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九年级数学上册专题突破讲练解决方位角问题试题新版青岛版

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解决方位角问题方位角方位角：指北（或指南）方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角。

如图中的目标方向线OA、OB、OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°。

特别地，若目标方向线与指北（或指南）的方向线成45°的角，如图的目标方向线OD与正南方向线成45°角，通常称为西南方向。

北西南东A BCDO60°70°30°45°方法归纳：方位角可以看成是将正北或正南方向的射线旋转一定角度而形成的。

故在应用中，一要确定其始边是正北还是正南；二要确定其旋转方向是向东还是向西；三要确定旋转角度的大小。

总结：1. 能够根据题意作出方位角，分清图形中的方位角。

2. 合理构造直角三角形，会解与方位角有关的三角函数问题。

例题据气象台预报，一强台风的中心位于A市的东南方向（366＋1082）km的海面上P处。

目前台风中心以20km/h的速度向北偏西60°的方向移动，距台风中心50km的圆形区域均会受到强袭击。

已知B市位于A市的正南方向72km处，C市位于B市的北偏东60°方向56km处。

那么，会受到这次强台风袭击的城市是（）PQA. 只有A市B. 只有B市C. B市和C市D. A市、B市和C市解析：分别过点A、B、C构造直角三角形，计算点A、B、C到直线PQ的距离，比较它们与50的大小关系即可。

答案：如图，过P 作PO⊥AB 于O 。

∠OAP＝∠APO＝45°。

∴OA＝OP ＝APsin45°＝（366＋1082）×22＝（363＋108）。

BO ＝AO －AB ＝363＋108－72＝（363＋36）。

设台风方向PQ 与AO 交点为M ，∠MPO＝90°－60°＝30°，OM ＝OPtan30°＝（363＋108）×33＝（363＋36）。

∴OM＝OB ，∴点M 和B 重合，∴台风中心必经过B 市。

过C 作CD⊥PQ 于D ，∠CBD＝90°－60°＋30°＝60°，CD ＝CBsin60°＝56×32＝283＜50，∴C 市也受台风影响。

过点A 作AG⊥PQ 于点G ，AG ＝ABsin60°＝72×32＝363＞50，∴A 市不受台风袭击。

选C 。

PQ点拨：解答这类问题时必须要明确两点，一是台风行进的路线，二是某点到台风行进路线的距离。

所以，其解题思路一般都是围绕某条直线和某些点构造直角三角形，运用三角函数及勾股定理求解。

解答方位角问题一定要结合图形，只要确定了方向线与南北方向线的夹角，就可解决问题。

但关键还是构造直角三角形，将方位角转化为直角三角形的内角。

满分训练 阅读下列材料，并解决后面的问题。

在锐角△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是a 、b 、c 。

过A 作AD⊥BC 于D （如图），则sinB ＝AD c ，sinC ＝AD b ，即AD ＝c sinB ，AD ＝b sinC ，于是c sinB ＝b sinC ，即b sinB ＝csinC 。

同理有c sinC ＝a sinA ，所以a sinA ＝b sinB ＝csinC 。

即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

（1）在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素c 、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：第一步：由条件a 、b 、∠A，用关系式__________求出∠B； 第二步：由条件∠A、∠B，用关系式__________求出∠C； 第三步：由条件__________，用关系式__________求出c 。

（2）一艘货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以28.4海里/时的速度按北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西70°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A 的距离AB （结果精确到0.1，参考数据：sin40°＝0.643，sin65°＝0.906，sin70°＝0.940，sin75°＝0.966）。

解析：（1）只要读清题意，填写此问应该不难；（2）本题要构建出直角三角形，使得已知和所求的条件都转移到直角三角形中进行计算。

答案：（1）a sinA ＝b sinB ；∠A＋∠B＋∠C＝180°；a 、∠A、∠C 或b 、∠B、∠C；csinC ＝a sinA 或b sinB ＝csinC。

（2）如图所示，依题意：∠FBC＝180°－∠ECB＝135°，∵∠FBA＝70°，∴∠ABC＝65°，∴∠A＝180°－∠ACB－∠ABC＝40°，BC ＝14.2。

过B 作BD⊥AC 于D ，在Rt△BCD中，∵BC ＝28.4×12＝14.2，∴BD ＝BC•sin75°≈13.7，在Rt△ABD 中，AB ＝BD÷sin40°≈21.3（海里）。

答：货轮距灯塔A 的距离约为21.3海里。

点拨：本题考查了三角函数以及解直角三角形的应用，注意解直角三角形的应用关键是构建直角三角形，以便把条件和问题都放到直角三角形中进行解决。

一、选择题1. 某时刻海上点P 处有一客轮，测得灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向，且相距20海里。

客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行23小时到达B 处，那么tan∠ABP＝（ ）A. 12B. 2C.55 D. 2552. 如图，学校在小明家北偏西30°方向，且距小明家6千米，那么学校所在位置A 点坐标为（ ）A. （3，33）B. （－3，－33）C. （3，－33）D. （－3，33）*3. 如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在A 市的北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行1000米到达点C 处，测得M 小区位于点C 的北偏西75°方向，试在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，此时AN 的长约是（ ）米A. 366B. 650C. 634D. 700**4. 一渔船在海岛A 南偏东20°方向的B 处遇险，测得海岛A 与B 的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A 处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C 靠近，同时，从A 处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）A. 103海里/小时B. 30海里/小时C. 203海里/小时D. 303海里/小时二、填空题5. 如图，一天，我国一渔政船航行到A 处时，发现正东方向的我领海区域B 处有一可疑渔船，正在以16海里/小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船。

我渔政船的航行路程是__________海里。

6. 如图，在港口M的南偏西60°方向有一座小岛P，一船以每小时20千米的速度从港口M出发，沿正西方向行驶，半个小时后，这艘船在A处测得小岛在船的正南方向，那么小岛P与港口M相距__________千米。

7. 如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶。

已知AC＝10千米，∠A＝30°，∠B＝45°。

则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走__________千米。

（结果保留根号）*8. 如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为__________海里（取3≈1.7，结果精确到0.1海里）。

三、解答题9. 如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB＝80.0米，∠PAB＝38.5°，∠PBA＝26.5°。

请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置。

（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）（参考数据：sin38.5°＝0.62，cos38.5°＝0.78，tan38.5°＝0.80，sin26.5°＝0.45，cos26.5°＝0.89，tan26.5°＝0.50）10. 2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A 、B 两个探测点探测到C 处有生命迹象。

已知A 、B 两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C 的深度。

（精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）*11. 如图，马路的两边CF 、DE 互相平行，线段CD 为人行横道，马路两侧的A 、B 两点分别表示车站和超市。

CD 与AB 所在直线互相平行，且都与马路两边垂直，马路宽20米，A ，B 相距62米，∠A＝67°，∠B＝37°。

（1）求CD 与AB 之间的距离；（2）某人从车站A 出发，沿折线A→D→C→B 去超市B ，求他沿折线A→D→C→B 到达超市比直接横穿马路多走多少米？（参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）**12. 机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心O 出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A 处，再沿正南方向行走14米至点B 处，最后沿正东方向行走至点C 处，点B 、C 都在圆O 上。

（本题参考数据：sin67.4°＝1213，cos67.4°＝513，tan67.4°＝125）（1）求弦BC的长；（2）求圆O的半径长。

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九年级数学上册专题突破讲练解决坡角、坡比问题试题(新版)青岛版

九年级数学上册专题突破讲练解决坡角、坡比问题试题(新版)青岛版

解决坡角、坡比问题坡度、坡角1. 坡度：坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ＝h ∶l 。

2. 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，且i ＝h l＝tan α。

B方法归纳：（或技巧归纳）坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越缓。

总结：1. 理解坡度、坡角的有关概念。

2. 能够解决与坡度有关的三角函数问题，掌握三角函数的综合应用问题。

例题 如图，某地计划在坡比为i ＝1：4的山坡OP （OQ 为地面水平线）上逐排建造楼房AB 、CD 等。

已知楼高（AB 、CD 等）均为20米，又知该地在冬季正午时太阳光线（图示箭头方向）与地面所成的角最小为40°。

（1）求斜坡OP 的坡角的度数；（2）为使冬季正午时后面的楼（CD ）完全不被前面一幢楼（AB ）挡住阳光，问两楼间的斜坡距离BD 至少为多少米？（最后结果四舍五入精确到0.1米）（以下数据供选用：sin14°30'＝0.25，tan14°＝0.25，cos75°30'＝0.25，cos14°＝0.97，tan40°＝0.84）解析：（1）根据坡比即可计算出坡角的度数．（2）可过D 作OQ 的平行线，延长AB 与平行线相交于点H ，构造直角三角形，根据坡度坡角的定义再解答即可。

答案：（1）∵坡比为i ＝1：4，即tan ∠POQ ＝14＝0.25，∴斜坡OP 的坡角的度数为14°。

（2）如图，过D 作OQ 的平行线，交AB 的延长线于点H ，设BH 为x ，则AH ＝20＋x ，DH ＝BH ÷tan ∠POQ ＝4x ，由题意可知，（20＋x ）：4x ＝0.84，解得x ＝8.47，即BH ＝8.47，DH ＝4x ＝33.9，BD ＝DH cos14°＝33.90.97≈35.0（米），即两楼间的斜坡距离BD 至少为35.0米。

九年级数学上册专题突破讲练特殊角的锐角三角函数值及其计算试题青岛版(2021-2022学年)

九年级数学上册专题突破讲练特殊角的锐角三角函数值及其计算试题青岛版(2021-2022学年)

特殊角的锐角三角函数值方法归纳:（1）解有关等边三角形、等腰直角三角形及与30°、45°、６0°角相联系的其他三角形问题时，常常要用特殊角的三角函数值。

(2）必须熟练掌握特殊角的三角函数值，既能由角求三角函数值，又能由三角函数值求角.（3）正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小)而增大（或减小），余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)。

总结:1。

特殊角三角函数在计算及应用题里广泛使用，应理解概念并熟练应用。

２． 能够解决含特殊角的三角函数问题，并能根据三角函数值求角的度数。

例题1 如图所示,已知直线y =＼r (，3）ｘ+错误!未定义书签。

，求这条直线与x 轴的夹角（锐角)。

解析：直线与ｘ轴、y 轴相交围成一个直角三角形，然后根据直线与x 轴、y 轴交点坐标即可求解。

答案：设y =错误!x +错误!与x 轴、ｙ轴交点为A 、B 两点,则Ａ（－1,0）、B （0,3）,∴ＯA=1，ＯＢ=错误!未定义书签。

．∴ta ｎ∠BAO ＝错误!=错误!未定义书签。

,∴∠B ＡＯ=６0°。

答：直线与x 轴夹角（锐角）为60°.点拨:本题关键利用Ｒt△ＡＯB 来求出ＯA 、ＯB,进而求出∠BA Ｏ的正切值,最后求出度数,是已知两边求度数的一种常用方法。

例题2已知:如图，Ｒｔ△AＢC中,∠BAC=90°,D是AC上一点，∠A ＢD=∠C,直线ＥF 过点Ｄ,与B Ａ的延长线相交于F ，且EF⊥BC ，垂足为E ．探索:设错误!未定义书签。

＝t ，若△ＡDF∽△ＥDB ，试求ｔ的值。

解析:t 的值就是△ABC 两边的比值,所以我们可以考虑通过相似三角形和其它特殊图形求出AC 与AB 的数量关系，再求其比值。

或者能求出∠ABC 或∠C 的度数也可以，因为∠BAC=90°，在直角三角形中利用三角函数求t 值．答案:∵∠BAC=90°,EF⊥ＢC,∠ADF ＝∠CDE,∴∠F=∠C 。

九年级数学上册 专题突破讲练 几何基本图形：一线三等角试题 (新版)青岛版

九年级数学上册 专题突破讲练 几何基本图形：一线三等角试题 (新版)青岛版

——————————新学期新成绩新目标新方向——————————几何基本图形：一线三等角1. 基本模型注意：利用同角的余角相等证明△ACD∽△BEC2. 模型扩展（1）锐角∆∆BDE CFD~相似依据：运用三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和寻找相等的角度，得出两个三角形相似并加以运用。

（2）钝角注意：（1）相似三角形中对应边要找准。

=；（2）熟练记忆“一线三等角”的基本模型，根据三角形相似可得：BD DC EB CF （3）此模型中共有三组相似三角形，一般考查△BED∽△CDF。

例题 （历城区三模）如图，在△ABC 中，已知AB =AC =5，BC =6，且△ABC ≌△DEF ，将△DEF 与△ABC 重合在一起，△ABC 不动，△DEF 运动，并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于M 点。

（1）若BE =2，求CM 的长；（2）探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；（3）当线段AM 最短时，求重叠部分的面积。

解析：（1）由AB=AC ，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC ≅△DEF 与三角形外角的性质，易证得∠CEM=∠B AE ，则可证得△ABE∽△ECM，就有BA BEEC CM=，即可以得出答案；（2）分别从AE=AM ，AE=EM 与AM=EM 去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；（3）首先设BE=x ，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得()2261935555x CM x x =-+=--+，继而求得AM 的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM 的最小值，继而求得重叠部分的面积。

答案：（1）∵AB =AC ， ∴∠B =∠C ， ∵△ABC ≌△DEF ， ∴∠AEF =∠B ，又∵∠AEF +∠CEM =∠AEC =∠B +∠BAE ， ∴∠CEM =∠BAE ， ∴△ABE ∽△ECM ；∴BA BEEC CM =， ∴524CM=， ∴85CM =；（2）能。

九年级数学上册 专题突破讲练 解决坡角、坡比问题试题 (新版)青岛版

九年级数学上册 专题突破讲练 解决坡角、坡比问题试题 (新版)青岛版

解决坡角、坡比问题坡度、坡角1. 坡度：坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ＝h ∶l 。

2. 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，且i ＝h l＝tan α。

B方法归纳：（或技巧归纳）坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越缓。

总结：1. 理解坡度、坡角的有关概念。

2. 能够解决与坡度有关的三角函数问题，掌握三角函数的综合应用问题。

例题 如图，某地计划在坡比为i ＝1：4的山坡OP （OQ 为地面水平线）上逐排建造楼房AB 、CD 等。

已知楼高（AB 、CD 等）均为20米，又知该地在冬季正午时太阳光线（图示箭头方向）与地面所成的角最小为40°。

（1）求斜坡OP 的坡角的度数；（2）为使冬季正午时后面的楼（CD ）完全不被前面一幢楼（AB ）挡住阳光，问两楼间的斜坡距离BD 至少为多少米？（最后结果四舍五入精确到0.1米）（以下数据供选用：sin14°30'＝0.25，tan14°＝0.25，cos75°30'＝0.25，cos14°＝0.97，tan40°＝0.84）解析：（1）根据坡比即可计算出坡角的度数．（2）可过D 作OQ 的平行线，延长AB 与平行线相交于点H ，构造直角三角形，根据坡度坡角的定义再解答即可。

答案：（1）∵坡比为i ＝1：4，即tan ∠POQ ＝14＝0.25，∴斜坡OP 的坡角的度数为14°。

（2）如图，过D 作OQ 的平行线，交AB 的延长线于点H ，设BH 为x ，则AH ＝20＋x ，DH ＝BH ÷tan ∠POQ ＝4x ，由题意可知，（20＋x ）：4x ＝0.84，解得x ＝8.47，即BH ＝8.47，DH ＝4x ＝33.9，BD ＝DH cos14°＝33.90.97≈35.0（米），即两楼间的斜坡距离BD 至少为35.0米。