为？
2. 高度相差为 h 的两点的压强差（不可压缩的流体）
选取研究对象，受力分析：（侧面？）
沿 y 方向：
p C
Y C s
pB s pC s mg may
已知：p0=1.013×105 Pa ， 0 1.29kg / m3
解 由等温气压公式
p
p e(0g / p0 ) y 0
0g 1.25104 m1
p0
p1 1.0 105 e1.251043.6103 0.64 105 Pa

O
C
零点， 表示棒这时的角速度, 零点，用ω表示棒这时的角速度,则
l 1 11 2 2 2 mg = J ω ＝ ml ω 2 2 23
（ 1）
第二阶段是碰撞过程 。 因碰撞时间极短， 第二阶段是 碰撞过程。 因碰撞时间极短 ， 自由的 碰撞过程 冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力， 冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略 这样，棒与物体相撞时， 。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对 的外力矩为零，所以， 转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角 动量守恒。 表示物体碰撞后的速度， 动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则
讨论： 讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J保持不变， 对于绕固定转轴转动的刚体， 保持不变 保持不变， 对于绕固定转轴转动的刚体 当合外力矩为零时，其角速度恒定。 当合外力矩为零时，其角速度恒定。
当 M z = 0时， J =恒量
ω
=恒量
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系 若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时, 若系统由若干个刚体构成 统的角动量依然守恒。 统的角动量依然守恒。J 大→ ω , J 小→ 大。 小 ω
(6)
l h = + 3 µ s − 6 µ sl 2
的匀质细杆， 例13：一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定 13： 水平轴在铅垂面内自由转动， 水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位 置。一质量与杆相同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点 O点 l/4 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行 处的杆上， ，如图所示。若要使杆以匀角速度转动 如图所示。 求: 昆虫沿杆爬行的速度。 昆虫沿杆爬行的速度。
r r vi ∆m i L r ri