第三章导数练习题及答案：导数的概念[1]

导数定义的利用
1
A . 2k
B . k c . — k D .以上都不是 2
分析：本题考查的是对导数定义的理解，根据导数定义直接求解即可
解：由于|im 怏2 X^X (Xo)
X A X
lim f (X o 2 ：x) - f (X o ) 2
二 lim 2 • J o 2
=2 lim 丄^° - x) - f (X o )乜，应选
A
.X 「o -
求曲线方程的斜率和方程
1 5
例 已知曲线y =x 上一点A(2, — )，用斜率定义求: x 2
(1) 点A 的切线的斜率
(2) 点A 处的切线方程
解: (1) ：y = f (2 . ：x) - f (2) -
2(2 ：x)
(2)切线方程为
即 3x -4y 4=0
说明：上述求导方法也是用定义求运动物体 S = S(t)在时刻t o 处的瞬时速度的步骤.
判断分段函数的在段点处的导数
f (X o • ：X )- f (X o )
L X
f(X o 2 ：x) - f(X o )等于( L X
分析: 求曲线在A 处的斜率k A ，即求lim Q
f(2 ：x)- f(2) A x
例
1 2
2(X 2+1)(X M1)
例 已知函数f(x)=<2 ，判断f (x)在X=1处是否可导?
1 2(^1)(^>1)
分析：对分段函数在“分界点”处的导数问题，要根据定义来判断是否可导.
1
_ 2
f (x)在X = 1处不可导.
说明：函数在某一点的导数，是指一个极限值，即lim f (x 。

x) - f (X 0
)，当> 0 ；
u 0 x
包括 x > 0 ； - x > 0 一，判定分段函数在“分界处”的导数是否存在时，要验证其左、 右极限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.
利用导数定义的求解
例 设函数f(x)在点X 0处可导，试求下列各极限的值.
1. lim 心0一小心)；
1
A . - 1
B .— 2
C . - 1 D.-
2
分析：在导数的定义中，增量 的形式是多种多样的，但不论 X 选择哪种形式，：
y 也必须选择相对应的形式•利用函数 f (x)在点x 0处可导的条件，可以将已给定的极限式班 等变形转化为导数定义的结构形式.：x
2. 3. f(X 。

若 f (X 。

) h)-f(x°-h)
2h
=2，则 lim fX —kLMxo)等于()
t 2k 解: 二
1
解法二（导函数的函数值法） L y =、x =x -、x ,
解：1 .原式=■im.o f(x -(x );)f(x o ) f (X Q h ) - f (X o ) f (X Q ) - f (X o -h) 2h
1 lim f(X o 也-心。

)Iim fx-m-fg
2 h Q h he -h A =2 f (X Q ) f (X Q ) L f (X Q ). 1
2 = -1.故选 A . 2 说明：概念是分析解决问题的重要依据， 只有熟练掌握概念的本质属性， 把握其内涵与
外延，才能灵活地应用概念进行解题， 不能准确分析和把握给定的极限式与导数的关系，
盲 目套用导数的定义是使思维受阻的主要原因.
解决这类问题的关键就是等价变形， 使问题转
化. 利用定义求导数
例1 .求函数y =*x 在x =1处的导数;
2.求函数y = x 2 • ax • b （a 、b 为常数）的导数.
分析：根据导数的概念求函数的导数是求导数的基本方法,
处的导数有两种方法，应用导数定义法和导函数的函数值法.
解：1 .解法一（导数定义法）：厶y = 1 ■厶x -1 ,
绢 、一1「- X ~1 _ 1
、1 =x 1
.. 1 _1 .片 _1
叭.、1 * 1 2 y "2
.f (X o X )- f (X Q ) r X
—f (X 。

) 2•原式=I h m Q 3.
f (x 0) =1』m
f 〔X Q (-k)L f (X Q ) =2 (含匚 X - - k ), f(X 。

-k) -f (X Q )
2k
1”(心-倔)
2k )0 -k
1 -1 厂(X
Q ) 确定函数y= f （x ）在x=x 0
X
=lim
1 - - 八。

x ：x . x
2 一 x
2 2
2. . ：y 二[（x . ：x ） a （x L X ） b] -（X ax b ）
2 2
=2x . x （. ：x ） a • ：x = （2x a ） ：x （. ：x ） 严"；（f …
啊― 二 lim （2x a ：x ） = 2x a, y = 2x a.
说明：求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为 已知极限的形式，即导数的定义，这是能够顺利求导的关键，因此必须深刻理解导数的概念.
证明函数的在一点处连续
例 证明：若函数f （x ）在点X 。

处可导，则函数f （x ）在点X 。

处连续.
分析：从已知和要证明的问题中去寻求转化的方法和策略，要证明 续，必须证明lim f （x ）=f （x 。

）.由于函数f （x ）在点x o 处可导，因此，根据函数在点X o 处 X —^。

可导的定义，逐步实现两个转化，一个是趋向的转化，另一个是形式（变为导数定义形式） 的转化.
解：证法一：设 X = X 。

* L X ，则当 X —； X 。

时， X —； 0，
lim f （x ） = lim f （x 。

：x ）
x 旳
二 lim f （x 。

、x ） - f （X o ） f （x 。

）】
x =x 。

忸f （x 。

丁讪八⑷
f （X 。

+ 也X ）— f （X o ） A 丄厂一、
7m 。

X —啊 x 叽f （X 。

） 二 f （X 。

）。

f （X 。

）= f （X o ）. L X L X X L X X f （X o ）在点X 。

处连
•••函数f(X)在点x0处连续.
证法二：•••函数f (x)在点x0处可导，
二在点X0处有
lim [ f (x) - f (x0)] = ljm°. y
=lim - L X = lim - lim t x
X「o ；x X r0Cx J0
=f (x0) 0 = 0
• lim f(x) = f (x0). •函数f (x)在点x0处连续.
X %
说明：对于同一个问题，可以从不同角度去表述，关键是要透过现象看清问题的本质，
正确运用转化思想来解决问题. 函数f (X)在点x0处连续，有极限以及导数存在这三者之间的关系是：导数存在=连续=有极限.反之则不一定成立.证题过程中不能合理实现转化, 而直接理解为lim f(x0•厶x)是使论证推理出现失误的障碍.。