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误差原理误差的传递与合成

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误差传递公式

误差传递公式

误差传递公式的推导设间接测得量N = f （X i ，X 2，X 3），式中X i , X 2, X 3均为彼此相互独立的直接测得量， 每 直接测得量为等精度多次测量，且只含随机误差，那么间接测得量 均值N 表示）为①算术合成法求误差传递公式绝对误差传递公式:相对误差传递公式:②方和根合成法求标准偏差传递公式标准偏差传递公式:相对偏差传递公式:4m2 ，其中 m 二m - m ， d 二d -， h = h - h ，求h 的平均值和 ■d h误差传递公式。

N 的最可信赖值（用平.X 1-XX 3：：ln"F lnf■X 21 2 3；讦 ■■■2S：：：ln fS ： +2fl.I2I %丿CX 3丿S 2X3CZ石 :z<Z cz 1 △a + — A b 十—A c = A a + A b 十一 A c 。

cc .:bL X 24m2 ■ 二d h对公式—两边取自然对数：：d h4In — In In m -21 nd -In h ,In r分别对各直接量求一阶偏导数：◎In P 1 £ln P 2 £ln P 1.:m m :d d；:h h得误差传递公式：1 - - -例3：已知“a ye,其中a=a_S a，b-bg，co S c，准偏差传递公式。

准偏差传递公式。

解:■ d h1 —— _例1 ：已知z = a • b c ,其中a = a _ . a，b = b - b，c = c - c，求z的平均值和3误差传递公式。

1 —解：平均值：z = a • b c ；3z分别对各直接量求一阶偏导数：「z _ ：z z 1——=1，——=1，——=，ca cb cc 3得误差传递公式：4In = In Inm -2Ind -1nh，n：£ln P _ 1 创n P __2 剖n P __1:m m ；:d d : h hAP；：In T.:m .:d：：In ?:d:h=-l ：m - . ：d - ：h。

误差传递公式

误差传递公式
。
例4：知 ，其中 ， ， ，求 的平均值和标准偏差传递公式。
解： ；
，
， ，
解：平均值： ；
分别对各直接量求一阶偏导数：
， ， ，
得误差传递公式：
。
例2：已知 ，其中 ， ， ，求 的平均值和误差传递公式。
解：平均值： ；
对公式 两边取自然对数：
，
分别对各直接量求一阶偏导数：
， ， ，
得误差传递公式：
。
例3：已知 ,其中 ， ， ，求 的平均值和标准偏差传递公式。
解： ；
， ， ，
误差传递公式的推导
设间接测得量 ，式中 均为彼此相互独立的直接测得量，每一直接测得量为等精度多次测量，且只含随机误差，那么间接测得量 的最可信赖值（用平均值 表示）为
①算术合成法求误差传递公式
绝对误差传递公式：
相对误差传递公式：
②方和根合成法求标准偏差传递公式
标准偏差传递公式：
相对偏差传递公式：
例1：已知 ,其中 ， ， ，求 的平均值和误差传递公式。

误差传递公式word精品

误差传递公式word精品

误差传递公式的推导设间接测得量N 二f (X i ,X 2,X 3),式中X i ,X 2,X 3均为彼此相互独立的直接测得量， 每 直接测得量为等精度多次测量，且只含随机误差，那么间接测得量 N 的最可信赖值(用平均值N 表示)为 N = f （X i ,X 2,X 3）①算术合成法求误差传递公式绝对误差传递公式:相对误差传递公式:②方和根合成法求标准偏差传递公式标准偏差传递公式:S N =相对偏差传递公式:2fl. I 2 I 0X2 丿1 — — —"“-丁，其中，b = b 「b ，-c 」c ，求z 的平均值和 误差传递公式。

1 - z = a b - c ； 3 ；z 分别对各直接量求一阶偏导数： 「z _ ：z z 1 1， 1， ca cbcc 3得误差传递公式： :f -X 2.:f.X 2-X 2例1 ：已知z解：平均值: △z =旦 A a + ca；blIn 「分别对各直接量求一阶偏导数:得误差传递公式: 1 - - -例 3：已知 z=a b c ,其中 a=a_S a , b = b_S b ，c=c_S c ,3准偏差传递公式。

准偏差传递公式。

解:■ d hIn Q = In In m -2In d -In h ，JI / In 「1 :In :2 -Tn 「 1 .:mm ；:d d ；:hh4m— 例2：已知2 ，其中m = m 二、：m ， d 二， h = h 二■■: h ，求h 的平均值和误差传递公式。

解：平均值：T 4m4m厂两边取自然对数: ：d h4 In Q = In In m - 2ln d 一 In h , .:m m：：In 2In .:d .:h：：ln ?.:m .:dIn . 1 . 2 . 1 . -h m d h 。

求z 的平均值和标 解：z 1 - =a b c ；3 ；—,J .a-z.:b S z 「A .A.：：Sc 二 S ； V [S i 。

第三章 误差的合成与分配

第三章 误差的合成与分配

Δl = 500 − 499 = 1mm
⎛ l2 ⎞ ⎛ 5002 ⎞ ∂f = − ⎜ 2 − 1⎟ = − ⎜ − 1⎟ = −24 2 ∂h ⎝ 4h ⎠ ⎝ 4 × 50 ⎠ ∂f 500 l = = =5 ∂l 2h 2 × 50
误差传递系数为:
直径的系统误差:
∂f ∂f ΔD = Δl + Δh = 7.4mm ∂l ∂h
中国地质大学（武汉）
1 n ∂f Δϕ = ∑ ∂x Δxi cos ϕ i =1 i
n 1 ∂f Δϕ = ∑ ∂x Δxi − sin ϕ i =1 i
9
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大
工件直径。如图所示，车间工人用 一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦 长 l = 500mm。已知，弓高的系统 误差 Δh = -0.1mm , 玄长的系统误 差 Δl = -1mm 。试问车间工人测量 该工件直径的系统误差，并求修正 后的测量结果。 【解】 建立间接测量大工件直径的函数模型
16
中国地质大学（武汉）
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
2、 相关系数估计
相关系数对函数误差的影响
函数随机误差公式
σy
2 n ⎛ ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ∂f ∂f 2 2 2 =⎜ ρσ σ ⎟ σ xn + 2 ∑ ⎜ ⎟ σ x1 + ⎜ ⎟ σ x2 + L + ⎜ ⎜ ∂x ∂x ij xi xj ⎟ ⎟ 1≤ i < j ⎝ ⎝ ∂x1 ⎠ ⎝ ∂x2 ⎠ i j ⎝ ∂xn ⎠ ⎠ ρij 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误 2 2 2

误差的合成、分配和传递

误差的合成、分配和传递

在通常情况下，未定系统总误差可以用极限误差的 形式给出误差的最大变化范围，也可用标准差来表示。

按极限误差合成 按标准差合成
三、误差的合成
1)按极限误差合成 a.绝对值合成法： 表达式：
( e1 e2
em ) ei
i 1 m
其中ei为极限误差。当m大于10时，合成误差估计值往 往偏大。一般应用于m小于10。
则有：
i
x f xi ci i xi y y
x
i
i
xi xi
相对误差传递公式
y i x
i 1
n
一、误差的传递
和差函数的误差传递
y x1 x2
c1 f 1 x1
x1 y
c2
f 1 x2
x2 y
1 c1
2 c2
y
1i j
n
对 y
y y
(
i 1
n
x x f )0 i 两边求方差，则得： xi y xi
随机相对误差的传递公式
y
n f 2 xi 2 2 f xi f x j （ ） ( ) 2 [( ） ] [( ） ]i , j i j 0 i x y x y x y i 1 1i j i i j n
2 i 1i j
1 y
x
i 1 2 ij i , j i j
1i j
n
在水文测验误差分析中，常对上式进行简化。假定各直接被测量的相对 标准差相等，再假定各直接被测量之间不存在相关关系，则变量和的相 对标准差传递公式变为： x m 2 1 m 2 灵敏系数平方和 ny xi xi y i 1 y i 1 的方根

误差的合成与分配ppt课件.ppt

误差的合成与分配ppt课件.ppt
要解决误差的合成与分配问题，首先要明确总的合成误差 和各单项误差之间的函数关系，再按它们之间的变量关系进行 计算.这实际上就是由多元函数的各个自变量的增量综合求函 数增量或做相反计算的问题
一、函数误差
间接测量是通过直接测量与被测的量之间 有一定函数关系的其他量，按照已知的函数关 系式计算出被测的量。因此间接测量的量是直 接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测 量误差则是各个直接测量的函数，故称这种误 差为函数误差。研究函数误差的内容，实质上 就是研究误差的传递问题.
η
η
η
η
η
ξ ρ＝１
ξ
ρ＝０.５
ξ ρ＝０
ξ
ρ＝-０.５
ξ ρ＝-１
一、函数误差 ➢误差间的相关
（2）简单计算法 (点阵计算法) (主要用于点数较多时)
cos
n1
n3 n
η n２
n1
n n1 n2 n3 n4 n３
（3）直接计算法 按相关系数的定义直接计算
n４ ξ
( i )(i ) ( i )2 (i )2
2
(
xn12
xn22
,
...,
xnN 2
)
n N
2
1i j m1
f ( xi
f x j
xim
jm
)
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
将方程两边同时除以 N ，可得
y2
f x1
2
2 x1
f x2
2
2 x
2
,
...,
f xn
2
2 xn
n
2
N
( f f xim jm )
1i j m1 xi x j

第三章 误差的合成与分配 (全)

f xi xi
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn

误差原理第三章误差的传递与合成

误差原理第三章误差的传递与合成误差的传递是指在实验过程中，由于不同的测量步骤和计算过程引入误差，这些误差会通过物理关系或者数学计算传递到最终结果中。

在实验中，每一个测量仪器都有其特定的精确度和不确定度。

当我们进行复杂的测量或计算时，这些误差会相互作用并积累，从而影响到最终结果的精确度。

为了定量描述误差的传递，我们需要引入误差传递公式。

对于其中一个物理量x，假设它是由一系列测量结果a、b、c等通过其中一种物理关系或者数学计算得到的，则误差传递公式可以写为：Δx=√((∂x/∂a)²Δa²+(∂x/∂b)²Δb²+(∂x/∂c)²Δc²+...)其中Δx表示x的不确定度，∂x/∂a、∂x/∂b等表示物理关系或者计算公式对于变量a、b的导数，Δa、Δb等表示变量a、b的不确定度。

这个公式表明了误差是通过导数的平方和来传递的。

最大值法是指将每个测量结果的不确定度取最大值，作为最终结果的不确定度。

这种方法适用于误差独立且不相关的情况。

例如，在实验中测量一些物理量时，我们使用了不同型号的仪器进行多次测量，那么每个测量结果的不确定度可以认为是不相关的，这时可以采用最大值法。

平方和法是指将每个测量结果的不确定度的平方相加并开方，作为最终结果的不确定度。

这种方法适用于误差相互关联的情况。

例如，在实验中测量一些物理量时，多个测量结果的不确定度具有一定的相关性，这时可以采用平方和法。

实际应用中，误差的传递和合成在实验设计和数据处理中起着关键的作用。

在实验设计中，我们可以通过分析物理关系和计算过程，确定哪些因素会对实验结果产生较大的影响，从而优化实验方案以降低不确定度。

在数据处理中，我们可以根据误差的传递公式和合成方法，对实验结果进行误差分析，得到对最终结果的不确定度的估计，以提高实验结果的可靠性和可信度。

总之，误差的传递和合成是误差原理的核心内容，它描述了实验结果的不确定性和误差如何从测量仪器传递到最终的物理量中。

误差的合成与传递自行学习报告

早在大二时，我们就已经初步了解了误差的合成，当时在做大物实验时，基本每一次都要涉及到误差的计算与合成，按照当时老师教授的一些知识，我们便已经能够应对简单的误差与误差合成的计算了。后来在精测课上我们又知道了误差合成与相关系数的关系，来处理各项误差的合成。而现在读了这本书的这一章之后，我们就能更详细的了解误差的处理合成了，关于系统误差与随机误差的合成，微小误差的取舍原则，误差的分配等都有了新的认识，或者说是初步的理解，把误差处理这个知识面给拓展性质的多项系统误差与随机误差,应将其进行综合,以求得最后测量结果的总误差。
同样合成方法也有两种，常用极限误差来表示,但有时也用标准差来表示。
合成方法都已学习或讨论过，不再阐述。
五、误差分配
任何测量过程皆包含有多项误差,而测量结果的总误差则由各单项误差的综合影响所确定。在进行测量工作前,应根据给定测量总误差的允差来选择测量方案,合理进行误差分配,
经过推导，可得出函数的随机误差公式：
若各测量值的随机误差是相互独立的,且当N适当大时,相关项：
则相关系数ρ也为零,误差公式可简化为：
各测量值随机误差之间不相关的情况较为常见，切相关系数较小时候可做近似不相关处理，因此上述两公式便可基本用来计算函数随机误差公式。
然而在函数误差及其他误差的合成计算时,各误差间的相关性对计算结果有直接影响不可忽视时。需要计算相关系数，确定两误差间的相关系数是比较困难的,通常可采用以下几种方法：
1.直接判断法
2.实验观察和简略计算法
3.理论计算法
以上几种方法在精测课程中也都提到过，在此不多做陈述。
二、随机误差的合成
随机误差具有随机性,其取值是不可预知的,并用测量的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。随机误差的合成是采用方和根的方法,同时还要考虑到各个误差传递系数和误差间的相关性影响。

误差的合成.

误差的合成
关于误差合成的理论和方法，在误差理论的教科书中有详尽的介绍，此处不必赘述。

仪器精度分析中最常用的方法如下：
1.已定系统误差的合成
对于符号和大小均为己知的误差称已定系统误差。

这类误差按代数和合成，即
式中，εj为各已知的原始误差所引起的仪器误差，它等于原始误差与传递系数的乘积。

传递系数可由前面介绍的各种方法求出。

2.未定系统误差与随机误差的合成
式中，S1,S2，···，sP为A类（随机）不确定度分量；U1,U2，…，Ur 为确定度分量，
式中，ej为误差界（-ej,ej）；K为置信因子，可以根据分布特性确定。

式（4－17）中的R是误差之间的协方差之和。

在多数情况下，可按所谓的“误差独立作用”原理，近似地令R=0。

3.仪器的总不确定度
式中，凡为置信因子，可以根据组成误差的数目和分布特性确定。

4，仪器总误差
由于仪器制造中多数随机误差与未定系统误差属于正态分布，再加上考虑误差独立作用原理，因此在实用中（尤其在初步计算时）常常采用式（4－21）的简化形式，即
式中，εi为各项未定系统误差与随机误差分量的极限值，t＝1，2，3，…，n。

5．精度分析举例
用光波扫描干涉法测量磁盘磁膜厚度的公式为
式中，va、vb为波数，它们分别与波长九、九相对应；刀为薄膜折射率；甲为入射角。

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修正已定系统误差：
L L 0 5 0 . 0 2 5 5 m m 0 . 0 0 0 8 m m 5 0 . 0 2 4 7 m m
总误差合成
1 2 i 2 1i2 j3 1 e 2 j 1 2 ( 1 2 0 .8 2 ) ( 1 2 0 .3 5 2 0 .5 2 )m 1 .4 8 m
第三章 误差的传递与合成
3.1 误差的传递
一.系统误差的传递 在间接测量中，其表达式为
y f(x 1 ,x 2 L x n )
——式中x1,x2…xn各个直接测量值；
y ——间接测量值。
增量可用函数的全微分表示．则上式的函数增量为
dy x f1dx1 x f2dx2L x fndxn
由于误差是微小量，因此可得到函数的系统误差Δy为
若已知
直径的极限误差为
直径的最后结果为 三.误差间的相关关系和相关系数
1.误差间的线性相关关系
2.相关系数
K•n D
确定两误差之间的相关系数是比较困难的,通常 采用以下几种方法: (1)直接判断法
通过两误差之间关系的分析,直接确定相关系数ρ.
(2)试验观察和简略计算法 ①观察法
②简单计算法
二.未定系统误差的合成
1.未定系统误差的特征极其评定
2.未定系统误差的合成 2.1未定系统误差的特征（五点，详见p60）
2.2未定系统误差的合成
(1)标准差的合成
s
s
u (aiui)22 ijaiajuiuj
i1
1ipj
(2)极限误差的合成
s
s
et (aii)22 ijaiajuiuj
i1
cos(n1 n3 )
n
nn 1 n 2 n 3 n 4
③直接计算法
(i )(i )
(i )2(i )2
(3)理论计算法
有些误差间的相关系数,可根据概率论和最小 二乘法直接求出.
3.2 随机误差的合成
一.标准差的合成
n
n
(aii)22 ijaiajij
i1
1ipj
一般情况下,各个误差互不相关,相关系数ρij=0，则有
i tii i 1 , 2 L n ;
总的极限误差为
t
则
n
t
(ai i)
i 1
一般的极限误差合成公式为
t n (aii )2
i1
ti
3.3 系统误差的合成
一.已定系统误差的合成 已定系统误差是指大小及符号已知的误差.故它的合成
采用代数和。
r
a i i
i1
注意：已定系统误差按代数和法合成后，可以从测量结果 中修正，所以最后的测量结果中一般不再包含有已定系统误差。
②瞄准误差 2 1m
3. 未定系统误差
①阿贝误差 e14 H 00 L 08 4 0 0 0 5 0 0m 1 m
②温度误差
e2 1 7 0 0 L 07 1 0 0 5 0 0m 0 .3 5 m
③刻度尺的鉴定误差
e3 0.5m
解：两次测量结果的平均值为 L 0 1 2 (l1 l2 ) 1 2 ( 5 0 .0 2 6 5 0 .0 2 5 ) m m 5 0 .0 2 5 5 m
可得函数y的随机误差为
将方程组中每个方程平方得 将方程组中各方程相加，可得
将上式的各项除以N，并根据单次测量的标准差公式可得 若各测量值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时，则有
令 则
式中ai为误差传递系数当各个测量值的随机误差为正态分布
时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式为
a i 例3-2 对例3-1用弓高弦长法间接测量大直径D
y x f1 x1 x f2 x2L x fn xn
可表示为
y a 1 x 1 a 2 x 2 L a 3 x n
式中的各个误差传递系数ai 为常数。 例3-1 用弓高弦长法间接测量大直径D，如图所示，直接测得其弓
高h和弦长S，然后通过函数关系计算出直径D。 若弓高与弦长的测得值及
由函数误差公式可知，若使各个测量值对误差 传递系数为零或最小，则函数误差可相应减小。
三.验算调整后的误差
误差分配后,应按误差合成公式计算实际总误差,若超 出给定的允许误差范围,应选择可能缩小的误差项再予缩 小误差;若实际总误差较小,可适当扩大难以测量的误差项 的误差.
3.6 最佳测量方案的确定
一.选择最佳函数误差公式
若不同的函数公式所包含的直接测量值相同, 则应选取误差较小的直接测量值的函数公式. 二.使误差传递系数等于零或为最小
则测量结果为
L 5 0 .0 2 4 7 m m 0 .0 0 1 5 m m
3.5 误差分配
一.按等作用原则分配误差
等作用原则认为各个局部误差对函数误差的影响相等,即
D1 D2
LDnyn Nhomakorabea二.按等可能性调整误差
对难以实现的测量的物误差项适当扩大,对容易实
现的误差项尽可能的缩小,而对其余误差项不予调整.
1ipj
3.4 系统误差与随机误差的合成
一.按极限误差合成
总
s i1
ei2
1 n
q i1
2 i
二.按标准差合成
s
q
ui2 i2 R
i1
i1
当个误差间互不相关时,则
单次测量
s
q
ui2 i2
i1
i1
多次重复测量
s
i1
ui2
1 n
q i1
2 i
例3-3 在万能工具显微镜上用影像法测量某一平面工件的长度两次，
n
(ai i )2
i 1
二.极限误差的合成
若已知各单项极限误差为的 l i m 1 ,l i m 2 L l i ，m n 各个误差互
不相关，且置信概率相同，则总极限误差为
n
(aii )2
i 1
一般情况下，各单项极限误差的置信概率可能不同，根据 各单项误差的分布情况，引入置信系数，单项极限误差为
测得结果分别为 l15 0 .0 2 6 m m ,l25 0 .0 2 5 m m，已知工件的高度H=80mm，
求测量结果极其用极限误差表示的测量不确定度。 已知： 1．系统误差：万能工具显微镜刻线尺的刻度误差在50mm范围内系统
误差为
Δ=0.0008mm 2. 随机误差：
①读数误差 1 0.8m
其系统误差为
求测量结果。
解：函数关系式为 若不考虑测得值的系统误差，则计算出的直径Do为 因为 直径D的系统误差为
式中各个误差传递系数为
将已知各误差值及误差传递系数代人直径的系统误差式，得 通过修正可消除所求得的直径系统误差ΔD，则被测直径的实 际尺寸为
二.随机误差的传递 函数的一般形式为 为了求得用各个测量值的标准差表示函数的标准差公式，设对 各个测量值皆进行了N次等精度测量，其相应的随机误差为