专题复习椭圆的概念及其性质

数学椭圆知识点总结

椭圆是数学中有着许多重要性质和应用的一个图形。下面是对椭圆的一些基本概念、性质和应用的总结。

一、基本概念：

1.椭圆的定义：椭圆是平面中到两个给定点距离之和等于常数的点的集合。

2.椭圆的元素：椭圆的两个给定点叫做焦点，连接两焦点的线段长度叫做主轴；主轴的中点叫做椭圆的中心；主轴的一半长度叫做半轴长度；椭圆中心到焦点的距离叫做焦距。

3.椭圆的方程：标准椭圆的方程形式为：(x/a)²+(y/b)²=1

其中，a是椭圆的半长轴长度，b是椭圆的半短轴长度。

二、性质：

1.对称性：椭圆是关于x轴和y轴对称的。

2.焦点性质：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

3.离心率：椭圆的离心率是一个衡量椭圆圆度的量。离心率e的取值范围是0到1之间，当e=0时，椭圆退化成一个圆；当e=1时，椭圆退化成一个抛物线。

4.焦半径性质：椭圆的焦半径性质是指在椭圆上取一点P，以焦点为中心，过点P作圆的切线，切点和焦点之间的距离等于焦距。 5.弦长性质：椭圆上取一点P，过点P作两直线段与椭圆相交，分别与圆交于A、B两点，则线段AB的长度等于弦长。

6.空间对称性：椭圆的三维空间图形是椭球，具有空间对称性。

三、应用：

1.天体运动：开普勒的椭圆轨道定律描述了行星运动的椭圆轨道特性。

2.光学：反射和折射定律中的焦点性质和弦长性质可以用来解决光学问题。

3.通信：在无线通信中，椭圆是天线和信号传播路径的数学模型，用于研究无线信号的覆盖范围和传播特性。

4.机械工程：在机械零件的设计中，椭圆齿轮和椭圆齿条可以用来实现转动和直线运动的转换。

5.地理测量学：地球的纬度和经度构成的网格是一种椭圆形状的二维曲面，用于定位和测量地球上的位置。

6.统计学：椭圆是多元统计分析中用来表示数据分布形状的图形，如椭圆的主轴和离心率可以用来描述数据的差异和相关性。

总结起来，椭圆是数学中一个重要的图形，具有许多特殊的性质和应用。对椭圆的研究和应用不仅可以帮助我们深入理解数学的几何性质，还能够应用到天文学、光学、通信、机械工程、地理测量学和统计学等领域中。

椭圆的性质及知识点总结

一、椭圆的定义和基本性质

1.1 椭圆的定义

椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。设d1和d2分别表示P到F1和F2的距离，则椭圆的定义可以用数学表达式表示为|d1 + d2| = 2a 。

1.2 椭圆的基本性质

（1）椭圆对称轴：椭圆有两个对称轴，分别称为长轴和短轴。长轴的端点是两个焦点F1和F2，短轴与长轴垂直并通过椭圆的中心点。

（2）椭圆的焦点和离心率：椭圆的焦点是定义椭圆的两个定点F1和F2，离心率e是一个表示椭圆形状的参数，e的取值范围是0

（3）椭圆的三大定律：椭圆有三个基本定律，分别是:（a）椭圆内到两个焦点的距离之和等于长轴的长度；（b）椭圆内到两个焦点的距离之差等于长轴的长度；（c）椭圆的面积等于πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。

1.3 椭圆的方程

椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是长轴和短轴的长度，椭圆的中心点位于原点(0,0)。

二、椭圆的相关知识点

2.1 椭圆的离心率

椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c为焦距， a为长半轴的一半。离心率越接近于0，椭圆形状越圆；离心率越接近于1，椭圆形状越扁。

2.2 椭圆的参数方程

椭圆也可以用参数方程表示，参数方程为：

x = a * cosθ

y = b * sinθ

其中θ为参数，a和b分别是长轴和短轴的长度。

2.3 椭圆的焦半径

椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到该椭圆上的任意一点P的距离，椭圆上各点的焦半径之和等于椭圆的周长。 2.4 椭圆的切线

椭圆上的切线有一个特点：与椭圆相切的切线在切点处与切线的法线垂直。根据这个特点可以求出椭圆上任意一点处的切线方程。

2.5 椭圆的焦点坐标

椭圆的焦点坐标可以通过椭圆的离心率和焦距来求解。焦点坐标为（±ae, 0），a为长轴的一半，e为椭圆的离心率。

2.6 椭圆的面积

第2课时 椭圆的简单性质

1.进一步理解椭圆的标准方程及a,b,c之间的关系.

2.掌握椭圆的几何图形及简单几何性质,并能利用简单几何性质求椭圆的标准方程.

3.根据椭圆的标准方程,讨论研究其几何性质,使学生初步尝试利用椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质的基本方法,加深对曲线与方程的理解,同时提高分析问题和解决问题的能力.

1998年12月19日,太原卫星发射中心为摩托罗拉公司(美国)发射了两颗“铱星”系统通讯卫星,卫星运行的轨迹是以地球中心为一个焦点的椭圆.若卫星的近地点高度(即轨道上的点到地球表面的最近距离)为m km,远地点高度为n km,地球半径为R km,且该轨迹上两点M,N和轨迹中心O在一条直线上.

问题1:在上述情境中,|OM|与|ON|之间的大小为

,|MN|的最小值是 ,

|AF|=m+R=a-c,|BF|=n+R=a+c,a2-c2=(m+R)(n+R),即b=,当M位于M',N位于N'时,|MN|取最小值.

问题2:根据椭圆的简单几何性质填写下表:

椭圆的简单几何性质

图形

标准

方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)

范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a

焦点 (-c,0),(c,0) (0,-c),(0,c)

顶点 (-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b) (-b,0),(b,0),(0,-a),(0,a)

对称性 关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称

离心率 e= ,0

a2=b2+c2

半轴长 长半轴长a,短半轴长b,a>b

问题3:椭圆的焦距与长轴长的比e=,叫作椭圆的 .∵a>c>0,∴0

(1)当e越接近1时,c越接近a,从而b=越小,因此椭圆越 ;

(2)当e越接近0时,c越接近0,从而b越接近a,因此椭圆越接近于 ;

(3)当且仅当a=b时,c=0,两焦点 ,图形变为圆,方程成为x2+y2=a2.

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1.椭圆的概念

椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|+|MF2|=2a。椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0，焦点在x轴上）或x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0，焦点在y轴上）。

2.椭圆的性质

①范围：由标准方程得知，椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。

②对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心。

③顶点：椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 ④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e=c/a。其中，c表示焦距，a表示长半轴长。

椭圆的离心率可以通过长轴和短轴的长度计算得出。由于长轴大于短轴，因此离心率e的值介于0和1之间。当离心率接近1时，短轴b的长度会越来越小，导致椭圆变得越扁；反之，当离心率接近0时，短轴b的长度会越来越接近长轴a的长度，此时椭圆会趋向于圆形。当长轴和短轴的长度相等时，椭圆的两个焦点重合，这时椭圆就变成了圆形，其方程为x+y=a。

双曲线是平面上距离两个定点距离之差绝对值等于常数2a的动点轨迹。需要注意的是，这里的距离差的绝对值是小于焦距F1F2的。当距离差等于2a时，得到的是双曲线的一支；当距离差等于-2a时，得到的是双曲线的另一支（含F1的一支）。当距离差等于0时，得到的是两条射线；当距离差大于2a时，得不到任何图形。双曲线的焦点是F1和F2，焦距为F1F2.

双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.由此可以看出，双曲线在坐标系中的范围为两条直线x=±a的外侧。双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点只有两个，分别是实轴的两个端点。实轴是线段AA'，长度为2a，叫做双曲线的实轴，a叫做双曲线的实半轴长。虚轴是线段BB'，长度为2b，叫做双曲线的虚轴，b叫做双曲线的虚半轴长。双曲线还有两条渐近线，分别与实轴和虚轴平行，当双曲线的两支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。