第三节误差传播定律

§6－3 误差传播定律当对某量进行了一系列的观测后，观测值的精度可用中误差来衡量。

但在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的。

例如，水准测量中，在一测站上测得后、前视读数分别为a 、b ，则高差h =a -b ，这时高差h 就是直接观测值a 、b 的函数。

当a 、b 存在误差时，h 也受其影响而产生误差，这就是所谓的误差传播。

阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律称为误差传播定律。

本节就以下四种常见的函数来讨论误差传播的情况。

一、倍数函数设有函数kx Z =（6-7）式中k 为常数，x 为直接观测值，其中误差为m x ，现在求观测值函数Z 的中误差m Z 。

设x 和Z 的真误差分别为Δx 和ΔZ ，由（6-7）式知它们之间的关系为ΔZ =k Δx 若对x 共观测了n 次，则ii x Z k ∆=∆ （i =1,2,…,n ）将上式两端平方后相加，并除以n ，得[][]n k n2x22Z∆=∆（6-8）按中误差定义可知[]n m 2Z2Z ∆=[]n m 2x2x∆=所以（6-8）式可写成2x 22z m k m =或x z km m =（6-9）即观测值倍数函数的中误差，等于观测值中误差乘倍数（常数）。

【例】 用水平视距公式D =k ·l 求平距，已知观测视距间隔的中误差m l =±1cm ，k =100，则平距的中误差m D =100·m l =±1 m 。

二、和差函数设有函数y x z ±=（6-10）式中x 、y 为独立观测值，它们的中误差分别为m x 和m y ，设真误差分别为Δx 和Δy ，由（6-10）式可得yx z ∆±∆=∆若对x 、y 均观测了n 次，则 ),,2,1(n i ii i y x z =∆±∆=∆将上式两端平方后相加，并除以n 得[][][][]n2n n n yx2y2x2z∆∆±∆+∆=∆上式[]y x ∆∆中各项均为偶然误差。

误差传播定律
误差传播定律是机器学习领域中一种重要的定理，它定义了损失函数与网络参数之间的关系。

误差传播定律解释了当网络参数发生变化时，损失函数会发生什么变化。

它提供了一种方法来利用梯度下降（Gradient Descent）算法来优化网络参数，从而最小化整个网络的损失函数值。

误差传播定律表明，可以通过计算每个参数的梯度，来调整网络参数，从而减小损失函数的值，从而达到最优参数的目的。

因此，误差传播定律是深度学习算法训练网络和模型参数的核心理论基础。

误差传播定律
一、误差传播定律（Error Backpropagation Law）
误差传播定律（Error Backpropagation Law）是一种重要的人工神经网络算法，它
最早在1986年被Rumelhart等人提出，并在子后学习过程中发挥着重要作用。

利用反向
传播技术，可以实现多层神经网络，也称为反向传播算法。

误差传播算法通过误差的反馈，以自动化的方式改善网络模型的预测结果。

该算法首
先确定一个初始的权重和偏差，然后根据实际情况，不断增加参数和权重，使它们能够更
好地适应训练样本数据。

针对网络输出结果，通过与预期输出比较，计算出一个误差值，
误差值把权重更新的任务传给神经元，得到一个新的权重，让神经元更加敏感的反应输入，以达到优化网络的效果。

误差传播算法是一种利用梯度下降法以及链式法则（Chain Rule）进行反向传播的数
学方法。

误差的反向传播是指，从神经网络的输出端开始，使用链式法则将误差向输入端
传播，并依次更新每个神经元的权重和偏差，以最大程度地减小输出层表示的网络误差。

该过程反复进行，不断减少最终误差，至最小时，说明模型参数已达到最优解。

综上所述，误差传播算法是一种重要的人工神经网络算法，它利用反向传播技术，以
自动化的方式改善网络模型的预测结果，实现多层神经网络，根据误差的反馈不断增加参
数和权重，进而最大程度减小最终误差，达到最优解。

由于该算法不仅比较简单，而且收
敛速度非常快，所以在现今的深度学习研究中具有重要地位。

误差原理第三章误差的传递与合成误差的传递是指在实验过程中，由于不同的测量步骤和计算过程引入误差，这些误差会通过物理关系或者数学计算传递到最终结果中。

在实验中，每一个测量仪器都有其特定的精确度和不确定度。

当我们进行复杂的测量或计算时，这些误差会相互作用并积累，从而影响到最终结果的精确度。

为了定量描述误差的传递，我们需要引入误差传递公式。

对于其中一个物理量x，假设它是由一系列测量结果a、b、c等通过其中一种物理关系或者数学计算得到的，则误差传递公式可以写为：Δx=√((∂x/∂a)²Δa²+(∂x/∂b)²Δb²+(∂x/∂c)²Δc²+...)其中Δx表示x的不确定度，∂x/∂a、∂x/∂b等表示物理关系或者计算公式对于变量a、b的导数，Δa、Δb等表示变量a、b的不确定度。

这个公式表明了误差是通过导数的平方和来传递的。

最大值法是指将每个测量结果的不确定度取最大值，作为最终结果的不确定度。

这种方法适用于误差独立且不相关的情况。

例如，在实验中测量一些物理量时，我们使用了不同型号的仪器进行多次测量，那么每个测量结果的不确定度可以认为是不相关的，这时可以采用最大值法。

平方和法是指将每个测量结果的不确定度的平方相加并开方，作为最终结果的不确定度。

这种方法适用于误差相互关联的情况。

例如，在实验中测量一些物理量时，多个测量结果的不确定度具有一定的相关性，这时可以采用平方和法。

实际应用中，误差的传递和合成在实验设计和数据处理中起着关键的作用。

在实验设计中，我们可以通过分析物理关系和计算过程，确定哪些因素会对实验结果产生较大的影响，从而优化实验方案以降低不确定度。

在数据处理中，我们可以根据误差的传递公式和合成方法，对实验结果进行误差分析，得到对最终结果的不确定度的估计，以提高实验结果的可靠性和可信度。

总之，误差的传递和合成是误差原理的核心内容，它描述了实验结果的不确定性和误差如何从测量仪器传递到最终的物理量中。

误差传播定律名词解释
链式错误传播定律（Chain-rule Error Backpropagation）是一种用于估计神经网络中误差函数损失函数对输入信号的响应的技术。

它利用反向传播算法(Backpropagation algorithm)通过多层感知机(Multilayer perceptron)计算误差函数损失函数对神经网络各个参数的偏导数，从而可以更新训练神经网络时的参数值。

它可以更好地提升神经网络的准确性和性能。

链式错误传播定律是深度学习的一个重要概念，已广泛应用在很多应用场景。

链式错误传播定律，又称为“反向传播”，是神经网络中用于估计误差函数损失函数对每个参数的偏导数的技术。

该定律利用链式法则将复杂的损失函数表达为多个单一的子函数的乘积关系，利用反向传播算法从神经网络的输出层逐层反向往输入层求解每一层节点的影响，实现误差信号传播回输入层，最后用梯度下降算法更新神经网络的参数值，以达到更优的网络性能。

误差传播定律公式误差传播定律是数学和统计学中的基本原理之一。

简单来说，这个定律是指当不同变量之间存在关系时，它们的测量误差会相互影响并传递给计算结果，从而引起最终结果的不确定性。

误差传播定律是一种非常重要的工具，可以用于评估和控制实验和计算的误差。

这个定律通常用于分析复杂的数学模型，但它同样适用于各种不同领域的实际问题。

从物理学、化学到生物学和社会科学，误差传播定律都有着广泛的应用。

误差传播定律的公式可以表示为：假设有n个变量x1，x2，…，xn，它们之间的关系可以表示为一个函数f(x1，x2，…，xn)。

若每个变量的误差是δxi，则f的误差为：δf = （∂f / ∂x1）δx1 + （∂f / ∂x2）δx2 + … + （∂f / ∂xn）δxn这个公式说明了f的误差是各个变量误差的加权和。

每个偏导数表示了f对应该变量的敏感度，即该变量产生误差时f的响应大小。

这个公式也表明，若某些变量对f的影响较小，则它们的误差对f的影响也会较小。

误差传播定律的应用可以帮助我们了解量化模型的误差来源，评估误差大小，以及推导出正确的结果范围。

例如，在生物学研究中，我们可能需要确定两种不同药物组合对细胞增殖的影响。

由于不同浓度的药物组合会对细胞产生不同的效应，我们需要通过误差传播定律计算出结果的可靠性，以便确定最优的治疗方案。

在计量经济学中，误差传播定律也具有重要的应用。

例如，我们可以使用它来估算某一市场变量（例如利率或通货膨胀率）的未来波动，并确定其他影响因素的权重。

这能够帮助我们更好地理解市场变化的趋势。

总之，误差传播定律在各个领域都具有广泛的应用，它可以帮助我们确定数据的可靠性、评估实验和计算的误差，从而帮助我们做出更明智的决策。

此定律的应用可以提高我们对复杂问题的理解，帮助我们更好地解决现实世界的问题。