第一节 导数的概念及运算、定积分

第一节 导数的概念及运算 定积分考试要求1．了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.4.能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数．5．了解定积分的实际背景；了解定积分的基本思想，定积分的概念，微积分基本定理的含义．[知识排查·微点淘金]知识点1 导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的定义，称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim x →0_f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim x →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim x →0Δy Δx ＝lim x →0_f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx． [微思考]f ′(x )与f ′(x 0)有什么．提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，所以[f ′(x 0)]′＝0. 知识点2 导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是：在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[微思考]直线与曲线只有一个公共点，则该直线一定与曲线相切吗？为什么？提示：不一定．因为直线与曲线的公共点个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线有一个公共点，但切点一定是直线与曲线的公共点．[微提醒]1．“过”与“在”：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．2．“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．知识点3 求导公式及运算法则 (1)基本初等函数的导数公式 ①c ′＝0；②(x α)′＝αx α－1(α∈Q 且α≠0)； ③(sin x )′＝cos_x ； ④(cos x )′＝－sin_x ； ⑤(a x )′＝a x ·ln_a ； ⑥(e x )′＝e x ； ⑦(log a x )′＝1x ln a； ⑧(ln x )′＝1x ．(2)导数的运算法则 ①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； ③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）·g （x ）－g ′（x ）·f （x ）g （x ）(g (x )≠0)． (3)复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积．设y ＝f (u )，u ＝g (x )，则y ′x ＝f ′(u )·g ′(x )．知识点4 定积分(1)定积分的概念、几何意义及性质 ①定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．②定积分的几何意义y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积f (x )＜0 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积的相反数f (x )在[a ，b ] 上有正有负表示位于x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于x 轴下方的曲边梯形的面积③定积分的三个性质a.⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；b.⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；c.⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛ab f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．(2)微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式 .通常记作⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．如果F ′(x )＝f (x )，那么称F (x )是f (x )的一个原函数． 常用结论函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有1．若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x ；2．若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(×) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．(×) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(5)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．(×) (6)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .(√)2．(链接教材选修2－2 P 50A 组T 5)定积分⎠⎛－11|x |d x ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：A3．(链接教材选修2－2 P 3例题)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________m/s ，加速度a ＝________m/s 2.答案：－9.8t ＋6.5 －9.84．(不会用方程法解导数求值)已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f (2)＝________．解析：因为f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)，令x ＝2，得f ′(2)＝－2，所以f (x )＝x 2－6x ，所以f (2)＝－8.答案：－85．(混淆在点P 处的切线和过P 点的切线)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则a 的值为________；b 的值为________．解析：y ′＝a e x ＋ln x ＋1 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，a e ＝2＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1e，b ＝－1. 答案：1e－1一、基础探究点——导数的运算(题组练透)1．已知f (x )＝cos 2x ＋e 2x ，则f ′(x )＝( ) A ．－2sin 2x ＋2e 2x B ．sin 2x ＋e 2x C ．2sin 2x ＋2e 2x D ．－sin 2x ＋e 2x解析：选A 由题意f ′(x )＝－sin 2x ·2＋e 2x ·2＝－2sin 2x ＋2e 2x ，故选A. 2．已知f (x )＝x (2021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2022，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B 因为f (x )＝x (2021＋ln x )， 所以f ′(x )＝2021＋ln x ＋1＝2022＋ln x . 又f ′(x 0)＝2022，所以2022＋ln x 0＝2022，所以x 0＝1.故选B.3．(2020·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a，若f ′(1)＝e4，则a ＝________．解析：由f ′(x )＝e x （x ＋a ）－e x （x ＋a ）2，可得f ′(1)＝e a （1＋a ）2＝e 4，即a （1＋a ）2＝14，解得a ＝1.答案：14．若f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2，则f ′(x )＝________．解析：由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2，∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3.答案：1－1x －2x 2＋2x31.求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导.2.常见形式及具体求导方法连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导 对数形式 先化为和、差形式，再求导复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元二、应用探究点——导数的几何意义(多向思维)[典例剖析]思维点1 求曲线的切线方程[例1] (2021·全国甲卷)[一题多解]曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为______．解析：解法一：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2（x ＋2）－（2x －1）（x ＋2）2＝5（x ＋2）2，所以y ′|x ＝－1＝5（－1＋2）2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.解法二：本题可以先将函数转化为y ＝2（x ＋2）－5x ＋2＝2－5x ＋2，再求导数．答案：5x －y ＋2＝0解决这类问题的方法都是根据曲线在点(x 0，y 0)处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，直接求解或结合已知所给的平行或垂直等条件得出关于斜率的等式来求解．解决这类问题的关键是抓住切线的斜率．思维点2 求切点坐标[例2] 若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1， 所以切线的斜率k ＝ln x 0＋1，由题意知k ＝2，得x 0＝e ，代入曲线方程得y 0＝e. 故点P 的坐标是(e ，e)． 答案：(e ，e) [拓展变式][变条件]若本例变为：曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则该切线的方程为________．解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为y ′＝ln x ＋1，由题意得ln x 0＋1＝1， 所以ln x 0＝0，x 0＝1，即点P (1，0)， 所以切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝0已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．思维点3 由曲线的切线(斜率)求参数值(范围)[例3] (1)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2解析：依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1.故选C.答案：C(2)若点P 是函数y ＝e x －e －x －3x ⎝⎛⎭⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是________．解析：由导数的几何意义，知k ＝y ′＝e x ＋e －x －3≥2 e x ·e －x －3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)．又－12≤x ≤12，tan α＝k ＜0，所以α的最小值是3π4.答案：3π4解与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数；①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．思维点4 两曲线的公切线问题[例4] 设x 1为曲线y ＝－1x (x <0)与y ＝ln x 的公切线的一个切点横坐标，且x 1<0，则满足m ≥x 1的最小整数m 的值为________．解析：y ＝－1x (x <0)的导数为y ′＝1x 2，y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，设与y ＝ln x 相切的切点的横坐标为n ， 由切线方程y ＝1n x ＋ln n －1，以及y ＝x x 21－2x 1，可得1n ＝1x 21，ln n －1＝－2x 1，消去n ，可得2－x 1＝2ln(－x 1)－1，设t ＝－x 1(t >0)，可得2t＝2ln t －1，设f (t )＝2ln t －1－2t ，可得f (2)＝2ln 2－2<0，f (3)＝2ln 3－53>0，且f (t )在(2，3)递增，可得2t ＝2ln t －1的根介于(2，3)之间，即有x 1∈(－3，－2)，m ≥x 1恒成立，可得m ≥－2，即m 的最小值为－2. 答案：－2解决两曲线的公切线问题的两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f （x 1）－g （x 2）x 1－x 2.[学会用活]1．(2020·全国卷Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．解析：设切点坐标为(x 0，ln x 0＋x 0＋1)．由题意得y ′＝1x ＋1，则该切线的斜率k ＝1x 0＋1＝2，解得x 0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .答案：2x －y ＝02．(2021·贵阳模拟)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)·x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．解析：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立，∴a ＝1，f ′(x )＝3x 2＋1，3x 20＋1＝1，x 0＝0，f (x 0)＝0， ∴切点P (x 0，f (x 0))的坐标为(0，0)． 答案：(0，0)3．已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 在x ＝e 处的切线平行，则实数k 的值为________． 解析：由y ＝x ln x ，得y ′＝ln x ＋1，所以当x ＝e 时，y ′＝ln e ＋1＝2，所以曲线y ＝x ln x 在x ＝e 处的切线的斜率为2.又该切线与直线y ＝kx －2平行，所以k ＝2.答案：24．(2021·内蒙古包头一模)若曲线f (x )＝a ln x (a ∈R )与曲线g (x )＝x 在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为________．解析：函数f (x )＝a ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ，g ′(x )＝12x ，设曲线f (x )＝a ln x与曲线g (x )＝x 的公共点为(x 0，y 0)，由于在公共点处有共同的切线，∴a x 0＝12x 0，解得x 0＝4a 2，a ＞0. 由f (x 0)＝g (x 0)，可得a ln x 0＝x 0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4a 2，a ln x 0＝x 0，解得a ＝e2.答案：e 2三、应用探究点——定积分(多向思维)[典例剖析]思维点1 定积分的计算[例5] 计算：(1)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝________．(2)若f (x )＝3＋2x －x 2，则⎠⎛13f (x )d x 为______．(3)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为________．解析：(1)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝2.(2)由y ＝3＋2x －x 2＝4－（x －1）2，得(x －1)2＋y 2＝4(y ≥0)，表示以(1，0)为圆心，2为半径的圆在x 轴及其上方的部分，所以⎠⎛133＋2x －x 2d x 是圆面积的14.所以⎠⎛133＋2x －x 2d x ＝14·π·22＝π.(3)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e]，因为⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2， (ln x )′＝1x ，所以⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13＋1＝43.答案：(1)2 (2)π (3)43应用微积分基本定理计算定积分的步骤1．把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． 2．把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分． 3．分别用求导公式找到一个相应的原函数． 4．利用微积分基本定理求出各个定积分的值． 5．计算原始定积分的值．思维点2 利用定积分求平面图形的面积[例6] [一题多解]由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积为________． 解析：如图所示，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，解得两交点的坐标分别为(2，－2)，(8，4)． 解法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和，即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝23(2x )32⎪⎪⎪20＋⎣⎡⎦⎤13（2x ）32－12x 2＋4x ⎪⎪⎪82＝163＋⎝⎛⎭⎫643－263＝543＝18. 解法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积为S ＝⎠⎛－24⎝⎛⎭⎫y ＋4－12y 2d y ＝⎝⎛⎭⎫12y 2＋4y －16y 3⎪⎪⎪4－2＝18. 答案：18 [拓展变式]1．[变条件]若本例变为：由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为⎠⎛－11(2x 2＋4x ＋2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 3＋2x 2＋2x |1－1＝⎝⎛⎭⎫23×13＋2×12＋2×1－⎣⎡⎦⎤23×（－1）3＋2×（－1）2＋2×（－1）＝163. 答案：1632．[变条件，变结论]若本例变为：设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________．解析：封闭图形如图所示，则⎠⎛0ax d x ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49. 答案：49利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形．(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差． (4)计算定积分得出答案．[学会用活]5.⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛－224－x 2d x ＝________．解析：⎠⎛1e 1x d x ＝ln x |e 1＝1－0＝1，因为⎠⎛－224－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4在x 轴及其上方的面积，故⎠⎛－224－x 2d x ＝12π·22＝2π，故答案为2π＋1.答案：2π＋16．(2021·江西宜春重点高中月考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，－4≤x ＜0，4cos x ，0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意可得围成的封闭图形的面积 S ＝⎠⎛－4(x ＋4)d x ＋∫π204cos x d x＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋4x |0－4＋4sin x |π20 ＝0－(8－16)＋4sin π2－0＝12.答案：12限时规范训练 基础夯实练1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：选C ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，故选C.2．(2021·晋南高中联考)函数f (x )＝ln 2x －1x 的图象在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线方程为( ) A ．y ＝6x －5 B ．y ＝8x －6 C ．y ＝4x －4D ．y ＝10x －7解析：选A f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 1－2＝－2，因为f ′(x )＝1x ＋1x 2，所以f ′⎝⎛⎭⎫12＝6，所以切线方程为y －(－2)＝6⎝⎛⎭⎫x －12，即y ＝6x －5，故选A. 3．已知函数f (x )＝(x 2＋m )e x (m ∈R )的图象在x ＝1处的切线的斜率等于e ，且g (x )＝f （x ）x，则g ′(－1)＝( )A.4e B ．－4eC.e 4D ．－e 4解析：选A 由题意得f ′(x )＝2x e x ＋(x 2＋m )e x ＝(x 2＋2x ＋m )e x ，f ′(1)＝(3＋m )e ，由题意得(3＋m )e ＝e ，所以m ＝－2，所以f (x )＝(x 2－2)e x .解法一：所以g (x )＝f （x ）x ＝⎝⎛⎭⎫x －2x e x ，g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1＋2x 2e x ＋⎝⎛⎭⎫x －2x e x ，所以g ′(－1)＝4e . 解法二：f ′(x )＝(x 2＋2x －2)e x ，f (－1)＝－1e ，所以f ′(－1)＝－3e ，又g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，所以g ′(－1)＝4e.4．(2021·贵阳市四校联考)直线l 过抛物线E ：y 2＝4x 的焦点且与x 轴垂直，则直线l 与E 所围成的图形的面积等于( )A ．2B ．43C.83D ．163解析：选C 由题意，得直线l 的方程为x ＝1，将y 2＝4x 化为y ＝±2x ，由定积分的几何意义，得所求图形的面积为S ＝2⎠⎛012x d x ＝4⎠⎛01x 12d x ＝4×⎝⎛⎭⎫23x 32|10＝83×1＝83，故选C. 5．如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3 B ．⎣⎡⎭⎫π3，π2 C.⎝⎛⎦⎤π2，2π3D ．⎣⎡⎭⎫π3，π解析：选B 根据题意，得f ′(x )≥3，则曲线y ＝f (x )上任一点的切线的斜率k ＝tan α≥ 3. 结合正切函数的图象可得α∈⎣⎡⎭⎫π3，π2.故选B.6．已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1，3)，则a ＝________，b ＝________．解析：因为(x 3＋ax ＋b )′＝3x 2＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3×12＋a ＝2，13＋a ·1＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.答案：－1 37．若f (x )＝13x 3－12f ′(1)·x 2＋x ＋12，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是________．解析：因为f (x )＝13x 3－12f ′(1)x 2＋x ＋12，所以f ′(x )＝x 2－f ′(1)x ＋1，所以f ′(1)＝1－f ′(1)＋1，所以f ′(1)＝1，所以f (1)＝13－12＋1＋12＝43，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是y －43＝x－1，即3x －3y ＋1＝0.答案：3x －3y ＋1＝08．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． 解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1， 又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. 9．(2021·淮南模拟)已知函数f (x )＝x 2－ln x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)在函数f (x )＝x 2－ln x 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎣⎡⎦⎤12，1上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可得f (1)＝1，且f ′(x )＝2x －1x，f ′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y －1＝1·(x －1)，即y ＝x .(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤12，1，不妨设x 1＜x 2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得⎝⎛⎭⎫2x 1－1x 1⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 2＝－1， 又函数f ′(x )＝2x －1x 在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增，函数的值域为[－1，1]， 故－1≤2x 1－1x 1＜2x 2－1x 2≤1，据此有⎩⎨⎧2x 1－1x 1＝－1，2x 2－1x 2＝1，解得x 1＝12，x 2＝1⎝⎛⎭⎫x 1＝－1，x 2＝－12舍去， 故存在两点⎝⎛⎭⎫12，ln 2＋14，(1，1)满足题意． 综合提升练10．已知直线y ＝1m 是曲线y ＝x e x 的一条切线，则实数m 的值为( )A ．－1eB ．－e C.1eD ．e解析：选B 设切点坐标为⎝⎛⎭⎫n ，1m ，对y ＝x e x 求导，得y ′＝(x e x )′＝e x ＋x e x ，若直线y ＝1m 是曲线y ＝x e x 的一条切线，则有y ′|x ＝n ＝e n ＋n e n ＝0，解得n ＝－1，此时有1m ＝n e n ＝－1e ，∴m ＝－e.故选B.11．(2021·新高考卷Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( ) A ．e b ＜a B ．e a ＜b C ．0＜a ＜e bD ．0＜b ＜e a解析：选D 解法一：设切点(x 0，y 0)，y 0＞0，则切线方程为y －b ＝e x 0(x －a )，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－b ＝e x 0（x 0－a ）y 0＝e x 0得e x 0(1－x 0＋a )＝b ，则由题意知关于x 0的方程e x 0(1－x 0＋a )＝b 有两个不同的解．设f (x )＝e x (1－x ＋a )，则f ′(x )＝e x (1－x ＋a )－e x ＝－e x (x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝a ，所以当x ＜a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ＞a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f (a )＝e a (1－a ＋a )＝e a ，当x ＜a 时，a －x ＞0, 所以f (x )＞0，当x →－∞时，f (x )→0，当x →＋∞时，f (x )→－∞，作出函数f (x )＝e x (1－x ＋a )的大致图象如图所示，因为f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，所以0＜b ＜e a ，故选D.解法二：过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方，得0＜b ＜e a ，故选D.12．(2020·全国卷Ⅲ)若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x ＋12C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋12解析：选D 易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，则|b |k 2＋1＝55①，设直线l 与曲线y ＝x 的切点坐标为(x 0，x 0)(x 0＞0)，则y ′|x ＝x 0＝12x 0－12＝k ②，x 0＝kx 0＋b ③，由②③可得b ＝12x 0，将b ＝12x 0，k ＝12x 0－12代入①得x 0＝1或x 0＝－15(舍去)，所以k ＝b ＝12，故直线l 的方程为y ＝12x ＋12.13．(2021·开封市模拟考试)已知函数f (x )＝mx 3＋6mx －2e x ，若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与直线4x ＋y －2＝0平行，则m ＝________．解析：f ′(x )＝3mx 2＋6m －2e x ，则f ′(0)＝6m －2＝－4， 解得m ＝－13.答案：－1314．(2021·江西五校联考)已知函数f (x )＝x ＋a2x ，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1，0)点的切线，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝1－a 2x 2，设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋a 2x 0，则切线方程为y －x 0－a 2x 0＝⎝⎛⎭⎫1－a 2x 20(x －x 0)，又切线过点(1，0)，所以－x 0－a 2x 0＝⎝⎛⎭⎫1－a 2x 20(1－x 0)，整理得2x 20＋2ax 0－a ＝0，又曲线y ＝f (x )存在两条过(1，0)点的切线，故方程有两个不等实根，即满足Δ＝4a 2－8(－a )＞0，解得a ＞0或a ＜－2.答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞)15．(2021·河北六校联考)已知函数f (x )＝x ln x －12mx 2(m ∈R )，g (x )＝－x ＋1e x －2e x ＋e －1e .(1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线与直线x －y ＋1＝0平行，求m ； (2)证明：在(1)的条件下，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，f (x 1)＞g (x 2)成立． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ln x ＋1－mx ，f ′(1)＝1－m ，因为f (x )的图象在(1，f (1))处的切线与直线x －y ＋1＝0平行，所以1－m ＝1，即m ＝0. (2)证明：在(1)的条件下，f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝ln x ＋1， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )＝x ln x 在x ＝1e 时取得最小值f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e ，所以f (x 1)≥－1e . g (x )＝－x ＋1e x －2e x ＋e －1e ，则g ′(x )＝x e x －2e ，令h (x )＝g ′(x )＝x e x －2e，x ＞0，则h ′(x )＝1－xe x ，所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减．所以当x ＞0时，g ′(x )≤g ′(1)＝h (1)＝－1e，因为g ′(x )≤－1e ＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x 2)＜g (0)＝－1e.所以对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，f (x 1)＞g (x 2)．创新应用练16．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2.(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0，3x20＋6x0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。

高数导数第一章知识点总结高数导数第一章知识点总结高等数学中的导数是一个非常重要的概念，它是微分学的基础。

导数的概念由牛顿和莱布尼兹在17世纪发现，并逐渐发展为现代微分学的基础。

导数的概念在物理、数学、经济等多个领域中起着重要的作用。

在高等数学教学中，导数一般是在第一章进行介绍和讲解的。

本文将对高数导数第一章的知识点进行总结。

一、导数的定义及基本概念导数的定义：设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，若极限lim┬(Δx→0)⁡[f（x0+Δx）-f（x0）]/Δx存在，则称此极限为函数y=f（x）在点x0处的导数，记作y’（x0）或f’（x0）。

导数的几何意义：函数y=f（x）在点x0处的导数等于函数的图象通过点（x0，f（x0））处的切线的斜率。

导数的基本运算法则：和差乘商，复合函数的导数法则。

二、常见初等函数的导数常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数的导数。

三、高阶导数和高阶可导性定义：设函数f（x）在开区间I上有定义。

若对I上每一个x，f（x）的导数f’（x）在I上有定义，则称f（x）在I上可导。

定义：若函数f（x）在区间I上f上连续，且在I上每一点可导，那么f（x）在I上的导函数f’（x）在I上也是可导的，则称f（x）在I上二阶可导。

定义：若函数f（x）在区间I上连续，且在I上的每点可导。

在I上的每点的导数f’（x）都在I上可导，则称f （x）在I上三阶可导。

依此类推，我们还可以定义四阶可导，五阶可导等等。

四、隐函数和参数方程的求导隐函数导数的求法：设有方程F（x,y）=0确定一个隐函数y=f（x），当x在一定范围内，由方程F（x,y）=0所确定的y唯一存在并连续。

求y关于x的导数。

参数方程导数的求法：设x=g（t），y=h（t）是由参数方程所确定的函数y=f（x）=h（t）/g（t），求y关于x的导数。

五、高中常见函数的求导法则概率函数，指数函数，幂函数，对数函数，三角函数的求导法则。

高考数学-———导数、定积分知识清单一 、导数的概念●（一）导数的概念函数y=f （x),如果自变量x 在x 0处有增量△x ，那么函数y 相应地有增量△y=f （x 0+△x ）－f （x 0）,比值△y△x 叫做函数y=f （x)在x 0到x 0+△x 之间的平均变化率，即错误!= 错误!。

如果当0→∆x 时，错误!有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y' ｜ x = x0即f ‘（x 0）=0lim→∆x x y∆∆=0lim→∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00.说明:(1）函数f （x)在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果x y∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数.（例如：函数y = |x|在x = 0处得左极限与右极限不相等，所以函数y = |x ｜在x = 0处不存在极限,所以在x = 0处不可导)（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： ① 求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0)；② 求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00;③ 取极限，得导数f ’(x 0)=x yx ∆∆→∆0lim.●（二）导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f(x 0))处的切线的斜率xx f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)(0000'切。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0)。

相应地，切线方程为y －y 0 = f '（x 0）（x －x 0）。

第九讲 导数与定积分一、导数的概念与运算1．导数的概念： )(/x f ＝/y ＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim00。

2．求导数的方法：（1）求函数的增量⊿y ；（2）求平均变化率xy ∆∆；（3）求极限x yx ∆∆→∆0lim 。

3．导数的几何意义：函数y=f(x)在x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点（x 0，y 0）处的切线的斜率，即斜率为)(0/x f 。

过点P 的切线方程为：y- y 0=)(0/x f (x- x 0).4．几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=；xx 1)'(ln =；e xx a a log 1)'(log =；x x e e =)'(；a a a x x ln )'(=。

5．导数的四则运算法则：)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±；[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+；'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭6．复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )ϕ′(x ).二、导数的应用1． 函数的单调性（1） 设y=f(x)在某个区间内可导，若)(/x f >0，则f(x)为增函数；若)(/x f <0，则f(x)为减函数。

导数的概念及运算一、知识梳理1.函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim x ∆→ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0limx ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.3.导数公式表4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1) [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2) [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 y x ′＝y u ′·u x ′.知识点小结：1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2. 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) 解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错.(3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A.－9B.－3C.9D.15解析 因为y ＝x 3＋11，所以y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线方程为y －12＝3(x －1).令x ＝0，得y ＝9. 答案 C3.在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________ m/s ，加速度a ＝______ m/s 2.解析 v ＝h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′(t )＝－9.8. 答案 －9.8t ＋6.5 －9.84.(2019·青岛质检)已知函数f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A.e 2B.1C.ln 2D.e解析 f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x .由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1. 答案 B5.(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________.解析 由题意得f ′(x )＝e xln x ＋e x·1x ，则f ′(1)＝e.答案 e6.(2017·全国Ⅰ卷)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1，2)处的切线方程为________.解析 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x 2， 所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)， 即y ＝x ＋1. 答案 y ＝x ＋1考点一 导数的运算角度1 根据求导法则求函数的导数 【例1－1】 分别求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)f (x )＝ln 1＋2x .解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e xx ＝e x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .(2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x 3. (3)因为y ＝ln1＋2x ＝12ln ()1＋2x ，所以y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x .角度2 抽象函数的导数计算【例1－2】 (2019·天津河西区调研)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x ，则f (1)＝( ) A.－eB.2C.－2D.e解析 由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2. 答案 B【训练1】 (1)若y ＝x －cos x 2sin x2，则y ′＝________. (2)已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析 (1)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .(2)∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2.∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 答案 (1)1－12cos x (2)－4考点二 导数的几何意义 角度1 求切线方程【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－2x B.y ＝－x C.y ＝2xD.y ＝x解析 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以a －1＝0，则a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x . 答案 D角度2 求切点坐标【例2－2】 (1)(2019·聊城月考)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A.3B.2C.1D.12(2)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________. 解析 (1)设切点的横坐标为x 0(x 0>0)，∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12， ∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3. (2)∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x ，∴曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0>0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20，由题意知k 1k 2＝－1，即1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 20＝－1，解得x 20＝1，又x 0>0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y ＝1x (x >0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1，1). 答案 (1)A (2)(1，1)角度3 求参数的值或取值范围【例2－3】 (1)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)(2)(2019·河南六市联考)已知曲线f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋5，则a －b ＝________.解析 (1)由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解. ∴f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x . 因为x ＞0，所以2－1x ＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2). (2)f ′(x )＝1－ax 2，∴f ′(1)＝1－a ，又f (1)＝1＋a ＋b ，∴曲线在(1，f (1))处的切线方程为y －(1＋a ＋b )＝(1－a )(x －1)，即y ＝(1－a )x ＋2a ＋b ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝2，2a ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝7，∴a －b ＝－1－7＝－8. 答案 (1)B (2)－8规律方法 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【训练2】 (1)(2019·东莞二调)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( ) A.(0，0)B.(1，－1)C.(－1，1)D.(1，－1)或(－1，1)(2)(2018·全国Ⅱ卷)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________.解析 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2，得f ′(x )＝3x 2＋2ax . 根据题意可得f ′(x 0)＝－1，f (x 0)＝－x 0，可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 20＝－x 0， ①3x 20＋2ax 0＝－1， ②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，a ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，a ＝2.当x 0＝1时，f (x 0)＝－1，当x 0＝－1时，f (x 0)＝1. ∴点P 的坐标为(1，－1)或(－1，1). (2)由题意得y ′＝2x ＋1.在点(0，0)处切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝2.∴曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x . 答案 (1)D (2)y ＝2x三、课后练习1.(2019·深圳二模)设函数f (x )＝x ＋1x ＋b ，若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线经过坐标原点，则ab ＝( ) A.1B.0C.－1D.－2解析 由题意可得，f (a )＝a ＋1a ＋b ，f ′(x )＝1－1x 2，所以f ′(a )＝1－1a 2，故切线方程是y －a －1a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1a 2(x －a )，将(0，0)代入得－a －1a －b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2(－a )，故b ＝－2a ，故ab ＝－2. 答案 D2.已知函数f (x )＝|x 3＋ax ＋b |(a ，b ∈R )，若对任意的x 1，x 2∈[0，1]，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 当x 1＝x 2时，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立；当x 1≠x 2时， 由f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|得f （x 1）－f （x 2）|x 1－x 2|≤2，故函数f (x )在[0，1]上的导函数f ′(x )满足|f ′(x )|≤2，函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，其中[0，1]上的值域为[a ，a ＋3]，则有⎩⎪⎨⎪⎧|a |≤2，|a ＋3|≤2，解得－2≤a ≤－1.综上所述，实数a 的取值范围为[－2，－1]. 答案 [－2，－1]3.函数g (x )＝ln x 图象上一点P 到直线y ＝x 的最短距离为________. 解析 设点(x 0，ln x 0)是曲线g (x )＝ln x 的切线中与直线y ＝x 平行的直线的切点，因为g ′(x )＝(ln x )′＝1x ，则1＝1x 0，∴x 0＝1，则切点坐标为(1，0)，∴最短距离为(1，0)到直线y ＝x 的距离， 即为|1－0|1＋1＝22. 答案 224.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号).答案 [2，＋∞)。