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第二章被控对象的数学模型

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第二章 被控对象的数学模型

第二章 被控对象的数学模型

Δh:液位的增量 m
dV dh Q1 Q2 A dt dt
Δu1：阀门1开度增量 m2
ΔQ1＝ Ku• Δu1
Ku：阀门1流量系数 m/s
Q2 A 2gh K h
h R Q2
Rs: 液阻 S/m2 h0+Δ h h0 Q20 Q20+Δ Q2
h dh dh ku u1 A C R dt dt
阶跃响应曲线法 1.阶跃响应曲线法 在对象上人为地加 一瞬变扰动，测定 对象的响应曲线， 然后根据此响应曲 线，推求出对象的 传递函数。
缺点：被控参数的偏 差往往会超出实际生 产所允许的数值。
脉冲响应曲线法
u(t)
u(0)
t
y(t)
y(0)
t
2.脉冲响应曲线法
u(t)：矩形脉冲输入
u(t)
u
T
u1(t) t
过程控制系统
按被控对象特性
组成控制系统
控制方案
选择测量控制仪表
控制系统控制效果的好坏，在很大程度 上取决于对被控对象动态特性了解的程 度。
1.选择输入量与输出量
A.多输入单输出的被控对象
e(t) u(t)
液 位 控 制 器 给 水 控 制 阀
+
给定值 -
蒸 汽 流 量
给 水 压 力
锅炉汽 鼓
液位
液 位 变 送 器
1. 概述
若对于复杂的工艺过程，要求出其数学模 型（微分方程）很困难。复杂对象错综复 杂的相互作用可能会对结果产生估计不到 的影响，即使能用机理法得到数学模型， 但仍希望通过实验测定来验证，可采用实 验和测试方法来求取对象数学模型。 方法： 时域法
频域法 相关统计法

第2讲被控对象

第2讲被控对象
单容过程，是指只有一个储蓄容量的过程对象。 若被控过程由多个容积构成，则称为多容过程。
6
2.1 被控过程特性
2.1.2 单容和多容过程
常见自衡过程单容或多容数学模型：
W (s) K TS 1
W (s)
K
e s
(TS 1)
W (s)
K
W (s)
K
e s
(T1s 1)(T2 S 1)
3
第二讲 被控过程建模及分析
如能掌握过程动态特性 （即被控过程的数学模 型），将为取得良好的过 程控制性能打下基础。
被控过程的数学模型是指 被控过程在输入（控制量 或扰动量）作用下，其输 出（被控量）随输入变化 的定量数学函数关系。常 用传递函数表示。
4
2.1 被控过程特性
2.1.1 自衡过程与非自衡过程
曲线法和矩形脉冲响应曲线法。 需设计合理的试验，以获取最大的输入/输出信息
量； 但对不允许试验的工艺过程无能为力。
20
2. 测试法建模
(1) 基本概念
在被控对象上，人为地加非周期信号后，测定被控 对象的响应曲线，然后再根据响应曲线，求出被控 对象模型。
阶跃输入信号是首选的输入测试信号。 建模的任务？
29
(2) 阶跃响应曲线法
两点法确定二阶惯性加纯滞后环节的特征参数
T1
t1
e T1
T2
t1
e T2 0.6
T1 T2
T1 T2
T1
T1
T2
t2
e T1
T2
t2
e T2
T1 T2
0.2
1 T1 T2 2.16 (t1 t2 )
T1T2 (T1 T2 )2

第二章1_被控过程的数学模型-单容多容

第二章1_被控过程的数学模型-单容多容

2.2 采用物理机理方法建模
(1) 单容过程的建模
只有一个存储容量的过程。自衡单容过程和无自衡单容过程。
自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡
状态被破坏后，无需操作人员或仪表的干
预，依靠自身能够恢复平衡的过程。
自衡过程的阶跃响应图
无自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡状 态被破坏后，若无操作人员或仪表的干预，依 靠自身能力不能恢复平衡的过程。 无自衡过程的阶跃响应图
2.1 概述
建立数学模型的方法：

物理机理方法建模
根据过程的内在机理，运用已知的静态和动态的能量（物料）平衡关 系，用数学推理的方法建立数学模型。

实验辨识 （系统辨识和参数估计法）
根据过程输入、输出的实验测试数据，通过辨识和参数估计建立过程 的数学模型。

混合法
首先通过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利用实验测试数据 来确定模型中各参数的大小。
则系统特性可用下列微分方程式来描述：
2.1 概述
a n c ( n ) (t ) a n1c ( n1) (t ) a1c(t ) a0 c(t ) bm r ( m) (t ) bm1r ( m1) (t ) b1r (t ) b0 r (t )
式中 an , an1 ,, a1 , a0 及 bm , bm1 ,, b1 , b0 分别为与系统 结构和参数有关的常系数。它们与系统的特性有关， 一般需要通过系统的内部机理分析或大量的实验数 据处理才能得到。
2.1 概述
(b) 传递函数 复数域模型包括系统传递函数和结构图，传递函数不 仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结 构或参数变化对系统性能的影响。 线性定常系统的传递函数定义为零初始条件下，输出 量（响应函数）的拉普拉斯变换与输入量（输入函数）的 拉普拉斯变换之比。拉普拉斯变换为：

第2章 被控对象

第2章 被控对象

RC[sU o (s) Uo (0)] Uo (s) Ui (s)
在零初始条件下
1 U o ( s) U i ( s) RCs 1 1 ui (t )为单位阶跃信号，则 L[ui (t )] s
1 1 RC U o ( s) s( RCs 1) s( s 1 ) RC 利用部分分式展开
C1 C2 U o ( s) s (s 1 ) RC 1
C1 RC s s 0 1 1 s( s ) RC 1 1 RC C2 (s ) 1 1 RC s 1 s(s ) RC RC
1 1 U o ( s) s (s 1 ) RC 对上式左右两边进行拉氏反变换
2
2
s1, 2 n n 2 1
当阻尼比 不同时，特征根有不同的形式，使得其系统响 应的形式也不同。
①当 1 时，特征根为一对不相等负实根 ，系统为过阻 尼系统，单位阶跃响应为单调上升曲线。 ②当 1 时，特征根为一对相等负实根 ，系统为临界阻 尼系统，单位阶跃响应为单调上升曲线，但快速性好于 过阻尼系统。 ③当 0 1 时，特征根为一对带负实部的共轭复数根 ， 系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为衰减振荡曲线。 ④当 0 时，特征根为一对共轭虚根 ，系统为无阻尼系 统，单位阶跃响应为等幅振荡曲线。 ⑤当 0 时，特征根在s复平面的右半平面，系统单位阶 跃响应是发散曲线。
（2）峰值时间 tp
取第一周期 k = 1
（3）超调量 Mp
因为
（4）调节时间 ts 由指数函数包络线求得。 由
由于
包络线
2.2 被控对象实例
电枢电压控制的他励直流电动机，是控制系统中常用 的执行机构或被控对象。当电枢电压 ud 发生变化时，其转 速 n 及转角 ɵ 产生相应的变化。 （1）确定输入量和输出量。 取输入量为电动机的电枢电压

第2章被控过程的数学模型

第2章被控过程的数学模型

第2章 被控过程的数学模型
建立过程数学模型的基本方法
2．测试法建模 测试法一般只用于建立输入输出模型。它是根据工业过程 的输入和输出实测数据进行某种数学处理后得到的模型。
施加阶跃扰动或脉冲扰动 激励
测绘输出响应曲线
工业过程
把被研究的工业过程视为一个黑匣子，完全从外特性上测试和描述
它的动态性质，不需要深入掌握其内部机理。
第2章 被控过程的数学模型源自数学模型的表达形式与要求1. 建立数学模型的目的
在过程控制中，建立被控对象数学模型的目的主要有 以下几种： (l) 设计过程控制系统和整定控制器的参数 (2) 控制器参数的整定和系统的调试 (3) 利用数学模型进行仿真研究 (4) 进行工业过程优化 另外，设计工业过程的故障检测与诊断系统、制订大 型设备启动和停车的操作方案和设计工业过程运行人 员培训系统，等等都也需要被控过程的数学模型。
第2章 被控过程的数学模型
4）被控对象的自平衡与非自平衡特性
第2章 被控过程的数学模型 例如图中的单容水槽,其阶跃响应如右图所示。
单容过程的定义：只有一个储蓄容量的过程。
第2章 被控过程的数学模型 ②非自平衡：如下图的单容积分水槽，当进水调节阀
开度改变致使物质或能量平衡关系破坏后，不平衡量 不因被控变量的变化而改变，因而被控变量将以固定 的速度一直变化下去而不会自动地在新的水平上恢复 平衡。这种对象不具有自平衡特性，具有这种特性的 被控过程称为非自平衡过程，其阶跃响应如图所示。
对应上式的传递函数为：
H ( s) K G( s) e 0 s ( s) 1 Ts
第2章 被控过程的数学模型
纯滞后环节的存在使过程输 出在响应输入而发生变化的 开始时间在时间轴方向发生 了平移，但对过渡过程中输 出变化的速率和稳态值的大 小没有影响。

6.7被控对象的数学模型

6.7被控对象的数学模型

L 0 v
从测量方面看，由于测量点选择不当、测量元件安装不合适等 原因也会造成传递滞后。下图为一个蒸汽直接加热器。输入量 蒸汽量；输出量 出口管道的溶液温度，测温点离槽的距离为 Ｌ
例子
相对于蒸汽流量变化的时刻，实际测得的溶液温度Ｔ要经过 时间τｏ后才开始变化
下图为有、无纯滞后的一阶阶跃响应曲线。X为输入量，y(t) 为无纯滞后时的输出量， yτ (t)为有纯滞后时的输出量
T:是当对象受到阶跃输入作用后，被控变量到达新稳定值的 63.2%所需的时间。显然，T越大，被控变量的变化越慢， 到达新稳定值所需的时间也越长。
下图中，四条曲线分别表示对象的时间常数为T1 、T2 、 T3、T4时，在相同的阶跃输入作用下被控变量的反应曲线。
小结
希望To适中 希望Tf大
（1）控制通道时间常数To对控制系统的影响 在相同的控制作用下，对象的时间常数To越大，被控变量 的变化越缓慢。 To越小，被控变量的变化越快,控制作用 及时。但To过小，响应过快，易引起震荡，使系统稳定性 下降。 （2）扰动通道时间常数Tf对控制系统的影响 对象的时间常数Tf 越大，被控变量对干扰的响应越迟缓， 越容易克服干扰而获得较高的控制质量。
a , a a a 及 b , b b b 分别为方程中的各项 数 n n 1 , , 1 , 0 m m 1 , , 1 , 0
在允许的范围内，多数化工对象可忽略输入项的导数 项，因此可表示为：
( n ) ( n 1 ) a y ( t ) a y ( t ) a y '( t ) a y ( t ) x ( t ) n n 1 1 0
此式称为被控变量过渡过程的函数表达式，表示对象在受到阶跃作 用 Q1=A 后，被控变量h随时间变化的规律。根据此式可画出 h～t 曲线，称为阶跃反应曲线或飞升曲线。

第二章_对象特性和建模

第二章_对象特性和建模

23
第二节 机理建模
举例
溶解槽及其 反应曲线
纯滞后时间
显然， 与皮带输送机的传送速度v和传送距 显然，纯滞后时间τ0与皮带输送机的传送速度 和传送距 L 有如下关系： 离L有如下关系： 有如下关系 τ = （2-16） ）
0
v
24
第二节 机理建模
x为输入量 为输入量
x (t − τ 0 ), y= 0, t ≥τ0 t ≤τ0
Y (s ) bm s m + bm −1 s m −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b1 s + b0 G (s ) = = X (s ) a n s n + a n−1 s n−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 s + a0
（2-8） ）
13
第一节 数学模型及描述方法
对于一阶对象,由式 (2-4)两端取拉氏变换,得 对于一阶对象, (2-4)两端取拉氏变换, 两端取拉氏变换
过程的输入、 图2-1 过程的输入、输出量
3
？
第一节 数学模型及描述方法
过程的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型
基础
静态数学模型
特例
动态数学模型
4
第一节 数学模型及描述方法
用于控制的数学模型（ 、 ）与用于工艺设计与分析 工艺设计与分析的数学 用于控制的数学模型（a、b）与用于工艺设计与分析的数学 控制的数学模型 模型（ ）不完全相同。 模型（c）不完全相同。 一般是在工艺 流程和设备尺 寸等都确定的 情况， 情况 ， 研究过 程的输入变量 程的 输入变量 是如何影响输 出变量的。 出变量的。
对象可以用一阶微分方程式来描述, 对象可以用一阶微分方程式来描述, 但输入变量与 输出变量之间有一段时滞τ 输出变量之间有一段时滞 0

第二章 过程特性及其数学模型

第二章 过程特性及其数学模型
A—水槽截面积 将dV代入
0 h h2
t1
t
(Q1 Q2 )dt Adh
h1
t1
t
h Q2 Rs
Rs—阀的阻力
h )dt Adh 代入上式 (Q1 Rs
整理得
dh ARs h Rs Q1 dt
K=Rs
一阶常系数微分 方程
令：T=ARs 所以
dh T h KQ1 dt
t dh T h KQ1 解微分方程得 h KQ (1 e T ) 1 dt
当对象受到阶跃变化Q1=A 输出h是如何变化的。如图
Q1
A
0
h KA(1 e )
当t →∞时， h(∞)=KA 或 K=h(∞)/A

t T
t
h
h(∞) 0
t1
t
放大系数，是对象的静态参数
储槽的阶跃响应曲线
三、对象动态特性的研究方法 1.理论分析 根据系统工艺实际过程的数质量关系，分析计算 输入量与输出量之间的关系。
2.实验研究 需要在实际系统或实验系统中，通过一组输入 ,来 考察输出的跟随变化规律—反映输入与输出关系 的经验曲线和经验函数关系。
第二节 对象数学模型的建立
一、 机理建模法 机理法建摸就是根据生产过程的内在机理，写出各 种有关平衡方程式。如物料平衡方程式、能量平衡 1 方程式等。 1、一阶对象（单容对象） 举例 如图所示为一液体储槽对象 其静态方程
11．已知一个对象特性是具有纯滞后的一阶特性， 其时间常数为5，放大系数为10，纯滞后时间为2 ，试写出描述该对象特性的一阶微分方程式。
无滞后 有滞后 一阶微分方程式：
dy(t 2) 5 y(t 2) 10 x(t ) dt

HG第二章被控对象数学模型-位图

HG第二章被控对象数学模型-位图
··放大系数 ··时间常数 ··滞后时间（纯滞后、容量滞后）
32
同。
干扰作用
控制作用
被控变量
3
二、对象数学模型的表达形式
其表达形式主要有两大类。 非参量模型：数学模型用曲线或数据表格来表示，一般通 过记录实验结果得到，形象、清晰，用于定性分析，而直接 用于系统分析和设计比较困难；可对其进行一定的数学处理 来得到参量模型的形式。根据输入信号形式不同，可分为阶 跃反应曲线、脉冲反应曲线、矩形脉冲反应曲线、频率特性 曲线等。 参量模型：数学模型用数学方程式来描述，包括微分方程 式、偏微分方程式、状态方程、差分方程等，一般需要通过 对象的内部机理分析或大量的实验数据处理才能得到。
扰动通道
对于扰动通道，如果存在纯滞后，相当于扰动延迟了一段时间才进入 系统，而扰动在什么时间出现，本来就是无从预知的，因此，并不影 响控制系统的品质。扰动通道中存在容量滞后，可使阶跃扰动的影响 趋于缓和，对控制系统是有利的。
31
本章小结
本章要求重点掌握以下几个方面内容： 被控对象的特性 简单对象数学模型的建立 描述对象特性的参数
蒸汽
冷液 冷凝水
热液
输入作用：蒸汽流量 被控变量：热液温度
Q1 h1
输入作用： 流入量Q1
Q12
被控变量： 液位h2
h2 Q2
28
容量滞后的数学描述及反应曲线
29
用一阶对象的特性来近似二阶对象
30
滞后时间τ对系统的影响
控制通道
由于存在滞后，使控制作用落后于被控变量的变化，从而使 被控变量的偏差增大，控制质量下降。滞后时间越大，控制 质量越差。
第二章 被控对象的数学模型
第一节 被控对象的特点及其描述方法 第二节 对象数学模型的建立 第三节 描述对象特性的参数 本章小结

第二章被控对象的特性

第二章被控对象的特性

研究过程特性的必要性： 研究过程特性的必要性： 必要性 为了更好地实施控制
医生给病人看病，其实也是控制思想的一种运用。看病 吃药的过程也就是克服干扰作用的过程，最终的目的是 使病人的身体好起来。那么，医生开处方怎么开呢？首 先他得了解病人的病情，然后才能对症下药。医生发解 病人病因的过程也就是了解对象特性的过程。所以说， 了解了对象的特性对于更好地控制好这个对象是有益的。
即对象受到输入作用后，被控变量是如何变化的、变化量为多少…… 即对象受到输入作用后，被控变量是如何变化的、变化量为多少……
输入量？？ 输入量？？
控制变量＋各种各样的干扰变量 控制变量＋
被控对象 干扰变量
干扰通道
由对象的输入变量至输出变量的信号联系称为通道 由对象的输入变量至输出变量的信号联系称为通道
本章研究内容： 本章研究内容：
2.1 对象特性的类型 2.2 对象特性的数学描述 2.3 对象特性的一般分析 2.4 对象特性的实验测定方法
2.1 对象特性的类型
对象特性——是指对象输入量与输出量之间的关系 数学模型) 对象特性——是指对象输入量与输出量之间的关系(数学模型) 是指对象输入量与输出量之间的关系(
qi q0
q0
左图：假设初始为平衡状态qi=qo，水箱水位保持不变。 水箱水位保持不变。 左图：假设初始为平衡状态q 当发生变化时( 当发生变化时(qi＞qo)，此时水箱的水位开始升高 根据流体力学原理，水箱出口流量与H是存在一定的对应关系的： 根据流体力学原理，水箱出口流量与H是存在一定的对应关系的： 因此， 因此，qi↑ ⇒ H ↑ ⇒qo↑，直至qi=qo可见该系统受到干扰以后，即使不加控制，最 直至q 可见该系统受到干扰以后，即使不加控制， 终自身是会回到新的平衡状态，这种特性称为“自衡特性” 终自身是会回到新的平衡状态，这种特性称为“自衡特性”。 右图：如果水箱出口由泵打出，其不同之处在于：qi当发生变化时，qo不发生变化。如 右图：如果水箱出口由泵打出，其不同之处在于： 当发生变化时， 不发生变化。 水位H将不断上升，直至溢出，可见该系统是无自衡能力。 果qi＞qo ，水位H将不断上升，直至溢出，可见该系统是无自衡能力。 绝大多数对象都有自衡能力，一般而言有自衡能力的系统比无自衡能力的系统容易控制。 绝大多数对象都有自衡能力，一般而言有自衡能力的系统比无自衡能力的系统容易控制。

第二章 被控过程的数学模型

第二章 被控过程的数学模型
曲线能形 直观、 象、直观、 完全描述 被控过程 的动态特 性。
图2-8 响应曲线
第33页 页
过程控制仪表及装置
实验测试注意事项： 实验测试注意事项： 合理选择阶跃信号值。 合理选择阶跃信号值 。 一般取阶跃信 号值为正常输入信号的5 15％左右； 号值为正常输入信号的5～15％左右； 在输入阶跃信号前， 在输入阶跃信号前 ， 被控过程必须处 于相对稳定的工作状态； 于相对稳定的工作状态； 相同的测试条件下重复做几次， 相同的测试条件下重复做几次 ，减少 干扰的影响； 干扰的影响； 由于过程的非线性， 由于过程的非线性 ， 应在阶跃信号作 正 、 反方向变化时分别测取其响应曲 以求取过程的真实特性。 线，以求取过程的真实特性。
d 2∆h2 d∆h2 T1T2 + (T1 + T2 ) + ∆h2 = R3∆Q1 2 dt dt
第24页 页
过程控制仪表及装置
进行拉氏变换，并分解因式， 进行拉氏变换，并分解因式，得： 双容过程的数学模型为： 双容过程的数学模型为：
K R3 H 2 (s ) W (s ) = = = Q1 (s ) (T1 s + 1)(T2 s + 1) (T1 s + 1)(T2 s + 1)
对上式进行拉氏变换， 对上式进行拉氏变换，传递函数形式为
1 1 W0 (s) = = Cs Ta s
具有纯时延 τ 0 时，其传递函数为
1 −τ 0 s Wo ( s ) = e Ta s
第20页 页
过程控制仪表及装置
2.2.2 多容过程的建模 多容过程------ 被控过程往往是由多个 多容过程 ------被控过程往往是由多个 -----容积和阻力件构成。 容积和阻力件构成 。 可分为有自平衡能 力和无自平衡能力两类。 力和无自平衡能力两类。

第二章 被控过程的数学模型

第二章 被控过程的数学模型

后才反应出来。 要经过路程 l 后才反应出来。
℃
0 t
τ
0
纯滞后时间
l τ0 = v
℃
v ——水的流速； 水的流速；
0 有些对象容量滞后与 纯滞后同时存在，很难严格 纯滞后同时存在， Δh2 （∞） 区分。常把两者合起来， 区分。常把两者合起来，统 称为滞后时间τ 0
τ0
t
τ=τ
o
+τc
τ0 τc
单回路控制系统框图
过程通道： 过程通道：
被控过程输入量与输出量之间的信号联系
控制通道： 控制通道：
控制作用与被控量之间的信号联系
扰动通道： 扰动通道：
扰动作用与被控量之间的信号联系
建立过程数学模型的基本方法： 建立过程数学模型的基本方法：
解析法： 解析法： 又称为机理演绎法 ，根据过程的内在机理，运用已知 根据过程的内在机理， 的静态和动态物料（能量）平衡关系， 的静态和动态物料（能量）平衡关系，用数学推理的方法建 立过程的数学模型。 立过程的数学模型。 实验辨识法： 实验辨识法： 又称为系统辨识与参数估计法。该法是根据过程输入、 又称为系统辨识与参数估计法。该法是根据过程输入、输 出的实验测试数据， 出的实验测试数据，通过过程辨识和参数估计建立过程的数学 模型。 模型。 混合法: 混合法: 即用上述两种方法的结合建立过程的数学模型。 即用上述两种方法的结合建立过程的数学模型。首先通 过机理分析确定过程模型的结构形式， 过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利用实验测试数据 来确定模型中各参数的大小
其中： 其中：
T = R 2 C 为被控过程的时间常数
K = R2
为被控过程的放大系数
Hs +1 1 2

自动控制原理第二章

自动控制原理第二章

1 ui (t ) 1(t ), U i ( s) s Ui 0.1s 0.2 1 1 u0 (t ) L [U 0 ( s )] L [ 2 2 ] s s 1 s s 1 1 0.1s 0.2 1 L [ 2 ] 2 s ( s s 1) s s 1
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
输入： Fi 1(t )
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
相似系统
RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系 统的数学模型均是二阶微分方程，为相似 系统。 相似系统便于用一个简单系统去研究与其 相似的复杂系统，也便于控制系统的计算 机数字仿真。
化的过程。
4、线性系统的基本特性 叠加性：系统在几个输入信号同时作用 下的总响应，等于这几个输入信号单独 作用的响应之和。
如果元件输入为： r1(t)、r2(t)、r(t) ，
对应的输出为： c1(t)、c2(t)、c(t) 。
如果 r(t)=r1(t)+r2(t) 时， c(t)=c1(t)+c2(t) 满足叠加性。

满足齐次性。
满足叠加性和齐次性的元件才是线性元件
例如 y=kx 是线性元件
输入 x1 输出 y1=kx1 x2 输入x1 ＋x2 C为常数， Cx1 y2=kx2 y1 ＋ y2 满足迭加性 Cy1 满足齐次性
所表示的元件 为线性元件
线性方程不一定满足迭加性和齐次性
y=kx+b(b为常数 0)线性方程，所表示的元件不是 线性元件 . 输入 x1y1 输出 y1＝ kx1+b x2 y2 y2 =kx2+b 输入 x1 ＋ x2 输出 y=k(x1 ＋ x2)+b =k x1 +kx2+b y1 +y2 不满足迭加性 k为常数 :kx1输出y=k(kx1)+b=k2x1+b ky1=k(kx1+b)= k2x1+kb yky1 不满足齐次方程。 所表示的元件不是线性元件。

现代控制原理第二章课后答案

现代控制原理第二章课后答案

第二章被控对象的数学模型第一章自动控制系统基本概念1.简述被控对象、被控变量、操纵变量、扰动(干扰)量、设定(给定)值和偏差的含义？答:自动控制系统中常用的几个术语其含义是：被控对象自动控制系统中，工艺参数需要控制的生产过程、设备或机器等。

被控变量被控对象内要求保持设定数值的工艺参数。

操纵变量受控制器操纵的，用以克服干扰的影响，使被控变量保持设定值的物料量或能量。

扰动量：除操纵变量外，作用于被控对象并引起被控变量变化的因素。

设定值：被控变量的预定值。

偏差：被控变量的设定值与实际值之差。

2.自动控制系统按其基本结构形式可分为几类?其中闭环控制系统中按设定值的不同形式又可分为几种?简述每种形式的基本含义。

答:自动控制系统按其基本结构形式可分为闭环自动控制系统和开环自动控制系统。

闭环自动控制是指控制器与被控对象之间既有倾向控制又有反向联系的自动控制。

如图1—1(a)即是一个闭环自动控制。

图中控制器接受检测元件及变送器送来的测量信号，并与设定值相比较得到偏差信号，再根据偏差的大小和方向，调整蒸汽阀门的开度，改变蒸汽流量，使热物科出口温度回到设定值上。

从图l—1(b)所示的控制系统方块图可以清楚看出，操纵变量(蒸汽流量)通过被控对象去影响被控变量，而被控变量又通过自动控制装置去影响操纵变量。

从信号传递关系上看，构成了一个闭合回路。

在闭环控制系统中，按照没定值的不同形式又可分为：(1)定值控制系统定值控制系统是指设定值恒定不变的控制系统。

定值控制系统的作用是克服扰动对被控变量的影响，使被控变量最终回到设定值或其附近。

以后无特殊说明控制系统均指定值控制系统而言。

(2)随动控制系统随动控制系统的设定值是不断变化的。

随动控制系统的作用是使被控变量能够尽快地、准确无误地跟踪设定值的变化而变化。

(a)(b)图1-1闭环自动控制基本结构(3)程序控制系统程序控制系统的设定值也是变化的，但它是一个已知的时间函数,即设定值按一定的时间程序变化。

第二章数学模型的来源

第二章数学模型的来源

★ 混合建模法
综合上述两种方法的优点，参数估计方法
8
第二节 机理法建立过程数学模型
一、一般步骤
★ 根据实际工艺要求，确定被控对象的输入、输出参数； ★ 根据对象所遵循的物理或化学规律，列出描述变化过程的 平衡方程（如物料平衡、能量平衡、动量平衡、相平衡等 方程及化学反应定律等）；
输入-输出 = 积累
进行系统分析和设计比较困难按数学模型所描述的运动状态分静态模型描述对象在静态时的输入量与输出量之间的关系不随时间而变化动态模型描述对象在输入量改变后输出量的变化情况输入量输出量随时间而变化机理分析法通过对过程内部运动机理的分析根据其物理或化学变化规律在忽略一些次要因素或做出一些近似处理后得到过程特性方程用微分方程或代数方程
二、时间常数 T
T 表示对象受扰动作用后，被控变量变化到新稳定值的 速度的快慢。 当t=T时， h(T ) KA 1 e1 0.632KA 0.632h()


时间常数T就是当被控变量变化达到新的稳态值的 0.632倍所需的时间。 时间常数的另一种求法：
h(∞)
0.632h (∞)
32
解：①由斜率 kAC=1/3和A(4,0)知直线AC的方程为 y =1/3(x-4)。 设B(t,0)，由kCB=-1知直线BC方程为： y=-1(x-t) 又∵G点和H点的纵坐标相同，得： 1/3(10-4)=-1(18-t) ∴t =20（此时沉淀完全消失） ②联立方程组y =1/3(x-4)、y=20-x 解得20-x=1/3(x-4); x=16（此时沉淀最多）。
23
传递滞后（纯滞后）
24
有、无纯滞后的一阶对象数学模型及阶跃响应曲线
dy t T y t Kx t dt

6.第二章 被控对象的数学模型

6.第二章 被控对象的数学模型

第二章被控对象的数学模型主要研究内容：⏹化工过程的特点及其描述方法⏹对象数学模型的建立（建模）•建模目的•机理建模•实验建模⏹描述对象特性的参数•放大系数Κ•时间常数Τ•滞后时间τ第二章被控对象的数学模型⏹控制效果取决于控制对象（内因）和控制系统（外因）两个方面。

۝外因只有通过内因起作用，内因是最终效果的决定因素。

⏹设计控制系统的前提是：正确掌握工艺系统、控制作用（输入）与控制结果（输出）之间的关系——对象的特性。

自动控制系统是由被控对象、测量变送装置、控制器和执行器组成。

研究对象的特性，就是用数学的方法来描述出对象输入量与输出量之间的关系。

建立对象特性的数学描述就称为建立对象的数学模型（建模）。

第二章被控对象的数学模型对象的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型。

静态数学模型动态数学模型基础特例对象在稳定时(静态)输入与输出关系；在输入量改变以后输出量跟随变化的规律；•比较与区别：动态数学模型是更精确的模型，静态数学模型是动态数学模型在对象达到平衡时的特例。

一、化工对象的特点⏹被控对象常见种类：换热器、锅炉、精馏塔、化学反应器、贮液槽罐、加热炉等⏹1. 对控制质量影响程度相差大（内因决定外因）；⏹2. 类型繁多，特性相差悬殊；⏹3. 非线性、分布参数较多；第二章被控对象的数学模型§2.1 化工对象的特点及其描述方法二、对象特性定义⏹对象特性，即过程特性：指被控过程输入量发生变化时，过程输出量的变化规律。

⏹输入量：干扰作用、控制作用。

⏹输出量：被控参数。

⏹数学建模——就是用数学的方法来描述出对象输入量与输出量之间的关系。

⏹通道：被控过程的输入量与输出量间的信号联系。

⏹控制通道-----操纵变量至被控变量的信号联系.⏹扰动通道-----扰动变量至被控变量的信号联系.被控变量(输出量)扰动变量（输入量）操纵变量（输入量）数学模型的描述方法：1. 非参量模型：用曲线、数据图表表示的系统输入与输出量之间的关系；非参量模型可以通过记录实验结果来得到，有时也可以通过计算来得到，它的特点是形象、清晰，比较容易看出其定性的特征。

第二章被控对象的数学模型

第二章被控对象的数学模型

（1）R－C电路
用途：整流滤波、 闪光灯等 在图2－2所示的电路中，设ei为输入电压， 是该系统的输入变量；电容两端的电压 为输出电压，是该系统的输出变量；i是 流过电阻R的电流。根据电路原理中的科 希霍夫定律，有： ei＝iR＋e0 和 消去中间变量i，得到ei与e0之间的关系式： （2-3）
将由输入输出曲线测得的参数数值， 代入已推得的的微分方程或传递函数， 就得到了完整的数学模型。 在已知系统的数学模型结构的基础 上，再通过实验来确定数学模型中参数 的方法，又称为系统的参数估计。


除了上面介绍的这种方法之外，还 有矩形脉冲法和周期扰动法。另外，还 可以直接从正常生产过程的记录数据中 分析过程特性，建立数学模型。这种方 法称为在线辨识。但它需要大量的数据、 较长时间、较多的数据处理技术水平， 而且精确度也不够高。为了提高所得模 型的可信度和精度，有时采用多种方法 相互验证，相互补充。
第二章 被控对象的数学模型
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第一节 概述 第二节 对象数学模型的建立 第三节 描述对象特性的参数

第一节 概述
数学模型是系统输入作用与输出作 用之间的数学关系。其表达形式主要有 两类：即非参量模型和参量模型。 非参量模型 是指用曲线或数据表格 形式来表示的数学模型。 参量模型 是指用数学表达式来描述 的数学模型。 下面我们主要讨论参量模型。
由方程（2-7），且此时 q0=0，得 1 h q i dt （2-9） C 所以该系统也常称为积分对象。 该系统的传递函数为


（2-10）

（注：上两式中C为液容，也可以用横截面积A）
3．二阶系统

当一个对象可以用二阶微分方程描述其 特性时，它就是一个二阶系统或二阶对象。 我们设其微分方程为：
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第二章被控对象的数学模型第二章被控对象的数学模型1(什么是被控对象特性?什么是被控对象的数学模型?研究被控对象特性有什么重要意义?答:被控对象持性是指被控对象输入与输出之间的关系。

即当被控对象的输入量发生变化时，对象的输出且是如何变化、变化的快慢程度以及最终变化的数值等。

对象的输入量有控制作用和扰动作用，输出量是被控变量。

因此，讨论对象特性就要分别讨论控制作用通过控制通道对被控变量的影响，和扰动作用通过扰动通道对被控变量的影响。

定量地表达对象输入输出关系的数学表达式、称为该对象的数学模型。

在生产过程中，存在着各种各样的被控对象。

这些对象的持性各不相同。

有的较易操作，工艺变量能够控制得比较平稳，有的却很难操作，工艺变量容易产生大幅度波动，只要稍不谨慎就会越出工艺允许的范围，轻则影响生产，重则造成事故。

只有充分了解和熟悉对象特性，才能使工艺生产在最佳状态下运行。

因此，在控制系统设计时、首先必须充分了解被控对象的特性，掌握它们的内在规律，才能选择合适的被控变量、操纵变量，合适的测量元件和控制器(选择合理的控制器参数，设计合乎工艺要求的控制系统。

特别在设计新型的控制系统时。

例如前馈控制、解偶控制、自适应控制、计算机最优控制等，更需要考虑被控对象特性。

2(简述建立对象的数学模型的两种主要方法。

答:一是机理分析法。

机理分析法是通过对对象内部运动机理的分析，根据对象中物理或化学变化的规律(比如三大守恒定律等)、在忽略一些次要因素或做出一些近似处理后推导出的对象特性方程。

通过这种方法得到的数学模型称之为机理模型，它们的表现形式往往是微分方程或代数方程。

二是实验测取法。

实验测取法是在所要研究的对象上，人为施加一定的输入作用，然后，用仪器测取并记录表征对象特性的物理量随时间变化的规律，即得到一系列实验数据或实验曲线。

然后对这些数据或曲线进行必要的数据处理，求取对象的特性参数，进而得到对象的数学模型。

3(描述简单对象特性的参数有哪些?各有何物理意义?答:描述对象特性的参数分别是放大系数K、时间常数T、滞后时间τ。

放大系数K放大系数K在数值上等于对象处于稳定状态时输出的变化量与输入的变化量之比，即:K= 输出的变化量/输入的变化量，由于放大系数K反映的是对象处于稳定状态下的输出和输入之间的关系，所以放大系数是描述对象静态特性的参数。

时间常数是指当对象受到阶跃输入作用后，被控变量如果保持初始速度变比，达到新的稳态值所需的时间。

或当对象受到阶跃输入作用后，被控变量达到新的稳态值的63.2%所需时间。

时间常数T是反映被控变量变化快慢的参数，因此它是对象的一个重要的动态参数。

滞后时间τ是纯滞后时间τ和容量滞后τc的总和。

0输出变量的变化落后于输入变量变化的时间称为纯滞后时间，纯滞后的产生一般是由于介质的输送或热的传递需要一段时间引起的。

容量滞后一般是因为物料或能量的传递需要通过一定的阻力而引起的。

滞后时间τ 也是反映对象动态持性的重要参数。

4.什么是控制通道和扰动通道(干扰通道)?对于不同的通道,对象的特性参数(K、T、τ)对控制有什么不同的影响?答:对于一个被控对象来说，输入量是扰动量和操纵变量，而输出是被控变量。

由对象的输入变量至输出变量的信号联系称为通道。

操纵变量至被控变量的信号联系称为控制通道;扰动量至被控变量的信号联系称为扰动通道。

一般来说，对于不同的通道，对象的特性参数(K、T、τ)对控制作用的影响是不同的。

对于控制通道:放大系数 K 大，操纵变量的变化对被控变量的影响就大，即控制作用对扰动的补偿能力强，余差也小;放大系数 K 小，控制作用的影响不显著，被控变量的变化缓慢。

但 K 太大，会使控制作对被控变量的影响过强，使系统的稳定性下降。

在相同的控制作用下，时间常数T大，则被控变量的变化比较缓慢，此时对象比较平稳，容易进行控制，但过渡过程时间较长;若时间常数 T 小，则被控变量变化速度快，不易控制。

时间常数太大或大小、在控制上都将存在一定困难，因此，需根据实际情况适中考虑。

滞后时间τ的存在，使得控制作用总是落后于被控变量的变化，造成被控变量的最大偏差增大，控制质量下降。

因此，应尽量减小滞后时间τ。

对于扰动通道:放大系数K大对控制不利，因为，当扰动频繁出现且幅度较大时，被控变量的波动就会很大，使得最大偏差增大;而放大系数K小，既使扰动较大，对被控变量仍然不会产生多大影响。

时间常数 T 大，扰动作用比较平缓，被控变量变化较乎稳，对象较易控制。

纯滞后的存在，相当于将扰动推迟τo时间才进入系统，并不影响控制系统的品质。

而容量滞后的存在，则将使阶跃扰动的影响趋于缓和，被控变量的变化相应也缓和些，因此，对系统是有利的。

5.实验测取对象特性常用的方法有哪些?各自有什么特点?答:实验测取对象待性常用的方法有阶跃响应曲线法、矩形脉冲法。

阶跃响应曲线法是当对象处于稳定状态时，在对象的输入端施加一个幅值已知的阶跃扰动，然后测量和记录输出变量的数值，就可以画出输出变量随时间变化的曲线。

根据这一响应曲线，再经过一定的处理，就可以得到描述对象特性的几个参数。

阶跃响应曲线法是一种比较简单的方法。

如果输入量是流量，只需将阀门的开度作突然的改变，便可认为施加了一个阶跃扰动，同时还可以利用原设备上的仪表把输出量的变化记录下来(既不需要增加仪器设备，测试工作量也不大。

但由于一般的被控对象较为复杂，扰动因素较多，因此(在测试过程中，不可避免地会受到许多其他扰动因素的影响而使测试精度不高。

为了提高精度就必须加大输入量的幅度，这往往又是工艺上不允许的。

因此，阶跃响应曲线法是一种简易但精度不高的对象持性测定方法。

短形脉冲法是当对象处于稳定状态时，在时间t突然加一幅度为A的阶跃0 扰动，到t时突然除去，这时测得输出变量随时间变化的曲线，称为矩形脉冲1持性曲线。

矩形脉冲信号可以视为两个方向相反、幅值相等、相位为t-t的阶10跃信号的叠加。

可根据矩形脉冲特性曲线，用叠加法作图求出完整的阶跃响应曲线，然后就可以按照阶跃响应曲线法进行数据处理，最后得到对象的数学模型。

采用矩形脉冲法求取对象特性，由于加在对象上的扰动经过一段时间后即被除去，因此，扰动的幅值可以取得较大，提高了实验的精度。

同时，对象的输出又不会长时间偏离设定值，因而对正常工艺生产影响较小。

6.图2-1所示RC电路，设输入变量为V，输出变量为Vo，试列写出该对象i输出与输入变量之间的微分方程。

解:对象的输出变量为Vo，输入变量为V。

i根据基尔霍夫定律可得:V=iR+Vo(1) i中间变量为I，因为:I=C(dVo/dt)(2)消除中间变量,将(2)式代入(1)得:RC(dVo/dT)+Vo=V(3) i(3)式即为RC电路的微分方程。

7.图2-2所示为一直接蒸汽加热器。

其作用是将温度为T的冷流体用蒸汽c进行直接加热，获得温度为T的热流体。

图中冷流体的流量为G，蒸汽流量为acW,试建立热流体温度T与冷流体T及蒸汽流量W的微分方程(设加热器热量很oac 小，忽略不计)解:由能量守恨定律得:Q+Q-Q=dU/dt (1) csa式中 Q:单位时间冷空气带入的热量; cQ:单位时间蒸汽带入的热量; sQ:单位时间热流体带入的热量; aU:加热器中积聚的热量。

中间变量 U=VρT (2) ca式中 V:加热器的有效体积;ρ:流体的密度 cdU/dt=Vρ( dTa/dt ) (3) cQ=GcT(4) ccc 式中 c:液体比热容。

Q=WH (5) s式中 H:蒸汽热焓。

Q=GcT (6) aaa式中 Ga :热流体流量。

将(3)、(4)、(5)、(6)式代入(1)式得:Vρ(dTa/dt)+GcT=GcT+HW (7) caacc(7)式即为热流体温度T与冷流体温度T及蒸汽流量W的微分方程。

ac8.图2-3所示是一工业用带有保护套管的热电阻。

将其插入温度为T的被测介质中，忽略套管向外的散热，设套管极其内部的温度为T，热电阻温度为aT。

试建立带保护套管的热电阻的数学模型。

r解:由热电阻测温原理可知，电阻R的阻值随温度的变化而变化。

根据能量守恨定律，有:McdT=αF(T-T)-αF(T-T) (1) 11a11a22arMcdT/d=αF(T-T) (222rt22ar)式中 M:套管质量; 1M:热电阻质量; 2C:热电阻比热容; 1α:介质对套管的导热系数: 1α:套管对热电阻的导热系数; 2F:套管的表面积; 1F:热电阻的表面积。

2令R=1/αF;R=1/αF 111222C=Mc，C=Mc 11122222 (1)、(2)式联立，有RRCC(dT/dt)+(RC+RC+RC)dT/dt+T=T (3) 1212r112212rr(3)式即为套管热电阻的数学模型。

9(图2-1所示RC电路，若以知R=5，C=2。

(1)试绘出V突然由0阶跃到5V，V的变化曲线。

io(2)计算出t=T，t=2T，t=3T。

解:由题意得，描述RC电路特性的方程为:R(dV/dT)+V=V cooi-t/RC 方程的解为:V =V(1-e) oi由方程的解得出如下数据:t=0 ，V=0 ot=2 ，V=0.9 ot=5 ，V=1.96 ot=10 ，V=3.16 ot=15 ，V=3.88 ot=20, V=4.32 ot= ?，V=5 o据此，可有如下曲线:(2) t=T时，V=0.632V oit=2T时，V=0.865V oit=3T时，V=0.95V。

oi10.为了测定某物料干燥筒的对象特征，在to时刻突然将加热蒸汽量从3325m/h增加到28m/h，物料出口温度记录仪得到的阶跃响应曲线如图2-4所示。

试写出描述干燥筒特性的微分方程(温度变化量作为输出变量，加热蒸汽量的变化量作为输入变量;温度测量仪表的测量范围0--200?;流量测量仪表的测量3范围0--40m/h)。

解:由阶跃响应曲线可知;放大系数:K=,(150-120)/200,/,(28-25)/40,=2时间常数:T=4滞后时间:τ=2所以，物料干燥特性的微分方程为:dT(t+2)/dt+T(t+2)=2θ(t) 式中 T:物料干燥筒温度变化量; θ:加热蒸汽流量变化量。