第2章 被控对象的数学模型汇总
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第二章 被控对象的数学模型
Δh:液位的增量 m
dV dh Q1 Q2 A dt dt
Δu1：阀门1开度增量 m2
ΔQ1＝ Ku• Δu1
Ku：阀门1流量系数 m/s
Q2 A 2gh K h
h R Q2
Rs: 液阻 S/m2 h0+Δ h h0 Q20 Q20+Δ Q2
h dh dh ku u1 A C R dt dt
阶跃响应曲线法 1.阶跃响应曲线法 在对象上人为地加 一瞬变扰动，测定 对象的响应曲线， 然后根据此响应曲 线，推求出对象的 传递函数。
缺点：被控参数的偏 差往往会超出实际生 产所允许的数值。
脉冲响应曲线法
u(t)
u(0)
t
y(t)
y(0)
t
2.脉冲响应曲线法
u(t)：矩形脉冲输入
u(t)
u
T
u1(t) t
过程控制系统
按被控对象特性
组成控制系统
控制方案
选择测量控制仪表
控制系统控制效果的好坏，在很大程度 上取决于对被控对象动态特性了解的程 度。
1.选择输入量与输出量
A.多输入单输出的被控对象
e(t) u(t)
液 位 控 制 器 给 水 控 制 阀
+
给定值 -
蒸 汽 流 量
给 水 压 力
锅炉汽 鼓
液位
液 位 变 送 器
1. 概述
若对于复杂的工艺过程，要求出其数学模 型（微分方程）很困难。复杂对象错综复 杂的相互作用可能会对结果产生估计不到 的影响，即使能用机理法得到数学模型， 但仍希望通过实验测定来验证，可采用实 验和测试方法来求取对象数学模型。 方法： 时域法
频域法 相关统计法
第2讲被控对象
单容过程，是指只有一个储蓄容量的过程对象。 若被控过程由多个容积构成，则称为多容过程。
6
2.1 被控过程特性
2.1.2 单容和多容过程
常见自衡过程单容或多容数学模型：
W (s) K TS 1
W (s)
K
e s
(TS 1)
W (s)
K
W (s)
K
e s
(T1s 1)(T2 S 1)
3
第二讲 被控过程建模及分析
如能掌握过程动态特性 （即被控过程的数学模 型），将为取得良好的过 程控制性能打下基础。
被控过程的数学模型是指 被控过程在输入（控制量 或扰动量）作用下，其输 出（被控量）随输入变化 的定量数学函数关系。常 用传递函数表示。
4
2.1 被控过程特性
2.1.1 自衡过程与非自衡过程
曲线法和矩形脉冲响应曲线法。 需设计合理的试验，以获取最大的输入/输出信息
量； 但对不允许试验的工艺过程无能为力。
20
2. 测试法建模
(1) 基本概念
在被控对象上，人为地加非周期信号后，测定被控 对象的响应曲线，然后再根据响应曲线，求出被控 对象模型。
阶跃输入信号是首选的输入测试信号。 建模的任务？
29
(2) 阶跃响应曲线法
两点法确定二阶惯性加纯滞后环节的特征参数
T1
t1
e T1
T2
t1
e T2 0.6
T1 T2
T1 T2
T1
T1
T2
t2
e T1
T2
t2
e T2
T1 T2
0.2
1 T1 T2 2.16 (t1 t2 )
T1T2 (T1 T2 )2
6
2.1 被控过程特性
2.1.2 单容和多容过程
常见自衡过程单容或多容数学模型：
W (s) K TS 1
W (s)
K
e s
(TS 1)
W (s)
K
W (s)
K
e s
(T1s 1)(T2 S 1)
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第二讲 被控过程建模及分析
如能掌握过程动态特性 （即被控过程的数学模 型），将为取得良好的过 程控制性能打下基础。
被控过程的数学模型是指 被控过程在输入（控制量 或扰动量）作用下，其输 出（被控量）随输入变化 的定量数学函数关系。常 用传递函数表示。
4
2.1 被控过程特性
2.1.1 自衡过程与非自衡过程
曲线法和矩形脉冲响应曲线法。 需设计合理的试验，以获取最大的输入/输出信息
量； 但对不允许试验的工艺过程无能为力。
20
2. 测试法建模
(1) 基本概念
在被控对象上，人为地加非周期信号后，测定被控 对象的响应曲线，然后再根据响应曲线，求出被控 对象模型。
阶跃输入信号是首选的输入测试信号。 建模的任务？
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(2) 阶跃响应曲线法
两点法确定二阶惯性加纯滞后环节的特征参数
T1
t1
e T1
T2
t1
e T2 0.6
T1 T2
T1 T2
T1
T1
T2
t2
e T1
T2
t2
e T2
T1 T2
0.2
1 T1 T2 2.16 (t1 t2 )
T1T2 (T1 T2 )2
第二章1_被控过程的数学模型-单容多容
2.2 采用物理机理方法建模
(1) 单容过程的建模
只有一个存储容量的过程。自衡单容过程和无自衡单容过程。
自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡
状态被破坏后，无需操作人员或仪表的干
预，依靠自身能够恢复平衡的过程。
自衡过程的阶跃响应图
无自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡状 态被破坏后，若无操作人员或仪表的干预，依 靠自身能力不能恢复平衡的过程。 无自衡过程的阶跃响应图
2.1 概述
建立数学模型的方法：
物理机理方法建模
根据过程的内在机理，运用已知的静态和动态的能量（物料）平衡关 系，用数学推理的方法建立数学模型。
实验辨识 （系统辨识和参数估计法）
根据过程输入、输出的实验测试数据，通过辨识和参数估计建立过程 的数学模型。
混合法
首先通过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利用实验测试数据 来确定模型中各参数的大小。
则系统特性可用下列微分方程式来描述：
2.1 概述
a n c ( n ) (t ) a n1c ( n1) (t ) a1c(t ) a0 c(t ) bm r ( m) (t ) bm1r ( m1) (t ) b1r (t ) b0 r (t )
式中 an , an1 ,, a1 , a0 及 bm , bm1 ,, b1 , b0 分别为与系统 结构和参数有关的常系数。它们与系统的特性有关， 一般需要通过系统的内部机理分析或大量的实验数 据处理才能得到。
2.1 概述
(b) 传递函数 复数域模型包括系统传递函数和结构图，传递函数不 仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结 构或参数变化对系统性能的影响。 线性定常系统的传递函数定义为零初始条件下，输出 量（响应函数）的拉普拉斯变换与输入量（输入函数）的 拉普拉斯变换之比。拉普拉斯变换为：
【VIP专享】第02章 被控对象的数学模型
由于工业对象往往都非常复杂，物理、化学过 程的机理一般不能被完全了解，而且线性的并不多， 一般很难完全掌握系统内部的精确关系式，故机理 建模仅适用于部分相对简单的系统，而且在机理建 模过程中，往往还需要引入恰当的简化、假设、近 似、非线性的线性化处理等。
6
实验建模
实验建模——在所要研究的对象上，人为的施加一个 输入作用，然后用仪表记录表征对象特性的 物理量（输出）随时间变化的规律，得到一 系列实验数据或曲线。这些数据或曲线就可 以用来表示对象特性。
参量模型的微分方程的一般表达式：
y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y(t) a0 y(t) bmx(m) (t) b1x(t) b0x(t)
y(t)表示输出量，x(t)表示输入量，通常输出量的阶次不低于输入量的阶次(n≥m) 当n=m时，称对象是正则的；当n>m时，称对象是严格正则的；n<m的对象是不可实现 的。通常n=1，称该对象为一阶对象模型；n=2，称二阶对象模型。
非参量模型：采用曲线、表格等形式表示。 特点：形象、清晰，缺乏数学方程的解析性质（必要时须进行数学处 理获得参量模型）。
4
2.2 对象数学模型的建立
建模的目的（略）
建模的方法： 机理建模 实验建模 混合建模
5
机理建模
机理建模——根据物料、能量平衡、传热传质 等内部机理，从理论上来推导建立数学模型。
·一阶线性对象
问题：求右图所示的对象模型（输入输出模型）。 解： 该对象的输入量为qi 被控变量为液位h
qi Ah
q0
根据物料平衡方程： 单位时间内水槽体积的改变＝输入流量 — 输出流量
dV dt
qi
qo
V Ah
A
6
实验建模
实验建模——在所要研究的对象上，人为的施加一个 输入作用，然后用仪表记录表征对象特性的 物理量（输出）随时间变化的规律，得到一 系列实验数据或曲线。这些数据或曲线就可 以用来表示对象特性。
参量模型的微分方程的一般表达式：
y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y(t) a0 y(t) bmx(m) (t) b1x(t) b0x(t)
y(t)表示输出量，x(t)表示输入量，通常输出量的阶次不低于输入量的阶次(n≥m) 当n=m时，称对象是正则的；当n>m时，称对象是严格正则的；n<m的对象是不可实现 的。通常n=1，称该对象为一阶对象模型；n=2，称二阶对象模型。
非参量模型：采用曲线、表格等形式表示。 特点：形象、清晰，缺乏数学方程的解析性质（必要时须进行数学处 理获得参量模型）。
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2.2 对象数学模型的建立
建模的目的（略）
建模的方法： 机理建模 实验建模 混合建模
5
机理建模
机理建模——根据物料、能量平衡、传热传质 等内部机理，从理论上来推导建立数学模型。
·一阶线性对象
问题：求右图所示的对象模型（输入输出模型）。 解： 该对象的输入量为qi 被控变量为液位h
qi Ah
q0
根据物料平衡方程： 单位时间内水槽体积的改变＝输入流量 — 输出流量
dV dt
qi
qo
V Ah
A
2章 被控对象的数学模型
8
第三节、 数学模型的建立 建立以微分方程式表示的数学模型时，一 般可按如下步骤进行。 （1)根据系统和各元件的工作原理及其在控 制系统中的作用，确定其输入量和输出量。 （2)根据元件工作时所遵循的物理或化学定 律，列出其相应的原始方程式。在条件许可下可 适当简化，忽略一些次要因素。这里所说的物理 或化学定律，不外乎牛顿定律、能量守恒定律、 物质守恒定律、基尔霍夫定律等等。
5
2．参量模型
当数学模型是采用数学方程式来描述时，称 为参量模型。参量模型可以用描述系统输出和 输入间关系的微分方程式、差分方程、状态方 程等形式来表示。
注：微分方程与差分方程简介
我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要 工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在 许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函 数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分） 或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程 或差分方程.
第二节、数学模型的类型
数学模型的表达形式主要有两大类：一类是非参量模型；另 一类是参量模型。
1．非参量模型 当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，就 称为非参量模型（如下页图）。非参量模型可以通过记 录实验结果来得到，有时也可以通过计算来得到，它的 特点是形象清晰，比较容易看出其定性的特征。但是， 由于它们缺乏数学方程的解析性质，要直接利用它来进 行系统的分析和设计往往比较困难。 由于系统的数学模型描述的是系统在受到控制作用 或干扰作用后被控变量的变化规律，因此系统的非参量 模型可以用系统在一定形式的输入作用下的输出曲线或 数据来表示。根据输入形式的不同，主要有阶跃响应曲 4 线、脉冲响应曲线、矩形脉冲响应曲线等。
由题意可知，贮槽对象蓄储量的变化率为单位时间 流入对象的物料量减去单位时间流出对象的物料量。设 贮槽横截面积为 A，当流入贮槽的流量 Qi等于流出贮槽 的流量 Q0时，对象处于平衡状态，对象的输出量液位 h 保持不变。 假定在很短的一段时间dt内，由于Qi发生了变化， 不再等于Q0，因而引起液位变化了，此时，流入与流出 贮槽的水量之差 ( Qi 一 Q0)dt 应该等于贮槽内增加或减少 的水量Adh，即 Qi Qo dt Adh (关键的一步) 上式就是用微分方程式表征贮槽对象特性的数学 模型。
第三节、 数学模型的建立 建立以微分方程式表示的数学模型时，一 般可按如下步骤进行。 （1)根据系统和各元件的工作原理及其在控 制系统中的作用，确定其输入量和输出量。 （2)根据元件工作时所遵循的物理或化学定 律，列出其相应的原始方程式。在条件许可下可 适当简化，忽略一些次要因素。这里所说的物理 或化学定律，不外乎牛顿定律、能量守恒定律、 物质守恒定律、基尔霍夫定律等等。
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2．参量模型
当数学模型是采用数学方程式来描述时，称 为参量模型。参量模型可以用描述系统输出和 输入间关系的微分方程式、差分方程、状态方 程等形式来表示。
注：微分方程与差分方程简介
我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要 工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在 许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函 数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分） 或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程 或差分方程.
第二节、数学模型的类型
数学模型的表达形式主要有两大类：一类是非参量模型；另 一类是参量模型。
1．非参量模型 当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，就 称为非参量模型（如下页图）。非参量模型可以通过记 录实验结果来得到，有时也可以通过计算来得到，它的 特点是形象清晰，比较容易看出其定性的特征。但是， 由于它们缺乏数学方程的解析性质，要直接利用它来进 行系统的分析和设计往往比较困难。 由于系统的数学模型描述的是系统在受到控制作用 或干扰作用后被控变量的变化规律，因此系统的非参量 模型可以用系统在一定形式的输入作用下的输出曲线或 数据来表示。根据输入形式的不同，主要有阶跃响应曲 4 线、脉冲响应曲线、矩形脉冲响应曲线等。
由题意可知，贮槽对象蓄储量的变化率为单位时间 流入对象的物料量减去单位时间流出对象的物料量。设 贮槽横截面积为 A，当流入贮槽的流量 Qi等于流出贮槽 的流量 Q0时，对象处于平衡状态，对象的输出量液位 h 保持不变。 假定在很短的一段时间dt内，由于Qi发生了变化， 不再等于Q0，因而引起液位变化了，此时，流入与流出 贮槽的水量之差 ( Qi 一 Q0)dt 应该等于贮槽内增加或减少 的水量Adh，即 Qi Qo dt Adh (关键的一步) 上式就是用微分方程式表征贮槽对象特性的数学 模型。
第2章 被控对象的数学模型CAI
2.2 对象数学模型的建立
假设两只贮槽的截面积都是A，则有： 假设两只贮槽的截面积都是 ，则有： (Q1−Q12)dt=Adh1 (Q12−Q2)dt=Adh2 改写式（ 改写式（2-18）和式（2-19） ）和式（ ）
dh1 1 = (Q1 − Q12 ) dt A
(2-18) (2-19)
由式（ 由式（2-21）解得 ）
d 2 h2 dh2 AR1 AR2 + ( AR1 + AR2 ) + h2 = R2 Q1 （2-25） 2 ） dt dt 改写成 d 2 h2 dh2 T1T2 + (T1 + T2 ) + h2 = KQ1 （2-26） ） dt dt 式中， 第一只贮槽的时间常数； 式中，T1=AR1—第一只贮槽的时间常数；T2=AR2—第二只 第一只贮槽的时间常数 第二只 贮槽的时间常数； 整个对象的放大系数。 贮槽的时间常数；K=R2—整个对象的放大系数。 整个对象的放大系数 这是描述串联贮槽对象特性的一个二阶常系数微分方程， 这是描述串联贮槽对象特性的一个二阶常系数微分方程， 说明串联贮槽对象是一个二阶对象。 说明串联贮槽对象是一个二阶对象。
第2章 被控对象的数学模型 章
2.1 被控对象的特点及其描述方法 2.2 对象数学模型的建立 2.3 描述对象的特性参数
第2章 被控对象的数学模型 章
2.1 对象的特点及其描述方法
1．数学模型 ．
♦自动控制系统由被控对象、测量变送装置、控 自动控制系统由被控对象、测量变送装置、 制器和执行器组成， 制器和执行器组成，系统的控制质量与组成系统的 每一个环节的特性都有着密切关系。被控对象特性 每一个环节的特性都有着密切关系。被控对象特性 对控制质量影响最大。 对控制质量影响最大。 ♦自动控制系统的设计过程： 自动控制系统的设计过程： 设计过程 了解对象特性及其内部规律 根据工艺对控制 质量的要求 设计合理的控制系统 选择合适的 被控变量和操纵变量 选用合适的测量元件及控 自动控制系统。 制器 自动控制系统。
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
第2章被控过程的数学模型
第2章 被控过程的数学模型
建立过程数学模型的基本方法
2．测试法建模 测试法一般只用于建立输入输出模型。它是根据工业过程 的输入和输出实测数据进行某种数学处理后得到的模型。
施加阶跃扰动或脉冲扰动 激励
测绘输出响应曲线
工业过程
把被研究的工业过程视为一个黑匣子，完全从外特性上测试和描述
它的动态性质，不需要深入掌握其内部机理。
第2章 被控过程的数学模型源自数学模型的表达形式与要求1. 建立数学模型的目的
在过程控制中，建立被控对象数学模型的目的主要有 以下几种： (l) 设计过程控制系统和整定控制器的参数 (2) 控制器参数的整定和系统的调试 (3) 利用数学模型进行仿真研究 (4) 进行工业过程优化 另外，设计工业过程的故障检测与诊断系统、制订大 型设备启动和停车的操作方案和设计工业过程运行人 员培训系统，等等都也需要被控过程的数学模型。
第2章 被控过程的数学模型
4）被控对象的自平衡与非自平衡特性
第2章 被控过程的数学模型 例如图中的单容水槽,其阶跃响应如右图所示。
单容过程的定义：只有一个储蓄容量的过程。
第2章 被控过程的数学模型 ②非自平衡：如下图的单容积分水槽，当进水调节阀
开度改变致使物质或能量平衡关系破坏后，不平衡量 不因被控变量的变化而改变，因而被控变量将以固定 的速度一直变化下去而不会自动地在新的水平上恢复 平衡。这种对象不具有自平衡特性，具有这种特性的 被控过程称为非自平衡过程，其阶跃响应如图所示。
对应上式的传递函数为：
H ( s) K G( s) e 0 s ( s) 1 Ts
第2章 被控过程的数学模型
纯滞后环节的存在使过程输 出在响应输入而发生变化的 开始时间在时间轴方向发生 了平移，但对过渡过程中输 出变化的速率和稳态值的大 小没有影响。
第二章 过程特性及其数学模型
A—水槽截面积 将dV代入
0 h h2
t1
t
(Q1 Q2 )dt Adh
h1
t1
t
h Q2 Rs
Rs—阀的阻力
h )dt Adh 代入上式 (Q1 Rs
整理得
dh ARs h Rs Q1 dt
K=Rs
一阶常系数微分 方程
令：T=ARs 所以
dh T h KQ1 dt
t dh T h KQ1 解微分方程得 h KQ (1 e T ) 1 dt
当对象受到阶跃变化Q1=A 输出h是如何变化的。如图
Q1
A
0
h KA(1 e )
当t →∞时， h(∞)=KA 或 K=h(∞)/A
t T
t
h
h(∞) 0
t1
t
放大系数，是对象的静态参数
储槽的阶跃响应曲线
三、对象动态特性的研究方法 1.理论分析 根据系统工艺实际过程的数质量关系，分析计算 输入量与输出量之间的关系。
2.实验研究 需要在实际系统或实验系统中，通过一组输入 ,来 考察输出的跟随变化规律—反映输入与输出关系 的经验曲线和经验函数关系。
第二节 对象数学模型的建立
一、 机理建模法 机理法建摸就是根据生产过程的内在机理，写出各 种有关平衡方程式。如物料平衡方程式、能量平衡 1 方程式等。 1、一阶对象（单容对象） 举例 如图所示为一液体储槽对象 其静态方程
11．已知一个对象特性是具有纯滞后的一阶特性， 其时间常数为5，放大系数为10，纯滞后时间为2 ，试写出描述该对象特性的一阶微分方程式。
无滞后 有滞后 一阶微分方程式：
dy(t 2) 5 y(t 2) 10 x(t ) dt
0 h h2
t1
t
(Q1 Q2 )dt Adh
h1
t1
t
h Q2 Rs
Rs—阀的阻力
h )dt Adh 代入上式 (Q1 Rs
整理得
dh ARs h Rs Q1 dt
K=Rs
一阶常系数微分 方程
令：T=ARs 所以
dh T h KQ1 dt
t dh T h KQ1 解微分方程得 h KQ (1 e T ) 1 dt
当对象受到阶跃变化Q1=A 输出h是如何变化的。如图
Q1
A
0
h KA(1 e )
当t →∞时， h(∞)=KA 或 K=h(∞)/A
t T
t
h
h(∞) 0
t1
t
放大系数，是对象的静态参数
储槽的阶跃响应曲线
三、对象动态特性的研究方法 1.理论分析 根据系统工艺实际过程的数质量关系，分析计算 输入量与输出量之间的关系。
2.实验研究 需要在实际系统或实验系统中，通过一组输入 ,来 考察输出的跟随变化规律—反映输入与输出关系 的经验曲线和经验函数关系。
第二节 对象数学模型的建立
一、 机理建模法 机理法建摸就是根据生产过程的内在机理，写出各 种有关平衡方程式。如物料平衡方程式、能量平衡 1 方程式等。 1、一阶对象（单容对象） 举例 如图所示为一液体储槽对象 其静态方程
11．已知一个对象特性是具有纯滞后的一阶特性， 其时间常数为5，放大系数为10，纯滞后时间为2 ，试写出描述该对象特性的一阶微分方程式。
无滞后 有滞后 一阶微分方程式：
dy(t 2) 5 y(t 2) 10 x(t ) dt
HG第二章被控对象数学模型-位图
··放大系数 ··时间常数 ··滞后时间（纯滞后、容量滞后）
32
同。
干扰作用
控制作用
被控变量
3
二、对象数学模型的表达形式
其表达形式主要有两大类。 非参量模型：数学模型用曲线或数据表格来表示，一般通 过记录实验结果得到，形象、清晰，用于定性分析，而直接 用于系统分析和设计比较困难；可对其进行一定的数学处理 来得到参量模型的形式。根据输入信号形式不同，可分为阶 跃反应曲线、脉冲反应曲线、矩形脉冲反应曲线、频率特性 曲线等。 参量模型：数学模型用数学方程式来描述，包括微分方程 式、偏微分方程式、状态方程、差分方程等，一般需要通过 对象的内部机理分析或大量的实验数据处理才能得到。
扰动通道
对于扰动通道，如果存在纯滞后，相当于扰动延迟了一段时间才进入 系统，而扰动在什么时间出现，本来就是无从预知的，因此，并不影 响控制系统的品质。扰动通道中存在容量滞后，可使阶跃扰动的影响 趋于缓和，对控制系统是有利的。
31
本章小结
本章要求重点掌握以下几个方面内容： 被控对象的特性 简单对象数学模型的建立 描述对象特性的参数
蒸汽
冷液 冷凝水
热液
输入作用：蒸汽流量 被控变量：热液温度
Q1 h1
输入作用： 流入量Q1
Q12
被控变量： 液位h2
h2 Q2
28
容量滞后的数学描述及反应曲线
29
用一阶对象的特性来近似二阶对象
30
滞后时间τ对系统的影响
控制通道
由于存在滞后，使控制作用落后于被控变量的变化，从而使 被控变量的偏差增大，控制质量下降。滞后时间越大，控制 质量越差。
第二章 被控对象的数学模型
第一节 被控对象的特点及其描述方法 第二节 对象数学模型的建立 第三节 描述对象特性的参数 本章小结
32
同。
干扰作用
控制作用
被控变量
3
二、对象数学模型的表达形式
其表达形式主要有两大类。 非参量模型：数学模型用曲线或数据表格来表示，一般通 过记录实验结果得到，形象、清晰，用于定性分析，而直接 用于系统分析和设计比较困难；可对其进行一定的数学处理 来得到参量模型的形式。根据输入信号形式不同，可分为阶 跃反应曲线、脉冲反应曲线、矩形脉冲反应曲线、频率特性 曲线等。 参量模型：数学模型用数学方程式来描述，包括微分方程 式、偏微分方程式、状态方程、差分方程等，一般需要通过 对象的内部机理分析或大量的实验数据处理才能得到。
扰动通道
对于扰动通道，如果存在纯滞后，相当于扰动延迟了一段时间才进入 系统，而扰动在什么时间出现，本来就是无从预知的，因此，并不影 响控制系统的品质。扰动通道中存在容量滞后，可使阶跃扰动的影响 趋于缓和，对控制系统是有利的。
31
本章小结
本章要求重点掌握以下几个方面内容： 被控对象的特性 简单对象数学模型的建立 描述对象特性的参数
蒸汽
冷液 冷凝水
热液
输入作用：蒸汽流量 被控变量：热液温度
Q1 h1
输入作用： 流入量Q1
Q12
被控变量： 液位h2
h2 Q2
28
容量滞后的数学描述及反应曲线
29
用一阶对象的特性来近似二阶对象
30
滞后时间τ对系统的影响
控制通道
由于存在滞后，使控制作用落后于被控变量的变化，从而使 被控变量的偏差增大，控制质量下降。滞后时间越大，控制 质量越差。
第二章 被控对象的数学模型
第一节 被控对象的特点及其描述方法 第二节 对象数学模型的建立 第三节 描述对象特性的参数 本章小结
03对象特性
➢ 1.阶跃反应曲线法 ➢ 2.矩形脉冲法 ➢ 3.矩形脉冲波法 ➢ 4.正弦信号法
➢ 1.阶跃反应曲线法:
➢ 突然开大进水阀，引进一阶跃 干扰作用。
➢ 特点:方法简单，但幅度不宜过 大，以免影响工艺参数，一般 取额定值的5-10%。
输 入 量
0 t0
时间 t
1.阶跃反应曲线法
➢ 2.矩形脉冲法:
Q12
)
Q2
h2 R2
⑤
dh2 dt
1 A
(Q12
Q2 )
⑥
Q12
A dh2 dt
Q2
⑦
Q2
将③④代入⑥并求导得：
④
d 2h2 dt 2
1 (1 AR
• dh1 dt
1 R2
•
dh2 ) dt
⑨
将⑧代入⑨并整Biblioteka 得：A R1 A R2d 2h2 dt 2
（AR1
AR2）ddht2
h2
R 2 Q1
1
Q1≠Q2
Q1
(Q1－Q2)dt＝Adh
Q2 不变
h
Q2
dh
1 A
Q1dt
1
h A Q1dt
1
二.机理建模
Q1
➢ 3.二阶对象：
h1
R1
Q12
物料平衡: h2→Q1（t）
(Q1－Q12)dt＝Adh1 ①
h2
R2
(Q12－Q2)dt＝Adh2 ②
Q12
h1 R1
dh1 1
dt A
③
(Q1
输 入 量
0 t0 t1
t2 时间 t
3.矩形脉冲波法
➢ 4.频率特性法(正弦信号):
➢ 1.阶跃反应曲线法:
➢ 突然开大进水阀，引进一阶跃 干扰作用。
➢ 特点:方法简单，但幅度不宜过 大，以免影响工艺参数，一般 取额定值的5-10%。
输 入 量
0 t0
时间 t
1.阶跃反应曲线法
➢ 2.矩形脉冲法:
Q12
)
Q2
h2 R2
⑤
dh2 dt
1 A
(Q12
Q2 )
⑥
Q12
A dh2 dt
Q2
⑦
Q2
将③④代入⑥并求导得：
④
d 2h2 dt 2
1 (1 AR
• dh1 dt
1 R2
•
dh2 ) dt
⑨
将⑧代入⑨并整Biblioteka 得：A R1 A R2d 2h2 dt 2
（AR1
AR2）ddht2
h2
R 2 Q1
1
Q1≠Q2
Q1
(Q1－Q2)dt＝Adh
Q2 不变
h
Q2
dh
1 A
Q1dt
1
h A Q1dt
1
二.机理建模
Q1
➢ 3.二阶对象：
h1
R1
Q12
物料平衡: h2→Q1（t）
(Q1－Q12)dt＝Adh1 ①
h2
R2
(Q12－Q2)dt＝Adh2 ②
Q12
h1 R1
dh1 1
dt A
③
(Q1
输 入 量
0 t0 t1
t2 时间 t
3.矩形脉冲波法
➢ 4.频率特性法(正弦信号):
第二章被控对象的数学模型
第二章被控对象的数学模型第二章被控对象的数学模型1(什么是被控对象特性?什么是被控对象的数学模型?研究被控对象特性有什么重要意义?答:被控对象持性是指被控对象输入与输出之间的关系。
即当被控对象的输入量发生变化时，对象的输出且是如何变化、变化的快慢程度以及最终变化的数值等。
对象的输入量有控制作用和扰动作用，输出量是被控变量。
因此，讨论对象特性就要分别讨论控制作用通过控制通道对被控变量的影响，和扰动作用通过扰动通道对被控变量的影响。
定量地表达对象输入输出关系的数学表达式、称为该对象的数学模型。
在生产过程中，存在着各种各样的被控对象。
这些对象的持性各不相同。
有的较易操作，工艺变量能够控制得比较平稳，有的却很难操作，工艺变量容易产生大幅度波动，只要稍不谨慎就会越出工艺允许的范围，轻则影响生产，重则造成事故。
只有充分了解和熟悉对象特性，才能使工艺生产在最佳状态下运行。
因此，在控制系统设计时、首先必须充分了解被控对象的特性，掌握它们的内在规律，才能选择合适的被控变量、操纵变量，合适的测量元件和控制器(选择合理的控制器参数，设计合乎工艺要求的控制系统。
特别在设计新型的控制系统时。
例如前馈控制、解偶控制、自适应控制、计算机最优控制等，更需要考虑被控对象特性。
2(简述建立对象的数学模型的两种主要方法。
答:一是机理分析法。
机理分析法是通过对对象内部运动机理的分析，根据对象中物理或化学变化的规律(比如三大守恒定律等)、在忽略一些次要因素或做出一些近似处理后推导出的对象特性方程。
通过这种方法得到的数学模型称之为机理模型，它们的表现形式往往是微分方程或代数方程。
二是实验测取法。
实验测取法是在所要研究的对象上，人为施加一定的输入作用，然后，用仪器测取并记录表征对象特性的物理量随时间变化的规律，即得到一系列实验数据或实验曲线。
然后对这些数据或曲线进行必要的数据处理，求取对象的特性参数，进而得到对象的数学模型。
3(描述简单对象特性的参数有哪些?各有何物理意义?答:描述对象特性的参数分别是放大系数K、时间常数T、滞后时间τ。
过程控制原理与工程第2章
2.1 建立被控对象的数学模型
描述系统的输出量与输入量之间关系的微分方程是系 统最基本的数学模型。 建立微分方程的一般步骤是： 1) 确定输出量和输入量。 2) 从输入端开始，根据相应的物理规律，依次列写各 环节的方程式。 3) 将各方程式联立起来消去中间量，获得一个只含有 输出量和输入量的微分方程式。 图2-1 R、C串联电路过程控制原理与工程第2章 过 程控制系统的数学模型4) 将该方程式整理成标准形式。 即把与输出量有关的各项放在等式的左边，把与输入 量有关的各项放在等式的右边，各导数项按降幂排列。
图2-7 比例环节的功能框图和阶跃响应曲线
过程控制原理与工程
2.积分环节
(1)微分方程 (2)传递函数 (3)动态响应
过程控制原理与工程
2.积分环节
图2-8 积分环节的功能框图和阶跃响应曲线
过程控制原理与工程
3.理想微分环节
(1)微分方程 (2)传递函数 (3)动态响应
过程控制原理与工程
3.理想微分环节
2.结构图的等效变换规则
图2-17 分支点互换
(3)比较点的后移 需乘以所越过环节的传递函数，如图218所示。
过程控制原理与工程
2.结构图的等效变换规则
图2-18 比较点后移
(4)比较点的前移 需乘以所越过环节的传递函数的倒数， 如图2-19所示。
过程控制原理与工程
2.结构图的等效变换规则
图2-19 比较点前移
过程控制原理与工程
2.3.1 拉氏变换的概念
表2-1 常用函数拉氏变换对照表
过程控制原理与工程
2.3.1 拉氏变换的概念
表2-1 常用函数拉氏变换对照表
过程控制原理与工程
2.3.2 拉氏变换的运算定理
现代控制原理第二章课后答案
第二章被控对象的数学模型第一章自动控制系统基本概念1.简述被控对象、被控变量、操纵变量、扰动(干扰)量、设定(给定)值和偏差的含义？答:自动控制系统中常用的几个术语其含义是：被控对象自动控制系统中，工艺参数需要控制的生产过程、设备或机器等。
被控变量被控对象内要求保持设定数值的工艺参数。
操纵变量受控制器操纵的，用以克服干扰的影响，使被控变量保持设定值的物料量或能量。
扰动量：除操纵变量外，作用于被控对象并引起被控变量变化的因素。
设定值：被控变量的预定值。
偏差：被控变量的设定值与实际值之差。
2.自动控制系统按其基本结构形式可分为几类?其中闭环控制系统中按设定值的不同形式又可分为几种?简述每种形式的基本含义。
答:自动控制系统按其基本结构形式可分为闭环自动控制系统和开环自动控制系统。
闭环自动控制是指控制器与被控对象之间既有倾向控制又有反向联系的自动控制。
如图1—1(a)即是一个闭环自动控制。
图中控制器接受检测元件及变送器送来的测量信号，并与设定值相比较得到偏差信号，再根据偏差的大小和方向，调整蒸汽阀门的开度，改变蒸汽流量，使热物科出口温度回到设定值上。
从图l—1(b)所示的控制系统方块图可以清楚看出，操纵变量(蒸汽流量)通过被控对象去影响被控变量，而被控变量又通过自动控制装置去影响操纵变量。
从信号传递关系上看，构成了一个闭合回路。
在闭环控制系统中，按照没定值的不同形式又可分为：(1)定值控制系统定值控制系统是指设定值恒定不变的控制系统。
定值控制系统的作用是克服扰动对被控变量的影响，使被控变量最终回到设定值或其附近。
以后无特殊说明控制系统均指定值控制系统而言。
(2)随动控制系统随动控制系统的设定值是不断变化的。
随动控制系统的作用是使被控变量能够尽快地、准确无误地跟踪设定值的变化而变化。
(a)(b)图1-1闭环自动控制基本结构(3)程序控制系统程序控制系统的设定值也是变化的，但它是一个已知的时间函数,即设定值按一定的时间程序变化。
第二章 被控对象的数学模型
2.矩形脉冲法 2.矩形脉冲法
矩形脉冲法对被控过程施加的扰动信号是矩形脉冲信号。
x A
t y t0 t1
t t0 t1
特点 矩形脉冲法形式较简单，易实现，且由于信号加入的时间短，允 许加大的扰动量的幅值大，所以测试结果具有较高的精度，但数据处理较为 复杂，需要进行相应的转换。
描变化之比，为 对象的静态 特性 2、时间常数T 输出达到新的稳态需要的时间 3、滞后时间τ 1）传递滞后 由于介质的输送需要一段时间引起 2）容量滞后 由于物料或能量的传递需要通过一 定的阻力而引起
Ui
C
uo
解
⑴ 确定过程的输入变量和输出变量： 依题意，ui 为输入变量，uo为输出变量。 ⑵ 建立原始微分方程： 根据电路理论中得基尔霍夫定律，可有：
u i = iR + u 0
（1）
⑶ 确定中间变量，列写中间变量与其他因素之间的关系： 上式中，i为中间变量。电容上电流与电压的关系为：
du 0 i=C dt
X
如图所示的两个串联水槽 的液位（双容）过程来说 明容量滞后现象。
Q A1 1 h1 Ⅰ Q12 A2 Ⅱ Q2 τn Y t
h2
A o t
−t −t KA T1 T2 y (t ) = T1e − T2 e + KA T2 − T1
串联水槽及其响应曲线
从理论上讲，纯滞后与容量滞后有着本质的区别，但在实际生产过 程中两者同时存在，有时很难区别。通常用滞后时间τ来表示纯滞 后与容量滞后之和。即τ=τ0+τn。下图为滞后时间τ示意图。
W (t ) = K∆Q(1 − e )
W
t T
式中：T为时间常数。
W(∞) 0.632W(∞)
第二章 被控过程的数学模型
曲线能形 直观、 象、直观、 完全描述 被控过程 的动态特 性。
图2-8 响应曲线
第33页 页
过程控制仪表及装置
实验测试注意事项： 实验测试注意事项： 合理选择阶跃信号值。 合理选择阶跃信号值 。 一般取阶跃信 号值为正常输入信号的5 15％左右； 号值为正常输入信号的5～15％左右； 在输入阶跃信号前， 在输入阶跃信号前 ， 被控过程必须处 于相对稳定的工作状态； 于相对稳定的工作状态； 相同的测试条件下重复做几次， 相同的测试条件下重复做几次 ，减少 干扰的影响； 干扰的影响； 由于过程的非线性， 由于过程的非线性 ， 应在阶跃信号作 正 、 反方向变化时分别测取其响应曲 以求取过程的真实特性。 线，以求取过程的真实特性。
d 2∆h2 d∆h2 T1T2 + (T1 + T2 ) + ∆h2 = R3∆Q1 2 dt dt
第24页 页
过程控制仪表及装置
进行拉氏变换，并分解因式， 进行拉氏变换，并分解因式，得： 双容过程的数学模型为： 双容过程的数学模型为：
K R3 H 2 (s ) W (s ) = = = Q1 (s ) (T1 s + 1)(T2 s + 1) (T1 s + 1)(T2 s + 1)
对上式进行拉氏变换， 对上式进行拉氏变换，传递函数形式为
1 1 W0 (s) = = Cs Ta s
具有纯时延 τ 0 时，其传递函数为
1 −τ 0 s Wo ( s ) = e Ta s
第20页 页
过程控制仪表及装置
2.2.2 多容过程的建模 多容过程------ 被控过程往往是由多个 多容过程 ------被控过程往往是由多个 -----容积和阻力件构成。 容积和阻力件构成 。 可分为有自平衡能 力和无自平衡能力两类。 力和无自平衡能力两类。
图2-8 响应曲线
第33页 页
过程控制仪表及装置
实验测试注意事项： 实验测试注意事项： 合理选择阶跃信号值。 合理选择阶跃信号值 。 一般取阶跃信 号值为正常输入信号的5 15％左右； 号值为正常输入信号的5～15％左右； 在输入阶跃信号前， 在输入阶跃信号前 ， 被控过程必须处 于相对稳定的工作状态； 于相对稳定的工作状态； 相同的测试条件下重复做几次， 相同的测试条件下重复做几次 ，减少 干扰的影响； 干扰的影响； 由于过程的非线性， 由于过程的非线性 ， 应在阶跃信号作 正 、 反方向变化时分别测取其响应曲 以求取过程的真实特性。 线，以求取过程的真实特性。
d 2∆h2 d∆h2 T1T2 + (T1 + T2 ) + ∆h2 = R3∆Q1 2 dt dt
第24页 页
过程控制仪表及装置
进行拉氏变换，并分解因式， 进行拉氏变换，并分解因式，得： 双容过程的数学模型为： 双容过程的数学模型为：
K R3 H 2 (s ) W (s ) = = = Q1 (s ) (T1 s + 1)(T2 s + 1) (T1 s + 1)(T2 s + 1)
对上式进行拉氏变换， 对上式进行拉氏变换，传递函数形式为
1 1 W0 (s) = = Cs Ta s
具有纯时延 τ 0 时，其传递函数为
1 −τ 0 s Wo ( s ) = e Ta s
第20页 页
过程控制仪表及装置
2.2.2 多容过程的建模 多容过程------ 被控过程往往是由多个 多容过程 ------被控过程往往是由多个 -----容积和阻力件构成。 容积和阻力件构成 。 可分为有自平衡能 力和无自平衡能力两类。 力和无自平衡能力两类。
第二章 过程(对象)特性及其数学模型
由于
消去i 消去i 图8-3 RC电路 电路
de0 RC + e0 = ei dt
de0 T + e0 = ei dt
或
T = RC
20
第二节 机理建模
二、积分对象
化学工业出版社
当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系时， 当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系时， 积分对象。 称为积分对象 称为积分对象。9Βιβλιοθήκη 第一节 数学模型及描述方法
1.微分方程 1.微分方程 对于线性的集中参数对象
化学工业出版社
通常可用常系数线性微分方程式来描述，如果以x（t ） 通常可用常系数线性微分方程式来描述， 如果以 （ 表示输入量， （ 表示输出量， 表示输入量，y（t）表示输出量，则对象特性可用下列微分 方程式来描述
F (s ) = ∫ f (t )e − st dt
0
∞
（8-7）
12
第一节 数学模型及描述方法
化学工业出版社
运用拉氏变换的线性性质与微分性质, (8运用拉氏变换的线性性质与微分性质,对式 (8-1) 两端分别取拉氏变换, 两端分别取拉氏变换,则得
an s nY (s ) + an −1s n −1Y (s ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a1sY (s ) + a0Y (s ) = bm s m X (s ) + bm −1s m −1 X (s ) + ⋅ ⋅ ⋅ + b1sX (s ) + b0 X (s )
TsY (s ) + Y (s ) = KX (s )
化学工业出版社
因此一阶对象的传递函数形式为
K G (s ) = Ts + 1
6.第二章 被控对象的数学模型
第二章被控对象的数学模型主要研究内容：⏹化工过程的特点及其描述方法⏹对象数学模型的建立（建模）•建模目的•机理建模•实验建模⏹描述对象特性的参数•放大系数Κ•时间常数Τ•滞后时间τ第二章被控对象的数学模型⏹控制效果取决于控制对象（内因）和控制系统（外因）两个方面。
外因只有通过内因起作用，内因是最终效果的决定因素。
⏹设计控制系统的前提是：正确掌握工艺系统、控制作用（输入）与控制结果（输出）之间的关系——对象的特性。
自动控制系统是由被控对象、测量变送装置、控制器和执行器组成。
研究对象的特性，就是用数学的方法来描述出对象输入量与输出量之间的关系。
建立对象特性的数学描述就称为建立对象的数学模型（建模）。
第二章被控对象的数学模型对象的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型。
静态数学模型动态数学模型基础特例对象在稳定时(静态)输入与输出关系；在输入量改变以后输出量跟随变化的规律；•比较与区别：动态数学模型是更精确的模型，静态数学模型是动态数学模型在对象达到平衡时的特例。
一、化工对象的特点⏹被控对象常见种类：换热器、锅炉、精馏塔、化学反应器、贮液槽罐、加热炉等⏹1. 对控制质量影响程度相差大（内因决定外因）；⏹2. 类型繁多，特性相差悬殊；⏹3. 非线性、分布参数较多；第二章被控对象的数学模型§2.1 化工对象的特点及其描述方法二、对象特性定义⏹对象特性，即过程特性：指被控过程输入量发生变化时，过程输出量的变化规律。
⏹输入量：干扰作用、控制作用。
⏹输出量：被控参数。
⏹数学建模——就是用数学的方法来描述出对象输入量与输出量之间的关系。
⏹通道：被控过程的输入量与输出量间的信号联系。
⏹控制通道-----操纵变量至被控变量的信号联系.⏹扰动通道-----扰动变量至被控变量的信号联系.被控变量(输出量)扰动变量（输入量）操纵变量（输入量）数学模型的描述方法：1. 非参量模型：用曲线、数据图表表示的系统输入与输出量之间的关系；非参量模型可以通过记录实验结果来得到，有时也可以通过计算来得到，它的特点是形象、清晰，比较容易看出其定性的特征。
第二章被控对象的数学模型
（1）R－C电路
用途：整流滤波、 闪光灯等 在图2－2所示的电路中，设ei为输入电压， 是该系统的输入变量；电容两端的电压 为输出电压，是该系统的输出变量；i是 流过电阻R的电流。根据电路原理中的科 希霍夫定律，有： ei＝iR＋e0 和 消去中间变量i，得到ei与e0之间的关系式： （2-3）
将由输入输出曲线测得的参数数值， 代入已推得的的微分方程或传递函数， 就得到了完整的数学模型。 在已知系统的数学模型结构的基础 上，再通过实验来确定数学模型中参数 的方法，又称为系统的参数估计。
除了上面介绍的这种方法之外，还 有矩形脉冲法和周期扰动法。另外，还 可以直接从正常生产过程的记录数据中 分析过程特性，建立数学模型。这种方 法称为在线辨识。但它需要大量的数据、 较长时间、较多的数据处理技术水平， 而且精确度也不够高。为了提高所得模 型的可信度和精度，有时采用多种方法 相互验证，相互补充。
第二章 被控对象的数学模型
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第一节 概述 第二节 对象数学模型的建立 第三节 描述对象特性的参数
第一节 概述
数学模型是系统输入作用与输出作 用之间的数学关系。其表达形式主要有 两类：即非参量模型和参量模型。 非参量模型 是指用曲线或数据表格 形式来表示的数学模型。 参量模型 是指用数学表达式来描述 的数学模型。 下面我们主要讨论参量模型。
由方程（2-7），且此时 q0=0，得 1 h q i dt （2-9） C 所以该系统也常称为积分对象。 该系统的传递函数为
（2-10）
（注：上两式中C为液容，也可以用横截面积A）
3．二阶系统
当一个对象可以用二阶微分方程描述其 特性时，它就是一个二阶系统或二阶对象。 我们设其微分方程为：
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控制通道
被控变量
干扰通道：干扰至被控变量的信号联系通道。 对象输出：控制通道输出与各干扰通道输出之和。
数学模型：
静态数学模型—静态时输入量与输出量之间的关系。 动态数学模型—对象在输入量改变以后输出量的变化情况。
数学模型的表示方法：非参量模型和参量模型
1.非参量模型：采用曲线、表格等形式表示。 特 点 ： 形 象 、 清晰；缺乏数学方程的 解析性质 （必要时须进行数学处理获得参量模型）。
根据物料平衡方程： 单位时间内水槽体积的改变＝输入流量 — 输出流量
V Ah dV dh q q A q q i o i o dt dt
q0
由于出口流量可以近似地表示为： qo
h R
A
dh h dh T h K qi (T AR、K R) qi dt dt R
e0 ei总结）
典型的微分方程
典型的传递函数 典型的阶跃响应函数
dh T h K qi dt
典型的阶跃响应曲线 qi a
H (s) K Qi (s) Ts 1
h(t ) Ka(1 e )
第一节 化工对象的特点及其描述方法
对象特性—是指对象输入量与输出量之间的关系(数学模型)
即对象受到e后，y是如何变化的、变化量为多少…… 控制变量＋各种各样的干扰变量 被控对象输入量？？ 通 道：由对象的输入变量至输出变量的 信号联系。
干扰变量 控制变量
被控对象
干扰通道
控制通道：控制变量至被控变量的信号联系。
常用的描述形式：阶跃反应曲线、矩形脉冲反应曲线、频率特性曲线等
2.参量模型：数学模型用数学方程式描述。 常用的描述形式：微分方程式(组)*、传递函数*、频率特性等
参量模型的微分方程的一般表达式：
an y( n) (t ) an1 y ( n1) (t ) a1 y(t ) a0 y(t ) bm x( m) (t ) b1x(t ) b0 x(t )
一、对象机理数学模型的建立
问题：处于平衡状态的对象加入干扰后，不经控制系统能否自行达到新的平衡状态？
qi
H
q0
qi
q0
左图：假设初始平衡状态qi=qo，液位保持不变。
出水阀阻力系数
当发生变化时(qi＞qo)，此时水位开始升高 根据流体力学原理，qo与H是存在一定的对应关系的：q0 H / R
因此，qi H qo，直至qi=qo 这种特性称为“自衡特性”。
（i）
dh0 0 dt
h h0 h 记 (h0、qi 0为平衡状态的值） 由于有 h0 K qi 0 q q q i0 i i
T
d h h K qi dt
（ii）
(i)式是针对完全量的输入输出模型，(ii)式是针对变化量的输入输出模型。
L[ f ' (t )] sF (s)
第二章
★
x +
－
被控对象的数学模型
f
e
调节器 (控制器)
u
“1”
执行器
q
★
被控对象
y
z
测量变送环节 (传感器、变送器)
“1”
控制系统方块图
对象特性 设计控制系统 生产正常进行
本章主要内容
第一节 化工对象的描述方法
非参量模型 参量模型 第二节 对象数学模型的建立 机理建模
实验建模
混合建模 第三节 描述对象特性的参数
K Ka H ( s) Qi (s ) Ts 1 s(Ts 1)
a s
h(t ) L1[ H ( s)] L1[
1
Ka Ka KaT ] L1[ ] s(Ts 1) s Ts 1
a
1 T e T
t
a s
1 Ts 1
t 1 T Ka * L [( )] Ka (1 e T ) s Ts 1
南京航空航天大学材料学院
—化工仪表及自动化—
1.一阶线性对象
问题(2)：求右图所示的对象模型（RC电路）
解： 该对象的输入量为ei ，输出参数为eo
ei
R
C
eo
基尔霍夫定律：ei=iR+eo
i=C*deo/dt
(1) (2)
（T=RC）
de0 RC e0 ei dt de0 或T eo ei dt
y (t)表示输出量，x (t)表示输入量，通常n≥m。 通常n=1，称该对象为一阶对象模型；n=2，称二阶对象模型。
a1 y (t ) a0 y(t ) x(t )
/
// /
可忽略输入量 的导数项
a2 y (t ) a1 y (t ) a0 y(t ) x(t )
第二节
对象数学模型的建立
建模的方法：机理建模、实验建模、混合建模 机理建模——根据物料、能量平衡、化学反应、传热传质等基本方程， 从理论上来推导建立数学模型。
由于工业对象往往非常复杂，很难完全掌握系统内部的精确关系式。需要引入恰当 的简化、假设等处理。因此机理建模仅适用于部分相对简单的系统。
实验建模——人为施加输入，用仪表记录表征对象特性的物理量随时 间变化的规律，得到实验数据或曲线，表示对象特性。
这种应用对象输入输出的实测数据来决定其模型的方法，通常称为系统辨识。 其主要特点是把被研究的对象视为一个黑箱子。
混合建模——将机理建模与实验建模结合起来，称为混合建模。
对象视为一个灰箱子 混合建模=机理建模————————————〉实验建模 已知模型结构＋实测数据来确定数学表达式中某些参数的方法，称为参数估计。
T
d h h K qi dt
（ii）
qi
A h
对上式作拉氏变换：
TsH (s) H (s) K Qi (s)
H (s) K Qi (s) Ts 1
q0
对象的传递函数：
这是最典型的一阶对象的传递函数
该对象的阶跃响应： 如果qi为幅值为a的阶跃输入，则
Qi (s)
右图：如果出口由泵打出，不同：qi当发生变化时，qo不发生变化。
如果qi＞qo, 水位H将上升，直至溢出，可见该系统是无自衡能力。 绝大多数对象都有自衡能力，有自衡能力的系统比无自衡能力的系统容易控制
1.一阶线性对象
问题(1)：求右图所示的对象模型（输入输出模型）
qi
A h
解： 该对象的输入量为qi ，被控变量为液位h
被控变量
干扰通道：干扰至被控变量的信号联系通道。 对象输出：控制通道输出与各干扰通道输出之和。
数学模型：
静态数学模型—静态时输入量与输出量之间的关系。 动态数学模型—对象在输入量改变以后输出量的变化情况。
数学模型的表示方法：非参量模型和参量模型
1.非参量模型：采用曲线、表格等形式表示。 特 点 ： 形 象 、 清晰；缺乏数学方程的 解析性质 （必要时须进行数学处理获得参量模型）。
根据物料平衡方程： 单位时间内水槽体积的改变＝输入流量 — 输出流量
V Ah dV dh q q A q q i o i o dt dt
q0
由于出口流量可以近似地表示为： qo
h R
A
dh h dh T h K qi (T AR、K R) qi dt dt R
e0 ei总结）
典型的微分方程
典型的传递函数 典型的阶跃响应函数
dh T h K qi dt
典型的阶跃响应曲线 qi a
H (s) K Qi (s) Ts 1
h(t ) Ka(1 e )
第一节 化工对象的特点及其描述方法
对象特性—是指对象输入量与输出量之间的关系(数学模型)
即对象受到e后，y是如何变化的、变化量为多少…… 控制变量＋各种各样的干扰变量 被控对象输入量？？ 通 道：由对象的输入变量至输出变量的 信号联系。
干扰变量 控制变量
被控对象
干扰通道
控制通道：控制变量至被控变量的信号联系。
常用的描述形式：阶跃反应曲线、矩形脉冲反应曲线、频率特性曲线等
2.参量模型：数学模型用数学方程式描述。 常用的描述形式：微分方程式(组)*、传递函数*、频率特性等
参量模型的微分方程的一般表达式：
an y( n) (t ) an1 y ( n1) (t ) a1 y(t ) a0 y(t ) bm x( m) (t ) b1x(t ) b0 x(t )
一、对象机理数学模型的建立
问题：处于平衡状态的对象加入干扰后，不经控制系统能否自行达到新的平衡状态？
qi
H
q0
qi
q0
左图：假设初始平衡状态qi=qo，液位保持不变。
出水阀阻力系数
当发生变化时(qi＞qo)，此时水位开始升高 根据流体力学原理，qo与H是存在一定的对应关系的：q0 H / R
因此，qi H qo，直至qi=qo 这种特性称为“自衡特性”。
（i）
dh0 0 dt
h h0 h 记 (h0、qi 0为平衡状态的值） 由于有 h0 K qi 0 q q q i0 i i
T
d h h K qi dt
（ii）
(i)式是针对完全量的输入输出模型，(ii)式是针对变化量的输入输出模型。
L[ f ' (t )] sF (s)
第二章
★
x +
－
被控对象的数学模型
f
e
调节器 (控制器)
u
“1”
执行器
q
★
被控对象
y
z
测量变送环节 (传感器、变送器)
“1”
控制系统方块图
对象特性 设计控制系统 生产正常进行
本章主要内容
第一节 化工对象的描述方法
非参量模型 参量模型 第二节 对象数学模型的建立 机理建模
实验建模
混合建模 第三节 描述对象特性的参数
K Ka H ( s) Qi (s ) Ts 1 s(Ts 1)
a s
h(t ) L1[ H ( s)] L1[
1
Ka Ka KaT ] L1[ ] s(Ts 1) s Ts 1
a
1 T e T
t
a s
1 Ts 1
t 1 T Ka * L [( )] Ka (1 e T ) s Ts 1
南京航空航天大学材料学院
—化工仪表及自动化—
1.一阶线性对象
问题(2)：求右图所示的对象模型（RC电路）
解： 该对象的输入量为ei ，输出参数为eo
ei
R
C
eo
基尔霍夫定律：ei=iR+eo
i=C*deo/dt
(1) (2)
（T=RC）
de0 RC e0 ei dt de0 或T eo ei dt
y (t)表示输出量，x (t)表示输入量，通常n≥m。 通常n=1，称该对象为一阶对象模型；n=2，称二阶对象模型。
a1 y (t ) a0 y(t ) x(t )
/
// /
可忽略输入量 的导数项
a2 y (t ) a1 y (t ) a0 y(t ) x(t )
第二节
对象数学模型的建立
建模的方法：机理建模、实验建模、混合建模 机理建模——根据物料、能量平衡、化学反应、传热传质等基本方程， 从理论上来推导建立数学模型。
由于工业对象往往非常复杂，很难完全掌握系统内部的精确关系式。需要引入恰当 的简化、假设等处理。因此机理建模仅适用于部分相对简单的系统。
实验建模——人为施加输入，用仪表记录表征对象特性的物理量随时 间变化的规律，得到实验数据或曲线，表示对象特性。
这种应用对象输入输出的实测数据来决定其模型的方法，通常称为系统辨识。 其主要特点是把被研究的对象视为一个黑箱子。
混合建模——将机理建模与实验建模结合起来，称为混合建模。
对象视为一个灰箱子 混合建模=机理建模————————————〉实验建模 已知模型结构＋实测数据来确定数学表达式中某些参数的方法，称为参数估计。
T
d h h K qi dt
（ii）
qi
A h
对上式作拉氏变换：
TsH (s) H (s) K Qi (s)
H (s) K Qi (s) Ts 1
q0
对象的传递函数：
这是最典型的一阶对象的传递函数
该对象的阶跃响应： 如果qi为幅值为a的阶跃输入，则
Qi (s)
右图：如果出口由泵打出，不同：qi当发生变化时，qo不发生变化。
如果qi＞qo, 水位H将上升，直至溢出，可见该系统是无自衡能力。 绝大多数对象都有自衡能力，有自衡能力的系统比无自衡能力的系统容易控制
1.一阶线性对象
问题(1)：求右图所示的对象模型（输入输出模型）
qi
A h
解： 该对象的输入量为qi ，被控变量为液位h