第1章 被控对象数学模型

1.3 机理法建立被控对象的数学模型
对上式进行Laplace变换，整理可得双容过程的数学模型
G(s) Q2 (s) H 2 (s) 1 R3
K
Q1 (s) Q2 (s) T1s 1 T2 s 1 (T1s 1)(T2 s 1)
如图所示为该双容过程的 阶跃响应曲线。
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
根据物料平衡关系，即在单位时间内储 存罐的液体流入量与单位时间内储存罐的液 体流出量之差，应等于储存罐中液体储藏量 的变化率。故有：
即：
Q1
Q2

dV dt
dh 1
dt A (Q1 Q2 ) 其中A是横截面积。
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
由上可见，液位变化dh/dt由两个因素决定： ➢一是储存罐的截面积A； ➢一是流入量与流出量之差Q1-Q2。
1.2 被控对象的数学模型 的建立
1.2.2 实验法建模
实验法建模是根据被控对象输入/输出的 实验测试数据通过数学处理后得出数学模 型。此方法又称为系统辨识。
系统辨识是根据测试数据确定模型结构 （包括形式、方程阶次以及时滞情况等）， 在已定模型结构的基础上，再由测试数据 确定模型的参数即为参数估计。
➢设计过程控制系统和控制参数整定 ➢指导设计生产工艺设备 ➢ 进行仿真试验研究 ➢ 实施工业过程的优化 ➢实现工业过程的故障检测和诊断 ➢培训系统运行操作人员
1.1 被控对象的数学模型
1.1.3 被控对象数学模型的要求
实际生产工程的特性是非常复杂的，为了建立被控对 象的数学模型，有时需要做一些合理的假设，突出主要因素， 忽略次要因素。并在此假设条件下，得到被控对象的数学模 型。作为被控对象的数学模型，总的要求是简单且准确可靠。
如果被控量只需稍微改变一点就能重新恢复平衡，该过 程的自衡能力强。自衡能力的大小由对象静态增益K的倒数
衡量，称为自衡率()，=1/Байду номын сангаасK。
常见的4类工业过程模型类型，即自衡非振荡过程、无自 衡非振荡过程、自衡振荡过程、具有反向特性的过程。
1.1 被控对象的数学模型
1 自衡非振荡过程
G(s) K e s Ts 1
不计两个储存罐之间管路所造成的时间延迟， 以阀门1的流量Q1为输入量，第二个储存罐的液位h 为输出量，求此两容过程的数学模型
根据物料平衡关系，可以列写出下列增量方程
Q1

Q2

C1
dh1 dt
Q2

h1 R2
Q2
Q3

C2
dh2 dt
Q3

h2 R3
式中：Q1、 Q2 、 Q3为流过阀门1、阀门2、阀门3的流量； h1、h2为储存罐1和2的液位；C1、C2为其溶液系数； R1、 R2 为阀门2、阀门3的液阻。
G(s)
K
e s
(T1s 1)(T2 s 1)
G(s)

K (Ts 1)n
e s
其中τ为过程的纯滞后时间
1.1 被控对象的数学模型
2 无自衡非振荡过程
G(s) K e s 或 G(s) K e s
Ts
s(Ts 1)
1.1 被控对象的数学模型
3 自衡振荡过程
1.2 被控对象的数学模型 的建立
一般情况下，由机理推导的微分方程往往比较复 杂，需要对模型进行简化，以获得实用的数学模型。
简化模型方法有以下三种：一是在开始推导时就 引入简化假定，使推导出的方程在符合过程主要客观 事实的基础上尽可能简单；二是在得到较复杂的高阶 微分方程时，用低阶的微分方程或差分方程来近似； 三是对得到的原始方程利用计算机仿真，得到一系列 的响应曲线（阶跃响应曲线或频率特性），根据这些 特性，再用低阶模型去近似。如有可能，对所得的数 学模型进行验证，若与实际过程的响应曲线差别较大， 则需要对数学模型进行修改和完善。
h KQ1 (1 et /T )
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
2．无自平衡单容过程
所谓无自平衡过程是指受扰过程的平衡状态被破坏后， 在没有操作人员或仪表等干预下，依靠被控过程自身能力不 能重新回到平衡状 态。如图所示为无 自平衡单容液位过 程。
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
若以增量形式表示各变量相对于稳态值的变化量，
可得：
Q1
Q2

A dh dt
假设Q2与h近似成线性正比关系，与阀门2处的 液阻R成反比关系，即 Q2 h / R
则可得：
RC
dh dt

h

RQ1
其中 C A
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
对上式取Laplace变换，可得液位变化与流入量 之间的传递函数：
1.2 被控对象的数学模型 的建立
1.2.3 机理法与实验法建模相结合
当用单一的机理法或实验法建立复杂的被控对象的数学 模型比较困难时，可采用将机理法和实验法相结合的方法来 建立数学模型。
•一是部分采用机理法推导相应部分的数学模型，该部分往往 是工作机理非常熟悉的部分。对于其它尚不熟悉或不很肯定 的部分则采用实验法得出其数学模型。
•二是先通过机理分析确定模型结构形式，再通过实验数据来 确定模型中各个参数的具体数值。这种方式实际上是机理法 建模和参数估计两者的结合。
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
从机理出发，用理论的方法得到被控对象数学 模型，主要是依据物料平衡和能量平衡，一般用下 式表示：
单位时间内进入对象的物料量（或能量） －单位时间内由对象流出的物料量（或能量） ＝系统内物料（或能量）蓄藏量的变化率
有自平衡过 程的阶跃响 应过程如图 所示 ：
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
1.3.3 多容过程的数学模型
具有一个以上存储容量的过程称为多容过程。 在实际生产过程中被控对象大多具有一个以上的存 储容量。
如图所示的液 位过程由管路分离 的两个储存罐组成， 它有两个储水的容 器称为双容过程。
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
A越大，dh/dt越小；Q1-Q2越大，dh/dt越大。
在过程控制系统中，被控对象一般都有一定储存物料或 能量的能力，储存能力的大小通常用容量或容量系数表示， 其表示符号为C。其物理意义是：引起单位被控量变化时被 控对象储存能量、物料量变化的大小。
本例中A是决定液位变化率大小的因素。
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
无自平衡单容过程阶跃响应曲线如图所示。
当输入发生阶跃扰动后， 输出量将无限制地变化下 去，不会停止。这与实际 物理过程是相吻合的。因 为当流入量Q1阶跃变化后， 液位h将随之而变，而流出 量不变，所以储存罐的液 位h要么一直上升直至液体 溢出，要么一直下降直至 液体被抽干。
1.2 被控对象的数学模型 的建立
系统辨识的一般步骤 ：
➢明确数学模型的应用目的及要求 ➢掌握足够多的验前知识 ➢实验设计 ➢辨识方法应用
用阶跃响应、频率响应、频谱分析、相关函数或参数估 计等方法来建立过程的数学模型。对于模型结构，包括模型 形式、时滞情况及方程阶次的确定等，通常总是先作假定， 再通过实验加以验证。 ➢模型验证
过程控制
第一章 被控对象的数学模型
第一章 被控对象的数学模型
要实现过程控制，首先要了解和掌握被 控对象的过程特性，而用数学语言对过程特 性进行描述就是被控对象的数学模型。被控 对象的数学模型在过程控制系统的分析与综 合中起着至关重要的作用。本章在介绍被控 对象数学模型的基本概念、作用和要求的基 础上，详细阐述利用机理法建模和实验法建 模的原理、方法和步骤。
因阀门2换成计量泵，使在任何情况下Q2都保持 不变，即与液位h的大小无关，故有：
Q1
Q2

C
dh dt
因为ΔQ2=0，则可得：
C
dh dt

Q1
对上式取Laplace变换，可得液位变化与流入 量之间的传递函数：
G(s) H (s) 1 Q1 (s) Ts
其中T=C为被控对象 的积分时间常数。
在过程控制中实际应用的数学模型（传递函数）的阶次 一般不高于三阶，一般采用的是带有纯滞后的一阶惯性环节 和带有纯滞后的二阶振荡环节的形式，其中最常用的是带有 纯滞后环节的一阶惯性环节形式。
1.1 被控对象的数学模型
1.1.4 典型的工业过程动态特性
自（平）衡过程：被控对象受到干扰作用后平衡状态被破坏， 无须外加任何控制作用，依靠对象本身自动趋向平衡的特性 称为自衡。具有这种特性的被控过程称为自衡过程。
H (s) R
Q1 (s) RCs 1
令T=RC，K=R，可得：
G(s) H (s) K Q1 (s) Ts 1
其中T为过程时间常数，K为过程放大系数或增 益。
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
液位控制过程的阶跃响应如 图所示。当t→∞时，液位变化趋 于稳态值。对于该过程，输入量 的变化经过储存罐这个对象后， 放大了K倍，故K称为放大系数。 液阻R不但影响液位过程的时间 常数T，而且影响放大系数K；而 容量系数C仅影响液位过程的时 间常数T。时间常数T是表征液位 过程响应快慢的重要参数。
由图可见，与自平衡单容过程 的阶跃响应曲线相比，双容过程的 单位阶跃响应曲线从一开始就变化 较慢。这是因为在两个储存罐之间 存在液体流通阻力，延缓了输出量 的变化。显然，如果依次相接的储 存罐越多，过程容量越大，这种延 缓就会越长。
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
若储存罐1与储存罐2之间管道长度有延迟τ，则 传递函数为：
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