椭圆的定义与性质

传播优秀Word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！

1 / 17 椭圆的定义与性质

1．椭圆的定义

(1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距．

(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e(0

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)

图形

性质

范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a

顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)

B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)， B2(b,0)

焦点 F1(－c,0) F2(c,0) F1(0，－c) F2(0，c)

准线 l1：x＝－a2c l2：x＝a2c l1：y＝－a2c l2：y＝a2c

轴 长轴A1A2的长为2a

短轴B1B2的长为2b

焦距 F1F2＝2c

离心率 e＝ca，且e∈(0,1)

a，b，c

的关系 c2＝a2－b2

对称性 对称轴：坐标轴

对称中心：原点

1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)动点P到两定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．( )传播优秀Word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！

(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( )

(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )

(4)已知点F为平面内的一个定点，直线l为平面内的一条定直线．设d为平面内一动点P到定直线l的距离，若d＝54|PF|，则点P的轨迹为椭圆．(

)

[解析]

(1)错误，|PA|＋|PB|＝|AB|＝4，点P的轨迹为线段AB；(2)正确，根据椭圆的第一定义知PF1＋PF2＝2a，F1F2＝2c，故△PF1F2的周长为2a＋2c；(3)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁．(4)正确，根据椭圆的第二定义．

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√

2．(教材习题改编)焦点在x轴上的椭圆x25＋y2m＝1的离心率为105，则m＝________.

[解析]

由题设知a2＝5，b2＝m，c2＝5－m，e2＝c2a2＝5－m5＝(105)2＝25，∴5－m＝2，∴m＝3.[答案] 3

3．椭圆的焦点坐标为(0，－6)，(0,6)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为_____．

[解析] 椭圆的焦点在y轴上，且c＝6,2a＝20，∴a＝10，b2＝a2－c2＝64，故椭圆方程为x264＋y2100＝1.

[答案] x264＋y2100＝1

4．(2014·无锡质检)椭圆x24＋y23＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．

[解析] 直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8，

此时，|AB|＝2×b2a＝2×32＝3，∴S△FAB＝12×2×3＝3.[答案] 3

5．(2014·江西高考)过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．

[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，∴x1－x2x1＋x2a2＋y1－y2y1＋y2b2＝0，

∴y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2.

∵y1－y2x1－x2＝－12，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴－b2a2＝－12， 传播优秀Word版文档

，希望对您有帮助，可双击去除！

∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴ca＝22.[答案] 22传播优秀Word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！

考向1 椭圆的定义与标准方程

【典例1】 (1)(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为________．

(2)(2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为________．

[解析] (1)由条件知△AF1B的周长＝4a＝43，∴a＝3.

∵e＝ca＝33，c2＋b2＝a2，∴c＝1，b＝2.∴椭圆C的方程为x23＋y22＝1.

(2)∵椭圆的一条准线为x＝－4，∴焦点在x轴上且a2c＝4，又2c＝4，∴c＝2，∴a2＝8，b2＝4，

∴该椭圆方程为x28＋y24＝1.[答案] (1)x23＋y22＝1 (2)x28＋y24＝1,

【规律方法】

(1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决．

(2)求椭圆的标准方程有两种方法

①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．

②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．

【变式训练1】 (1)(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是________．

(2)(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是x2a2＋y225＝1(a＞5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点F1，则△ABF2的周长为________．

[解析] (1)右焦点F(1,0)，则椭圆的焦点在x轴上；c＝1.

又离心率为ca＝12，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x24＋y23＝1.

(2)∵a＞5，∴椭圆的焦点在x轴上，∵|F1F2|＝8，∴c＝4，∴a2＝25＋c2＝41，则a＝41.

由椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝|BF2|＋|BF1|＝2a，

∴△ABF2的周长为4a＝441.[答案] (1)x24＋y23＝1 (2)441

考向2 椭圆的几何性质

【典例2】 (1)(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2传播优秀Word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！

＝6d1，则椭圆C的离心率为________．

(2)(2014·扬州质检)已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为________．

[解析] (1)依题意，d2＝a2c－c＝b2c.又BF＝c2＋b2＝a，所以d1＝bca.由已知可得b2c＝6·bca，所以6c2＝ab，即6c4＝a2(a2－c2)，整理可得a2＝3c2，所以离心率e＝ca＝33.

(2)在三角形PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝π2，

设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F2F1|＝3，∴离心率e＝2c2a＝33. [答案] (1)33 (2)33,

【规律方法】

1．椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．

2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

(1)求出a，c，代入公式e＝ca；

(2)只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

【变式训练2】 (1)(2013·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．

(2)(2014·徐州一中抽测)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.则椭圆离心率的范围为________．

[解析]

(1)如图，在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2|PF2|，且|PF2|＝33|F1F2|，

又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF2|＝23a，于是|F1F2|＝233a，因此离心率e＝ca＝3a3a＝33.

(2)法一：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.

在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn传播优秀Word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！

＝4a2－3mn≥4a2－3·m＋n22＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．∴c2a2≥14，即e≥12.

又0

法二：如图所示，设O是椭圆的中心，A是椭圆短轴上的一个顶点，由于∠F1PF2＝60°，则只需满足60°≤∠F1AF2即可，

又△F1AF2是等腰三角形，且|AF1|＝|AF2|，所以0°<∠F1F2A≤60°，所以12≤cos∠F1F2A<1，

又e＝cos∠F1F2A，所以e的取值范围是12，1. [答案] (1)33 (2)12，1

课堂达标练习

一、填空题

1．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．

[解析] 设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由e＝22知ca＝22，故b2a2＝12.

由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8.

∴椭圆C的方程为x216＋y28＝1.[答案] x216＋y28＝1

2．(2013·四川高考改编)从椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．

[解析] 设P(－c，y0)代入椭圆方程求得y0，从而求得kOP，由kOP＝kAB及e＝ca可得离心率e.

由题意设P(－c，y0)，将P(－c，y0)代入x2a2＋y2b2＝1，得c2a2＋y20b2＝1，则y20＝b21－c2a2＝b2·a2－c2a2＝b4a2.

∴y0＝b2a或y0＝－b2a(舍去)，∴P－c，b2a，∴kOP＝－b2ac.