数值计算中误差的传播规律

数值计算方法

实

验

报

告

实验序号：实验一

实验名称：数值计算中误差的传播规律

实验人：

专业年级：

教学班：

学号：

实验时间：

实验一 数值计算中误差的传播规律

一、实验目的

１．观察并初步分析数值计算中误差的传播；

２．观察有效数字与误差传播的关系．

二、实验内容

1．使用MATLAB 的help 命令学习MATLAB 命令digits 和vpa 的用途和使用格式；

2．在4位浮点数下解二次方程01622=++x x ；

3．计算下列５个函数在点2=x 处的近似值

（1）60)1(-=x y ，

（2）61)

1(1+=x y ， （3）32)23(x y -=，

（4）3

3)23(1x y +=， （5）x y 70994-=．

三、实验步骤

本次实验包含三个相对独立的内容．

1．在内容１中，请解释两个命令的格式和作用；

在matlab 中采用help 语句得到：

1、digits用于规定运算精度，比如： digits(20); 这个语句就规定了运算精度是20位有效数字。但并不是规定了就可以使用，因为实际编程中，我们可能有些运算需要控制精度，而有些不需要控制。vpa就用于解决这个问题，凡是用需要控制精度的，我们都对运算表达式使用vpa函数。

例如： digits(5); a=vpa(sqrt(2)); 这样a的值就是1.4142，而不是准确的1.4142135623730950488016887242097 又如： digits(11);

a=vpa(2/3+4/7+5/9); b=2/3+4/7+5/9; a的结果为1.7936507936，b的结果为1.793650793650794......也就是说，计算a的值的时候，先对2/3，4 /7，5/9这三个运算都控制了精度，又对三个数相加的运算控制了精度。而b的值是真实值，对它取11位有效数字的话，结果为1.7936507937，与a不同，就是说vpa 并不是先把表达式的值用matlab本身的精度求出来，再取有效数字，而是每运算一次都控制精度。

2．求解方程时，分别使用求根公式和韦达定理两种方法，并比较其有效数字和相对误差；

用求根公式解得：x1=-0.015,x2=-62.00

用韦达定理解得：x11=-0.016,x22=-62.00

x22=x2,x11=1/x22

该方程相对精确的解为：

Er1表示用求根公式求得的相对误差，Er2表示用韦达定理求得的相对误差

x1有1位有效数字，x2有3位有效数字；

x11有4位有效数字，x22有3位有效数字。

3．实验内容３中的５个函数在2=x 处的精确值都是相等的，若取4.12≈进行计算，计算各函数的结果，作图观察并比较它们的绝对误差（作图区间可取

]42.1,4.1[甚至更小）,并从算法设计原则上说明原因．

Matlab 计算如下：

作图比较如下：

计算绝对误差：

结论：当x=1.4时，结果的好坏次序是y3,y1,y0,y2,y4.导致y4的结果出现很大误差的原因是大数70作了乘数，y2误差的原因是小数0.2作为了乘数，其余的结果还是比较好的，误差都不至于太大。

由此可知,不同的计算方法会导致不同的结果，相应结果中误差的放大程度也不同，所以我们在计算的过程中应尽量遵循计算原则，注意以下几点：小数不能作为乘数，大数不能作为除数，避免大数吃小数，避免相近的数相减，简化计算步骤等。

数值计算第一二章答案

第一章数值计算中的误差 习题一 1.1 下列各近似数的绝对误差限是最末位的半个单位，试指出它们各有几位有效数字。 1x =-3.105 , 2x =0.001, 3x =0.100, 4x =253.40, 5x =5000, 6x =5?310. 答案：4，1，3，6，4，1. 1.2 设100>* x >10,x 是* x 的有五位有效数字的的近似数,求x 的绝对误差限。 答案：当10

数值运算的误差分析(精)

实验一 数值运算的误差分析 1.问题的提出 任何数值计算都是一种近似计算，于是研究此误差的来源及防止在整个数值计算中占非常重要的地位。首先是误差的分类、其次是估计误差的工具最后是一些避免误差产生及传播的手段。 1)模型误差： 实际问题用数学模型刻画时要忽略一些因素，从而造成数学的量和实际的量的误差称为模型误差 2)观测误差： 数学模型用到一批数它可能是观测得到的也可能是计算到的，这种数据误差造成数学量的近似。 3)截断误差： 通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差 。 例如，函数)(x f 用泰勒（Taylor ）多项式 n n n x n f x f x f f x p ! )0(!2)0(!1)0()0()(2'''++++= 近似代替，则数值方法的截断误差是： εε(,)! 1()()()()(1 )1(+++=-=n n n n x n f x p x f x R 4)舍入误差： 最后用近似的方法计算数据有误差的数学问题要用有限位数字，这就要求进行基本的四舍五入计算，由此引起的误差称为舍入误差。 例如用3.14159近似代替π，产生的误差 0000026.03014159=-=πR 为舍入误差。 2.误差与有效数字 1)绝对误差： 2)相对误差： 3)有效数字： 若近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说*x 有n 位有效数字，表示 ()() 1121*101010---?++?+?±=n n m a a a x ， 其中是),,1(n i a i =0到9中的一个数字，0≠i a ，m 为整数，且 1*102 1 +-?≤ -n m x x

数值计算中误差的传播规律

数值计算方法 实 验 报 告 实验序号：实验一 实验名称：数值计算中误差的传播规律 实验人： 专业年级： 教学班： 学号： 实验时间：

实验一 数值计算中误差的传播规律 一、实验目的 １．观察并初步分析数值计算中误差的传播； ２．观察有效数字与误差传播的关系． 二、实验内容 1．使用MATLAB 的help 命令学习MATLAB 命令digits 和vpa 的用途和使用格式； 2．在4位浮点数下解二次方程01622=++x x ； 3．计算下列５个函数在点2=x 处的近似值 （1）60)1(-=x y ， （2）61) 1(1+=x y ， （3）32)23(x y -=， （4）3 3)23(1x y +=， （5）x y 70994-=． 三、实验步骤 本次实验包含三个相对独立的内容． 1．在内容１中，请解释两个命令的格式和作用； 在matlab 中采用help 语句得到：

1、digits用于规定运算精度，比如： digits(20); 这个语句就规定了运算精度是20位有效数字。但并不是规定了就可以使用，因为实际编程中，我们可能有些运算需要控制精度，而有些不需要控制。vpa就用于解决这个问题，凡是用需要控制精度的，我们都对运算表达式使用vpa函数。 例如： digits(5); a=vpa(sqrt(2)); 这样a的值就是1.4142，而不是准确的1.4142135623730950488016887242097 又如： digits(11); a=vpa(2/3+4/7+5/9); b=2/3+4/7+5/9; a的结果为1.7936507936，b的结果为1.793650793650794......也就是说，计算a的值的时候，先对2/3，4 /7，5/9这三个运算都控制了精度，又对三个数相加的运算控制了精度。而b的值是真实值，对它取11位有效数字的话，结果为1.7936507937，与a不同，就是说vpa 并不是先把表达式的值用matlab本身的精度求出来，再取有效数字，而是每运算一次都控制精度。 2．求解方程时，分别使用求根公式和韦达定理两种方法，并比较其有效数字和相对误差； 用求根公式解得：x1=-0.015,x2=-62.00 用韦达定理解得：x11=-0.016,x22=-62.00 x22=x2,x11=1/x22

数值分析第一章学习小结

数值分析 第1章绪论 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，让我初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。在本章中，我学到的是对数据误差计算，对误差的分析，以及关于向量和矩阵的数的相关容。 误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法，其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。 而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。 对于向量和矩阵的数，我是第一次接触，而且其概念略微抽象。因此学起来较为吃力，仅仅知道它是向量与矩阵“大小”的度量。故对这部分容的困惑也相对较多。 本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。另一方面困惑来源于数，不明白数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。 二、本章知识梳理

2.1 数值分析的研究对象 数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等容。 2.2误差知识与算法知识 2.2.1误差来源

误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值方法过程中产生的误差。 2.2.2绝对误差、相对误差与有效数字 1.（1）绝对误差e指的是精确值与近似值的差值。 绝对误差： 绝对误差限： （2）相对误差是指绝对误差在原数中所占的比例。 相对误差： 相对误差限： 结论：凡是经过四舍五入而得到的近似值，其绝对误差不超过该近似值末位的半个单位。 （3）有效数字的定义 有效数字的第一种定义:设a是x的近似值，如果a的误差绝对值不超过x 的第k位小数的半个单位，即则称近似值a准确到小数点后第k位。从小数点后的第k位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都叫有效数字。

数值分析中的误差(精)

第9章 数值分析中的误差 练习9.1 (B) 1.B 2. A 3.量纲 4. 半个 5.D 6. 3位 7.C 8. B 9. ≤ 10. 0.5mm 练习9.2(B) 1. )()(21x x εε+ )()(21x x εε+ 2. )()(1221x x x x εε+, 2 2 1221) ()(x x x x x εε- 3. 舍入误差不增加 4. )()(x e x f ' 5. 使用数值稳定的算法；防止两个相近数相减；简化计算步骤，减少运算次数；避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值；防止大数“吃掉”小数 习题9 1. 0.00005 0.017% 四位有效数字 0.005 0.017％ 四位有效数字 0.0005 0.0017％ 五位有效数字 0.5 0.0017% 五位有效数字 0.00005×105 0.017% 四位有效数字 2. 5.5(Ω) 0.2375(Ω) 4.32% 3. (1) B (2)A (3)A 4. )()()(2121+=±x x x x εεε )()()(22 12 121121±±±= ±x x x x x x x x x x r r r εεε )()()(122121+≈x x x x x x εεε )()()(1221+≈x x x x r r r εεε 22 122121+=x x x x x x x )()()( εεε )()()(2121 +=x x x x r r r εεε 5. 0.005 6. 0.00333… 7. 取四位. 利用定理2. 第10章 线性方程组的数值解法 练习10.1 (A) 1. (2,1,-1)T , 2. (1,2,3)T , 3. (1,-1,2)T , 4. T )3678.0,05113.0,4900.0(--≈*X (B) 1. C 2. 系数矩阵的各阶主子式均不为0. 3. B 4. 矩阵A 是严格对角占优矩阵 5. 见教材第10章公式(1.6) 6. 见教材第10章公式(1.8) 练习10.2 (A) 1.(1,2,-1,3)T , 2. ?? ?? ? ?????--=???? ? ?????-=200140111112010001U L 3. Y =(14,-10,-72)T ,X =(1,2,3)T . 4. Y =(2.4493,11.247,85.254)T ,X =(1,0,23)T .

数值分析第一章绪论习题答案

第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= == 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) * * * 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：

*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为34 3 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=

数值分析误差一点总结

数值分析学习报告 邹凡峰1329010062 作为这学期的必修课，我从内心深处来讲，数值分析真的有点难。感觉它是在高等数学和线性代数的基础上，又加深了探讨。虽然这节课很难，我学的很差。 学习数值分析，我们首先得知道一个软件——MATLAB。数值分析所用的语言中，最重要的成分是函数，其一般形式为：Function[a，b，c，……]=fun(d，e，f，……)，对于数值分析这节课，我的理解是：只要学习并掌握好MATLAB，你就已经成功了。 因为学的不是很好对于后面的章节不能很好把握，就只能简单的对第一章中的误差总结下。通过第一章的学习，我们能够初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。在第一章中，我们学到的是对数据误差计算，对误差的分析。以及关于向量和矩阵的范数的相关内容。 误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法，其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。 本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。另一方面困惑来源于范数，不明白范数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。 一．数值分析的研究对象 数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等内容。 二．误差知识与算法知识 （1）误差来源 误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值

数值分析第一章实验 误差分析

1. 计算1 1 n x n I e x e dx -=? (n=0,1,2,……)并估计误差。 由分部积分可得计算n I 的递推公式 1111 01,1,2,e 1.n n x I nI n I e dx e ---=-=???==-???……. （1） 若计算出0I ，代入（1）式，可逐次求出 1 2,,I I … 的值。要 算出0I 就要先算出1e -，若用泰勒多项式展开部分和 21 (1)(1)1(1),2!! k e k ---≈+-+++ … 并取k=7,用4位小数计算，则得10.3679e -≈，截断误差 14711 |0.3679|108!4 R e --=-≤

从表1中看到8I 出现负值，这与一切0n I >相矛盾。实际上，由积分估值得 111110001011 (im )(max)11 x n n n x x e e m e x dx I e x dx n n ---≤≤≤≤=<<=++?? （2） 因此，当n 较大时，用n I 近似n I 显然是不正确的。这里计算公式与每步计算都是正确的，那么是什么原因合计算结果出现错误呢？主要就 是初值0I 有误差000E I I =- ，由此引起以后各步计算的误差n n n E I I =- 满足关系 1,1,2,n n E nE n -=-=…. 由此容易推得 0(1)!n n E n E =-， 这说明0I 有误差0E ，则n I 就是0E 的n!倍误差。例如，n=8，若 4 01||102 E -= ?，则80||8!||2E E =?>。这就说明8I 完全不能近似8I 了。它表明计算公式（A ）是数值不稳定的。 我们现在换一种计算方案。由（2）式取n=9,得 1911010 e I -<<， 我们粗略取1 *9911()0.068421010 e I I -≈+==，然后将公式（1）倒过来算，即 由*9I 算出*8I ，*7I ，…，* 0I ，公式为 * 9** 10.0684()1(1),98n n I B I I n n -?=? =?=-=?? ， ，…，1； 计算结果见表1的*n I 列。我们发现* 0I 与0I 的误差不超过410-。记

数值分析分章复习(第一章误差)

数值分析分章复习 第一章 引论 要点：误差基本概念 误差分类：截断误差；舍入误差。 误差量化：绝对误差；相对误差；有效数字 设计数值计算方法应注重的原则： 注重算法稳定性；减少运算量；避免相近数相减；避免绝对值小的数作分母 复习题： 1、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字， 试估计由这些数据计算21x x ，21x x +的绝对误差限 解：记126.1025, 80.115x x ==%% 则有1123241110, | 102|||2x x x x --≤?-≤?-%% 所以 121212121212211122||||||||||||x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤--%%%%%%%%% 341180.11610 6.1010252 20.007057-==??+≤?? 1212112243|()|||11|10100.0005522|x x x x x x x x --≤≤?+?=+-+-+-%%%% 2、已知2.153是2.1542的近似数，问该近似数有几位有效数字？ 它的绝对误差和相对误差各是多少？ 解：记精确值12.15420.2154102x =?=，近似值 2.153x =% 因为130.00121102 x x -≤?-=%，故近似数有3位有效数字 3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182, 那末x 具有多少位有效数字 解：10.271828182810e =?L 314||0.0000811110102228e x --≤?=?-=L 可见x 具有4位有效数字 4、的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取多少位有效数字 解：记精确值x =x %, 注意到14.44770.410x ==?=L L 故假设x %具有p 位有效数字，则应成立：11111101||042||8 p p x x x --≤??=?-%

数值分析第一章绪论习题答案

第一章绪论 e In X* =In X * -Inx ：丄e* X* 进而有；(In X *): 2. 设X 的相对误差为2% ,求X n 的相对误差。 解：设f(χZ ,则函数的条件数为Cp=l fX+ n _1 X nχ I Xn n 又；r ((X*) n) C P 7(X *) 且 e r (χ*)为 2 .7((χ*)n ) 0.02 n 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 * * * * * 出它们是几位有效数字： X 1 =1.1021, χ2 =0.031, χ3 =385.6, χ4 = 56.430,x 5 = 7".0. . * 解：X I -1.1021是五位有效数字； X 2 = 0.031是二位有效数字； X 3 =385.6是四位有效数字； X 4 =56.430是五位有效数字； X 5 =7 1.0.是二位有效数字。 4. 利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限： (1) X 1 X 2 X 4,(2) X 1 X 2X 3 ,(3) X 2 /X 4 . 其中χl ,x 2,x 3,X 4均为第3题所给的数。 1设X 0, x 的相对误差为 解：近似值X*的相对误差为 、：，求InX 的误差。 e* X* -X 而InX 的误差为 又 f '(χ) =nx n 」 C P

解：

* 1 4 ；(x 1) 10 2 * 1 3 ;(x 2) 10 2 * 1 1 ；(x 3) 10 * 1 3 ；(x 4) 10 2 * 1 1 ；(x 5) 10 2 (1) ；(x ； x ； x *) * * * =；(%) ；(x 2) *x 4) 1 A 1 2 1 j3 10 10 10 2 2 2 -1.05 10J 3 * * * (2) S(X I X 2X 3) * * * * * * ** * =X1X 2 ￡(X 3)+ X 2X 3 ^(X J + X 1X 3 E (X 2) :0.215 ⑶；(x 2/x ；) * Il * * I * X 2 E(X 4) + X 4 &(X 2) 全 Γ"2 X 4 1-3 1 3 0.031 10 56.430 10 = ______________________ 2 56.430X56.430 -10 5 4 3 解：球体体积为V R 3 则何种函数的条件数为 1.1021 0.031 1 1θ' 2 + 0.031X385.6 x 1><10* 2 +∣ 1.1021 X 385.6 卜 -×1^3 5计算球体积要使相对误差限为 1 ,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? C P 愕'

工程数学中数值计算应注意的一些原则

数值计算中应遵循的原则 工程问题的数值计算中出现误差的渠道及原因, 分析了这些误差可能会引起的 后果。通过具体例子说明要避免这些误差须遵循的原则。用数值稳定性好的计算方法;两个数量级相差很大的数进行加减运算时, 防止小的那个数加减不到大的数中; 避免两个相近的数相减, 损失有效数字; 防止出现机器零和溢出停机; 在除法运算中, 避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值; 简化计算步骤, 减少运算次数。 用电子数字计算机进行各种工程问题的数值计算, 计算误差是不可避免的。误差的渠道来源主要有四个: 模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差。用数学模型描述各类实际问题, 一般都要作一定的简化, 由此产生的数学模型的解与实际问题的解之间一定会有差异, 这种差异就是模型误差; 数学模型中包含的某些参数或常数, 大多是经过仪器观测或试验获得的数值, 这样得到的观测数值与实际数值之间也有误差, 这种误差称为观测误差; 求解数学模型所用的数值计算方法往往是近似计算方法, 由此产生的误差称为方法误差。由于近似方法一般都要用有限的四则算术运算步骤来代替无穷的极限运算, 这种由截断一个无穷过程而引起的误差, 就叫截断误差, 方法误差也属于截断误差; 由于电子数字计算机只能将数表示成有限位进行计算, 对超过位数的数字按一定的规则作舍入, 由此产生的误差称为舍入误差。 数值计算方法主要研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响, 一般不考虑模型误差和观测误差。分析参数或常数的观测误差在数值计算中的影响的方法与分析舍入误差的影响所用的方法大致相同, 而控制观测误差和模型误差则不是数学计算工作者所能独立解决的。 为了减小误差, 特别是舍入误差的影响, 在数值运算中应注意以下一些原则: 1用数值稳定性好的计算方法, 以便控制舍入误差的传播 如, 要求在四位有效数字的精度下计算定积分的值[1]:

数值分析第一章绪论习题答案

第一章绪论 1设x 0, x的相对误差为「.，求In x的误差。 * * e* x * _x 解：近似值x*的相对误差为:.=e* x* x* 1 而In x 的误差为e In x* =lnx*「lnx e* x* 进而有；(ln x*)::. 2?设x的相对误差为2%求x n的相对误差。 解：设f(x—，则函数的条件数为Cp^胡1 n A. x nx . 又7 f '(x)= nx n」C p |=n n 又；；r((x*) n) ： C p ；,x*) 且e r (x*)为2 .；r((x*)n) 0.02 n 3 ?下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：X； h.1021 , x；=0.031 , x3 =385.6 x；=56.430, x5 =7 1.0. 解：x；=1.1021是五位有效数字； X2 =0.031是二位有效数字； X3 =385.6是四位有效数字； x4 = 56.430是五位有效数字； x5 -7 1.0.是二位有效数字。 4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：⑴ 为+X2+X4,(2) x-i x2x3,(3) x2/ x4. * * * * 其中X1,X2,X3,x4均为第3题所给的数。

解:

* 1 4 ；(x-| ) 10 2 * 1 3 ;(x 2) 10 2 * 1 1 ；(x 3) 10 * 1 3 ；(x 4) 10 2 * 1 1 ；(x 5) 10 2 (1)；(为 X 2 X 4) =；(为)亠：(x 2)亠：(x 4) =1 10 4 1 10 J 丄 10^ 2 2 2 = 1.05 10” * * * (2)(X 1X 2X 3) * * * ** * ** * X 1X 2 8(X 3) + X 2X 3 g(xj + X 1X 3 名(X 2) 1 1 0.031 汉 385.6 汉?汉10鼻 + 1.1021 域 385.6 汉?汉10 (3) XX 2/X 4) X 4 0.031 1 10” 56.430 丄 10’ 2 2 56.430 56.430 =10° 5计算球体积要使相对误差限为 1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 4 3 解：球体体积为V R 3 则何种函数的条件数为 =1.1021汉 0.031 汉 * 汉 10」+ 0.215

数值分析中的误差

第9章 数值分析中的误差 典型问题解析 考试知识点：误差、有效数字。（6%） 学习要点：误差、有效数字。 典型问题解析： 一、误差 绝对误差e ：e =x －x * （设精确值x *的近似值x ， 差e =x －x *称为近似值x 的绝对误差(误差)）。 绝对误差限ε：ε≤-=*x x e （绝对误差限ε是绝对误差e 绝对值的一个上界。） 相对误差e r ：***-==x x x x e e r （绝对误差e 与精确值x *的比值，常用x e e r = 计算） 相对误差限r ε：r r e ε≤（相对误差e r 绝对值的一个上界）， r r x x x x e εε=≤-=||||||***，*x r εε=，常用x ε计算. 绝对误差限的估计式：（四则运算中） )()()(2121x x x x εεε+=± )()()(122121x x x x x x εεε+≈ 22122121 +=x x x x x x x )()()(εεε 二、有效数字 有效数字：如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位. 从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x 的有效数字. (1)设精确值x *的近似值x ，若 m n a a a x 10.021?±= a 1,a 2,…,a n 是0～9之中的自然数，且a 1≠0， n l x x l m ≤≤110?50=≤--,.*ε 则x 有l 位有效数字. 例1 设x *= π=3.1415926…,若x *的近似值x 为3.14，3.1415，3.143，求x 的有效数字位数. 解：若x =3.14＝0.314×101，（m =1）

滴定分析中的误差及数据处理

滴定分析中的误差及数据处理 滴定分析是将已知准确浓度的标准溶液滴加到被测物质的溶液中直至所加溶液物质的量按化学计量关系恰好反应完全，然后根据所加标准溶液的浓度和所消耗的体积，计算出被测物质含量的分析方法。包括酸碱滴定法、配位滴定法、氧化还原滴定法、沉淀滴定法。 滴定分析时产生的误差被分为系统误差和随机误差。 系统误差是在相同条件下，对同一对象进行多次测量，有一种绝对值和符号不变，或按某一规律变化的误差，称为系统误差。系统误差由分析测量过程中确定性的影响因素所产生的，具有重复性、单向性和可测性。产生系统误差的原因有一下几种： （1）方法误差。 方法误差是由于分析方法本身在理论上和具体操作步骤上存在不完善之处。如反应不完全或存在副反应，指示剂的变色点不与化学计量点重合。 （2）仪器和试剂误差 仪器误差来源于一起本身的缺陷或没有按照规定使用仪器。如仪器检查不彻底，滴定管漏液；滴定管、移液管使用前没有润洗而锥形瓶误被润洗；注入液体后滴定管下端留有气泡；读数时滴定管、移液管等量器与水平面不垂直、液面不稳定、仰视（或俯视）刻度；液体温度与量器所规定的温度相差太远；移液时移液管中液体自然地全部流下。标准溶液误差①标准溶液浓度的大小造成的误差来源。滴定所需标准溶液体积的大小，滴定管读数的相对误差较大。一般使用的体积控制在20mL～24mL的范围内，使滴定管的读数误差不大于1‰，为此应使用适当浓度的标准溶液，从而控制标准溶液的体积。②标准溶液的配制不规范造成的误差来源。终点误差（指示剂误差）①指示剂用量过多或浓度过大，使其变色迟钝，同时指示剂本身也能多消耗滴定剂。②强酸滴定强碱时，用酚酞作指示剂。③强酸滴定弱碱时因生成的盐水解，等当点时溶液显酸性。同理强碱滴定弱酸在等当点时溶液呈碱性。若指示剂选用不当，等当点与滴定终点差距大，则产生误差。 （3）操作误差 操作误差通常是由于分析人员没有按正确的操作规程进行分析操作引起。操作方面误差可能有以下几点：①滴定中左手对酸式滴定管旋塞控制不当，旋塞松动导致旋塞处漏液；使用碱式滴定管时，左手拿住橡皮管中玻璃球用力挤压或按玻璃球以下部位，导致放手时空气进入出口管形成气泡。②右手握持锥形瓶没有摇动，待测液反应不完全或摇动时前后振荡溅出液体。③滴定时流速过快，锥形瓶中液体被溅出，也可能使标准溶液滴加过量。④锥形瓶下没有垫白纸或白瓷板作参比物，人眼对锥形瓶中溶液颜色变化反应不灵敏，使终点滞后。 ⑤锥形瓶中溶液变色后立即停止滴定，待测液可能未完全反应。⑥滴定停止后，立即读数也会产生误差，应等1min～2min到滴定管内壁附着液体自然流下再行读数。⑦进行平行测定，两次滴定所用标准液体积相差超过0.02mL,仍取平均值计算，产生误差，应通过科学的分析，找出可疑值的来源，重新进行实验。 （4）主观误差 主观误差是由于分析人员自身的一些主观因素造成。例如在分析过程中重点的判断，有些人对指示剂颜色的分辨偏深、有的人偏浅；有的人喜欢根据前一次的滴定结果来下意识地控制随后的滴定过程，导致测量结果系统地偏高或偏低。 偶然误差是指在相同条件下，对同一物理量进行多次测量，由于各种偶然因素，出现测量值时而偏大，时而偏小的误差现象，这种类型的误差叫做偶然误差。 偶然误差的特点：1）不确定性；2）不可测性；3）服从正态分布规律：大小相等的正误差和负误差出现的概率相等；小误差出现的概率大，大误差出现的概率小，极大误差出现的概率极小。

数值分析第一章作业

数值分析第一章作业 1.数值计算方法设计的基本手段是( ). (A) 近似 (B) 插值 (C) 拟合 (D) 迭代 2.为了在有限时间内得到结果,用有限过程取代无限过程所产生的近似解与精确解之间的误差称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 测量误差 (D) 绝对误差 3.由于计算机的字长有限,原始数据在机器内的表示以及进行算术运算所产生的误差统称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 相对误差 (D) 绝对误差 4.数值计算方法研究的核心问题可以概括为( )对计算结果的影响. (A) 算法的稳定性 (B) 算法的收敛性 (C) 算法的复杂性 (D) 近似 5.当N 充分大时,利用下列各式计算121N N dx I x +=+?,等式( )得到的结果最好. (A) arctan(1)arctan()I N N =+- (B) 2arctan(1)I N N =++ (C) 21arctan()1I N N =++ (D) 211I N =+ 6. 计算61), 1.4≈,利用下列哪个公式得到的结果最好?为什么? (B) 3(3- (D) 99-7.计算球体的体积,已知半径的相对误差限不超过3310-?,则计算所得体积的相对误差限如何估计? 8.设0x >,近似值*x 的相对误差限为δ,试估计*ln x 的误差限. 9.计算圆柱体的体积,已知底面半径r 及圆柱高h 的相对误差限均不超过δ,则计算所得体积的相对误差限如何估计?. 10.用秦九韶算法求32()431f x x x x =-+-在2x =处的值. 11.已知近似值 1.0000x *=的误差限4()110x ε*-=?,21()16 f x x = ,求(())f x ε*,并说明x *及()f x *的各有几位有效数字. 12. 分析算法011111,,32,1,2,,k k k y y y y y k +-?==???=-=?的数值稳定性.

数值分析实验一：误差分析、误差传播及算法稳定性

毕节学院实验报告 实验名称： 误差分析、误差传播及算法稳定性 实验报告序号： 1 组 别 姓 名 朱海涛 同组实验者 周礼伟 实验项目 计算1 10 e e n x n I x dx -=?(0,1,) n = 并估计误差 实验日期 2012年9月26日 实验类别 □√ 1、验证性实验或基础性实验； □ 2、综合性实验 □ 3、设计性实验； □ 4、创新性实验和研究性实验； 教师评语 实验成绩 指导教师（签名） 赖志柱 年 月 日 实验目的： 通过本实验对求解问题的算法进行好坏判断有一个初步了解，并加强对设计一个好算法的理解，体验数值计算稳定性，从而了解数值计算方法的必要性，体会数值计算的收敛性与收敛速度。 实验任务与要求： 计算11 e e n x n I x dx -=? (0,1,)n = 并估计误差 （1）建立若干个（不少于两个）计算公式； （2）分析计算公式的理论误差； （3）编写程序（推荐MATLAB ）实现（1）中的计算公式、输出结果并比较实际误差； （4）任选正整数m n ，要求既从m I 计算n I ，又从n I 计算m I ，并分析您的结果。这里0m ≠且9n ≠。 小组分工合作说明： 实验过程及内容： 解： 由分部积分可得计算n I 的递推公式 1111 01,1,2,e 1.n n x I nI n I e dx e ---=-=?? ?==-??? (1) 若计算出0I ，代入（1）式，可逐次求出 1 2 ,,I I … 的值。

要算出0I 就要先算出1e -，若用泰勒多项式展开部分和 2 1 (1)(1)1(1), 2! ! k e k ---≈+-+ ++ … 并取k=19,用4位小数计算，则得 1 0.3679 e -≈，截断误差 1 4 711|0.3679|10 8! 4 R e --=-≤ < ?.计算过程中小数点后第5位的数字按四 舍五入原则舍入，由此产生的舍入误差这里先不讨论。当初值取为 00 0.6321I I ≈= 时，用（1）式递推的计算公式为 01 0.6321 A 1n n I I nI -?=?=-? （），n=1,2，…。 计算结果见表1的n I 列。用0 I 近似0I 产生的误差0 00 E I I =- 就是初值 误差，它对后面计算结果是有影响的. 从表1中看到18 I 出现负值，这与一切0n I >相矛盾。实际上，由积 分估值得 1 1 1 1 1 01 01 1(im )(max )1 1 x n n n x x e e m e x dx I e x dx n n ---≤≤≤≤=<<= ++?? （2） 因此，当n 较大时，用n I 近似n I 显然是不正确的。这里计算公式与 每步计算都是正确的，那么是什么原因合计算结果出现错误呢？主要就是初值0 I 有误差0 00 E I I =- ，由此引起以后各步计算的误差 n n n E I I =- 满足关系 1,1,2,n n E nE n -=-=…. 由此容易推得 0(1)!n n E n E =-， 这说明0 I 有误差0E ，则n I 就是0E 的n!倍误差。例如，n=19，若

常州大学数值分析第一章习题解答

1.1解： m=3; f=@(x)digit(digit(x^4,m)- digit(x^3,m)+ digit(3*x^2,m)+ digit(x-2,m),m); g=@(x)digit(digit(digit( digit(digit(digit( (x-1)*x,m)+3,m)*x,m)+1,m)*x,m)-2,m); f(3.33) g(3.33) 有ans = 121 ans =121 实际上，当m=2时，就可以看出这两种算法在计算的精确度上的区别： m=2; f=@(x)digit(digit(x^4,m)- digit(x^3,m)+ digit(3*x^2,m)+ digit(x-2,m),m); g=@(x)digit(digit(digit( digit(digit(digit( (x-1)*x,m)+3,m)*x,m)+1,m)*x,m)-2,m); f(3.33) g(3.33) 有ans = 120 ans =130，可以看出，两者在计算精度上的不同区别，数学上恒等，在数值上不一定恒等。 1.2解： （1）精确到小数点后第三位，故有4位有效数字 （2）精确到小数点后第三位，故有2位有效数字 （3）精确到小数点后第三位，故有0位有效数字 1.3 解; 记圆的面积为S，由题意有|e(S)|≤1%。由S=πr2知：dS=2πrdr所以 dS/S=(2πrdr)/(πr2)=2(dr/r) ∴|e(r)|≈1／2|e(S)|≤0.5×1%=0.5% 1.4 解： 由题有：|e(x)|≤1/2×10^-2 ; |e(y)|≤1/2×10^-2; |e(z)||≤1/2×10^-2 ∴|e（S）|≈|xe(x)+ye(y)|+ |ze(z)|^2≈x|e(x)|+y|e(y)|+z^2|z(z)|^2≤4.21×0.005+1.79×1.005+2.11×2.11×0.005^2=0.03≤1/2×10^-1 又S=4.21*1.79+2.11^2=11.988 ∴S至少具有3位有效数字。 在字长为3的计算机上运行，误差为： S1=4.21*1.79+2.11; S2=digit(digit(4.21*1.79,3)+digit(2.11^2,3),3); err=S1-S2 err = -2.3541 1.6 解： clc disp('Please input the coefficients of'); disp('quadratic equation ax^2+bx+c=0, respectively') a=input('a='); b=input('b='); c=input('c='); m=4; % m-digit rounding arithmetic