椭圆讲解(定义+性质+习题)
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椭圆讲解+性质+习题
(一)定义部分（重点掌握）
一．椭圆基本定义（必须掌握）
1.定义：①平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|，即21212FFaPFPF)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．
②点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e（0
2.椭圆参数的几何意义，如下图所示：
（1）|PF1|+|PF2|=2a，|PM2|+|PM1|=ca22，||||11PMPF=||||22PMPF=e；
（2）11FAcaFA22,21FAcaFA12；caPFca1
（3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c；
（4）|F1K1|=|F2K2|=p=cb2，
2221ABABab
3.标准方程：椭圆标准方程的两种形式
12222byax和12222bxay)0(ba其中222bac
椭圆12222byax)0(ba的焦点坐标是)0(，c，准线方程是cax2，离心率是ace，通径的长是ab22焦准距（焦点到准线的距离）cbp2，焦参数2ba（通径长的一半）范围：}{axax，}{bybx，长轴长=a2，短轴长=2b，焦距＝2c ，
焦半径：21()aPFexaexc，22()aPFexaexc.
4.21FPF中经常利用余．弦定理．．．、三角形面积公式．．．．．．．12212tan2PFFFPFSb将有关线段1PF、2PF、2c，有关角21PFF(1212FPFFBF)结合起来，建立1PF+2PF、1PF2PF等关系.
二． 第二定义（拓展掌握，有些题目用第二定义做会有事半功倍的效果）：平BPM2K2A2F2F1A1M1K1oyx面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数
ecaeM()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为
椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，xaybabFc22222100()()
方程是，对应于左焦点，的准线为左准线xacFcxac2120()
②e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
三． 焦半径及焦半径公式（拓展掌握）：
椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。
对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：xaybabPxy22210()()
左焦半径∴·左左rxaccarexcaacaex02020
右焦半径右右racxcaraex200
四．椭圆参数方程（拓展掌握）
问题：如图以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BN⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕O旋转时点M的轨迹的参数方程。
设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为Mxy()Ox
参数。
那么∴xONOAyNMOBxayb||cos||sincossin()1
这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”
说明：<1> 对上述方程（1）消参即
xaybxaybcossin22221普通方程
<2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。
名称 方程 参数几何意义
直线 xxtyytt00cossin()为参数 Pxy000()，定点，倾斜角,tPP0，P（x，y）动点
圆 xarybrcossin()为参数 A（a，b）圆心，r半径，
P（x，y）动点，旋转角
椭圆 xaybcossin()为参数 a长半轴长，b短半轴长
离心角不是与的夹角()OMOx
一般地，、取，[]02
五．直线与椭圆位置关系（必须掌握，重点难点）：
（1）相离
xaybykxb22221
①相离无解xaybykxb22221 ②求椭圆上动点P（x，y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l'∥l且l'与椭圆相切）
③关于直线的对称椭圆。
（2）相切
①相切有一解xaybykxb22221
②过椭圆上一点，的椭圆的切线方程为Pxyxxayyb00002021()
()312222相交有两解xaybykxb
①弦长公式：
||()()ABxxyy122122
14212212kxxxx()
1212kxx||
12ka·||
（二）性质部分（了解掌握）
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab.
6. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab.
7. 椭圆22221xyab (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点12FPF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2FPFSb.
8. 椭圆22221xyab（a＞b＞0）的焦半径公式：
10||MFaex,20||MFaex(1(,0)Fc , 2(,0)Fc00(,)Mxy).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
11. AB是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为AB的中点，则22OMABbkka，
即0202yaxbKAB。
12. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222xxyyxyabab.
13. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222xxyyxyabab.
14. 椭圆22221xyab（a＞b＞o）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)Aa，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.
15. 过椭圆22221xyab (a＞0, b＞0)上任一点00(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且2020BCbxkay（常数）.
16. 若P为椭圆22221xyab（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,
12PFF, 21PFF，则tant22accoac.
17. 设椭圆22221xyab（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记12FPF, 12PFF,12FFP，则有sinsinsincea.
18. 若椭圆22221xyab（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤21时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
19. P为椭圆22221xyab（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2112||||||2||aAFPAPFaAF,当且仅当2,,AFP三点共线时，等号成立.
20. 椭圆220022()()1xxyyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222200()AaBbAxByC.
21. 已知椭圆22221xyab（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）22221111||||OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224abab;（3）OPQS的最小值是2222abab. 22. 过椭圆22221xyab（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则||||2PFeMN.
23. 已知椭圆22221xyab（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点0(,0)Px, 则22220ababxaa.
24. 设P点是椭圆22221xyab（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12FPF，则(1)2122||||1cosbPFPF.(2) 122tan2PFFSb.
25. 设A、B是椭圆22221xyab（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB,
PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|||sabPAacco.(2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABabSba.
26. 已知椭圆22221xyab（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
27. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
28. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
29. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
30. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
31. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
