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第9讲 导数研究函数性质及不等式问题[考点分析]从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.[特训典例]题型一 导数研究函数性质例1 (2020·泰安检测)已知函数f (x )＝ln x . (1)求f (x )图象的过点P (0，－1)的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx ＋mx存在两个极值点x 1，x 2，求m 的取值范围.【解析】(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x .设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则切线方程为y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.把点P (0，－1)代入切线方程，得ln x 0＝0，∴x 0＝1. ∴过点P (0，－1)的切线方程为y ＝x －1.(2)因为g (x )＝f (x )－mx ＋m x ＝ln x －mx ＋m x (x >0)，所以g ′(x )＝1x －m －m x 2＝x －mx 2－mx 2＝－mx 2－x ＋m x 2，令h (x )＝mx 2－x ＋m ，要使g (x )存在两个极值点x 1，x 2， 则方程mx 2－x ＋m ＝0有两个不相等的正数根x 1，x 2.故只需满足⎩⎪⎨⎪⎧h (0)>0，12m >0，h ⎝⎛⎭⎫12m <0即可，解得0<m <12.[特训跟踪]1．(2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . ①若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ；②若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围.【解析】①因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x . f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0.所以a 的值为1.②f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值. 若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点. 综上可知，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 2.(2017·北京)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值. 【解析】(1)∵f (x )＝e x ·cos x －x ，∴f (0)＝1，f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，∴f ′(0)＝0， ∴y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0·(x －0)， 即y ＝1.(2)f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，令g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝－2e x sin x ≤0在⎣⎡⎦⎤0，π2上恒成立， 且仅在x ＝0处等号成立，∴g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减， ∴g (x )≤g (0)＝0，∴f ′(x )≤0且仅在x ＝0处等号成立，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减， ∴f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2. 题型二 单、双变量不等式证明 例2 (2018·全国卷)已知函数()1ln f x x a x x=-+． ⑴讨论()f x 的单调性；⑵若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．【解析】（1）定义域为()0,+∞，()222111a x ax f x x x x -+'=--+=-．①若0a ≤，则()0f x '<，()f x 在()0,+∞上递减．②若240a ∆=-≤，即02a <≤时，()0f x '≤，()f x 在()0,+∞上递减．③若240a ∆=->，即2a >时，由()0f x '>，可得22a a x -<<，由()0f x '<，可得0x <<x >，所以()f x在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递减，在22a a ⎛+ ⎪⎝⎭上递增．综上所述，当2a ≤时，()f x 在()0,+∞上递减；当2a >时，()f x在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递减，在⎝⎭上递增．【证明】（2）法1：由（1）知，()f x 存在两个极值点，则2a >．因为1x ，2x 是()f x 的两个极值点，所以1x ，2x 满足210x ax -+=，所以12x x a +=，121x x =，不妨设1201x x <<<．()()11221212121211ln ln x a x x a x f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==-- ()()()()21121212121212121212ln ln ln ln ln ln 112x x x x a x x a x x a x x x x x x x x x x x x ---+---=--+=-+---，于是()()()121212212121222ln ln ln ln 2ln 222111f x f x a x x x x x a a x x x x x x x x ----<-⇔-+<-⇔<⇔<⇔----22212ln 0x x x +-<．构造函数()12ln g x x x x=+-，1x >，由（1）知，()g x 在()1,+∞上递减，所以()()10g x g <=，不等式获证．法2：由（1）知，()f x 存在两个极值点，则2a >．因为1x ，2x 是()f x 的两个极值点，所以1x ，2x 满足210x ax -+=，不妨设1201x x <<<，则21x x -=，121x x =．()()11221212121211ln ln x a x x a x f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==-- ()2111121222121212ln ln 112x x x x x x a a x x x x x x x x x x ---+=--+=---，于是()()1212222f x f x a a x x -<-⇔-<-⇔<-2ln ⇔<⇔<⎝⎭．设t =，则a =())lnt t t ϕ=-，0t >，则()110t ϕ'==->，所以()t ϕ在()0,+∞上递增，于是()()00t ϕϕ>=，命题获证．法3：仿照法1，可得()()12121212ln ln 21f x f x x x a x x x x --<-⇔<--，因为121x x =，所以121211212122ln ln ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x x x x x --<⇔⇔->⇔>--，令()0,1t =，构造函数()12ln h t t t t=+-，由（1）知，()h t 在()0,1上递减，所以()()10h t h >=，不等式获证． 例3已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<. 【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设1211,x x a b==，原不等式等价于122x x e <+<，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设21x tx =，从而把12x x e +<转化为()()1ln 1ln 0t t t t -+-<在()1,+∞上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+， 又()1ln 1ln f x x x '=--=-，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,+x ∈∞时，()0f x '<， 故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.（2）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b+=， 故11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设1211,x x a b==，由（1）可知不妨设1201,1x x <<>. 因为()0,1x ∈时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e ∈+∞时，()()1ln 0f x x x =-<， 故21x e <<. 先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立.若22x <， 要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<， 故即证()()122f x f x >-，即证：()()222f x f x >-，其中212x <<. 设()()()2,12g x f x f x x =--<<，则()()()()2ln ln 2g x f x f x x x '''=+-=---()ln 2x x =--⎡⎤⎣⎦， 因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x '>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=， 故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立，综上，122x x +>成立. 设21x tx =，则1t >， 结合ln 1ln +1a b a b+=，1211,x x a b ==可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-，即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t tx t --=-，要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<， 即证：()1ln ln 111t t tt t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<，令()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->， 则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭， 先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+. 设()()ln 1u x x x =+-，则()1111xu x x x -'=-=++， 当10x -<<时，()0u x '>；当0x >时，()0u x '<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+∞上为减函数，故()()max 00u x u ==， 故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭，故()0S t '<恒成立， 故()S t 在()1,+∞上为减函数，故()()10S t S <=， 故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立. 综上所述，112e a b<+<.[特训跟踪]1.（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知函数()1xf x x ae =-+（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =-时，设1210,0x x -<<>且()()125f x f x +=-，证明：12124x x e->-+． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）()1xf x ae ='+，当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增． 当0a <时，令()0f x '>，得1ln x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()0f x '<，得1ln x a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则()f x 的单调递减区间为1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）证明：（法一）设()()231xg x f x x e x =+=-+-，则()3xg x e =-+'， 由()0g x '<得ln3x >；由()0g x '>得ln3x <，故()()max ln33ln340g x g ==-< 从而得()()20g x f x x =+<，()()()()1222125,2520f x f x f x x f x x +=-∴+=--+<，即12124x x e->-+． （法二）()()1212125,3x x f x f x x e e x +=-∴=+--，12122233x x x x e e x ∴-=+--，设()3x g x e x =-，则()3x g x e '=-，由()0g x '<得ln3x >；由()0g x '>得ln3x <，故()()min ln333ln3g x g ==-．1210,0x x -<，1121233ln33ln3x x e e-∴->+-=-，3ln3ln274=<，12124x x e∴->-+．题型三 不等式恒成立和存在性问题 例4 （2020·山东高三模拟）已知函数()21()1ln ()2f x m x x m =--∈R . （1）若1m =，求证：()0f x ≥. （2）讨论函数()f x 的极值；（3）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）存在，1. 【解析】（1）1m =，()21()1ln (0)2f x x x x =-->， 211()x f x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，∴min ()(1)0f x f ==，故()0f x ≥.（2）由题知，0x >，211()mx f x mx x x-'=-+=，①当0m ≤时，21()0mx f x x -'=<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，没有极值；②当0m >时，21()0mx f xx-'==，得x =， 当x⎛∈ ⎝时，()0f x '<；当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0f x '>， 所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎭上单调递增.故()f x 在x=处取得极小值111ln 222f m m =+-，无极大值. （3）不妨令11111()x x x e x h x x e xe----=-=，设11(),(1,),()10x x u x e x x u x e --'=-∈+∞=->在(1,)+∞恒成立，()u x 在[1,)+∞单调递增，()(1)0u x u ∴>=，10x e x -∴-≥在(1,)+∞恒成立，所以，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，由（2）知，当0,1m x ≤>时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立；所以不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立，只能0m >. 当01m <<1>，由（1）知()f x 在⎛ ⎝上单调递减， 所以(1)0f f<=，不满足题意.当m 1≥时，设()21111()1ln 2x F x m x x x e -=---+， 因为1,1m x ≥>，所以11111,1,01,10x x x mx x e ee---≥><<-<-<，322122111111()1x x x x F x mx x x x e x x x---+'=-++->-++-=， 即()22(1)1()0x x F x x--'>>，所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0F =，所以(1,)x ∈+∞时，()0F x >恒成立， 即()()0f x h x ->恒成立，故存在m 1≥，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立， 此时m 的最小值是1.例5【衡水中学2020 届高三第一学期期末】 已知函数1()x f x ea -=+，函数()ln g x ax x =+，a R ∈.（1）求函数()y g x =的单调区间；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若(1,)x ∈+∞，求证不等式12ln 1x ex x -->-+成立.解：函数()g x 的定义域为(0,)+∞，因为()ln g x ax x =+，a R ∈，所以11()ax g x a x x+'=+=. 当0a ≥时，()0g x '>在区间(0,)+∞内恒成立，所以函数()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0a <时，令()0g x '>，得10x a <<-，令()0g x '<，得1x a >-， 所以函数()g x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞.（2）解：()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立， 即1ln 10x ex a ax --+--≤在区间[1,)+∞内恒成立.设1()ln 1x F x e x a ax -=-+--，则(1)0F =，11x F e a x-'=--在区间[1,)+∞内单调递增，所以()(1)F x F a '≥'=-.当0a ≤时，()0F x '≥，()F x 在区间[1,)+∞内为增函数，所以()(1)0F x F ≥=恒成立；当0a >时，(1)0F '<，因为()F x '在区间[1,)+∞内单调递增，所以0(1,)x ∃∈+∞，在区间0(1,)x 内，有()0F x '<，所以()F x 在区间0(1,)x 内单调递减，所以()(1)0F x F <=，这时不合题意.综上所述，实数a 的取值范围为(,0]-∞. （3）证明：要证明在区间(1,)+∞内，12ln 1x ex x -->-+，只需证明1(ln 1)(ln )0x e x x x ---+->，由（2）知，当0a =时，在区间(1,)+∞内，有1ln 10x e x --->恒成立.令()ln G x x x =-，在区间(1,)+∞内，11()10x G x x x-'=-=>， 所以函数()G x 在区间(1,)+∞内单调递增，所以()(1)10G x G >=>，即ln 0x x ->. 所以1(ln 1)(ln )0x e x x x ---+->，所以原不等式成立.[特训跟踪]1.（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知函数()ln ,f x x x kx k R =+∈. （1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式2()f x x x ≤+恒成立，求k 的取值范围；（3）求证：当*n N ∈时，不等式()2212ln 4121ni n n i n =-->+∑成立.【答案】（1）(1)1y k x =+-（2）k 2≤（3）证明见解析 【解析】（1）函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，()1ln f x x k '=++，(1)1f k '=+，∵(1)f k =，∴函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)(1)y k k x -=+-， 即(1)1y k x =+-.（2）由2()f x x x ≤+，()ln f x x x kx =+，则2ln x x kx x x +≤+，即ln 1x k x +≤+，设()ln 1g x x x k =-+-，1()1g x x'=-， ()0,1x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增， ()1,x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，∵不等式2()f x x x ≤+恒成立，且0x >，∴ln 10x x k -+-≤，∴max ()(1)20g x g k ==-≤即可，故k 2≤. （3）由（2）可知：当2k =时，ln 1x x ≤-恒成立， 令2141x i =--，由于*i N∈，21041i >-. 故，2211ln14141i i <---，整理得：()221ln 41141i i ->--， 变形得：()21ln 411(21)(21)i i i ->-+-，即：()211ln 41122121i i i ⎛⎫->-- ⎪-+⎝⎭1,2,3,,i n =时，11ln 31123⎛⎫>-- ⎪⎝⎭，11ln 51123⎛⎫>-- ⎪⎝⎭……，()2111ln 41122121n n n ⎛⎫->-- ⎪-+⎝⎭两边同时相加得：()22211122ln 4112212121ni n n ni n n n n =-⎛⎫->--=> ⎪+++⎝⎭∑， 所以不等式在*n N ∈上恒成立.[特训练习]1.（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知函数()2ln f x x ax =-，a R ∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅰ）当1a =-时，令2()()g x x f x =-，其导函数为()g x '，设12,x x 是函数()g x 的两个零点，判断122x x +是否为()g x '的零点？并说明理由.【答案】（Ⅰ）当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在2(0,)a 单调递增，在2(,)a+∞上单调递减. （Ⅰ）不是，理由见解析 【解析】（Ⅰ）依题意知函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()2f x a x'=- , （1）当0a ≤时， ()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增.（2）当0a >时，由()0f x '=得：2x a=， 则当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>；当2,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<.所以()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a > 时，()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （Ⅰ）122x x +不是导函数()g x '的零点. 证明如下： 当1a =-时，()()222ln g x x f x x x x =-=--. ∵1x ，2x 是函数()g x 的两个零点，不妨设120x x <<，22111111222222222ln 02ln 2ln 02ln x x x x x x x x x x x x ⎧⎧--=-=∴⇒⎨⎨--=-=⎩⎩，两式相减得：()()()12121212ln ln x x x x x x -+-=-即： ()1212122ln ln 1x x x x x x -+-=-， 又()221g x x x-'=-. 则()()()121212121212121212122ln ln 24421ln ln 2x x x x x x g x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤--+⎛⎫=+--=-=--'⎢⎥ ⎪+-+-+⎝⎭⎣⎦. 设12x t x =，∵120x x <<，∴01t <<， 令()()21ln 1t t t t ϕ-=-+，()()()()22211411t t t t t t ϕ-=-=+'+.又01t <<，∴()0t ϕ'>，∴()t ϕ在()0,1上是増 函数， 则()()10t ϕϕ<=，即当01t <<时，()21ln 01t t t --<+，从而()()1212122ln ln 0x x x x x x ---<+，又121200x x x x <<⇒-<所以()()1212121222ln ln 0x x x x x x x x ⎡⎤--->⎢⎥-+⎣⎦，故1202x x g +⎛⎫>⎪⎝⎭'，所以122x x +不是导函数()g x '的零点.2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知2()2ln(2)(1)f x x x =+-+，()(1)g x k x =+．（1）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；（2）若存在01x >-，使得当()01,x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）(,2)-∞ 【解析】（1）证明：当2k =时，()2(1)g x x =+令2()()()2ln(2)(1)2(1)H x f x g x x x x =-=+-+-+，2286()2x x H x x ---'=+，令()0H x '=，即22860x x ---=，解得1x =-或3x =-（舍）． 所以当1x >-时，()0H x '<，()H x 在(1,)-+∞上单调递减． 所以max ()(1)0H x H <-=，所以对于1,x ∀>-()0H x <，即()()f x g x <.（2）由（1）知，当2k =时，()()f x g x <恒成立，即对于1,x >-22ln(2)(1)2(1)x x x +-+<+，不存在满足条件的0x ；当2k >时，对于1x >-，10x +>，此时2(1)(1)x k x +<+， 所以22ln(2)(1)2(1)(1)x x x k x +-+<+<+， 即()()f x g x <恒成立，不存在满足条件的0x ；当2k <时，令2()()()2ln(2)(1)(1)h x f x g x x x k x =-=+-+-+，22(6)(22)()2x k x k h x x --+-+'=+，令2()2(6)(22)t x x k x k =--+-+，又()y t x =为一开口向下的抛物线，且x →+∞时，()t x →-∞， 又(1)2(6)(22)20t k k k -=-++-+=->， 所以必存在0(1,)x ∈-+∞，使得()00t x =．所以()01,x x ∈-时，()0t x >，()0h x '>，()h x 单调递增； 当0(1,)x ∈-+∞时，()0t x <，()0h x '<，()h x 单调递减． 当()01,x x ∈-时，()(1)0h x h >-=，即()()0f x g x ->恒成立， 综上，k 的取值范围为(,2)-∞．3．（2020届山东省淄博市高三二模）（本小题满分12分）设函数()()22ln 11x f x x x =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅰ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅰ）已知数列{}n a 中， 11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：11ln 2n n n na S a a ++>-. 【答案】（Ⅰ）函数()f x在(1-2-+，上单调递减，在()-2+∞单调递增；（Ⅰ）2；（Ⅰ）证明见解析． 【解析】（Ⅰ） ()f x 的定义域为()1-+∞，， ()()22421x x f x x ++=+'1分当12x -<<-+ ()0f x '<，当2x >-+ ()0f x '>2分所以函数()f x在(1-2-+，上单调递减，在()-2+∞单调递增. 3分 （Ⅰ）设()()22ln 11x g x x ax x =++-+，则 ()()()()()22222121142112111x x x x g x a a a x x x +++-++⎛⎫=-=-=--+- ⎪+⎝⎭++'因为x ≥0，故211101x ⎛⎫-<--≤ ⎪+⎝⎭5分（Ⅰ）当2a ≥时， 20a -≤， ()0g x '≤，所以()g x 在[)0,+∞单调递减，而()00g =，所以对所有的x ≥0， ()g x ≤0，即()f x ≤ax ；（Ⅰ）当12a <<时， 021a <-<，若20,1a x a ⎛-∈ -⎝⎭，则()0g x '>， ()g x 单调递增，而()00g =，所以当0,x ⎛∈ ⎝⎭时， ()0g x >，即()f x ax >； （Ⅰ）当1a ≤时， 21a -≥， ()0g x '>，所以()g x 在[)0,+∞单调递增，而()00g =，所以对所有的0x >， ()0g x >，即()f x ax >；综上， a 的最小值为2. 8分（Ⅰ）由()()1111n n a a +-+=得， 11n n n n a a a a ++-=⋅，由11a =得， 0n a ≠， 所以1111n n a a +-=，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，1为公差的等差数列， 故1n n a =， 1n a n =， 111n a n +=+9分 11ln 2n n n na S a a ++>- ⇔ ()()111ln 112123n n n n++<+++++ 由（Ⅰ）知2a =时， ()22ln 121x x x x ++≤+， 0x >， 即()()2ln 121x x x x ++<+， 0x >. 10分法一：令1x n=，得()111ln 21n n n n n ++<+， 即()1111ln 1ln 21n n n n n⎛⎫+-+-< ⎪+⎝⎭ 因为()()()1111ln 1ln ln 12121nk nk k n k k n =⎡⎤⎛⎫+-+-=++ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦∑11分 所以()()111ln 112123n n n n++<+++++12分 故11ln 2n n n na S a a ++>-12分 法二：11ln 2n n n na S a a ++>- ⇔ ()()1111ln 12321nn n n ++++>+++ 下面用数学归纳法证明．（1）当1n =时，令1x =代入()()2ln 121x x x x ++<+，即得11ln24>+，不等式成立（2）假设()*,1n k k N k =∈≥时，不等式成立，即()()1111ln 12321k k k k ++++>+++ 则1n k =+时， ()()111111ln 1231211k k k k k k +++++>++++++ 令11x k =+代入()()2ln 121x x x x ++<+，得()()121ln 11212k k k k k +>+++++ ()()()()()()121ln 1ln 1ln 211211212k k k k k k k k k k k ++++>++++++++++()()()()()()211ln 2ln 221222k k k k k k k k +++=++=+++++即()()111121ln 223122k k k k +++++>++++ 由（1）（2）可知不等式()()1111ln 12321n n n n ++++>+++对任何n *N ∈都成立. 故11ln 2n n n na S a a ++>-12分 4.（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知()ln f x x =，()()2102g x ax bx a =+≠，()()()h x f x g x =-.（Ⅰ）若3,2a b ==，求()h x 的极值；（Ⅰ）若函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，记1202x x x +=，证明：()00h x '<． 【答案】（Ⅰ）极大值为5ln 36--，无极小值；（Ⅰ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）()()23ln 2,0,2h x x x x x =--∈+∞，()()()2311132132x x x x h x x x x x--+--+='∴=--=， 由()()()3110x x h x x--+'==得13x =，且当103x <<时，()0h x '>，即()h x 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当13x >时，()0h x '<，即()h x 在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴当13x =时，()h x 有极大值，且()15=ln336h x h ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭极大值，无极小值． （Ⅰ）函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，不妨设120x x <<，()21111ln 02a h x x x bx ∴=--=，()222222ln 02h x x x bx =--=． ()()2212111222ln ln 22a ah x h x x x bx x x bx ∴-=-----()()22121212ln ln 02a x x x x b x x =-----=， 即()()22121212ln ln 2a x x x xb x x -=-+-， 又()()()()1h x f x g x ax b x ='=-''-+，1202x x x +=，()1201222x x h x a b x x '+⎛⎫∴=-+ ⎪+⎝⎭，()()()12120121222x x x x h x x x a b x x ⎛⎫+∴-=--- ⎪+⎝⎭'()()()1222121212212x x a x x b x x x x -⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦()()1212122ln ln x x x x x x -=--+12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+．令()1201x t t x =<<，则()()()21ln 011t r t t t t ，-=-<<+()()()()222141011t r t t t t t--∴=-=<++'， ()r t ∴在()0,1上单调递减，故()()10r t r >=，12112221ln 01x xx x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴->+，即()()1200x x h x '->，又120x x -<，()00h x ∴'<．5.（2020·山东高三下学期开学）已知函数()ln 1f x x x =-，()()22g x ax a x =--.（1）设函数()()()H x f x g x '=-，讨论()H x 的单调性；（2）设函数()()()2G x g x a x =+-，若()f x 的图象与()G x 的图象有()11A x y ，，()22B x y ，两个不同的交点，证明：()12ln 2ln 2x x >+.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】（1）()()()()221H x f x g x lnx ax a x =-=++-+'，定义域为(0,)+∞，()()()()()2221211122ax a x x ax H x ax a x x x -+-+-++=-+-='=. 当0a ≥时，()H x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减. 当20a -<<时，令()0H x '>，得1102x a ⎛⎫⎛⎫∈-+∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，所以()H x 在1a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，，102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增；令()0H x '<，得112x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以()H x 在112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减. 当2a =-时，()0H x '≥，()H x 在()0+∞，上单调递增. 当2a <-时，令()0H x '>，得1102x a ⎛⎫⎛⎫∈+∞⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，所以()H x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，10a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增；令()0H x '<，得112x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以()H x 在112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减.（2）()()()22G x g x a x ax =+-=，因为函数()f x 的图象与()G x 的图象有两个不同的交点，所以关于x 的方程21ax xlnx =-，即1ax lnx x=-有两个不同的根. 由题知1111lnx ax x -=①，2221lnx ax x -=②，①+②得()()12121212x x ln x x a x x x x +-=+③，②-①得()22121112x x x ln a x x x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭④.由③，④得()()1212212122112x x x x x ln x x ln x x x x x ++-=-，不妨设120x x <<，记211x t x =>.令()()()2111t F t lnt t t -=->+，则()()()2101t F t t t '-=>+，所以()F t 在()1+∞，上单调递增，所以()()10F t F >=， 则()211t lnt t ->+，即()2121122x x x lnx x x ->+，所以()()12122121221122x x x x x ln x x ln x x x x x ++-=>-. 因为()()()()12121212121222x x ln x x ln x x ln x x x x +-<==所以22>，即1>.令()2x lnx xφ=-，则()x φ在()0+∞，上单调递增.又)12112ln ln e -=+-<，所以)1ln >>，即)φφ>，所以2122x xe >.两边同时取对数可得()1222ln x x ln >+，得证.6.（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知函数()()20f x lnx ax x a =--+≥．()1讨论函数()f x 的极值点的个数；()2若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：()()12322f x f x ln +>-．【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】()1函数()()20f x lnx ax x a =--+≥，()()2212121210ax x ax x f x ax x x x x-+-+-∴=--+>=-'=， 0x > 0a ≥，∴当0a =时，()1x f x x'-=，0x >，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；∴当1x =时，()f x 有极小值；当18a ≥时，0≤，故()0f x '≤，()f x ∴在()0,+∞上单调递减，故此时()f x 无极值； 当108a <<时，0>，方程()0f x '=有两个不等的正根1x ，2x ．21可得1x =2x =10,4x a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭及1,4x a ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时， ()0f x '<，()f x 单调递减；当11,44x a a ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '> ；()f x 单调递增； ()f x ∴在1x x =处有极小值，在2x x =处有极大值．综上所述：当0a =时，()f x 有1个极值点； 当18a ≥时，()f x 没有极值点；当108a <<时，()f x 有2个极值点． ()2由()1可知当且仅当10,8a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 有极小值点1x 和极大值点2x ，且1x ，2x 是方程的两个正根， 则1212x x a +=，1212x x a=． ()()()(()()2121212121211[)2ln 212144f x f x x x a x x x x lnx lnx a lna ln a a ⎤∴+=+-+--+=++=+++⎦； 令()1214g a lna ln a =+++，108a <<；()24104a g x a -'=<， ()g a ∴在10,8⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故()13228g a g ln ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭， ()()12322f x f x ln ∴+>-．。
高中数学新教材人教A版《导数的概念》优秀说课稿模板一、教学目标•通过本节课的学习，使学生掌握导数的概念和计算方法。
•培养学生分析问题、解决问题的能力。
•培养学生的逻辑思维和推理能力。
二、教学重点•导数的概念的理解。
•导数的计算方法的掌握与运用。
三、教学内容1.导数的定义–导数的定义及其基本含义。
–导数的几何意义。
2.导数的计算–导数的计算公式。
–导数的运算法则。
–利用导数计算函数的极值。
四、教学过程1. 导入导出介绍本节课将学习的内容：《导数的概念》。
2. 导数的定义引导学生思考：如何理解导数的定义？导数的几何意义是什么？通过实际例子向学生解释导数的定义及其基本含义，并讲解导数的几何意义。
3. 导数的计算a. 导数的计算公式•引导学生回顾常见函数的导数计算公式，并通过练习题让学生熟悉常见函数的导数计算方法。
b. 导数的运算法则•介绍导数的四则运算法则，并通过例题让学生掌握导数的运算法则。
c. 利用导数计算函数的极值•引导学生了解导数与函数极值之间的关系，并通过例题让学生掌握如何利用导数计算函数的极值。
4. 练习与巩固通过一些练习题，让学生巩固所学的内容，并引导学生在解题过程中养成合理思维和推理的习惯。
5. 拓展延伸通过拓展延伸的问题，提高学生的思维拓展能力和创新思维能力，并培养学生独立解决问题的能力。
6. 总结与反思总结本节课所学内容，帮助学生巩固所学知识，并引导学生进行思考和反思。
五、教学资源•课本：高中数学教材人教A版。
六、教学评价与作业布置1. 教学评价•对学生掌握导数的概念和计算方法的程度进行评价。
•通过讲解中与学生的互动，对学生的思维能力和逻辑推理能力进行评价。
2. 作业布置布置若干道练习题作为课后作业，巩固所学知识。
七、板书设计•导数的定义•导数的计算公式•导数的运算法则•利用导数计算函数的极值八、教学反思通过此次课堂教学，我发现学生对导数的概念理解较为深刻，能熟练运用导数的计算方法。
导数的定义及可导条件教案一、导数的定义1.导数的定义导数是函数在其中一点上的变化率，描述了函数在该点附近的变化情况。
对于函数y=f(x)，在点x=a处的导数表示为f'(a)或(dy/dx)，x=a，它的定义如下：f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量x在点a处的增量。
2.几何意义导数表示了函数图像在其中一点上的切线的斜率，也就是函数曲线在该点附近的近似变化率。
如果函数在其中一点上的导数为正，说明函数在该点的图像向上运动；如果导数为负，则图像向下运动；若导数为零，则说明函数在该点处有极值。
3.物理意义导数也可以理解为物理学上的速度，例如，如果一个物体的位置随时间的变化满足函数y=f(t)，那么物体在t=a时刻的速度就是f'(a)。
二、可导条件1.可导定义如果函数在其中一点附近的导数存在，那么函数在该点是可导的。
具体而言，对于函数y=f(x)，如果该函数在点x=a处的导数存在，那么函数在点a可导。
2.可导的充分条件（1）函数在其中一点上可导的充分条件是：在该点附近函数图像连续；（2）在该点附近函数图像的两侧存在相同的单侧导数。
3.可导的必要条件函数在其中一点可导的必要条件是：在该点附近函数图像存在切线。
这意味着函数在该点附近不允许出现尖点、间断点、垂直切线、奇点等。
4.常见函数的可导性常见的函数可导的条件如下：（1）多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数和三角函数在其定义域内都是可导的；（2）复合函数的可导性需要应用链式法则等求导法则来判断。
三、导数的计算方法1.基本导数公式常见函数的导数计算如下：（1）常数函数的导数为零；（2）幂函数的导数为其指数乘以x的指数减一次幂；（3）指数函数的导数为该指数乘以常数e的指数；（4）对数函数的导数为其自变量的导数的倒数；（5）三角函数的导数为其对应函数的导数。
2.导数运算法则（1）常数倍法则：导数与常数的乘积等于常数与导数的乘积；（2）和差法则：导数与和的导数等于导数的和；（3）乘积法则：导数的乘积等于第一个函数在x处的导数乘以第二个函数在x处的函数值再加上第一个函数在x处的函数值乘以第二个函数在x处的导数；（4）商法则：导数的商等于分子函数在x处的导数乘以分母函数在x处的函数值再减去分子函数在x处的函数值乘以分母函数在x处的导数，整除以分母函数在x处的函数值的平方。
授课主题导数教学目的1．了解导数概念的实际背景．理解导数的几何意义． 2.能利用导数公式求一些函数的导函数3.利用导数研究函数的单调性，极值以及最值。
教学重点导函数的计算,利用导数求单调区间，极值，最值教学内容1．导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx ＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y '=.2．导函数如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内每一个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是在区间(a ，b )内____构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )或y ′.3．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________．4．基本初等函数的导数公式原函数 导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝________ f (x )＝sin x f ′(x )＝________ f (x )＝cos x f ′(x )＝________ f (x )＝a x f ′(x )＝________ f (x )＝e x f ′(x )＝________ f (x )＝log a x f ′(x )＝________ f (x )＝ln xf ′(x )＝________5．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝__________； (2)[f (x )·g (x )]′＝__________； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝__________(g (x )≠0)． 6．复合函数的导数设u ＝v (x )在点x 处可导，y ＝f (u )在点u 处可导，则复合函数y ＝f [v (x )]在点x 处可导，且f ′(x )＝________，即y ′x ＝________.1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )． A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2Δx 22．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )．A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )． A ．(－1,1) B ．(－1，－1) C ．(1,1)或(－1，－1) D ．(1，－1)4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )． A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．05．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________． 6．y ＝sin 2x 的导数为__________．一、根据导数的定义求函数的导数【例1－1】已知f ’(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2f (x )－3x －2＋1的值为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例1－2】用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．方法提炼1．根据导数的概念求函数的导数是求导的基本方法．确定y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数有两种方法：一是导数的定义法，二是导函数的函数值法．2．求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的求解步骤：二、利用求导公式、法则求导 【例2】求下列函数的导数： (1) y ＝(2x －3)2； (2)y ＝tan x ； (3)y ＝x e x ；(4)y ＝ln x x ..方法提炼一般来说，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数的要先化简；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式．三、导数的几何意义【例3】已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．【变式练习】1.函数)(x f y =在点),(00y x 处的切线方程为12+=x y ,则xx x f x f x ∆∆--→∆)2()(lim000等于（ ） A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】A2.直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3相切于点A(1,3),则2a+b 的值为A.2B ．-1C ．1D ．-2 【答案】C3.已知直线13+=x y 与曲线n mx x y ++=3相切于点)4,1(,则_____=m .方法提炼1．求曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线方程(1)求出函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)即为曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率； (2)由切点(x 0，f (x 0))和斜率f ′(x 0)，用点斜式写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再化为一般式即可．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.2．求曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线方程可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎨⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)解出x 1，进而确定过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 1)(x －x 0)，再化为一般式即可．3．“过某点”与“在某点处”的切线是不同的，过某点的切线，此点并不一定是切点，在某点处的切线才表明此点是切点．无论是求函数在某点的切线还是过某点的切线，首先都是求(或设)切点坐标得出切线的斜率，再解决问题．曲线在某点处的切线只有一条，而过某点的切线可以不止一条．对“在某点处”与“过某点”字眼的区分【典例】若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )． A ．－1或－2564 B ．－1或214 C ．－74或－2564 D ．－74或7解析：因为点(1,0)不在曲线y ＝x 3上，所以应从设切点入手来求切线方程，再利用切线与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切求a 的值．设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A ． 答案：A答题指导：1．在解答本题时有两个易错点：(1)审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点； (2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系，而必须设出切点． 2．解决与导数的几何意义有关的问题时，以下几点在备考时要高度关注： (1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键； (2)基本初等函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握； (3)对于直线的方程与斜率公式的求解，要熟练掌握．1．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－2x )2x ＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )．A ．2B ．－1C ．1D ．－2 2．y ＝x 2cos x 的导数y ′＝__________.3．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是__________． 4．(2012安徽高考)设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax ＋b (a ＞0)． (1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．四 导数研究函数的单调性 函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增； 如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．所以，求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．例1．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+例2．已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围．1.若函数1)1(2131)(23+-+-=x a ax x x f 在区间()4,1内为减函数,在区间()∝+,6为增函数,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]2,∝-B ．[]7,5C ．[]6,4D ．(][)∝+⋃∝-,75,.【答案】B2.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x ∈R,f ′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为（ ）A ．(-1,1)B ．(-1,+∞)C ．(-∞,-1)D ．(-∞,+∞)【答案】B3.已知函数()f x 的导函数图象如图所示,若ABC ∆为锐角三角形,则一定成立的是（ ）A ．(cos )(cos )f A fB < B ．(sin )(cos )f A f B <C ．(sin )(sin )f A f B >D ．(sin )(cos )f A f B > 【答案】D4.已知函数a R x e ax x x f x ),()()(2∈-=为实数.(1)当0=a 时,求函数)(x f 的单调增区间;(2)若)(x f 在闭区间[-1,1]上为减函数,求a 的取值范围.1xyO ∙五、函数的极值设函数满足（1）在点的邻域内可导；（2），那么，（1）若在左侧附近,在右侧附近，则为极大值；（2）若在左侧附近,在右侧附近，则为极小值；（3）若在左右两侧同号，则不是极值点。
导数的定义及可导条件教案第一章：导数的基本概念1.1 引入导数的概念解释导数的定义：导数是函数在某一点的瞬时变化率，表示函数图像上某点切线的斜率。
举例说明导数的概念：如直线、抛物线、指数函数等图形的切线斜率。
1.2 导数的几何意义解释导数的几何意义：导数表示函数图像在一点的切线斜率，即函数曲线在某一点的瞬时变化率。
演示导数的几何意义：通过图形演示函数图像的切线斜率变化。
第二章：导数的计算2.1 基本函数的导数计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数。
举例说明基本函数导数的计算方法。
2.2 导数的运算法则介绍导数的四则运算法则：加法、减法、乘法、除法。
举例说明导数的运算法则的应用。
第三章：可导条件3.1 连续性与可导性解释连续性与可导性的关系：函数在某一点连续不一定可导，但某一点可导必定连续。
举例说明连续性与可导性的区别。
3.2 可导条件的判断介绍可导条件的判断方法：利用导数的定义、导数的运算法则、连续性与可导性的关系。
举例说明可导条件的判断应用。
第四章：导数的应用4.1 函数的单调性解释函数的单调性：函数在某区间内单调递增或单调递减。
利用导数判断函数的单调性：导数大于0表示函数单调递增，导数小于0表示函数单调递减。
4.2 函数的极值解释函数的极值：函数在某一点的局部最大值或最小值。
利用导数找函数的极值：导数为0的点可能是极值点，还需判断是极大值还是极小值。
第五章：导数与曲线图像5.1 导数与曲线切线解释导数与曲线切线的关系：导数表示曲线在某一点的切线斜率。
举例说明导数与曲线切线的关系。
5.2 导数与曲线图像的凹凸性解释导数与曲线图像凹凸性的关系：二阶导数表示曲线的凹凸性。
举例说明导数与曲线图像凹凸性的关系。
第六章：高阶导数6.1 高阶导数的定义解释高阶导数的定义：函数的导数的导数称为高阶导数。
举例说明高阶导数的计算方法。
6.2 高阶导数的应用介绍高阶导数的应用：如速度与加速度的关系、物理中的加速度等。
导数的定义及可导条件教案第一章：导数的基本概念1.1 引入导数的概念解释导数的定义：导数是函数在某一点处的瞬时变化率，表示函数在某一点的局部性质。
举例说明导数的含义：如速度、加速度等物理量的变化率。
1.2 导数的符号与表示方法介绍导数的符号：常用的导数符号为dy/dx 或f'(x)解释导数的几何意义：函数图像在某一点的切线斜率。
1.3 导数的计算法则强调导数的计算法则：导数的计算遵循一些基本的法则，如四则运算法则、链式法则、幂函数法则等。
第二章：导数的计算2.1 常数函数的导数证明常数函数的导数为0：由于常数函数的图像为水平线，其斜率为0，导数为0。
2.2 幂函数的导数推导幂函数的导数公式：对于函数f(x) = x^n，其导数为f'(x) = nx^(n-1) 2.3 指数函数与对数函数的导数引入指数函数的导数：对于函数f(x) = a^x，其中a 是常数，其导数为f'(x) = a^x ln(a)引入对数函数的导数：对于函数f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x第三章：可导条件3.1 连续性是可导的条件之一解释连续性是可导的条件：函数在某一点连续是其在该点可导的必要条件，但不是充分条件。
3.2 不同的iable性是可导的条件之一介绍不同的iable性：函数在某一点可导的充分必要条件是其在该点不同的iable，即存在极限。
3.3 导数的极限性是可导的条件之一解释导数的极限性：函数在某一点可导的充分必要条件是其在该点的导数存在极限。
第四章：导数的应用4.1 函数的单调性解释单调性的概念：函数在某个区间内单调递增或单调递减，即导数的符号不变。
4.2 函数的极值介绍极值的概念：函数在某一点取得局部最大值或最小值，即导数为0的点。
4.3 函数的图像分析利用导数分析函数图像：通过导数的正负变化来判断函数的单调性、极值等性质。
第五章：练习题提供一些有关导数定义及可导条件的练习题，让学生巩固所学知识。
《导数的概念教案》word版第一章：导数的概念1.1 导入利用实际例子引入变化率的概念，如物体运动的速度、温度变化等。
引导学生思考如何描述函数在某一点的“变化率”。
1.2 导数的定义介绍导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
解释导数的几何意义：函数图像在某一点的切线斜率。
强调导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
1.3 导数的计算介绍导数的计算方法：极限法、导数的基本公式、导数的运算法则。
强调导数计算中需要注意的问题，如函数的连续性、可导性等。
1.4 导数的应用介绍导数在实际问题中的应用，如最优化问题、物理运动问题等。
引导学生思考如何利用导数解决实际问题。
第二章：导数的性质与法则2.1 导数的性质介绍导数的性质，如单调性、连续性、可导性等。
通过实例引导学生理解导数性质的应用。
2.2 导数的运算法则介绍导数的运算法则，如四则运算法则、复合函数运算法则等。
利用导数的运算法则进行函数求导。
2.3 导数的应用利用导数研究函数的单调性、极值、拐点等。
引导学生思考如何利用导数解决实际问题。
第三章：函数的单调性与极值3.1 函数的单调性介绍函数单调性的概念，如何判断函数的单调性。
利用导数判断函数的单调性。
3.2 函数的极值介绍函数极值的概念，如何求解函数的极值。
利用导数求解函数的极值。
3.3 函数的拐点介绍函数拐点的概念，如何求解函数的拐点。
利用导数求解函数的拐点。
第四章：导数在实际问题中的应用4.1 运动物体的瞬时速度与加速度利用导数求解运动物体的瞬时速度与加速度。
解释瞬时速度与加速度的概念及物理意义。
4.2 函数的最值问题利用导数求解函数的最值问题。
解释最值问题的实际意义，如成本最小化、收益最大化等。
4.3 曲线的切线与法线利用导数求解曲线的切线与法线。
解释切线与法线的概念及几何意义。
第五章：高阶导数与隐函数求导5.1 高阶导数介绍高阶导数的概念，如何求解高阶导数。
强调高阶导数在实际问题中的应用，如加速度与瞬时加速度的关系。
