椭圆的基本概念与性质

- 1 - 今天我们介绍椭圆的通径。椭圆通径是过椭圆的一个焦点垂直于长轴的弦。过椭圆焦点

的所有弦中，通径最短。

先看例题：

例：已知椭圆C: 22

221(0)yxab

ab的右顶点为A(1,0),过C的焦点且垂直长轴的弦长为

1.求椭圆C的方程.

所以M、N坐标可表示为22

(,),(,)bbMcNc

aa

由已知弦长为1得：21,

21.b

b

ag△从而2,

1.a

b△

因此,所求的椭圆方程为221

4yx.

- 2 - 焦点在x轴的椭圆22

221(0)xyab

ab的通径：

再看一个例题，加深印象

例：已知椭圆22

1

123xy

的左、右焦点分别是1F、2F，点P在椭圆上. 如果线段1PF

的中点在y轴上,那么1||PF是2||PF的（）

A. 7倍 B. 5倍 C. 4倍 D. 3倍

- 3 - 再由椭圆的性质可知：122373||2-||437||

22PFaPFPF

即本题选A.

总结：

1.椭圆通径是过椭圆的一个焦点垂直于长轴的弦。

2.过椭圆焦点的所有弦中，通径最短。

练习：

1. 设椭圆22

221(0)xyab

ab的左焦点为F,离心率为3

3,过点F且与x轴垂直的直线被

椭圆截得的线段长为43

3.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设A, B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若

8ACDBADCBuuuruuuruuuruuur

,求k的值.

2. 已知F1(－1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,

且|AB|=3,则C的方程为( )

A.221

2xyB. 22

1

32xy

C. 22

1

43xy

D. 22

1

54xy

- 4 - 3.已知椭圆1

91622yx的左、右焦点分别是1F、2F，点P在椭圆上. 若P、1F、2F是一个

直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）

A.

59 B.

779

C.

49 D.

49或

779

3.

97h，

.

779h故答案选D.

考试内容

映射，函数，函数的单调性，奇偶性．反函数，互为反函数的函数图象间的关系．指数概念的扩充，有理指数幂的运算性质，指数函数．对数，对数的运算性质，对数函数．函数的应用．考试要求：(1)了解映射的概念，理解函数的概念．(2)了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数．(4)理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质．(5)理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图象和性质．(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．灏麟

函数思想贯穿于高中数学的始终．函数是高中数学的重要内容，也是历年高考所占比例最大的一部分内容．对函数内容的考查一般都高于大纲的要求，每年都出现在选择、填空、解答三种题型中．《考试大纲》对函数提出了较高要求，因而函数是高考命题的重点和热点，高考将以这些内容为背景来命制解答题．对这些重点内容必须重点高考试题中对函数内容的考查主要集中在函

数的概念、性质、函数图象的变换等方面，并注意

与方程、不等式、数列等内容相联系，进行综合考

查，在考查中突出函数的思想、数形结合的思想．特别需注意的是在复习中必须加强对二次函数的

再学习，再认识，从新的角度研究二次函数，加深

对二次函数的理解和掌握．方程可看作函数值为

零时的函数的解析式，而不等式则是函数的图象

位于z轴上方的情形．在解决方程、不等式的有关

问题时，可以从函数的角度去思考、分析和解决；在解决函数的有关问题时，可以借助方程、不等式

的有关知识去理解和解决．这是解决这类问题的

一个重要策略．有关函数的命题趋势呈现以下特点：全方位、多层次、巧综合、变角度、背景新等．潮獭燃

试题大致分为四类：一是考查函数基础知识

(定义域、值域、单调性、奇偶性、图象及反函数等)和基本方法的基础题；二是与其他数学问题(诸如方程特别是函数

分式的概念：

当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．

一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．

整式与分式统称为有理式．

在理解分式的概念时，注意以下三点：

⑴分式的分母中必然含有字母；

⑵分式的分母的值不为0；

⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．

分式有意义的条件：

两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．

如：分式1x，当0x时，分式有意义；当0x时，分式无意义．

分式的值为零：

分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．

分式的基本性质：

分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．

上述性质用公式可表示为：aambbm，aambbm(0m)．

注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m；

②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；

③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．

一、分式的基本概念

【例1】 在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？

1t，(2)3xx，2211xxx，24xx，52a，2m，21321xxx，3πx，323aaa

【例2】 代数式22221131321223xxxabababmnxyxxy，，，，，，，中分式有（ ）

A.1个 B.1个 C.1个 D.1个

分式的基本概念及性质 二、分式有意义的条件

【例3】 求下列分式有意义的条件：

⑴1x ⑵33x ⑶2abab ⑷21nm ⑸22xyxy ⑹2128xx ⑺293xx

【例4】 x为何值时，分式2141xx无意义？

【例5】 x为何值时，分式2132xx有意义？

1 小学数学基本概念及基本性质

百分数的意义：一个数是另一个数的的百分之几的数，叫做百分数。百分数又叫百分比或百分率。

税率：应纳税额与各种收入的比率叫税率。

应纳税额：缴纳的税款叫应纳税额。

本金：存入银行的钱叫本金。

利息：取款时银行多支付的钱叫利息。

利率：利息与本金的比率叫利率。

税后利息：取款时实际多支付的钱叫税后利息。

折扣：商品按原价的百分之几出售，通常称为“几折”出售。

比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。

比例的项：组成比例的四个数叫做比例，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内向。

比例的基本性质：两个外项积等于两个内项积。

正比例：两种相关联的量，一种量扩大或缩小若干倍（0除外），另一重量也随之扩大或缩小相同的倍数，这样两种量叫做正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。

反比例：两种相关联的量，一种量扩大或缩小若干倍（0除外），另一重量也随之反而缩小或扩大相同的倍数，这样两种量叫做反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。

正比例图像：正比例图像是一条经过原点的直线。

自然数：用来表示物体个数的叫自然数。

基数：自然数用来表示物体多少时叫基数。

序数：自然数用来物体次序时叫做序数。

数位：各个不同的计数单位所占的位置叫做数位。

位数：指一个数占有数位的个数。

准确数：表示和实际情况完全一致的准确值称准确数。

小数：把单位“1”平均分成10份、100份、1000份······表示其中一份或几份的数的数可以用小数表示。

小数的基本性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”。小数的大小不变。

有限小数：小数部分是有限的。

无限小数：小数部分的数位是无限的。

循环小数：一个小数，从小数的某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这个小数叫循环小数。

循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断地重复出现的数字称为该小数的循环节。

纯循环小数：循环节是从小数十分位就开始的，叫做纯循环小数。