2021届黑龙江省大庆铁人中学高三第一次模拟考试数学(文)试题Word版含答案

2021年黑龙江省大庆市铁人中学高考数学模拟试卷（理科）（三模）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,3，√m}，B={1,m}，A∪B=A，则m=()A. 0或√3B. 0或3C. 1或√3D. 1或32.已知i为虚数单位，a∈R，若z=1−ia+i为纯虚数，则a=()A. −1B. 2C. 1D. 123.已知向量a⃗=(2,2)，b⃗ =(1,x)，若a⃗//(a⃗+2b⃗ )，则|b⃗ |=()A. 10B. 2C. √10D. √24.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是()A. 若m⊥n，m⊥α，则n//αB. 若m//n，m//α，n⊄α，则n//αC. 若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD. 若m//α，α//β，则m//β或m⊂β5.若直线mx+y−2m−1=0被圆x2+y2−6x+2y+1=0所截弦长最短，则m=()A. 4B. 2C. −12D. −26.下列说法：①若线性回归方程为ŷ=3x−5，则当变量x增加一个单位时，y一定增加3个单位；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不会改变；③线性回归直线方程ŷ=b̂x+â必过点(x−,y−)；④抽签法属于简单随机抽样，而随机数表法属于系统抽样，其中错误的说法是()A. ①③B. ②③④C. ①②④D. ①④7.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，n阶幻方(n≥3,n∈N∗)是由前n2个正整数组成的一个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和(简称幻和)相等，例如“3阶幻方”的幻和为15.现从如图所示的3阶幻方中任取3个不同的数，记“取到的3个数和为15”为事件A，“取到的3个数可以构成一个等差数列”为事件B，则P(B|A)=()A. 12B. 23C. 13D. 348.如图所示，流程图所给的程序运行结果为S=840，那么判断框中所填入的关于k的条件是()A. k<5？B. k<4？C. k<3？D. k<2？9.甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”，则该5人可能的排名情况种数为()A. 18B. 36C. 54D. 6410.已知过原点O的直线与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A、B两点，F为曲线的右焦点，若以AB为直径的圆过F，且|AF|=3|BF|，则该双曲线的离心率是()A. √102B. 53C. √173D. 9411.已知函数f(x)=2√2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位后，得到函数g(x)的图象，若对于任意的x∈R，g(x)≤|g(π24)|，则a的值可以为()A. π12B. π4C. 5π12D. π212.定义在R上的函数f(x)若满足：①对任意x1、x2(x1≠x2)，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0；②对任意x，都有f(a+x)+f(a−x)=2b，则称函数f(x)为“中心捺函数”，其中点(a,b)称为函数f(x)的中心．已知函数y=f(x−1)是以(1,0)为中心的“中心捺函数”，若满足不等式f(m2+2n)≤−f(−n2−2m).当m∈[12,1]，mm+n取值范围为()A. [2,4]B. [18,12] C. [14,12] D. [12,1]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若一个空间几何体的三视图如图所示，其中，俯视图为正三角形，则其体积等于______ ．14.锐角三角形ABC的面积为S，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2S=(b2+c2−a2)sin2A，则A=______ ．15.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门一十五里有木.问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则x=(9×12)×(7×12)15.若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为(注：1里=300步)______ 里.16.四面体ABCD的四个顶点都在球O上，且AB=AC=BC=BD=CD=4，AD=2√6，则球O的表面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知有限数列{a n}共有30项{a n}(n∈N∗,n≤30)，其中前20项成公差为d的等差数列，后11项成公比为q的等比数列，记数列的前n项和为S n.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：(Ⅰ)d，q的值；(Ⅱ)数列中的最大项．条件①：a2=4，S5=30，a21=20；条件②：S3=0，a20=−36，a22=−9；条件③：S1=48，a21=20，a24=160．18.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，SD⊥DB，SB⊥AC，点E是棱SD上的点．(1)证明：SD⊥平面ABCD；(2)已知SD=√2AB=2，点E是SD上的点，DE=λDS(0<λ<1)，设二面角C−AE−D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若sinφ=cosθ，求λ的值．19.甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4.甲、乙约定比赛当天上午进行3局热身训练，下午进行正式比赛．(Ⅰ)上午的3局热身训练中，求甲恰好胜2局的概率；(Ⅱ)下午的正式比赛中：①若采用“3局2胜制”，求甲所胜局数x的分布列与数学期望；②分别求采用“3局2胜制”与“5局3胜制”时，甲获胜的概率；对甲而言，哪种局制更有利？你对局制长短的设置有何认识？20. 已知抛物线y 2=2px(p >0)上一点M(m,4)到焦点F 的距离是4．(1)求抛物线的方程；(2)过点F 任作直线l 交抛物线于A ，B 两点，交直线x =−2于点C ，N 是AB 的中点，求|CA|⋅|CB||CN|⋅|CF|的值．21. 已知函数f(x)=e x−1−2lnx +x ．(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)≥(x −2)3−3(x −2)．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：x 2+y 2=1经过伸缩变换{x′=2x y′=y后得到曲线C 2，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：ρsin(θ+π4)=−2√2．(1)写出曲线C 2的参数方程和直线l 的直角坐标方程；(2)在曲线C 2上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小．23.设函数f(x)=|x−2|+|3x−4|．(Ⅰ)解不等式f(x)>5x；(Ⅱ)若f(x)的最小值为m，若实数a，b满足2a+3b=3m，求证：a2+b2≥4．13答案和解析1.【答案】B【解析】解：A∪B=A⇔B⊆A．∴{1,m}⊆{1,3，√m}，∴m=3或m=√m，解得m=0或m=1(与集合中元素的互异性矛盾，舍去)．综上所述，m=0或m=3．故选：B．由两集合的并集为A，得到B为A的子集，转化为集合间的基本关系，再利用子集的定义，转化为元素与集合，元素与元素的关系．此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基础题．2.【答案】C【解析】解：z=1−ia+i =(1−i)(a−i)(a+i)(a−i)=a−1−(a+1)ia2+1=a−1a2+1−a+1a2+1i，因为z=1−ia+i 为纯虚数，所以a−1a2+1=0，−a+1a2+1≠0，解得a=1，故选：C．先根据复数除法法则进行化简，然后根据纯虚数的定义即实部为零虚部不为零，从而可求出所求．本题主要考查了复数的运算，以及纯虚数的定义，同时考查了运算求解能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵a⃗+2b⃗ =(4,2x+2)，且a⃗//(a⃗+2b⃗ )，∴2(2x+2)−2×4=0，解得x=1，∴b⃗ =(1,1)，|b⃗ |=√2．故选：D．可求出a⃗+2b⃗ =(4,2x+2)，然后根据a⃗//(a⃗+2b⃗ )即可得出2(2x+2)−8=0，解出x的值，然后即可得出b⃗ 的坐标，进而求出|a⃗|的值．本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：若m⊥n，m⊥α，则n//α或n⊂α，故A错误；若m//n，m//α，则n//α或n⊄α，又n⊄α，则n//α，故B正确；若m⊥n，m⊥α，则n//α或n⊂α，又n⊥β，则α⊥β，故C正确；若m//α，α//β，则m//β或m⊂β，故D正确．故选：A．由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．5.【答案】C【解析】解：由C：x2+y2−6x+2y+1=0得(x−3)2+(y+1)2=9，∴圆心坐标是C(3,−1)，半径是3，∵直线l：mx+y−2m−1=0过定点P(2,1)，且在圆内，∴当l⊥PC时，直线l被圆x2+y2−6x+2y+1=0截得的弦长最短，∴−m⋅1+12−3=−1，∴m=−12．故选：C．利用配方法将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，判断出直线l过定点且在圆内，可得当l⊥PC时直线l被圆x2+y2−6x+2y+1=0截得的弦长最短，即可得出结论．本题考查直线过圆内定点时所截得弦长问题，以及配方法的应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：①若线性回归方程为ŷ=3x−5，则当变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位，故①错误；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，由方差的定义和性质，方差不会改变，故②正确；③线性回归直线方程ŷ=b̂x+â必过点(x−,y−)，故③正确；④抽签法属于简单随机抽样，而随机数表法也属于简单随机抽样，故④错误．故选：D．由线性回归直线方程的特点可判断①；由方差的定义和性质，可判断②；由线性回归直线必过样本中心可判断③；由简单随机抽样的两种类型可判断④．本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线方程的特点和性质、抽样方法和方差的性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据题意，事件A包含的基本事件有：(8,1，6)，(3,5，7)，(4,9，2)，(8,3，4)，(1,5，9)，(6,7，2)，(8,5，2)，(4,5，6)，共8个基本事件；事件AB同时发生包含的基本事件有：(3,5，7)，(1,5，9)，(8,5，2)，(4,5，6)，共4个基本事件，所以P(B|A)=n(AB)n(A)=48=12．故选：A．根据题意，先列举出事件A发生对应的基本事件，再列举出事件AB同时发生对应的基本事件，基本事件的个数比，即为所求的概率．本题考查条件概率的计算，涉及列举法的运用，数基础题．8.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=7；不满足退出循环的条件，执行循环体后：S=7，k=6；不满足退出循环的条件，执行循环体后：S=42，k=5；不满足退出循环的条件，执行循环体后：S=210，k=4；不满足退出循环的条件，执行循环体后：S=840，k=3；由题意可得，此时应当满足退出循环的条件，退出循环，输出S的值为840，故判断框中应填入的关于k的条件是k<4？．故选：B．按照程序框图依次执行，直到S=840，求出此时的k，进一步确定判断框内的条件即可．本题考查循环结构的程序框图，弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决问题的关键，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，分2种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有A33=6种情况，此时有3×6=18种名次排列情况；②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有A32=6种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有A33=6种情况，此时有6×6=36种名次排列情况；则一共有36+18=54种不同的名次排列情况，故选：C．根据题意，分2种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由以AB为直径的圆过F，可得AF⊥BF，设双曲线的左焦点为F′，可得四边形FAF′B为矩形，且BF⊥BF′，|BF′|=|AF|，设|BF|=t，则|AF|=3t，由双曲线的定义，可得3t−t=2a，即有t=a，在直角三角形F′BF中，|BF′|2+|BF|2=|FF′|2，即为9a2+a2=4c2，即c=√102a，可得e=ca =√102．故选：A．设双曲线的左焦点为F′，推得四边形FAF′B为矩形，由双曲线的定义和勾股定理、离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线的定义和性质，以及勾股定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：由函数f(x)=2√2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象知，f(x)的图象过点(0,2)，(3π8,0)， 所以f(0)=2√2sinφ=2，可得sinφ=√22，因为|φ|<π2， 所以φ=π4，所以f(3π8)=2√2sin(3π8ω+π4)=0，解得3π8ω+π4=kπ，k ∈Z ， 所以ω=8k−23，k ∈Z ，又ω>0，所以不妨当k =1时，可得ω=2， 可得f(x)=2√2sin(2x +π4)，因为g(x)=f(x −a)=2√2sin[2(x −a)+π4]， 所以g(π24)=2√2sin[2(π24−a)+π4]=2√2sin(π3−2a)， 又对于任意的x ∈R ，g(x)≤|g(π24)|，所以g(π24)=2√2sin(π3−2a)=±2√2，可得π3−2a =kπ+π2，k ∈Z ， 解得a =−12kπ−π12，k ∈Z ， 所以当k =−1时，可得a =5π12．故选：C ．由f(x)的图象过点(0,2)，可得sinφ=√22，结合|φ|<π2，可得φ的值，由f(3π8)=0，解得ω=8k−23，k ∈Z ，又ω>0，不妨当k =1时，可得ω=2，利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换可得g(x)，可得g(π24)=2√2sin(π3−2a)，进而利用正弦函数的性质即可求解．本题考查了由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换以及正弦函数的图象和性质，考查了运算求解能力和数形结合思想，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由题意，f(x −1)+f(2−(1−x))=0，即f(x −1)+f(1−x)=0， ∴f(x)+f(−x)=0， ∴函数f(x)为奇函数，又函数y =f(x −1)满足对任意x 1、x 2(x 1≠x 2)，都有(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]<0， ∴函数函数y =f(x −1)在R 上为减函数，则函数f(x)也为R 上的减函数， ∴不等式f(m 2+2n)≤−f(−n 2−2m)即为m 2+2n ≥n 2+2m ， ∴(m −n)(m +n −2)≥0，以m 为横坐标，n 为纵坐标建立平面直角坐标系，又m ∈[12,1]，故m ，n 满足不等式组{12≤m ≤1(m −n)(m +n −2)≥0，其所表示的平面区域，如图阴影部分所示，而m m+n =11+n m，又nm 表示阴影部分内任意一点与原点连线的斜率，由图可知，(nm )max =k OC =3212=3，(nm )min =k OA =1，∴nm+n ∈[14,12]． 故选：C ．由“中心捺函数”的定义可得函数f(x)为奇函数，且在R 上为减函数，故不等式f(m 2+2n)≤−f(−n 2−2m)即为m 2+2n ≥n 2+2m ，进而得到关于m ，n 的约束条件{12≤m ≤1(m −n)(m +n −2)≥0，再利用几何意义求解即可．本题以新定义为载体，旨在考查函数性质的运用及与斜率有关的线性规划问题，锻炼学生的化简变形，逻辑推理，运算求解能力及数形结合思想，属于中档题．13.【答案】8√3【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为正三棱柱，底面是边长为4的正三角形，高为2．则其体积V=12×4×4×√32×2=8√3．故答案为：8√3．由三视图还原原几何体，可知该几何体为正三棱柱，底面是边长为4的正三角形，高为2，再由棱柱体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．14.【答案】π3【解析】解：因为b2+c2−a2=2bccosA，2S=(b2+c2−a2)sin2A，所以2×12bcsinA=2bccosA×2sinAcosA，因为sinA>0，所以cos2A=14，因为A为锐角，cosA>0，所以cosA=12，故A=π3．故答案为：π3．由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简可求cos A，进而可求A．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式及二倍角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．15.【答案】8√10【解析】解：由题意知，BE=1200步=4里，AG=750步=2.5里，因为△BEF∽△FGA，所以BEFG =EFAG，所以EF⋅FG=BE⋅AG=4×2.5=10里，所以EF+FG≥2√EF⋅FG=2√10，当且仅当EF=FG=√10时，等号成立，而该小城的周长为4(EF+FG)≥8√10，所以该小城的周长的最小值为8√10里．故答案为：8√10．由题意知，BE=4里，AG=2.5里，由△BEF∽△FGA，可知EF⋅FG=10里，再利用均值不等式求出EF+FG 的最小值，进而得解．本题考查函数的实际应用，以及利用均值不等式求最值，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．16.【答案】80π3【解析】解：如图，取BC，AD的中点M，N，连结AM，MD，MN，∵AB=AC=BC=BD=CD=4，∴AM=MD=2√3，又AD=2√6，故A M2+MD2=AD2，则∠AMD=90°，∴△AMD为等腰直角三角形，∴MN=AN=ND=√6，取MN上一点O，连结OC，OB，OA，OD，∵OB=OC，OA=OD，只需使得OC=OD，则点O为三棱锥外接球的球心，设OM=x，则ON=√6−x，∴OC2=x2+22=OD2=(√6−x)2+(√6)2，解得x=2√63，∴OC2=x2+22=203，故球O的表面积为4π⋅(OC)2=4π×203=80π3．故答案为：80π3．取BC，AD的中点M，N，连结AM，MD，MN，利用长度关系可得△AMD为等腰直角三角形，取MN上关于x 的等式关系，求出x ，即可得到外接球的半径，由球的表面积公式求解即可．本题考查多面体的外接球，解题的关键是确定球心O 的位置，求解球的半径，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．17.【答案】当选择条件①时：解：(Ⅰ)因为{a n }的前20项成等差数列，a 2=4，S 5=30， 所以{a 1+d =4,5a 1+5×42d =30,解得{a 1=2,d =2．所以a 20=2+19×2=40．因为数列{a n }后11项成公比为q 的等比数列，所以q =a 21a 20=12．综上，d =2, q =12．(Ⅱ){a n }的前20项成等差数列，d >0． 所以前20项为递增数列． 即：前20项的最大项为a 20=40． 数列{a n }的后11项成等比数列，q =12， 所以后11项是递减数列． 即：后11项的最大项为a 20=40综上，数列{a n }的最大项为第20项，其值为40． 当选择条件②时：解：(Ⅰ)因为{a n }的前20项成等差数列，S 3=0，a 20=−36， 所以{3a 1+3d =0,a 1+19d =−36, 所以{a 1=2,d =−2.因为数列{a n }后11项成公比为q 的等比数列，a 20=−36，又因为a 22=−9，q 2=a 22a 20=14所以q =±12．综上，d =−2, q =±12．(Ⅱ){a n }的前20项成等差数列，d <0．前20项的最大项为a 1=2． 因为q =±12．i.当q =12时，a n =−36(12)n−20(20≤n ≤30且n ∈N ∗)， 所以当20≤n ≤30时，a n <0．此时，数列{a n }的最大项为第1项，其值为2；ⅱ.当q =−12时，a n =−36(−12)n−20(20≤n ≤30且n ∈N ∗)， 后11项的最大项为a 21=18．此时，数列{a n }的最大项为第21项，其值为18．综上，当q =12时，数列{a n }的最大项为第1项，其值为2； 当q =−12时，数列{a n }的最大项为第21项，其值为18． 当选择条件③时：解：(Ⅰ)因为数列{a n }后11项成公比为q 的等比数列，a 21=20，a 24=160，所以q 3=a24a 21=8，解得q =2． 所以a 20=a 21q=10．又因为{a n }的前20项成等差数列，S 1=a 1=48， 所以d =a 20−a 120−1=−2．综上，d =−2，q =2．(Ⅱ){a n }的前20项成等差数列，d <0． 所以前20项为递减数列．前20项的最大项为a 1=48.{a n }的后11项成等比数列，而a 20=10，q =2，a n =10⋅2n−20(20≤n ≤30且n ∈N ∗)，所以后11项为递增数列． 后11项的最大项为a 30=10240，综上，数列{a n }的最大项为第30项，其值为10240．【解析】(Ⅰ)由所选条件列出q 与d 的方程组，即可求解出d ，q 的值；(Ⅱ)由(Ⅰ)分别求出前20项中的最大项与后11项中的最大项，即可求得数列中的最大项．本题主要考查等差、等比数列基本量的计算，属于中档题．18.【答案】解：(1)证明：因为底面四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，又SB ⊥AC ，SB ∩BD =B ，所以AC ⊥平面SBD ， 又AC ⊂平面ABCD ，所以平面SBD ⊥平面ABCD ，又SD ⊥BD ，SD ⊂平面SBD ，平面SBD ∩平面ABCD =BD ， 所以SD ⊥平面ABCD ；(2)由已知及(1)可知SD ⊥AD ，SD ⊥CD ，AD ⊥CD ，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为SD =√2AB =2，则D(0,0,0),A(√2,0,0),B(√2,√2,0),C(0,√2,0),S(0,0,2),E(0,0,2λ)， 所以EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,−2λ),EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,−2λ),EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,√2,−2λ)，设平面ACE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x −2λz =0n ⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y −2λz =0，则可取n ⃗ =(2λ,2λ,√2)，易知平面ABCD 和平面ADE 的一个法向量分别为DS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,0)， 所以sinφ=|BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DS ⃗⃗⃗⃗⃗ |BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DS ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=4λ2√4+4λ2=λ√1+λ2，cosθ=|n⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=2√2λ√8λ2+2⋅√2=√2λ√4λ2+1， 由sinφ=cosθ得λ√1+λ2=√2λ√4λ2+1(0<λ<1)，解得λ=√22．【解析】(1)先由AC ⊥平面SBD ，证得平面SBD ⊥平面ABCD ，进而得到SD ⊥平面ABCD ；(2)建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而得到平面ACE ，平面ABCD 和平面ADE 的法向量，利用向量公式求得sinφ及cosθ，再根据题设条件建立关于λ的方程，解出即可．本题考查线线，线面，面面间的垂直关系，考查利用空间向量求解二面角问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)甲恰好胜2局的概率为P =C 320．62×0.4=0.432；(Ⅱ)①甲所胜局数x 的可能取值为0，1，2，所以P(x =0)=C 220．42=0.16， P(x =1)=C 210.6×0.4×0.4=0.192，P(x =2)=C 220.6×0.6+C 210.6×0.4×0.6=0.648，所以甲所胜局数x 的分布列为：x 0 1 2 P0.160.1920.648则x 的数学期望E(x)=0×0，16+1×0.192+2×0.648=1.488；②采用“3局2胜制”时，甲获胜的概率为P 1=C 210.6×0.4×0.6+C 220.6×0.6=0.648， 采用“5局3胜制”时，甲获胜的概率为P 2=C 420．62×0．42×0.6+C 320．62×0.4×0.6+C 330．63=0.68256，对于甲而言，显然“5局3胜制”更有利，由此可得出：比赛局数越多，对水平高的选手越有利．【解析】(Ⅰ)利用n 次独立重复事件恰好发生k 次的概率公式进行求解即可；(Ⅱ)①先确定x 的可能取值，分别求出其对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可；②利用n 次独立重复事件恰好发生k 次的概率公式分别计算两种赛制下甲获胜的概率，通过计算结果进行分析即可．本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)把M(m,4)代入y 2=2px ，得16=2pm ，则m =8p ， 又点M(m,4)到焦点F 的距离是4，∴m +p2=8p +p2=4， 解得p =4．∴抛物线方程为y 2=8x ；(2)设点A ，B ，N ，F 在准线上的投影分别为A 1，B 1，N 1，H ， 设直线AB 的方程为x =my +2，代入y 2=8x ，得y 2−8my −16=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−16， 在x =my +2中，令x =−2，得y =−4m ，即C(−2,−4m )，|CA|⋅|CB||CN|⋅|CF|=|CA 1|⋅|CB 1||CN 1|⋅|CH|=(y 1−y C )(y 2−y C )(y N −y C )(−y C )=y 1y 2−y C (y 1+y 2)+y C2−y 1+y 22⋅y C +y C2=−16−(−4m)⋅8m+16m 2−4m⋅(−4m )+16m2=16+16m 216+16m2=1．【解析】(1)把M的坐标代入抛物线方程，可得m=8p，再由已知结合抛物线的焦半径公式列式求得p，则抛物线方程可求；(2)设点A，B，N，F在准线上的投影分别为A1，B1，N1，H，设直线AB的方程为x=my+1，代入y2=8x，利用根与系数的关系结合平行线截线段成比例即可求得|CA|⋅|CB||CN|⋅|CF|的值．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=e x−1−2x+1，易知f′(x)=e x−1−2x+1在(0,+∞)上单调递增，且f′(1)=0，令f′(x)<0，解得0<x<1，则f(x)的单调递减区间为(0,1)；令f′(x)>0，解得x>1，则f(x)的单调递增区间为(1,+∞)；(2)证明：设g(x)=(x−2)3−3(x−2)(x>0)，g′(x)=3(x−1)(x−3)，令g′(x)<0，解得1<x<3，令g′(x)>0，解得0<x<1或x>3，∴当x=1时，g(x)取得极大值，且极大值为2，由(1)知，f(x)min=f(1)=2，故当0<x≤3时，f(x)≥(x−2)3−3(x−2)，设ℎ(x)=f(x)−g(x)=e x−1−2lnx−(x−2)3+4x−6(x>3)，则ℎ′(x)=e x−1−2x−3(x−2)2+4，设p(x)=ℎ′(x),p′(x)=e x−1+2x2−6(x−2)，设q(x)=p′(x),q′(x)=e x−1−4x3−6，易知q′(x)在(3,+∞)上单调递增，则q′(x)>q′(3)=e2−427−6>0，则q(x)在(3,+∞)上单调递增，从而p′(x)>p′(3)=e2+29−6>0，则ℎ′(x)在(3,+∞)上单调递增，所以ℎ′(x)>ℎ′(3)=e2+13>0，则ℎ(x)在(3,+∞)上单调递增，于是ℎ(x)>ℎ(3)=e2+5−2ln3>0，故当x>3时，f(x)≥(x−2)3−3(x−2)；综上，f(x)≥(x−2)3−3(x−2)．【解析】(1)求导，令f′(x)<0，求得单调减区间，令f′(x)>0，求得单调增区间；(2)当0<x≤3时，易得f(x)≥(x−2)3−3(x−2)，当x>3时，通过多次求导，进而判断函数单调性，由此求得最值，由此即可得证．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，多次求导进而判断函数单调性，进一步求得最值是证明的关键，属于中档题目．22.【答案】解：(1)曲线C 1：x 2+y 2=1经过伸缩变换{x′=2x y′=y 后得到曲线C 2为：x 24+y 2=1，转换为参数方程为{x =2cosθy =sinθ(θ为参数)．直线l 的极坐标方程为：ρsin(θ+π4)=−2√2，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为x +y −4=0．(2)设曲线C 2上的点P(2cosθ,sinθ)， 所以点P 到直线l 的距离d =√12+12=√5cos(θ−α)−4|√2=12)， 当cos(θ−α)=1时，即θ=α+2kπ(k ∈Z)时，d min =√5√2=4√2−√102， 即点P(4√55,√55).【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用点到直线的距离公式和三角函数的关系式的变换和在余弦型函数性质的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数的关系式的变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】(Ⅰ)解：f(x)=|x −2|+|3x −4|={4x −6,x ≥22x −2,43<x <2−4x +6,x ≤43, ∵f(x)>5x ，故当x ≥2时，4x −6>5x ，解得：x <−6，不等式无解， 当43<x <2时，2x −2>5x ，解得：x <−23，不等式无解， 当x ≤43时，−4x +6>5x ，解得：x <23，不等式的解集是x <23， 综上，不等式的解集是(−∞,23)；(Ⅱ)证明：结合(Ⅰ)易得f(x)min =23，故m =23， ∴2a +3b =2， 故a 2222−2a 2第21页，共21页 =139a 2−89a +49=139(a −413)2+413≥413， 当且仅当a =413，b =613时取“=”，故a 2+b 2≥413．【解析】本题考查了绝对值不等式，考查解不等式以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题． (Ⅰ)求出f(x)的分段函数的形式，解各个区间上的不等式的解集，取并集即可；(Ⅱ)求出m 的值，根据基本不等式的性质证明即可．。

2021年黑龙江省大庆市铁人中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，3，5}，B＝{x|x＞3或x＜1}R B）∩A＝（）A．{﹣1，0，5}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{1，3}2．（5分）复数（其中i为虚数单位），则的实部和虚部的和为（）A．2B．C．D．3．（5分）正五边形的对角线构成的图形是一个非常优美的几何图形，它与黄金分割有着密切的联系，正五边形ABCDE的对角线构成的图形如图所示（）A．B．C．D．4．（5分）甲、乙、丙、丁四位扶贫干部，要下派到A，B，C三个贫困村进行扶贫工作，每村至少一人，由于A村情况特殊，则甲派到A村的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）某公司2019年1月至7月空调销售完成情况如图，如7月份销售量是190台，若月份为x，由统计数据（x i，y i）（i＝1，2，⋅⋅⋅，7）得到散点图，下面四个回归方程类型中最适合作为销售量y和月份x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx6．（5分）已知正数a，b满足，则＝（）A．1B．2C．3D．47．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出y＝4，则输入的x为（）A．﹣B．4C．2﹣D．2+8．（5分）已知点P（6，0），点A（1，1），动点C满足（O为坐标原点）（）A．y＝2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．D．9．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），，，f（x）在内有相邻两个最值点，则ω的最小正整数值为（）A．5B．7C．9D．1010．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，前n项积为T n，且，．若b n＝﹣log2T n，则数列的前n项和A n为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，以坐标原点O为圆心，以|F1F2|为直径的圆交双曲线右支上一点M，，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．B．1＜e≤2C．D．1＜e＜3 12．（5分）已知四面体ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，H是BD的中点，CH⊥BD，则四面体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设x，y满足约束条件则的最大值为．14．（5分）已知向量，，若，则的最小值为．15．（5分）曲线f（x）＝e x﹣xlnx+2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为．16．（5分）设正项数列{a n}，已知，记b n＝log2a2n﹣1+log2a2n，则数列{（﹣1）n b n}的前10项和为．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．（12分）开学初学校进行了一次摸底考试，物理老师为了了解自己所教的班级参加本次考试的物理成绩的情况，从参考的本班同学中随机抽取n名学生的物理成绩（满分100分），将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的学生中成绩在[50（1）求n的值，并估计本班参考学生的平均成绩；（2）已知抽取的n名参考学生中，在[90，100]的人中，现从[90，100]的人中随机抽取2人参加物理竞赛18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a（1+cos B）（2﹣cos A）．（1）求角B的最大值；（2）若B取（1）中最大值，a＞1，，求a的值．19．（12分）在如图所示的斜三棱柱中，AA1B1B是正方形，且点C1在平面AA1B1B上的投影恰是AB的中点H，M是B1C1的中点．（1）判断HM与平面CAA1C1的位置关系，并证明你的结论．（2）若，AB＝2，求三棱锥H﹣C1A1B1的体积．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，|F1F2|＝2，离心率e为．（1）求椭圆C的标准方程．（2）C的左顶点为A，过右焦点F2的直线l交椭圆C于D，E两点，记直线l，AE的斜率分别为k，k1，k2，求证：．21．（12分）已知f（x）＝e x﹣ax+b，a，b∈R．（1）若b＝2a，讨论f（x）的零点个数．（2）若f（x）≥1恒成立，求a+b的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度）1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数），两条曲线相交于A，B两点．（1）求A，B两点的直角坐标；（2）根据变换公式由曲线C1变换得到曲线C3，设点P是曲线C3上的一个动点，求△P AB的面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝3﹣|x+a|﹣|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围．2021年黑龙江省大庆市铁人中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，3，5}，B＝{x|x＞3或x＜1}R B）∩A＝（）A．{﹣1，0，5}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{1，3}【分析】根据补集和交集的定义，计算即可．【解答】解：集合A＝{﹣1，0，6，3，5}，则∁R B＝{x|4≤x≤3}，所以（∁R B）∩A＝{1，4}．故选：D．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2．（5分）复数（其中i为虚数单位），则的实部和虚部的和为（）A．2B．C．D．【分析】根据复数的运算法则和共轭复数以及复数的定义即可求出．【解答】解：由复数，＝﹣i，则．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数，属于基础题．3．（5分）正五边形的对角线构成的图形是一个非常优美的几何图形，它与黄金分割有着密切的联系，正五边形ABCDE的对角线构成的图形如图所示（）A．B．C．D．【分析】由正五边形的对称性、三角形外角的性质及三角形内角和即可求解∠A，从而判断选项A；在△APT中，取AP＝1，PT＝x，过P点作∠APT的平分线交AT于点M，利用相似即可求解x的值，从而即可判断选项B，C，D．【解答】解：由正五边形的对称性可知∠ATP＝∠APT，且∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，又由三角形外角的性质得∠ATP＝∠B+∠D，∠APT＝∠C+∠E，所以∠A+∠ATP+∠APT＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝π，所以，故A错；在△APT中，取AP＝1，如图，过P点作∠APT的平分线交AT于点M，则，所以，所以AM＝PM＝PT＝x，则MT＝1﹣x．易得△APT∽△PMT，所以，即，即x2+x﹣8＝0，解得，所以．故C正确；，故B错；，故D错．故选：C．【点评】本题主要考查三角形中的几何计算，熟练掌握三角形的性质是解题的关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．4．（5分）甲、乙、丙、丁四位扶贫干部，要下派到A，B，C三个贫困村进行扶贫工作，每村至少一人，由于A村情况特殊，则甲派到A村的概率为（）A．B．C．D．【分析】先列出所有事件，再找出符合题意的事件，求出概率．【解答】解：甲、乙、丙、丁四位扶贫干部，B，C三个贫困村进行扶贫工作的所有情形．∴A村去两名干部共12种情形，其中，由古典概型的概率公式得所求概率为，故选：A．【点评】本题考查概率，可利用树状图，属于基础题．5．（5分）某公司2019年1月至7月空调销售完成情况如图，如7月份销售量是190台，若月份为x，由统计数据（x i，y i）（i＝1，2，⋅⋅⋅，7）得到散点图，下面四个回归方程类型中最适合作为销售量y和月份x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx【分析】根据已知条件，结合散点图分布在一个二次函数的图像附近，即可求解．【解答】解：由散点图分布可知，散点图分布在一个二次函数的图像附近，因此最适合作为销售量y和月份x的回归方程类型的是y＝a+bx2．故选：B．【点评】本题考查了回归方程的类型，考查数形结合思想，属于基础题．6．（5分）已知正数a，b满足，则＝（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用对数的运算性质，求出a，b的值，再计算即可．【解答】解：因为，所以a＝16，b＝3，所以．故选：D．【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出y＝4，则输入的x为（）A．﹣B．4C．2﹣D．2+【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：框图显示的算法函数为，∵y＝4，又∵当x≥5时，f（x）＝（x﹣2）2+3，∴（x﹣2）2+6＝4，解得x＝（舍去），故x＝．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．（5分）已知点P（6，0），点A（1，1），动点C满足（O为坐标原点）（）A．y＝2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．D．【分析】设C（x，y），由向量数量积的坐标表示可得C的轨迹方程，根据两直线垂直的条件和直线的点斜式方程可得所求直线的方程．【解答】解：设C（x，y），由，可得（x，y）•（x﹣64＝0，即x2+y8﹣6x＝0，即（x﹣8）2+y2＝3，则动点C的轨迹曲线为圆，圆心为D（3．又点A（1，5）在圆内，，所以最短弦所在直线的斜率为2，所以所求直线方程为y﹣1＝3（x﹣1），即y＝2x﹣6．另解：运用排除法，因为直线经过点A（1，而选项B，C，D表示的直线都不经过点A，C，D．故选：A．【点评】本题考查轨迹方程的求法，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．9．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），，，f（x）在内有相邻两个最值点，则ω的最小正整数值为（）A．5B．7C．9D．10【分析】由f（0）＝，结合已知及“五点作图法”可求得φ的值，由f（）＝0，结合条件可得，再求出ω的最小正整数值．【解答】解：因为，结合已知，由“五点作图法”知，又因为7＜φ＜π，所以，所以．因为，所以，k∈Z，k∈Z．又因为，所以ω＞6，所以当k＝3时，ω的最小正整数值为9．故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，三角函数的最值问题，考查运算求解能力，属于中档题．10．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，前n项积为T n，且，．若b n＝﹣log2T n，则数列的前n项和A n为（）A．B．C．D．【分析】由递推关系式可得数列{a n}是首项为，公比为的等比数列，从而可求得a n，进而求得b n，由裂项求和公式即可求得A n．【解答】解：因为，所以＝，即，所以S5＝2a2，所以．所以，整理得．又因为，，所以数列{a n}是首项为，公比为，所以，所以＝，所以．所以．故选：A．【点评】本题主要考查递推关系式，数列的求和，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．11．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，以坐标原点O为圆心，以|F1F2|为直径的圆交双曲线右支上一点M，，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．B．1＜e≤2C．D．1＜e＜3【分析】设∠MF2F1＝θ，则r1＝2c sinθ，r2＝2c cosθ，可得2a＝r1﹣r2＝2c（sinθ﹣cosθ），，利用三角函数知识求解．【解答】解：设∠MF2F1＝θ，则r4＝2c sinθ，r2＝2c cosθ，∴2a＝r1﹣r4＝2c（sinθ﹣cosθ），∴，∴＝＝＝，∴．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12．（5分）已知四面体ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，H是BD的中点，CH⊥BD，则四面体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【分析】四面体ABCD的外接球为球O，连接OH，OA，设球的半径为R，则R2﹣OH2＝1，在△AHO中，由余弦定理求出R，然后由球的表面积公式求解即可．【解答】解：如图，四面体ABCD的外接球为球O，OA，因为∠BCD＝90°，则BD为△BDC所在小圆的直径，又因为∠BAD＝60°，且AB＝AD＝2，又H是BD的中点，所以，又因为∠AHC＝120°，则∠AHO＝150°或30°，设球的半径为R，则R2﹣OH2＝1，在△AHO中，由余弦定理可知，，则（不合题意，又，则，则，解得，所以球的表面积为．故选：D．【点评】本题考查了空间多面体的外接球问题，球的表面积公式的应用，求解多面体的外接球半径的常用方法为：①补形法；②利用球的性质；③定义法，考查了逻辑推理能力、空间想象能力、化简运算能力，属于中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设x，y满足约束条件则的最大值为3．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内动点与定点A（1，3）连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件画出可行域如图阴影部分所示，的几何意义为可行域内动点与定点A（6，3）连线的斜率，由图可知，点O（0，5）连线斜率最大．故答案为：3．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14．（5分）已知向量，，若，则的最小值为﹣1．【分析】设，根据平面向量数量积的坐标运算法则，推出（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1，再结合圆的标准方程，即可得解．【解答】解：设，由•＝02＝7，整理得（x﹣3）2+（y﹣3）2＝1，所以点（x，y）的轨迹是以M（7，1为半径的圆，而|OM|＝＝，所以|≥，所以|的最小值为．故答案为：﹣8．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量数量积的坐标运算法则，以及圆的标准方程是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．15．（5分）曲线f（x）＝e x﹣xlnx+2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为．【分析】先利用导数求出切线方程，然后分别求出切线与x，y轴的交点，利用面积公式即可求出结果．【解答】解析：因为f'（x）＝e x﹣lnx﹣1，所以f'（1）＝e﹣1，故曲线y＝f（x）在x＝7处的切线方程为y﹣（e+2）＝（e﹣1）（x﹣4），解得切线分别交两坐标轴于点A（0，3），，所以．故答案为：．【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，属于基础题．16．（5分）设正项数列{a n}，已知，记b n＝log2a2n﹣1+log2a2n，则数列{（﹣1）n b n}的前10项和为10．【分析】由递推关系式可得数列{a n}的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，从而可得，，进而求出b n，计算可求得数列{（﹣1）n b n}的前10项和．【解答】解：∵，∴当n＞8时，．两式相除可得a n+1＝2a n﹣3，∴数列{a n}的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，∴，，∴，则，则{（﹣1）n b n}的前10项和S10＝﹣1+5﹣5+7﹣4+11﹣13+15﹣17+19＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．（12分）开学初学校进行了一次摸底考试，物理老师为了了解自己所教的班级参加本次考试的物理成绩的情况，从参考的本班同学中随机抽取n名学生的物理成绩（满分100分），将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的学生中成绩在[50（1）求n的值，并估计本班参考学生的平均成绩；（2）已知抽取的n名参考学生中，在[90，100]的人中，现从[90，100]的人中随机抽取2人参加物理竞赛【分析】（1）根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，以及平均数公式，即可求解．（2）根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．【解答】解：（1）由频率分布直方图知，成绩在[50，因为成绩在[50，60）内的频数为3，所以抽取的样本容量，所以参考学生的平均成绩为55×0.075+65×0.3+75×0.4+85×8.125+95×0.1＝73.75（分）．（2）由频率分布直方图知，抽取的学生中成绩在[90，因为有甲、乙两名女生，用A，B表示两名男生，甲A，乙A，AB，其中女学生甲被抽到的情况共2种，所以随机抽取2人参加物理竞赛，其中女学生甲被抽到的概率为．【点评】本题主要考查了频率分布直方图的性质，以及古典概型的概率公式，属于基础题．18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a（1+cos B）（2﹣cos A）．（1）求角B的最大值；（2）若B取（1）中最大值，a＞1，，求a的值．【分析】（1）利用余弦定理化简已知等式可得2b＝a+c，进而根据余弦定理，基本不等式可求cos B≥，结合范围B∈（0，π），可求B的最大值．（2）由（1）及余弦定理可求，记△ABC的周长为l，利用基本不等式即可求解．【解答】解：（1）∵a（1+cos B）＝b（2﹣cos A），∴，∴2b＝a+c，∴＝．又∵a2+c4≥2ac，则，即．又∵B∈（0，π），∴B的最大值为．（2）由（1）可知，，则．又a＞1，∴．记△ABC的周长为l，则＝，当且仅当，即当或（不合题意，∴当△ABC的周长最小时，a的值为．【点评】本题主要考查了余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（12分）在如图所示的斜三棱柱中，AA1B1B是正方形，且点C1在平面AA1B1B上的投影恰是AB的中点H，M是B1C1的中点．（1）判断HM与平面CAA1C1的位置关系，并证明你的结论．（2）若，AB＝2，求三棱锥H﹣C1A1B1的体积．【分析】（1）根据题意，取C1A1的中点N，连接NM，AN，分析可得HM∥AN，由线面平行的判定定理可得结论；（2）因为三棱锥H﹣C1A1B1的体积等于三棱锥C1﹣HA1B1的体积，据此计算可得答案．【解答】解：（1）HM∥平面CAA1C1．证明如下：取C5A1的中点N，连接NM．因为点M是B1C2的中点，所以MN∥A1B1，且，又因为AA1B1B是正方形，所以AH∥A3B1，，所以AH∥MN，AH＝MN，所以四边形ANMH为平行四边形．所以HM∥AN．因为AN⊂平面CAA4C1，HM⊄平面CAA1C8，所以HM∥平面CAA1C1．（2）因为三棱锥H﹣C8A1B1的体积等于三棱锥C5﹣HA1B1的体积，所以．【点评】本题考查直线与平面平行的判断，涉及三棱锥的体积计算，属于基础题．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，|F1F2|＝2，离心率e为．（1）求椭圆C的标准方程．（2）C的左顶点为A，过右焦点F2的直线l交椭圆C于D，E两点，记直线l，AE的斜率分别为k，k1，k2，求证：．【分析】（1）由|F1F2|＝2，离心率e为求出a，c的值，再利用a2＝b2+c2求出b的值，从而得到椭圆C的标准方程．（2）由题意知，A（﹣2，0），F2（1，0），直线DE的解析式为y＝k（x﹣1），与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，代入k（k1+k2）＝，可得k（k1+k2）＝﹣1，又因为，所以．【解答】（1）解：因为|F1F2|＝5，所以c＝1．又因为离心率，所以a＝2，则，所以椭圆C的标准方程是．（2）证明：由题意知，A（﹣2，F6（1，0），则直线DE的解析式为y＝k（x﹣4），代入椭圆方程，得（6+4k2）x6﹣8k2x+5k2﹣12＝0．设D（x7，y1），E（x2，y6），则．所以＝＝＝，又因为，所以．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的计算能力，是中档题．21．（12分）已知f（x）＝e x﹣ax+b，a，b∈R．（1）若b＝2a，讨论f（x）的零点个数．（2）若f（x）≥1恒成立，求a+b的取值范围．【分析】（1）当b＝2a，求导，根据导数与函数单调性的关系及函数零点存在定理，即可判断函数f（x）的零点的个数；（2）根据题意，分类讨论，由f（x）≥1恒成立，则只需要f（x）min≥1，因此可求得a+b 的取值范围．【解答】解：（1）b＝2a，所以f（x）＝e x﹣ax+b＝e x﹣ax+2a，所以f'（x）＝e x﹣a．当a＝3时，f'（x）＝e x＞0，f（x）＝e x＞0，无零点，当a＜4时，f'（x）＞0恒成立，且f（1）＝e＞0，，由函数零点存在定理可在，f（x）只有1个零点．当a＞2时，令f'（x）＝e x﹣a＝0，解得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，函数f（x）单调递减，f（x）→+∞．当x∈（lna，+∞）时，函数f（x）单调递增，f（x）→+∞．所以f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna+2a＝4a﹣alna，若①3a﹣alna＞0，即6＜a＜e3时无零点，②3a﹣alna＝6，即a＝e3时有一个零点，③3a﹣alna＜2，即a＞e3时有两个零点．综上可知，当0≤a＜e6时，f（x）无零点；当a＜0或a＝e3时，f（x）有8个零点；当a＞e3时，f（x）有2个零点．（2）由（1）知当a＜6时，f（x）≥1不恒成立．当a＝0时，f（x）＝e x+b≥4恒成立，则b≥1，+∞）．当a＞0时，f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna+b，因为f（x）≥7恒成立，所以a﹣alna+b≥1．所以a+b≥1+alna．设h（a）＝4+alna（a＞0），则h'（a）＝1+lna．令h'（a）＝6，解得．当a变化时，h'（a）ah'（a）﹣3+h（a）↘↗此时a+b的取值范围为．所以a+b的取值范围为．【点评】本题考查导数的综合应用，利用导数判断函数的单调性与最值，函数零点的存在定理，函数零点个数的判断，考查分类讨论思想，属于难题．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度）1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数），两条曲线相交于A，B两点．（1）求A，B两点的直角坐标；（2）根据变换公式由曲线C1变换得到曲线C3，设点P是曲线C3上的一个动点，求△P AB的面积的最小值．【分析】（1）先化成普通方程，再联立求交点，（2）先根据变换求出C3，再求面积．【解答】解：（1）由ρ＝4cosθ，得ρ2＝8ρcosθ．又ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，所以x2+y2＝3x．由（t为参数），由解得或所以A（3，﹣2），0）或A（5，B（2．（2）由（1）知，根据变换公式由曲线C1变换得到曲线C3，则，即曲线C6的方程为．设点P（2cosφ，sinφ）＝＝（其中，），故当sin（α﹣φ）＝1时，d取得最小值，且，因此，当点P到直线AB的距离最小时，所以△P AB的面积的最小值为．【点评】本题考查方程转化，以及曲线变换，面积，属于难题．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝3﹣|x+a|﹣|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据题意可得，|x+1|+|x﹣1|≤3，两边同时平方，即可求解．（2）令x+a＝0，则x＝﹣a，令x﹣1＝0，则x＝1，若f（x）≤1恒成立，即|x+a|+|x﹣1|≥2恒成立，所以|1+a|≥2，解出a，即可求解．【解答】解：（1）当a＝1时，若f（x）≥0则|x+7|+|x﹣1|≤3，∵（x+2）2+（x﹣1）2+2|x+1||x﹣8|≤9，∴，即，解得，故不等式f（x）≥0的解集为．（2）令x+a＝7，则x＝﹣a，则x＝1，若f（x）≤1恒成立，即|x+a|+|x﹣8|≥2恒成立，所以|1+a|≥7，解得a≤﹣3或a≥1，故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣7]∪[1．+∞）【点评】本题考查了绝对值不等式的求解，以及函数恒成立问题，需要学生较强的综合能力，属于中档题．。

C , b
c
A, c
B, c
C, c
则两名患者选择药方完全不同的情况有 C16C14 24 (种)，两名患者可选择的药方共有 C19C16 54 (种)，所以
P 24 4 ，故答案为 4 ．
54 9
9
16． 33 2 【解析】设直线 l 与函数 f (x) 及 g(x) 的图象分别相切于 A(m, 1 )(m 0) ， B(n, n2 a) ，
如图所示.因为正方形 ABCD 的边长为 2 ，所以 CH 1, SC 2, SH 1，所以 H ,O 重合，即四棱锥的外接球
的半径为 R 1 ，所以四棱锥的外接球的表面积为 S 4πR2 4π .故选 D．
12．C 【解析】设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，直线 AB 的方程为 x my 4 ，与 y2 4x 联立得 y2 4my 16 0 ，
涨幅最大的是 2020 年 1 月，环比涨幅最大的也是 2020 年 1 月，故 C 正确；环比跌幅最大的是 2019 年 3 月，
同比涨幅最小的是 2019 年 2 月，故 D 错误，故选 D．
x 2y 2 0 5．B【解析】作出不等式组 2x y 2 0 表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设 z 2x y ，则 y 2x z ，
铁人中学 2021 年高考模拟试题（理科数学） 全解全析
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
D
B
D
B
A
A
B
C
B
D
C
1．C 【解析】因为 A {x | 2 x 0} {x | x 2} ，B {x Z | y ln(x 1)} {x Z | x 1} ，所以 A B {0,1, 2} .

2021年黑龙江省大庆铁人中学高三第一阶段考试文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{0,1,2}A =，2{|320}B x x x =-+≤，则A B =（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,2}2．设:|43|1P x -≤；2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，若┑p 是┑q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1[0,]2 B ．1(0,)2 C ．1(,0][,)2-∞+∞ D ．1(,0)(,)2-∞+∞ 3．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A．B ．C ．4D ．24．角α的终边过点(1,2)P -，则sin α等于（ ）A．5 B ．5 C．5-．5- 5．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-6．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A ．3B ．2C ．-2D ．-37．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．53-或53B ．35或32C ．23-或23D ．43-或34-8．若函数2)1(log )(223++++=x x b ax x f 在)0,(-∞上有最小值－5，（a ，b 为常数），则函数)(x f 在),0(+∞上（ ）A ．有最大值9B ．有最小值5C ．有最大值3D ．有最大值59．已知函数2()3f x x ax b =++- （x ∈R ）图象恒过点（2,0），则22a b +的最小值为（ ）A ．5B ．15 C ．4 D ．1410．已知函数2()f x ax bx c =++，且a b c >>，0a b c ++=，集合{|()0}A x f x =<，则下列结论中正确的是（ ） A ．任意x A ∈，都有(3)0f x +> B ．任意x A ∈，都有(3)0f x +< C ．存在x A ∈，都有(3)0f x +=D ．存在x A ∈，都有(3)0f x +<11．设函数()(sin cos )x f x e x x =-(02015)x π≤≤，则函数()f x 的各极大值之和为（ ）A ．220152(1)1e e e πππ--B ．22015(1)1e e e πππ-- C ．2015211e e ππ-- D ．20162(1)1e e e πππ--12．当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- [来二、填空题13．已知2,2()(2),2x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则2(log 7)f =________．14．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，并且1(2)()f x f x +=-，当23x ≤≤时，()f x x =，则(105.5)f =______．15．设1<x<2，则ln x x ，（ln x x）2，22ln x x 的大小关系是__________________．（用“<”连接）16．已知()xf x xe =，2()(1)g x x a =-++，若12,x x R ∃∈，使得21()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是____________．三、解答题17．（本小题满分12分）已知ABC ∆中, 角C B A ,,对边分别为c b a ,,,已知3,2π==C c ．（1）若ABC ∆的面积等于3,求b a ,（2）若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+,求ABC ∆的面积．[来源18．（本小题满分12分）关于x 的二次方程2(1)10x m x +-+=在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．19．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，4AB =，2BC CD ==，12AA =，1,,E E F 分别是棱1,,AD AA AB 的中点．（1）证明：直线1//EE 平面1FCC ； （2）求二面角1B FC C --的余弦值．20．（本小题满分12分）抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．（1）若2AF FB =，求直线AB 的斜率；（2）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．21．（本小题满分12分）已知曲线2()(1)ln (,)y f x a x b x a b R ==-+∈在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1．（1）若函数f （x ）的图象在[)2,+∞上为减函数，求a 的取值范围； （2）当[)1,x ∈+∞时，不等式()1f x x ≤-恒成立，求a 的取值范围． 22．（本小题满分12分）设函数()2()1.x f x x e ax =--（1）若1,2a =求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围．参考答案1．D 【解析】分析:先化简集合B,再求A∩B 得解.详解：由题得{|12}B x x =≤≤，所以{}1,2A B ⋂=.故答案为D点睛：本题主要考查集合和集合的交集运算，意在考查学生集合基础知识的掌握能力.要注意集合A 和集合B 的交集是有限集，不要写成了不等式. 2．A 【解析】试题分析：∵:|43|1P x -≤，∴1:12P x ≤≤，∴1:12P x x ⌝><或；∵2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，∴:1q a x a ≤≤+，∴:1q x a x a ⌝>+<或，又∵┑p 是┑q 的必要不充分条件，即q p ⌝⇒⌝，而p ⌝推不出q ⌝，∴1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，∴102a ≤≤． 考点：命题的否定、必要条件、充分条件、充要条件的判断． 3．C 【分析】首先解方程确定积分上限和积分下限，然后利用定积分可得封闭图形的面积. 【详解】解方程34x x =可得：1232,0,2x x x =-==，求解第一象限内围成的封闭图形的面积，则积分上限为2，积分下限为0， 利用定积分求解面积的方法可得所求面积的值为：()2324200142|8444S x x dx x x ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰.故选C . 【点睛】本题主要考查定积分的应用，利用定积分求解封闭图形的面积的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．B 【解析】试题分析：∵角α的终边过点(1,2)P -，∴||5r OP ==，∴25sin 55α==． 考点：任意角的三角函数的定义． 5．A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 6．B 【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域如图：则(2,0),(1,1)A B ，若z ax y =+过A 时取得最大值为4，则24a =，解得2a =，此时目标函数2z x y =+，即2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，当直线经过(2,0)A 时，截距最大，此时z 最大为4，满足条件，若z ax y =+过B 时取得最大值为4，则14a +=，解得3a =，此时，目标函数为3z x y =+，即3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，当直线经过(2,0)A 时，截距最大，此时z 最大为-6，不满足条件，故2a =． 考点：线性规划． 7．D 【详解】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3-，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线方程为：()32y k x +=-，即：230kx y k ---=. 又因为光线与圆相切，()()22321x y ++-=2322311k k k ----=+,整理：21225120k k ++=，解得：43k =-，或34k =-,故选D ．考点：1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系. 8．A 【解析】试题分析：令322()log (1)g x ax b x x =++，其定义域为R ，又322()()log (()1)g x a x b x x -=-+--+322[log (1)]()ax b x x g x =-++=-，∴函数()g x 是奇函数，根据题意，2)1(log )(223++++=x x b ax x f 在)0,(-∞上有最小值－5，∴函数()g x 在)0,(-∞上有最小值-7，由函数()g x 在(0,)+∞上有最大值7，∴()()2f x g x =+在(0,)+∞上有最大值9．考点：函数的奇偶性、函数的最值．9．B 【解析】试题分析：把(2,0)代入二次函数解析式中得：4230a b ++-=，即21a b +=-，解得：12b a =--，则22222221(12)5415()55a b a a a a a +=+--=++=++，∴当21,55a b =-=-时，22a b +的最小值为15．考点：配方法求函数的最值． 10．A 【分析】由题意可得 0a >，且0c <，122c a -<<-，1x =为()f x 的一个零点，再由根与系数的关系可得，另一零点为c a．可得{|1}cA x x a =<<，31x +>，有(3)0f x +>恒成立，从而得出结论． 【详解】 解：函数2()f x ax bx c =++，且a b c >>，0a b c ++=，故有0a >，且0c <，02a a c a c ∴<++=+，即2ca>-，且02a c c a c >++=+， 即12c a <-，因此有122c a -<<-， 又(1)0f a b c =++=，故1x =为()f x 的一个零点， 由根与系数的关系可得，另一零点为0c a<，所以有：{|1}cA x x a =<<，所以，331cx a+>+>，所以有(3)0f x +>恒成立， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题． 11．D 【解析】 试题分析：∵函数()(sin cos )x f x e x x =-，∴'''()()(sin cos )(sin cos )2sin x x x f x e x x e x x e x =-+-=，∴(2,2)x k k πππ∈+时原函数递增，(2,22)x k k ππππ∈++时，函数递减，故当2x k ππ=+时，()f x 取极大值，其极大值为22(2)[sin(2)cos(2)]k k f k e k k e ππππππππππ+++=+-+=，又02015x π≤≤，∴函数()f x 的各极大值之和为21008201635201522(1())(1)11e e e e S e e e ee eππππππππππ--=++++==--． 考点：利用导数研究函数的单调性、函数的极值、等比数列的前n 项和公式． 12．C 【解析】试题分析：当0x =时，不等式32430ax x x -++≥对任意a R ∈恒成立； 当01x <≤时，32430ax x x -++≥可化为23143a x x x ≥--，令23143()f x x x x=--，则'2344189(9)(1)()+=x x f x x x x x-+=-+-（*），当01x <≤时，'()0f x >，()f x 在(0,1]上单调递增，max ()(1)6f x f ==-，∴6a ≥-； 当20x -≤<时，32430ax x x -++≥可化为23143a x x x ≤--，由（*）式可知，当21x -≤<-时，'()0f x <，()f x 单调递减，当10x -<<时，'()0f x >，()f x 单调递增，min ()(1)2f x f =-=-， ∴2a ≤-；综上所述，实数a 的取值范围是62a -≤≤-． 考点：函数恒成立问题、不等式的解法． 13．74【解析】试题分析：27log 422277(log 7)(log 72)(log )244f f f =-===．考点：分段函数的函数值．14．2．5 【解析】试题分析：∵1(2)()f x f x +=-，∴1(4)()(2)f x f x f x +=-=+，∴函数是周期为4的周期函数，∴(105.5)(426 1.5)(1.5)f f f =⨯+=，又(1.5)(1.54)( 2.5)f f f =-=-，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，∴( 2.5)(2.5)f f -=，∵当23x ≤≤时，()f x x =，∴(2.5) 2.5f =，则(105.5)(2.5) 2.5f f ==． 考点：函数的周期性、奇偶性．15．222ln ln ln x x x x x x <<⎪⎭⎫⎝⎛ 【解析】试题分析:令x x y ln =，则2ln 1x xy -='；∵21<<x ，∴1ln 2ln ln 1ln 0=<<<=e x ，∴0ln 1>-x ，∴0>'y ，∴x x y ln =在()2,1上为增函数，∴12122ln ln 11ln 0<<<<=x x ，∴x xx x ln ln 2<⎪⎭⎫ ⎝⎛，∵()2222ln 2ln ln 2ln ln x x x x x x x x x x x -=-=-，∵21<<x ，∴02>-x ，1ln 0<<x ，∴0ln ln 22>-x x x x ，即xxx x ln ln 22>，综上所述：答案为222ln ln ln x x x x x x <<⎪⎭⎫⎝⎛. 考点：不等式比较大小. 16．1[,)e-+∞ 【解析】试题分析：12,x x R ∃∈，使得21()()f x g x ≤成立，等价于min max ()()f x g x ≤，'()(1)x x x f x e xe x e =+=+，当1x <-时，'()0f x <，()f x 递减，当1x >-时，'()0f x >，()f x 递增，∴当1x =-时，()f x 取得最小值，min 1()(1)f x f e =-=-；当1x =-时，()g x 取得最大值为max ()(1)g x g a =-=，∴1a e -≤，即实数a 的取值范围是1a e≥-． 考点：利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值．17．（1）2,2a b ==；（2）S =【解析】试题分析：本题主要考查余弦定理、三角形面积公式、两角和与差的正弦公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-的式子，代入题中的数据化简得224ab a b =+-，而ABC ∆的面积等于1sin 2ab C =4ab =，两式联立解方程组得出a 和b 的值；第二问，先利用两角和与差的正弦公式将已知表达式展开，合并同类项，得出cos (sin 2sin )0A B A -=，得到cos 0A =或sin 2sin 0B A -=，分别解方程得出边长和角的值，再求三角形的面积．试题解析：（1）∵2222cos c a b ab C =+-，3,2π==C c ，∴224ab a b =+-，①∵ABC ∆的面积等于3,∴1sin 2S ab C ∆==，∴4ab =，②， ∴①②结合解得：2,2a b ==．（2）∵A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，∴cos (sin 2sin )0A B A -=，∴cos 0A =或sin 2sin 0B A -=，∴090A =或2b a =，当090A =时，b =，S =当2b a =且224ab a b =+-时，243a =，∴S =∴3S =．考点：余弦定理、三角形面积公式、两角和与差的正弦公式．18．(,1]-∞-【解析】试题分析：本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．先对关于x 的一元二次方程2(1)10x m x +-+=在区间[0,2]上有解分有一解和两解两种情况进行讨论，再对每一种情况分别求对应的m 的取值范围，最后综合即可．试题解析：解法一 设2()(1)1f x x m x =+-+，[0,2]x ∈，①若()0f x =在区间[0,2]上有一解，∵(0)10f =>，则应有(2)0f <，又∵2(2)2(1)21f m =+-⨯+，∴32m <-． ②若()0f x =在区间[0,2]上有两解，则 01022(2)0m f ∆≥⎧⎪-⎪<-<⎨⎪≥⎪⎩，∴2(1)40314(1)210m m m ⎧--≥⎪-<<⎨⎪+-⨯+≥⎩，∴313132m m m m ⎧⎪≥≤-⎪-<<⎨⎪⎪≥-⎩或，∴312m -≤≤-． 由①②可知m 的取值范围是(,1]-∞-．方法二 显然0x =不是方程2(1)10x m x +-+=的解， 02x <≤时，方程可变形为11m x x -=+，又∵1y x x =+在(0,1]上单调递减，[1,2]上单调递增， ∴1y x x=+在(0,2]的取值范围是[2,)+∞，∴12m -≥，∴1m ≤-， 故m 的取值范围是(,1]-∞-．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．19．（1）证明详见解析；（2． 【解析】试题分析：本题主要考查直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定、二面角的求法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力．第一问，主要借助辅助线在1FCC 平面构造出与1EE 平行的直线，借助AD 构造对称的1C F 与1EE ，证明出线面平行；第二问，二面角的求解分为两步：首先通过已知的线线垂直，证明线面垂直，从而证明出BGH ∠为所求二面角的平面角，再在三角形中解出BGH ∠的余弦值．试题解析：（1）证：取11A B 的中点1F ，连接1FF ，11C F ，由于111////FF BB CC ，所以1F ∈平面1FCC ，因此平面1FCC ，即为平面11C CFF ， 连接1A D ，1F C ，由于1111////A F D C CD ，所以四边形11A DCF 为平行四边形，因此11//A D F C ．又11//EE A D ，得11//EE F C ，而1EE ⊄平面1FCC ，1F C ⊂平面1FCC ，故1//EE 平面1FCC ．（2）取FC 的中点H ，由于FC BC FB ==，所以BH FC ⊥．又1BH CC ⊥，所以BH ⊥平面1FCC ． 过H 作1HG C F ⊥于G ，连接BG ．由于1HG C F ⊥，BH ⊥平面1FCC ，所以1C F BHG ⊥面，因此1BG C F ⊥，所以BGH ∠为所求二面角的平面角，在Rt BHG ∆中，3BH =，又FH ＝1，且1FCC ∆为等腰直角三角形，所以22HG =，114322BG =+=，因此272cos 714GH BGH BG ∠===，即所求二面角的余弦值为77．考点：直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定、二面角的求法．20．（1）22±；（2）面积最小值是4．【解析】试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，依题意F （1,0），设直线AB 的方程为1x my =+．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，得2440y my --=，由此能够求出直线AB 的斜率；第二问，由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2AOB S ∆，由此能求出四边形OACB 的面积的最小值．试题解析：（1）依题意知F （1,0），设直线AB 的方程为1x my =+．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得2440y my --=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以124y y m +=，124y y =-．①因为2AF FB =，所以122y y =-．②联立①和②，消去12,y y ，得24m =±． 所以直线AB 的斜率是22±（2）由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2AOB S ∆． 因为22121212122||||()4412AOB S OF y y y y y y m ∆=⨯⋅⋅-=+-=+，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4．考点：抛物线的标准方程及其几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率．21．（1）1,4a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦；（2）(],0-∞． 【解析】试题分析：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的极值和最值、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，对()f x 求导，根据函数的单调性将函数f （x ）的图象在[)2,+∞上为减函数，转化为'()0f x ≤在[)2,+∞上恒成立，转化为'()f x 的最大值小于等于0成立即可；第二问，当[)1,x ∈+∞时，不等式()1f x x ≤-恒成立，转化为构造()()1g x f x x =-+在[)1,+∞上恒有()0g x ≤，再利用分类讨论的方法，利用()g x 最大值问题求解即可．试题解析：（1）因为'()2ax 2a b f x x =-+，由题可知'(1)1f b ==2()(1)ln f x a x x =-+，2'1221(x)2ax 2a ax ax f x x -+=-+=，2min 1112,,24a a x x ⎛⎫⎛⎤≤-=-∈-∞- ⎪ ⎥-⎝⎭⎝⎦ （2）令()()[)'2111()()1,()2ax 2a 1,1,ax x g x f x x g x x x x --=-+=-+-=∈+∞ 当20a ≤，即0a ≤，'()0g x ≤，()g x 在[)1,+∞上递减，则≤g(x)g(1)=0,符合． 当112a≤0<时，'()0,g(x)g x ≥在[)1,+∞递增，()(1)0g x g >=，矛盾， 当112a >时，111,a +>且11g(1)ln(1)0a a +=+>，矛盾， 综上a 的取值范围是(],0-∞．考点：利用导数求闭区间上函数的极值和最值、利用导数研究函数的单调性．22．（1）在(),1-∞-，()0,+∞单调增加，在（-1，0）单调递减；（2）(],1-∞．【解析】试题分析：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的极值和最值、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先对()f x 求导，再利用'()0f x >和'()0f x <判断函数的单调性；第二问，()(1)a f x x x ax =--，构造函数()1a g x x ax =--，分类讨论，先利用导数判断确定函数()g x 的单调性，再确定函数()g x 的正负，从而求出函数()f x 的正负，即可得到a 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）12a =时，21()(1)2x f x x e x =--， '()1(1)(1)x x x f x e xe x e x =-+-=-+。